APLICACIÓN DEL CÁCULO FINANCIERO PARA LA TOMA DE DECISIONES 9788473565844

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Juan Pérez-Carballo Veiga

Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones

CUADERNOS DEDOCUMENTACIÓN

Juan Pérez-Carballo Veiga

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Febrero 2008 Septiembre 2009 Septiembre 2010 Octubre 2011

Septiembre 2013 Septiembre 2014

© ESIC EDITORIAL Avda. de Valdenigrales, s/n. 28223 Pozuelo de Alarcón (Madrid) Tel. 91 452 41 00 - Fax 91 352 85 34 www.esic.es © Juan Pérez-Carballo Veiga ISBN: 978-84-7356-584-4 Depósito Legal: M-58042-2008 Portada: Gerardo Domínguez Fotocomposición y Fotomecánica: ANORMI, S.L. Doña Mencía, 39 28011 Madrid Imprime: Gráficas Dehon La Morera, 23-25 28850 Torrejón de Ardoz (Madrid) Impreso en España Queda prohibida toda la reproducción de la obra o partes de la misma por cualquier medio sin la preceptiva autorización previa.

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Í N D I C E

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11. El tipo de interés........................................................................... 11.1.

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El tipo de interés real .........................................................

9

11.2. La inflación esperada .........................................................

10

11.3. El plazo al que se contrata la operación .............................

12

11.4. El riesgo de la operación ....................................................

13

12. El valor temporal del dinero ..........................................................

15

13. El valor actual neto .......................................................................

18

14. La capitalización financiera...........................................................

20

15. La comparación entre el interés simple y el compuesto ...............

22

16. La tasa anual equivalente (TAE) y el coste efectivo.......................

23

17. El descuento financiero.................................................................

27

18. Las rentas financieras ...................................................................

31

18.1. Renta perpetua constante ..................................................

31

18.2. Renta perpetua creciente ...................................................

33

18.3. Anualidad constante...........................................................

33

18.4. Anualidad creciente............................................................

35

19. El valor y el rendimiento de un activo de renta fija .......................

36

10. Algunas operaciones financieras ..................................................

38

10.1. Descuento de una letra de cambio .....................................

39

10.2. Coste efectivo de un préstamo ...........................................

40

10.3. El leasing ............................................................................

42

10.4. El renting ............................................................................

43

11. Conclusiones.................................................................................

43

ANEXO ....................................................................................................

44

EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................

46

PRINCIPALES FUNCIONES FINANCIERAS DE EXCEL ................................................

52

GLOSARIO DE TÉRMINOS ..............................................................................

53

BIBLIOGRAFÍA ...........................................................................................

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El coste de capital

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Juan Pérez-Carballo Veiga [email protected] Es Director General de Converthia, Centro de Evaluación y Desarrollo Empresarial, especializada en consultoría y formación en finanzas, y Consejero de Adverthia, empresa experta en marketing digital. Además, es: • Director del Máster en Dirección Financiera de Esic Marketing & BusinessSchool, desde 1992. • Director del Curso de Control de Gestión del Colegio de Economistas de Madrid, desde 1986. • Presidente de la comisión de expertos en tesorería (Certificado EGT) y miembro de la comisión en valoración de empresas (Certificado CEVE) del Instituto Español de Analistas Financieros. • Miembro de la American Finance Association, del Colegio de Ingenieros Industriales y del IEAF. Anteriormente ha sido: • Director Financiero de Repsol Butano y Director Corporativo de Repsol. • Director de la Empresa Nacional de Innovación (ENISA). • Subdirector de Desarrollo Corporativo del INI. • Director Financiero de Coeba (empresa de distribución). • Gerente de Consultoría en Madrid de Arthur Young (ahora Ernst & Young). • Director de Programas de Formación de la Escuela de Organización Industrial (EOI). Es Doctor en Ciencias Económicas (CEU), Ingeniero Industrial (UPM) y Diplomado en: • Dirección General (Programa PDG-IESE). • Administración de Empresas (EOI y CEPADE). • Finanzas (The London Business School, The Wharton School-EOI e IESE). Es autor de los libros: • Control de gestión empresarial; Gestión financiera de la empresa; Diagnóstico económico-financiero de la empresa; El análisis de inversiones empresariales; Estrategia y políticas financieras; Compitiendo por crear valor; ¿Qué es crear valor para el accionista? y La contabilidad y los estados financieros (Editorial Esic). • 14 títulos de la colección de Cuadernos de Documentación (Editorial Esic). • Planificación y control de la estrategia y Rentabilidad bursátil y prima de riesgo de mercado (Editorial Andavira-Caixanova). • Principios de gestión financiera de la empresa (Alianza editorial). • Del valor de la empresa a la creación de valor (Civitas). • Numerosos artículos sobre finanzas en periódicos y revistas.

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1. El tipo de interés El tipo de interés asociado a una operación financiera, de inversión o de préstamo, mide la tasa que se aplica para calcular sus ingresos o gastos financieros, respectivamente. Representa el precio de usar el dinero y, por tanto, el rendimiento que obtiene el inversor o el prestamista por cederlo; en contrapartida, expresa el coste para el prestatario1. Esta tasa, denominada tipo de interés nominal (TIN), que se representa también por in, depende de las cuatro variables siguientes: el tipo de interés real, la inflación esperada, el plazo al que se contrata la operación y su riesgo. A continuación, se analizan estas cuatro variables.

El tipo de interés es la compensación monetaria por ceder el uso del dinero.

1.1. El tipo de interés real Este tipo, representado por ir, es el que corresponde a un contexto sin inflación y a una operación sin riesgo, es decir, es el de una operación en la que el dinero mantiene su poder adquisitivo y existe la certeza de que se liquidarán, en su momento, el principal y los intereses concertados. Esta tasa mide el genuino rendimiento o coste del dinero, puesto que excluye las compensaciones vinculadas a la inflación y el riesgo. En periodos amplios y cuando se mantiene un equilibrio presupuestario de las cuentas del Estado, el tipo de interés real a largo plazo tiende a fluctuar en torno al crecimiento real de la economía, medido por la variación de su Producto Interior Bruto (PIB)2. Como en los países desarrollados el crecimiento medio del PIB oscila en torno al 3,0%, el tipo de interés real a largo plazo se sitúa alrededor de este porcentaje, aunque experimente oscilaciones cíclicas debido a las políticas macroeconómicas aplicadas para controlar la inflación y regular el crecimiento económico. El tipo de interés real a corto plazo es, históricamente, inferior en 1,5 puntos al de largo plazo3. 1 El rendimiento y el gasto, expresados en porcentaje, suelen diferir del tipo de interés por la incidencia de las comisiones bancarias y los gastos de la operación como, por ejemplo, la intervención por fedatario público. Igualmente, el rendimiento del prestamista es diferente al gasto del prestatario si, como es habitual, este último soporta gastos que no afectan al primero como, por ejemplo, los mencionados honorarios notariales y los tributos. 2 Pérez-Carballo, J. (2001): Del valor de la empresa a la creación de valor. Civitas, p. 113. 3 Pérez-Carballo, J. (2007): Rentabilidad bursátil y prima de riesgo de mercado. Andavira, p. 158.

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El tipo de interés real no incluye la compensación por la inflación ni el riesgo.

El 3% de crecimiento anual medio del PIB observado en los países desarrollados no es casual, sino que se explica por el comportamiento de las dos variables que lo generan: la variación del empleo y la mejora de la productividad. Por razones demográficas el crecimiento del empleo fluctúa con una tendencia en torno al 1,0%, y por limitaciones técnicas, la productividad tiende a mejorar un 2,0% al año. Ello no impide que en periodos puntuales se obtengan tasas muy diferentes, como sucedió en España a mediados de la primera década del siglo XXI, cuando la inmigración aumentó la tasa de crecimiento del empleo. Por el contrario, las crisis posteriores del sistema financiero internacional y la inmobiliaria provocaron una drástica reducción del empleo. También la productividad puede experimentar variaciones más acusadas como, por ejemplo, la inducida por una mejora tecnológica. En este sentido, el crecimiento del empleo suele ser mucho más volátil que el de la productividad. En países en desarrollo es normal que ambas tasas sean mayores, lo que origina un incremento anual medio del PIB que supera ampliamente ese 3,0%. Pero con el tiempo, el crecimiento promedio tiende a converger hacia una tasa menor.

1.2. La inflación esperada El inversor aspira a que la inflación no erosione el poder adquisitivo de su dinero.

La tasa de inflación esperada, representada por fe, forma parte del TIN porque el inversor espera recuperar el principal y cobrar los intereses sin sufrir la pérdida de poder adquisitivo. Cabe precisar que la inflación exigida es la que se estima que se producirá en el plazo de la operación, no la inflación pasada. Si el tipo de interés real es del 1,5% y se prevé una inflación anual del 2,0%, el TIN sin riesgo (isr) será, aproximadamente, del 3,5%. En un préstamo de 1 millón de euros, concedido a un plazo de un año y con el mencionado tipo, se obtiene, en ausencia de riesgo: ◆ Intereses a pagar:

1.000.000 x 0,035 = 35.000 €

◆ Importe total a devolver:

1.000.000 x (1 + 0,035) = 1.035.000 €

En realidad, la relación entre el tipo nominal (isr), el real (ir) y la inflación esperada (fe) no es aditiva sino multiplicativa. Ello obedece a que no sólo debe actualizarse el principal con la inflación, sino también los intereses si, como es habitual, estos se cobran al final de la operación, es decir, cuando ésta es postpagable. En el ejemplo anterior, si los intereses se reciben al vencimiento, su importe sufrirá la pérdida del poder adquisitivo provocada por la inflación. La inflación afecta al principal de la operación y a los intereses recibidos al final del plazo; sólo así el interés real será el convenido, según muestra el ejemplo del cuadro 1 que sigue. Lógicamente, si los intereses fuesen prepagables, es decir, se reciben al inicio de la inversión, no procedería este ajuste por la pérdida de valor de los intereses, provocada por la inflación. La relación entre las tres variables involucradas en la situación descrita anteriormente es: (1 + isr) = (1 + ir) x (1 + fe)

10

o

isr = (1 + ir) x (1 + fe) – 1

(1)

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Donde: isr = tipo de interés nominal del periodo sin riesgo ir = tipo de interés real y sin riesgo del periodo fe = tasa de inflación estimada para el periodo Con los datos anteriores resulta un interés nominal del 3,53%, calculado por:

El tipo de interés es prepagable o postpagable según se liquiden los intereses al inicio o al final del periodo en que se devengan.

isr = (1 + 0,015) x (1 + 0,02) – 1 El tipo de interés puede expresarse en puntos porcentuales o porcentaje (3,53%) y en tanto por uno (0,0353)4. En la exposición que sigue se utiliza la forma de porcentaje cuando en el texto se hace referencia al tipo, y en tanto por uno cuando aparece en las fórmulas5. Al vencimiento de un préstamo a un año de 100 € y con el tipo del 3,53% del ejemplo anterior, se deberán abonar 103,53 € en concepto de amortización del principal y de liquidación de intereses, según el desglose del Cuadro 1.

La inflación minora el poder adquisitivo del principal y de sus intereses.

CUADRO 1 LOS COMPONENTES DEL SERVICIO DE LA DEUDA Importe € Devolución del principal

Cálculo

100,00

Actualización del principal

2,00

Tasa de inflación x principal

Intereses reales sobre el principal

1,50

Tipo de interés real x principal

0,03

Tasa de inflación x tipo de interés real

Actualización de los intereses reales Total

103,53

En este cuadro, el producto de la tasa de inflación y del interés real mide la pérdida inflacionaria, o del poder adquisitivo, de los intereses y permite aproximar el rendimiento real al esperado. Sin embargo, cuando el tipo de interés real y la tasa esperada de inflación son reducidos, como es el caso en España desde su integración en la Unión Europea y es habitual en los países desarrollados, la ley aditiva de cálculo del TIN sin riesgo ofrece una aproximación razonable. En este caso, el error por utilizar la relación aditiva en vez de la multiplicativa es reducido. En el ejemplo del Cuadro 1 supondría utilizar el 3,50% en lugar del 3,53%. De todas formas, cuando se realizan muchas operaciones de importe elevado, una pequeña diferencia porcentual puede acumular un importe absoluto relevante.

El servicio de la deuda incluye los intereses y la amortización del principal.

La genuina retribución del préstamo es el interés real, pues la actualización por la inflación sólo compensa la erosión monetaria del principal y del interés real. La pérdida inflacionaria es un gasto del inversor que le debe retribuir el prestatario.

4 La centésima parte del punto porcentual se denomina punto básico, por lo que un tipo del 5% son 500 puntos básicos. 5 En las fórmulas se podría utilizar el porcentaje pero, en ese caso, habría que dividirlo por cien, lo cual complica innecesariamente la presentación.

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1.3. El plazo al que se contrata la operación

Un uno por ciento equivale a cien puntos básicos.

Al aumentar el plazo o vencimiento de la operación, también lo suele hacer el tipo de interés nominal debido a la incertidumbre asociada al comportamiento de la inflación, y a la menor liquidez. Los tipos de mercado aplicables a diferentes plazos conforman la estructura temporal de tipos de interés, siendo normal que sea creciente, es decir, que el isr aumente al hacerlo el plazo de la operación. Pero no siempre es así, pues depende de las expectativas del mercado sobre la futura evolución de los tipos. Si se espera que estos tiendan a reducirse, la estructura temporal podría ser decreciente, presentando una curva invertida de tipos. La Figura 1 muestra la curva del tipo de interés sin riesgo, referida a octubre de 2007, en la eurozona y en EE.UU. Mientras en la primera, la curva era creciente, en EE.UU. la curva estaba invertida, lo que recoge las expectativas que existían en ese momento sobre la previsible reducción de los tipos en este mercado, como realmente sucedió. Con independencia del plazo de la operación, para facilitar la comunicación entre las partes involucradas en la misma, el TIN siempre se refiere a un periodo anual. Si el plazo es anual, para calcular los intereses habrá que ajustar proporcionalmente el tipo a la duración de que se trate. Por ejemplo, los intereses de un trimestre de un préstamo al 8%, se calcularán aplicando una tasa del 2% al capital: si en un año el tipo es del 8%, en un trimestre se reducirá a la cuarta parte. El TIN ajustado al periodo de cálculo de intereses se denomina interés del periodo y aquí se representa por ip.

La volatilidad de los tipos de interés a corto plazo es mayor que la de los tipos a largo.

FIGURA 1 LA CURVA DE LOS TIPOS DE INTERÉS EN OCTUBRE 2007

Por su parte, la Figura 2 muestra la evolución del tipo de interés nominal del mercado interbancario español a corto plazo, durante el periodo 1977-2008. Esta figura pone de manifiesto la tremenda fluctuación que experimentan los tipos de interés. Por último, hay que diferenciar entre la duración o plazo de la operación –es el tiempo entre su inicio y su final– y el periodo de cálculo de intereses –es el tiempo entre dos liquidaciones consecutivas de intereses–.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones FIGURA 2 EVOLUCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS A CORTO PLAZO EN ESPAÑA

En una operación financiera es habitual que los intereses se liquiden periódicamente, en plazos inferiores a la duración de la operación.

1.4. El riesgo de la operación El riesgo es la posibilidad de que se produzcan sucesos adversos –nadie considera un riesgo el que le pueda tocar la lotería–. El riesgo asociado a una operación financiera se concreta en la posibilidad de no recibir la retribución prevista e, incluso, que no se recupere el principal en su totalidad o parcialmente. El riesgo se refiere a una contingencia, es decir, a un suceso adverso que puede producirse o no. De tener lugar, deja de ser una contingencia y se convierte en una realidad, con las consiguientes consecuencias sobre el cobro, en este caso, de los intereses y el principal.

El riesgo se refiere a la posible variación adversa de los resultados sobre los previstos.

Para cubrir esta posible pérdida es imprescindible añadir al tipo de interés sin riesgo pero con inflación, una prima específica y ajustada al riesgo de la operación y que aumenta con la entidad de éste. El TIN de una operación debe incluir, pues: ◆ El tipo de interés sin inflación ni riesgo correspondiente a su plazo, ◆ La inflación esperada para dicho plazo y ◆ Una prima de riesgo específica de la operación.

Mientras el tipo real y la tasa de inflación sólo dependen del plazo y de la circunstancia del mercado, la prima de riesgo es intrínseca a la propia operación.

La prima de riesgo es el precio del riesgo.

Supongamos que se comparan las dos siguientes alternativas, consistentes en conceder cien préstamos a un año, por un importe de 1.000 € cada uno, en las siguientes condiciones respectivas: ◆ Concederlos, sin ningún riesgo crediticio, al 5,0% de interés, ◆ Concederlos a otro colectivo que sí tiene riesgo, pues su tasa histórica de

fallidos es del 4,0%6.

6

En este caso, supondremos que una operación fallida supone la pérdida total de su principal e intereses.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Si se desea que ambas concesiones sean equivalentes, el tipo de interés que debe aplicarse en la segunda debe superar el 5% para compensar el quebranto que se producirá por los fallidos previstos. Para ello, será preciso aplicar en esa segunda alternativa un tipo de interés superior al 5% de la primera, es decir, añadirle una prima por el mayor riesgo del segundo colectivo. La prima de riesgo (pr) de la segunda opción se calcula de manera que los 96 prestatarios que se espera que cumplan al vencimiento, abonen, en conjunto, el mismo importe final que los 100 de la primera opción sin riesgo, es decir, por7: ◆ Ingreso esperado en la primera opción: ◆ Ingreso esperado en la segunda opción:

El plazo es la duración de la operación; el periodo de cálculo de intereses se refiere a la frecuencia con que se liquidan.

100 x 1.000 x (1 + 0,05) 96 x 1.000 x (1+0,05+pr)

En consecuencia, para que ambas operaciones sean equivalentes, se ha de cumplir: 100 x 1.000 x (1 + 0,05) = 96 x 1.000 x (1 + 0,05 + pr) La prima resultante es del 4,375%, por lo que el tipo de interés de los préstamos con riesgo debería ser del 9,375% para añadir el precio del riesgo8. Cuanto mayor sea el riesgo que perciba el inversor, mayor será el rendimiento que exija. La diferencia entre este rendimiento con riesgo y el tipo de interés sin riesgo mide la prima de riesgo de la operación. Esta prima no representa una retribución por el uso del dinero sino una compensación por la posibilidad de perderlo, de modo que se cumple: Prima de riesgo = rendimiento con riesgo – tipo de interés libre de riesgo

La prima de riesgo aumenta con la entidad del riesgo.

La prima de riesgo se explica por la normal aversión al riesgo de los inversores, que prefieren un rendimiento esperado cierto que otro igual pero incierto. Para preferir el segundo exigen, en consecuencia, una retribución adicional representada por la mencionada prima. Así se comprueba cuando se ofrecen las dos siguientes alternativas: ◆ Ganar seguro 1.000 €. ◆ Ganar con igual probabilidad 2.000 € o nada.

El rendimiento esperado de la segunda opción con riesgo (1.000 €) se obtiene mediante la media ponderada (en este caso es la simple por ser equiprobables los dos posibles sucesos) de los dos resultados (2.000 € y 0 €). Este importe representa la esperanza matemática o valor esperado de la opción, que si bien no es posible que se obtenga en una sola tirada, es el valor medio al que se tiende de repetirse la apuesta muchas veces.

7 En realidad, se exige a los prestatarios que cumplen que cubran la pérdida provocada por los que incumplen. Por sencillez, se supone una relación aditiva entre in y pr. 8 Obsérvese que si se multiplica 96 (son los prestatarios que cumplen), por 1.000 € (es el principal de cada préstamo) y por 1,09375, se obtiene el mismo capital final de 105.000 € que en la primera alternativa.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones En esta elección, se suele escoger mayoritariamente la primera opción, pues siendo el resultado esperado de ambas idéntico, en la primera el resultado es cierto. Pero si en la segunda se incrementase el premio hasta 3.000 €, podrían aparecer partidarios de preferirla por su mayor rendimiento esperado. En este caso los 1.000 € seguros de la primera opción son inferiores a los 1.500 € correspondientes a la esperanza matemática de la segunda corregida. Aunque el concepto de esperanza matemática es cuantitativo y expresa un resultado que sólo se obtiene al repetirse la apuesta muchas veces, refleja el cálculo mental aproximado que se realiza para la toma de decisiones en situaciones como la expuesta. Como se observa, la esperanza matemática combina importes con probabilidades, por lo que agrega los conceptos de rentabilidad y riesgo. La aversión al riesgo explica los altos tipos de interés de los denominados bonos basura, emitidos por empresas de alto riesgo, o de los títulos referenciados a las hipotecas subprime, que fueron una de las causas de la crisis del sistema financiero iniciada en el año 2007. En ámbitos geográficos más próximos aunque más distantes en el tiempo: “Reyes, nobles, órdenes militares, comunidades eclesiásticas, concejos, tuvieron que caer bajo las leoninas condiciones de los hebreos. No puede censurárseles que las impusieran, por las dificultades de la percepción de los tributos que se les confiaban y la mala fe de unos y otros en el pago estipulado”9. Bastaba organizar un pogrom para liquidar la deuda. En resumen, el Cuadro 2 recoge la tipología de tipos de interés expuestos.

CUADRO 2 LA TIPOLOGÍA DE TIPOS DE INTERÉS Denominación

Nomenclatura

Concepto

Tipo de interés real

ir

Retribución real del dinero

Tipo de interés nominal sin riesgo

isr

Precio del dinero sin riesgo

Tipo de interés nominal Tipo de interés del periodo

TIN o in ip

Tipo aplicable a una operación TIN ajustado al periodo de intereses

2. El valor temporal del dinero Un principio básico del cálculo financiero reside en que un euro disponible hoy vale más que otro futuro, pues el euro actual se puede invertir para generar unos intereses. El tipo de interés nominal permite poner en equivalencia importes monetarios desplazados en el tiempo, pues representa la relación de intercambio temporal del dinero. Si hoy disponemos de un capital se podrá invertir a plazo, obteniendo al final un importe que incluye el principal y los intereses generados. Con un capital inicial de 100 €, un tipo de interés TIN del 5,0% y un plazo de un año, el capital final será de 105 €, obtenido por: Cf = 100 + 0,05 x 100

9

ó

El valor presente de un importe futuro se reduce al aumentar el plazo en el que se recibirá.

Cf = 100 x (1 + 0,05)

Vicens Vives, J. (1970): Aproximación a la historia de España. Biblioteca básica Salvat,

p. 90.

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Invertir es diferir el consumo.

Los importes de 100 y de 105, separados por un año, son equivalentes pues, bajo criterios financieros, resultan indiferentes para el decisor. La existencia de otros criterios no financieros, como la necesidad de disponer de efectivo o las preferencias del decisor respecto al consumo presente frente al futuro, pueden romper la mencionada equivalencia financiera. Por ejemplo, la mayoría preferiríamos que nos tocasen hoy 100 millones de euros a la alternativa de recibir seguro, es decir, sin riesgo, 108 millones dentro de un año. Aunque esta segunda opción tiene un rendimiento (8%) que duplica, aproximadamente, al tipo sin riesgo vigente en el mercado, la disponibilidad inmediata de los 100 millones resulta más atractiva para la mayoría y, sobre todo, para los decisores con menos fortuna personal o de más edad. Probablemente, sólo los multimillonarios preferirían esperar un año, dada la elevada rentabilidad de la opción de retrasar el cobro10. El tipo de interés que se debe emplear para hallar el capital final, denominado también tasa de capitalización, es el relevante para el decisor en la fecha del análisis y, por lo tanto, es el rendimiento que ofrece el mercado en ese momento, para el riesgo de la operación. Si lo paga el mercado parece razonable que sea el que exija el decisor para la toma de decisiones. Por eso, en lo sucesivo, aceptamos que la tasa de capitalización es la rentabilidad que exige el inversor a su dinero porque puede obtenerla en otras alternativas de riesgo similar, y, por lo tanto, representa su coste de oportunidad: es el rendimiento de mercado al que se renuncia por elegir una determinada inversión. La fórmula genérica que representa el proceso descrito anteriormente, denominado de capitalización, que convierte un capital inicial (C0) en su equivalente financiero al final de un periodo (C1), es: C1 = C0 x (1 + in)

Hay que diferenciar entre el plazo de la operación y el periodo de liquidación de intereses.

(2)

En esta expresión, in es el tipo de interés en tanto por uno y correspondiente al periodo de que se trate. La figura 3 representa la fórmula anterior:

FIGURA 3 EL PROCESO DE CAPITALIZACIÓN in C0

C1 = C0 x (1+in)

Cuando el plazo es inferior a un año, hay que ajustar el tipo de interés proporcionalmente. Puesto que el TIN se refiere siempre a un periodo anual, el tipo

10 Una alternativa, que podría ser más satisfactoria para la mayoría, sería pedir un préstamo de, por ejemplo, 10 millones de euros, con la garantía del importe a recibir seguro dentro de un año. El resto (90 millones) quedaría invertido al 8% en lugar del tipo sin riesgo de mercado. Obsérvese que la opción de esperar un año representa aceptar una inversión al tipo de interés sin riesgo.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones de interés diario se halla dividiéndolo por 365 y el aplicable a t días se obtiene multiplicando el tipo diario por t. El tipo de interés del periodo (ip) de t días se calcula, por lo tanto, mediante la expresión: ip = in ×

t 365

(3)

Por ello, los intereses correspondientes a t días se calculan por: I = C 0 × in ×

t 365

El plazo de una operación financiera incluye, en general, varios periodos de liquidación de intereses.

Esta fórmula se denomina coloquialmente como la del “carrete” porque combina el capital, el rédito o tipo de interés, y el tiempo, expresado en número de días. Por su parte, el capital al final de t días se obtiene por: C 1 = C 0 ×(1 +

in × t ) 365

Por ejemplo, si se retrasa 60 días el pago de una factura de 10.000 euros y el proveedor aplica un recargo equivalente a un tipo anual del 8,0%, resulta que: ◆ El tipo de interés del periodo es del 1,315%, obtenido por:

ip = 0,08×

60 365

◆ Los intereses que se deben abonar serían de 131,51 €, calculados por:

I=

10.000× 0,08× 60 365

◆ El importe final a pagar al cabo de los 60 días es la suma de la factura y el

recargo financiero y ascendería a 10.131,51 €. Esta cifra se obtiene también aplicando la fórmula genérica expuesta anteriormente, es decir, por: C 1 = 10.000×(1 +

0,08× 60 ) 365

En lo que sigue, a fin de simplificar la exposición, en vez de calcular en la propia fórmula el tipo de interés correspondiente al periodo de liquidación, se utilizará directamente el mencionado tipo de interés del periodo. Como este tipo (ip) es la parte proporcional del TIN, tiene en cuenta que los intereses se han de calcular para el periodo de liquidación de que se trate. Por supuesto que si el periodo de liquidación es anual, el tipo del periodo ip es igual al anual (in). En lo sucesivo, haremos referencia al periodo por ser un término genérico aplicable a cualquier intervalo recurrente de liquidación de intereses. Sin embargo, el tipo de interés nominal (TIN) se refiere siempre a un año, pues así es la práctica del mercado para evitar confusiones. Con lo expuesto, podemos formular las siguientes ecuaciones:

El tipo de interés del periodo es proporcional a la duración del periodo.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones ◆ Intereses devengados en el periodo ◆ Capital acumulado al final del periodo

I = ip x C0 C1 = C0 x (1 + ip)

(4) (5)

Además, si se conocen los capitales inicial y final, el tipo del periodo se calcula por: ◆ Tipo de interés del periodo

ip =

C1 −1 C0

(6)

El uso generalizado de la hoja de cálculo, que tanto facilita el análisis financiero, permite prescindir de las complicadas fórmulas que rigen la matemática financiera y limitarse sólo a aquéllas fundamentales y, en general, sencillas, que ayudan a comprender las leyes que rigen las operaciones financieras y a plantear correctamente los modelos para su resolución. Por ello, es imprescindible comprender las expresiones anteriores. La hoja informática no identifica, por ejemplo, el periodo de la operación –en realidad, la convención del periodo anual para expresar el TIN es discrecional–; pero el analista sí debe conocer los datos de entrada, formular las leyes de comportamiento adecuadas al problema e interpretar los resultados. Como veremos, la hoja de cálculo no sólo ayuda eficazmente a hacer los números, sino también, a sistematizar la formulación correcta de los modelos. Hasta ahora, hemos calculado el valor futuro de un capital actual, pero como veremos más adelante, también se puede realizar el ejercicio inverso, es decir, calcular el valor actual (C0) equivalente a un capital desplazado un periodo (C1). En este sentido, el tipo de interés ofrece un puente de doble sentido que permite mover importes entre el presente y el futuro. De la fórmula (5) resulta que el valor actual de un capital que se recibirá dentro de un periodo se calcula por: El valor actual de un capital futuro se comporta a la inversa que la tasa de descuento.

C0 =

C1 (1 + ip )

(7)

El cociente 1/(1+ip) se denomina factor de descuento y es el valor al origen de un euro desplazado un periodo hacia el futuro. En los procesos de cálculo del valor actual de un importe futuro, el tipo de interés representa la tasa de descuento. Obsérvese que el valor actual se reduce al aumentar la tasa de descuento.

3. El valor actual neto Los valores actuales de varios importes futuros pueden sumarse, puesto que están referidos al mismo momento. Este principio aditivo es muy útil, como comprobaremos, para la evaluación económica de inversiones y, en general, para la valoración de activos. La actualización, tanto si se trata de una capitalización como de un descuento, permite sumar importes desplazados en el tiempo: basta con calcular sus equivalentes financieros al momento en que se desea obtener la suma. Los conceptos descritos permiten evaluar ya el interés de una inversión sencilla. Supongamos que se analiza la conveniencia de comprar una propiedad por

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones 100.000 € con la previsión de venderlo dentro de un año por 115.000 €. La rentabilidad esperada de la inversión se eleva, en consecuencia, al 15,0%, obtenida al dividir el rendimiento (15.000 €) entre la inversión (100.000 €). El mismo resultado se obtiene si se aplica la fórmula (6). Si la rentabilidad que ofrece el mercado en alternativas de riesgo similar al de esta propuesta es del 12,0%, la recomendación sería la de realizar la inversión, pues ésta generaría un importe final (115.000 €), al cabo de un año, mayor que el de la alternativa ofrecida por el mercado (112.000 €).

Entre dos alternativas para invertir un capital, es más atractiva la que genera un capital final mayor.

La evaluación anterior se ha basado en comparar los valores futuros –la opción que se debe escoger es la que ofrezca un capital final más elevado–, pero también se puede comparar el valor actual del importe que se va a recibir dentro de un año con el desembolso que se debe realizar hoy. En este caso, con una tasa de descuento del 12,0%, el valor actual de los 115.000 € que se esperan dentro de un año es de 102.679 €, de los que deducido el desembolso inicial, dejan un excedente de 2.679 € –en este método se prefiere, lógicamente, la alternativa de mayor valor actual–. La diferencia entre el valor actual de las rentas futuras y el desembolso de la inversión se denomina valor actual neto. Valor actual neto (VAN) = valor actual de las rentas futuras (VA) – desembolso inicial (D) La Figura 4 representa el cálculo del VAN en el ejemplo que se comenta. Lógicamente, si el VAN es positivo se deberá aceptar la inversión. Con un VAN negativo, se rechazaría por ser mayor el desembolso que se debe realizar que el dinero actualizado que se espera obtener.

El valor actual neto se refiere a una fecha determinada.

FIGURA 4 LA REPRESENTACIÓN DEL VALOR ACTUAL NETO (VAN)

VAN = 2.679 Valor actual de la renta futura 102.679 €

Desembolso 100.000 €

Para decidir, también se puede comparar la rentabilidad esperada de la inversión que, en este caso es del 15,0%, con la ofrecida por el mercado del 12% y que, por lo tanto, es la que exigirá el inversor. Como la rentabilidad de la compra de la propiedad es mayor, se aconseja aceptar la inversión propuesta. Mientras la rentabilidad esperada de la inversión supere a la de mercado, la recomendación siempre será favorable a la inversión, desde la perspectiva financiera. Este ejemplo muestra, además, cómo la rentabilidad de mercado actúa como una tasa de corte que diferencia las inversiones rentables de las que no lo son. Por ello, la tasa de descuento representa también la tasa de corte, de manera que las inversiones cuya rentabilidad supere a esta tasa, serán candidatas a ser aprobadas.

Entre dos alternativas para invertir un capital es más conveniente la que genera mayor tasa de rentabilidad.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Una conclusión de la existencia de la prima de riesgo, que podemos comprobar ahora mediante el concepto de valor actual, es que un euro sin riesgo vale más que otro con riesgo. Por ejemplo, 100 € que se vayan a recibir seguro dentro de un año, cuando el tipo de interés sin riesgo sea del 5,0%, equivalen hoy a 95,24 €, mientras que si están sujetos a riesgo y el tipo de interés correspondiente es del 9,375%, hoy valen sólo 91,43 €.

4. La capitalización financiera Cuando se liquidan los intereses se pueden pagar o se pueden acumular al principal para aumentar el capital vivo de la operación.

Con frecuencia, las operaciones financieras se prolongan durante varios periodos sucesivos de manera que los intereses intermedios, calculados al final de cada periodo de liquidación, se acumulan al capital para ser reinvertidos de nuevo. Si no se acumulan, es decir, se liquidan y abonan, nos hallamos en un sistema de interés simple. En este sistema el tipo de interés se aplica durante un periodo aislado y sobre un capital que permanece constante, porque los intereses intermedios se retiran de la operación. Cuando los intereses de un periodo se reinvierten y se añaden al capital al inicio del periodo para obtener el capital final, el sistema se denomina de interés compuesto. En este último, los intereses se liquidan periódicamente pero, en lugar de abonarse, se acumulan, es decir, se capitalizan, y, por lo tanto, permiten generar, a su vez, intereses.

El sistema de interés compuesto genera intereses sobre intereses.

Lógicamente, para se produzca esta capitalización es preciso que la operación financiera se extienda a más de un periodo. El sistema de capitalización compuesto se produce cuando el capital se incrementa progresivamente como consecuencia de la acumulación de los intereses generados en periodos previos. Esta acumulación se refuerza porque los intereses se generan no sólo sobre el capital inicial, sino también sobre los intereses intermedios. En este contexto, el periodo de liquidación se refiere a la frecuencia con la que se calculan los intereses, mientras que el periodo de capitalización indica la frecuencia con la que se agregan al capital en vez de ser abonados. Por ello, si al término del periodo de liquidación se abonan, se trata de una operación financiera a interés simple. Si se acumulan al capital, la operación es a interés compuesto y, en este caso, ambos periodos, el de liquidación y el de capitalización, coinciden. Sabemos que un importe Co invertido durante un periodo, al margen de su duración, a un tipo ip produce un importe final igual a: C1 = C0 x (1 + ip) Si el capital final C1, que incluye los intereses intermedios, se invierte durante otro periodo más, el capital al término del segundo periodo será: C2 = C1 x (1 + ip) = C0 x (1 + ip)2 Por ello, un capital inicial Co invertido n periodos a interés compuesto origina un capital final de: Cn = C0 x (1 + ip)n

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(8)

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Supóngase que se desea calcular el importe a pagar por un préstamo de 10.000 € que se contrata a interés compuesto del 7,0% durante tres años, de manera que todos los intereses y el principal se amortizan a dicho plazo, aunque la liquidación y la capitalización de intereses sean anuales. Dicho abono asciende a 12.250,43 € calculado por: C3 = 10.000 x (1 + 0,07)3 Si se modifica la operación anterior para considerar que los intereses se liquidan y capitalizan semestralmente, tendríamos un tipo de interés semestral del 3,5% (in/2) y seis periodos en lugar de tres. En este caso, el importe que se abonaría para amortizar el préstamo al cabo de los seis semestres sería de 12.292,55 €, obtenido por: C6 = 10.000 x (1 + 0,035)6

El periodo de capitalización de intereses indica la frecuencia con la que los intereses liquidados se acumulan al capital.

La diferencia de 42,12 € se explica por el distinto periodo de capitalización de intereses. El incremento del capital final con liquidaciones semestrales obedece a los intereses que generan los intereses intermedios. Al aumentar la frecuencia de la capitalización, aumenta el capital que se genera al final del plazo de la operación. Consideremos ahora que un Banco ofrece las dos siguientes opciones de inversión a interés compuesto durante cuatro años: A. Tipo de interés del 5,0% con capitalización anual. B. Tipo de interés del 4,5% con capitalización mensual. La opción más conveniente para el ahorrador es la A, según muestra el Cuadro 3, para una inversión de 100 €, pues es la que da lugar a un capital final mayor.

CUADRO 3 COMPARACIÓN DE INVERSIONES CON DIFERENTE PERIODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización

Número de periodos (n)

Tipo del periodo Capital al final de los 4 años

Anual

4

5,0%

100 x (1+0,05)4 = 121,55

Mensual

48

0,375%

100 x (1+0,00375)48 = 119,68

La realización de las operaciones anteriores en la Hoja de cálculo es muy sencilla. Quizá sea necesario recordar al lector menos experto que para calcular en Excel una potencia es preciso introducir entre la base y el exponente el símbolo exponencial ^11. Así, la fórmula escrita en Excel que calcula el capital final en la opción B es: Cf = 100 x (1 + 0,00375)^48

11

A este símbolo se le denomina coloquialmente como sombrerito.

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5. La comparación entre el interés simple y el compuesto En el sistema de interés simple los intereses totales son el producto del tipo del periodo por el capital inicial y por el número de periodos.

Siempre ha sorprendido la capacidad del interés compuesto, que se comporta según una ley exponencial, para acumular capitales importantes al cabo de plazos amplios. Supongamos que Judas hubiese invertido los 13 denarios que cobró por su traición, equivalentes a un céntimo de euro actual (¡qué menos!), y que sus sucesivos herederos hubiesen sido capaces de mantener la inversión –una hazaña teniendo en cuenta la barbarie de la historia– con una rentabilidad media del 3,0% durante los aproximadamente 2.000 años transcurridos. El capital acumulado a la fecha superaría ampliamente la riqueza existente hoy en el mundo12. Por ejemplo, 100 € invertidos durante 2 años a interés compuesto se convierten en 110,25 €, si el tipo de interés es del 5%. Invertidos a interés simple, el capital final se reduce a 110,00 € (el capital inicial más dos años de intereses sobre el capital inicial)13. El capital a interés compuesto se obtiene al aplicar la siguiente fórmula: Cf = Ci x (1 + ip) x (1 + ip) = Ci x (1 + 2 x ip + ip2) En esta fórmula, el término 2 x ip representa el interés simple de dos años, mientras que el cuadrado de ip recoge el efecto del interés compuesto (son los intereses generados por los intereses del primer año). Por ser mayor el capital final en interés compuesto, se suele aducir su superioridad sobre el simple. Sin embargo, esta comparación no es justa pues ignora la utilidad de los intereses intermedios que se liberan en el sistema de interés simple y que pueden: ◆ Ser consumidos para satisfacer unas necesidades, que quedan insatisfe-

chas por el sistema de interés compuesto. ◆ Invertirse en otra operación, con la consiguiente obtención de intereses

sobre intereses. Si se considera la utilidad de los intereses intermedios, el sistema de interés simple es equivalente al compuesto.

En realidad, en esta segunda opción, el capital final es el mismo por interés compuesto o simple. Para una inversión a un plazo de dos años, suponiendo que en interés simple se retiran los intereses intermedios del primer año pero se reinvierten fuera de la operación principal al mismo tipo de interés, el capital final se compone de: ◆ Recuperación del capital inicial: ◆ Interés simple de dos años: ◆ Interés por inversión del rédito del primer año:

Ci 2 x Ci x ip (Ci x ip) x ip

Este resultado es igual al que se obtendría por capitalización compuesta, pues se cumple que: Ci x (1 + ip)2 = Ci + 2 x Ci x ip + (Ci x ip) x ip

12 Se puede calcular la cifra (4,7 x 1023 millones de euros) mediante la fórmula de Excel = 0,01 x (1 + 0,03)^2.000. 13 Obsérvese que este importe no incluye los intereses que se podrían obtener sobre los intereses del primer año, como sí sucede en interés compuesto.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Luego el interés compuesto sólo supera al simple si los intereses intermedios de este último sistema ni se consumen ni se reinvierten, es decir, se dejan ociosos, lo cual es poco verosímil en un comportamiento racional.

6. La tasa anual equivalente y el coste efectivo Según el epígrafe anterior, para comparar dos tipos de interés se precisa indicar el periodo de capitalización respectivo. Un TIN del 7% capitalizado mensualmente es más favorable para un inversor que si el periodo de capitalización es anual. En efecto, el capital final de 100 € invertidos durante un año es mayor en la primera alternativa, como se muestra a continuación. Cf = 100 x (1 + 0,07/12)12 = 107,229 Cf = 100 x (1 + 0,07) = 107,000

La TAE convierte en anuales el periodo de capitalización y la duración de la operación.

A fin de facilitar esa comparación es necesario definir una unidad de medida común, que convierta cada TIN a una tasa con un periodo de capitalización estándar. Ello es posible, pues basta con ajustar cada tipo, definido por su tasa y su periodo de capitalización, con otro que sea equivalente y que se refiera al estándar representado por una capitalización anual. A este segundo tipo de periodo de capitalización anual se denomina tasa anual equivalente. Para obtenerla, se aplica el siguiente axioma14: dos tipos de interés con distintos periodos de capitalización son equivalentes si generan el mismo capital final al invertir el mismo importe inicial durante un mismo plazo. La Figura 5 representa esta equivalencia para una operación con periodo de capitalización mensual. Para calcular su TAE, se supone que la operación se repite doce veces, de manera que el capital inicial se convierta en el mismo capital final por cualquiera de los dos caminos que se sigan.

FIGURA 5 EL INTERÉS DEL PERIODO (MENSUAL) Y SU TAE GENERAN LOS MISMOS INTERESES Operación a la TAE

Capital inicial

Capital final

Dos tipos de interés son equivalentes cuando generan el mismo capital final a partir de idéntico capital inicial, durante el mismo plazo.

Operación repetida 12 veces, al tipo de interés del periodo, con reinversión de intereses

14

Un axioma es un enunciado básico que, de puro evidente, no precisa demostración.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones En el ejemplo anterior, podemos aplicar este principio para hallar la tasa anual equivalente TAE, con capitalización anual, a la de la alternativa mensual, mediante la siguiente igualdad: 100 x (1 + 0,07/12)2 = 100 x (1 + TAE) El TIN se refiere a un plazo anual pero su periodo de liquidación de intereses puede ser cualquiera.

ó

TAE = (1 + 0,07/12)12 – 1

Si se resuelve la segunda ecuación, se obtiene una TAE equivalente del tipo mensual del 7,229%. Como la TAE se refiere a una capitalización anual puede compararse con el tipo del 7% de la alternativa con capitalización mensual, confirmando el mayor atractivo de esta última. Se cumple, pues, que a todo tipo de interés, cualquiera que sea su periodo de capitalización, le corresponde siempre una TAE determinada. Esto facilita comparar tipos de intereses alternativos, con distinto periodo de capitalización: basta contrastar la TAE de cada una de ellas. Nótese que la TAE no es el TIN o interés nominal de la operación, pues éste incorpora un periodo de liquidación que no tiene que ser necesariamente anual. La diferencia es que el TIN se refiere a un periodo de capitalización variable mientras que el de la TAE es siempre anual. El cociente entre el número de días del año y el del periodo de liquidación de la operación indica cuántas capitalizaciones se producen en el año, parámetro al que se designa por la letra m. En la opción con periodo de capitalización mensual, el número de capitalizaciones al año es de doce. La fórmula genérica para calcular la TAE se obtiene considerando que la inversión de 1 euro durante un año ha de ser indiferente si se hace a un interés ip que se capitaliza m veces al año o a su TAE, es decir: (1 + TAE) = (1 + ip)m

(9)

TAE = (1 + ip)m – 1

ó

El lector menos acostumbrado a operar con exponentes, puede calcular la TAE mediante la función Excel = INT.EFECTIVO (TIN; número de periodos por año), que para el ejemplo anterior se formula como: = INT. EFECTIVO (0,07;12) = 0,07229 Pero esta función sólo puede utilizarse cuando m es entero. El tipo de interés del periodo ip se calcula, en consecuencia, por el cociente entre el tipo anual in y el número anual de capitalizaciones m, es decir: ip =

in m

El Cuadro 4 resume las características de los tipos de interés introducidos anteriormente.

CUADRO 4 LOS ATRIBUTOS DE LOS TIPOS DE INTERÉS Tipo de interés Interés nominal in (TIN) Interés del periodo ip Tasa anual equivalente TAE

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Plazo de la operación

Capitalización

Relaciones

Anual

Periodo

Periodo

Periodo

ip = in/m

Anual

Anual

TAE = (1+ip)m – 1

TAE =(1 +

in m ) −1 m

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Una tasa adicional es la denominada tipo efectivo que calcula la TAE del rendimiento o del coste de una operación, en cuanto que el interés no es el único concepto relevante. Para ello, el coste efectivo añade al tipo de interés, en cualquiera de sus tres expresiones del cuadro 4, el efecto de eventuales ingresos o gastos vinculados a la operación, que afectan a su rendimiento o coste. Por ejemplo, el coste efectivo de un préstamo de 100 millones de euros, a un TIN del 8%, con unos gastos (la comisión de apertura y los gastos de la escritura) del 0,8% sobre su importe, con un vencimiento anual y un periodo de liquidación de intereses también anual, asciende al 8,87%, calculado por: TAE =

108 −1 99,2

En efecto, al principio se recibe 99,2 –representa el préstamo efectivo– y se paga al final 108, luego el coste de recibir el importe inicial es de 8,8 que dividido entre dicho importe da un coste efectivo de 8,87%. El incremento sobre el TIN recoge el efecto de los gastos del 0,8% y de su pago anticipado. El tipo efectivo, incluidos todos los conceptos y no sólo el tipo de interés, cuando se expresa mediante su TAE, hace comparables las alternativas de inversión o financiación. Consideremos las tres siguientes alternativas de inversión: A. TIN del 4,5% con capitalización diaria. B. TIN del 4,75% con capitalización mensual.

La TAE permite comparar operaciones financieras alternativas.

C. TIN del 5,0% con capitalización anual. La opción más rentable es la C pues es la de mayor TAE, según muestra el Cuadro 5:

CUADRO 5 COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS Opción

Nº de periodos

Interés ip

TAE

Cálculo

A

365

0,0450/365

4,602%

(1 + 0,045/365)365 – 1

B

12

0,0475/12

4,855%

(1 + 0,0475/12)12 – 1

C

1

0,0500

5,000%

(1 + 0,05) – 1

A continuación, analicemos cómo cubrir un déficit de tesorería cuando existen las siguientes posibilidades para hacerlo: ◆ Retrasar el pago a los proveedores 30 días –es el caso de obtener un apla-

zamiento de 60 a 90 días a cambio de un recargo del 0,5% sobre el importe de la factura–. ◆ Conceder a los clientes un descuento por pronto pago del 1,0% si abonan

sus facturas 60 días antes –en vez de que paguen a 90 días, conseguir, por ejemplo, que lo hagan a 30 días–.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones El retraso del pago a los proveedores equivale a obtener un préstamo, pues por cada 100 € que se dejen de pagar hoy –el aumento de la tesorería equivale a recibir un préstamo–, se tienen que desembolsar 100,5 € dentro de 30 días –la reducción de la tesorería equivale a amortizar un préstamo–. Al flujo de fondos de la operación comercial inicial se le añade, pues, el de un préstamo, según muestra el cuadro 6 y que da como resultado diferir el pago de 100 € a cambio de abonar 100,5 € 30 días después. El periodo de liquidación de intereses mide la frecuencia con la que se calculan, con independencia de que se abonen o se capitalicen.

CUADRO 6 EL PRÉSTAMO IMPLÍCITO EN EL RETRASO DE UN PAGO Importes en euros

A los 60 días

A los 90 días

Flujo de la operación comercial

-100,0

Flujo de la operación financiera

100,0

-100,5

0

-100,5

Flujo total (suma)

El plazo del préstamo es de 30 días y el tipo de interés del periodo es del 0,5%, obtenido como el cociente entre el gasto (0,5 €) y la financiación recibida (100 €). Luego la TAE del préstamo del proveedor es del 6,17%, calculada por: TAEp = (1 + 0,005)12 – 1 El adelanto de los cobros a los clientes equivale, también, a recibir un préstamo, según refleja el Cuadro 7, en el que se reciben hoy 99 € (aumenta la tesorería) a cambio de dejar de cobrar 100 € (se reduce la tesorería) dentro de 60 días. El plazo del préstamo implícito es de 60 días, su tipo del periodo es del 1,01% –esta tasa se halla dividiendo el gasto de 1 € por la financiación efectiva recibida de 99 €– y el número de periodos contenidos en un año es de seis, por lo que la TAE del préstamo del cliente resulta del 6,22%. TAEp = (1 +

1 6 ) −1 99

CUADRO 7 EL PRÉSTAMO IMPLÍCITO EN EL ADELANTO DE UN COBRO Importes en euros

A los 30 días

Flujo de la operación comercial

A los 90 días 100,0

Flujo de la operación financiera

99,0

-100,0

Flujo total (suma)

99,0

0

Al comparar las TAEs de ambas financiaciones, resulta que la financiación de los proveedores ofrece un coste menor, por lo que será la opción escogida. La Figura 6 muestra cómo el movimiento de fondos de las dos operaciones anteriores afecta a la tesorería de la empresa. Esta figura tiene en cuenta que: ◆ La anulación de un pago, como sucede al retrasar el abono de la factura al

proveedor, equivale a una entrada en la tesorería.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones ◆ La cancelación de un cobro, lo que ocurre cuando no se cobra al venci-

miento la cuenta del cliente porque ya se adelantó su entrada en la tesorería, equivale a un pago. ◆ El desembolso al proveedor y el ingreso del cliente afectan a la tesorería

en el momento en que realmente se produzcan si se acepta la financiación respectiva.

FIGURA 6 EL FLUJO DE FONDOS DE LA FINANCIACIÓN DE PROVEEDORES Y CLIENTES Se pagan 100,5 € 30 días Financiación de proveedores: Se dejan de pagar 100 € Se dejan de cobrar 100 € 60 días Financiación de clientes: Se cobran 99 €

7. El descuento financiero Hasta ahora hemos calculado, principalmente, a cuánto asciende un capital inicial invertido a interés compuesto durante un plazo y con una determinada frecuencia de capitalización de intereses, es decir, a partir de un importe inicial se obtiene el capital acumulado. Pero, según se anticipó, la toma de decisiones exige también realizar el proceso inverso, denominado como descuento financiero: estimar a cuánto equivale hoy un importe futuro.

El descuento es la operación inversa a la capitalización.

El descuento financiero estima el valor actual de un capital que se recibirá en el futuro. Cuando el plazo de la operación incluye sólo un periodo de liquidación de intereses, para calcular el importe actual basta despejar en la fórmula (5) el capital Co, es decir. C0 =

C1 (1 + ip )

Ambos capitales siguen siendo equivalentes pues si disponemos hoy de C0 podríamos invertirlo al tipo ip para obtener un capital C1 al final del periodo. Los intereses son la diferencia entre C1 y C0 y se calculan por: I = ip x C0 Para actualizar un capital Cn que se recibirá al cabo de n periodos y obtener su equivalente C0, se despeja este último en la fórmula (8) de la capitalización compuesta, con lo que resulta: C0 =

Cn (1 + ip )n

(10)

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones El cociente 1/(1+ip)n se denomina factor de descuento o de actualización y estima el equivalente actual de un euro que se recibirá dentro de n periodos. Supongamos, por ejemplo, que deseamos cancelar anticipadamente una deuda de 10.000 € que vence dentro de dos años. Si el tipo TIN de mercado para este tipo de operaciones es, en la actualidad, del 8,0%, sería razonable abonar ahora 8.573,39 €, calculados por: Co =

10.000 (1 + 0,08)2

De manera análoga, si tenemos un préstamo con vencimientos anuales de 10.000 € durante los tres próximos años, el valor actual de esta deuda, con el mismo TIN del ejemplo anterior, resulta ser de 25.770,97 €, que se obtiene a partir de: VA = El valor actual se refiere a un momento determinado.

10.000 10.000 10.000 + + 2 (1 + 0,08) (1 + 0,08) (1 + 0,08)3

La deuda de este ejemplo representa un activo o propiedad del acreedor –un préstamo es un activo financiero para quien lo concede–, pues reconoce su derecho a cobrar, en su momento, los importes estipulados. Por ello, su equivalente financiero actual de 25.770,97 € estima el valor presente de dicho activo. Se observa que el valor actual calculado se sitúa un periodo antes al momento del primer pago. Él método descrito calcula el valor de un activo y se basa en los siguientes axiomas: 1. Un activo es una propiedad que se espera que genere rentas en el futuro. Puede ser de naturaleza material (una fábrica o un inmueble), inmaterial (los derechos de autor sobre un libro o una patente industrial) o financiera (una acción o un préstamo). 2. No se debe pagar más por la compra de un activo que el dinero que se espere obtener de él. Tampoco la contraparte debería venderlo por menos de lo que espere obtener. 3. Dicho dinero se concreta en la percepción de rentas futuras. Como dichas rentas se recibirán, normalmente, en periodos diferentes, para sumarlas será preciso calcular sus equivalentes financieros respectivos al momento de la valoración. 4. El resultado de dicha suma expresa el valor actual de todas las rentas futuras, es decir, el dinero que se espera recibir por ser el propietario del activo.

El valor de una propiedad depende del dinero que se espere obtener de ella y del riesgo que se soporte.

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5. En consecuencia, el valor de un activo se halla por el valor actual de todas sus rentas futuras. Por ejemplo, el propietario de una concesión que explota un “bar de copas” espera recibir una renta anual neta (los ingresos menos los pagos) de 10.000 € durante los tres próximos años, plazo en el que termina la concesión. Si la tasa de descuento es del 8,0%, el valor actual de la concesión será de 25.770,97 €, que coincide con el valor actual de la deuda del ejemplo anterior por ser iguales, casualmente, las rentas y la tasa de descuento.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones El mismo valor actual tendría un título financiero emitido por una empresa que prometiese pagar 10.000 € al final de cada uno de los tres próximos años, si el tipo de mercado para este riesgo fuese del 8,0%. Para estos cálculos, como se observa, la representación financiera del activo se limita a la distribución temporal de sus rentas y a la tasa de descuento. De manera análoga, el cuadro 8 muestra la valoración de la acción de una empresa de la que se espera recibir los dividendos que se indican, al final de cada año, y que se prevé vender por 23 € al término de tres años, con una tasa de descuento del 10,0%.

CUADRO 8 EL VALOR DE UNA ACCIÓN Año

Dividendos Venta de la acción Renta total

Factor de descuento

Valor actual

1

1,5

1,5

0,9091

1,3636

2

2,0

2,0

0,8264

1,6529

3

2,5

25,5

0,7513

19,1585

23

Valor actual al 10%

22,175

Calculemos ahora el valor actual de un bono del Estado, con un nominal de 1.000 €, emitido por el Tesoro español hace 2 años a un tipo de interés del 3,0% (cupón anual de 30 €) y al que le resta una vida de otros tres años. Si en la actualidad, el tipo de interés sin riesgo de mercado, para vencimientos a tres años, es del 4,5%, el valor de dicho bono sería de 958,77 €, calculado por: VA =

30 30 1.030 + + 2 ( 1 + 0, 045) ( 1 + 0, 045) ( 1 + 0, 045)3

Para estimar el valor actual se aplica el tipo de interés de mercado vigente para el plazo y el riesgo del movimiento de fondos futuro. Este interés no tiene que coincidir, lógicamente, con el tipo de interés al que se emitió el activo en el mercado primario. En el momento de la emisión, el tipo de interés de mercado debió ser del 3,0%, pues si el emisor lo hubiese fijado por encima soportaría un extra coste y si lo hubiese establecido por debajo, probablemente, no hubiese habido inversores interesados en adquirir los bonos, pues existirían otras opciones más atractivas en el mercado, para el mismo plazo y con un riesgo similar. En general, el valor actual de un movimiento de fondos de n rentas se calcula por: VA =

El interés relevante para actualizar un importe es el vigente en el mercado para la entidad del riesgo.

r1 r2 rn + +...+ 2 (1 +k ) (1 +k ) (1 +k )n

Es habitual designar la tasa de descuento por k, que equivale al tipo de interés del periodo ip utilizado hasta ahora. Esta fórmula se representa de forma abreviada por: n

VA = ∑ j=1

rj (1 +k )j

(11)

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Donde ∑ (sumatorio) es el símbolo que representa la suma de una serie de términos, en este caso desde 1 a n, y k es la tasa de descuento en tanto por uno. Por su parte, 1/(1+k)j es el ya denominado factor de descuento a un tipo de interés k y aplicable a una renta que se espera recibir al final del periodo j. La fórmula anterior es válida para cualquier periodo de liquidación, siempre y cuando se utilice como tasa de descuento el tipo de interés proporcional al periodo de que se trate. Por ejemplo, el valor actual de 100 € que se recibirán dentro de 4 años con un tipo de interés del 8,0% capitalizado semestralmente, es de 73,07 €, calculado por: VA =

100 0,08 8 ) (1 + 2

Cuando el número de pagos iguales es elevado, es muy sencillo realizar el cálculo mediante la función VA de Excel que precisa los siguientes argumentos: = VA (tasa; nº de periodos; pago; valor final; tipo) El valor final recoge el valor residual al término de la operación y simultáneo con la última renta si ésta es postpagable. El tipo indica si es postpagable (0) o prepagable (1). Los pagos y el valor final han de expresarse en negativo. Se precisa, por ejemplo, calcular el precio al contado de un ordenador sabiendo que su compra financiada a un TIN del 8,0% exige abonar 24 mensualidades prepagables de 100 € cada una y un pago al final del último mes de 200 €. Aplicando la función VA se obtiene el precio al contado de 2.396,31€ por la expresión:15 = VA (0,08/12;24;-100;-200;1)

La función =VNA calcula el valor actual en el periodo anterior al primer flujo monetario.

Para calcular el valor actual de un movimiento de fondos con flujos desiguales se utiliza, también, la función =VNA(tasa;rango). Por ejemplo, el valor actual de 15,48 €, con una tasa del 9,0%, de los flujos del cuadro 9, que se producirán al final de cada uno de los próximos cinco periodos, se halla por:16 =VNA(0,09/12;C2:C6)

15 Este importe se sitúa en el momento en el que se realiza el primer pago. Si la operación fuese postpagable, el valor actual se situaría un periodo antes al del primer pago. 16 El valor actual se sitúa un periodo antes al del pago inicial. Para referirlo al mismo momento del pago hay que capitalizar el importe obtenido con (1+0,045) o sacar del rango el primer pago y sumarlo al valor actual del resto.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones CUADRO 9 VALOR ACTUAL DE UN MOVIMIENTO DE FONDOS

8. Las rentas financieras Una renta es una sucesión de cobros o pagos periódicos, como, por ejemplo, los intereses de una inversión o el alquiler de un inmueble. Para la exposición que sigue, nos interesa recordar las siguientes características de las rentas: ◆ Según se abonen al principio o al final de cada periodo, son prepagables o

postpagables, respectivamente. ◆ Por su duración, pueden ser limitadas (un número determinado de perio-

Las denominadas rentas financieras son casos determinados de movimientos de fondos.

dos) o perpetuas (el número de periodos es infinito). ◆ Por la relación entre sus importes, las rentas pueden ser constantes o

variables. El análisis que sigue de los cuatro siguientes tipos de rentas ayuda a comprender, formular y resolver con sencillez determinadas operaciones financieras.

8.1. Renta perpetua constante Se compone de una sucesión ilimitada de importes constantes y liquidables periódicamente. Es el caso de la denominada deuda perpetua, que corresponde, por ejemplo, a títulos emitidos por el Tesoro Público o por entidades y empresas, que pagan un cupón periódico y constante (r), sin que nunca llegue a amortizarse el principal. Otro tipo asimilable a una renta perpetua son las acciones preferentes, que abonan un dividendo constante. Según la fórmula (11), el valor actual de todos los flujos de una renta perpetua postpagable, actualizados a una tasa k, se obtiene por: ∞

r j j=1 (1 +k )

VA = ∑

En el anexo se demuestra que esta expresión se simplifica por el cociente entre la renta del periodo y la tasa de descuento, es decir: VA =

r k

(12)

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Si la renta es prepagable, se abona al principio del periodo, su valor VApr en este momento se obtiene actualizando un periodo el valor de la renta postpagable, es decir: VA pr = (1 +k )×

r k

Supongamos que se emite deuda perpetua, en el mercado primario, con un nominal por título de 100 €, a un tipo de interés del 5,0% –este tipo debe ser el vigente en el mercado para esa clase de emisión– y con liquidación postpagable del cupón de 5 €. De acuerdo con la fórmula (12), si el precio de venta o de emisión del título coincide con su valor nominal –es el importe sobre el que se calculan los intereses–, se cumple que: 100 =

5 0,05

Si transcurridos dos años, por ejemplo, el tipo de interés de mercado de la renta perpetua con un riesgo similar se ha incrementado hasta el 6,0%, el valor de un título de dicha emisión se habrá reducido, en el mercado secundario, a 83,33 € (5/0,06). La tasa de descuento que debe utilizarse para hallar el valor es la que ofrece el mercado en cada momento, pues es la que representa el coste de oportunidad para el inversor y, por tanto, la que establece el valor temporal del dinero. El valor actual varía a la inversa de cómo lo haga la tasa de descuento: una subida del tipo de mercado reduce el valor del título. Esta reducción es razonable, pues si el propietario del título desease venderlo al cabo de esos dos años, el comprador exigirá un rendimiento igual al que puede obtener en otras inversiones alternativas, es decir, el 6,0%. El valor de un activo se comporta a la inversa del tipo de interés.

Como el cupón de 5 € es constante por las condiciones de la emisión, para que el comprador obtenga ese 6,0% el precio que debe pagar es el indicado (83,33). Si se recibe un cupón anual de 5 € y se adquiere el título por 83,33 €, la rentabilidad de la inversión es, efectivamente, del 6,0%, igualando las condiciones del mercado. El comprador no estaría dispuesto a pagar el nominal del título, pues la rentabilidad que obtendría del 5,0% sería inferior a su coste de oportunidad. Este mecanismo de ajuste del valor muestra que el precio de un activo evoluciona a la inversa de la tasa de descuento que se utilice para actualizar sus rentas. Obsérvese, además, que la diferencia (16,67) entre el precio inicial (100) y el final (83,33) es igual al valor actual de una renta perpetua, cuyo importe es el menor interés por periodo que obtiene su propietario original (1 €) por haber invertido 100 € al 5,0% en vez del 6,0% vigente, actualizada al nuevo tipo de interés de mercado (6,0%), es decir: 16,67 =

100×(0,06− 0,05) 0,06

La caída del precio equivale a la pérdida de oportunidad derivada del menor rendimiento que se produce por el incremento del tipo de mercado, luego la

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones diferencia de valor debido a una variación de la tasa de descuento es igual al valor actual del movimiento de fondos de la diferencia de intereses.

8.2. Renta perpetua creciente Es una renta perpetua que crece a una tasa constante c, es decir, la renta de un periodo (rj) es igual a la anterior (rj-1) incrementada en dicha tasa, cumpliéndose: rj = rj–1 x (1 + c)

(13)

El valor actual de este tipo de rentas, cuando son postpagables y si la primera renta esperada es r1, se obtiene, según el anexo, por: VA =

r1 k −c

(14)

Si queremos valorar las acciones de Telefónica, supongamos que:

El valor actual de una renta perpetua aumenta con la tasa de crecimiento.

◆ La empresa tendrá una duración ilimitada, ◆ El primer dividendo esperado por el mercado es de 1,0 €, según los obje-

tivos declarados por los administradores de la empresa, ◆ El dividendo crecerá a una tasa anual promedio del 5,0% y ◆ Sus accionistas exigen una tasa de rendimiento del 10,0%.

Como, bajo estas hipótesis, se trata de una perpetuidad creciente, el valor de la acción se estima en 20 €, calculado por17: Valor teórico=

1,0 0,1o – 0,05

8.3. Anualidad constante Es una renta constante que se produce durante un número limitado de años. Las anualidades son muy frecuentes en los productos e instrumentos financieros, como es el caso, por ejemplo, de una hipoteca, un préstamo o una operación de arrendamiento financiero: los pagos son constantes y periódicos durante el plazo de la operación. El valor actual del movimiento de fondos de una anualidad postpagable de importe constante r, se obtiene mediante la diferencia entre dos rentas perpetuas, según muestra el anexo, y se calcula por: r 1 VA = ×(1 − ) k (1 +k )n

(15)

La cotización de Telefónica a la fecha de esta estimación (26.10.2008) era de 12,50 €. En este momento estaba en pleno auge el desplome bursátil provocado por la crisis del mercado financiero internacional. En enero de 2010 la cotización superó los 19,0 €. 17

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Por ejemplo, si durante 20 años se depositan en un fondo de inversión, al final de cada mes, 100 € con una rentabilidad esperada del 4,0%, el valor actual del capital acumulado al término de dicho plazo será de 16.502,19 €, calculado por: VA = Para aceptar una inversión la rentabilidad esperada debe superar a la exigida.

100 1 ×(1 − ) 0,04 0,04 240 ) (1 + 12 12

El importe al final de los 20 años será el capital anterior capitalizado a dicho horizonte, es decir, 36.677,46 €, obtenido por: VF = 16.502,19 ×(1 +

0,04 240 ) 12

Supongamos que se desea calcular el importe que puede solicitarse en una hipoteca con las siguientes condiciones: ◆ Plazo a diez años ◆ TIN fijo del 6,0% (equivale a un 0,5% mensual) ◆ Cuotas mensuales postpagables de 1.000 €.

El importe de la hipoteca, que asciende a 90.073,45 €, se calcula como el valor actual de 120 pagos y un tipo de interés mensual del 0,5%, según la fórmula: VA =

1.000 1 ×(1 − ) 0,06 0,06 120 ) (1 + 12 12

También puede calcularse con la función de Excel =VA(tasa;nº de periodos;pago;valor final;tipo), ya comentada, que aplicada a este ejercicio se formula por: =VA(0,005;120;-1000;0;0) El último argumento es el tipo según cuál sea el momento del pago; se pondrá un 0 si la renta es postpagable y un 1 si es prepagable. Si en el ejemplo anterior, las cuotas fuesen prepagables, el importe máximo de la hipoteca sería de 90.523,82 €, calculada por: =VF(0,005;120;-1000;0;1) Al mismo importe se llega capitalizando un periodo el valor actual de 90.073,45, es decir: (1 + 0,005) x 90.073,45 = 90.523,82 Si bien es habitual que las rentas de los alquileres sean prepagables, las rentas de los préstamos y operaciones similares son, en general, postpagables.

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8.4. Anualidad creciente Se trata de una renta que se producirá durante n periodos y que crecerá cada periodo a una tasa constante c. El valor actual de todas las rentas, cuando son postpagables, se obtiene, según demuestra el anexo, por la expresión: VA =

r1 (1 + c)n ×(1 − ) k −c (1 +k )n

(16)

Si en el último ejemplo de la hipoteca del epígrafe anterior, la cuota periódica crece a una tasa mensual del 0,2%, el valor actual de esta anualidad asciende a 100.482,43 €, calculado por: VA =

1.000 (1 + 0,002)120 ×(1 − ) 0,06 120 0,06 − 0,002 (1 + ) 12 12

El valor actual de una anualidad se reduce al aumentar la tasa de descuento.

Por ejemplo, una empresa que concede franquicias desea establecer las condiciones de pago de las mismas. El precio al contado de la concesión se eleva a 30.000 € pero desea ofrecer dos condiciones alternativas de pago, con un coste financiero del 8,0%. En la primera modalidad, se pagan diez cuotas anuales constantes; en la segunda, se paga durante el mismo plazo pero con cuotas crecientes a una tasa del 5,0% anual. En este ejemplo, en vez de tener que estimar el valor actual se precisa el importe de la primera renta, que a partir de la fórmula (16), se obtiene por: r1 =

VA ×(k − c)×(1 +k )n (1 +k )n −(1 + c)n

(17)

Los pagos anuales respectivos, supuestos postpagables, resultan ser: 10

◆ Anualidad constante: r = 30.000× 0,08×(1 + 0,08) = 4.470,88 € 10

(1 + 0,08) − 1

◆ Anualidad creciente: ◆ (1er pago)

r1 =

30.000×(0,08− 0,05)×(1 + 0,08)10 = 3.665,89 € (1 + 0,08)10 −(1 + 0,05)10

Estos resultados se confirman, lógicamente, si se calcula el valor actual de las diez rentas respectivas, con la fórmula de Excel =VNA (0,08;rango de rentas), según el Cuadro 10.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones CUADRO 10 COMPARACIÓN DE LA ANUALIDAD CONSTANTE CON LA CRECIENTE Año

Anualidad constante

Anualidad creciente al 5,0%

1

4.470,88

3.665,89

2

4.470,88

3.849,18

3

4.470,88

4.041,64

4

4.470,88

4.243,72

5

4.470,88

4.455,91

6

4.470,88

4.678,71

7

4.470,88

4.912,64

8

4.470,88

5.158,27

9

4.470,88

5.416,19

10

4.470,88

5.687,00

Valor actual al 8,0%

30.000,00 €

30.000,00 €

9. El valor y el rendimiento de un activo de renta fija

Un activo es toda propiedad de la que se espera obtener rentas.

Como se ha indicado, un activo financiero de renta fija es un título de deuda emitido en el mercado primario por una entidad, que ofrece a su comprador un rendimiento pactado sobre el desembolso inicial. El rendimiento puede ser fijo, determinado por un tipo de interés constante, o variable. En este último caso, se añade o deduce un diferencial a un tipo de interés de referencia, como es, por ejemplo, el euríbor. Al principio de cada periodo de retribución, conocido el tipo de referencia, se actualiza el tipo de interés aplicable durante el mismo. Por ejemplo, cuando la remuneración de la emisión es el euríbor menos medio punto, si al principio del periodo el euríbor fuese del 4,5%, el tipo aplicable a dicho periodo sería del 4,0%. Como el tipo de referencia varía con la evolución de los mercados, el tipo de interés aplicable a la operación financiera se debe actualizar en cada periodo de revisión de intereses. El título puede comprarse directamente al emisor en el mercado primario o adquirirse en el secundario al propietario del mismo. Es preciso recordar la diferencia entre el valor nominal del título, sobre el que se aplica el tipo nominal, es decir, el pactado, y su precio de mercado, que depende de la relación existente entre dicho tipo nominal y el del mercado en el momento de la valoración, y de la vida que le quede hasta su amortización. El rendimiento de un título mide la rentabilidad que obtendrá su propietario si lo mantiene hasta su vencimiento. Si el precio actual de mercado del título es VA, la renta del periodo es r, la tasa de descuento es k y la vida pendiente del título es de n periodos, se cumple, según lo ya expuesto, que el precio ha de ser igual al valor actual de las rentas esperadas, es decir: n

r j j=1 (1 +k )

VA = ∑

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Esta fórmula, que se puede expresar por la de una anualidad, supone que la tasa k es constante y permite calcular una variable cuando se conocen las otras tres. En general, la renta r y la duración n son conocidas por ser dos elementos contractuales de la emisión. Por eso, conocido el precio de mercado (VA) se puede estimar la tasa de descuento (k) y viceversa. En el caso de que la incógnita sea la tasa de descuento, su importe representa la exigida por el mercado y, por ello, estima el rendimiento del título al precio de mercado. Si los inversores exigieran un rendimiento mayor, debería caer el precio hasta que se alcanzase esa tasa exigida y viceversa. Supongamos que una obligación de valor nominal 100 € cotiza en la Bolsa a 96 € y paga un cupón anual sobre el valor nominal del 6,0%, distribuido en dos cuotas semestrales postpagables. Si restan 4 semestres hasta que se amortice su valor nominal, el rendimiento o tasa interna de rentabilidad (TIR) de la obligación se obtiene, según la fórmula anterior, por: 96 =

3 3 3 103 + + + 2 3 1 + TIR (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR)4

La TIR es la tasa de descuento implícita en un movimiento de fondos.

Afortunadamente, Excel brinda la función =TIR(rango de datos;estimar) para calcular la TIR. El argumento estimar de la función se refiere a una tasa que da el analista para ayudar en el proceso iterativo que aplica el ordenador, aunque la función también es, en general, válida si se omite dicho argumento. Cuando, por ejemplo, los flujos anteriores se hallan en las celdas desde C2 a C6, según el Cuadro 11, la solución se obtiene por: =TIR(C2 : C6;0,1) = 0,04105

CUADRO 11 CÁLCULO DE LA TIR

Resuelta esta ecuación se obtiene una TIR semestral (interés del periodo) del 4,10%, que, al anualizarse, arroja un rendimiento anual del título (interés anualizado) del 8,20%, con una TAE del 8,378%.18 Si los inversores considerasen, por ejemplo, este rendimiento muy atractivo –lo que indicaría que supera lo exigido por el mercado–, aumentaría la demanda del título, con lo cual se incrementaría su precio y, en consecuencia, bajaría el rendimiento. Si, dado el riesgo del emisor, la TIR anual exigida por el mercado fuese del 7,0%, el precio aumentaría hasta 98,16 €, calculado por la función de Excel ya presentada: =VA(0,035;4;-3;-100;0) 18

La TAE se obtiene por: TAE = (1 + 0,04105)2 – 1.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones La función =TIR es la que se debe utilizar cuando las rentas son diferentes, pero en el caso de que el número de rentas sea elevado y todas sean constantes menos la última, lo que sucede, por ejemplo, en una operación de leasing de cuota constante, es más sencillo utilizar la función =TASA que calcula el tipo de interés implícito de un capital inicial, una anualidad y un capital final, por: =TASA (nºperiodos;pago;valor actual;valor final;tipo;estimar) En el ejemplo anterior esta función ofrece la misma TIR del 4,10%, para un precio de 96 € y con los siguientes argumentos: =TASA (4;-3;96;-100;0;0,05) La comparación del valor teórico de un activo con su precio de mercado permite decidir su compra o su venta.

Supongamos que una empresa emitió, hace justo tres años, obligaciones con un valor nominal por título de 100 €, a un tipo de interés constante del 5,0% y con pago de cupones semestrales y postpagables. Hoy quedan veinte cupones pendientes de cobrar. Junto al último pago se amortizará también la emisión a la par 19. ¿Cuál es el precio teórico actual de una obligación si el tipo de interés de mercado para activos de riesgo similar es ahora del 6,0%? El valor actual de los pagos pendientes, que estima el precio teórico del título, se obtiene a partir de la fórmula: 20

2,5 100 + j (1 + 0,03)20 (1 + 0,03) j=1

VA = ∑

El precio teórico asciende a 92,56 € y se calcula, también, por la función: =VA(0,03;20;-2,5;-100;0) Obsérvese, de nuevo, cómo al haberse incrementado el tipo de interés de mercado, el valor teórico de la obligación es inferior al valor de emisión. De este ejemplo se deduce que: ◆ La estimación del valor teórico de un activo permite evaluar el interés de

comprarlo o venderlo mediante su contraste con su precio de mercado. ◆ Cuando el activo tiene liquidez, por intercambiarse en un mercado, su

precio tiende a ajustarse con su valor teórico, pues cualquier discrepancia será aprovechada y corregida por el arbitraje.

10. Algunas operaciones financieras A partir de lo expuesto, vamos a revisar cuatro operaciones financieras habituales, referidas al descuento comercial, a un préstamo, a un leasing y a un renting.

19

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A la par significa al valor nominal del título.

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10.1. Descuento de una letra de cambio En esta operación el Banco anticipa financiación a la empresa mediante la entrega del importe de la deuda de un cliente antes de su vencimiento. Del nominal de la letra el Banco deduce los intereses, las comisiones y los gastos, por lo que el coste efectivo del descuento supera a su interés nominal20. El riesgo de la deuda lo sigue manteniendo la empresa, por lo que llegado el vencimiento de la letra, si resulta impagada, el Banco deducirá de la cuenta de su cliente el importe nominal del efecto. Para asegurarse el cobro de los posibles impagados, el banco puede solicitar un saldo de compensación a la empresa, es decir, el mantenimiento de un saldo en cuenta del que cobrar dichos impagados. Sea el caso de una empresa que desea disponer anticipadamente de la deuda de un cliente formalizada en una letra de cambio por importe nominal de 6.000 euros que vence dentro de 102 días. Para ello, solicita a su Banco que la descuente al TIN negociado del 7,0%.

Los gastos del descuento comercial son prepagables.

El tipo de interés del periodo de los 102 días es del 1,983% (0,07x102/360) y los intereses de la operación ascienden a 119,00€ (0,01983x6.000). Obsérvese que se ha utilizado como divisor 360 días en lugar de 365 días, por ser la práctica habitual y que todavía perdura, sorprendentemente, en las operaciones bancarias. Aunque este divisor es negociable entre el Banco y su cliente, lo normal es que la entidad financiera aplique el divisor que más le conviene en cada caso. En esta operación, por ser equivalente a un préstamo, se considera que el año tiene 360 días. Pero si se trata de retribuir una inversión a un cliente, el Banco utilizará 365 días, pues de este modo abonará menos intereses. Los intereses del descuento se deducen del nominal, por lo que la empresa recibirá, en principio, 5.881 €.

El divisor es negociable.

En estas operaciones de descuento, como en otras similares, es normal que se cobre también una comisión por anticipado. Si suponemos que en este caso asciende al 0,25% del nominal, equivalente a 15 € que se añadirán a los intereses, se obtiene la liquidación siguiente21: ◆ Gastos del descuento

=

134€ (119 + 15)

◆ Efectivo abonado al cliente = 5.866€ (6.000 – 134)

Ahora, el coste de la operación superará, lógicamente, el interés del 7,0% por la repercusión de la comisión y el cobro prepagable de los intereses, dando lugar a lo que se ha denominado como coste efectivo. Ello permite disponer de un tipo de interés efectivo que pueda compararse con el de otras fuentes de financiación, como por ejemplo, un préstamo. Para obtener esta tasa efectiva basta reconocer que la operación de descuento del ejemplo se asocia a pedir un préstamo por un importe de 5.866 € (el importe que se recibe realmente del Banco) y hacer frente a un gasto de 134 €,

20

El cobro de los intereses por anticipado se denomina al tirón. Es habitual que exista una comisión de descuento mínima, aplicable a efectos de nominal reducido. Igualmente, se aplica un número de días mínimo para la liquidación de los intereses: si el vencimiento tiene un plazo menor, se aplica dicho mínimo. 21

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones según muestra el Cuadro 12. Por ello, el tipo de interés efectivo (ie) del periodo de 102 días, es del 2,284%, calculado por: ie =

134 5.866

CUADRO 12 EL PRÉSTAMO IMPLÍCITO EN EL DESCUENTO DE UNA LETRA Importes en euros

Hoy

Dentro de 102 días

Flujo de la operación financiera (préstamo)

5.866

–6.000

Flujo total

5.866

0

Flujo de la letra de cambio

6.000

Para comparar el tipo efectivo con otras alternativas de financiación –como retrasar el pago a los proveedores, anticipar el cobro a los clientes o pedir un préstamo–, es preciso calcular su equivalente en periodo de liquidación anual, es decir, su TAE que resulta ser del 8,418%. Para hallarla hay que obtener el número m de periodos de 102 días incluidos en un año (365/102) y aplicar la fórmula (9) ya conocida, es decir:22 365

TAE = (1 + 0,02284)102 − 1

10.2. Coste efectivo de un préstamo El coste efectivo incluye todos los conceptos de ingresos y pagos y se expresa por su TAE.

Supondremos que la cuota de cada periodo es constante, incluye los intereses devengados durante el mismo y una parte de amortización del principal. Por ello, al irse reduciendo el principal, disminuye la proporción de los intereses y aumenta la correspondiente a la amortización, según avanzan las cuotas. Sea un préstamo de consumo de 30.000 €, con un TIN del 8,0% y que se debe amortizar en dos años con cuotas semestrales constantes y postpagables. El número de periodos de la operación es de cuatro y el tipo de interés del periodo es del 4,0%. En consecuencia, de la fórmula (17) se obtiene que cada cuota debe ser de 8.264,70 €, calculada por: r=

30.000× 0,04×(1 + 0,04)4 (1 + 0,04)4 − 1

Este importe se obtiene también, de forma más sencilla, mediante la función Excel = PAGO, que se formula de la siguiente manera: = PAGO(tasa;nº de periodos;valor actual;valor final;tipo) Para el ejemplo anterior se concreta en los siguientes términos23: = PAGO(0,04;4;30000;0;0) 22 23

40

Ya se indicó que en Excel se estima por la función =INT.EFECTIVO(0,02284x365/102;365/102). Al tratarse de un pago, el resultado es negativo, es decir, –8.264,70.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones El Cuadro 13 recoge el calendario de la amortización del préstamo, en cuya confección se deben seguir los siguientes criterios: ◆ Los intereses de cada periodo se obtienen como producto de la deuda

pendiente al final del periodo anterior por el tipo de interés del periodo. ◆ La parte de la cuota que corresponde a la amortización se halla por la dife-

rencia entre la cuota y los intereses. ◆ El capital amortizado acumula los pagos de principal de cada periodo. ◆ La deuda pendiente se actualiza con la amortización de cada periodo.

CUADRO 13 CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO La cuota del préstamo incluye la amortización y los intereses.

El coste efectivo de este préstamo se calcula a partir de su movimiento de fondos, compuesto de un ingreso de 30.000 € y cuatro pagos de 8.264,70 €, es decir, mediante la fórmula: 30.000,00 =

8.264,70 8.264,70 8.264,70 8.264,70 + + + (1 + ie ) (1 + ie )2 (1 + ie )3 (1 + ie )4

Para calcular el coste de esta operación se pueden utilizar las funciones =TIR o =TASA de Excel ya comentadas24. Con ambas se obtiene, lógicamente, un coste del 4,0% para un periodo semestral, que equivale a un TIN del 8,0%, dado que no existen otros gastos además del interés postpagable. Pero, como se adelantó, los préstamos soportan, en general, unos gastos adicionales, como son la comisión de apertura y los eventuales honorarios de formalización de la operación por un fedatario público. Si se supone que estos gastos ascienden al 0,6% del principal y se abonan en el momento de la contratación, el ingreso inicial se reduce a 29.820 € mientras que no varía el importe de las cuotas. Por ello, el coste efectivo semestral es del 4,256%, calculado a partir de: 29.820,00 =

8.264,70 8.264,70 8.264,70 8.264,70 + + + (1 + ie ) (1 + ie )2 (1 + ie )3 (1 + ie )4

Para el cálculo del coste efectivo se halla la TIR a partir del movimiento de fondos de la operación, incluyendo todos los cobros y pagos asociados derivados de la misma. La TAE del préstamo anterior, la variable financiera relevante para elegir entre fuentes de financiación alternativas, resulta ser del 8,693%, obtenida por: TAE = (1 + 0,04256)2 – 1 24

Las formulaciones respectivas son = TIR(rango de datos; 0,10) y =TASA(4;-8.264,70; 30000;0;0;0,10).

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10.3. El leasing Esta operación permite arrendar un bien durante un plazo determinado, mediante el pago de unas cuotas periódicas, en general constantes25. Al final del leasing, el arrendador puede adquirir la propiedad del bien, para lo que deberá abonar un valor residual, cuyo importe suele coincidir con el de una cuota. Si no se realiza la compra, se devolverá el bien o se renovará la operación. El leasing o arrendamiento financiero incluye una opción de compra.

En general, las cuotas del leasing, como sucede en los arrendamientos, se pagan al principio de cada periodo. La fórmula que se debe aplicar, por tratarse de una anualidad constante, se deduce a partir de la (15)26. Hay que considerar que se trata de una operación prepagable y que existe un último pago, un periodo después de la última cuota, correspondiente al valor residual (VR) del bien. Por ello, la fórmula genérica que da el valor actual de las cuotas constantes de un leasing de n periodos y de su valor residual resulta: r  1 VR VA =  × (1 − ) × ( 1 + k ) + n k ( 1 + k )  ( 1 + k )n Si se considera, como es habitual, que el valor residual coincide con la cuota periódica, resulta: r  1 VA =  × ( 1 − )  ×(1 +k ) k ( 1 + k )n+1  Si se despeja r de esta fórmula se deduce la fórmula que calcula el importe de la cuota. r=

VA ×k ×(1 +k )n (1 +k )n+1 − 1

(18)

Supongamos que se arrienda un vehículo mediante un leasing en las siguientes condiciones: ◆ El precio al contado (VA) es de 30.000 €, ◆ Se abonarán 36 (n) cuotas mensuales prepagables, ◆ El valor residual (VR) es igual a la cuota (r) y ◆ El TIN de la operación es del 9,0%, equivalente a un 0,75% mensual.

Con estos datos, la cuota a pagar se calcula por: r=

25

30.000× 0,0075×(1 + 0,0075)36 = 924,59 € (1 + 0,0075)37 − 1

Cuando el tipo de interés de la operación es variable, las cuotas se recalculan con cada actualización del tipo. 26 Si las cuotas fuesen crecientes, habría que partir de la fórmula (16).

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones La función =PAGO de la hoja de cálculo permite resolver el problema, rápidamente, en los siguientes términos: =PAGO(0,0075;37;30000;0;1) = –924,59€ Si el valor residual fuese, por ejemplo, de 3.000 € en lugar de 924,59 €, la nueva cuota a pagar sería de 874,53€, calculada por: =PAGO(0,0075;36;30000;-3000;1) = –874,53€ Al importe de la cuota habrá que añadirle el IVA para hallar el pago mensual.

10.4. El renting Esta operación es similar a un leasing pero con las siguientes diferencias: ◆ No admite, salvo negociación expresa al término del contrato, la compra

del bien. ◆ La cuota periódica a pagar incluye, además del alquiler, una serie de gas-

tos de uso del bien, correspondientes a los gastos de servicios necesarios como el seguro, el mantenimiento y los impuestos. La cuota a pagar se compone de la parte financiera más los gastos del periodo. Al igual que en otros alquileres, el abono es prepagable.

11. Conclusiones Quizá sea la matemática financiera la técnica más importante y utilizada en el día a día, por el área de finanzas de la empresa. Por matemática financiera se entiende, según lo expuesto, los criterios, modelos y métodos de cálculo que se aplican al movimiento de fondos de una operación financiera, es decir, a la serie de importes de que se compone dicha operación, con el objetivo de tomar decisiones basadas en el valor actual de dicho movimiento o en el tipo de interés implícito en el mismo. La razón de ser de la matemática financiera nace de que el valor para el decisor de un importe depende de la distancia que lo separe del momento al que se refiera la decisión. La toma de decisiones financieras requiere considerar la rentabilidad exigida por los inversores (prestamistas y accionistas), representada por la tasa de descuento o de actualización, y esto es lo que permite la matemática financiera: vincular las decisiones con las exigencias del mercado. Las principales conclusiones de lo expuesto son: • Para el análisis de las operaciones financieras lo relevante son los importes monetarios, su distribución temporal y su riesgo –su movimiento de fondos expresado en unidades monetarias–. • El movimiento de fondos se compone de una serie de flujos que resumen financieramente la operación. Los flujos representan la distribución de los

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones importes en el tiempo e incorporan un riesgo asociado y específico, es decir, la posibilidad de que sean peores que los previstos. • El valor actual de un importe depende de la distancia temporal al origen del cálculo y de la tasa de descuento. • El valor de un activo –un activo es una propiedad que genera rentas– viene dado por el valor actual de su movimiento de fondos futuros. Los parámetros relevantes para estimar este valor actual son los futuros. La tasa de descuento aplicable es la rentabilidad que se exige a las nuevas inversiones y se compone del tipo de interés real para el próximo periodo, de la inflación esperada y del riesgo asociado a los flujos previstos. En el cálculo financiero también es muy importante no hacer nada que no se entienda.

• Para actualizar un importe se utiliza el divisor (1+k)t, donde t es la distancia temporal al origen medida por el número de periodos, y k es la tasa de descuento correspondiente a un periodo. Para calcular el valor actual de una renta perpetua constante se divide la renta entre la tasa de descuento k. Son dos cálculos que no pueden confundirse. • El valor de un activo fluctúa a la inversa de cómo lo haga la tasa de descuento. • No debe confundirse el valor actual de las rentas futuras que se espera que genere un activo con el valor actual neto de adquirirlo: este último es la diferencia entre el valor actual y el desembolso exigido por la compra. • No es necesario saber todas las fórmulas de la matemática financiera, muchas de ellas, con frecuencia, complejas. Basta con comprender las básicas, presentadas anteriormente, y realizar los cálculos mediante modelos informáticos o las funciones de Excel. Sin embargo, las fórmulas aquí expuestas son útiles para comprender las leyes del cálculo financiero y para contrastar los resultados obtenidos a partir de la hoja de cálculo. Pero lo importante, como siempre, empieza por plantear correctamente el problema que se debe resolver. Si así se hace, no se requiere memorizar las fórmulas para hacerlo, sino que basta con utilizar las herramientas de cálculo disponibles.

Anexo Fórmula de una renta perpetua creciente Si la renta generada por un activo crece perpetuamente a una tasa constante c, la suma del valor actual de todas las rentas –esta suma equivale al valor estimado del activo (VA)– se obtiene por: VA =

r1 r ×(1 + c) r 1 ×(1 + c)2 r 1 ×(1 + c)n + 1 + +...+ +... (1 +k ) (1 +k )2 (1 +k )n+1 (1 +k )3

Al multiplicar por (1+k) ambos términos de la ecuación, resulta: VA ×(1 +k )= r 1 +

44

r 1 ×(1 + c) r 1 ×(1 + c)2 r 1 ×(1 + c)n + +...+ +... (1 +k ) (1 +k )2 (1 +k )n

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Esta expresión es igual a: VA x (1 + k) = r1 + VA x (1 + c) De donde se concluye que: VA =

r1 k −c

Cuando la tasa de crecimiento es nula, se obtiene que el valor actual de una renta perpetua constante r es igual a: V=

r k

Fórmula de una anualidad creciente El valor de una anualidad de n periodos, con una tasa de crecimiento de la renta c, se obtiene al restar las dos siguiente rentas perpetuas. VA 1 =

r1 k −c

VA 2 =

r 1 ×(1 + c)n (k − c)×(1 +k )n

La segunda ecuación representa el valor actual (por eso se divide por (1+k)n) de una renta perpetua creciente que empieza en el año n+1, cuya primera renta es r1 x (1+c)n y cuyo valor actual al principio del periodo n+1 es: VA2′ =

r 1 ×(1 + c)n (k − c)

Si se simplifica dicha resta, resulta: VA =

r1 (1 + c)n ×(1 − ) k −c (1 +k )n

Para hallar el valor de una anualidad constante basta considerar que la tasa de crecimiento es cero, por lo que todas las rentas son iguales a r, es decir: r 1 VA = ×(1 − ) k (1 +k )n

Fórmula de una renta perpetua creciente cuando la periodicidad de la renta difiere de la de su incremento Con frecuencia la renta es, por ejemplo, mensual, pero se revisa anualmente. En estos casos, el valor actual de la renta perpetua se obtiene por: VA =

r1 TAE × TAE − c ip

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Esta fórmula se deduce a partir de la suma de varias rentas perpetuas crecientes; tantas como rentas hay en el periodo de actualización de las mismas. Supongamos que se desea calcular el valor actual de una renta perpetua creciente con pago trimestral y revisión anual, con las siguientes características: ◆ TIN de la operación:

10% (equivalente a la tasa de descuento) 5 € (se incrementa al principio de cada año)

◆ Primera renta esperada r1:

◆ Tasa de crecimiento de la renta c: 5% anual

El tipo de interés del periodo trimestral (ip) es del 2,5% y su TAE del 10,3813%, calculada por: TAE = (1 + 0,025)4 – 1 = 0,103813 En consecuencia, el valor actual de la renta es de 385,83 €, obtenido por: VA =

5 0,103813 × 0,103813 − 0,05 0,025

Ejercicios resueltos 1. Calcular el capital final que se obtiene al invertir durante cinco años 100.000€ al 5%, según se haga a interés simple o compuesto. Considerar que los intereses se liquidan anualmente. Capital final a interés simple: 100.000 x (1 + 5 x 0,05) = 125.000,00 € Capital final a interés compuesto: 100.000 x (1 + 0,05)5 = 127.628,16 € Estos dos capitales no son comparables, pues el correspondiente al sistema de interés simple no incluye la utilidad derivada de haber retirado los intereses intermedios a razón de 5.000 € cada año, que han podido ser reinvertidos en otra inversión o haberse consumido. 2. Un cliente que paga sus facturas a 60 días solicita un aplazamiento de 30 días para una factura de 70.000 €. Calcular el importe que deberá pagar el cliente al nuevo vencimiento de la factura, si se le aplica un recargo financiero a un tipo de interés anual del 7%. 70.000 x (1 + 0,07 x 30/365) = 70.402,74 € 3. Hallar el tipo de interés compuesto preciso para que una inversión de 10.000 € dé lugar a 14.000 € al cabo de 5 años, con periodo de capitalización anual. 14.000 = 10.000 x (1 + i)5 1

14.000 5 i =( ) −1 10.000

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i = 6,961%

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones 4. Decidir si interesa una inversión de 10.000 € que generará una renta de 5.500 € al final de cada uno de los dos próximos años, si la rentabilidad exigida por el inversor es del 9,0%. VA =

5.500 5.500 + = 9.675,11 € (1 + 0,09) (1 + 0,09)2

No interesa porque el valor actual de las rentas es inferior al desembolso de la inversión, lo que da lugar a un valor actual neto negativo de –324,89 €. Se concluye lo mismo si se compara la TIR (6,6%) con la rentabilidad exigida (9,0%). 5. Calcular el importe a abonar para cancelar anticipadamente una deuda de 100.000 € que vence dentro de dos años, cuando el tipo de interés relevante es del 10%. 100.000/(1 + 0,10)2 = 82.644,63 € Al cobrar este importe el acreedor lo puede reinvertir al 10% durante dos años para obtener los 100.000 € que tenía previsto recibir en esa fecha. 6. Estimar el valor actual de una obligación que pagará un cupón semestral de 10 € durante los dos próximos años y que, junto al último cupón pagará el nominal por importe de 500 €, si la tasa de descuento de mercado para el riesgo de este título es del 4,4%. VA =

10 10 10 510 + + + = 496,21 2 3 (1 + 0,022) (1 + 0,022) (1 + 0,022) (1 + 0,022)4

17. La empresa Nívea prevé pagar un dividendo por acción de 0,6 € dentro de un año e incrementarlo anualmente en un 5,0%. Si la rentabilidad exigida por sus accionistas es del 12%, estimar el valor teórico de la acción. VA =

0,6 = 8,57 € 012− 0,05

18. Si el tipo de interés es postpagable del 4,378%, con periodo de capitalización compuesta anual, calcular el número de años necesarios para que invirtiendo 10.000 € se obtengan 14.000 € de capital final. Para resolver el problema se puede usar la función de Excel =NPER(tasa;pago;valor inicial;valor final;tipo) En este caso se formula como: =NPER(0,04378;0;10000;-14000;0) El resultado es 7,85 años. También se puede resolver por la expresión: 14.000 = 10.000 x (1 + 0,04378)n

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Sacando logaritmos y despejando n = (log(14.000) – log(10.000) )
log (1 + 0,04378) De donde n resulta igual a 7,85 años. 19. Calcular la TAE del descuento de un efecto comercial con un nominal de 10.000 €, que vence dentro de 60 días, si el tipo TIN es del 7% y la comisión del 1%. Líquido abonado por el banco: 10.000 x (1 – 0,07 x 60/360 – 0,01) = 9.783,33 € Interés del periodo = (10.000 – 9.783,33)/9.783,33 = 0,02215 TAE = (1+0,02215)365/60 – 1 = 0,1425 Debido al efecto prepagable y a la incidencia de la comisión, el coste efectivo se incrementa en 7,25 puntos respecto al TIN de la operación. 10. Calcular en cuánto se incrementa el valor de una renta perpetua constante con una tasa de descuento del 10%, si se hace creciente a una tasa del 5%. Renta constante:

VA = 100/0,10 = 1.000

Renta creciente:

VA = 100/(0,10 – 0,05) = 2.000

El incremento es del 100%. La elevada sensibilidad del valor a la tasa de crecimiento debe ser tenida en cuenta en cualquier negociación que se refiera a una situación como la representada por este ejemplo. 11.

Calcular los intereses a pagar de un préstamo a 90 días con una TIN (postpagable) del 7% y un importe de 20.000 €. 350

Se aplica el divisor de 360 días por ser intereses a pagar al banco

12. Calcular el importe a pagar a su vencimiento en el préstamo anterior (principal más intereses). 20.350 13. Hallar el flujo de fondos de una inversión anual a interés simple de 45.000 € con una TIN del 4% liquidable trimestralmente. Trim 0

Trim 1

Trim 2

Trim 3

Trim 4

–45.000

450

450

450

45.450

Comprobación: la TIR (tipo de interés del periodo) debe ser del 1% TIR(rango) = 1,00%. 14. Hallar el flujo de una inversión anual a interés compuesto de 45.000 € con una TIN del 4% liquidable trimestralmente. Trim 0

Trim 1

Trim 2

Trim 3

Trim 4

–45.000

0

0

0

46.827,18

Comprobación: TIR = 1,00%.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones 15. ¿Cuál de las dos inversiones anteriores es mejor? Son equivalentes pues ofrecen igual TIR. La comprobación es igual que la anterior, pues la TIR supone que los flujos intermedios de la operación a interés simple se reinvierten a la propia TIR. 16. Calcular el valor futuro de 1.300 € invertidos al 5,30% durante 4 años con una liquidación al año. Fórmula capitalización

1.598,29

Con función de Excel = VF

–1.598,29

17. Calcular el valor futuro de 1.300 € invertidos al 5,30% durante 4 años con 12 liquidaciones postpagables al año. Fórmula capitalización

1.606,24

Con función de Excel = VF

–1.606,24

18. Calcular la TAE de las dos operaciones anteriores. Primera

5,30%

Comprobación con capitalización VF = 1.598,29

Segunda 5,43%

Comprobación con capitalización VF = 1.606,24

19. Un banco te da el 3,50% con liquidación trimestral. Otro el 3,45% con liquidación mensual. Elegir la mejor inversión. TAE primer banco

3,546%

Comprobación con función Excel 3,546%

TAE segundo banco 3,505%

Comprobación con función Excel 3,505%

La primera opción es la preferible 20. Calcular qué importe de una inversión genera un capital final de 10.000 € al cabo de 3 años y a un tipo TIN del 4% postpagable y liquidable trimestralmente. Con fórmula de actualización:

8.874,49

Comprobación: con función = VA()

8.874,49

21. Hallar el valor teórico de una acción cuyo próximo dividendo es de 1 €, con una rentabilidad exigida por el accionista del 10% y una tasa prevista de crecimiento del dividendo del 5%. Fórmula de renta perpetua creciente

20,00

22. Se financia la compra de una oficina con una hipoteca de 100.000 €. El TIN, liquidable anualmente, es del 7,50%. Calcular la cuota anual. La hipoteca es a 5 años y los pagos anuales postpagables son iguales. Con función = PAGO

24.716,47

Con fórmula de anualidad constante

24.716,47

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones 23. Se financia la compra de una oficina con una hipoteca postpagable de 100.000 €. El TIN, liquidable anualmente, es del 7,50%. Calcular la cuota anual. La hipoteca es a 5 años. La cuota crecerá anualmente al 3%. Con fórmula de anualidad creciente 23.3786,91 Comprobación con flujo de fondos

Primera cuota. El resto crece al 3%

23.376,91 24.078,22 24.800,56 25.544,58 26.310,92

= VNA 100.000

Se calcula el valor actual del movimiento de fondos de las cinco cuotas. 24. Calcular el coste efectivo de un préstamo con las siguientes condiciones: Importe

50.000 €

Comisión de apertura

0,50% prepagable

TIN

8%

Liquidación de intereses

4 veces al año

Plazo

2 años

Amortización

Todo el principal al vencimiento

Flujo de fondos

49.750 –1.000 –1.000 –1.000 –1.000 –1.000 –51.000

–1.000

–1.000

La TIR del periodo de liquidación (trimestral) es: 2,0685% El coste efectivo medido por la TAE es: 8,53% 25. Calcular el coste efectivo del préstamo anterior pero suponiendo que se amortiza en 8 cuotas trimestrales iguales (principal e intereses). Cuota trimestral con función = PAGO Flujo de fondos

49.750,0 –6.825,5

–6.825,5

–6.825,5 –6.825,5

–6.825,5 –6.825,5

–6.825,5 –6.825,5

TIR del periodo de liquidación (trimestral) en: 2,1164%

–6.825,5

TAE 8,74%

26. Calcular el valor teórico de una obligación con los siguientes datos: Nominal

1.000 €

Tipo de interés

8,99%

Pago del cupón

2 veces al año (semestral) postpagable

Vencimiento

6 años y a la par (valor nominal)

Tipo de mercado

9,70%

Con función + VA()

968,27

Comprobación con flujos Valor actual del flujo

50

44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 44,95 1.044,95

968,27

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones 27. Qué rentabilidad exige el banco a un préstamo postpagable con el siguiente flujo de fondos. –20.000 €

Importe Cuota trimestral

6.000 €

Cuota trimestral

6.000 €

Cuota trimestral

6.000 €

Cuota trimestral

6.000 €

TIR del flujo de fondos

+ TIR()

7,714%

Con función Excel

+ TASA()

7,714%

28. Qué rentabilidad exige el accionista a las acciones de una empresa si: Precio de mercado

14

Dividendo previsto

0,7

Tasa de crecimiento

5%

A partir de renta perpetua creciente

10,00%

29. El gobierno ha emitido un bono cupón cero por el que abonará 100 € dentro de 20 años. Calcular el precio de emisión si el tipo de interés de mercado es del 4%. Con actualización

45,639

Con función Excel

45,639

30. ¿Cuál será el precio del bono anterior dentro de 10 años?, ¿y de 20 años? Dentro de 10 años (capitalizando)

67,56

Dentro de 20 años (capitalizando)

100,00

31. Calcular el coste efectivo de una operación de leasing con los siguientes datos: Precio al contado

40.000

Comisión prepagable

0,50%

Nº de cuotas iguales prepagables

48

Valor residual (periodo 49)

10.000

Pagos mensuales

prepagables

TIN

8,00%

Cuota mensual + PAGO()

–793,763

Con fórmula anualidad (postpagable) y se actualiza la cuota a prepagable

799,054 793,763

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Principales funciones financieras de Excel =INT.EFECTIVO (interés nominal; número de periodos por año)27: estima la tasa anual equivalente (TAE) de un TIN (anual) con un periodo de liquidación determinado. El número de periodos de capitalización contenidos en un año debe ser entero. =PAGO (tasa; número de pagos; valor actual; valor final; tipo): calcula el importe del pago periódico y constante de una operación, conocidos los argumentos de la función. =PAGOINT (tasa; periodo; número de periodos; valor actual; valor final; tipo): calcula los intereses del periodo indicado (segundo argumento) cuando la cuota del préstamo, que incluye la amortización y los intereses, es constante. =PAGOPRIN (tasa; periodo; número de periodos; valor actual; valor final; tipo): calcula la amortización del capital del periodo indicado (segundo argumento) cuando la cuota del préstamo, que incluye la amortización y los intereses, es constante. =TASA (número de pagos; pago; valor actual; valor final; tipo; tasa para estimar): calcula el tipo de interés implícito en una operación en la que se difiere el pago del valor actual mediante una serie de pagos periódicos iguales y de un valor final. Se refiere al interés del periodo de liquidación de la operación. =TIR (rango de datos; tasa para estimar): calcula la tasa interna de rentabilidad implícita en un movimiento de fondos. =VA (tasa; número de pagos; pago; valor final; tipo): calcula el valor actual de un número de pagos periódicos iguales y de un valor final. =VF (tasa; número de pagos; pago; valor actual; tipo): devuelve el valor futuro de una serie de pagos periódicos y constantes. =VNA (tasa; rango de datos): calcula el valor actual neto de un movimiento de fondos. Al menos, el primer flujo del movimiento de fondos suele ser negativo. El significado de los argumentos es el siguiente: – Interés nominal: es el TIN de la operación. – Número de pagos: cantidad de pagos iguales y periódicos. – Periodo: en una operación de varios periodos indica el número de orden del periodo que se calcula. – Número de periodos en el año: número de veces que el año contiene al periodo de liquidación de la operación. – Pago: importe de cada pago periódico y constante. Se indicará con signo negativo. – Rango de datos: matriz de Excel, identificada por su celda inicial y final, separadas por dos puntos, que contiene el movimiento de fondos de la operación. 27

No se dejará espacio a continuación del nombre de la función ni del punto y coma que separa cada argumento. Aquí sí se han dejado estos espacios para facilitar la lectura.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones – Tasa: tasa de descuento del periodo. Corresponde al TIN ajustado al periodo de liquidación. – Tasa para estimar: tasa que se incluye para iniciar el proceso iterativo de cálculo. – Tipo: se refiere a si los pagos son postpagables (se indica con un 0) o prepagables (1). – Valor actual: es el precio al contado o el valor actual de un activo. Debe coincidir con la suma del valor actual de los pagos periódicos y del valor final. – Valor final: es el último pago de la operación, cuando difiere de los pagos periódicos. Se incluirá con signo negativo.

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Glosario de términos Anualidad (annuity): es una renta periódica limitada temporalmente. Puede ser constante o creciente a una tasa constante. El periodo no tiene por qué ser anual. Si es mensual, se trata de una mensualidad. Año comercial (commercial year): es el periodo discrecional de 360 días que utilizan las entidades financieras para la liquidación de las operaciones financieras, cuando hacerlo les resulta ventajoso. Por ello, la aplican a la liquidación de los intereses de los créditos pero no en los depósitos de sus clientes. Su utilización es negociable entre las partes. Arbitraje (arbitrage): permite obtener un beneficio inmediato, deducidos los costes de transacción, sin incurrir en ningún riesgo, mediante la realización de una compra-venta simultánea de un producto, un bien, una divisa o un título financiero. Por ejemplo, se compra una acción en un mercado y se vende en otro a mayor precio. Arrendamiento: – Financiero (financial lease): todo acuerdo de arrendamiento en el que el arrendatario transfiere sustancialmente al arrendador todos los riesgos y beneficios asociados a la propiedad del activo objeto del contrato. Suele fijarse un valor residual, al término del contrato, que permite al arrendador adquirir el activo. Se contabiliza como una adquisición financiada con deuda y no como un alquiler. Se conoce también como leasing. – Operativo (operating lease): un arrendamiento en el que el arrendatario cede al arrendador el derecho a usar un activo durante un plazo, a cambio de una contraprestación, sin que se trate de un arrendamiento financiero. Es habitual que junto al alquiler del activo, el arrendador preste otros servicios como el de mantenimiento del bien o su aseguramiento. Los ingresos y gastos derivados del contrato, se imputan a la cuenta de pérdidas y ganancias del ejercicio en el que se devengan. Se denomina también como renting. Aversión: – a la pérdida (loss aversion): ocurre cuando el pesar por una pérdida supera a la satisfacción de una ganancia de igual importe absoluto. – al riesgo (risk aversion): justifica que se exija una rentabilidad adicional para aceptar una inversión con riesgo. Ese diferencial sobre el rendimiento sin riesgo se denomina la prima de riesgo de la inversión o del activo. Bono (bond): título por el que se reconoce una deuda a largo plazo. En general su interés es fijo. – basura (junk bond): es un bono que ofrece un rendimiento elevado porque su riesgo es alto. – convertible (convertible bond): es el que puede convertirse, a elección del propietario, en otro título –generalmente en acciones nuevas– a un precio y en un momento determinados. Cuando se canjea por acciones antiguas, se denomina bono canjeable.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones – cupón cero (zero coupon bond): se refiere a un bono que se emite con un descuento sobre su valor nominal, por lo que su único pago es la devolución del valor nominal a su vencimiento, sin que existan pagos periódicos de intereses. Ese valor nominal incluye el principal y la retribución. Tiene la ventaja fiscal de que tributa al tipo aplicable a las ganancias de capital. – del Estado (Treasury bond): es un título de Deuda Pública a interés fijo, pagadero anualmente, con vencimiento entre dos y cinco años. En el caso español, se considera un activo sin riesgo. Calificación crediticia (credit rating): mide la solvencia de la empresa para cumplir con el servicio a su deuda. La realiza una agencia de calificación como Moody’s, o Standard & Poor’s. El conocimiento de la calificación da confianza al inversor y le evita tener que realizar su propio análisis. La reducción de la incertidumbre que fomenta la calificación permite al emisor reducir sus costes. Contingencia (contingency): la posibilidad de que se produzca un suceso identificado, en general adverso. Corretaje (brokerage): honorarios abonados a un agente mediador por sus servicios. Puede ser un importe fijo o porcentual al volumen intervenido. Cupón (coupon): renta periódica que genera un título de deuda. Descuento comercial (commercial discount): anticipo que el banco concede a un cliente a cambio de que éste le ceda un efecto comercial. Está sujeto a interés y comisión prepagables y el riesgo del impagado lo mantiene el cliente. Devengo (accrual): criterio para elaborar los estados contables por el que las transacciones se reconocen y registran en el momento en que se producen, con independencia de su cobro o de su pago. Efecto comercial (commercial draft): documento negociable que acredita una deuda, con reconocimiento del importe y el vencimiento. Cuando a su vencimiento resulta impagado, se devuelve al presentador. Efecto Fisher (Fisher effect): postula que el tipo de interés nominal incluye el tipo de interés real más la tasa de inflación prevista. Especulación (speculation): inversión de alto riesgo y que no tiene en cuenta, necesariamente, la relación entre el precio de mercado y el valor teórico del activo. Estructura temporal de los tipos de interés (term structure of interest rates): comportamiento del tipo de interés en función del vencimiento de la operación financiera. Euribor (euro interbank offered rate): tipo de interés al que se prestan dinero en euros las principales entidades financieras europeas. Existen tipos para distintos plazos, que se utilizan como referencia para fijar los aplicables a las operaciones financieras con los clientes. Fallido (bad loan): es una deuda comercial o crédito sin esperanza de cobro. Flujo de caja (cash flow): renta generada por un activo. Impagado (unpaid): deuda comercial vencida y no pagada.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Incertidumbre (uncertainty): desconocimiento sobre lo que puede suceder, porque se ignoran los sucesos factibles. Interés: – compuesto (compound interest): acumulación del interés al capital para generar más intereses. – interbancario (interbank deposit rate): es el tipo aplicado en las transacciones entre bancos. Se calcula para varios periodos a corto plazo. – real (real interest): es el que tiene descontada la tasa de inflación. – legal (legal interest): es el tipo aplicado por el Estado en sus relaciones con particulares y empresas y cuando no se ha establecido uno o para fijar una compensación mínima por mora. – simple (simple interest): el calculado sólo sobre el principal inicial, sin acumular los intereses devengados y pagados. – variable (variable interest): se actualiza periódicamente añadiendo un diferencial a un tipo de referencia, como el euribor. Letra de cambio (draft): documento de pago que el librador envía al librado para su aceptación, que responde a una deuda comercial o financiera. Letra del tesoro (treasury bill): título de renta fija a corto plazo (hasta 18 meses) emitido por el Tesoro Público al descuento, por lo que su precio de adquisición es menor que el de amortización a vencimiento. La diferencia entre el valor de reembolso de la Letra y su precio de compra constituye el rendimiento. Libor (London interbank offered rate): tipo de interés del mercado interbancario de Londres. Existe un Libor para cada una de las principales divisas y a diferentes plazos. Mercado: – de capitales (capital market): mercado financiero de los títulos de deuda a largo plazo y de las acciones. – de valores (stock market): son los mercados primario y secundario en los que se emiten e intercambian activos financieros de renta fija y variable. – interbancario (interbank market): concesión de préstamos entre bancos a distintos plazos y al tipo de interés interbancario. – monetario (money market): mercado financiero referido a títulos de deuda con vencimiento a corto plazo. – primario (primary market): en el que se emiten los nuevos títulos de renta fija y variable. – secundario (secondary market): en el que se intercambian títulos ya emitidos sin que intervenga el emisor. Da liquidez a los títulos. Moroso (defaulter): quien se retrasa en la obligación de pago, incurriendo en mora. Movimiento de fondos (cash-flow): la secuencia de flujos.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones Obligación (debenture): título de renta fija con vencimiento a largo plazo. – convertible (convertible debenture): a su vencimiento puede canjearse por acciones del emisor según un ratio de conversión prefijado. Pagaré (note): documento privado que compromete a su emisor al pago de un importe en una fecha. Papel comercial (commercial paper): se aplica a todos los títulos que otorgan un derecho de cobro, como son los pagarés, las letras de cambio o las facturas. Perpetuidad (perpetuity): renta ilimitada en el tiempo. – constante (constant perpetuity): es una renta ilimitada constante, que se produce periódicamente. – creciente (growing perpetuity): renta ilimitada que crece a una tasa constante cada periodo. Postpagable (in arrears): el pago se produce al final del periodo de referencia. Es el caso habitual, por ejemplo, de los intereses de un préstamo. Prepagable (in advance): el pago se realiza al inicio del periodo de referencia. Es el caso de los alquileres. Préstamo (loan): se concede mediante contrato la utilización de unos fondos durante un plazo determinado a cambio de una contraprestación. Prestamista (lender): quien concede la financiación. Prestatario (borrower): quien recibe la financiación. Prima de riesgo (risk premium): exceso de rendimiento exigido a un activo por encima del tipo de interés sin riesgo. Punto básico (basic point): la centésima parte de un uno por ciento. Se aplica para cuantificar los diferenciales de tipos de interés. Renta perpetua: – constante (perpetuity): una renta en perpetuidad por la que se liquida un importe constante y periódico. – creciente (growing perpetuity): una renta en perpetuidad por la que se liquida periódicamente un importe que crece a una tasa constante. Rentabilidad (profitability): relación entre el beneficio y la inversión necesaria para obtenerlo. – al vencimiento (yield to maturity): es la tasa de descuento que iguala el valor actual de las rentas de un título con su precio de mercado actual. Riesgo (risk): situación en la que se conocen las posibles contingencias y sus consecuencias. Tasa: – anual equivalente, TAE (effective anual interest rate): es la tasa que calcula el tipo efectivo para un plazo de un año y un periodo de liquidación de intereses anual. Incluye los gastos asociados a la operación financiera.

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Aplicación del cálculo financiero para la toma de decisiones – de corte (hurdle rate): es la rentabilidad mínima exigida a un proyecto de inversión. Es igual o superior al coste medio de capital de la empresa. – de crecimiento sostenible (sustainable growth rate): la tasa de crecimiento máxima a la que puede crecer la empresa sin recurrir a financiación externa. – de descuento (discount rate): tasa usada para calcular el equivalente financiero actual de un importe futuro. Incluye el tipo de interés sin riesgo más la prima de riesgo asociada a dicho importe. – interna de rentabilidad TIR (internal rate of return IRR): es el rendimiento anual que ofrece el proyecto sobre el desembolso y durante su vida útil. Es equivalente al tipo de interés nominal que se obtendría de invertir el desembolso en un depósito bancario durante la duración del proyecto. Tipo de interés (interest rate): precio pagado por tomar dinero a préstamo. – de referencia (base rate): el que se toma como base para fijar el tipo de una operación financiera, por ejemplo, el euribor. – nominal (nominal interest rate): el que se recoge en el contrato de una operación financiera para el cálculo de los intereses. Se refiere a un plazo de un año y debe indicar el periodo de liquidación de intereses. – preferencial (prime rate): el aplicado por las entidades financieras a sus mejores clientes. – sin riesgo (risk free rate of interest): el rendimiento asociado a los activos libres de riesgo. Por ejemplo, la Letra del Tesoro del Estado español. Tipo impositivo (tax rate): la tasa que se aplica a la base imponible para calcular la cuota tributaria. Valor: – actual (present value): equivalente monetario actual de un importe futuro. El valor actual de un activo o un pasivo es la suma de sus flujos de efectivo esperados, actualizados a una tasa de descuento adecuada. – actual neto VAN (net present value NPV): equivalente monetario de un movimiento de fondos que incluye los absorbidos y los generados por una inversión. Deduce del valor actual de los flujos generados el de los absorbidos. – nominal (face value): es el importe con que se emitió un título y que figura en el contrato de la emisión. – residual (residual value): el valor al final del movimiento de fondos de una operación. Por ejemplo, el valor residual de un arrendamiento financiero. Valorar (to value): consiste en estimar el precio teórico de un activo. Volatilidad (volatility): la variación del precio en torno a un valor medio o una tendencia.

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Bibliografía CRUZ, S. y VALLS, M. (2003): Introducción a las matemáticas financieras. Editorial Pirámide. HAYAT, S. y SAN MILLÁN, A. (2001): Finanzas con Excel. McGraw-Hill. ROSS, S.; WESTERFIELD, R. y JAFFE, J. (2005): Corporate Finance. Parte II. McGraw-Hill. RUIZ, F. y RODRÍGUEZ, E. (2005): Valoración de las operaciones financieras. Editorial Cívitas. SANZ VILLEGAS, C. y ZÚÑIGA, J. (2003): Ejercicios de matemáticas financieras. ESIC Editorial.

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