Analysis für Wirtschaftswissenschaftler : Eine kurze Einführung [1. Aufl.] 9783658300159, 9783658300166

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Pablo Peyrolón

Analysis für Wirtschaftswissenschaftler Eine kurze Einführung

essentials

essentials liefern aktuelles Wissen in konzentrierter Form. Die Essenz dessen, worauf es als „State-of-the-Art“ in der gegenwärtigen Fachdiskussion oder in der Praxis ankommt. essentials informieren schnell, unkompliziert und verständlich • als Einführung in ein aktuelles Thema aus Ihrem Fachgebiet • als Einstieg in ein für Sie noch unbekanntes Themenfeld • als Einblick, um zum Thema mitreden zu können Die Bücher in elektronischer und gedruckter Form bringen das Expertenwissen von Springer-Fachautoren kompakt zur Darstellung. Sie sind besonders für die Nutzung als eBook auf Tablet-PCs, eBook-Readern und Smartphones geeignet. essentials: Wissensbausteine aus den Wirtschafts-, Sozial- und Geisteswissenschaften, aus Technik und Naturwissenschaften sowie aus Medizin, Psychologie und Gesundheitsberufen. Von renommierten Autoren aller Springer-Verlagsmarken.

Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13088

Pablo Peyrolón

Analysis für Wirtschaftswissen­ schaftler Eine kurze Einführung

Pablo Peyrolón Fachhochschule Wien für Management und Kommunikation (WKO) Wien, Österreich

ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716  (electronic) essentials ISBN 978-3-658-30015-9 ISBN 978-3-658-30016-6  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-30016-6 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Guido Notthoff Springer Gabler ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Was Sie in diesem essential finden können

• Was ist Analysis • Wie alles begann • Einführung in die Funktionen • Benützung der Grenzwerte • Differentialrechnung • Betriebswirtschaftliche Beispiele

V

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung in die Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Was ist Analysis?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Wie kann die Analysis in der Wirtschaft eingesetzt werden? . . . . . . 2 1.3 Wie alles begann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Was ist eine Funktion?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Der Grenzwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Einführung in die Differenzialrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Was ist die Differenzialrechnung?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen der Differenzialrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Kurvendiskussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . 25 2.5.1 Kostenfunktion und Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2 Umsatz/Erlösfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.3 Nachfragekurve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.4 Gewinnfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.5 Steuer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.6 Preiselastizität der Nachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Einführung in die Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Was ist die Integralrechnung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Die unbestimmten Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.4 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Ökonomische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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Einführung in die Analysis

Analysis-Vorlesungen zählen zu den schwierigsten Vorlesungen die Studierende der Wirtschaftswissenschaften besuchen müssen. Wir hoffen, dass wir die Analysis in diesem Buch etwas verständlicher gestalten können.

1.1 Was ist Analysis? In einem Satz: Die Analysis beschäftigt sich mit der Stetigkeit von Funktionen, mit Grenzwerten, mit Differenzial- und Integralrechnung. Wir werden jedes dieser Konzepte im Detail erklären. Für die Wirtschaftswissenschaften sind die Analyse stetiger Funktionen und die Differenzialrechnung wichtige Werkzeuge. Analytiker versuchen, das Verhalten von Systemen vorherzusagen, und wie wir wissen, spielen Vorhersagen eine sehr wichtige Rolle in der Ökonomie. Die Analysis wurde im 17 Jahrhundert entwickelt. Es ist umstritten ob es Isaac Newton oder Gottfried Wilhelm Leibniz oder beide gleichzeitig die Analysis entwickelten. Im Jahre 1748 veröffentlichte die italienische Mathematikerin Maria Gaetana Agnesi die Instituzione Analytische (Einführung in die Analysis), eine erste umfassende Zusammenfassung der noch jungen Analysis. Ein Jahrhundert später publizierte der Deutsche Bernhard Riemann die Arbeiten die die Analysis als fundamentales Teilgebiet der Mathematik etablierten (Launay 2018). Wie könnten man die Analysis in einem Satz definieren? Wie könnten wir sie jemandem erklären, der nicht so viel mit der Mathematik anfangen kann? Die Analysis beschäftigt sich mit Veränderungen, präziser gesagt, sie Analysis untersucht die Änderungsraten von Funktionen, also in welchem Maße sich die Dinge verändern. (Auch der Begriff „Funktion“ wurde zum ersten Mal im 17. Jh. verwendet, siehe untenstehende Definition). Im Mittelpunkt der Analysis

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1

2

1  Einführung in die Analysis

steht die Frage wie man das Änderungsverhalten von Funktionen verstehen und beschreiben und auch beherrschen.

1.2 Wie kann die Analysis in der Wirtschaft eingesetzt werden? In der Betriebswirtschaft, an den Finanzmärkten, in der realen Ökonomie, geht es um Wachstum, um Preisveränderungen, um Quoten die sich nach oben oder nach unten bewegen, um prozentuale Veränderungen die zu Gewinnen oder Verlusten führen. Es geht also um Veränderungen und deswegen ist die Analysis so wichtig für die Wirtschaftswissenschaften, sowohl in der Mikroökonomie (z. B. bei der Messung der Elastizitätskurve) als auch in der Makroökonomie (z. B. zur Herstellung der monatlichen Inflationsrate, die nicht zwangsläufig linear verläuft). All dieser Veränderungen versuchen Analytiker zu verstehen. Bewegt sich etwas langsamer oder schneller, wird diese Veränderung von der Analysis untersucht. Deswegen ist sie so wichtig für das Verständnis der Wirtschaft. Die Auswirkungen neuer Technologien, die Darstellung von Kaufmustern und Kaufverhalten von Konsumenten oder Prognosen über Einnahmen; all diese Beispiele haben mit Veränderungen zu tun, also mit der Analysis. Wer hätte etwa gedacht, dass die Analysis bedeutend ist für Unternehmen wäre, die Kreditkarten ausstellen. Mit der Analysis kann man auf eine andere Art zählen als mit der Algebra, die man in der Schule lernt; so kann man mit ihr komplexe Probleme lösen, die notwendig für die Kreditkarten-Buchungen sind. Kreditkartenunternehmen nutzen die Analysis, um den kleinsten Betrag auszurechnen, den eine Kreditnehmerin zahlen muss (konkret: sie nutzen die Integralrechnung; s. Kap. 3). Bei der Errechnung dieses Betrags gibt es viele Variablen, die gleichzeitig einkalkuliert werden müssen z. B. der Zeitpunkt, an dem der Betrag bezahlt werden muss, Zinsen und deren Veränderungen, Zinserwartungen, usw. Kurios: Kreditkartengesellschaften können heraussagen, ob sich jemand scheiden lassen wird; auch dafür nutzen sie auch die Analysis. Warum sollte es Visa sich dafür interessieren, ob Ihre Ehe in Gefahr ist? Ian Ayres (2007), Professor an der Yale Law School, der das Beispiel von Visa in sein Buch Super Crunchers aufgenommen hat, sagt: „Kreditkartenunternehmen interessieren sich nicht wirklich für die Scheidung an sich – sondern darum, ob Sie Ihre Karte auszahlen lassen werden.“ Da Personen, die sich scheiden lassen, mit größerer Wahrscheinlichkeit Zahlungen verpassen, sind Ihre häuslichen Probleme für ein Unternehmen, das vom Risikomanagement lebt, von großem Interesse. Wie sie das machen, bleibt jedoch immer noch ihr Geheimnis.

1.3  Wie alles begann

3

Abb. 1.1   Konstante Geschwindigkeit (f = 1,8x)

1.3 Wie alles begann Die Entwicklung der Analysis fand zu einem Zeitpunkt statt, an dem sich auch die moderne Physik entwickelte. Zu der Zeit brachte der berühmte fallende Apfel von Isaac Newton auf die Gravitationstheorie. Was uns vom fallenden Apfel interessiert, ist die Geschwindigkeit mit der der Apfel fällt. Tatsache ist, dass diese Geschwindigkeit nicht konstant bleibt, d. h. der Apfel wird immer schneller. Bekannt ist die mathematische Formel der Geschwindigkeit:

Geschwindigkeit =

Distanz Zeit

Da die Geschwindigkeit des Apfels nicht konstant bleibt, können wir nicht einfach eine gerade Linie zeichnen, wie in Abb. 1.1.1 Abb. 1.2 zeigt die „wahre“ Relation zwischen Distanz und Zeit, wenn wir es mit Beschleunigung zu tun haben (z. B. fallender Apfel). In diesem Fall ist die Geschwindigkeit keine lineare Funktion (keine gerade Linie). Noch ein Beispiel zeigt die Relevanz der Analysis: Wie misst man den Anstieg in die Abb. 1.3 und in 1.5? Die Steigung ist ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder Kurve. Offensichtlich haben wir es hier mit zwei ganz unterschiedlichen Kurven zu tun, einerseits eine konstante Steigung gezeigt (Abb. 1.3), und anderseits eine variable Steigung (Abb. 1.4).

1Wir

verdanken René Descartes (1596–1650) die Einführung des kartesischen Koordinatensystems, welches uns das ganze Buch über begleiten wird (der Erfinder des Koordinatensystems ist weiterhin umstritten).

1  Einführung in die Analysis

4 Abb. 1.2   Relation zwischen Distanz und Zeit bei steigender Geschwindigkeit

Abb. 1.3   Konstante Steigung

Im ersten Fall (Abb. 1.3), bei konstanter Steigung, brauchen wir nur fundamentale Algebra, um die Steigung zu messen: Die Steigung einer Geraden berechnen wir anhand der Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten P(x1,y1) und Q(x2,y2) (siehe Abb. 1.4)

m=

y y2 − y1 = x x2 − x1

1.3  Wie alles begann

5

Abb. 1.4   Differenzenquotientenberechnung

Da die Steigung konstant ist, ist es egal welche zwei Punkte P und Q man auswählt, der Quotient bleibt gleich:

y2 − y1 8−6 �y = = = 2 = m (Steigung) �x x2 − x1 4−3 y2 − y 1 12 − 10 �y = = = 2 = m (Steigung) �x x2 − x 1 6−5 Für die variable Steigung in Abb. 1.5 genügt Schulalgebra nicht; wir benötigen die Werkzeuge der Analysis, um die Steigung an jedem Punkt berechnen zu können. In der Mikroökonomie könnten wir so die Steigung einer Nachfrage- oder Angebotskurve berechnen, oder auch die der Elastizität des Einkommens2 an einem bestimmten Punkt. Nehmen wir ein Beispiel aus der Betriebswirtschaftslehre, die Grenzkosten. Die Grenzkosten oder Marginalkosten sind die Kosten, die entstehen, wenn eine Einheit eines Produkts mehr hergestellt wird (dementsprechend sind die Marginalkosten auch die Kosten, die wegfallen, wenn eine Einheit weniger produziert wird; mehr dazu in Kap. 2). Mit Hilfe der Grenzkosten können Unternehmer die optimale Menge eines Produktes berechnen. Die Kurve der Kosten in Abb. 1.6 ist analog zu der Geschwindigkeitskurve des

2Die

Elastizität des Einkommens misst die verursachten Veränderungen der nachgefragten Menge durch Veränderungen im Einkommen.

6

1  Einführung in die Analysis

Abb. 1.5   Variable Steigung f(x) = cosx3

Abb. 1.6   Verschiedene Kostenkurven eines Unternehmens

fallenden Apfels „gleich“ (siehe Abb. 1.2). Je mehr ein Unternehmen produziert (Bewegung Rechts an der x-Achse), desto höher und schneller wachsen die Kosten (y-Achse). Es gibt viele Gründe rasant wachsende Kosten, z. B. könnte ein Unternehmen eine seltene Ressource für seine Produktion benötigen, und

1.4  Was ist eine Funktion?

7

Abb. 1.7   Verschiedene Steigungen einer Kurve

wenn die Produktion steigt, steigt auch die Knappheit der Ressource, somit ihr Preis, und so schnellen die Kosten in die Höhe. Sowohl in Abb. 1.2 als auch in Abb. 1.5 verändert sich die Steigung der Kurve permanent. Abb. 1.7 fasst zusammen die Veränderung des Anstiegs einer Kurve zusammen. Um die Grenzkosten eines Unternehmens berechnen zu können, benötigen wir eines den fundamentalen Werkzeugen der Analysis: die Ableitung (in Kap. 2 werden wir uns detailliert mit der Ableitung beschäftigen). Die Grenzkosten sind die erste Ableitung der Kostenfunktion und sie entsprechen der Steigung an einem gegebenen Punkt der Kostenkurve.

1.4 Was ist eine Funktion? Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Menge X (auch Definitionsbereich genannt), eindeutig ein Element y einer Menge Y (auch Wertebereich genannt) zuweist. Das Element y wird Funktionswert an der Stelle x genannt. Unsere obige Kostenfunktion sähe beispielweise wie folgt aus: die Kostenfunktion ordnet jeder Menge an hergestellten Produkten oder Dienstleistungen die dazugehörigen Kosten zu.

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1  Einführung in die Analysis

Abb. 1.8   Funktion oder Abbildung

Formeller ausgedrückt: Unter einer Funktion oder Abbildung von A nach B versteht man eine Vorschrift, die jedem a-Element der Menge A genau ein Element der Menge B zuordnet. In der Regel formuliert man die Funktion mit f: A → B. Häufig bezeichnet man Funktionen mit einem einzelnen Buchstaben, ƒ. Der Funktionswert y an der Stelle x ist dann y = ƒ(x) (man liest „y ist gleich ƒ von x“) (Abb. 1.8). Für eine Einführung in die Analysis interessieren uns von den besonderen Eigenschaften der Funktionen zwei ganz besonders: 1. Stetigkeit (oben beschrieben) 2. Differenzierbarkeit (Differenzialrechnung, s. Kap. 2)

1.5 Der Grenzwert Ein Hauptkonzept der Analysis ist der Grenzwert, der sozusagen das Herzstück der Analysis darstellt. Eine erste grafische Darstellung vereinfacht das Verstehen des Grenzwertes. Nehmen wir eine Folge reeller Zahlen, die durch ax = 1/x für x ∈ N (x gehört zu den natürlichen Zahlen) gegeben wird. Abb. 1.8 stellt die Kurve dieser Folge dar. Je größer x wird, desto kleiner wird 1/x, die Grafik zeigt uns, dass der Wert von 1/x immer näher an Null geht – wir sagen, dass 1/x gegen Null konvergiert

1.5  Der Grenzwert

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Abb. 1.9   Grenzwert von f(x) = 1/x

Abb. 1.10   Funktion f(x) = x2

– und Null der Grenzwert wäre. Der Grenzwert ist also ein Zahlenwert, den eine Folge reeller Zahlen anstrebt (oder anders ausgedrückt: die Funktion nähert sich an eine bestimmte Zahl an). Die Folge oder die Funktion kann auch gegen unendlich konvergieren. Wenn wir die Kurve von Abb. 1.9 betrachten, dann kann uns der Grenzwert auch sagen, wie sich die y-Werte verhalten, wenn sich die x-Werte in eine bestimmte Richtung bewegen. Dabei können die x-Werte gegen unendlich gehen, oder gegen eine endliche Zahl x0. Nehmen wir die Parabel f(x) = x2 (siehe Abb. 1.10). Wie verhält sich f(x) = x2, wenn immer x größer wird, also gegen unendlich konvergiert? f(x) = x2 wird

1  Einführung in die Analysis

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dann auch immer größer, f(x) konvergiert auch gegen unendlich. Wir können das mathematisch darstellen: Die x-Werte werden immer größer: x →  + ∞; wie verhalten sich die y-Werte (also f(x))? Mathematisch stellt man dies so dar:

lim f (x)

x→c

x: Die Variable, deren Wert sich immer c annähert c: Grenzwert, x nähert sich immer weiter diesem Wert, erreicht ihn aber nie f(x): Funktion deren Grenzwert gesucht werden soll lim: steht für Limes Man spricht dies so: der Limes von f(x) (f von x) für x gegen die Zahl c. Oder, der Limes von f(x) für x gegen unendlich (unser Fall bei Abb. 1.10):

lim f (x)

x→∞

Das Unendliche ist omnipräsent in der Mathematik. Unendliche Werte werden in der Mathematik durch das Unendlich-zeichen ∞ repräsentiert. Dieses Symbol wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis als Zeichen für eine abstrakte unendliche Größe eingeführt. In der höheren Mathematik, konkret in der Mengenlehre, ist „unendlich nicht gleich unendlich“. Schon der Gründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor, schrieb im 19 Jahrhundert über Größenunterschiede bei unendlichen Mengen. Das Unendliche steht für das Lateinische Infinitum (sine fine, ohne Ende). Deshalb heißt auch die Arbeit von Newton und Leibniz Infinitesimalrechnung. Was aber wichtig für die Infinitesimalrechnung ist, ist die Annäherung an die Unendlichkeit, eine Funktion oder eine Folge von Zahlen, die sich dem Unendlichen annähern („gehen gegen unendlich gehen“), es aber, per Definition, nie erreichen werden. Zusammenfassung Wir haben eine kurze Geschichte der Analysis vorgestellt und einzelne erste Beispiele für die Anwendung der Analysis in den Wirtschaftswissenschaften gesehen. Wir haben wichtige mathematische Konzepte wie Funktion, Stetigkeit und Grenzwert definiert. Mit diesen Konzepten können wir im zweiten Kapitel mit der Differenzialrechnung beginnen und konkrete Beispiele für ihre Relevanz in der Ökonomie präsentieren.

2

Einführung in die Differenzialrechnung

2.1 Was ist die Differenzialrechnung? Wie der Name schon sagt, geht es bei der Differenzialrechnung um das Differenzieren, auch bekannt als Ableiten. Mit dem Differenzieren oder Ableiten erhält man eine Ableitung. Die Ableitung hilft uns bei der Analyse wichtiger ökonomischer Funktionen wie der Gewinn-, Umsatz- oder Kostenfunktion. Was ist die Ableitung? Die Ableitung einer Funktion zeigt die Steigung eines Grafen an einem bestimmten Punkt. Man stellt die Ableitung mit f′(x) dar. Die formellere Definition besagt, dass die Ableitung f′(x) einer Funktion f(x) (gesprochen „f von x“) die Steigung der Tangente am Graf der Funktion f(x) an einem Punkt x0 beschreibt. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Grafen an einem bestimmten Punkt berührt. Die visuelle Darstellung dieser Konzepte wird in Abb. 2.1 anschaulicher dargestellt. Mit der Ableitung bestimmen wir also die Steigung der Tangente und somit die Steigung der Kurve an dem Punkt, wo die Tangente den Grafen berührt. In Abb. 2.1 ist dieser Punkt mit x0 gekennzeichnet. Um diese Steigung zu bestimmen, benutzt man den sogenannten Differenzenquotienten:

H o¨ he y2 − y1 y = = x x2 − y1 Weite Was ist der Differenzenquotient? Der Differenzenquotient beschreibt das Änderungsverhältnis der abhängigen Variablen Δy = y2 −    y1 bei Veränderungen der unabhängigen Variable Δx = x2 −   x1.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 P. Peyrolón, Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, essentials, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30016-6_2

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

Abb. 2.1   Sekante und Tangente eines Grafen

Was vielleicht noch etwas abstrakt klingen mag, wird konkreter (und der Nutzen greifbarer) anhand der ökonomischen Beispiele, die auf den folgenden Seiten vorgestellt werden. Aber vorher müssen wir uns noch etwas mit abstrakter Theorie beschäftigen. Man kann auch sagen, dass der Differenzenquotient die Steigung der Sekante ist. Die Sekante ist eine Gerade, die durch zwei Punkte eines Grafen verläuft; in unserem Fall (s. Abb. 2.1) läuft die Sekante durch (x1, y1) und (x2, y2). Wie bereits erwähnt ist die Steigung der Tangente die Ableitung, also die Steigung an einem Punkt des Grafen; wir müssen nun also von der Sekante zur Tangente. Um von der Sekante zur Tangente zu gelangen, benutzen wir den Grenzwert (Limes), den wir schon in Kap. 1 kennengelernt haben. Grafisch lässt sich dies wie folgt abbilden (Abb. 2.1): Wir bewegen Punkt x2 immer näher an Punkt x1. Da x1  f (x2 ) Eine reelle Funktion f heißt monoton zunehmend bzw. abnehmend, wenn für alle x1, x2 eines Intervalls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) bzw. x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Man kann die Monotonie durch die Ableitung bestimmen. Da es sich bei der Ableitung um die Steigung handelt, bedeutet dies, dass eine positive Steigung eine wachsende Kurvenfunktion ist und eine negative Steigung einer fallenden Kurve entspricht: f(x)  ist monoton wachsend wenn f(x) ≥ 0 f(x)  ist monoton fallend wenn f(x) ≤ 0 f(x)  ist streng monoton wachsend wenn f′(x) > 0 f(x)  ist streng monoton fallend wenn f′(x)  0 → Es handelt sich um ein lokales Minimum

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

Abb. 2.9   Lokales Maximum und Minimum

Der Graf der Funktion bestätigt die Ergebnisse (Abb. 2.9): Die zweite Ableitung ist deswegen so wichtig für die Wirtschaftswissenschaften, weil man nur mit ihr den maximalen Gewinn oder die minimalen Kosten bestimmen kann (konkrete wirtschaftliche Beispiele werden noch folgen). Und was ist, wenn die zweite Ableitung gleich null ist, also f′′(x) = 0? Dann handelt es sich dabei um einen Wendepunkt. Beim Wendepunkt wechselt die Kurve von konkav zu konvex oder andersherum, d. h. das Krümmungsverhalten des Grafen verändert sich. Konkave Kurven drehen sich im Uhrzeigersinn, konvexe Kurven drehen sich gegen den Uhrzeigersinn (s. Abb. 2.10). Dass die zweite Ableitung gleich null ist, ist ein notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt. Ein hinreichendes Kriterium ist, dass die dritte Ableitung f′′′(x) ungleich null ist (Tab. 2.3). Abb. 2.10   Konkavität und Konvexität der Funktion f(x) = x3−  x2

2.5  Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften

25

Tab. 2.3  Zusammenfassung Maximum, Minimum, Wendepunkt Extremstelle

Bedingung

Maximum

f′(x0) = 0 und f′′(x0)  0

Wendepunkt

f′′(x0) = 0 und f′′′(x0) ≠ 0

2.5 Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften Fassen wir zusammen, was die Ableitung aus wirtschaftlicher Sicht bedeutet, um ihre Anwendungsmöglichkeiten kennenzulernen. Ohne Differentialrechnung oder das Konzept der Ableitung wäre die Beantwortung vieler wirtschaftlicher Fragen unmöglich. Wir haben im Laufe des Buches schon einige der wirtschaftlichen Bereiche genannt, bei denen man mit Ableitungen arbeitet. Beginnen wir mit einer der wichtigsten Funktionen für ein Unternehmen: die Kostenfunktion.

2.5.1 Kostenfunktion und Ableitung Die Kostenfunktion verrät uns die Gesamtkosten eines Unternehmens in Relation zu dessen Produktionsmenge. Sie ist die Summe aus fixen (FK(x)) und variablen Kosten (VK(x)):

Kostenfunktion K(x) = FK(x) + VK(x) Die variablen Kosten sind direkt von der Produktionsmenge abhängig. Fixkosten müssen abgedeckt sein, auch wenn die Produktion eingestellt wird; beispielsweise müssen die Gehälter von Mitarbeitern oder die Miete eines Lagerraumes, unabhängig von der Produktionsmenge, bezahlt werden. Ziel des Unternehmens ist, eine Menge mit minimalen Kosten und maximalem Umsatz zu produzieren, d. h. die optimale Produktionsmenge aus wirtschaftlicher Sicht. Beispiel: Nehmen wir an, wir haben folgende Kostenfunktion:

K(x) = 0,05x 2 + 1,3x + 9,5 Um das Minimum, also die minimalen Kosten, dieser Funktion zu finden, brauchen wir die Marginalkosten. Die Marginalkosten verraten uns, wie sich

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

die Kosten verändern würden, wenn wir eine zusätzliche Einheit produzieren würden. Wir wollen also sehen, wie sich die Steigung der Kostenkurve verhält, um danach das Minimum bestimmen zu können. Wir wissen bereits, dass wir die Steigung durch die Ableitung der Funktion bekommen. Wir wenden folglich die Ableitungsregeln an, die wir in den vorigen Seiten etabliert haben, und erhalten so:

K ′ (x) = 0,1x − 1,3 Die Extremstellen können wir bekanntlich bestimmen, indem wir die Ableitung K′(x) gleich null setzen, und dann bekommen wir x = 13.

K ′ (x) = 0,1x − 3 = 0 → x = 13 Die zweite Ableitung zeigt uns, ob wir es bei x = 13 mit einem Maximum, Minimum oder Wendepunkt zu tun haben.

K ′′ (x) = 0,1 > 0 Da die zweite Ableitung positiv verläuft, haben wir es hier mit einem Minimum zu tun. Bei 13 Stück hat die Kostenfunktion die geringste Kostensteigung.

2.5.2 Umsatz/Erlösfunktion Ebenso wichtig wie die Kostenfunktion ist die Umsatzfunktion für ein Unternehmen. Man muss ja Kosten und Umsatz optimieren, um den Gewinn maximieren zu können. Bei der Umsatzfunktion wird genauso vorgegangen wie bei der Kostenfunktion. In diesem Falle suchen wir die Produktionsmenge, die den Umsatz maximiert, d. h. wir suchen wieder eine Extremstelle der Funktion. Um zu wissen, wie viel zu jedem gegebenen Preis verkauft werden könnte, und somit den Umsatz zu bestimmen, benötigen wir die Nachfragekurve. Die Nachfragekurve verrät uns, welche Menge von Konsumenten zu jedem gegebenen Preis nachgefragt wird. Nehmen wir an, wir haben eine Nachfragekurve, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

P(x) = 8 − 1/2x (Euro; mit P = Preis) In diesem Falle ist die Umsatzfunktion (Preis mal Menge) U(x) = x(8 − 1/2x) = 8x − 1/2x 2 (s. Abb. 2.11) Mit der ersten Ableitung erhalten wir den Marginalumsatz

2.5  Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften

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Abb 2.11   Umsatzfunktionskurve

U ′ (x) = 8 − x Wo die erste Ableitung gleich null ist, finden wir die Extremstelle

U ′ (x) = 8 − x = 0 → x = 8 Also ist bei der Menge acht der Marginalumsatz bei null. Visuell ist deutlich zu sehen, dass die Funktion U(x) eine Parabel ist, die zuerst wächst und ab der Menge x = 8 fällt. Wirtschaftlich bedeutet dies, dass der Umsatz bei jeder verkauften Menge bis acht Einheiten steigt, es lohnt sich also, bis acht zu gehen und diese Menge zu verkaufen. Mehr als acht Einheiten zu verkaufen, lohnt sich nicht mehr, da der Marginalumsatz ab dann fällt. Um jetzt den maximalen Umsatz zu bestimmen, müssen wir nur noch die Acht in die Umsatzfunktion einsetzen

U(6) = 8 ∗ (8 − 1/2 ∗ 8) = 32 ∈ Die Menge, die den Umsatz maximiert, ist x = 8 und der daraus resultierende maximale Umsatz ist gleich 32 €.

2.5.3 Nachfragekurve Die Nachfragekurve zeigt uns, wie sich der Preis eines Artikels auf die Menge des Artikels auswirkt, den die Konsumenten kaufen möchten. Beispiel: Das Fast-Bus-Unternehmen bietet Stadtrundfahrten in Wien an. Pro Person kostet die Tour 10 €, mit einer durchschnittlichen Menge an Touristen von 1000 pro Woche. Als der Preis nach unten gesetzt wurde, auf 8 Euro, erhöhte sich die wöchentliche Nachfrage auf 1200 Kunden. Angenommen, dass die Nachfragekurve linear ist, suchen wir den Preis, den die Kunden zahlen müssten, um den wöchentlichen Umsatz zu maximieren.

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

Um die Aufgabe zu lösen, muss man zuerst die Gleichung der Nachfragekurve bestimmen. P ist der Preis pro Ticket. Wir wissen, dass (x,p) = (1000,10) und (x,p) = (1200,8) sich auf der Nachfragekurve befinden. Mit dieser Information können wir die Steigung der Geraden bestimmen, die beide Punkte verbindet. Dazu untersuchen wir die Veränderungen der x- und y-Koordinaten; in unserem Fall bewegen wir uns vom Punkt 1000 Tickets zu je 10 Euro zum Punkt 1200 Tickets zu je 8 Euro. Die Steigung ist der Quotient aus der Änderung der y-Koordinate und der Änderung der x-Koordinate. Also: −2 dy 8 − 10 1 Steigung =  = = =− dx 1200 − 1000 200 100 Wir haben angenommen, dass die Nachfragekurve eine lineare Funktion ist, also entspricht sie der Form y = mx + b = f(x), in der m die Steigung, y den Preis und b den Schnittpunkt auf der y-Achse repräsentiert. Mit den gegebenen Informationen bestimmen wir die Nachfragekurve von Fast Bus:

f (x) = −

f (1200) = −

1 ∗x+b 100

1 ∗ 1200 + b = 8 100

b = 20 Also ist die Gleichung der Nachfragekurve P(x) = 20 − Die Umsatzfunktion ist also (s. Abb. 2.12):

U(x) = x ∗ p = x ∗ (20 −

Abb. 2.12   Umsatzfunktion und Maximum

1 x 100

1 1 2 x) = 20x − x 100 100

2.5  Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften

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Der Marginalumsatz ist die erste Ableitung der Umsatzfunktion U(x)

U ′ (x) = 20 −

2 1 x = 20 − x 100 50

Extremstellen bei der ersten Ableitung gleich null

U ′ (x) = 20 −

1 x = 0 → x = 1000 50

Die Menge die den Umsatz maximiert ist also 1000 (die zweite Ableitung ist negativ, also handelt es sich um ein Maximum) und der entsprechende Preis ist 10.

2.5.4 Gewinnfunktion Mit der Nachfragefunktion konnten wir die Umsatzfunktion bestimmen, um so den Preis für den maximalen Umsatz zu berechnen. Nun will das Unternehmen den Gewinn maximieren. Dazu braucht es zusätzlich zur Umsatzfunktion die Kostenfunktion, die wir am Anfang dieses Abschnitts gesehen haben. Die Gewinnfunktion G(x) ist gleich der Differenz beider Funktionen

G(x) = U(x) − K(x) Beispiel: Nehmen wir an, wir haben folgende Nachfrage- und Kostenfunktion eines Monopolisten, also einem einzelnen Verkäufer auf dem Markt: Die Nachfrage des Monopolisten ist p = 100  − 0,1x und die Kostenfunktion K(x) = 60x + 2000. Gesucht wird die Menge, mit der der Gewinn maximiert wird, sowie der dazugehörige Preis. Von der Nachfragefunktion können wir die Umsatzfunktion bestimmen:

U(x) = x ∗ p = x ∗ (100 − 0,1x) = 100x − 0,1x 2 Die Gewinnfunktion G(x) sind die Einnahmen abzüglich der Kosten:

G(x) = U(x) − K(x) G(x) = 100x − 0,1x 2 − (60x + 2000) = 40x − 0,1x 2 − 2000 Der Graf der Gewinnfunktion ist eine Parabel mit eindeutigem Maximum (s. Abb. 2.13). Die Extremstelle der Gewinnfunktion bestimmen wir mittels der ersten Ableitung gleich null:

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

Abb. 2.13   Gewinnfunktion des Monopolisten G (x) =40x − 0,1x2 − 2000

G′ (x) = 40 − 0,2x = 0 → x = 200 Revisar Die Menge, die den Gewinn maximiert, ist 200 und der maximale Gewinn ist:

G(200) = 40 ∗ 200 − 0,1 ∗ 2002 − 2000 = 2000 ∈

2.5.5 Steuer Wir können mit der Differenzialrechnung auch die Auswirkung von Steuern auf ein Unternehmen ausrechnen. Beispiel: Die Regierung beschließt eine neue Umsatzsteuer pro verkaufte Einheit von 10 Euro. Da die Steuer „nur“ zusätzliche Kosten für das Unternehmen verursacht, ist der Lösungsweg der gleiche wie beim vorherigen Beispiel, außer, dass wir jetzt die zusätzlichen 10 Euro Steuer pro Einheit addieren müssen. Die neue Kostenfunktion wäre also K(x) = 60x + 10.000 + 10x.

2.5.6 Preiselastizität der Nachfrage Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein fundamentales Instrument eines Unternehmens, um Konsumentenreaktionen auf Preisänderungen zu analysieren und mit den entsprechenden Ergebnissen preisstrategische Entscheidungen zu treffen. Die Preiselastizität der Nachfrage misst also, wie stark die Nachfrage auf Preisänderungen reagiert, d. h. sie ist eng verbunden mit der Steigung der Nachfragekurve. Visuell kann man sich das so vorstellen: Je flacher die Nachfragekurve durch einen Punkt verläuft, desto größer ist die Reaktion der nachgefragten

2.5  Beispiele für die Ableitung in den Wirtschaftswissenschaften

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Menge auf Preisänderungen (größere Preiselastizität der Nachfrage); je steiler die Nachfragekurve durch einen Punkt verläuft, desto kleiner ist die Preiselastizität der Nachfrage. Wir können dies auch in Prozenten darstellen: Die Preiselastizität der Nachfrage ist die prozentuale Mengenänderung dividiert durch die prozentuale Preisänderung:

E=

y % x %

Mithilfe der Differenzialrechnung berechnen wir die Preiselastizität der Nachfrage durch einen Punkt (sowie alle anderen Elastizitäten). Die Formel für die Preiselastizität lautet

E=

∂y P0 �y % , was gleich ist zu E = ∗ , ∂x Q0 �x %

wo P0 ein konkreter Preis ist, und Q0 die entsprechende nachgefragte Menge ∂y zu diesem Preis P0. Und wir führen ein neues Konzept ein: ∂x ist die partielle Ableitung der Menge nach dem Preis. Was ist eine partielle Ableitung? Wenn eine Funktion mehrere Variablen hat, z. B. f(y,z) = 2y + z2, und nach einer der Variablen abgeleitet wird, dann spricht man von einer partiellen Ableitung. f(y,z) = 2y + z2 Partielle Ableitung nach y: f′y(y,z) = 2  ( z wird als Konstante betrachtet) Partielle Ableitung nach z: f′z(y,z) = 2z  ( y wird als Konstante betrachtet) Nehmen wir an, wir haben eine monatliche Nachfrage nach Schokolade (Q), die vom Verkaufspreis der Tafel (P) und ihrer Werbung (A) abhängt. Der Preis ist gleich 10 und die verkaufte Menge gleich 20. Monatliche Nachfragefunktion: Q(p,w) = 120 − 3p + 4w Partielle Ableitung nach dem Preis: Q′p(p,w) = −3 In die Formel einsetzen:   10 ∂y P0 E= = −3 ∗ = −1,5 ∂x Q0 20 Wir bekommen eine negative Elastizität, was relativ normal ist, denn eine Erhöhung des Preises verursacht eine niedrigere nachgefragte Menge.

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2  Einführung in die Differenzialrechnung

Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir eine Einführung in die Differenzialrechnung mit konkreten Anwendungsmöglichkeiten und Beispielen aus den Wirtschaftswissenschaften erhalten. So wurde die Wichtigkeit der Differenzialrechnung für das Lösen wirtschaftlicher Probleme dargestellt. Im dritten und letzten Kapitel wird es um die Integralrechnung gehen, die einige wenige Anwendungen in der Einführung der Wirtschaftswissenschaften findet.

3

Einführung in die Integralrechnung

Die Analysis besteht aus der Differenzialrechnung (s. Kap. 2) und der Integralrechnung. In diesem Kapitel widmen wir uns der Integralrechnung und einer ihrer wirtschaftlichen Anwendungen. Für Studierende der Wirtschaftswissenschaften hat die Integralrechnung in den ersten Jahren begrenzte Anwendungsgebiete. Deswegen konzentrieren wir uns hier nur auf die wesentlichen Aspekte der Integralrechnung.

3.1 Was ist die Integralrechnung? Die Grundidee der Integralrechnung besteht darin, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen. Man kann aber auch sagen, dass es sich bei der Integralrechnung um die Umkehrung der Differenzialrechnung handelt (das sogenannte unbestimmte Integral). Für die Einführung in die Integralrechnung genügt es allerdings, sich auf das bestimmte Integral zu begrenzen, d. h. die Fläche unter einer Kurve zu berechnen und ihre ökonomische Anwendung zu betrachten.

3.2 Das bestimmte Integral Nehmen wir z. B. die Kurve in Abb. 3.1. Wir wollen die Fläche unter der Kurve zwischen 0 und 4 bis zur x-Achse berechnen. Eine Methode wäre, die Fläche A in unendliche Rechtecke mit unendlicher geringer Breite unterteilen und ihre Flächen aufzusummieren (s. Abb. 3.2). Nehmen wir an, wir wollen die Fläche unter der Kurve bis zur x-Achse berechnen. Ohne die Analysis würden wir den Abschnitt von a bis b in Rechtecke unterteilen. Die Breite jedes Rechtecks wäre ∆xi und die Höhe yi (d. h. f(xi)); dann © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 P. Peyrolón, Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, essentials, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30016-6_3

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3  Einführung in die Integralrechnung

Abb. 3.1   Fläche unter einer Kurve

Abb. 3.2   Endliche Rechtecke unter einer Kurve (ver video introductorio de khan)

wäre die Fläche jedes Rechtecks gleich dxi * f(xi) (s. Abb. 3.2). Wenn wir jetzt all diese Rechtecke Ai zusammenaddieren, dann haben wir einen guten Annäherungswert von der Fläche unter der Kurve von f(x) bis zur x-Achse.

H o¨ he: f (xi ), Breite: �xi , Fla¨ che eines Rechteckes = f (xi ) ∗ dxi

Ann¨aherungswert der Gesamtfl a¨ che =

n 

f (xi ) ∗ dxi

i=1

Diese Summe nennt man Riemann-Summe, benannt nach ihrem Entwickler, dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann. Grafisch bedeutet die ­Riemann-Summe die Annäherung der Fläche unter dem Funktionsgrafen durch Rechtecke. Um den Annäherungswert zu verbessern, könnte man dünnere Rechtecke zeichnen (s. Abb. 3.3). dx würde dann immer kleiner werden – man

3.2  Das bestimmte Integral

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Abb. 3.3   Unendliche Rechtecke einer Kurve (jetzt ganz schmal)

sagt „infinitesimal klein“ – und n (die Zahl der Rechtecke) würde immer größer werden – man sagt „unendlich groß“. Dass n gegen unendlich geht, bringt uns zum Konzept des Grenzwerts, den wir in Kap. 1 eingeführt haben, und so würden wir es mathematisch ausdrücken:

Ann¨aherung durch den Grenzwert: lim

n→∞

n 

f (xi ) ∗ dxi

i=1

Und somit haben wir die bestimmten Integrale durch den Grenzwert definiert:

lim

n→∞

n  i=1

b

f (xi ) ∗ dxi = ∫ f (x)dx a

(3.1)

(Ausgesprochen: „Integral von f von x von a bis b“, oder, „Integral von f von x in den Grenzen von a bis b“). Das Integralzeichen ∫ ist aus dem Buchstaben „langes S“ hervorgegangen und steht für „Summa“ (Latein für Summe); eingeführt hat es Gottfried Wilhelm Leibniz. Was bedeutet diese Formel (Gl. 3.1)? Die Länge (in diesem Fall die Höhe) ist durch f(x) gegeben und die Breite durch dx, wobei dx für infinitesimal klein steht; also steht die obige Formel für die Summe aus unendlich vielen, unendlich schmalen Rechtecken mit einer Höhe von f(x) und eine Breite von dx. Da die Breite von dx gleich die Distanz zwischen b und a geteilt durch die Anzahl n von Rechtecken ist, können wir schreiben:

lim

n→∞

n  i=1

b

 n   (b − a) f (xi ) ∗ n→∞ n i=1

f (xi ) ∗ dxi = ∫ f (x)dx = lim a

(3.2)

36

3  Einführung in die Integralrechnung

Und Gl. 3.2 definieren wir als das bestimmte Integral: b

Das bestimmte Integral von a bis b, ∫ f (x)dx, ist der Grenzwert aller a

­ iemann-Summen, wenn die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich geht und die R Breite aller Rechtecke gegen null geht.

3.3 Die unbestimmten Integrale Wir haben zu Beginn festgehalten, dass die Integration die Umkehrung der Differenziation ist. Betrachten wir dies ein bisschen näher. Die Funktion, die wir mit der umgekehrten Differenziation bekommen, ist die sogenannte Stammfunktion. Zum Beispiel wissen wir, dass die Ableitung von 3x4 gleich 12x3 ist, also ist die Stammfunktion von 12x3 gleich 3x4. Im vorherigen Kapitel haben wir die Kostenfunktion differenziert, um die Grenzkosten zu erhalten; jetzt haben wir die Grenzkosten gegeben, integrieren sie und erhalten so die Kostenfunktion, die wir als Stammfunktion bezeichnen. In mathematischer Sprache liest es sich so: Gegeben ist eine Funktion f. Die Funktion F, deren Ableitung F′(x) gleich die Funktion f(x) ist, nennt man Stammfunktion; es gilt also F′(x) = f(x): Das unbestimmte Integral ∫ f (x)dx = F(x), bei der f(x) die Ableitung von F(x) ist; f(x) nennt man Integrand. Das Integralzeichen ∫ zeigt uns, dass f(x) integriert werden soll; dx sagt uns, nach welcher Variable integriert werden soll (in diesem Falle nach x). Die Funktion F(x) kann nicht eindeutig sein, denn wenn F(x) die Ableitung f(x) enthält, dann ist F(x) + c, bei der c eine beliebige Konstante ist, und die Ableitung jeder Konstante ist gleich null (Differenziationsregeln, Kap.  2, Tab. 2.1). Deswegen wird das unbestimmte Integral immer mit einer Konstante geschrieben, die man Integrationskonstante nennt. Die Ableitung bleibt aber gleich, da es sich nur um eine Konstante handelt. Im folgenden Beispiel wird dieses Konzept deutlicher: Wir nehmen die Funktion F(x) vom vorherigen Beispiel, F(x) = 3x4; die Ableitung F′(x) ist gleich 12x3; aber auch von F(x) = 3x4 + 2, von F(x) = 3x4 + 3, usw. Jede Funktion der Form F(x) = 3x4 + c, mit c als Konstante, ist eine Stammfunktion von 12x3. Da die Ableitung einer Konstante gleich null ist, können wir jede beliebige Konstante hinter 3x4 addieren und werden immer 12x3 als Ableitung bekommen. Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist also die Familie aller Stammfunktionen. Bei unserem Beispiel ist das unbestimmte Integral ∫ 12x 3 dx = 3x 4 + c.

3.4  Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

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Es ist deswegen unbestimmt, weil es sich um eine Menge von Stammfunktionen handelt, die bis auf die Integrationskonstante c gleich sind. Das bestimmte Integral (Flächen) und das unbestimmte Integral (Stammfunktionen) sind durch einen der wichtigsten Sätze in der Mathematik eng miteinander verbunden, nämlich dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

3.4 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Sei F eine beliebige Stammfunktion der stetigen Funktion f auf dem Intervall [a,b], dann gilt: b

∫ f (x) = F(b) − F(a) a

So lassen sich mit Anwendung des Hauptsatzes Flächen einfach und schnell berechnen. Beispiel: Wir haben die Funktion f(x) = x2+2 (Abb. 3.4) und möchten die Fläche unter der Kurve bis zur x-Achse zwischen den Werten 0,5 und 1 bestimmen. So berechnen wir die Exakte Fläche A unter der Kurve x2 + 2 zwischen 0,5 und 1: Da ∫ x 2 + 2 = 13 x 3 + 2x, gilt 1 1 3,875 1 ∫ f (x) = F(1) − F(0,5) = ( 13 + 2) − ( 0,53 + 1) = 3 3 3 0,5

Abb. 3.4   Fläche unter f(x) = x2 + 2

38

3  Einführung in die Integralrechnung

3.5 Ökonomische Anwendungen Wozu muss man in den Wirtschaftswissenschaften Flächen messen? Um beispielsweise die Konsumenten- und Produzentenrente zu berechnen. Mit beiden Konzepten kann man die objektive Wohlfahrt und die Effizienz eines Marktes bemessen. Die Konsumentenrente ist die Zahlungsbereitschaft eines Käufers abzüglich des tatsächlich bezahlten Preises. Die Zahlungsbereitschaft ist der höchste Preis, den ein Käufer für ein Produkt ausgeben würde. Wenn der Konsument bereit ist, 1000 € für ein Smartphone zu zahlen, das sonst für 800 € verkauft wird, dann hat er eine Konsumentenrente von 200 €. Die Konsumentenrente misst also den Nutzen eines Käufers, wenn er an einem Markt teilnimmt. Im weitesten Sinne ist sie ein objektiver Maßstab für den Wohlstand der Konsumenten. Die Konsumentenrente ist eng verbunden mit der Nachfragekurve. Die Nachfragekurve ist die grafische Darstellung der Korrelation zwischen Preis und nachgefragter Menge eines Produktes. Die Nachfragekurve zeigt zu jedem gegebenen Preis die Menge, die Konsumenten erwerben wollen, also den höchsten Preis, den man für eine bestimmte Menge zu zahlen bereit ist. Somit hätten wir schon die Zahlungsbereitschaft. Wo sich die Nachfrage- und Angebotskurve schneiden, befinden sich der Gleichgewichtspreis (p*) und die Gleichgewichtsmenge (q*) (s. Abb. 3.5). Beim Gleichgewichtspreis p* ist die Menge, die Konsumenten kaufen wollen und können, gleich der Menge q*, die Anbieter verkaufen können und wollen. Jetzt muss nur noch die Fläche unter der Nachfragekurve und über dem Gleichgewichtspreis (die horizontale Linie p in Abb. 3.5) bestimmt werden, um die Konsumentenrente zu erhalten. Mithilfe der bestimmten Integrale berechnen wir die Fläche unter der Nachfragekurve bis zur x-Achse. Davon müssen wir die Fläche unter der Horizontallinie p abziehen, da sie nicht zur Konsumentenrente gehört (Fläche PR + A) in Abb. 3.5) (D für Demand, Nachfrage; S steht für Supply, Angebot) q∗

∫ D(q)dq − p ∗ q ∗ 0

Abb. 3.5   Konsumentenund Produzentenrente (KR & PR)

3.5  Ökonomische Anwendungen

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Dasselbe gilt für die Produzentenrente (der Verkaufspreis abzüglich der Produktionskosten eines Produktes). Die Verkaufsbereitschaft ist der Minimumpreis, zu dem ein Verkäufer zum Verkauf eines Produktes bereit ist. In diesem Fall suchen wir also die Fläche unter der Linie p (die Horizontale durch den Gleichgewichtspreis p*) und die Angebotskurve (s. Abb. 3.5) q∗

p ∗ q ∗ − ∫ S(q)dq 0

Die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente ergibt die Gesamtrente, die uns mitteilt, ob die Allokation der Ressourcen effizient ist. Effizienz, und somit der objektive Wohlstand, wird nur bei maximaler Gesamtrente erreicht, also maximaler Produzenten- und Konsumentenrente. Wir verdeutlichen dies im folgenden Beispiel: Nehmen wir an, die Nachfragekurve eines Produktes wäre p = D(q) =− 0,8q + 150 und die Angebotskurve wäre p = S(q) = 5.2q. Gesucht wird i. der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, ii. die Konsumentenrente, iii. die Produzentenrente.

i. Das Gleichgewicht befindet sich dort, wo sich die Angebotskurve und die Nachfragekurve schneiden:

Gleichgewicht → Angebotskurve = Nachfragekurve −0,8q + 150 = 5,2q q = 25 ii. Die Konsumentenrente ist die Fläche unter der Nachfragekurve abzüglich der Fläche unter der Horizontallinie vom Gleichgewichtspreis q∗

∫ D(q)dq − p ∗ q ∗ 0 25

∫ (−0,8q + 150)dq − 130 ∗ 25 = C250. 0

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3  Einführung in die Integralrechnung

iii. Die Produzentenrente ist die Fläche über der Angebotskurve bis zur Horizontallinie vom Gleichgewichtspreis abzüglich der Fläche unterhalb der Angebotskurve bis zur x-Achse q∗

p ∗ q ∗ − ∫ S(q)dq 0 25

130 ∗ 25 − ∫ 5,2qdq = C1625. 0

Zusammenfassung Mit der Integralrechnung kann man Flächen unter einer Kurve berechnen. Dies ist in den Wirtschaftswissenschaften nützlich, um Konsumenten- und Produzentenrente – und somit den objektiven ökonomischen Wohlstand – zu bestimmen.

Was Sie aus diesem essential mitnehmen

• • • •

Kurze Geschichte der Analysis Das Konzept des Grenzwertes Ableitung einer Funktion Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 P. Peyrolón, Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, essentials, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30016-6

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Literatur

Ayres, I. (2007). Super crunchers: Why thinking-by-numbers is the new way to be smart verlag (1. Aufl.). New York: Bantam. Launay, M. (2018). Der große Roman der Mathematik, von den Anfängen bis Heute. München: Beck.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 P. Peyrolón, Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, essentials, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30016-6

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