Análise Linear de Sinais: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios [1 ed.] 8521214154, 9788521214151

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ANÁLISE LINEAR DE SINAIS 1

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ANALISE LINEAR DE SINAIS Teoria. ensaios práticos e exercícios

CADEMIA BRASJLEIRA .,uE CIENCIAS MCIU�I

,

ANALISE LINEAR DE SINAIS Teoria, ensaios práticos e exercícios

José C. Geromel Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, UNICAivIP

Grace S. Deaecto Faculdade de Engenharia Mecânica, UNICA�•IP

Análise linear de sinais: teoria, ensaios práticos e e.xe.rcicios

Cl 2019Josê C. Geromel, Grace S. Deaecto Editora Edgard B1ücher Ltda. 1ª reimpressão- 2019

Blucher Rua Pedroso Alvarenga, 124S, 4° andar 04S31-934 - São Paulo - SP - Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 [email protected] www.blucher.com.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Angélica llacqua CRB·B/7057 Geromel, José e. Anãlise linear de sinais : teoria. ensaios práticos e exercicios / José C. Geromel e Grace S. Oeaecto. São Paulo: Blucher. 2019. 334 p.: 11.

Bibliografia Segundo o Novo Acordo OrtogrMlco, conforme S. ed. do Vocabulário Onográ(ico do Língua Ponugueso. Academia Brasileira de Letras, março de 2009.

ISBN 978-BS-212-1415-l (Impresso) ISBN 978-BS-212-1416-8 (e-book) 1. Processamento de sinais 2. Sistemas lineares 3. Análise de sistemas 4. Engenharia elétrica S. Teoria dos sinais 1. Oeaecto, Grace S.

É proibida a reproduçâe total ou pardal por quaisquer meios sem autcrtaaçâo escrita da editora.

Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blucher lida.

18-2278

coo 621.3823 lodice para catálogo sístemáncc:

1. Processamento de sinais - Engenharia elétrica

Este livro é dedicado ao professor )'aro Burian Jr. por suas contribuições ao ensino de engenharia no Brasil.

Conteúdo •

Prefácio & Agradecimentos 1

Considerações Preliminares

1

. . . . . . . . A Função Zeta . .

1 •

Modelagem de Vazão .

•

Oscilações Mecânicas .

•

1.1

Introdução .

J.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

1.2 1.3 1.4 1.5 2

XI

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4 7 13 17 19 27 28

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29

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Contínuo Discreto

Análise de Sinais Periódicos 3.1 Introdução . . . . . . . . . 3.2 Representação de Sinais . 3.3 Sinais a Tempo Contínuo 3.4 Sinais a Tempo Discreto .

•

29 33 33 40 48 50 56 63 63

•

69 69 69 73 79

•

2.3 Sistemas . . . . . . . . . . . . 2.3.l Sistemas a Tempo Contínuo . 2.3.2 Sistemas a Tempo Discreto 2.4 Notas 13ibliográficas 2.5 Exercícios . . . . . . . . . 3

2

•

Oscilações Elétricas Requisitos Básicos . . . . . Descrição dos Capítulos e Apêndices Notação . . . . . Notas Bibliográficas

Sinais 2.1 Introdução . . . . . . 2.2 Propriedades Básicas . 2.2.l Sinais a Tempo 2.2.2 Sinais a 'Iempo

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Conteúdo •

Prefácio & Agradecimentos 1

Considerações Preliminares

1

. . . . . . . . A Função Zeta . .

1 •

Modelagem de Vazão .

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Oscilações Mecânicas .

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1.1

Introdução .

J.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

1.2 1.3 1.4 1.5 2

XI

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4 7 13 17 19 27 28

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Contínuo Discreto

Análise de Sinais Periódicos 3.1 Introdução . . . . . . . . . 3.2 Representação de Sinais . 3.3 Sinais a Tempo Contínuo 3.4 Sinais a Tempo Discreto .

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29 33 33 40 48 50 56 63 63

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69 69 69 73 79

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2.3 Sistemas . . . . . . . . . . . . 2.3.l Sistemas a Tempo Contínuo . 2.3.2 Sistemas a Tempo Discreto 2.4 Notas 13ibliográficas 2.5 Exercícios . . . . . . . . . 3

2

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Oscilações Elétricas Requisitos Básicos . . . . . Descrição dos Capítulos e Apêndices Notação . . . . . Notas Bibliográficas

Sinais 2.1 Introdução . . . . . . 2.2 Propriedades Básicas . 2.2.l Sinais a Tempo 2.2.2 Sinais a 'Iempo

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CONTEUDO

VIH

3.5 3.6

4

5

6

7

Notas Bibliográficas Exercícios . . . . . .

Transformada de Fourier 4.1 Introdução. . . . . . . . . . 4.2 Sinais a Tempo Contínuo . 4.2.1 Propriedades Básicas 4.2.2 Sistemas . . . . . . . 4.3 Sinais a Tempo Discreto . . 4.3.l Propriedades Básicas 4.3.2 Sistemas . . . 4.4 Análise Numérica . . 4.5 Notas Bibliográficas 4.6 Exercícios

87 88

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93

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93 94 104 112 114 124 130 132 136 137

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Amostragem 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Amostragem de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Amostragem e Reconstrução Aproximada de Sinais . 5.2.2 Amostragem Dual . . . . . . . . 5.3 Discretização de Sistemas . . . . . . . . 5.3.1 Função de Transferência Pulsada • • 5.4 Notas Bibliográficas • • 5.5 Exercícios . . . . . . . . •

141

Filtragem Determinística 6.1 Introdução. . . . . . . . 6.2 Filtragem a Tempo Contínuo 6.2.l O Filtro de wíener . 6.2.2 Filtros Analógicos . 6.3 Filtragem a Tempo Discreto 6.3.1 O Filtro de Wiener 6.3.2 Filtros Digitais 6.4 Notas Bibliográficas 6.5 Exercícios . . . . . . •

179

Filtragem Estocástica 7.1 Introdução. . . . . . . . . . . 7.2 Filtragem a Te111po Contínuo 7.2.1 O Filtro de Wiener . .

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141 142 153 162 165 168 173 174

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179 181 181 191 203 203 210 217 218

223 •

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. 223 . 224 . 226

C01VTEÚDO

7.3 7.4 7.5 7.6 8

LX

Piltrugem a Tempo Discreto . . 7.3. l O Filtro de \.Viener . . . Dctcnninístico versus Estocástico Notas Bibliográficas Exercícios . . . . . . . . . .

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Modelagem e Ensaios Práticos 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

I ntrod uçâo . . . . . Eletrocardiograma . Rádio AM . . . . . . Vibrações Mecânicas Notas Bibliozráficas o

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Exercícios . . . . . .

A Noções Básicas de Cálculo e Simulação A.! Vetores e Matrizes . . . . . . . A.2 Problema de Norma Mínima . . A.3 Funções de Variéveís Complexas A.4 Simulaçâo .

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B Probabilidade B.l Definições e Conceitos Básicos . B.2 Variável Aleatória B.3 Duas Variáveis A.leatórias

Bibliografia

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240 242 253 258 258

263 . 263 . 263 . 268 . 276 . 282 . 282 285 . 285 . 289 . 293 . 296 299 . 299 . 302 . 309

317

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Indice

319

Prefácio & Agradecimentos Com este livro conclui-se um projeto que o primeiro autor perseguiu por mais de trinta anos. O de disponibilizar, ern língua portuguesa, aos nossos colegas, aos alunos e aos demais eventuais leitores, tuna visão inédita sobre sinais, sistemas e controle. Temas que estão na base do aprendizado dos diversos cursos de graduação e de pós-graduação em engenharia e ciências exatas. Embora, de urna série de três, este seja o último a ler sido escrito. ele deve ser encarado corno sendo o primeiro, pois alicerça os conteúdos dos demais. a saber: • José C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Análise Linear de Sistemas Dinâmicos: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios, 2.!!. ed., Edgard Blücher, São Paulo, 2011. • José C. Geromel e Rubens H. Korogui. Controle Linear de Sistemas Dinâmicos: Teoria, Ensaios P,·áticos e Exercícios. 1!!. ed., Edgard Blücher, São Paulo, 2011. Ao todo, eles perfazem mais de mil páginas de material acadêmico e científico que colocam em clara evidência o objetivo comum de todos os autores de contribuir para o desenvolvimento de urna literatura técnica autóctone do nosso país. Desde o início, e esta é uma marca presente neste conjunto de livros, todos eles têm em comum o atribulo Lineor, que se mostrou essencial para circunscrever os lemas tratados em um ambiente teórico unificado, com grande potencial para generalizações e aplicações práticas. Não foi fácil escrever este livro. Achar o tom adequado para expor, mais urna vez, os diversos ternas que já foram tratados de forma magistral por diversos outros autores, nos livros clássicos citados no seu conjunto de referências, constituiu um obstáculo quase intransponível. Entretanto, acreditamos tê-lo ultrapassado ao colocarmos ern evidência, desde o seu início, o imenso potencial dos assuntos considerados na abordagem e resolução de problemas que enfrentamos cotidianamente. Neste sentido, o cálculo numérico foi utilizado de maneira intensa, corno

XlJ

PREFÁCIO & AGRADECIA1ENTOS

ferramenta útil e eficaz no tratamento de problemas de análise e de síntese reais, os quais. em geral, necessitam a manipulaçâc de grande quantidade de dados. Embora de forma diversa da usual, não podcrfamos deixar de abordar os teruas centrais, como por exemple a Série e a Transformada de Fourier, o Teorema de Parseval e o Teorema da Amostragem, dentre outros. Entretanto, fomos além ao oferecermos particular atenção ao célebre Filtro de Wiener, atuando tanto em ambiente determinístico como estocástico. Acreditamos que, por sua importância teórica, ele merece ser ensinado para alunos de graduação, o que não se vê atualmente na literatura técnica disponível. Esperamos que este esforço seja do agrado de todos os leitores. Fornos beneficiados 00111 a paciência e a compreensão de muitos colegas e alunos aos quais apresentamos e discutimos partes do texto quando ele ainda estava em elaboração. As palavras de incentivo, sempre recebidas, foram essenciais para que a sua conclusão, de fato, pudesse ocorrer. Por fim, agradecemos ao CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico e à FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo pelo apoio que nos tem dado ao longo dos anos. E1n especial, desejamos mencionar o programa Produtividade em Pesquisa - CNPq, do qual fazemos parte. que torna possível a execução de projetos de longa duração come este. O texto e as figuras foram editados pelos autores, em [!}TE)(.

Campinas. São Paulo, janeiro de 2019.

José C. Ceromol Grace S. Deaecto

Capítulo 1

Considerações Preliminares 1.1

Introdução

Começa urna aventura! Na verdade é urna aventura que continua, ela corneçou há pelo menos 2.300

anos com Euclides e sua obra monumental Os Elementos. livro que até os dias atuais inspira todos aqueles que desejam aprender os meandros fantásticos da Matemática e suas aplicações. O Teorema Fundamental da Aritrnética (TFA.)1 provado por Euclides, enuncia que todo número inteiro positivo [maior do que um) pode ser escrito como o produto de números primos. Deixando de lado pertnutaçôcs, esta forma de expressar os números inteiros positivos é única. Corno consequência, Euclides

também provou o que hoje chamamos de Teorema de Euclides, que diz: O conjunto dos mimeros primos contém u1n nú1nero infinito de elementos. Tendo cm vista que os números primos parecem se tornar cada vez mais raros à medida que se avança no eixo dos números inteiros positivos, este resultado causa certa surpresa e tem um im pacto singular na teoria dos números e cm várias áreas da ciência. Além disso, para poder provar tal afinnação, Euclides lançou mão, pela primeira vez, de u111 argumento lógico que seria muito utilizado e111 tempos futuros: a p1vva por redução ao absurdo. Mas o TFA permite tuna outra interpretação muito interessante. O conjunto dos números primos é a parte fundamental do conjunto dos números inteiros positivos - embora seja apenas parte, com ela se gera o todo. A parte fundamental de qualquer conjunto recebe o 1101ne de base. Conhecemos e operamos com muitos outros conjuntos e suas bases. Por exemplo, sendo IR.3 o conjunto de todos os vetores v com três componentes reais. se escolhermos três deles, v1, '1.12 e v3,

CAPÍTULO 1. C01VSIDERAÇOES PRELIA,JINARES

2

linearmente independenles, islo é, de tal forma que a matriz quadrada V = [v1 Vz v3] E IR3x3 seja não singular, então esses três vetores formam urna base (que não é única) para o R.3. Esta afirmaçâo se comprova pela existência de três números reais o1, o2 e o3 que são capazes de gerar qualquer vetor v E IR.31 através da operação

(1. 1) denominada co,nbinação linear. Existem outros conjuntos e suas bases que são de grande utilidade. Considere o intervalo de tempo t E [-To/2, To/2] C IR com To > O e as funções 2 f,(t) = e7w,t, w; = rr i (1.2)

To para todo i E Z com domínio em IR e imagem cm C. São infinitas funções que formam uma base para o conjunto das funções contínuas g(t) cem domínio

ltl < T0/2

e imagem em C. Ou seja, toda e qualquer função g(t) desse conjunto

pode ser escrita na forma de uma combinação linear com infinitos termos

g(t) =

=

I:

a;J;(t)

(1.3)

ic;;;c-co

desde que os coeficientes Oi para todo i E Z sejam apropriadamente determinados. O ponto central é que a base assegura a existência de coeficientes de tal forma que (1.3) seja satisfeita. A escolha desta base e a detenninação surpreendentemente simples dos coeficientes Oi para todo i E Z resulta na célebre série de Fourier, que é urna das ferramentas matemáticas de maior uso no âmbito da análise e da síntese de sinais e sistemas. Aliás, corno tentaremos ilustrai· cm seguida. trata-se de tuna ferramenta de largo uso em vários campos da engenharia e das ciências exatas.

1.1.1

A Função Zeta

Como primeira aplicação a ser estudada, vamos voltar a analisar um aspecto da teoria dos números. Foi Euler que aplicou o TFA de urna forma que levou a uma igualdade surpreendente, que permitiu a fonnulação de um problema matemático até hoje não resolvido - a hipótese de Riemann. Obviamente não é nosso propósito analisar de maneira geral este difícil problema, mas desejamos calcular, a partir de um ponto de vista alternativo, em alguns casos particulares, a chamada função zeta. Nesses casos, ela assume a forma mais simples

((nl

=

=1

I:,,' . 1=l

(1.4)

1.1. l1VTRODUÇAO

3

em que n > 2 é um número inteiro. Sabemos que para ·n > 2 esta série infinita converge. ruas o problema que se coloca é corno detenninar o seu valor. Euler notou que o TFA poderia se aplicado para determinar a soma 00

1

1=!

'

1 ��p• 00

I:-c

rr

pEP

1

(1.5)

1 _ p-,

em que IP denota o conjunto de todos os números primos. Observe que O < 1/p < 1 para todo p E IP, o que assegura a convergência 2 é um número inteiro. Sabemos que para ·n > 2 esta série infinita converge. ruas o problema que se coloca é corno detenninar o seu valor. Euler notou que o TFA poderia se aplicado para determinar a soma 00

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1 ��p• 00

I:-c

rr

pEP

1

(1.5)

1 _ p-,

em que IP denota o conjunto de todos os números primos. Observe que O < 1/p < 1 para todo p E IP, o que assegura a convergência O,lX(O) [1113/sJ. Essas hannônicas mais significativas se destacam claramente no espectro do sinal que está colocado na parte inferior da Figura 1.2. Elas ocorrem para i = 85 e i = 170, seus valores são

X(85)/N0

= 279 - jl40,

e as frequências a elas associadas w; Wg5

X(l70)/N0

= 86- j45

(1.12)

= (21r/N0)i [rad/mês] são detenninadas

= 0,5236,

W17Q

= 1,0472

( 1.13)

1.1. l1VTRODUÇAO

7

Com estes valores, julgados os mais significativos do espectro da transformada de Fourier discreta, podemos reconstruir a vazão d{k). mas impondo um truncamcnto cm (4.93) que leva cm conta apenas as harmônicas desejadas, ou seja,

d,,un(k) = 912 + 624cos(0.5236k - 0,4668) + 194cos(l,0472k - 0,4886)

(1.14)

Dois aspectos devern ser ressaltados. O primeiro diz respeito à precisão com que este sinal truncado dtru,1(k) representa o sinal verdadeiro d{k). Esta questão é respondida pelo cálculo do valor eficaz do erro entre os dois sinais tomado em relação ao valor eficaz do sinal. Com a definição de valor eficaz de sinais dada em (2.28), vem Jld - d,,.,, 11;1 {1.15) = 0,1345 Jldll;i o que coloca cru evidência que o truncamento sugerido introduz urna perda de aproximadamente 13% e1n termos de potência do sinal original. O segundo aspecto diz respeito à periodicidade do sinal truncado. Cada uma das funções cosseno que aparece em (1.14) é periódica com período 2rr/wi = No/i = {6, 12} meses, fazendo com que o sinal truncado dtruri(k) tenha u111 período igual a 12 meses. Isto faz todo o sentido, pois a vazão d(k) certamente depende do ciclo climático definido periodicamente pelas estações do ano. O fato interessante é que o espectro da transfonnada discreta de Fourier foi capaz de capturar este fenômeno natural através de unia função periódica simples, que resulta da 00111posição de uma constante e dois cossenos.

1.1.3

Oscilações Mecânicas

Oscilações mecânicas, ou vibrações, podem ser observadas eru diversos sistemas dinâmicos as quais, em geral, ocorrom cem dissipação de energia, fazendo com que cessem no decorrer do tempo. Oscilações mecânicas que ocorrem em uma única dimensão do espaço são, por exemplo, aquelas produzidas pelo sistema csquematizado na parte superior da Figura 1.3. Trata-se de urna massa A1 = 10 [kg] que se desloca sob a ação de uma força externa, com intensidade g(t) [N], que está conectada a unia mola com coeficiente de elasticidade J( = 50 [N /111] que satisfaz a lei de Hooke e cujo movimente está livre de atrito 00111 o solo. Entretanto, ao se movimentar, ela está sujeita a uma força de atrito viscoso, proporcional à sua velocidade, com coeficiente B = 10 [Ns/1nJ. Assim sendo, considerando que a origem do referencial inercial y foi determinada com a rncla na situação normal, o deslocamento horizontal da massa é dado pela equação diferencial de segunda ordem Afjj = -By- f(y+ 9 { l.16)

CAPÍTULO 1. C01VSIDERAÇOES PRELIA'1INARES

8

y

g(t)

K

AI

x,

•

1

'íliJJí'

f-

8

• • •

• 'IJJiiJ'

XN

y

f-

f-

8

K

'IJJiiJ'

g(t) ,11 �

Figura 1.3: Osciladores mecânicos

que foi obtida pelo equilíbrio dinâmico das forças que agem na massa. Com as propriedades da transformada de Fourier estudadas no Capítulo 4 determina-se a função de transferência entre a força fj(w) (entrada) e o deslocamento da massa Y(w) (saída). que se escreve na forma 1 10s2 +!Os+ 50

(1.17) S=JW

Trata-se de uma função de transferência que é sempre causal (pois existe na vida real) e é assintoticamente estável (pois está dissipando energia através do atrito viscoso), sendo que os seus dois polos estão localizados no interior do semiplano esquerdo complexo. Esta última propriedade decorre do fato de todos os parâmetros M, B e J( serem positivos. Desejamos saber corno a massa se move sob a ação de urna força periódica, com período T > O, cujo primeiro período é dado por

O< t < roTo roTo < l < To

(1.18)

cm que T0 = 10 [s] e g0 = 50 [NJ e r0 = 011 é denominado fator de ocupação. Corno se trata de u m sinal periódico, a sua série de Fourier é calculada segundo o procedimento dado no Capítulo 3, ou seja, 00

g(t) -

L 1=-00

a,,,;w,t

(1.19)

1.1. l1VTRODUÇAO

9

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o

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t [sJ

Figura 1.4: Oscilações amortecidas com força externa

ern que w,

= (2rr/To)i e o;

2_ {To g(t)e-Jw,tdt To

lo

rogoe-111-rº'sinc( 7lToi)

(1.20)

para todo i E Z. A função sinc(w) = scn(w)/w, definida para todo w E IR, • inclusive etn w = O, será utilizada inúmeras vezes neste livro. E urna função par cujo máximo sinc(O) = 1 ocorre para w = O e é nula nos pontos em que wE {rri}iEZ· Se o sinal periódico g(t) for substituído por sua série de Fourier (1.19), a resposta do sistema dinâmico é também periódica e a sua série de F'ourier é composta por funções exponenciais que dependem das mesmas frequências w, = (21r/T9)i para todo i E Z. Ademais, os coeficientes desta série são dados por /Ji = h(jwi)oi I i E Z sendo, portanto, calculados sem nenhuma dificuldade. A parte superior da Figura 1.4 mostra e111 linha contínua o sinal correspondente à força externa g(t) calculada com os termos i E [-50, 50] e, cru linha tracejada, o 111esn10 sinal calculado com apenas os termos i E [-5, 5]. A diferença entre os dois sinais é visível. Na parte inferior da Figura 1.4 mostramos os deslocamentos da massa obtidos co111 as aproxilnações mencionadas. A diferença praticamente desaparece devido à atenuação imposta pela função de transferência Íi(s)ls=Jw cm

10

CAPÍTULO 1. C01VSIDERAÇOES PRELIA'1INARES

altas frequências. A série de F'ourier constitui urna ferramenta notável na análise de sinais e de sistemas lineares invariantes no tempo, um importante atributo a ser estudado maís adiante. Na parte inferior da Figura 1.3 mostramos uma situação muito mais complexa, mas que pode ser analisada com o mesmo ferramental matemático. Agora o sistema massa-rnola anterior está ligado a um conjunto composto por A' massasmolas com massas rn1, 1n2, - - - 1nN [kg] e 00111 molas idênticas, cada uma delas com coeficiente de elastlcidade x [N/111) e com coeficiente de atrito viscoso b INs/nt]. As equações que descrevem os deslocamentos das massas, segundo os referenciais mercrais indicados na mesma figura, resultam do equilíbrio dinâmico de forças, ou seja, (1.21)

parai= 1. 2, · · · , N -1. Como a primeira mola está com tuna das suas extremidados engastada na parede, devemos impor a condição de contorno xo = O. Por outro lado. como a última massa do conjunto está conectada a urna mela com coeficiente de elasticidade diferente dos demais, a equação do seu deslocamento torna-se (1.22) em que, por conveniência, de.notamos y = XN+l. Finalmente, com esta mesma notação, a equação que descreve o deslocamento da massa J.)1 sob a ação da força externa g se expressa na forma (1.23) .:\o compararmos as equações {1.16) e {1.23), notamos que agora o deslocamento

da massa AJ depende não apenas da ação da força externa. mas também da força produzida pela mola devido à sua posição relativa medida em relação à última massa do conjunto. Definindo o vetor coluna de dimensão /V+ 1 composto pelos deslocamentos de cada urna das massas

x, (1.24)

x= x,v+1

as matrizes diagonais com N + 1 elementos, respectivamente, de massa e de coeficiente de atrito viscoso 1

diag{uii,··· ,·m1v,A f} diag{b,··· ,b, B)

(1.25) (1.26)

1.1. l1VTRODUÇAO

bem como a matriz (1V

I O. A transformada de Fourier de urna função a tempo contínuo /(t) ou de tuna função a tempo discreto f(k) são denotadas indistintamente 001110 F(w), Í(w), FIJ(t)] ou Flf(k)]. Sempre que possível, empregamos letras minúsculas para a resposta ao impulso e a mesma letra maiúscula para denotar a função de transferência a ela associada. Da mesma forma, matrizes são denotadas com letras maiúsculas e vetores 00111 letras minúsculas, assim, A E IR"xm denota unia matriz real com n linhas e 1n colunas e v E IR'' denota um vetor real com n elementos, sempre considerado u111 vetor coluna. O vetor linha, transposto de v, é denotado por v'. Para números complexos z E C, empregamos z• para denotar o seu conjugado e para vetores ou matrizes complexas v E C" o seu conjugado transposto é denotado como v~. As operações de convolução cm tempo contínuo e cm tempo discreto são denotadas da mesma forma f (t) * h(t) e f (k) * h(k ), respectivamente. O contexto indica de qual domínio estamos tratando. Finahnente, as derivadas primeira e segunda de urna função y(t), exclusivamente e111 relação ao tempo, são denotas por 1.i(t), jj(t) ou por y(ll(t), yl2l(t) e assim sucessivamente.

28

1.5

CAPÍTULO 1. C01VSIDERAÇOES PRELIA,JINARES

Notas Bibliográficas

No final de cada capítulo, incluímos uma breve discussão a respeito da bibliografia disponível sobre o tema tratado. Ela também tenta dar ao leitor maiores informações quanto aos aspectos considerados importantes, mas que foram tratados de fonna subsidiária por fugirem do escopo central do livro. Um deles é, sem dúvida, a implementaçâo numérica de vários resultados teóricos apresentados. A bibliografia que se encontra no final deste livro contém as referências que julgamos bastante relevantes sob dois aspectos distintos. O primeiro diz respeito a resultados bern consolidados que são apresentados de maneiras ou cem propósitos diversos e que devem ser conhecidos através de urna fonte de informaçâo alternativa. Acreditamos que. dessa forma, o leitor possa ter uma visão mais abrangente do assunto. O segundo está ligado a resultados mais recentes, cuja fonte primária procurrunos fornecer. Corno toda bibliografia. a deste livro não é exaustiva nem completa, mas deve ser tomada corno um conjunto inicial de referências que precisa ser aprimorado segundo a opinião e o interesse específico do leitor. Por fim, este capítulo inicial tenta colocar em perspectiva a importância dos resultados matemáticos que serão apresentados ao longo do texto. Neste sentido, acreditamos que a referência [8] tenha particular interesse ao traçar, com sucesso, o desenvolvimento da matemática sob urna precisa e clara visão histórica.

Capítulo 2

Sinais 2.1

Introdução

A. todo instante estamos imersos em um ambiente que está pleno de sinais. As ondas de rádio e de televisão, as que chegam no nosso telefone fixo (através do fio) e no celular (através do ar) sabemos classificar, corretamente, corno sinais. Mais ainda, o número de ovos colhidos cada dia em um aviário também é um sinal. De forma bastante genérica, todo conjunto de dados organizados segundo uma ordem preestabelecida é um sinal. A ordenação mencionada é realizada com o uso de urna variável independente, ern geral, o tempo t E IR:. que é número real em tempo contínuo, ou k E Z, um número inteiro e111 tempo discreto. Para tornar mais claro este conceito vamos imaginar que um hospital tenha armazenado na posição (i,j) de uma matriz A o número de batimentos cardíacos de cada um dos seus pacientes i E [1.100] durante cada hora j E [1,168] de unia semana. Esta matriz, 00111 elementos Uij, contém 16.800 números, dispostos cm 100 linhas e 168 colunas. que podem ser facihncnte acessados. Por exemplo, para saber como se comportou o coração do paciente número i = 57, basta verificar o sinal ai1 para i = 57 e todo j E [1,168]. Da mesma forma, se desejarmos saber como estavam os pacientes cm u111a determinada hora j = 127, basta analisar o sinal CL;j para j = 127 e todo i E [l, 100]. No primeiro caso a variável independente é o tempo, mas no segundo é o número atribuído a cada paciente. Con10 veremos mais adiante, os sinais são representados matematicamente por funções que levam elementos de IR: ou Z para IR: ou C. Neste sentido, podemos manipular, transformar e representar sinais através da aplicação de qualquer operação matemática válida, com o objetivo de armazená-lo ou dele extrair informaçôes da maneira ruais simples e eficiente possível.

CAPÍTULO 2. SINAIS

30

•

-

;;-. o

,g N

�

""'

'"'" • • • ,.,,•'

. ••

•

••

••

• .___ • • '' , ' • •

••

•

5

6

7

8

9

10

11

12

t [meses]

Figura 2.1: Série histórica de vazões da usina de Furnas Exemplo 2.1 (Série histórica de vazões) Aoperaçãoeficientedasváriasusinashidrelétricas que temos no nosso país requer o conhecimento antecipado das vazões de água nos diversos rios que alimentam cada bacia hidrográfica. A Figura 2.1 mostra as vazôcs mínima e máxima mensais expressas cm [1n3/s] calculadas a partir de medições realizadas mensalmente entre os anos de 1931 e 2014 no reservatório da usina de Furnas. Entre as vazões mínima e máxima desenhadas em linhas contínuas, colocamos em linha tracejada a vazão média mensal do ano 1952. Podemos entender esta figura gráfica de 1.1111 sinal que te111 001110 variável independente o tempo.

001110

a representação D

O exemplo que acabamos de apresentar serve para colocar em evidência alguruas características importantes dos sinais. Elas permitem dividi-los em classes que são tratadas através de ferramentas matemáticas específicas. Para bem evidenciar as diferenças mais marcantes entre os diversos sinais, vamos denotar urn sinal genérico na forma de uma função

se '.D➔ J

(2.1)

com domínio '.D e conjunto imagem (ou simplesmente imagem] 'J. Podemos descrcvcr as seguintes classes: • Sinais a tempo contínuo ou sinais a tempo discreto: Os sinais a tempo contínuo sâo aqueles em que o domínio é o conjunto dos números reais, isto é, '.D = IR. São. portanto, expressos por funções do tipo s(t), definidas para todo t E IR. Os sinais a tempo discreto são aqueles cru que o domínio é o conjunto dos números inteiros, isto é, 1) = Z. São modelados por sequências numéricas do tipo s(k), definidas para todo k E Z. Pode-se obter um sinal a tempo discreto a partir de um sinal a tempo contínuo através de ume operação denominada amostragem, que é caracterizada por

2.1. l1VTRODUÇAO

31

um determinado período T > O, ou seja, s(k) = h(kT) é o valor do sinal a tempo contínuo h(t) avaliado. periodicamente, nos instantes de amostragem t = kT para todo k E Z. • Sinais analógicos ou sinais digitais: Um sinal é dito analógico se a sua imagem J for o conjunto dos números reais IR ou, ainda mais geral, o conjunto dos números complexos C. Se. no entanto, a sua imagem for um conjunto com um número finito de elementos. ele será um sinal digital. Um dos maís conhecidos é o sinal binário para o qual a sua imagem J = {O, 1} tem apenas dois elementos. Pode-se também obter um sinal digital a partir de um sinal analógico através de um processo chamado codificação. Neste processo, o sinal analógico é amostrado e. em seguida. é representado por um número binário que pode assumir apenas um número finito de valores que depende do número de bits disponível. Quanto maior o número de bits, mais próximo o sinal digital se torna do sinal analógico original. • Sinais periódicos ou sinais aperiódicos: Uni sinal s(t) é periódico se existir To > O tal que s(t) = s(t + To), em que t + To E '.D para todo t E '.D e aperiódico caso contrário. O menor valor de To > O é denominado período . • E claro que a restrição t + T0 E '.D delimita os possíveis valores para T0. De fato, para sinais a tempo contínuo To E IR+ e para sinais a tempo discreto To E N. Nota-se imediatamente, e isso é muito importante, que para ser periódico é necessário que o sinal seja definido em todo o intervalo de tempo correspondente ao seu domínio, isto é, t E IR ou k E Z. • Sinais determinísticos ou sinais estocásticos: Sinais perfeitamente conhecidos, corno por exemplo a tensão em um capacitor de um circuito RC alimentado por urna fonte de tensão conhecida, são denominados sinais delenninísticos. Os siuais que só podem ser conhecidos em termos probabilísticos, tais como sua média e seu desvio padrão em cada instante de tempo, são denominados sinais estocásticos. Por exemplo, a vazão cm urna usina pode ser modelada 001110 um sinal estocástico. Este tipo de n10delagem permite fazer estimações sobre comportamentos futuros que são bastante úteis. Essas classes são as mais importantes para os nossos propósitos. De fato, elas são suficientemente delimitadas, ruas ao rucsmo tempo bastante abrangentes, o que torna conveniente estabelecer estudos específicos para cada urna delas. Por exemplo, sinais periódicos são ruais simples de ser analisados pois são completamente conhecidos desde que se conheça o seu comportamento ern um intervalo de tempo correspondente a apenas um único período.

CAPÍTULO 2. SINAIS

32

', ' • ' " '' ' ' ' ' ' ' '" ' ' " ' ' ' ',,' ' ' ,' '' '' ' '' ,,'' '',' '' ' ' ' ' " '

,, ' • '' ' '' ' '' '' ' ' •' ' ' ' ' '

,,

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'

'

-· "

., L___�__JL_.__

o

,

6

t

8

1,1

Figura 2.2: Sinais periódicos Exemp]o 2.2 O sinal s(t) = sen(t) tem domínio IR e imagem [-1, l] C IR. É um sinal a tempo contínuo, analógico e periódico com período To = 2rr. O sinal s(k) = sen(k) tem domlnío Z e imagem [-1, l] e IR. Portanto. trata-se de um sinal a tempo discreto, analógico e aperiódico. É aperiódico pois a igualdade sen(k + 1V0) = sen(k) não tem como ser satisfeita para todo k E Z e algum 1Vo E N. O sinal s(k) = sen({:rr/2}k) tem domínio Z e imagem {-1,0, 1}. Verificamos imediatamente que se trata de um sinal a tempo discreto, digital e periódico, 00111 período 1''0 = 4. D Exemplo 2.3 O sinal s(t) = s1(t) + s2(t) é a soma de dois sinais periódicos s1(t) = sen(r.t) com período To1 = 2 [s] e s2(t) = sen(4t) com período Too= rr/2 [s], 111as não é periódico. Note que, se assim fosse, s(t) = s(t +To)= s1(t +To)+ s2(t + To)- Como s1(t) = s1(t + nT01) e s2(t) = s2(t + mT02) com rn,n EN, então, nT01 = 1nT02 =Toe, portanto, To1/To2 = ni/n deve ser uni número racional. No caso em questão, To1/T02 = 4/-rr, o que indica que o sinal s(t) é aperiódico. Se o segundo sinal for s2(t) = cos(S-rrt/3) com período To2 = 3/4 js], então To1/To2 = 8/3, o que indica que o sinal s(t) torna-se periódico. O seu período é obtido detenninando-se o mínimo múltiplo comum de ambos os períodos {2,3/4}, o que fornece To= 6 [s]. Como pode ser observado na Figura 2.2, esta, operação identifica o menor intervalo de tempo t E [O. To], co111 To > O. c111 que os ciclos periódicos de ambos os sinais coincidem. D

A seguir, passamos a estudar algumas propriedades básicas dos sinais a tempo contínuo e a tempo discreto. Nosso objetivo é introduzir manipulaçôes e colocar em evidência várias propriedades algébricas que permitam tornar operacional o

cálculo envolvendo esta entidade matemática.

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

2.2

33

Propriedades Básicas ,

E importante sabermos como operar com sinais de tuna mesma classe. Daquelas descritas anteriormente, as duas mais abrangentes são as que caractcrizrun os sinais a tempo contínuo e a tempo discreto. As ferramentas matemáticas que devemos empregar para o estudo de cada urna delas, embora tenham como base os mesmos conceitos e princípios, exigem tratamentos diferenciados e específicos. Por este motivo, vamcs estudá-las separadamente para podcnnos colocar cru evidência as suas semelhanças e eventuais diferenças.

2.2.1

Sinais a Tempo Contínuo

Inicialmente, consideramos os sinais com domínio IR e imagem C para, em seguida, fazermos as simplificações necessárias para tratarmos sinais reais, que são aqueles corn imagem no conjunto dos números reais IR. O conceito básico, do qual todos os demais derivam, é o de produto escalar de dois sinais, que é introduzido através da seguinte definição. Definição 2.1 (Produto escalar) O produto escalar de dois sinais f(t) e g(t) com o mesmo domínio IR e únagem C é um número complexo dado por

(f,g) =

1:

f(t)g(t)'dt

(2.2)

Pode-se provar que os axiomas da simetria ((f,g) = (g,f)*), da distributividade((/+ h.g) = (f,g) + (h,g)), da homogeneidade ((>,/.g) = >,(J.g) para ,\ E C) e da positividade ((f,J) > O e é igual a zero se e apenas se f(t) = O para todo t E IR) são válidos para a relação (2.2), desde que os sinais f e g sejam restritos ao conjunto dos sinais contínuos por partes. E1n particular, o da positividade pennite calcular a norma induzida de uni sinal, que é um número real não negativo dado por

11/11

=

✓(/,/) =

1:

l/(t)i2dt

(2.3)

em que é importante observar a possibilidade de a integral divergir. Este é o caso de sinais limitados no tempo por urna constante. Se existir uma constante real o> O tal que 1/(t)I < o para todo t E IR. então 11/11 < +oo. A nonna de um sinal constante no tempo é +oo. Para que a sua norma seja finita é necessário [rnas

CAPÍTULO 2. SINAIS

34

não suficiente) que IJ(l)I ➔ O quando ltl ➔ co. Podemos então concluir que todo sinal periódico tem norma infinita. Uma outra medida do tamanho de um sinal é dada c1n seguida. Definição 2.2 (Valor eficaz) O valor eficaz de u1n sinal J(t) com domínio IR e imagem C é um número real não negativo dado por

11/11,1 -

)2T 1T l/(t)l dt 2

lim T--tOO

(2.4)

-T

Esta definição indica que o valor eficaz de uni sinal tem a simples interpretação de valor médio do seu módulo. Desta forma, sob as mesmas condições anteriores, para um sinal limitado no tempo por urna constante, obtém-se llflle/ < a. O valor eficaz de um sinal constante no tempo é igual ao módulo desta constante. De maneira similar, o valor eficaz de um sinal periódico é igual ao valor eficaz calculado cm apenas um período. De fato. particionando (2.4) em segmentos de tamanho To > O, o seu período, podemos calcular

11/11;1 =

1

L

lim --

111➔00

;0

2m

1 1(11+l)To

m

+

1

n=-ni

o ,T

l/(t)l2dt

n7()

!.To l/(t)l dt 2

(2.5)

Os exemplos resolvidos em seguida permitem ilustrar os diversos aspectos dessas duas definições no contexto de sinais a tempo contínuo, periódicos ou aperiódicos. O objetivo é deixar claro corno essas grandezas são calculadas e quais são as interpretações possíveis que resultam dos cálculos realizados. Exemplo 2.4 Considere o sinal f(t) = eºt com domínio IR: e imagem IR+· Sua norma sempre é +oo para qualquer valor o E IR:. Seu valor eficaz é +oo para todo a f:- O e é 0 igual a llfllet = 1 para a= O. Note que o sinal g{t) = e( +J.B)t com domínio IR: e imagem C é tal que lg{t)I = J(t) = 1/(t)I para todo t E IR.. Assi.tn sendo, a nonna e o valor eficaz de g e de/ coincidem. A norma e o valor eficaz de g(t) não dependem de fJ E IR:. D Exemplo 2.5 Considere o sinal J(t) = a scn(wt) com domínio IR. e imagem [-a, a] e R, em que a e w são números reais positivos. Trata-se de um sinal periódico com período To= 21r/w e, portanto. a sua nonna é +oo. Seu valor eficaz é determinado por (2.5), isto é.

11111;1 -

a 2w 2rr

1

2"1,..,

0

ª'

J.''

a2

2"

2rr o 21r

scn(wt)2dt

1

O

sen({)'d{ 1 - cos(2Ç) -�-'-"-d{ 2

=

a2 2

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

e, assim, 11/11,1 seu período.

� a/./2.

35

Neste caso, nota-se que o valor eficaz do sinal não depende do

o

Exemplo 2.6 Considere o sinal periódico, com período To, definido para todo t E IR, denominado dente de serra. O seu valor no intervalo de tempo correspondente ao primeiro período ltl < To/2 é dado por J(t) = a t. com a> O. A sua norma é +co. Utilizando novamente a expressão (2.5), o seu valor eficaz é determinado, ou seja, a'

1T;f

To

To/2

t2dt

-To/2

a2 12

e, assim. 11/lle/ seu período.

= (aTo)/(2/3). Portanto, neste caso, o valor eficaz do sinal depende do O

Un1 aspecto interessante do cálculo de nonna ocorre quando um sinal é obtido como resultado da combinaçáo linear de m sinais elementares /1(t), ·· - ,fm(t), ou seja.

g(t) -

I: c.J,(t)

(2.6)

i=l

em que e; E C para todo i = 1, • • • , 1n são escalares conhecidos. Os sinais elementares funcionam come se constituíssem uma base no espaço dos sinais, a partir da qual outros sinais mais complexos são construídos através de combinaçôcs lineares adequadas. Aplicando a definição de norma e fazendo uso da sua distributividade, obtemos m

ll9112 =

m

L L e.e;(/.,/,.)

(2.7)

i=I n=I

o que coloca em evidência que a igualdade

IIYII' =

L lc;l ll/;ll 2

2

(2.8)

t=l

se verifica para sinais elementares que satisfaçam as relações

(J,,J,.) -

1:

f;(t)fn(t)'dt - O

(2.9)

para todo i =/ n = 1, · · · , m. Estes sinais são ditos orioqoneis e se, além disso, forem normalizados llli li = 1 para todo i = L · · · , m então tornam-se ortonormois. Neste caso, a igualdade (2.8) se reduz a llglj2 = lc112 + · · · + lc,1112. É claro

CAPÍTULO 2. SINAIS

36

que o ponto central deste desenvolvimento situa-se no conhecimento ou na deternlinação de um conjunto de sinais ortononnais, sobretudo quando o número de sinais elementares for arbitrariamente grande. Este aspecto, por sua importância específica. será objeto de análise detalhada a ser feita mais adiante. Definição 2.3 (Sinal par e sinal ímpar) Um sinal f(t) coni domínio IR é denominado par se f(t) = J(-t) paro todo t E IR e é denominado Í1npar se J(t) � - f(-t) para todo t E IR.

Nota-se que, em ambos os casos, os valores de J(t) em cad� ponto simétrico do seu domínio t > O e t < O guardam alguma simetria entre si. E claro que um sinal qualquer pode não ser par nem ímpar, mas qualquer sinal pode ser decomposto na forma J(t) � Jp(t) + f;(t), em que Jp(t) é a sua componente par e J;(t) é a sua componente Í1npar. De fato, as componentes par e ímpar de um sinal qualquer f(t) são dadas por

1 (f(t) + f(-t)) 2 1 - (f(t) - f(-t)) 2

Jp(t)

!, (t)

(2.10) (2.11)

pois, a partir da simples aplicação da Definição 2.3, conclui-se que o sinal /µ(t) é par e que o sinal J1(t) é Ílnpar. É também possível verificar com algum esforço que, para qualquer sinal. as suas componentes par e Impar são ortogonais. Esta importante propriedade decorre do cálculo do produto escalar

u; f;)

- 1:

fp(t)f;(t)'dt

00

11 11 11

4

2 (IJ(t)l + f(-t)f(t)') dt -

-00

-4

00

-oo

{IJ(-t)l2 + f(t)f(-t)') dt

00

4

-oo

00

11

h(t)dt - 4

h(-t)dt

(2.12)

-co

ern que h(t) = lf(t)l2 + f(-t)J(t)•. Con10 pode ser verificado pela simples mudança de variável T = -t, as duas integrais são iguais e assim temos (fp, Íi) = O. E1n muitas situações é útil lembrar que, para qualquer sinal J(t), o sinal produto a ele associado s(t) = J(t)f(-t) é sempre um sinal par. Observe que o mesmo não ocorre com o sinal resultante da divisão s(t) = J(t)/ J(-l). ainda que esta operação possa ser realizada para todo t E IR.

37

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

Exemplo 2. 7 Considere o sinal /(t) = eºt com domínio IR. e imagem IR+. Este sinal real não é par e também não é impar , mas as suas componentes são ímedíatamente calculadas corno sendo /p(t) = cosh(crt) e /;(t) = senh(ot). O sinal g(t) = e t


1 1

(2.14)

e tem dois pontos de descontinuidade que satisfazem ltl = 1. Ao ser escrita como tuna composiçâo de dois degraus unitários deslocados, ou seja, 19(t) = v(t + 1) - v(t - 1), os valores ,?( -1) = l e ,?( l) = O ficam determinados.

CAPÍTULO 2. SINAIS

38

• Seno normalizado: Trata-se de urna íunção definida na forma .

smc () t

=

{

1 sen(t)/t

, ,

t=O tfO

(2.15)

Deve ser imediatamente notado que esta é uma função contínua em todos os pontos do seu domínio, em particular, em t = O. Ela se anula nos instantes t11 = nrr para todo n E Z. Por fim, desejamos introduzir não unia função, ruas um ente matemático que tem ilnportância capital no estudo de sinais (e de sistemas}. Trata-se do chamado impulso unitário, que é denota.d.o por ô(t) e é definido através das propriedades

1:

ó(t) = O, 'vt f O,

ó(t)dt = 1

(2.16)

Corno o impulso pode ser diferente de zero apenas em t = O, a integral em (2.16) exige que o valor do impulso em t = O seja ilimitado. Várias são as possibilidades para obtermos ô(t) a partir destas duas condições. Urna delas é determinar o impulso unitário através do limite

Ó( t )

=

.] 1111 v(t) - v(l - ,) E➔O+ é

(2.17)

que não pode ser confundido com o valor usual da derivada temporal ô(t) = V(t), , pois a função degrau não é nem mesmo contínua em t = O. E possível interpretar esta relação como sendo u111a derivada genemlizada que pode ser calculada e111 pontos onde a função envolvida não é contínua. Outra possibilidade é

ó(t)

=

e- /'v(t) (. 1 : . ) E-----1'0+ 1

lim

é

em que a função no lado direito. para qualquer t = O. Entretanto, a seguinte forma

ó(t) = lim

c➔O+

é

> O dado, é descontínua ern

(!,) e-'l'v(t) é

(2. 18)

(2.19)

também é válida e tem a vantagem de ser uma função contínua em todos os pontos do seu domínio, inclusive em t = O, para qualquer é > O dado. Um outro aspecto ligado ao impulso unitário merece especial atenção. Veremos mais adiante durante o estudo da Lransformada de Fourier que a seguinte igualdade é verdadeira: ,jwlm..; = ó(t) (2.20) 2rr _00

. .1:. .1=

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

39

"

30

w

"

=

100

"'

--..J " "

w

= 25

w= 5,

' .. ...... .. ., o

.,

., ••

.,o

-0.2

-01

O

t

1,1

01

0.2

03

04

05

Figura 2.3: Aproximação do impulso unitário Isto quer dizer que, para t =/: O dado, o valor da integral converge para zero. De fato, considerando w = n1r /t com n E Z podemos calcular o valor principal do limite 1 lim w-+oo

27T

lw

e1wtdw

lim 1 11-+oo 2rr

-w

lim

n-eoo

t: .

e1wtdw

-nrr/t

(.2...t I)1 1T

sen(n,r)

o Por outro lado, para t

=

(2.21)

O, verificamos diretamente de (2.20) que o valor da

integral diverge para -í-co. A Figura 2.3 mostra as funções

ôw(t)

...!:.. 27l'

jw

e7wt,1w

-w

(:) sinc(wt)

(2.22)

calculadas no intervalo de tempo ltl < 1/2 [s] para os valores indicados do limite máximo de frequência ·tv expresso em [rad/sJ. Nota-se a convergência para valores de t =J. O e a divergência para t = O, conforme w > O aumenta. O impulso, portanto, pode ser interpretado como um indicador ela ocorrência ele tuna divergência e111 unia detenninada operação matemática, resultado de uru processo de passagem ao limite para ±oo. Entretanto, para ser da fonna impulsiva, a referida divergência deve ocorrer ele maneira especial, qual seja. mantendo o valor

CAPÍTULO 2. SINAIS

40

da sua integral igual a uni. Lembrando uma integral conhecida, ternos

1:

ów(t)dt

(:) 1:

1:

sinc(wt)dt

sinc( rr()dç

=

1

(2.23)

que é independente do valor de w > O e atesta que ó(t) = litnw-+oo Ów(t). Corno ficará claro no decorrer deste livro, o impulso unitário tem u1n papel central no estudo de sinais e sistemas. Talvez isso se deva ao fato de que a igualdade

1:

J(t)ó(t - r)dt = /(r)

(2.24)

seja verdadeira para toda função contínua com domínio em IR. O impulso permite individualizar o valor de unia função contínua em qualquer instante T E IR do seu domínio. Corno ó(t-r) = O para todo ti- r, a verificação da veracidade de (2.24) é imediata. Com o impulso podemos também construir funções mais elaboradas, como por exemplo

(2.25)

pois a integral acima, levando e1n conta as propriedades do impulso (2.16), é nula para todo l < O e é igual a I para todo l > O. As manipulações algébricas com o impulso requerem certa atenção e cautela, sobretudo quando envolvem diferenciação em relação ao tempo. Por fim, desejamos enfatizar que apresentamos as mais variadas propriedades dos sinais a tempo contínuo de forma bastante genérica. Neste sentido, consideramos IR o seu domínio e Coseu conjunto imagem. O tratamento no domínio complexo e não real, ao contrário do que se possa imaginar, simplifica as manipulaçôes matemáticas, sobretudo aquelas que envolvem as funções trigonométricas seno e cos.seno. Esta afirmação ficará mais evidente no decorrer do texto. Para o tra.tamente exclusivo de sinais 00111 imagem real a única modifícaçâo requerida é a substituição do conjugado de um sinal por ele próprio.

2.2.2

Sinais a Tempo Discreto

Os sinais a tempo discreto são aqueles com domínio Z e com imagem em IR: ou C. Vamos seguir exibindo resultados similares àqueles que apresentamos na seção anterior. Em larga medida, quase tudo pode ser refeito, mas com um ferramental

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

41

,

matemático uni pouco diverso. E preciso alertar que, em geral, calcular sornas é mais trabalhoso e mais complicado do que calcular integrais.

Definição 2.4 (Produto escalar) O produto escalar de dois sinais f(k) e g(k) com o mesmo domínio Z e imagem C é um númerv complexo dado por 00

(J, g)

=

L

J(k)g(k)'

(2.26)

k=-oo

Assim definido. o produto escalar satisfaz os axiomas da simetria, da distributividade, da homogeneidade e da positividade. Em consequência, a norma induzida é então dada por

L

11/11 = J(J,J) =

IJ(k)l2

(2.27)

k=-oo

e é importante ressaltar a possibilidade da soma indicada divergir. De fato, se existir urna constante real o > O tal que IJ{k)I < o: para todo k E Z, então 11111 < +oo. A norma de Uin sinal constante no tempo é +oo. Para que a sua norma seja finita é necessário (mas não suficiente) que IJ(k)I -+ O quando lkl -+ oo. Podemos então concluir que todo sinal periódico tem norma infinita. Unia outra medida do tamanho de um sinal é dada em seguida.

Definição 2.5 (Valor eficaz) O valor eficaz de urn sinal J(k) corn dornínio Z e imagem C é um número real não negativo dado por 1 [irn -m---too 2rn + 1

11/11,t =

L Ili

IJ(k)l2

(2.28)

k=-m

Como o intervalo a tempo discreto [-m, 1n] tem 2m + 1 elementos, o valor eficaz de um sinal a tempo discreto tem também a simples interpretação de valor médio do seu módulo. Desta forma, para um sinal limitado no tempo por unia constante, obtém-se llflleJ < o:. O valor eficaz de um sinal constante no tempo é igual ao módulo desta constante. O valor eficaz de urn sinal periódico é igual ao valor eficaz calculado e1n apenas uni período. De fato, particiouaudo (2.28) em segmentos de tamanho 1\10 E N, sendo No > O o seu período, podemos calcular m

.

1

�li,� (2,n + 1)

� 1 L, No

,1=-m

(n+l)No-1

� L,

, 2

IJ(k)I

k=nNo

A'o-1

...!._ � IJ(k)l2 /"lo �

k=O

(2.29)

CAPÍTULO 2. SINAIS

42

em que deve ser notado que, devido à periodicidade do sinal, os valores da soma interna são iguais para todo n E 1-rn. m]. fazendo com que a segunda igualdade se estabeleça. Corno já foi possível notar, para manipular sinais a tempo discreto devernos ter bastante destreza com séries, inclusive envolvendo números complexos. Nesta direção, u m dos resultados mais básicos entre os mais importantes é dado no seguinte lema. Ele torna explícita a condição de convergência da sorna dos elementos de tuna progressão geométrica co111 razão cornplexa. Lema 2.1 Considere 1

# z E C e 1 < i E N. A igualdade i-1

"k L-z = k=O

é verdadeiro. Além disso,

Lf 0zk =

1-

z'

(2.30)

1-z

1/{1-

z)

converge se e somente se

lzl
O dado. Definimos o seguinte sinal a tempo discreto, resultante de unia operação de amostragem periódica, como sendo s(k) = f(kT) = a sen(wTk) com domínio Z e imagem [-a,a] e lR., cm que a> O e O= wT E (O. r.). En1 prilneiro lugar, desejamos saber se este sinal é periódico. Devemos determinar o menor valor de 1V0 > O tal que f(k) = f(k + 1V0) para lodo k E Z e k + No E z. Desenvolvendo o lado direito da igualdade sen(Ok) = sen(O(k + No)). verificamos que ela é satisfeita se e apenas se cos(O.'\T0) = 1. ou seja li/o= q(2rr/8) para algum q E Z. Como /\'o tem que ser uni número natural, conclutmos que s(k) é um sinal periódico desde que a relação 2r./O seja 11111 número racional. Sendo ou não periódico, vamos fazer os cálculos sem levar em conta esta ínfonnaçâo. Lembrando que a íunção cosseno é par, temos

"' 2 I: sen(Ok) -

k=-m

-

"' - cos(20k)) 2I: (! l

k=-m

2111

+

l

l

2 211i

+

2

?

'" I: cos(20k)

- k=-m

1

-

� (1+2t,cos(20k))

Resta detcnninar a sorna das íunçõcs cosseno. lsto é feito com a aplicação do Lema 2.1, mas com o cuidado ucccssério para ajustar os limites inferior e superior da soma 00111

CAPÍTULO 2. SINAIS

44

z

= &28 e/-

1 e z = e-i28

l+2

f:-

1, respectivamente, ou seja,

L cos(20k)

"' (e128k + e-1201.:) +L

1

k=I

k=I

1 _

1 _ e-J28m

eJ20m

1-�-� 1 _ eJ28 1 _ e-126 cos(20,n) - cos(20(m + 1)) 1 - cos(20)

a qual, cm seguida, segundo é solicitado no Exercício 2.17, pode ser convertida para a forma p cos(20,,. + 1/J), cm que os parâmetros (p,'1/J) dependem exclusivamente de fJ. Obtemos então o limitante m

1 +2I;cos(20k) < p

2

=

1 - cos(20)

k=I

que é válido para todo ni EN. Com (2.27), os cálculos anteriores indicam que 11s11 = +oo . .Adornais, (2.28) fornece 11s11.,t = a/../2. que é exatamente igual ao valor eficaz do sinal a tempo contínuo estudado no Exemplo 2.5. Os casos extremos caracterizados pelos ângulos O= O ou (J = 7i geram sinais nulos, ou seja, s(k) = O para todo k E Z, o que leva obviamente a 11s11 = 11s11.,, = O. D

Exemplo 2.11 Considere o sinal /(t) a tempo contínuo, com período To > O, dcnomínado dente de serra. estudado no Exemplo 2.6. Definimos o sinal periódico, a tempo discreto. cujo primeiro período lkl < r E N é dado por s(k) = J(hk) = ah k. com a> O e r = To/2h. O valor de h > O foi escolhido de forma a fazer com quer EN. Assim sendo, observe que o sinal s(k) é periódico com período 1V0 = 2r + 1. A sua nonna é +co e o seu valor eficaz é determinado por urna relação equivalente a (2.29), isto é,

11/11;/

(ah)2 2r + 1

L "k

2

k=-r

2(ah)2 � k2 2r+ 1 � k=J

)2 ( ah:

r(,·+1) 3

na qual, substituindo o valor der, obtemos

Comparando com o caso a tempo contínuo nota-se que o valor eficaz do sinal discreto s(k) é sempre maior que o valor eficaz de /(t). Esses valores tornam-se arbitrariamente próximos desde que o passo de cliscretização h satisfaça h « To/2, isto é, seja muito pequeno se comparado com meio período do sinal /(t). D

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

45

No caso de sinais a tempo discreto, também é importante considerar o cálculo de normas para sinais obtidos corno resultado da combinação linear de um certo número de sinais elementares /1(k), · · · 1fm(k), ou seja,

g(k) = L e;J,(k)

(2.33)

i=l

e1n que e, E C para todo i = 1, • - - , m são escalares conhecidos. Aplicando a definição ele norma e fazendo uso da sua distributividade, obtemos m

m

IIYll2 =

L Le;c;(J;,f.,)

(2.34)

1=1 ri=l

o que coloca ern evidência que a igualdade

IIYII' =

"'

L le;l'IIJ,11

2

(2.35)

i=l

se verifica para sinais elementares que satisfaçam as relações 00

(/;,/.,) =

L f;(k)J.,(k)'

=o

{2.36)

k=-oo

para todo i i- n = 11 - - - , m. Se estes sinais elementares forem ortonormais, então a igualdade (2.35) se reduz a l[g1[2 = lci12 + · · · + lc..,12. Podemos interpretar um conjunto destes sinais elementares como uma base que permite escrever outros sinais a partir de combinações lineares específicas. A determinação de conjuntos de sinais ortonormais é um tema de grande relevância que será abordado mais adiante. A seguinte definição. embora idêntica ao caso a tempo contínuo, será incluída para tornar mais fácil a leitura. Definição 2.6 {Sinal par e sinal ímpar) Um sinal J(k) com domínio Z é denominado par se f(k) = f(-k) pam todo k E Z e é denominado ímpar se f(k) = - f(-k) pam todo k E Z. ,

E claro que um sinal qualquer pode não ser par nem ímpar, mas qualquer sinal pode ser decomposto na Iorma J(k) = fp(k) + f,(k), em que /p(k) é a sua componente par e fi(k) é a sua componente ímpar. que são dadas por

fv(k) f;(k)

1 (/(k) + f(-k)) 2 l - (J(k) - J(-k)) 2

{2.37) (2.38)

CAPÍTULO 2. SINAIS

46

,.

'• ,.•

,..

--• '' --" .,' �

'

�

,

•••

•

.

,

t,' hk

'

• .,

'"llh t' hk

'

'

Figura 2.4: Componentes par e ímpar de um sinal A partir da simples aplicação da Definição 2.6 conclui-se que, de fato, o sinal fv(k) é par e que o sinal J,(k) é ímpar. É também possível verificar que para qualquer sinal as suas componentes par e Impar são ortogonais. Esta importante propriedade decorre do cálculo do produto escalar {/p, fi) exatamente corno foi feito no caso a tempo contínuo. En1 muitas situações é útil lembrar que, para qualquer sinal f(k). o sinal produto a ele associado s(k) = f(k)f(-k) é sempre

um sinal par. Observe que o ruesmo não ocorre com o sinal resultante da divisão f(k)/ f(-k), ainda que esta operação possa ser realizada para todo k E Z. Exemplo 2.12 Seja o sinal a tempo cont.ínuo /(t) = e-lt-tl cnm domínio t E IR. A partir dele construímos o sinal a tempo discreto s(k) = l(kh) 00111 domínio k E Z. A Figura 2.4 mostra as componentes par e ímpar de cada slnal no intervalo de tempo t E [-5,5] e k E j-10. lOJ. A fim de representar ambos os sinais na ruesma abscissa temporal, para o sinal a tempo discreto consideramos t = hk com k E [-10, 10] eh = 0,5. Con10 foi dito, pode-se verificar numericamente que, em ambos os casos, as componentes par e Ílnpar são ortogonais. D

Exemplo 2.13 (Energia e Potência) De maneira similar aos sinais a tempo contínuo, para os sinais a tempo discreto a quantidade E = 111112 quando finita classifica-o como 11111 sinal de energia. Por outro lado, se P = 11111;1 for finita ele é classificado corno um sinal de potência. Eventuais interpretações físicas dessas quantidades são feitas de

maneira aproximada via amostragem.

O

No estudo de sinais a tempo discreto também existem algumas funções que são

especiais e que, portanto, merecem ser apresentadas de maneira mais detalhada. Todas elas são definidas no do,nínio k E Z e têm imagem om IR.

2.2. PROPRIEDADES BASICAS

47

• Degrau unitário: Trata-se de uma das funções mais importantes no estudo de sinais. Ela é definida por v(k) -

e observe que v(O)

=

k>O ' k O e y( t) = O para todo t < O. Desta forma, podemos concluir que a resposta ao degrau unitário é a integral da resposta ao impulso unitário. D Exemplo 2.15 (Resposta ao sinal exponencial) O sinal de entrada é da seguinte fonna g(t) = eÃt com ,\ E C. Este sinal tem domínio IR e imagem C. Assumindo que o sistema seja LIT, o resultado do Teorema 2.1 fornece

y(t)

i: 1:

e"Th(t - r)d,

e;C•- O e y(k) = O para todo k < O. Ou seja, para obter a resposta ao degrau unitário basta sornar a resposta ao impulso. D Exemplo 2.20 (Resposta ao sinal geométrico) O sinal de entrada é da seguinte fonna g(k) = >,k com >.. E C. Este sinal tem doruínío Z e imagem C. Observe que os seus elementos formam tuna progressão geométrica. Assumindo que o sistema seja LTT, o resultado do Teorema 2.2 fornece y(k)

=

L

>."h(k - n)

n=-oo

m=-oo

onde reallaamos a mudança de variável m = k - 1i para obter a segunda igualdade. Se o sistema em estudo também for causal, a sua resposta tem a fonna mais simples

valida para todo k E Z. Nota-se que a quantidade entre parênteses só depende da resposta ao impulso do sistema cm consideração e do parâmetro >.. E C que define o sinal

GO

CAPÍTULO 2. SINAIS

de entrada. É urna constante em relação ao tempo que, ao ser denotada por ii(,\), coloca em evidência que o sinal de saída é dado por y(k) = Ít(>.)>.k, 't:/k E z. Retomando (2.44), obtemos, finahnente, a relação que permite dizer que a função geométrica ,\k, Vk E Z, é uma auto/unção e o escalar D h(,\) E C é o respectivo autovalor do operador SI·].

Como foi feito no caso de sistemas a tempo contínuo, é importante sabermos identificar a resposta ao impulso de un1 sistema a tempo discreto causal a partir do conhecimento de uma entrada, por exemplo, g(k) = Àkv(k) com À E C. Assumimos que a saída correspondente y(k) = yo(k)v(k) seja conhecida. Devemos resolver a fonna alternativa da equação (2. 70), isto é, k

y(k) -

L g(k - n)h(n)

(2. 71)

n=O

a qual, após algumas manipulaçôes e substituições dos sinais de entrada e de saída, resulta na igualdade k

L ,1-"h(n) = ,1-kyo(k), 'lk E N

(2. 72)

11=0

que, ao ser avaliada em dois instantes genéricos sucessivos k - l E N e k E N, a subtração dos resultados fornece os valores da resposta ao impulso do sistema em estudo que pode ser colocada na fonna final

h(k)

={

Yo(k) - .\yo(k - !) Yo(O)

,

k > 1

k=O

(2. 73)

Em geral, Yo(O) = O, pois a entrada considerada é nula para todo k < O e o sistema parte do repouso. Isto faz com que a resposta ao impulso inicie em h(O) = O. Este mesmo procedimento permite determinar h(k) para outras classes de entradas, mas é imperativo assumir que o sistema a ser identificado seja causal. Exemplo 2.21 A resposta ao impulso de uni sistema LIT causal é dada por h(k) = akv(k). em que a E IR. Para o sinal de entrada g(k) = cos(Ok)v(k) com 0 E !O. 21r], a saída correspondente pode ser calculada através de (2. 70). Corno já. vírnos, para realizar somas é maís conveniente expressar as funções tngonomôrrices através de cxpoucncíais complexas, ou seja, g(k)

= � (.J'k + ,-;ek) u(k)

2.3. SISTEA1AS

61

e, assim, y( k) = O para todo k < O e

y(k)

L' g(n)h(k - n) n=O

k

ª2

k

Í:: (e1º" +e-Jº")a-" n=O

(a - cos(0))a'+'

a2

+ cos(0k) -

- a cos(0(k 2a cos(0) + 1

+

!))

, Vk > O

onde utilizamos o Lema 2.1 para calcular os valores das duas somas, lembrando que é preciso exigir que &9 /a :j:. 1 e e-19 /a -=f:. l. Tomemos o caso particular cru que 0 = O. A fórmula acima se reduz a 1 - ak+I y(k)- ---

1-a

Vk > O

que é o resultado esperado, pois g(k) = v(k) e. portanto. no instante k EN a saída deve ser igual à soma dos k + I primeiros elementos de tuna progressão geométrica com razão a. A solução para o = l pode ser calculada pelo limite de y(k) para a ➔ 1, ou seja, y(k) = (k+ l)v(k). Ocorre novamente o fenômeno da ressonância, pois, para um sinal de entrada limitado (degrau unitário) e para um sistema com resposta ao impulso limitada O (degrau unitário}, o slnal de saída correspondente é ilimitado.

O conceito de estabilidade é fundamental e básico no contexto de sistemas a tempo contínuo e também a tempo discreto. A Definição 2.7 de estabilidade dada anteriormente permanece a mesma em ambos os casos. Naturalmente, como a resposta ao impulso define completamente o comportamento de um sistema, a exigência de ser estável deve ser traduzida em alguma propriedade específica desta função. O próximo lema explicita esta propriedade.

Lema 2.5 Um sistema LJT com resposta ao impulso h(k) é estável se e apenas se 00

AI,.

=

L

lh(n)I

(2.74)

,1=-00

for um valor finito. Prova: Inicialmente, assumimos que (2. 74) é satisfeita e que a entrada é limitada, isto é, lg(k)I < Af9 < oo para todo k E Z. Com a resposta correspondente

G2

CAPÍTULO 2. SINAIS

a esta entrada (2.67), verificamos a partir de 00

L

ly(k)I

g(n)h(k - n)

r1=-oo 00

L


O e g(k) = -1 se h(-k) < O. Com a saída correspondente dada por (2.67), tc1110s 00

y(O) -

L

g(n)h(-n)

n=-oo 00

I:

lh(-n)I

n=-oo 00

I:

lh(m)I

= Afh

(2. 76)

rn=-oo

e concluímos que a saída correspondente a esta entrada limitada será também limitada apenas se A1h for Wil valor finito. D

Para sistemas LIT causais a tempo discreto, a constante Nlh se simplifica para 00

A1,.

= L lh(n)I

(2. 77)

n=O

e unia condição necessária [mas não suficiente) para que AiJh seja finita é que lin1k➔+oo lh{k)I = O. Por outro lado. unia condição suficiente para que isso ocorra é que existam constantes lol < 1 e fJ > O tais que lh(k)I < fiai.· para todo k EN pois A111 = {:J/(1 - o). Neste caso, o sistema é assintoticarnente estável. Com vimos, qualquer sistema LIT a tempo contínuo ou a tempo discreto é completamente definido por sua resposta ao impulso unitário. Trata-se de urn atributo específico de cada sistema. Por este motivo, para se conhecer um sistema LIT de interesse é preciso detenninar a sua resposta ao impulso através de simulaçôes ou ensaios práticos. Isto é feito através do estabelecimento de

,

2.4. 1VOTAS BIBLIOGRAFIC1\S

63

um modelo matemático que leva em conta as leis básicas que definem o seu comportamento. Desta forma, é preciso se preocupar em aprender e usar de forma correta a modelagem matemática de sinais e sistemas.

2,4

Notas Bibliográficas

A literatura dispõe de um número expressivo de livros que tratam de sinais e sistemas. En1 [13], 116] e [18], estes dois ternas são tratados de forma conjunta, como estamos fazendo. Entretanto. é preciso salientar que eles também são tratados em outros excelentes textos que são dedicados a assuntos mais específicos, tais corno 14] e [6L entre muitos outros. Este capítulo torna explícita a forma como os demais serão trabalhados. Na maioria das vezes vamos manipular ferramentas básicas de cálculo tais como vetores, matrizes, números complexos e funções de variáveis complexas, com certa profundidade, o que exige destreza a ser conseguida nos textos sobre o assunto ou através do material disponibilizado no Apêndice A. Com este propósito, os livros 121, [141, [15] e [17] são referências básicas de apoio. Os conceitos de causalidade e estabilidade, tão importantes no mundo real, foram analisados com a precisão e o cuidado necessários. No contexto de aplicações práticas, modelagem e projeto de sistemas de controle, o leitor é convidado a consultar [11], [12] e, eventuahnente, as suas próprias referências. Este capítulo inicial é dedicado, sobretudo, ao estudo de sinais. Os sistemas que os processam também são estudados, mas de forma mals simples e imediata. Mesmo assim, acreditamos ter dado todas as infonnações relevantes a respeito de como eles operam e 001110 interagem entre si. Embora de fonna diversa, o material aqui exposto pode ser encontrado em outras referências bibliográficas, como aquelas já citadas. Acreditamos, entretanto, termos lançado as bases para dar um tratamento mais abrangente a sinais e sistemas sem que o entendimento , seja prejudicado pela dificuldade excessiva ou pelo óbvio. E importante salientar que, 111esn10 sendo entidades matemáticas bastante diferentes, o impulso unitário a tempo contínuo ó(t) e o impulso unitário a tempo discreto ó(k) foram denotados de fonna única. Vários exemplos resolvidos ilustram e sedimentam os conceitos apresentados.

2,5

Exercícios

Exercício 2.1 Considere o sinal J(t) a tempo conunuo mostrado na Figura 2.6. Apresente

11111

esboço de cada um ,los scçuintes sinais:

CAPÍTULO 2. SINAIS

G4

'

--.._ -��--

-------

-------��

,��-�-�-�-��-� ·2 •1 o ' < (s(' ' • Figura 2.6: Sinal para ser usado no Exercício 2.1

a} f(t - 2). b} /(3 - t). e) /(3 - 2t).

Exercício 2.2 Considere o .nruil J(t) = e3wit +e'..,71 co,n dominso IR. Mostre que po:rti este sinal ser peruuhco é necessáno que a relação w1/w2 seja um núrnero racional. Se tsto ocorrer, qual é o seu periodo'? Aplique o resultado nos seguintes casos: a) w1

=2

e

w2

= 3.

b} w1=2rrew2=31r. e) w,

= 2/;r

e w2

= 3/tr.

Exercício 2.3 Verifique se os seguúztes sinuis cctn do,ninio IR são pe,'7.ódicos. Em caso afirnialivo, determine o respectiuo período.

a) b} e) d}

f(t) = cos(v'2 O. a) Este sistema é linear? É invariante no tempo? b} Determine a sua resposta ao irnpulso unitário.

e) Detennine a sua resposta ao degrau unitário.

d) Deterrnine os valores de o paro os quais ele é estável. e) Refaça todos os ite11s acuna. 1nas agora considerando a sua ve-séo a tempo discreto rüula por y(k) - oy(k - 1) = g(k).

Exercício 2.17 Venfique se o valor da/ase 1/J do sinal estudado no Exernplo 2.10 pode ser expresso na forma

,t, =

-t _,

g

{

1 - cos(20)} scn(20)

Exercício 2.18 Unia estmtégia útil para detenninar so,nas de potências é ilustnula através dos seguintes cálculos, que devem ser realizados analiticamente.

+ 1)2 - L:=l 1.:2 = (,· + 1)2 que L;=I (k + 1)3 - L�=I k3 = (r + 1)3 -

a) Conside,nndo que L:=I (k

l, deterrnine L�=I k.

b} Constdemndo

1. determine L�=I k2.

Capítulo 3

Análise de Sinais Periódicos 3.1

Introdução

Este capítulo é inteiramente dedicado ao estudo de sinais periódicos a tempo contínuo e a tempo discreto. Urna entidade matemática absolutamente singular denominada Série de Fourier será apresentada e analisada com bastante detalhe. E1n linhas gerais, podemos dizer que qualquer sinal periódico definido no dornínio

do tempo, em IR ou Z, pode ser decomposto em um número infinito de componcntcs que compôem o seu espectro de frequências. A luz, por exemplo, é um sinal que tem um espectro denominado espectro eletromagnético bem conhecido. A série de Fourier permite decompor e aproximar um sinal através de 11111a 00111binação linear das suas componentes fundamentais. Corno consequência, permite também calcular a sua potência média através de um resultado importante e famoso denominado Teorema de ParsevaL O estudo começa com a formulação e resolução de um problenui de erm quad,·ático 1nínifno, cuja solução se torna urna ferramenta essencial para o estudo de sinais e sistemas.

3.2

Representação de Sinais

Considere um conjunto de vetores Vi E IRn para todo i = 1, · · · , 1n e111 que m < n. Urna pergunta importante que deve ser respondida é: Dado um vetor y E IR.n, existem constantes o; E IR., i = 1, 2, · · · , 1n não todas nulas de tal forma que y seja expresso como y = I o,v,? A resposta a esta pergunta, que pode ou não ser afinnativa, permitiu o desenvolvimento de importantes conceitos cm diversas áreas da matemática, tais como os de combinaçâc linear e de base

Lr

70

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SIJVAJS PERIÓDICOS

em u1n espaço vetorial. Con10 y é urn vetor arbitrário com n componentes, a resposta, para ser afirmativa, exige que 1n = n e que os vetores sejam linea11nente independentes, o que quer dizer que a matriz quadrada V = [v1 - - · vnl E IRnxn deve ser não singular det(V) i- O. Mas existem outras importantes situações que devem ser consideradas. Por exemplo, 001110 já discutimos no Capítulo 1, há mais de 23 séculos, Euclides provou o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA), que diz: Todo número inteiro maior do que um pode se decomposto, de maneira única, no produto de números primos. O conjunto dos números primos forma urna base para o conjunto dos números naturais. No estudo de sinais a tempo contínuo g(t) cnm domínio IR e imagem C, desejamos determinar uni conjunto de m (que pode ser infinilo) sinais J1(t), i = 1, 2. - · · , m com os mesmos domínios e imagens, de tal forma que existam escalares Oi E C, Vi= 1, 2, • • • , rn capazes de garantir a igualdade m

g(t)

= L o,f,(t),

'it E IR

(3.1)

i=l

Neste sentido, formulamos o seguinte problema de otilnização denominado erro quadrático mínimo

'"

111111

2

(3.2)

n1,n2,···,om

em que li· li é a norma introduzida no capítulo anterior. A solução ótima deste problcma remonta aos tempos do Teorema de Pitágoras, pois exige ortogonalidade. De fato, para cada conjunto de parâmetros o1, o-2, - - - , 0111 escolhidos definimos o sinal de erro como sendo

,(t)

"'

= g(t) - L a;f;(l),

'it E IR

(3.3)

1=!

e para resolver (3.2) devemos determinar os parâmetros, que são as nossas variáveis de decisão. de tal forma que a norma do erro seja a menor possível (idealmente, zero). A Figura 3.1 ilustra o que ocorre 00111 as funções transformadas em vetores para que a ilustração geométrica seja possível. A combinação ótima de /1 e /2 deve gerar uni ponto que é exatamente a projeção ortogonal do ponto O no plano definido por /1 e /2, pois essa situação define a menor distância entre o ponto O e qualquer ponto do referido plano. Dito de outra forma, o erro deve ser ortogonal a /1 e a f2Retomando o problema (3.2), sua condição de ot.ilnalidade se expressa na fonna {E. /11) = O para todo n = 1, 2, · · · , 1n, o que leva ao sistema de equações

3.2. RBPRBSENTAÇAO DE SINAIS

71

o

,,

g

'

'

J,

Figura 3.1: Interpretação da condição de otimalidade

lineares m

(g, fn) -

L cx;(f;, f,,) = O, n = 1, 2, ·

· ,m

(3.4)

i=I

Trata-se de uni sistema com m equações e m incógnitas que depende de alguma condição para que possa se resolvido e, cventuahnente, tenha solução única. Isto ocorre sempre que os sinais que constituem a base [t, i = 11 2, - · - , 1n forem ortogonais entre si. Colocando em (3.4) este fato que se traduz por (li, fn} = O para todo i =/:- n = 1, 2. - - · , m, as equações se desacoplarn e fornecem imediatamente a solução procurada (g.f;) i= 1.2,--· .m (3.5)

(/,,/,)'

Tendo conhecimento da solução ótima, podemos avaliar o valor mínimo da norma ao quadrado do erro correspondente, que é dado por m

11,112

(,,g -

"5:. a,1,) 1=!

m

-

(g -

"5:. a,J;. g) 1=1

"'

IIYII' - L, lcx,l'll/,11'

(3.6)

i=l

onde utilizamos a relação que decorre de (3.5) e permite determinar o conjugado

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SIIVAIS PERIÓDICOS

72

-

'

'

' ''

'

'

'

23•5174910

-·�'... -.

'.;:;' 03

� �

23•5117111110

t

Figura 3.2: O sinal e duas aproximações do parâmetro ótimo

(g, !,)·

(J,,J,) (J,,g)

(3.7)

2

111,11

O ponto central é corno escolher um conjunto de funções ortogonais de tal forma que para sinais de uma certa classe sempre existam parâmetros Oi E C, i = 1, 2. · · · , m que tornem o erro nulo. Como veremos cm seguida, esta talvez seja a maior contribuição de Fourier ao propor uma base para. os sinais periódicos a tempo contínuo ou a ternpo discreto que exibe esta importante propriedade. Exemplo 3.1 Não é difícil construir uma base ortogonal de sinais. Uma possibilidade é fazer f;(t) = v(t- T;)-v(t-T;+1 ). cm que í,+t - T; = d > 0 com t E z. Ü e-ésímo sinal é igual a 1 para todo r, < t < 1";+1 e zero para todo t E IR fora deste intervalo. Portanto. lodos são orlogonais entre si. Ademais, é fácil dctcnninar llfdl2 = T1+1 - T1 e que para um sinal g(t) dado 01

1 = --Ti+l - T;

1··-•

g(t)dt

,..,

= e-tscn(t)v(t). Na sua parte 001fi(t) com d= 1 [s]. superior aparece o sinal g(t) e a função aproximada g (t) = A Figura 3.2 ilustra este resultado aplicado ao sinal g(t) 0,1

L:

Nota-se uma grande diferença entre as duas funções. o que indica um CITO quadrático mínimo bastante elevado. Na parte inferior mostramos o mesmo sinal e sua aproximação, mas coru d= 0.2. A redução do erro quadrático mínimo é visível. Para d➔ o+ ele tende a zero. D

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SIIVAIS PERIÓDICOS

72

-

'

'

' ''

'

'

'

23•5174910

-·�'... -.

'.;:;' 03

� �

23•5117111110

t

Figura 3.2: O sinal e duas aproximações do parâmetro ótimo

(g, !,)·

(J,,J,) (J,,g)

(3.7)

2

111,11

O ponto central é corno escolher um conjunto de funções ortogonais de tal forma que para sinais de uma certa classe sempre existam parâmetros Oi E C, i = 1, 2. · · · , m que tornem o erro nulo. Como veremos cm seguida, esta talvez seja a maior contribuição de Fourier ao propor uma base para. os sinais periódicos a tempo contínuo ou a ternpo discreto que exibe esta importante propriedade. Exemplo 3.1 Não é difícil construir uma base ortogonal de sinais. Uma possibilidade é fazer f;(t) = v(t- T;)-v(t-T;+1 ). cm que í,+t - T; = d > 0 com t E z. Ü e-ésímo sinal é igual a 1 para todo r, < t < 1";+1 e zero para todo t E IR fora deste intervalo. Portanto. lodos são orlogonais entre si. Ademais, é fácil dctcnninar llfdl2 = T1+1 - T1 e que para um sinal g(t) dado 01

1 = --Ti+l - T;

1··-•

g(t)dt

,..,

= e-tscn(t)v(t). Na sua parte 001fi(t) com d= 1 [s]. superior aparece o sinal g(t) e a função aproximada g (t) = A Figura 3.2 ilustra este resultado aplicado ao sinal g(t) 0,1

L:

Nota-se uma grande diferença entre as duas funções. o que indica um CITO quadrático mínimo bastante elevado. Na parte inferior mostramos o mesmo sinal e sua aproximação, mas coru d= 0.2. A redução do erro quadrático mínimo é visível. Para d➔ o+ ele tende a zero. D

3.3. SINAIS A TEA'1PO CONTÍ1VUO

3.3

73

Sinais a Tempo Contínuo

Consideramos, exclusivamente, sinais periódicos com período T0 > O a tempo contínuo 00111 domínio em IR. e com imagem C. E1n várias situações, que são as mais importantes cm aplicações práticas, a imagem do sinal de interesse será o conjunto dos números reais IR. Corno já sabemos, um sinal g(t) é periódico se existir T0 > O tal que t + T0 E IR para todo t E IR e g(t) � g(t + To), \/t E IR

(3.8)

o menor T0 que satisfaz estas condições é o seu período. Para esta classe de sinais, vamos restringir o seu domínio a t E [O, T0J e IR, pois toda propriedade que vale para um período vale também para todos os demais. O resultado central, neste caso, diz respeito à existência de um conjunto infinito de sinais ortogonais. a saber 2rr. wt (3.9) /() 1t= e' ',w,=T0i para todo i E Z. As frequências w,, expressas em [rad/s], sao denominadas harmônicas, ou seja, w1 é a primeira harmônica, w2 a segunda harmônica e assim por diante. Ao restringinnos nossa atenção a apenas un1 período, podemos verificar sem dificuldades que, de fato, todos estes sinais são ortogonais entre si. Retomando a definição de produto escalar de sinais com domínio em t E [01 To] e imagem C, temos imediatamente que

(!. f ) l),t

=

To

1

,J(w,-w.)tdt

o

=

{T,o

O

·._., n

,

i -

,

i-,-n

(3.10)

Para este conjunto de sinais, com (3.5), podemos calcular os coeficientes que correspondem ao erro quadrático mínimo, ou seja, l

O.i

{To

= To Jo

g(t)e-Jw,tdt, i E Z

(3.1 !)

e concluir que, se o erro quadrático mínimo for nulo, então a seguinte igualdade 00

g(t)

=

L

a,.Jw,t, t E IR

(3.12)

1=-00

é válida. Isto decorre de g(t) ser um sinal periódico. co,n período To > O. Con10 o erro é periódico com período T0 > O, se ele for nulo ern um período, então ele será nulo em todos os demais períodos, ou seja. para todo t E IR. O próximo lema torna explícita as condições para que a igualdade (3.12) ocorra.

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SIJVAJS PERIÓDICOS

74

-J.,. -"'

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

o

o

-0.5 -2

---"'"''

o

-1

1

2

-0.5 -2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

o

o

-0.5 -2

o

-1

1

2

-0.5 -2

o

-1

1

2

-

o

-1

t

1

2

t

Figura 3.3: O sinal g(t) e sua série de Fourier Lema 3.1 Os sinais {fi}iEZ definidos em (3.9) formam urn conjunto c.ompleto, isto é, o erro quadrático mínimo 2

rTo

11'o-1

a·a' I

Q iE{iVo) 11E{No)

n

)

_,i(w,-w")k

k=O

I:

(3.29)

iE(/\'o)

em que utilizamos a relação (3.23) para obter a terceira igualdade em (3.29), o que prova o teorema proposto. O

Como ocorreu no tratamento de sinais a tempo contínuo, a fórmula (3.28} pode ser encarada como um subproduto da série de Fourier discreta. De fato,

basta somar os módulos dos coeficientes da série para se obter o valor eficaz de qualquer sinal. Este resultado se deve à ortogonalidade dos sinais elementares considerados. Pela sua importância prática, é imperativo analisarmos as particularidades dos sinais reais, isto é, com imagem cm IR. Para esta classe de sinais, com (3.26) temos

� L No

g(k)_,iw,k

kE{No}

=

(3.30)

ª-1

para todo i E Z. Assumindo que o período 1V0 seja ímpar, determinamos 1n E N de tal forma que No = 2ni + 1 e a versão simétrica da série de Fourier (veja o Exemple 3.8) permite determinar

1 a,=

No

m

L

g(k)(cos(w;k) - jsen(w,k))

(3.31)

k=-,n

para todo i E Z. Assim sendo, se o sinal for par, então hn(oi) = O, fazendo com que todos os coeficientes sejam reais. Por outro lado, se o sinal for Ílnpar, então Re(oi) = O e assim todos os coeficientes são imaginários puros. Se ocorrer de N0 = 2ui ser par, chega-se à mesrua conclusão cem 1 ( a;= No

L

m-1

k=-m+l

)

g(k)(cos(w;k) - jsen(w,k))

+ g(m)cos(,ri)

(3.32)

3.4. SINAIS A TEA'1PO DISCRETO

85

para todo i E Z. De fato, se o sinal for par, ent.ão todos os coeficientes serão reais e, se for ímpar, então todos os coeficientes serão imaginários puros, pois g(m) = O. De forma similar ao que ocorre em tempo contínuo, a série de Fourier discreta pode ser usada para detenninar a resposta de um sistema LIT causal a urn sinal de entrada periódico. Esta é um ferramenta muito importante, sobretudo do ponto

de vista numérico, pois facilita de forma expressiva os cálculos que devem ser realizados. Sendo h(k) a resposta ao impulso de u m sistema em tempo discreto, no Exemplo 2.20 do capítulo anterior, determinamos S[eJw,k] = ii.(&w•)&w,k, em que

h(Jw,)

= Le-jw,kh(k)

(3.33)

k=O

Desenvolvendo o sinal de entrada cm série de Fourier, com (3.27), determinamos a saída correspondente

y(k)

L a,Jw;k

S

,e(,Vo)

L L

a,S [ e1w,k

l

tE(i\'o)

a,h(eiw;)eiw,k

(3.34)

iE{No}

e se definirmos /3; = 01h(eiw,) para todo i E Z, podemos concluir que a resposta do sistema é um sinal periódico, com o mesmo período do sinal de entrada, sendo /3; para todo i E Z os coeficientes da sua série de Fourier. Concluímos também que a resposta a qualquer sinal com domínio real resulta em um sinal de saída real, o que implica em termos /3-i = f3i sempre que a_; = o; para todo i E Z. Levando em conta que w_1 = �w1, estes cálculos indicam que

(3.35) para todo i E Z. Qualquer sistema LIT causal tem esta propriedade. O exemple dado a seguir ilustra a aplicação dos resultados que apresentamos até agora. Exemplo 3.13 U1n trem de pulsos como definido no Exemplo 3.12 passa por um sistema LIT causal (circuito llC) cuja resposta ao impulso dada no Exemplo 2.16 foi discretizada. isto é, h(k) = e-1.·u(k). Com (3.33)-(3.34) e o Lema 2.1, determinamos os

86

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SIJVAIS PERIÓDICOS

,,.., • .

1•

I \

-0,�-------------� .,o

'k

Figura 3.6: Sinais de entrada e de saída

coeficientes �

f],

O;

L

e-(l+Jw,)k

k=O

o,

da série de Fourier da resposta correspondente. Observe que fJ-, = /3; para todo i E Z, como esperado, pois o sinal de saída é real. A Figura 3.6 mostra o sinal de entrada g(k), u111 trem de pulsos caracterizado por N11 = 4 e N0 = 21, bem come a saída correspondente y(k). Nota-se cada pulso de entrada. e o pulso de saída, deformado pela ação do sistema.

Devemos colocar em evidência a simplicidade dos cálculos realizados.

D

É preciso enfatizar 001110 o tratamento de sinais a tempo discreto fica bastante simplificado pela adoção da versão mais geral da série de Fourier. Este é um exemplo cm que a generalização. que requer a manipulação de números complexos e de funções com variáveis complexas, simplifica enormemente a obtenção dos resultados procurados. No próximo capítulo estudaremos sinais genéricos, isto é, não necessariamente periódicos, mantendo o mesmo contexto e as mesmas manipulaçôes algébricas que empregamos até aqui. Ao terminar este capítulo desejamos evidenciar que a série de Fourier é urna ferramenta matemática de grande utilidade em muitos outros contextos e não somente no estudo de sinais periódicos. De fato, segundo a discussão feita no Capítulo 1, vamos calcular o valor de ((n), para n = 2, da famosa função zeta de

,

3.5. 1VOTAS BIBLIOGRAFIC1\S

87

Euler·-Riernann, que é definida por 00

, O, fornece os coeficientes de suos respectivas séries de Fourier. propriedades são váii O e domínio em t E R tem transformada de Fourier dada por So(w)

1_:

(Yo(t) - g.(-t))e-'"'dt

G0(w)-G0(-w) -2jw

o2

+ w2

em que utilizamos uma propriedade que resulta diretamente da mudança de variável �=-te se expressa na forma g0(-t) G0(-w). É importante ressaltar que esta o propriedade é genérica, isto é, se aplica a qualquer sinal.

Exemplo 4.2 Considere uni pulso isolado definido por g(t) deste intervalo que já foi analisado no Exemplo 3.2, mas transfonnada de Fourier é calculada pela definição. isto é, G(w)

•/2

J

=

c.-0111

1, ltl < a/2 e zero fora período To > O. A sua

e-J"'tdt

-a/2

a sinc(wa/2) Os coeficientes fornecidos no exemplo mencionado para a série periódica são tais que Too; = G(w;) para todo i E Z. A Figura 4.1 mostra. para To = 1 !s] e a = 0,25, a transformada de Fourier G(w) e as harmônicas do sinal periódico. A confinnação do que foi dito é visível. D

CAPÍTULO 4.

98

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

025

0.2

é

0.15

o

-6º·º5 [-::� 0.1

''

•'

3

o -0.05

�-�--�--�-��-�--J

-0.1 ·150

·100

·50

O

150

50

w [rad/s]

Figura 4.1: Transfonnada de Fourier e harmônicas Exemplo 4.3 O sinal g(t) = a t, ltl < To/2 e zero fora deste intervalo já. foi analisado no Exemplo 3.4, mas com período To > O. A sua transformada de Fourier também pode ser calculada diretamente pela definição, ou seja,

G(w)

a

T,/2

J

te_'..,1dt

-To/2

. (Tocos(wTo/2)

Ja

w

-

2sen(wTo/2)) w2

para todo O #- w E 1R: e G(O) = O. Novamente verlfícamos que os coeficientes calculados no exemplo mencionado para a série periódica satisfazem a relação Toai = G(w1) para todoi E Z. D ,

E importante que tenhamos sempre presente a fónnula da transformada de Fourier (4.1), bem 001110 da sua inversa (4.6). En1 diversas situações, a aplicação de tuna delas pode levar ao resultado que seria obtido com a outra, porém de forma muito mais simples e fácil. Esta situação fica ruais evidente quando manipulamos sinais com transformadas que envolvem o impulso unitário. A transformada de Fourier do impulso unitário é dada por {4.1), ou seja.

6(w) =

1:

ó(t)e-Jwtdt = l, 'vw E IR

(4.11)

e é interessante verificar que, neste caso, ( 4.6) se reduz a ( 4.3) para que o impulso unitário ó(t) seja recuperado. Assim sendo, é possível relacionar o sinal e sua

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

99

trausfonnada por ó(l) 1. Por outro lado, se fizermos a pennutação entre as variáveis t E IR e w E IR, a equação (4.3) produz

_.!:_ 2r.

f00 e'w'dt = ó(w)

(4.12)

J_oo

sendo interessante determinar qual sinal g(t)

te111

ó(w)

001110

transformada de

Fourier. Aplicando (4.6), vem 1 100 ó(w)eiw'dw = 1 g(t) = 2-00 2_ 7f "

(4.13)

e fica evidente que a transformada de Fourier do sinal constante unitário g(t) = 1. Vt E IR é §(w) = 21ró(w). Este resultado permite relacionar 1 21ró(w). U1n sinal relevante é o sinal exponencial, definido por g(t) = e3wot com domínio t E IR e wo E llt dada. Pela definição, temos

1:

G(w) -

e-j(w-wo)'dt

21ró(wo - w) 2,ró(w - wo)

(4.14)

sendo que as duas últimas igualdades decorrem imediatamente de (4.12) e de ó(w) = ó(-w) para todo w E IR. Assim sendo, relacionamos este sinal e sua transformada por eJwoL {=::} 2rió{w - w0). Note que para w0 = O recuperamos o sinal constante no tempo. Este resultado é muito importante, pois permite determinar a transformada de Fourier dos sinais trigonométricos seno e cosseno. Para g(t) = sen(wot) coru domínio em IR, temos

G(w) enquanto que, para g(t)

=

-j1r(ó(w - wo) - ó(w

= cos(wot)

+ wo))

(4.15)

com domínio cm IR, os cálculos levam a

G(w) = 1r(ó(w - wo) + ó(w + wo))

(4.16)

É interessante notar que para estes sinais as respectivas transformadas de Fourier são nulas para todo w i= ±w0, sendo que precisamente em w = ±w0 ocorrem impulsos. A interpretação é que para sinais periódicos a transfonnada ele Fourier se concentra nas suas harmônicas. Esta afirmação pode ser provada com o auxílio da série de Fourier, pois considerando g(t) peri6dica com período To> O, vem

g(t) =

00

L 1=-00

a,,Jw,t

(4.17)

CAPÍTULO 4.

100

,,

,

,

'

, 'iX'

'

---" -"'

'

,

,

'

,

,

,

'

, , ' ,

,

'

-5

, ,

1,, '

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

,, ,

'

',

,

'

- O

o que assegura a conclusão de que li1n0-+0+ 7J,.(w) = nô(w). Por outro lado, a função q0 (O) = O e assim permanece se o -t o+. Trata-se de uma função ímpar cuja integral é nula para todo valor de o E IR. Portanto li1na--to+ q0(w) = 1/w. Assi111 procedendo, a u-ansfonnada de Fourier (4.22) é recuperada. O

O Teorema de Parseval continua válido no âmbito da transfonnada de Fourier. Com ele podemos determinar a energia total (norma) de um sinal, mas através do seu espectro. Isto era de se esperar, pois a transformada de Fourier descreve o comportamento frequencial de um sinal qualquer, que é o que faz a série de Fourier para sinais periódicos. Além da sua importância teórica, o Teorema de Parseval tem importância prática. pois, em muitos casos, simplifica o cálculo da energia contida c111 um dado sinal. Teorema 4.2 (Teorema de Parseval) Se G(w) é a transfornuulc de Fourier· do

sinal g(t), então

JlgJl2 = Prova:

2..1= 21r

IG(w)l2dw

(4.23)

-00

A prova decorre da definição de norma e de mauipulaçôes algébricas

CAPÍTULO 4.

104

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

envolvendo o sinal e sua transformada de Fourier. Temos então

IIYll2

- 1: 1:

g(t)g(t)' dt g(t)

(2�

1:

G(w)'e-1

2� ;_: (/_: g(t)e-i•'dt)

_!_ 2r.

••c1w) dt

G(w)'dw

00 G(w)G(w)'dw

1

(4.24)

-oo

que é {4.23), a igualdade que se desejava obter.

o

U1n situação bastante peculiar que ocorre muitas vezes é a seguinte. Considere u1n sinal definido por g(t) = a sinc(at/2) com a > O e domínio t E R. Calcular diretamente a sua energia é uma tarefa trabalhosa. Porém sua transformada é

simples de ser calculada, pois as igualdades

a sinc(at/2)

i:

e}wJtdw

-a/2

G(w)eiw'dw 100 _

_ l 2rr

= 2n no intervalo lwl < cálculo da norma llglf = 2r.a é imediato. indicam que G(w)

( 4.25)

00

a/2 e zero fora dele. Com (4.23)1 o

Como ficou claro, a determinação e o uso correto da transformada de Fourier requer urna base sólida em cálculo integral. Muitas situações que envolvem a resolução de operações difíceis ou trabalhosas acabam se resolvendo de maneira muito maís simples se urna propriedade da transformada de Fourier for oportunamente invocada. Por este motivo, em seguida, oferecemos um elenco de diversas propriedades da transfonnada de Fourier que devem ser bem entendidas antes de se enfrentar qualquer problema no contexto de análise de sinais.

4.2.1

Propriedades Básicas

As propriedades que passaremos a estudar se relacionam com operações básicas envolvendo sinais no domínio do tempo e seus reflexos no domínio da frequência. Desde logo, devemos mencionar que a itnportância da lransfonnada de Fourier reside no fato de ela ser uma transfonnação linear, para a qual vale o Princípio

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

105

da Superposição. Todas as propriedades são válidas para sinais com domínio em IR e imagem em C.

Teorema 4.3 (Linearidade) Considere f1 (t) e /2(t) dois sinais com as respectivas tfunsformadas F1 (w) e F2(w). Seja11i ainda c1 e c2 dois escalares quaisquer. A tnmsjoruuula do sinal obtido pela cornbinação linear· J(t) = ciI, (t) + c2J2(t) é dada por F(w) = c1F,(w) + c,F,(w). Prova:

Vem diretamente da definição, isto é, a igualdade

F(w)

-

1:

-

c1

-

c1F1(w) + c2F2(w)

(c,J,(t) +c2/2(t))e-;w,dt

1:

/1 (t)e-jwtdt

+

C21:

f2(t)e-jwtdt (4.26)

é válida para todo w E IR, o que prova o teorema proposto.

o

Linearidade é uma propriedade de capital importância, pois ela viabiliza a , deccrnposiçâo de sinais em outros mais elementares. E imperativo lembrar que os escalares [números reais ou complexos] devem ser constantes em relação a l E IR e a w E R. Ademais, tendo sido provada para dois sinais quaisquer, esta propriedade permanece válida para um número arbitrário de sinais. Teorema 4.4 (Escalamento) Seja1n a E IR não nulo e f(t) u1n sinal com trens[onruuia F(w). A tmnsfonnada do sinal g(t) = f(at) é dada por G(w) =

(1/lal)F(w/a). Prova: variável

Assumindo inicialmente que a > O, por definição, com a mudança de T = ot, obtemos

G(w)

1:

J(ot)e-jw O serve para expandir ou comprimir a escala de tempo, o que pode ser útil para a representação numérica de sinais.

CAPÍTULO 4.

106

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Teorema 4.5 (Deslocamento no tempo) Sejatn to E IR e f(l) utn sinal com

transformada F(w). A transformada do sinal deslocado no tempo g(t) = f(t-to) é dada por C(w) = e-jwt°F(w). Prova: Com a relação {4.1) e a nova variável {

G(w)

=

1: 1:

= t - t0,

podemos calcular

f(t - to)e-jwtdt f({)e-jw(!+to)d(

e-Jwto F(w)

(4.28)

o

que é o resultado desejado.

Observe que esta propriedade vale lanto para t0 > O quanto para t0 < O. O primeiro caso é mais importante, pois permite introduzir nos sinais u nj atraso de tempo igual a t0. Esta é uma operação que não altera a causalidade. O mesmo não ocorre no segundo caso. que corresponde a um avanço do sinal em direção ao futuro. Teorema 4.6 (Deslocamento em frequência) SeJam wo E IR e f(t) um sinal co1n tmnsfonnada F(w). A tmnsjomuuic do sinal g(t) = eJwotf(t) é dada por

G(w) = F(w - wo). Prova: Com (4.1) é imediato verificar que

1:

G(w)

f(t)e-i(w-wo)tdl

F(w - wo) que é o resultado desejado.

( 4.29)

O

Teorema 4.7 (Integração no tempo) Considere f(t) um sinal com tmns/ormada F(w). A transformada do sinal

J'

00

g(l) é dada por G(w)

=

=

f(r)dr

( 4.30)

F(w)/jw + rrF(O)ó(w).

Prova: A prova deste resultado é um pouco elaborada e precisa ser feita em dois passos. No primeiro, introduzimos a hipótese adicional de que (4.31)

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

107

de tal maneira que 9(-00) = g(oo) = O. Com a definição da transformada de Fourier determinamos via integração por partes G(w)

=

1: (1'

00 J(r)dr) e-iwtdl 00 -Jwt ] ) 100 f(l)e-,wtdl + ( -,g(l) e . -JW -oo JW -oo F(w)

(4.32)

JW

No segundo passo, para eliminarmos a hipótese (4.31), consideramos

1'

1'00 (J(r) - cJ(r))dr + e 00 ô(r)dr

g(l)

1'00

(J(r) - cJ(r))dr

+ cu(l)

ern que e é urna constante. Escolhendo esta constante

(4.33)

001110

(4.34) a primeira parcela de (4.33) satisfaz a hipótese anteriormente feita. Portanto. determinando as transformadas de cada parcela e sornando os respectivos valores, vem

G(w)

F(w)_ JW

e

+e

( 1 -:-

F(w) . + cno'( W ) JW

JW

+ 7ru'( w

))

{4.35)

Finalmente, como a constante e em (4.34) é alternativamente dada por e= F(O), a prova está concluída. D Un1 sinal com componente constante F(O) diferente de zero, ao ser integrado no tempo, gera um sinal cuja transfonnada de Fourier tem um impulso em w = O. E1n outras palavras, sua transfonnada diverge neste ponto. Por outro lado, realizar a integral no tempo de qualquer sinal com compouente constante nula é simples, basta dividir sua transformada por jw.

CAPÍTULO 4.

108

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Teorema 4.8 (Diferenciação em relação ao tempo) Considere g(t)

u111

sinal

co1n tronsjornuuia G(w). A tnmsfonnada do sinal f(t) � dg (t) dt

(4.36)

é dada por F(w) � jwG(w).

Prova: A derivada cm relação ao tempo da transformada de Fourier inversa de g(t) resulta em

dg (t) dt

- :!:. dt 1 2r.

o que prova o teorerna proposto.

00

(2..1 2n

G(w)eiw'dw)

_00

00

1

. (jw)G(w)e'w'dw

(4.37)

-00

o

,

E importante observar que, corno já esperado, as operações de integração e diferenciaçâo en1 relação ao tempo são operações inversas uma da outra. O motive é claro: mesmo que G(O) =/ O, sempre ternos F(O) = O, pois a diferenciação impôe ao sinal resultante ter componente constante nula. Assim sendo, para realizar a derivada em relação ao tempo de qualquer sinal, basta multiplicar sua transfonnada por jw. Teorema 4.9 (Convolução) Sejamg(t) e h(t) sinais com tmnsformadas G(w) e H(w). A tmnsformada do sinal f(t) = g(t) •h(t) é dada por F(w) = G(w)H(w). Prova: Novamente aplicamos diretamente a transformada de Fourier à definição de convolução de dois sinais a tempo contínuo. Ternos então

F(w)

L: (1:

L:

g(T)h(t -

g(T)e-1

= dr

T)dT)

1:

h({)e-1w'd{

G(w)H(w) em que utilizamos a mudança de variável Ç igualdade. Isto prova o teorema proposto.

e-jwtdt

(4.38)

t-

T

para calcular a segunda

o

Já foi possível perceber, quando tratamos sinais periódicos, que a convolução de dois sinais é uma operação essencial no estudo de sinais e sistemas. Os sisteruas processam sinais fazendo a convolução deles 00111 a sua resposta ao impulso unitário. Este teorema mostra co1110 calcular a convolução de dois sinais quaisquer, não necessariamente periódicos, a partir de suas transformadas.

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

109

Teorema 4.10 {Dualidade) Se G(w) é a tstmsjormada de g(t), então 2ng(-w) é a transformada de G(t).

Prova:

Oomo. por hipótese, G(w) é a transformada de g(t). a fórmula da

transformada inversa ( 4.6) permite escrever

2rrg(-t)

=

1:

G(w)e-jwtdw

(4.39)

Pennutando as variáveis t � w, o que pode ser feito pois ambas evoluem no mesmo domínio l E IR e w E IR, obtemos

2rrg(-w)

=

1:

G(t)e-jwtdt

(4.40)

a qual, a partir de {4.1)1 indica que 21rg(-w) é a transformada de G(t)i que é

exatamente o que se desejava provar.

D

O resultado deste teorema pode simplificar os cálculos de transfonnadas, pois as fórmulas (4.1) e (4.6) podem ser aplicadas indistintamente segundo a que for mais simples ou mais conveniente. O ponto central a ser observado é que, mesmo calculando a transformada inversa com (4.6). a transformada da função resulta da propriedade de dualidade com a pormutaçâo das variáveis independentes t E IR e w E IR. Os exemplos discutidos a seguir ilustram a aplicação das propriedades que acabamos de elencar. Exemplo 4.6 O sinal g(t) = e-oltl definido em R, 00111 o > O, pode ser escrito na fonna equivalente g(t) = J(t) + /(-t) com /(t) = e-atv(t). Segundo o Teorema 4.4, a sua transformada é dada por G(w) = F(w) + F(-w) cujas parcelas são calculadas com auxílio do Exemplo 4.1, ou seja, G(w)

1

-� . + o-+JW

1

.

O--JW

2a o2 +w2

Com o que foi feito no Exemple 4.5, fica claro que para o➔ e recuperamos a transformada do sinal constante unitário.

Exemplo 4. 7 A transformada do sinal g(t) igualdade eJ8o

o+ ternos G(w)

= cos(wot + Oo)v(t) e-180

g(l) = -d"01v(t) + �-c-i•'•'v(t) 2 2 e, em seguida, com a aplicação do Teorema 4.6 para determinar eJ8o

G(w)

= T·U(w -wo) +

e- J8o

2

V(w + wo)

➔ 2r.ô(w)

D é calculada através da

CAPÍTULO 4.

110

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

que estã colocada e111 função da transfonuada do degrau unitário que já conhecemos. Estas manipulações algébricas nos levam a rre190

G(w= )

2

1re-J8o

r( 1JW-wo+ )

r( ) 1JW+wo+

2

woscn(Oo) - jwcos(Oo) 2 W 2 -W0

Co1110 era de se esperar, os dois impulsos que aparecem nas frequências ±wo indicam a D divergência da transformada.

Exemplo 4.8 É necessário aprender a manipular as operações de rcucíaçâo pois elas podem simplificar os cálculos de transfonnadas. pois a integração pode requerer a manipulação da função impulso. transfonnadas do impulso e do degrau com as mesmas amplitudes a

integração e dífcCautela é preciso Sabemos que as E IR são dadas na

fonna

a v(t)

ç=}

a

a ó(t)

,-jw)t) (1 L, JW - À.· e-eco " .

•

8

;

1

i=l

"

� -

o,

(4.45)

jW-À1

onde se nota que o limite indicado na segunda igualdade é nulo, pois, por hipótese, lirn e(>.,-Jw)tl t-+=

para todo i

= 1, 2, · · ·

=

lim eR.c(>.,)t t-+=

=O

(4.46)

, n. Isto determina a função it(s) = �

0,

Ls->.; 1=!

= 1V(s)

D(s)

(4.47)

denominada função de tmnsferência do sistema cm consideração. Por construção, H(w) = h(jw) é a transfonnada de Fourier da sua resposta ao impulso h(t) que é calculada, se necessário, pela fónnula da transformada de Fourier inversa (4__.6). Como h(t) é real para todo t > O, a sorna indicada em (4.47) que fornece h(s) sempre resulta ern urna fração racional com as seguintes propriedades:

114

CAPÍTULO 4.

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

• O grau de D(s) é n e é igual ou maior que o grau de N(s). • Os dois polinômios D(s) e j\l(s) têrn coeficientes reais.

= O são .-\1, · · · ,.-\ algébrica D( s) = O é denominada

• As raízes de D(s)

11•

A equação equação camcteristica e ela te111 toda a infonnação necessária para decidir !',e um sistema é assintoticamente

estável. Se todas as suas raízes estiverem localizadas no semiplano esquerdo aberto do plano complexo e_ = { s E C : Rc(s) < O} a sua estabilidade assintótica é assegurada. Uni atributo dos sistemas LJT causais assintoticamente estáveis muito utilizado em diversas aplicações práticas é a norma da sua resposta ao impulso. Para esta classe de sistemas, a transfonnada de Fourier da sua resposta ao impulso existe e é dada por H{w) = Íi(jw), o que permite aplicar o Teorema de Parseval 4.2 para determinar a sua norma, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência, a saber, lli(jw)l dw lh(t)l dt = 1100 100 o o 2

2

( 4.48)

'ir

Para obter esta igualdade com intervalos de integração idênticos [O, co ), lançamos mão de dois fatos. O primeiro é que h(t) = O para todo t < O. O segundo é que h(t) real para todo t > O implica que Íi(-jw) = Íi(jw)" para todo w E IR. Com a norma da resposta ao impulso (ou, equivalentemente, da função de transferência) pequena, a energia necessária para atenuar um sinal de entrada também será pequena.

4.3

Sinais a Tempo Discreto

Nesta seção vamos trilhar o mc.51110 carninho que foi feito no caso de sinais a tempo contínuo. Tentaremos utilizar os mesmos conceitos matemáticos e as interpretações deles decorrentes, cum pequenas adaptações para tratar sinais genéricos, isto é. não necessariamente periódicos. Todos os sinais aqui tratados são definidos no domínio Z com imagem eru C. Definição 4.2 [Transformada de Fourier) A ímmsjornuula de Fourier de u1n sinal a tempo discreto g(k): Z-+ C é a função G(w): [-rr. rrj-+ C dada por G(w)

=

00 L

k=-oo

g(k)e-Jwk

(4.49)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

.

' '' '' '

'

'

,

'' ' ' '

º'

•

'

' ' ''

'' '

' '

' ' ''

' '

' '•

'

' '

'

'

•

115

' '' ',,

' ''

' ' '' " o

k

' ''

'

'

'

'

'

'' '' ' ,'

'

'

'

'

Figura 4.5: Sinais idênticos com frequências diferentes Deve ser mencionado que estamos utilizando a mesma notação w para a frequência de sinais a tempo contínuo e a tempo discreto, em ambos os casos a unidade desta grandeza no sistema internacional é [rad/s]. A transformada

de Fourier será denotada da mesma forma anterior, ou seja, com a mesma letra maiúscula G(w) ou ,9(w). Em algumas ocasiões faremos uso da notação do tipo operador Fjg(k)]. Neste momento observamos algo importante que deve ser explicado. Na sua definição, o domínio da transfonnada não é todo IR, mas apenas f! = { w : lwl < 1T}. O motive disso ser feito é que, no presente contexto, considerar w E O é equivalente a considerar w E R. De fato, seja o sinal exponencial f(k) = eJwk definido para todo k E Z. Con10 sabemos, por definição, para que este sinal seja periódico é imperativo que exista 1\'o E N tal que wNo = 2,rn para algum n. E N. O menor valor de 1\'o é o seu período. Por outro lado, o sinal modificado J111(k) = eJ(w+2:rm)k com ni E Zé tal que fm(k) = f(k) para todo k E Z, pois

f,n(k) = J(k)ef2•mk = J(k), 'lk E Z

(4.50)

o que coloca cm clara evidência que qualquer função exponencial com frequência fora de um intervalo de 21r [rad/s], escolhido arbitrnrramentc, sempre pode ser escrita corno uma função exponencial com frequência situada dentro deste intervalo. Assim sendo, sem perda de generalidade, daqui ern diante, assumimos que w E !1.

CAPÍTULO 4.

116

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Exemplo 4.10 (Sinal falso -Aliasing) A Figura 4.5 ilustra de maneira bastante clara o efeito de uni sinal falso - altasing. A linha contínua e a linha tracejada são os sinais a tempo contínuo /(t) = cos((9rr/7)t) e fm(t) = cos((-5rr/7)t), respectivamente. Ambos são periódicos, mas são bastante diferentes. Na mesma figura, os pontos marcam os sinais a tempo discreto /(k) = cos((9r./7)k} (com frequência fora de n) e fm(k) = cos((-51r/7)k) (com frequência dentro de n) que são dois sinais periódicos idênticos, com período N0 = 14. Observe que os pontos estão precisamente alocados cm valores para os quais os dois sinais a tempo contínuo coiucídcm. Não há como distinguir sinais exponenciais a tempo discreto com frequências diferentes, rnas cuja diferença seja u111 múltiplo de 2;;. Este Icuômcno é denominado alia.sutg e deve ser evitado, pois. com a sua presença, um sinal a tempo contínuo não pode ser recuperado a partir de suas amostras coletadas a tempo discreto. As amostras de um sinal a tempo contínuo g(t) = es-", colhidas nos instantes t = kT. fornecem J(k) = g(kT) = ei"'Tk. Portanto, wT < JT é u11i:1 D exigência para que o sinal g(t) possa ser recuperado. ,

E relevante saber para qual classe de sinais a tempo discreto a sorna infinita que define a sua transformada converge. Calculando o seu módulo verifica-se imediatamente que

IC(w)I


pois le-jwkl = 1 para todo k E Z. Se existirem constantes [o] < 1 e /3 > O tais que lg(k)I < f3olkl para todo k E Z, a existência da transformada de Fourier discreta está assegurada. Embora o domínio da transformada seja un1 intervalo contínuo de frequências w E f!, existe uma propriedade similar àquela dos sinais ortogonais que foi essencial para o desenvolvimento da série de Fourier para sinais periódicos. A propriedade mencionada é explicitada através de n= 1n

n;ém

( 4.52)

e é válida para todo n, 111. E Z. De fato, o cálculo da integral indefinida indicada mostra que ela é igual a 2JTsinc( r.(n- m)). da qual resulta os valores expressos em ( 4.52). Estamos em condições de detenninar a transfonnada de Fourier inversa, dada 110 seguinte teorema. Teorema 4.12 (Transformada de Fourier Inversa) Se G(w): f2 ➔ C é a tmnsformada de Fourier de um sinal a tempo discreto g(k) : Z ➔ C, então a seguinte

igualdade g(k) é veniadeim.

= _l_ 2r.

1•

-71"

C(w)e'"kdw

(4.53)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

117

Prova: Com a transforrnada de Fourier dada em (4.49) obtemos

L

g(n)

00

11=-00

1'

e3w(k-n)dw

-,r

2rrg(k)

(4.54)

sendo que a segunda igualdade decorre imediatamente de (4.52), o que prova o teorema proposto. O Fica claro, pela prova deste último teorema, que a recuperação de um sinal a

partir de sua transformada se baseia na ortogonalidade de infinitos sinais definidos no domínio contínuo de frequências O. Além disso, é interessante notar que o cálculo da transformada requer a manipulação de urna série, enquanto que o

cálculo da transformada inversa requer o cálculo de urna integral definida. Va1110s interpretar a transformada de Fourier discreta aplicada a sinais não periódicos como sendo o limite da série de Fourier de sinais discretos periódicos. Consideramos que o sinal g(k), não periódico, pode ser aproximado por um sinal periódico com período 1\'o > O suficientemente grande. Assim sendo, podemos reescrevê-lo com a série de Fourier discreta na forma

g(k)

-

lim No-++oo

L

o;eJ(2rr/iV0)ik

iE(No)

lim

_!_

iVo-++oo

No

L

(l\'ooi)d(21r/iVo)ik

(4.55)

1E(1Vo)

Entretanto, com /\'o arbitrariamente grande, cada coeficiente da série de Fourier pode ser determinado através da aproximação

l\'oa,

=

L

g(k)eJ(2rrf,Vo)ik �

G(w,)

(4.56)

kE(No}

em que wi = 6w i com 6w = 2rr / No para todo i E {No) e G(w) é a transformada de Fourier (4.49). Finalmente, substituindo (4.56) em (4.55), ve111

g(k)

lim ów-+O+

C,w '-'"' G(w,)e'w,k 2tr

�

1E(1Vo)

_.!:_ {27r G(w)e'wkdw 2rr

J

(4.57)

pois o intervalo de frequências coberto por 6w i para todo i E (1Vo} é igual a 2rr, indepcndcnte,nentc do valor do período No. Recuperamos exatamente a

CAPÍTULO 4.

118

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

lransfonnadade Fourier inversa {4.53). Estes cálculos mostram maís urna vez que os limites de integração não são importantes. o que é importante é o intervalo de integração considerado. Urna estratégia interessante do ponto de vista numérico para se determinar a transformada de Fourier de um sinal a tempo discreto é calcular a série de Fourier do mesmo sinal, assumindo que ele se repete com período 1V0 arbitrarirunente grande. Con10 verc1110,5 ruais adiante, este cálculo pode inclusive fornecer o resultado exato. Exemplo 4.11 A transformada de Fourier do sinal g(k) = akv(k) com lal < 1. domínio k E Z e imagem em C é determinada diretamente a partir da definição (4.49), ou seja,

G(w)

k=O 1

para todow E n = 1-:,r, :,r]. Observe que la e-Jw[ = lal < 1 e, assim, o Lema 2.1 pode ser aplicado para se calcular a soma da progressão geométrica indicada. Tendo em mãos a transformada de Fourier. o espectro do sinal resulta da simples deternlinação do módulo e da fase de G(w). naquele intervalo de frequências. É oportuno observar que para [e] > 1 o resultado do referido lema permite concluir que a soma indicada diverge para todo valor de w E n. Nestes casos, as transfonnada.s de Fourier divergem e, por conseguinte, não podem ser determinadas. D

Exemp]o 4.12 Desejamos calcular a transformada de Fourier de um pulso discreto definido por g(k) = 1. lkl < 1''1,, em que Nh é uni número inteiro e g(k) = O para. todo k E Z fora deste intervalo. Este pulso é igual àquele do primeiro período do trem de pulsos discretos do Exemplo 3.12. Aplicando (4.49), obtemos N,

L

G(w)

e-jwk

k=-N1, N,

1

-

+ 2 Í::: cos(wk)

cos(w1\11,)- cos(w(1\lh l - cos(w)

+ 1))

para todo w E n = 1-:,r. :,r]. Para w = O a indetenninação é levantada e obtém-se o valor esperado G(O) = 2.11/h + 1. Comparando com o que foi oblido no Exemplo 3. 12 nota-se que, cem qualquer período tal que 1''0 > 21\111 + 1, os coeficientes da série são dados por 1Vocr, = G(w,) para todo i E (No}. Esta relação é exata, isto é, não envolve nenlnuna aproximação. Na verdade, a transformada de Fourier cnvelorxi os coeficientes da série. D

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

119

Passamos a calcular as transformadas de alguns sinais especiais. A transformada de Fourier do impulso unitário discreto O(k) definido em (2.42) e que pode ser escrito alternativamente corno ô(k) = Ok vem da definição, ou seja, 00

J(w)

L

=

ó(k)e-jwk

= 1,

'iw E !1

(4.58)

k=-(X)

sendo que a transformada de Fourier inversa permite estabelecer a igualdade

1•

-1 eiwkdJ.,; = sinc(rrk) ó(k) = (4.59) 211 -11" que nada mais é que uma forma alternativa de expressar o impulso unitário

discreto tendo em vista que sinc(1rk) = 1 para k = O e sinc(nk) = O para todo O f. k E Z. Estamos cm condições de calcular a transformada do sinal constante discreto, a saber, g(k) = 1, Vk E Z, que resulta imediatamente da definição 00

G(w)

=

L

e-3wk, 'iw E !1

(4.60)

k=-oo

O cálculo desta sorna deve ser feita de maneira indireta. pois pelo Lema 2.1 sabemos que ela diverge, mas é preciso determinar de que fonna isso ocorre. Com este propósito, o cálculo da transfonnada inversa

11' ·

g(k) = rr ó(w)e'wkdJ.,; = l,r, 'ik E Z _, 2 2

(4.61)

permite duas conclusões importantes. A primeira é que a transformada do sinal constante definido acima tem corno transfonnada G(w) dada cm (4.60)1 mas com o auxílio de ( 4.61) nota-se que a transformada deste mesmo sinal é também expressa na forma 2rró(w) e, assim, obtemos a igualdade 1

00

.

.

- " e-3wk = ó(w), 'iw E !1 2rr L..,,

(4.62)

k=-oo

da qual também decorre a propriedade e a fórmula alternativa ó(w) = ó(-w) para todo w E O. Acabamos de calcular a transfonnada desejada, a qual expressamos na forma 1 � 2rró(w). É notável a semelhança entre a versão a tempo contínuo {4.12) e a sua versão a tempo discreto (4.62), que se igualam ao impulso unitário. O sinal exponencial g(k) = e11AJOk com domínio k E Z e w0 E 1R te111 como transformada

G(w) k=-oo

2,ró(w - wo), 'iw E !1

(4.63)

CAPÍTULO 4.

94

4.2

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Sinais a Tempo Contínuo

Inicialmente, nosso objetivo é considerar sinais a tempo contínuo, mas sem

qualquer outra qualificação. E1n particular, sinais genéricos, isto é, não periódicos, serão o nosso objeto de estudo. Entretanto, cabe ressaltar que algumas restrições

aos sinais serão gradualmente incorporadas como forma de tornar possível a realização de operações matemáticas necessárias. Definição 4.1 [Transformada de Fourier) A lfnnsformada de Fourier de u1n sinal a tempo contínuo g(t) : IR➔ C é a Junção G(w) : IR➔ C dada por

G(w)

=

1:

g(t)e-iw'dt

{ 4.1)

A própria definição introduz a notação adotada em todo o texto. A transfor-

tnada de Fourier do sinal g(t) {definido no domínio do tempo t E IR e denotado por uma letra minúscula) é a função G(w) (definida no domínio da frequência w E IR e denotada pela mesma letra maiúscula}. Quando necessário, adotaremos §(w) ou F(g(t)] para indicar a transformada de Fourier de g(t). Alguns aspectos devem ser imediatamente notados, a saber: • Simetria: Os domínios (t E IR,w E IR) bem corno os conjuntos imagem (C) são idênticos para os sinais e suas transformadas. Isto tem Ílnplicaçõcs interessantes que permitem permutar fórmulas válidas no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. • Classe de sinais: Uma informação relevante é saber para qual classe de sinais a integral (4.1) converge. Calculando o módulo de (4.1), obtemos IG(w)I
O e o > O tais que lg(t)I < 0 /le- 1•1, 'tt E IR. • Divergência: E1n certos casos, a integral (4.1) não converge, mas a sua divergência para infinito ocorre de maneira especial, segundo um impulso unitário ô(t) ou ô(w ). Identificar estas situações permite detenninar a transformada de Fourier para urna classe bem mais ampla de sinais.

CAPÍTULO 4.

94

4.2

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Sinais a Tempo Contínuo

Inicialmente, nosso objetivo é considerar sinais a tempo contínuo, mas sem

qualquer outra qualificação. E1n particular, sinais genéricos, isto é, não periódicos, serão o nosso objeto de estudo. Entretanto, cabe ressaltar que algumas restrições

aos sinais serão gradualmente incorporadas como forma de tornar possível a realização de operações matemáticas necessárias. Definição 4.1 [Transformada de Fourier) A lfnnsformada de Fourier de u1n sinal a tempo contínuo g(t) : IR➔ C é a Junção G(w) : IR➔ C dada por

G(w)

=

1:

g(t)e-iw'dt

{ 4.1)

A própria definição introduz a notação adotada em todo o texto. A transfor-

tnada de Fourier do sinal g(t) {definido no domínio do tempo t E IR e denotado por uma letra minúscula) é a função G(w) (definida no domínio da frequência w E IR e denotada pela mesma letra maiúscula}. Quando necessário, adotaremos §(w) ou F(g(t)] para indicar a transformada de Fourier de g(t). Alguns aspectos devem ser imediatamente notados, a saber: • Simetria: Os domínios (t E IR,w E IR) bem corno os conjuntos imagem (C) são idênticos para os sinais e suas transformadas. Isto tem Ílnplicaçõcs interessantes que permitem permutar fórmulas válidas no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. • Classe de sinais: Uma informação relevante é saber para qual classe de sinais a integral (4.1) converge. Calculando o módulo de (4.1), obtemos IG(w)I
O e o > O tais que lg(t)I < 0 /le- 1•1, 'tt E IR. • Divergência: E1n certos casos, a integral (4.1) não converge, mas a sua divergência para infinito ocorre de maneira especial, segundo um impulso unitário ô(t) ou ô(w ). Identificar estas situações permite detenninar a transformada de Fourier para urna classe bem mais ampla de sinais.

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

95

O resultado-chave para o estudo da transformada de Fourier é traduzido pela seguinte igualdade que já analisamos no Capítulo 2, a saber (4.3)

Todas as condições para que esta igualdade seja verdadeira estão presentes. No capítulo mencionado, verificamos que o seu lado esquerdo é nulo para todo O ft E IR, é +oo para. t = O e a sua integral é igual a 11111 em qualquer intervalo que contenha a origem. Mesmo diante de todas essas evidências, va1110s retornar o Exemplo 3.3, em que a seguinte igualdade

=

L

ó(t - kTo)

=

= ;, •.

k =-oo

L

,J(2rr/To)it'

t E IR

( 4.4)

1=-00

foi estabelecida. Corno To é o período do trem de impulsos e um deles ocorre em t = O, se fizermos To -+ oo o lado direito de (4.4) fornece ó(t). Definindo ó.w = 21r /To e Wi = ó.w i para todo i E Z, temos

J(t)

•

lim To--++oo

�

= L

J(2rr/To)it

To t=-oo .

(4.5)

que é exatamente (4.3). Esta integral diverge para l = O. mas o faz de maneira especial, segundo um impulso unitário. Este resultado permite estabelecer a fórmula da Transformada de Fourier Inversa dada através do próximo teorema. Teorema 4.1 [Transformada de Fourier Inversa) Se G(w): IR➔ C é a trans-

fonna de Fourier de um sinal a tempo contínuo g(l) : !R. ➔ C, então a seguinte igualdade (4.6)

é verdadeiro.

96

CAPÍTULO 4.

Prova:

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Com G(w) dada por {4.1), determinamos

1:

1: (1:

=

C(w)dw1dw

_ 1: 2rr

g(r)

1:

g(r)e-jwr

(1:

dr)

,,;wtdw

,,;w(t-r)dw)

dr

g(r)ó(t - r)dr

- 2rrg(t)

(4.7)

na qual a terceira igualdade vem de ( 4.3) deslocada de T e a quarta igualdade é urna das propriedades fundamentais do impulso unitário. A última igualdade O recupera (4.6), o que prova o teorema proposto.

Como introduzimos a transfonnada de Fourier através de uma definição. é preciso dar-lhe uma interpretação a respeito do seu surgimento e utilidade. Na verdade, ela diz respeito à generalização da série de Fourier para sinais não

periódicos. Neste sentido, observe que um sinal qualquer g(t) com domfnlo em IR pode ser aproximado por um sinal periódico com período To > O arbitrariamente grande. Neste caso, corno sabemos. definindo tl.w = 2rr /To e Wi = tl.w i para todo i E Z, a série de Fourier permite escrever 00

g(t)

[im To-++oo _

L

0'1e7(21r/To)lt

1=-00

00

L

(Toa;)e1(21r/To)it _2._ To-++oo To . 1=-co

lim

(4.8)

e, por outro lado, para To arbitrariamente grande, cada coeficiente da série pode ser aproximado por Toa; �

1

To/2

g(t)e-;(,,fTo)itdt as G(w,)

(4.9)

-To/2

Levando esta aproxünação ao cálculo do limite (4.8), o que pode ser feito tendo cm vista que T0 ➔ +oo, obtemos

. �w" C(w,)dw,t 2r. A

g(t)

lun

ec-so+

2_ 2r.

00

L,

•=-oo

00

1

-oo

C(w)e'w1dw

( 4.10)

CAPÍTULO 4.

94

4.2

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Sinais a Tempo Contínuo

Inicialmente, nosso objetivo é considerar sinais a tempo contínuo, mas sem

qualquer outra qualificação. E1n particular, sinais genéricos, isto é, não periódicos, serão o nosso objeto de estudo. Entretanto, cabe ressaltar que algumas restrições

aos sinais serão gradualmente incorporadas como forma de tornar possível a realização de operações matemáticas necessárias. Definição 4.1 [Transformada de Fourier) A lfnnsformada de Fourier de u1n sinal a tempo contínuo g(t) : IR➔ C é a Junção G(w) : IR➔ C dada por

G(w)

=

1:

g(t)e-iw'dt

{ 4.1)

A própria definição introduz a notação adotada em todo o texto. A transfor-

tnada de Fourier do sinal g(t) {definido no domínio do tempo t E IR e denotado por uma letra minúscula) é a função G(w) (definida no domínio da frequência w E IR e denotada pela mesma letra maiúscula}. Quando necessário, adotaremos §(w) ou F(g(t)] para indicar a transformada de Fourier de g(t). Alguns aspectos devem ser imediatamente notados, a saber: • Simetria: Os domínios (t E IR,w E IR) bem corno os conjuntos imagem (C) são idênticos para os sinais e suas transformadas. Isto tem Ílnplicaçõcs interessantes que permitem permutar fórmulas válidas no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. • Classe de sinais: Uma informação relevante é saber para qual classe de sinais a integral (4.1) converge. Calculando o módulo de (4.1), obtemos IG(w)I
O e o > O tais que lg(t)I < 0 /le- 1•1, 'tt E IR. • Divergência: E1n certos casos, a integral (4.1) não converge, mas a sua divergência para infinito ocorre de maneira especial, segundo um impulso unitário ô(t) ou ô(w ). Identificar estas situações permite detenninar a transformada de Fourier para urna classe bem mais ampla de sinais.

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

95

O resultado-chave para o estudo da transformada de Fourier é traduzido pela seguinte igualdade que já analisamos no Capítulo 2, a saber (4.3)

Todas as condições para que esta igualdade seja verdadeira estão presentes. No capítulo mencionado, verificamos que o seu lado esquerdo é nulo para todo O ft E IR, é +oo para. t = O e a sua integral é igual a 11111 em qualquer intervalo que contenha a origem. Mesmo diante de todas essas evidências, va1110s retornar o Exemplo 3.3, em que a seguinte igualdade

=

L

ó(t - kTo)

=

= ;, •.

k =-oo

L

,J(2rr/To)it'

t E IR

( 4.4)

1=-00

foi estabelecida. Corno To é o período do trem de impulsos e um deles ocorre em t = O, se fizermos To -+ oo o lado direito de (4.4) fornece ó(t). Definindo ó.w = 21r /To e Wi = ó.w i para todo i E Z, temos

J(t)

•

lim To--++oo

�

= L

J(2rr/To)it

To t=-oo .

(4.5)

que é exatamente (4.3). Esta integral diverge para l = O. mas o faz de maneira especial, segundo um impulso unitário. Este resultado permite estabelecer a fórmula da Transformada de Fourier Inversa dada através do próximo teorema. Teorema 4.1 [Transformada de Fourier Inversa) Se G(w): IR➔ C é a trans-

fonna de Fourier de um sinal a tempo contínuo g(l) : !R. ➔ C, então a seguinte igualdade (4.6)

é verdadeiro.

96

CAPÍTULO 4.

Prova:

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Com G(w) dada por {4.1), determinamos

1:

1: (1:

=

C(w)dw1dw

_ 1: 2rr

g(r)

1:

g(r)e-jwr

(1:

dr)

,,;wtdw

,,;w(t-r)dw)

dr

g(r)ó(t - r)dr

- 2rrg(t)

(4.7)

na qual a terceira igualdade vem de ( 4.3) deslocada de T e a quarta igualdade é urna das propriedades fundamentais do impulso unitário. A última igualdade O recupera (4.6), o que prova o teorema proposto.

Como introduzimos a transfonnada de Fourier através de uma definição. é preciso dar-lhe uma interpretação a respeito do seu surgimento e utilidade. Na verdade, ela diz respeito à generalização da série de Fourier para sinais não

periódicos. Neste sentido, observe que um sinal qualquer g(t) com domfnlo em IR pode ser aproximado por um sinal periódico com período To > O arbitrariamente grande. Neste caso, corno sabemos. definindo tl.w = 2rr /To e Wi = tl.w i para todo i E Z, a série de Fourier permite escrever 00

g(t)

[im To-++oo _

L

0'1e7(21r/To)lt

1=-00

00

L

(Toa;)e1(21r/To)it _2._ To-++oo To . 1=-co

lim

(4.8)

e, por outro lado, para To arbitrariamente grande, cada coeficiente da série pode ser aproximado por Toa; �

1

To/2

g(t)e-;(,,fTo)itdt as G(w,)

(4.9)

-To/2

Levando esta aproxünação ao cálculo do limite (4.8), o que pode ser feito tendo cm vista que T0 ➔ +oo, obtemos

. �w" C(w,)dw,t 2r. A

g(t)

lun

ec-so+

2_ 2r.

00

L,

•=-oo

00

1

-oo

C(w)e'w1dw

( 4.10)

97

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

que é exatamente a expressão da transformada de Fourier inversa {4.6). lst.o mostra que a generalização que se desejava foi conseguida. Ela permite concluir que uma maneira de calcularmos, aproximadamente [com urna precisão desejada), a t.ransfonnada de Fourier de um sinal qualquer é transfonná-lo e1n um sinal periódico com período muito grande e calcular a série de Fourier correspondente. Isto equivale a resolver numericamente a integral da transfonnada pelo método de integração de Euler. Os seguintes exemplos ilustram os cálculos que devem ser feitos em alguns casos específicos. Exemplo 4.1 Para o sinal exponencial g,.(t)

= e- tv(t) 0

com

a-> O, ternos

G0(w) a+jw l\"ote que o sinal g(t) = e-at 00111 a positivo ou negativo, mas definido para todo t E IR, não admite transformada de Fourier. O sinal s0(t) = 90(t)- 90(-t) 00111 o> O e domínio em t E R tem transformada de Fourier dada por So(w)

1_:

(Yo(t) - g.(-t))e-'"'dt

G0(w)-G0(-w) -2jw

o2

+ w2

em que utilizamos uma propriedade que resulta diretamente da mudança de variável �=-te se expressa na forma g0(-t) G0(-w). É importante ressaltar que esta o propriedade é genérica, isto é, se aplica a qualquer sinal.

Exemplo 4.2 Considere uni pulso isolado definido por g(t) deste intervalo que já foi analisado no Exemplo 3.2, mas transfonnada de Fourier é calculada pela definição. isto é, G(w)

•/2

J

=

c.-0111

1, ltl < a/2 e zero fora período To > O. A sua

e-J"'tdt

-a/2

a sinc(wa/2) Os coeficientes fornecidos no exemplo mencionado para a série periódica são tais que Too; = G(w;) para todo i E Z. A Figura 4.1 mostra. para To = 1 !s] e a = 0,25, a transformada de Fourier G(w) e as harmônicas do sinal periódico. A confinnação do que foi dito é visível. D

CAPÍTULO 4.

98

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

025

0.2

é

0.15

o

-6º·º5 [-::� 0.1

''

•'

3

o -0.05

�-�--�--�-��-�--J

-0.1 ·150

·100

·50

O

150

50

w [rad/s]

Figura 4.1: Transfonnada de Fourier e harmônicas Exemplo 4.3 O sinal g(t) = a t, ltl < To/2 e zero fora deste intervalo já. foi analisado no Exemplo 3.4, mas com período To > O. A sua transformada de Fourier também pode ser calculada diretamente pela definição, ou seja,

G(w)

a

T,/2

J

te_'..,1dt

-To/2

. (Tocos(wTo/2)

Ja

w

-

2sen(wTo/2)) w2

para todo O #- w E 1R: e G(O) = O. Novamente verlfícamos que os coeficientes calculados no exemplo mencionado para a série periódica satisfazem a relação Toai = G(w1) para todoi E Z. D ,

E importante que tenhamos sempre presente a fónnula da transformada de Fourier (4.1), bem 001110 da sua inversa (4.6). En1 diversas situações, a aplicação de tuna delas pode levar ao resultado que seria obtido com a outra, porém de forma muito mais simples e fácil. Esta situação fica ruais evidente quando manipulamos sinais com transformadas que envolvem o impulso unitário. A transformada de Fourier do impulso unitário é dada por {4.1), ou seja.

6(w) =

1:

ó(t)e-Jwtdt = l, 'vw E IR

(4.11)

e é interessante verificar que, neste caso, ( 4.6) se reduz a ( 4.3) para que o impulso unitário ó(t) seja recuperado. Assim sendo, é possível relacionar o sinal e sua

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

99

trausfonnada por ó(l) 1. Por outro lado, se fizermos a pennutação entre as variáveis t E IR e w E IR, a equação (4.3) produz

_.!:_ 2r.

f00 e'w'dt = ó(w)

(4.12)

J_oo

sendo interessante determinar qual sinal g(t)

te111

ó(w)

001110

transformada de

Fourier. Aplicando (4.6), vem 1 100 ó(w)eiw'dw = 1 g(t) = 2-00 2_ 7f "

(4.13)

e fica evidente que a transformada de Fourier do sinal constante unitário g(t) = 1. Vt E IR é §(w) = 21ró(w). Este resultado permite relacionar 1 21ró(w). U1n sinal relevante é o sinal exponencial, definido por g(t) = e3wot com domínio t E IR e wo E llt dada. Pela definição, temos

1:

G(w) -

e-j(w-wo)'dt

21ró(wo - w) 2,ró(w - wo)

(4.14)

sendo que as duas últimas igualdades decorrem imediatamente de (4.12) e de ó(w) = ó(-w) para todo w E IR. Assim sendo, relacionamos este sinal e sua transformada por eJwoL {=::} 2rió{w - w0). Note que para w0 = O recuperamos o sinal constante no tempo. Este resultado é muito importante, pois permite determinar a transformada de Fourier dos sinais trigonométricos seno e cosseno. Para g(t) = sen(wot) coru domínio em IR, temos

G(w) enquanto que, para g(t)

=

-j1r(ó(w - wo) - ó(w

= cos(wot)

+ wo))

(4.15)

com domínio cm IR, os cálculos levam a

G(w) = 1r(ó(w - wo) + ó(w + wo))

(4.16)

É interessante notar que para estes sinais as respectivas transformadas de Fourier são nulas para todo w i= ±w0, sendo que precisamente em w = ±w0 ocorrem impulsos. A interpretação é que para sinais periódicos a transfonnada ele Fourier se concentra nas suas harmônicas. Esta afirmação pode ser provada com o auxílio da série de Fourier, pois considerando g(t) peri6dica com período To> O, vem

g(t) =

00

L 1=-00

a,,Jw,t

(4.17)

CAPÍTULO 4.

100

,,

,

,

'

, 'iX'

'

---" -"'

'

,

,

'

,

,

,

'

, , ' ,

,

'

-5

, ,

1,, '

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

,, ,

'

',

,

'

- O

o que assegura a conclusão de que li1n0-+0+ 7J,.(w) = nô(w). Por outro lado, a função q0 (O) = O e assim permanece se o -t o+. Trata-se de uma função ímpar cuja integral é nula para todo valor de o E IR. Portanto li1na--to+ q0(w) = 1/w. Assi111 procedendo, a u-ansfonnada de Fourier (4.22) é recuperada. O

O Teorema de Parseval continua válido no âmbito da transfonnada de Fourier. Com ele podemos determinar a energia total (norma) de um sinal, mas através do seu espectro. Isto era de se esperar, pois a transformada de Fourier descreve o comportamento frequencial de um sinal qualquer, que é o que faz a série de Fourier para sinais periódicos. Além da sua importância teórica, o Teorema de Parseval tem importância prática. pois, em muitos casos, simplifica o cálculo da energia contida c111 um dado sinal. Teorema 4.2 (Teorema de Parseval) Se G(w) é a transfornuulc de Fourier· do

sinal g(t), então

JlgJl2 = Prova:

2..1= 21r

IG(w)l2dw

(4.23)

-00

A prova decorre da definição de norma e de mauipulaçôes algébricas

CAPÍTULO 4.

104

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

envolvendo o sinal e sua transformada de Fourier. Temos então

IIYll2

- 1: 1:

g(t)g(t)' dt g(t)

(2�

1:

G(w)'e-1

2� ;_: (/_: g(t)e-i•'dt)

_!_ 2r.

••c1w) dt

G(w)'dw

00 G(w)G(w)'dw

1

(4.24)

-oo

que é {4.23), a igualdade que se desejava obter.

o

U1n situação bastante peculiar que ocorre muitas vezes é a seguinte. Considere u1n sinal definido por g(t) = a sinc(at/2) com a > O e domínio t E R. Calcular diretamente a sua energia é uma tarefa trabalhosa. Porém sua transformada é

simples de ser calculada, pois as igualdades

a sinc(at/2)

i:

e}wJtdw

-a/2

G(w)eiw'dw 100 _

_ l 2rr

= 2n no intervalo lwl < cálculo da norma llglf = 2r.a é imediato. indicam que G(w)

( 4.25)

00

a/2 e zero fora dele. Com (4.23)1 o

Como ficou claro, a determinação e o uso correto da transformada de Fourier requer urna base sólida em cálculo integral. Muitas situações que envolvem a resolução de operações difíceis ou trabalhosas acabam se resolvendo de maneira muito maís simples se urna propriedade da transformada de Fourier for oportunamente invocada. Por este motivo, em seguida, oferecemos um elenco de diversas propriedades da transfonnada de Fourier que devem ser bem entendidas antes de se enfrentar qualquer problema no contexto de análise de sinais.

4.2.1

Propriedades Básicas

As propriedades que passaremos a estudar se relacionam com operações básicas envolvendo sinais no domínio do tempo e seus reflexos no domínio da frequência. Desde logo, devemos mencionar que a itnportância da lransfonnada de Fourier reside no fato de ela ser uma transfonnação linear, para a qual vale o Princípio

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

105

da Superposição. Todas as propriedades são válidas para sinais com domínio em IR e imagem em C.

Teorema 4.3 (Linearidade) Considere f1 (t) e /2(t) dois sinais com as respectivas tfunsformadas F1 (w) e F2(w). Seja11i ainda c1 e c2 dois escalares quaisquer. A tnmsjoruuula do sinal obtido pela cornbinação linear· J(t) = ciI, (t) + c2J2(t) é dada por F(w) = c1F,(w) + c,F,(w). Prova:

Vem diretamente da definição, isto é, a igualdade

F(w)

-

1:

-

c1

-

c1F1(w) + c2F2(w)

(c,J,(t) +c2/2(t))e-;w,dt

1:

/1 (t)e-jwtdt

+

C21:

f2(t)e-jwtdt (4.26)

é válida para todo w E IR, o que prova o teorema proposto.

o

Linearidade é uma propriedade de capital importância, pois ela viabiliza a , deccrnposiçâo de sinais em outros mais elementares. E imperativo lembrar que os escalares [números reais ou complexos] devem ser constantes em relação a l E IR e a w E R. Ademais, tendo sido provada para dois sinais quaisquer, esta propriedade permanece válida para um número arbitrário de sinais. Teorema 4.4 (Escalamento) Seja1n a E IR não nulo e f(t) u1n sinal com trens[onruuia F(w). A tmnsfonnada do sinal g(t) = f(at) é dada por G(w) =

(1/lal)F(w/a). Prova: variável

Assumindo inicialmente que a > O, por definição, com a mudança de T = ot, obtemos

G(w)

1:

J(ot)e-jw O serve para expandir ou comprimir a escala de tempo, o que pode ser útil para a representação numérica de sinais.

CAPÍTULO 4.

106

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Teorema 4.5 (Deslocamento no tempo) Sejatn to E IR e f(l) utn sinal com

transformada F(w). A transformada do sinal deslocado no tempo g(t) = f(t-to) é dada por C(w) = e-jwt°F(w). Prova: Com a relação {4.1) e a nova variável {

G(w)

=

1: 1:

= t - t0,

podemos calcular

f(t - to)e-jwtdt f({)e-jw(!+to)d(

e-Jwto F(w)

(4.28)

o

que é o resultado desejado.

Observe que esta propriedade vale lanto para t0 > O quanto para t0 < O. O primeiro caso é mais importante, pois permite introduzir nos sinais u nj atraso de tempo igual a t0. Esta é uma operação que não altera a causalidade. O mesmo não ocorre no segundo caso. que corresponde a um avanço do sinal em direção ao futuro. Teorema 4.6 (Deslocamento em frequência) SeJam wo E IR e f(t) um sinal co1n tmnsfonnada F(w). A tmnsjomuuic do sinal g(t) = eJwotf(t) é dada por

G(w) = F(w - wo). Prova: Com (4.1) é imediato verificar que

1:

G(w)

f(t)e-i(w-wo)tdl

F(w - wo) que é o resultado desejado.

( 4.29)

O

Teorema 4.7 (Integração no tempo) Considere f(t) um sinal com tmns/ormada F(w). A transformada do sinal

J'

00

g(l) é dada por G(w)

=

=

f(r)dr

( 4.30)

F(w)/jw + rrF(O)ó(w).

Prova: A prova deste resultado é um pouco elaborada e precisa ser feita em dois passos. No primeiro, introduzimos a hipótese adicional de que (4.31)

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

107

de tal maneira que 9(-00) = g(oo) = O. Com a definição da transformada de Fourier determinamos via integração por partes G(w)

=

1: (1'

00 J(r)dr) e-iwtdl 00 -Jwt ] ) 100 f(l)e-,wtdl + ( -,g(l) e . -JW -oo JW -oo F(w)

(4.32)

JW

No segundo passo, para eliminarmos a hipótese (4.31), consideramos

1'

1'00 (J(r) - cJ(r))dr + e 00 ô(r)dr

g(l)

1'00

(J(r) - cJ(r))dr

+ cu(l)

ern que e é urna constante. Escolhendo esta constante

(4.33)

001110

(4.34) a primeira parcela de (4.33) satisfaz a hipótese anteriormente feita. Portanto. determinando as transformadas de cada parcela e sornando os respectivos valores, vem

G(w)

F(w)_ JW

e

+e

( 1 -:-

F(w) . + cno'( W ) JW

JW

+ 7ru'( w

))

{4.35)

Finalmente, como a constante e em (4.34) é alternativamente dada por e= F(O), a prova está concluída. D Un1 sinal com componente constante F(O) diferente de zero, ao ser integrado no tempo, gera um sinal cuja transfonnada de Fourier tem um impulso em w = O. E1n outras palavras, sua transfonnada diverge neste ponto. Por outro lado, realizar a integral no tempo de qualquer sinal com compouente constante nula é simples, basta dividir sua transformada por jw.

CAPÍTULO 4.

108

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Teorema 4.8 (Diferenciação em relação ao tempo) Considere g(t)

u111

sinal

co1n tronsjornuuia G(w). A tnmsfonnada do sinal f(t) � dg (t) dt

(4.36)

é dada por F(w) � jwG(w).

Prova: A derivada cm relação ao tempo da transformada de Fourier inversa de g(t) resulta em

dg (t) dt

- :!:. dt 1 2r.

o que prova o teorerna proposto.

00

(2..1 2n

G(w)eiw'dw)

_00

00

1

. (jw)G(w)e'w'dw

(4.37)

-00

o

,

E importante observar que, corno já esperado, as operações de integração e diferenciaçâo en1 relação ao tempo são operações inversas uma da outra. O motive é claro: mesmo que G(O) =/ O, sempre ternos F(O) = O, pois a diferenciação impôe ao sinal resultante ter componente constante nula. Assim sendo, para realizar a derivada em relação ao tempo de qualquer sinal, basta multiplicar sua transfonnada por jw. Teorema 4.9 (Convolução) Sejamg(t) e h(t) sinais com tmnsformadas G(w) e H(w). A tmnsformada do sinal f(t) = g(t) •h(t) é dada por F(w) = G(w)H(w). Prova: Novamente aplicamos diretamente a transformada de Fourier à definição de convolução de dois sinais a tempo contínuo. Ternos então

F(w)

L: (1:

L:

g(T)h(t -

g(T)e-1

= dr

T)dT)

1:

h({)e-1w'd{

G(w)H(w) em que utilizamos a mudança de variável Ç igualdade. Isto prova o teorema proposto.

e-jwtdt

(4.38)

t-

T

para calcular a segunda

o

Já foi possível perceber, quando tratamos sinais periódicos, que a convolução de dois sinais é uma operação essencial no estudo de sinais e sistemas. Os sisteruas processam sinais fazendo a convolução deles 00111 a sua resposta ao impulso unitário. Este teorema mostra co1110 calcular a convolução de dois sinais quaisquer, não necessariamente periódicos, a partir de suas transformadas.

4.2. SINAIS A TEA1PO CONTÍ1VUO

109

Teorema 4.10 {Dualidade) Se G(w) é a tstmsjormada de g(t), então 2ng(-w) é a transformada de G(t).

Prova:

Oomo. por hipótese, G(w) é a transformada de g(t). a fórmula da

transformada inversa ( 4.6) permite escrever

2rrg(-t)

=

1:

G(w)e-jwtdw

(4.39)

Pennutando as variáveis t � w, o que pode ser feito pois ambas evoluem no mesmo domínio l E IR e w E IR, obtemos

2rrg(-w)

=

1:

G(t)e-jwtdt

(4.40)

a qual, a partir de {4.1)1 indica que 21rg(-w) é a transformada de G(t)i que é

exatamente o que se desejava provar.

D

O resultado deste teorema pode simplificar os cálculos de transfonnadas, pois as fórmulas (4.1) e (4.6) podem ser aplicadas indistintamente segundo a que for mais simples ou mais conveniente. O ponto central a ser observado é que, mesmo calculando a transformada inversa com (4.6). a transformada da função resulta da propriedade de dualidade com a pormutaçâo das variáveis independentes t E IR e w E IR. Os exemplos discutidos a seguir ilustram a aplicação das propriedades que acabamos de elencar. Exemplo 4.6 O sinal g(t) = e-oltl definido em R, 00111 o > O, pode ser escrito na fonna equivalente g(t) = J(t) + /(-t) com /(t) = e-atv(t). Segundo o Teorema 4.4, a sua transformada é dada por G(w) = F(w) + F(-w) cujas parcelas são calculadas com auxílio do Exemplo 4.1, ou seja, G(w)

1

-� . + o-+JW

1

.

O--JW

2a o2 +w2

Com o que foi feito no Exemple 4.5, fica claro que para o➔ e recuperamos a transformada do sinal constante unitário.

Exemplo 4. 7 A transformada do sinal g(t) igualdade eJ8o

o+ ternos G(w)

= cos(wot + Oo)v(t) e-180

g(l) = -d"01v(t) + �-c-i•'•'v(t) 2 2 e, em seguida, com a aplicação do Teorema 4.6 para determinar eJ8o

G(w)

= T·U(w -wo) +

e- J8o

2

V(w + wo)

➔ 2r.ô(w)

D é calculada através da

CAPÍTULO 4.

110

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

que estã colocada e111 função da transfonuada do degrau unitário que já conhecemos. Estas manipulações algébricas nos levam a rre190

G(w= )

2

1re-J8o

r( 1JW-wo+ )

r( ) 1JW+wo+

2

woscn(Oo) - jwcos(Oo) 2 W 2 -W0

Co1110 era de se esperar, os dois impulsos que aparecem nas frequências ±wo indicam a D divergência da transformada.

Exemplo 4.8 É necessário aprender a manipular as operações de rcucíaçâo pois elas podem simplificar os cálculos de transfonnadas. pois a integração pode requerer a manipulação da função impulso. transfonnadas do impulso e do degrau com as mesmas amplitudes a

integração e dífcCautela é preciso Sabemos que as E IR são dadas na

fonna

a v(t)

ç=}

a

a ó(t)

,-jw)t) (1 L, JW - À.· e-eco " .

•

8

;

1

i=l

"

� -

o,

(4.45)

jW-À1

onde se nota que o limite indicado na segunda igualdade é nulo, pois, por hipótese, lirn e(>.,-Jw)tl t-+=

para todo i

= 1, 2, · · ·

=

lim eR.c(>.,)t t-+=

=O

(4.46)

, n. Isto determina a função it(s) = �

0,

Ls->.; 1=!

= 1V(s)

D(s)

(4.47)

denominada função de tmnsferência do sistema cm consideração. Por construção, H(w) = h(jw) é a transfonnada de Fourier da sua resposta ao impulso h(t) que é calculada, se necessário, pela fónnula da transformada de Fourier inversa (4__.6). Como h(t) é real para todo t > O, a sorna indicada em (4.47) que fornece h(s) sempre resulta ern urna fração racional com as seguintes propriedades:

114

CAPÍTULO 4.

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

• O grau de D(s) é n e é igual ou maior que o grau de N(s). • Os dois polinômios D(s) e j\l(s) têrn coeficientes reais.

= O são .-\1, · · · ,.-\ algébrica D( s) = O é denominada

• As raízes de D(s)

11•

A equação equação camcteristica e ela te111 toda a infonnação necessária para decidir !',e um sistema é assintoticamente

estável. Se todas as suas raízes estiverem localizadas no semiplano esquerdo aberto do plano complexo e_ = { s E C : Rc(s) < O} a sua estabilidade assintótica é assegurada. Uni atributo dos sistemas LJT causais assintoticamente estáveis muito utilizado em diversas aplicações práticas é a norma da sua resposta ao impulso. Para esta classe de sistemas, a transfonnada de Fourier da sua resposta ao impulso existe e é dada por H{w) = Íi(jw), o que permite aplicar o Teorema de Parseval 4.2 para determinar a sua norma, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência, a saber, lli(jw)l dw lh(t)l dt = 1100 100 o o 2

2

( 4.48)

'ir

Para obter esta igualdade com intervalos de integração idênticos [O, co ), lançamos mão de dois fatos. O primeiro é que h(t) = O para todo t < O. O segundo é que h(t) real para todo t > O implica que Íi(-jw) = Íi(jw)" para todo w E IR. Com a norma da resposta ao impulso (ou, equivalentemente, da função de transferência) pequena, a energia necessária para atenuar um sinal de entrada também será pequena.

4.3

Sinais a Tempo Discreto

Nesta seção vamos trilhar o mc.51110 carninho que foi feito no caso de sinais a tempo contínuo. Tentaremos utilizar os mesmos conceitos matemáticos e as interpretações deles decorrentes, cum pequenas adaptações para tratar sinais genéricos, isto é. não necessariamente periódicos. Todos os sinais aqui tratados são definidos no domínio Z com imagem eru C. Definição 4.2 [Transformada de Fourier) A ímmsjornuula de Fourier de u1n sinal a tempo discreto g(k): Z-+ C é a função G(w): [-rr. rrj-+ C dada por G(w)

=

00 L

k=-oo

g(k)e-Jwk

(4.49)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

.

' '' '' '

'

'

,

'' ' ' '

º'

•

'

' ' ''

'' '

' '

' ' ''

' '

' '•

'

' '

'

'

•

115

' '' ',,

' ''

' ' '' " o

k

' ''

'

'

'

'

'

'' '' ' ,'

'

'

'

'

Figura 4.5: Sinais idênticos com frequências diferentes Deve ser mencionado que estamos utilizando a mesma notação w para a frequência de sinais a tempo contínuo e a tempo discreto, em ambos os casos a unidade desta grandeza no sistema internacional é [rad/s]. A transformada

de Fourier será denotada da mesma forma anterior, ou seja, com a mesma letra maiúscula G(w) ou ,9(w). Em algumas ocasiões faremos uso da notação do tipo operador Fjg(k)]. Neste momento observamos algo importante que deve ser explicado. Na sua definição, o domínio da transfonnada não é todo IR, mas apenas f! = { w : lwl < 1T}. O motive disso ser feito é que, no presente contexto, considerar w E O é equivalente a considerar w E R. De fato, seja o sinal exponencial f(k) = eJwk definido para todo k E Z. Con10 sabemos, por definição, para que este sinal seja periódico é imperativo que exista 1\'o E N tal que wNo = 2,rn para algum n. E N. O menor valor de 1\'o é o seu período. Por outro lado, o sinal modificado J111(k) = eJ(w+2:rm)k com ni E Zé tal que fm(k) = f(k) para todo k E Z, pois

f,n(k) = J(k)ef2•mk = J(k), 'lk E Z

(4.50)

o que coloca cm clara evidência que qualquer função exponencial com frequência fora de um intervalo de 21r [rad/s], escolhido arbitrnrramentc, sempre pode ser escrita corno uma função exponencial com frequência situada dentro deste intervalo. Assim sendo, sem perda de generalidade, daqui ern diante, assumimos que w E !1.

CAPÍTULO 4.

116

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Exemplo 4.10 (Sinal falso -Aliasing) A Figura 4.5 ilustra de maneira bastante clara o efeito de uni sinal falso - altasing. A linha contínua e a linha tracejada são os sinais a tempo contínuo /(t) = cos((9rr/7)t) e fm(t) = cos((-5rr/7)t), respectivamente. Ambos são periódicos, mas são bastante diferentes. Na mesma figura, os pontos marcam os sinais a tempo discreto /(k) = cos((9r./7)k} (com frequência fora de n) e fm(k) = cos((-51r/7)k) (com frequência dentro de n) que são dois sinais periódicos idênticos, com período N0 = 14. Observe que os pontos estão precisamente alocados cm valores para os quais os dois sinais a tempo contínuo coiucídcm. Não há como distinguir sinais exponenciais a tempo discreto com frequências diferentes, rnas cuja diferença seja u111 múltiplo de 2;;. Este Icuômcno é denominado alia.sutg e deve ser evitado, pois. com a sua presença, um sinal a tempo contínuo não pode ser recuperado a partir de suas amostras coletadas a tempo discreto. As amostras de um sinal a tempo contínuo g(t) = es-", colhidas nos instantes t = kT. fornecem J(k) = g(kT) = ei"'Tk. Portanto, wT < JT é u11i:1 D exigência para que o sinal g(t) possa ser recuperado. ,

E relevante saber para qual classe de sinais a tempo discreto a sorna infinita que define a sua transformada converge. Calculando o seu módulo verifica-se imediatamente que

IC(w)I


pois le-jwkl = 1 para todo k E Z. Se existirem constantes [o] < 1 e /3 > O tais que lg(k)I < f3olkl para todo k E Z, a existência da transformada de Fourier discreta está assegurada. Embora o domínio da transformada seja un1 intervalo contínuo de frequências w E f!, existe uma propriedade similar àquela dos sinais ortogonais que foi essencial para o desenvolvimento da série de Fourier para sinais periódicos. A propriedade mencionada é explicitada através de n= 1n

n;ém

( 4.52)

e é válida para todo n, 111. E Z. De fato, o cálculo da integral indefinida indicada mostra que ela é igual a 2JTsinc( r.(n- m)). da qual resulta os valores expressos em ( 4.52). Estamos em condições de detenninar a transfonnada de Fourier inversa, dada 110 seguinte teorema. Teorema 4.12 (Transformada de Fourier Inversa) Se G(w): f2 ➔ C é a tmnsformada de Fourier de um sinal a tempo discreto g(k) : Z ➔ C, então a seguinte

igualdade g(k) é veniadeim.

= _l_ 2r.

1•

-71"

C(w)e'"kdw

(4.53)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

117

Prova: Com a transforrnada de Fourier dada em (4.49) obtemos

L

g(n)

00

11=-00

1'

e3w(k-n)dw

-,r

2rrg(k)

(4.54)

sendo que a segunda igualdade decorre imediatamente de (4.52), o que prova o teorema proposto. O Fica claro, pela prova deste último teorema, que a recuperação de um sinal a

partir de sua transformada se baseia na ortogonalidade de infinitos sinais definidos no domínio contínuo de frequências O. Além disso, é interessante notar que o cálculo da transformada requer a manipulação de urna série, enquanto que o

cálculo da transformada inversa requer o cálculo de urna integral definida. Va1110s interpretar a transformada de Fourier discreta aplicada a sinais não periódicos como sendo o limite da série de Fourier de sinais discretos periódicos. Consideramos que o sinal g(k), não periódico, pode ser aproximado por um sinal periódico com período 1\'o > O suficientemente grande. Assim sendo, podemos reescrevê-lo com a série de Fourier discreta na forma

g(k)

-

lim No-++oo

L

o;eJ(2rr/iV0)ik

iE(No)

lim

_!_

iVo-++oo

No

L

(l\'ooi)d(21r/iVo)ik

(4.55)

1E(1Vo)

Entretanto, com /\'o arbitrariamente grande, cada coeficiente da série de Fourier pode ser determinado através da aproximação

l\'oa,

=

L

g(k)eJ(2rrf,Vo)ik �

G(w,)

(4.56)

kE(No}

em que wi = 6w i com 6w = 2rr / No para todo i E {No) e G(w) é a transformada de Fourier (4.49). Finalmente, substituindo (4.56) em (4.55), ve111

g(k)

lim ów-+O+

C,w '-'"' G(w,)e'w,k 2tr

�

1E(1Vo)

_.!:_ {27r G(w)e'wkdw 2rr

J

(4.57)

pois o intervalo de frequências coberto por 6w i para todo i E (1Vo} é igual a 2rr, indepcndcnte,nentc do valor do período No. Recuperamos exatamente a

CAPÍTULO 4.

118

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

lransfonnadade Fourier inversa {4.53). Estes cálculos mostram maís urna vez que os limites de integração não são importantes. o que é importante é o intervalo de integração considerado. Urna estratégia interessante do ponto de vista numérico para se determinar a transformada de Fourier de um sinal a tempo discreto é calcular a série de Fourier do mesmo sinal, assumindo que ele se repete com período 1V0 arbitrarirunente grande. Con10 verc1110,5 ruais adiante, este cálculo pode inclusive fornecer o resultado exato. Exemplo 4.11 A transformada de Fourier do sinal g(k) = akv(k) com lal < 1. domínio k E Z e imagem em C é determinada diretamente a partir da definição (4.49), ou seja,

G(w)

k=O 1

para todow E n = 1-:,r, :,r]. Observe que la e-Jw[ = lal < 1 e, assim, o Lema 2.1 pode ser aplicado para se calcular a soma da progressão geométrica indicada. Tendo em mãos a transformada de Fourier. o espectro do sinal resulta da simples deternlinação do módulo e da fase de G(w). naquele intervalo de frequências. É oportuno observar que para [e] > 1 o resultado do referido lema permite concluir que a soma indicada diverge para todo valor de w E n. Nestes casos, as transfonnada.s de Fourier divergem e, por conseguinte, não podem ser determinadas. D

Exemp]o 4.12 Desejamos calcular a transformada de Fourier de um pulso discreto definido por g(k) = 1. lkl < 1''1,, em que Nh é uni número inteiro e g(k) = O para. todo k E Z fora deste intervalo. Este pulso é igual àquele do primeiro período do trem de pulsos discretos do Exemplo 3.12. Aplicando (4.49), obtemos N,

L

G(w)

e-jwk

k=-N1, N,

1

-

+ 2 Í::: cos(wk)

cos(w1\11,)- cos(w(1\lh l - cos(w)

+ 1))

para todo w E n = 1-:,r. :,r]. Para w = O a indetenninação é levantada e obtém-se o valor esperado G(O) = 2.11/h + 1. Comparando com o que foi oblido no Exemplo 3. 12 nota-se que, cem qualquer período tal que 1''0 > 21\111 + 1, os coeficientes da série são dados por 1Vocr, = G(w,) para todo i E (No}. Esta relação é exata, isto é, não envolve nenlnuna aproximação. Na verdade, a transformada de Fourier cnvelorxi os coeficientes da série. D

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

119

Passamos a calcular as transformadas de alguns sinais especiais. A transformada de Fourier do impulso unitário discreto O(k) definido em (2.42) e que pode ser escrito alternativamente corno ô(k) = Ok vem da definição, ou seja, 00

J(w)

L

=

ó(k)e-jwk

= 1,

'iw E !1

(4.58)

k=-(X)

sendo que a transformada de Fourier inversa permite estabelecer a igualdade

1•

-1 eiwkdJ.,; = sinc(rrk) ó(k) = (4.59) 211 -11" que nada mais é que uma forma alternativa de expressar o impulso unitário

discreto tendo em vista que sinc(1rk) = 1 para k = O e sinc(nk) = O para todo O f. k E Z. Estamos cm condições de calcular a transformada do sinal constante discreto, a saber, g(k) = 1, Vk E Z, que resulta imediatamente da definição 00

G(w)

=

L

e-3wk, 'iw E !1

(4.60)

k=-oo

O cálculo desta sorna deve ser feita de maneira indireta. pois pelo Lema 2.1 sabemos que ela diverge, mas é preciso determinar de que fonna isso ocorre. Com este propósito, o cálculo da transfonnada inversa

11' ·

g(k) = rr ó(w)e'wkdJ.,; = l,r, 'ik E Z _, 2 2

(4.61)

permite duas conclusões importantes. A primeira é que a transformada do sinal constante definido acima tem corno transfonnada G(w) dada cm (4.60)1 mas com o auxílio de ( 4.61) nota-se que a transformada deste mesmo sinal é também expressa na forma 2rró(w) e, assim, obtemos a igualdade 1

00

.

.

- " e-3wk = ó(w), 'iw E !1 2rr L..,,

(4.62)

k=-oo

da qual também decorre a propriedade e a fórmula alternativa ó(w) = ó(-w) para todo w E O. Acabamos de calcular a transfonnada desejada, a qual expressamos na forma 1 � 2rró(w). É notável a semelhança entre a versão a tempo contínuo {4.12) e a sua versão a tempo discreto (4.62), que se igualam ao impulso unitário. O sinal exponencial g(k) = e11AJOk com domínio k E Z e w0 E 1R te111 como transformada

G(w) k=-oo

2,ró(w - wo), 'iw E !1

(4.63)

CAPÍTULO 4.

120

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

que viabiliza a clelenninação imediata das transformadas dos sinais seno e cosseno através do relacionamento do sinal e de sua transformada eJwok {=:::::} 2rrJ"(wwo). Para wo = O recuperamos o sinal constante. Corno sabemos, é importante observar que se w0 ft. f2 é sempre possível, mas não necessário, redefinir o mesmo sinal exponencial com wo E n. Para o sinal g(k) = sen(wok) com domínio cm Z, ternos

G(w) enquanto que, para g(k) atamente a

= -j�(,J(w -wo) - ô(w + wo))

(4.64)

= cos(w0k) com domínio em Z, os cálculos levam imedi-

G(w)

= n(6(w -wo) + ô(w + wo))

( 4.65)

em ambos os casos as fórmulas são válidas para todo o intervalo de frequências w E n. A não ser por este importante detalhe, essas fórmulas são idênticas às suas respectivas versões a tempo contínuo. Inclusive, G(w) é não nula apenas nos valores simétricos w = ±w0 nos quais ocorrem impulsos. Este resultado é essencial para que a transformada de Fourier de um sinal periódico seja obtido. De fato, sendo No o seu período, a série de Fourier (3.25) se aplica e permito escrever No-1

g(k)

=

L o,,,Jw,k, k E Z

(4.66)

i=O

na qual a; são os coeficientes da série e w; = (2rr/No)i para todo i E IO, A'o) são as harmônicas. Fazendo uso da transformada da função exponencial é imediato obtermos No-1

G(w)

= 2r.

L o,ô(w - w,)

(4.67)

i=O

válida para todo w E f!. Novamente, a única diferença a ser notada entre (4.18) e (4.67) é que na priincira ocorrem infinitos impulsos nas frequências correspondentes às harmônicas, enquanto que na segunda ocorrem 1V0 impulsos pois, corno sabemos, qualquer sinal periódico a tempo discreto tem apenas este número finito de harmônicas distintas. Exemplo 4.13 (Modulação de amplitude) A modulação de amplitude também ocorre para sinais a tempo discreto. Ela se baseia no fato de que o sinal /(k) = g(k)cos(wck) modifica, isto é modula, a amplitude do sinal cosseno ida\ denominado portculora pela ação

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

121

do sinal g( k). Isto se explica através da sua transfonnada de Fourier

F(w)

= L �

g(k) (eJ"-'ck

+ e-J"'ck) e-jwk

A,=-oo

1

2

o;,

L

g(k)e-J(w-wc){·

+

�-oo

1

2

o:,

L

g(k)e-J(w+wc)k

k=-=

pois fica. evidente que o espectro do sinal modulado se deslocou para as frequências ±wc da portadora. Ele pode ocupar uma faixa de frequência no entorno de uma frequência qualquer Wc definida pelo usuário. O aspecto maís interessante ocorre se desejarmos recuperar o sinal g(k), apôs J(k) ter sido lransnütido. Multiplicando-se o sinal recebido J(k) pela portadora obtemos y(k)

- g(k)cos2(w0k) 1 2g(k)(I + cos(2w0k))

cujo espectro, a menos de constantes, é o de g(k) e o de g(k) deslocado para as frequências ±2wc que pode ser recuperado por um filtro passa-baixas adequadamente projetado. Este aspecto será abordado mais adiante.

O

Nosso objetivo agora é calcular a transformada de Fourier do degrau unitário v(k). Vamos proceder por um caminho ruais direto do que aquele percorrido no estudo de sinais a tempo contínuo. Como foi visto no Exemplo 4.11, o sinal g(k) = a,..v(k) com O < a < 1 tem transformada de Fourier dada por

= ----�, J -ae -w

(4.68)

.

G(w)

1

com w E O e, assim sendo, é claro que g(k) ➔ v(k) para todo k E Z na medida em que a. ➔ 1-. Lembrando que a transformada de Fourier é um operador linear, concluímos que

V(w)

= a➔ lim J-

1 1 - ae-iw

(4.69)

Este limite deve ser calculado com bastante cuidado, como fizemos no estudo de sinais a tempo contínuo. Para O # w E O, urna simples inspeção indica que e-iw # 1, o que permite determinar o valor do limite indicado cn1 (4.69) corno sendo •

1

--� v(w)- 1 - e-iw

(4.70)

CAPÍTULO 4.

122

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Resta determinar o que ocorre no ponto w = O. Neste sentido, para w E n em urna região com lwl arbitrariamente pequeno, a aproximaçâc e-Jr..; :::::: 1 - jw e a = 1 - a permitem calcular

.

v(w)

1 (1 - a)+ jaw

11111

a➔,-

1

lim

-

.

o-+O+

O:+ JW

rro(w)

+-,-

1

(4. 71)

JW

sendo que a últilna igualdade decorre do cálculo do limite indicado feito no Exemplo 4.5. Colocando estas duas partes juntas, a transformada do degrau unitário discreto v(k) é expressa na forma final

=

v(w)

r.o(w)

+

1 -

l

.

(4.72)

e-JW

para todo w E íl. De fato, paraw f- O a fórmula (4.72) reproduz (4.70), enquanto que ern qualquer vizinhança arbitrariamente pequena com centro em w = O ela reproduz {4.71). Com esta transformada, muitas outras podem ser calculadas. Em particular, o sinal s(k) = (1/2)(k/lkl) para todo O e/ k E Z e s(O) = O, que pode ser expresso através de urna composição de dois degraus unitários com sentidos temporais diversos, ou seja. s(k) = (1/2)(v(k)-v(-k)). Sua transformada é calculada diretamente pela definição, ou seja, 1 S(w)

2

L (v(k) - v(-k))e-Jwk 00

.

k=-oo

!v(w)- !v(-w)

2 1

2

sen(w) 2j l - cos(w)

( 4. 73)

A transformada de Fourier do sinal a tempo discreto s(k) é muito diferente da transformada de Fourier da sua versão a tempo contínuo S(w) � 1/jw. Entretanto, é importante salientar que para w em urna vizinhança da origem as aproximações sen(w) � w e cos(w) � l -w2 /2 levam ( 4. 73) a fornecer este mesmo valor. Exemplo 4.14 Desejamos saber qual sinal a tempo discreto te111 001110 transformada de F'ouricr Si(w) = 1/jw. Pelos cálculos que acabamos de efetuar, sabemos que uão M!

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

123

0.8

•

0.6

º·'

0.8

•

0.6

--.. "' ' -"'

''' '

3 1.2

'

'''

·-�•

-0.6 -08

3 0.8

.,o

.5

0.6

,

,

,

,

''

º·'••; '

\, '

0.2

o

5

'

o"----���_,,

,o

-3

-2

-1

O

2

3

w [rad/s]

k

Figura 4.6: Sinais e suas transfonuadas trata do sinal s(k) e nem mesmo do degrau unitário. A estratégia de cálculo é aplicar a fónnula da transformada de Fourier inversa. que fornece

si(k)

1·

&"' --dw 2r. _,,. jw

1 -

� 1,. 2JT o

-1

1··

n o

sinc(wk)clw

sinc(�)li
O quando ele é atrasado k0 unidades de tempo. Dois casos particulares importantes

são caracterizados por ko = ±1; que corresponde a atrasar ou avançar um sinal de uma unidade de tempo. No domínio da frequência este efeito é obtido pela simples multiplicaçâo da transfonnada do sinal por e±.1w. Teorema 4.17 (Deslocamento cm frequência) Sejam wo E IR e f(k) um sinal com tmnsformada F(w). A tmnsformada do sinal g(k) = ,,;wok f(k) é dada por G(w) = F(w -wo), Prova:

A partir da definição é imediato verificar que 00

L

G(w)

f(k)e-j(w-wo)k

k=-oo

-

F(w-wo)

(4.79)

o

que é a igualdade que se pretendia provar.

Teorema 4.18 (Adição no tempo) Seja f(k) u1n sinal com ímnsjomuuia F(w).

A tmnsfo,mada do sinal k

g(k)

=

L

f(n)

n=-oo

é dada por C(w)

=

F(w)/(l - e-iw)

+ ,rF(O)J(w).

(4.80)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

127

Prova: A prova deste resultado nasce da observação de que o sinal g(k) definido eru ( 4.80) teru a seguinte lei de fonnação: k-1

L

g(k)

J(n) + J(k)

11=-00

g(k- 1) + f(k)

(4.81)

que é válida para todo k E Z. Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros desta igualdade em conjunto com o resultado do teorema do deslocamente no tempo para ko = 1, vem (1-e-Jw)G(w) = F(w). Neste ponto é preciso ter cuidado para extrair desta igualdade o valor de G(w). Para todo w =/:- O a resposta é óbvia, entretanto, para w = O é necessário urn cuidado especial. Tendo em vista os cálculos já realizados, esta indeternlinação pode ser levantada através

de

F(w).

lim

G(w)

a➔t-1-ae-Jw

F(w)

(

�-jw

1 _

+

nó(w))

que é exatamente o que se desejava provar, pois F(w)ó(w)

(4.82)

= F(O)ó(w).

o

= Lk _

f(k) é a componente constante do sinal /(k): o teorema anterior indica o aparecimento de u1n impulso na origem (para a frequência nula) Como F(O)

00

na transfonnada da soma no tempo sempre que a componente constante do sinal original for não nula. Aplicando este resultado ao impulso unitário discreto ô(k) obtemos a transformada do degrau unitário discreto (4. 72). Obviamente não há um resultado similar ao teorema da diferenciação para sinais a tempo discreto. Teorema 4.19 (Convolução) Sejamg(k) eh(k) sinaiscomtransformadasG(w) e H(w). A transformada do sinal f(k) = g(k) • h(k) é dada por F(w) = G(w)H(w). Prova: Novamente aplicamos a definição da transformada de Fourier à definição de convolução de dois sinais a tempo discreto. Ternos então 00 (.

F(w)

= k

f: f: 00

n))

00

g(n)h(k-

e-Jwk

00

m=-CXJ

G(w)H(w)

(4.83)

CAPÍTULO 4.

128

e111 que utilizamos a mudança de variável ,n

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

=k-n

para substituir a soma em

k E Z e calcular a segunda igualdade. Isto prova o teorema proposto.

D

Este é uni resultado fundamental que será utilizado inúmeras vezes na análise de sinais e também de sistemas LIT. A. convolução discreta faz

0001

que ela possa

ser calculada pela simples multiplicação das transfonnadas dos sinais envolvidos. A convolução também pode ser usada para sintetizar tuna determinada operação. Por exemplo, a sorna no tempo das componentes de um sinal é dada por k

L

J(n) � J(k) • v(k)

(4.84)

n=-oo

e, assim, o resultado do Teorema 4.18 é recuperado pela multiplicação de F(w) pela transfonnada de Fourier do degrau unitário. Finalmente, cabe ressaltar que a propriedade de dualidade da transformada de Fourier em tempo contínuo não tem paralelo cru tempo discreto. O motive é simples. As fórmulas para a transformada e sua inversa não são de mesma natureza, pois uma é expressa através de uma sorna em k E Z e a outra através de unia integral em w E !1. Além disso, os seus domínios k E Z e w E claramente não são idênticos.

n

Exemp]o 4.15 Seja o sinal g,,(k) = alkl 00111 domínio em Z e [e] < 1. A sua transformada é calculada diretamente pela definição. que leva a -1

L

G0(w)

00

+ L ake-Jwk

a-ke-Jwk

k==-oo

k=O 00

-1

+ L ak (e-1wk + ei'"'k) k=O

e, com o Lema 2.1, obtemos 1 1 -1+�--+�-1 - oe- J"' l - ce--'

G0(w)

l - a2

1 - 2a cos(w)

+ a2

Neste ponto, é ilustrativo dctcrmínarmoe o limite G(w) = lin10-+1- G0(w). Para w f- O é fácil verificar que G(w) = O. Corno G,,(O) = (1 + a)/(1 - a), então G(O) = +oo o que indica a necessidade de cuidado para bem avaliar o limite desejado. Adotando a aproximação cos(w) � 1 - w2 /2, válida nas proxitnidades de w = O e a= l - a, temos

G(w)

-

lim

a-+1-

1 -

l - 2a cos(w) ?o,

liru �---�

a2 2rró(w) o--+O+

ª2

+ w2

+ n-,,

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

129

sendo que a última igualdade decorre do limite estudado no Exemplo 4.5. Este era o resultado esperado, pois nesta situação-limite g(k) = li1n(I-+!- 9a(k) torna-se o sinal constante. Devemos deixar claro um aspecto relevante a respeito do sinal estudado neste exemplo. Com /0(k) - a'v(k) é preciso ver que g0(k) - /0(k) + /0(-k) - ó(k). A presença do Impulso discreto é requerida pois 90(0) = 2/0(0) - l = l. Aplicando o Teorema 4 .15 obtemos G1, (w) = F,, (w) + F0 ( -w) - 1 como acima. O Exemplo 4.16 A transíonnada do sinal g(k) da igualdade

= cos(w0k + 00)v(k)

é calculada através

e. om seguida, com a aplicação do Teorema 4.17 para dotcnnínar

que está colocada cm função da transfonnada do degrau unitário que já conhecemos. Esta fónnula se parece 001n aquela do Exemplo 4. 7, mas a diferença. importante é que as transformadas do degrau unitário são naturalmente diferentes em tempo contínuo e em O tempo discreto.

Exemplo 4.17 Desejamos calcular a transformada de Fourier do sinal a tempo discreto f(k) = a k, Vlkl < A'h e f(k) = O fora deste intervalo, com a E IR.. Com a definição da transformada de Fourier temos N,

L

F(w)

a ke_1...,k

l·=-Ni.

e- j..Jk . dG

3a-(w) dw em que G(w) é a transformada de Fourier do sinal g(k) = 1, lkl < /1,lh e g(k) = O para todo k E Z fora deste intervalo que foi calculada no Exemplo 4.12. Por simples derivação em relação a w e após algumas manipulações algébricas, vem F( w )

. 1V,,sen(w(Nh

= Jª

+

1))-(Nh 1 -

+

l)sen(w1V,,)

cos(w)

e verificamos. como esperado. que a transfonnada de Fourier é uma função itnaginária pura em concordância com o fato de que o sinal original /(k) é ímpar. A estratégia utilizada para calcular a transfonnada. de um sinal multiplicado pela variável independente k E Z é genérica e pode ser adotada em outras situações similares. O

CAPÍTULO 4.

130

4.3.2

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

Sistemas

Por sua importância, mesmo sendo bastante similares. vamos agora estender aos sistemas a tempo discreto o estudo feito no contexto de sistemas a tempo contínuo. Como sabemos, um sistema a tempo discreto LIT é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso unitário discreto h(k) com domínio em Z e Imagem om C, a qual satisfaz h(k) = O para todo k < O se ele for causal. O próximo teorema é central para determinar a sua resposta a urna entrada qualquer descrita através da sua transformada de Fourier. Teorema 4.20 Considere um sisterna LIT definido por sua resposta ao impulso h(k). Pam qualquer sinal de entmda g(k) com tmnsformada G(w), a transformada Y(w) do sinal de saída y(k) é dada por Y(w)

=

H(w)G(w)

(4.85)

ern que If(w) é a tnmsfornuuia de h(k).

Prova: Pelo Teorema 2.2, por ser LIT, a resposta do sistema ao sinal de entrada g(k) é y(k) = h(k) • g(k). Assim sendo, a relação (4.85) decorre diretamente da propriedade estabelecida no Teorema 4.19 sobre convolução, qual seja, a transformada de Fourier da convolução de dois sinais é igual ao produto de suas transformadas. Isto prova o teorema proposto. O Para obter a resposta a urna entrada, basta obter a transfonnada da resposta )'(w) e calcular y(k) para todo k E Z através da transformada inversa. Por sua vez, para un1 sistoma LIT causal, a transformada da resposta ao impulso resulta de 00

L h(k)e-jwk

H(w)

k=-OC> 00

-

Lh(k)e-jwk k=O

- h(e'w)

(4.86)

em que h(e1"") é o resultado da avaliação da série 00

Ít(z)

= L h(k)z-• k=O

(4.87)

4.3. SINAIS A TEA1PO DISCRETO

131

em z = eJw. Esta expressão define a chamada Transjornuula Z de h(k)i que não é objeto de estudo deste livro. E1n particular. tuna infonnação relevante é o seu domínio, ou seja, o conjunto dez E C para os quais a série (4.87) converge. A transformada Z foi especialmente proposta para analisar sistemas LIT causais a tempo discreto e se iguala à transformada de Fourier desde que z = e'''·', Vw E !1 pertença ao seu domínio. Dito de outra forma, ambas se igualam quando {4.87) convergir para todos os pontos do círculo unitário do plano complexo. Este é precisamente o caso dos sistemas LIT causais assintoticamente estáveis com resposta ao impulso expressa na forma n

h(k)

= I: 0,1,r,

vk >

º

(4.88)

t:l

cm que IJ-Lil < 1 e Oi são escalares para todo i = 1, 2, · · · . n. Sendo h(k) uma função real, a eventual presença de valores complexos 01 E C e µ1 E C requer a presença de seus conjugados. A partir desta observação, determinamos a transformada da resposta ao impulso na forma

H(w)

"L e, L = (µ.,e-jw)k r=l

k=O

"

oi

- L 1 - µ,e-jw

(4.89)

r=l

pois, por hipótese, IJt;e-Jwl = IJLd < 1 para todo i = 1, 2, · · · , n. Ademais, ela pode ser reescrita como H(w) = ii(&w), en1 que

h(z) = ..(!---

tr

e,z = N(z) z - µi D(z)

(4.90)

é uma função racional denominada função de tnmsjerêncio; a qual, a exemplo do

que ocorreu com os sistemas a tempo contínuo, exibe as seguintes propriedades: • O grau de D(z) é n e é igual ou maior que o grau de N(z). • Os dois poliuôrnios D(z) e N(z) têm coeficientes reais. • As raízes de D(z)

= O são

µ1,··· ,JJ,n.

A equação algébrica D(z) = O é denominada equação caracíeristica e ela tem toda a infonnação necessária para decidir se um sistema é assintoticamente estável.

Se todas as suas raízes estiverem localizadas no interior do círculo

132

CAPÍTULO 4.

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

unitário do plano complexo C1 = {z E C: lzl < 1}, a sua estabilidade assintótica é assegurada. Un1 atributo dos sistemas LIT causais assintoticamente estáveis muito utilizado em diversas aplicações práticas é a norma da sua resposta ao ilnpulso. Para esta classe de sistemas, a transformada de Fourier da sua resposta ao impulso, existe H(w) = ii(eiw), o que permite aplicar o Teorema de Parseval 4.13 para determinar a sua norma, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência: a saber, (4.91)

Para obter esta igualdade lançamos mâo de dois fatos. O primeiro é que h(k) = O para todo k < O. O segundo é que h(k) real para todo k > O implica que h(e-iw) = h(eiw)"' para todo w E n = l-11, r.]. Com a norma da resposta ao impulso ou, o que é equivalente, a norma da função de transferência pequena, a energia necessária para atenuar urn sinal de entrada será também pequena e, assim, a sua nünimização pode ser u m critério de desempenho adequado e1n várias situações a serem enfrentadas em seguida. Este é certamente o caso quando estamos manipulando algum sinal de erro, cuja influência deseja-se tornar a menor possível. A seguir, fornecemos algumas informaçôes relevantes que são úteis para manipular numericamente sinais de interesse prático.

4.4

Análise Numérica

En1 situações reais, em geral, não é possível determinar a série ou a transformada de Fourier de um sinal. Os motivos são vários. dentre eles, é que os sinais que normalmente estamos interessados em estudai· são definidos por grande quantidade de dados que não podem ser manipulados algebricamente. Isto exige que a série ou a transformada seja calculada numericamente. co111 a inevitável introdução de alguma aproxirnaçâo. Este é o caso do sinal de vazão de entrada no reservatório da usina de Furnas analisado no Capítulo 1. Dentre todas as que foram estudadas, a forma mals simples e conveniente de ser manipulada numericamente é a de urn sinal periódico a tempo discreto com período l\'0, pois o número de equações é finito. O par sinal-série é dado na fonna já apresentada anterionnente através das equações (3.26) e (3.27), mas que são reescritas a seguir com urna ligeira modificaçâo que contempla as versões

,

,

4.4. A1VALJSE NU1\iER1CA

133

de rotinas numéricas disponíveis na literatura: .No-1

X(i)

�

L, x(k)e -

J :i ... ik No ,

i E [O, 1Vo)

(4.92)

k=O No-1

x(k)

� L X(i)e'��••, k E [O,N0)

{4.93)

O i=O

a saber, x(k) é o sinal e o, os coeficientes da série que resultam de X{i) = 1V0oi. Adernais, neste contexto. adota-se o intervalo (No) = [O, N0). É muito importante relembrar que estas equações são exatas, ou seja, a partir dos valores X(i) calculados com a primeira. o sinal x(k) é exatamente reproduzido com a segunda. Se x(k) for um sinal real, então X(O) = x(O) + · · - +x(1\'0- l) é também real. Por outro lado, entre os demais coeficientes X{i). i E 11, 1V0), também aparecem os conjugados daqueles que são complexos. Sempre é possível adotar {4.92)-( 4.93) para calcular a série ou a transformada de um sinal genérico a tempo contínuo ou a tempo discreto. Entretanto. é imperativo ter ern mente os seguintes procedimentos e limitações para resolver cada caso:

•

• Para um sinal periódico g(t) a tempo contínuo com período To > O, determina-se o sinal a tem po discreto aproximado x( k) = g( kT), com T O tal que g(k) = O, Vlkl > No. Neste caso, o sinal pode ser considerado periódico com período Ne sendo g(k) o seu primeiro período. Isto viabiliza a aplicação de (4.92) e (4.93). Em todos esses casos. a transformada ou a série são determinadas sem dificuldades com as fórmulas que definem a série de Fourier de sinais periódicos a tempo discreto (4.92) e {4.93). Mesmo para sinais que não têm duração limitada no tempo, os procedimentos anteriores ainda podem ser aplicados desde que parte do sinal, a menos significativa. seja desprezada. Isto deve ser feito com a devida cautela para que se possam obter resultados precisos. Este é certamente o caso

134

CAPÍTULO 4.

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

dos sinais que tendem a zero conforme a variável independente ltl E R ou lkl E Z tende para infinito. Un1 aspecto relevante do ponto de vista numérico é o truncamento. Ele surge quando determinamos os coeficientes da série ✓Y(i) para todo i E [O. N0) e por algum critério. a ser discutido cm seguida, consideramos que os mais significativos são aqueles com índices pertencentes ao conjunto / C [O, J\7o)- Este conjunto

deve ser determinado 00111 cautela. pois, se o sinal x(k) for real, então os índices correspondentes a X(i) complexo e aos seus conjugados devem pertencer a /. Com eles e {4.93) determinamos o sinal aproximado (via truncamento da série) como sendo 1 '2"'ik x,,"n(k) � _ 'I;""' X(i)e'Ki> , k E {0,1Vo) (4.94) 1Vo L., ,el

O ponto a ser ressaltado é que o Teorema de Parseval pode se aplicado a este sinal para determinar o seu valor eficaz que satisfaz

/\;O, L IX(i)l

2

iEI


O, definido para todo t E IR. Mostre que a sua tmns/onnada de Fourier é dada por �

G(w)

=

2rr

L

a;5 (w - 2rri/To)

•=-oo em. que a, são os coeficientes de sua série de Fourier. Aplique este resultado pa1n determinar as transformadas de Fourier dos sinais peri6dicos dados em seguida. Cornpare os itens b) e e) com os resultados obtidos em (4.14) e (4.15).

a) g(t) = I:::'=-� J(t - ,,r,). b} g(t) = seu(t).

e) g(t) = cos(t). d} g(t) = sen(t + rr/4).

Exercício 4.2 Determine a respectiva transfonnada de Fourier dos seguintes sinais definidos peru todo t E R.

138

CAPÍTULO 4.

TRA./\/SFORl\lADA DE FOURIER

+ a/2) - v(l - a/2). Co,npare co1n o resultado = a t2. Vltl < T0/2 e zero fora deste vatervaío.

a) g(t) = u(t b} g(t)

do Exe,nplo 4.2.

e} g(t) = scn(�t)c·'v(t). d} g(t) = e-llt-2t_ Exercício 4.3 Considere o sinal f(t) = t para ltl < 1 e zero fora deste intervalo. Determine a transfonnada de Fourier G(w) do sinal g(t) = J(t- L) + /(-t- 1} + l e compare com o resultado obtido no Exercício 3.5. A partir da b-ansfonnada de Fourier calcula,la, obtenha o sinal g( t) numeticamente a partir de J g(t) = 271"

lw

G(w)e'"dw

-w

para w > O suficientemente grande. Observe a ocorrência do fenômeno de Gibbs.

Exercício 4.4 Para cada uni dos itens a seguir, aplique o Teorerna de Parseval de fonna a calcular o valor de

a} g(t)

= e·'v(t).

b) g(t)

= -e'v(-t).

e) g(t)

= e·l•I.

IIYll2

no domínio do tempo e no dominio da frequência

Exercício 4.5 Utilizando o fato de que a transfonnada de Fourier do sinal a tempo contínuo g(t) = a si11c(at/2)/(21r) é igual a G(w) = 1 paro lwl < a/2 e G(w) = O ein caso contr·árto. e levando em conta as proprtedudes du tmnsformudo, obtenha o sinal J(t) cuia tmnsfonnadu de Fourier é dada r,or F(w)

=

{

3 .

O 1V}. Qualquer sinal desta classe, com H1 expresso em jrad/s], pode ser reconstruído a portsr de suas amostms, desde que elas sejam colhidas com período de amostragem T, expresso em Is], tal que rr

T O.

D

A Figura 5.2 ilustra a situação que foi considerada na prova do Teorema 5. l. No seu lado esquerdo está o sinal e suas amostras, enquanto que no seu lado direito

5.2. A1\IOSTRJIGEJ\1 DE SIN1VS

147

vemos a transformada de Fourier do sinal amostrado. Por inspeção, ela também permite concluir que, se a condição (5.9) for violada, então haverá superposição de parecias não nulas na sorna de tal fonna que não é mais possível assegurar a validade de (5.11). Neste caso, existirá um sinal limitado ern frequência, com frequência máxima H', que não poderá ser recuperado a partir de suas amostras. Como era de se esperar, sempre que o período de amostragem satisfaz a condição �l'T -c n cstabelccida pelo Teorema da Amostragem, a ocorrência de sinal falso ou aliasing é completamente evitada, veja o Exemple 4.10, onde esta característica de sinais a tempo discreto é discutida. Isto decorre do fato de que o referido teorema indica em que condições um determinado sinal pode ser exatamente recuperado a partir de suas amostras, sem ambiguidade. Agora estamos om condições de analisar corno recuperar o sinal original a partir de um filtro ideal passa-baixas cuja função de transferência é dada por

F(w)

lwlW

(5.12)

a qual implementa um ganho constante igual a T na faixa de frequências do sinal e zero fora dela. Podemos determinar a resposta ao impulso deste filtro através do cálculo da sua transformada de Fourier inversa, o que nos leva. a

J(t)

F-'IF(w)]

j'v

_ l

2;r

Tdwt O. Embora ôA(l) não deva necessariamente ser uma aproximação, cm algum sentido, do impulso unitário ô(l), apresentamos nos exemplos discutidos a seguir duas possibilidades que têm importância no sentido de serem implementadas de maneira muito simples. Exemplo 5.6 Urna aproximação natural do impulso unitário é um pulso de largura T > O e amplitude i-;, = 1/r que se expressa na fonna ôA(l)

= �(v(l) - v(l - r))

Pode-se fazer ,.., # 1/T. o que apenas requer um ajuste de ganho uo filtro que recupera o sinal. O valor de r > O deve ser menor que o período de amostragem. E1n geral se faz r O. Ademais, com (5.27) determinamos sem dificuldade A(O) = "-T/T, o que mostra que a escolha narural x e 1/r faz com que A(O) = 1/T. como esperado, pois ÓA(t) se aproxima de ó(t) com r > O suficientemente pequeno. D

Exemplo 5. 7 Urua aproximação alternativa é dada por

com r > O pequeno, isto é, muito menor que o período de amostragem T > O. Da 111cs111a forma, pode-se fazer ,;. # 1/r, o que apenas requer um ajuste de ganho no filtro que recupera o sinal. Esta aproximação tem um atrativo prático, pois pode ser Iacílmente implementada através de um circuito RC e uma chave. Entrelanto, o sinal PA(t) não é periódico, mas tende para um sinal periódico coru período T na medida em que O< T

\V

\-V

A parte superior da Figura 5.4 mostra S(w) e So(w) para as frequências W0 = 2,5 [rad/s] e l•V1 = 5,0 [rad/s]. Estas funções foram deslocadas para colocar em evidência que as amostras de s0(t) permitem recuperá-lo desde que a condição expressa no Teorema da Amostragem seja satisfeita. De fato, isto é possível pois, por construção, S0(w) é limitada em frequência. É importante ressaltar as diferenças que se podem observar entre as Figuras 5.1 e 5.4. Para analisar o impacto da escolha de IV cm so(t), vamos calculá-lo notando que so(t) = /o(t) • s(t), em que

/o(t)

(H')

= -;-

sinc(\Vt)

5.2. A1\IOSTRJIGEJ\1 DE SIN1VS

157

é a resposta ao impulse de Fo(w). Desta fonna, finalmente obtemos

(�V) j

00

so(l) =

rr

sinc(1Vr)e-lt-Tldr

-oc,

sendo que esta integral, que resulta da operação de convolução, foi resolvida numéricamente truncando o intervalo de integração em TE [- 10, 10]. A parte inferior da Figura 5.4 mostra o sinal s(t) e os sinais so(t) obtidos 00111 as escolhas lVo e VV1, respectivamente. Nota-se que, mesmo para IV = Wo reletivamente pequena, a aproximação so(t) � s(t) é muito boa. É claro que esta precisão torua-se melhor conforme \,V aumenta. O filtro Fo(w) assim projetado evita os chamados sinais falsos, sendo, portanto, conhecido 001110 D filtro anti-aliasing. O Exemplo 4.10 fornece maiores detalhes a este respeito.

Com tudo o que vimos até agora podemos concluir que, com certa aproximaçâo, qualquer sinal pode ser recuperado a partir de suas amostras desde que a frequência de amostragem seja suficientemente alta. Adernais, a referida aproxilnação torna-se melhor conforme a frequência de amostragem aumenta. Neste mesmo contexto existem outras maneiras de recuperar um sinal, de forma aproximada, a partir de suas amostras. Certamente as mais importantes são aquelas que resultam do uso de dispositivos denominados Seguradores. Os mais conhecidos, por terem implemcntaçôcs práticas mais simples, são os que vemos agora estudar. ,

Definição 5.1 (Segurador de ordem zero (SOZ)) E um dispositivo caracterizado pela seguinte resposta ao impulso unitário e sua respectiva transformada de Fourier:

a,(t) � v(t) - v(t -T)

= E,(w) �

Te-iwTf2sinc(wT/2)

(5.29)

sendo T > O o período de amostragem.

Antes de explicar o seu funcionamento, vamos determinar a sua função de transferência E;:(w) que resulta do emprego do Teorema 4.5 do Capítulo 4. denominado Teorema do Deslocamento no Tempo. De fato, obtemos

E,(w)

v(w)

(1 - ,-jwT)

(j�

+ r.ó(w)) (! - ,-,wT)

1 - e-jwT

JW

(5.30)

em que utilizamos a igualdade (1 - e-iwT)ô(w) = O para todo w E IR. Finalmente, colocando em evidência o fator comum indicado em (5.29), após algumas

CAPÍTULO 5. A1\10STRAGEA1

158

,.,

--

'

; o.s o -0.S

.,o

.,

•

o

2

t [s]

•

6

B

"

•

6

B

"

3

-" '

' '' , ' ,

2

"

. ,o

•

''

o

·2

2

t [s[

Figura 5.5: Segurador de ordem zero manipulaçôes algébricas simples, chegamos a

•

E,(w)

.

e-iwT/2

(,)wT/2 _ e-JwT/2) _ 7

JW Te-JwT/2

sinc(wT/2)

(5.31)

que é o resultado desejado. Trata-se de urna transformada de Fourier que se expressa através da função sinc( - ) e é muito parecida com várias outras tratadas antctionuente. No intervalo de frequências lwl < 271" /T o seu módulo e fase são dados por (5.32) [E,(w)I = T [sinc(wT/2)[, LE,(w) = -wT/2 e isso significa que, se o sinal s(t) tiver seu espectro mais significativo no intervalo lwl < l1V, então a condição H' < 271" /T faz com que o segurador de ordem zero atue segundo (5.32). Ocorre que esta condição sempre se verifica, pois, como vimos anterionnente. um bom projeto requer que o período de amostragem seja escolhido de tal forma que 1-VT < 71". Na verdade, se esta condição for satisfeita corn folga, o segurador de ordem zero se aproxima de um filtro passa-baixas ideal com 11n1 atraso igual à metade do período de amostragem T /2. A Figura 5.5 mostra, na sua parte superior, a resposta ao impulso do segurador de ordem zero. Como O"z(t) = O para todo t < O, isto implica que este dispositivo

5.2. A1\IOSTRJIGEJ\1 DE SIN1VS

159

é causal e, assim sendo, na prática, pode ser implementado sem dificuldades. Vamos agora entender corno este dispositivo se comporta no domínio do tempo. A resposta a um sinal runostrado s.(t) aplicado na sua entrada pode ser calculada através de

s,(t)

- O não necessariamente igual a um. Para levar este efeito em conta, vamos considerar um sinal genérico f(t), t E IR 0001 amostras f(tk), k E Z, para o qual a seguinte igualdade é verdadeira: 00

L

J(t,)e-Jwt,

k=-oo 00

L

J(kT)e-JwTk

k=-oo •

J(z)

z=eJ..,T

(5.59)

sendo que, no seu lado esquerdo, temos a transformada de Fourier a tempo contínuo do sinal amostrado J.(t) e, no seu lado direito, a transformada de Fourier a tempo discreto da sequência de amostras f(k) = f(kT). k E .Z. A igualdade mostra que a partir da transfonnada de Fourier discreta F(w) = F[/(k)] detennina-se a importante relação Fl/(kT)] = J(z)lz=eJ..,T = F(wT). Adernais, os valores possíveis de w são tais que -r. < wT < 1r. Ou seja, wT E O, em que, como usual, P. denota um subconjunto real de comprimento 21r. Como decorrência do Teorema da Amostragem, este é o domínio efetivo, no qual os sinais podem ser recuperados a partir de suas amostras. Este resultado genérico se aplica na determinação da função de transferência pulsada (5.58). Anteriormente, cstudarnos duas aprox.ilnaçõcs possíveis, as quais retomamos agora para que uma análise mais aprofundada seja feita. A primeira, denominada discretização impulso-invariante, é caracterizada pela escolha a(t) = T ô(t), que nos leva às amostras hu(kT) = T h(kT) para todo k E Z e, a partir de (5.58), à função de transferência pulsada

Z(w)

TF[h(kT)]

T li(z)L-.,,,r

(5.60)

A multiplicação pelo período de amostragem T > O faz com que a resposta ao impulso discreto com amplitude 1/T seja compensada. A segunda, denominada discretização via segumdor de ordem zero na entmda, é caracterizada por a(t) = v(t) - v(t - 1') de tal forma que, denotando a resposta do sistema contínuo ao degrau unitário corno

h,,(t)

=

1'

h(�)d�

(5.61)

CAPÍTULO 5. A1\10STRAGEA1

172

então hu(l) = liv(t) - liv(t - T) e as propriedades da transformada de Fow·ier discreta permitem deternlinar, com (5.58), a função de transferência pulsada

Z(w)

F[hv(kT)] - F[hv((k - l)T)] (1 - e-jwT)F[hv(kT)[

(1 - ,-1) i,v(z)

z=eJ'-'T

Nos dois casos particulares considerados e no caso geral verifica-se que a função de transferência pulsada é do tipo Z(w) = F[hu(kT)] = hu(z)lz=e1...,T, ou seja, depende do período de amostragem adotado através da exponencial z = &wT. Exemplo 5.11 ( O caso limite T-+ o+) É importante verificai· o que ocorre quando o período de amostragem torna-se arbitrariamente pequeno. Inicialmente. 00111 T---t o+, notamos que a discretização com o segurador de ordem zero na entrada resulta em hv(kT) - h0((k - l)T)

h,(kT)

r·.,.

j(k-l)T

"'

h(t)dt

Th(kT)

para todo k E Z, o que revela que, sob esta hipótese, o seu desempenho torna-se idêntico ao da discretização ilnpulso-invariante. Por outro lado, ainda considerando o período de amostragem T > O arbitrariamente pequeno. ternos TF[h(kT)]

T

= L

h( kT)e- 3wTk

k=-oo

[h(t) TF

L=

,t=

ó(t -

kT)l

h (w - (2rr /T)i)

i=-oo

i,(w)

o que mostra que, em ambos os casos de discretização tratados, a função de transferência pulsada é tal que Z (w) ---t ft( s) l,,=i.., conforme T ---t o+. Como deve ocorrer, com o período de discretiza.ção muito pequeno, o sistema discretizado deve reproduzir o sistema original a tempo contínuo. D •

E preciso salientar a importância da estrutura do processamento digital de sinais colocada na Figura 5.9. O sistema a tempo contínuo Se que deve manipular sinais neste domfnlo é substituído por um sistema a tempo discreto Sd que é determinado para realizar a tarefa iniciahnente projetada. A vantagem é

,

5.4. 1VOTAS BIBLIOGRAFIC1\S

173

que, entre dois instantes de amostragem sucessivos, a mencionada tarefa pode ser realizada por um dispositivo lógico. um programa de computador, sem que seja necessária a sua realização física. Nos dias atuais, as expressivas velocidade e capacidade de cálculo dos microprocessadores tornam viável a adoção de frequência de amostragem 1/T cada vez maior, o que assegura a precisão requerida para a implcmcntaçâo prática daquela estrutura.

5,4

Notas Bibliográficas

O terna tratado ao longo deste capítulo também pode ser encontrado cm praticamente todas as referências que abordam amostragem de sinais, como, por exemplo, [13], 116] e [18]. Entretanto. corno ocorreu nos capítulos anteriores, procuramos dar unia visão pessoal e adotar urna abordagem própria na apresentação e concatenação dos resultados que acreditamos ser os mais relevantes para o aprendizado dos aspectos teóricos e das suas eventuais implicações práticas. Este capítulo discute não apenas a amostragem de sinais, mas também a discretização de sistemas lineares invariantes no tempo causais para mostrar como os sinais amostrados são processados no domínio de tempo discreto. Neste contexto, foram abordadas duas estratégias de discretização bastante utilizadas na prática . •A. exemplo das referências citadas, a reconstrução de sinais de fonna exata foi considerada, mas, além disso, discutimos a reconstrução aproximada de sinais com o uso dos chamados seguradores de ordem zero e de ordem um. Ternas mais específicos, mas iguahnente importantes, corno por exemplo, amostragem dual e função de transferência pulsada foram também tratados. Vários aspectos teóricos, embota já estejam muito bem sedimentados na literatura, foram apresentados de forma nova e inédita. O célebre Teorema da Amostragem foi provado tendo corno base os resultados apresentados em [24]1 que fazem referência à teoria elaborada por C. E. Shannon. Acreditamos ter sido possível apresentar esta abordagem teórica mantendo os requisitos matemáticos dentro de um grau de dificuldade compatível com o esperado pelos possíveis leitores. Neste sentido, ter urna base sólida ern números e funções de variável 00111plcxa é essencial e, se necessário, pode ser adquirida cru [15], [17] e no Apêndice A. Além disso, o presente capítulo complementa o material apresentado nos capítulos anteriores. Vários exemplos ilustrativos foram resolvidos e foram escolhidos de tal fonna que o leitor possa reproduzi-los para ganhar desenvoltura e precisão naquilo que foi estudado.

CAPÍTULO 5. A1\10STRAGEA1

174

5. 5

Exercícios

Exercício 5.1 Considere o sinal periódico co,n período G [s] apresentado na Figura 2.2 e dado por s(t) = sen(rrt) + cos(8rrt/3) betn como a sua versão amostrada s.(t) = s(t)p.(t), com p.(t) sendo o trem de i1npulsos definido etu {5.2). a} Dctcrrninc o maior pcriodo de a1nosl1-agern T1,1 > O que assequra a recuperação do sutal B(t) a partir de s. (t) usando u,n filtro passa-baixas apropria,lo.

b} Esboce as transforrnadas S(w) e S.(w) deixando claro que para a frequência de arnostmgem escolhida não há aliasing. e) Considerando o filtro passa-baixas {5.12} com MI= l07i/3 [rad/sl, recupere o sinal s(t) numericamente corno foi feito no Exernvlo 5 . .f. d} Utilizando tun segurador de ordem zero e, posterior,nente, um segurador de ordem um, com período de amostragem T = rr/l•V [s], obtenha os sinais s:-(t) e s.,(t) e compare coni o sinal recupemdo no item c}. e} Repita o íicm d} pam o período de omostroqem T/4 [s) e discuta os resuuados obtidos.

Exercício 5.2 Considere o sinal s(t) = t3 pam todo

ltl
_._.(t) = 1 - ltl no intervalo de tempo ltl < 1 e nula fora deste intervalo. Verifica-se imediatamente que (/),..,..(0) = 1, que é a nonna ao quadrado do sinal s(t). Nota-se ainda que .p,..,..(t) é urna função par. Porém, esta é uma propriedade válida para qualquer sinal, pois (/),,_.(-t) = s(-t) * s(t) = O s(t) * s(-t) = tp,,6(t) para todo t E IR.

Exemplo 6.2 Considere s(t) um sinal real e g(t)

= s(t -

to) o mesmo sinal, ruas deslocado to E IR unidades de tempo. Usando o teorema que trata do cálculo da trausformada de Fourier de sinais deslocados no tempo. verifica-se sem dificuldades que o par s(t) {::::::::} S(w) resulta em g(t) {::::::::} c-J..,10S(w) e, assím,

_.9(t) = ef>aa(t + to). Ou seja, um deslocamento no tempo em um dos sinais rcíletc o mesmo deslocamento no tempo na função de correlação. Assím sendo. não são as posições relativas, mas sim os perfis dos sinais que definem a correlação entre eles. O

•

CAPITULO 6. FILTRAGEA1 DETER,VIINlSTICA

184 •

E part.iculannente importante saber como uni determinado sistema LIT altera a função de correlação entre a sua entrada e a sua saída. Para respondermos esta questão consideramos um sistema LIT com resposta ao impulso h(t) cuja transfonnada de Fourier é H(w). Neste ponto não há necessidade de que alguma hipótese sobre causalidade seja feita. Lema 6.1 (Correlação determinística) Seja1n os sinais de entrnda g(t) e de

saída y(t) de um sistema LIT com resposta ao impulso h(t). As seguintes relações y9(t)

= h(t) • q,99(t),

w,

o ' lwl > Wb o '' lwl < Wo

passa-baixas

' [(

lwl < Wb ou lwl > Wb o ' Wa < lwl < Wb [( lwl < Wo ou lwl > Wb ' Wa


Wa > O e ganhos l(b e /(0, respectivamente. O filtro G0(w) = /(0 -Fa(w) é do tipo passa-altas com frequência de corte w0 e ganho I O, a componente 00111 esta frequência. A saída deste filtro seleciona um sinal com uma determinada frequência mesmo que ele esteja misturado com sinais de outras frequências. U1n filtro capaz de rejeitar 11111a faixa ou banda, em geral, bastante estreita de frequências, é denominado filtro notch (tradução livre do inglês de filtro bloqueia-faixa estreita). Ele é capaz de eliminar a componente de urna determinada frequência do sinal de entrada. Ideahnente, a sua função de trans--

196

•

CAPITULO 6. FILTRAGEA1 DETER,VIINlSTICA

Denorninaçâo

Transfonnação

passa-baixas passa-altas

s

t- �

S

f-

passa-faixa

s l. Vamos agora verificar se este filtro é de fato causal para que a sua implementaçâo prática seja possível. Para tanto, vamos tentar escrever a sua função de transferência corno uma função racional, veja o Exemplo 6.6. Assün sendo, devemos determinar bn(s) de tal forma que B,.(w)

= b,.(s)I

s=1w

,

n

= 1,2. · · ·

(6.34)

Com a relação !6.33) que define a classe de filtros em estudo e lembrando também que B11(w)• = b11(-jw), obtemos

-

-

-

b,,(s)b,,(-s)

B,,(w)B,,(w)'

S=JW

1 1 + (w/w,)2" 1 1

+ (s/jw,)2"

(6.35) S=JW

o que coloca em evidência que o produto b11 (s )611 (-s) tem 2n polos que são raízes da equação (s/jwb)2" = -1. Felizmente, todas as 2n raízes desta equação podem ser calculadas a partir da operação de radiciação de números complexos que fornece 2y'=T = eJ(2t-t);r/(2n) para todo f = 1. 2, · · · , 2n e. assim,

S

jwb

2

v'=i

Wb J(2t+11-1)1f/(211).

f= 1,2,··· ,2n

(6.36)

6.2. FILTRAGEAi A TEAiPO CONTÍ1VUO

201

são as 2n raízes procuradas. A distribuição destas raízes no plano complexo é singular. Todas estão localizadas sobre unia circunferência de raio Wb- Se sé urna raiz, então -s também é urna raiz, fazendo com que n delas tenham parte real negativa e as n restantes tenham parte real positiva. Além disso. ses é urna raiz, então a sua conjugada s• também é urna raiz. Lembrando que o filtro deve ser um dispositivo com função de transferência estável, podemos sempre escolher n raízes situadas no semiplano esquerdo complexo de tal fonna que sejam as raízes da equação Pn(s) = O. em que Pn(s) é um polinômio de grau n com coeficientes reais. A função de transferência do filtro se reduz a '() b,.s-

!(,. n-1.2, ... Pn ()' s

(6.37)

sendo, por construção, um filtro causal estável. O ganho J( n > O é necessário para impor que b{O) = 1, ou seja, I 2 o filtro passa-faixa não é simétrico e,n relação à frequência central projetada, fazendo com que a atenuação em baixas frequências seja muito reduzida. Para n = 1 o filtro em linha tracejada, coincidente com o do Exemplo 6.8, é novamente obtido. En1 geral, como neste caso, este procedimento produz resultados pobres. Assim sendo, o primeiro procedimento é o que O sempre deve ser adotado. Existem outros filtros com características similares às dos filtros Butterworth e que também podem ser adotados. Os filtros Chebyshev passa-baixas são exemplos

importantes. Eles se caracterizam pela relação 1

lli,.(w)I

=

JI

+ C,.(w/w,)2'

n=l2···

' '

(6.39)

em que H n (w) é a transfonnada de Fourier da sua resposta ao impulso. A função

C11(77) denota o chamado polinômio de Chebyshev de ordem ·n, que pode ser calculado recursivamente através da relação Cn(11) = 2r,C11_1(11) - C11_2(r,), válida

6.3. FILTRAGEAi A TEAiPO DISCRETO

203

para todo n > 2 e iniciada com os polinômios de ordem zero Co('IJ) = 1 e de ordem um C1 (11) = 17. Desta forma, o polinômio de Chebyshev de ordem qualquer n > 2 pode ser calculado sem nenhuma dificuldade. Ademais, pode-se verificar que C,1(0)2 = 1 para n par e C11(0)2 = O para n Impar, fazendo com que 110 intervalo 17 E [O, l] o valor de Cn(17)2 oscile entre esses dois extremos. Por outro lado, podemos também determinar que Cn(1)2 = 1 para todo n > O. A conclusão é que IH(wb)I = 1/v'2 faz com que Wb seja a sua frequência de corte independentemente da ordem 1 < n E Z escolhida. Uma clara desvantagem desses filtros eru comparação com os filtros Buttcrworth é a oscilação do módulo da sua resposta em frequência no intervalo w E [O, wb], Resta enfatizar que o procedimento de síntese de qualquer filtro analógico baseia-se na síntese de um filtro passa-baixas, com ganho J( = 1 e frequência de corte Wb = l [rad/s] normalizados e na aplicação de uma das trunsformaçôes racionais que constam da Tabela 6.21 para se obter o filtro da classe desejada. O parâmetro 1 < n E Z influencia en1 corno o filtro passa-baixas atenua o sinal cm frequências acima da frequência de corte. Sua definição deve levar em conta o fato de que a implcmcntaçâo prática do filtro torna-se cada vez mais difícil e custosa na medida que a sua ordem n aumenta.

6.3

Filtragem a Tempo Discreto

Como ternos feito no decorrer deste livro. vamos desenvolver os resultados de filtragem no domínio de tempo discreto seguindo, com a maior proximidade possível, o que foi feito no domínio de tempo contínuo. Além disso, filtros analógicos, quando discretizados cem um período de amostragem adequado, geram filtros digitais que preservam as suas características básicas, em particular a sua classe. Por ter este importante atributo adotaremos, sempre que possível, esta estratégia de projeto. Nosso objetivo é determinar u1n filtro caracterizado por sua função de transferência F(w) : Q ➔ C, cru que Q é um intervalo real de comprimento 2r. ou, de forma equivalente, por sua resposta ao impulso unitário J(k) : Z ➔ C. O texto deixa claro quando os resultados são válidos apenas para sinais reais. A seguir, estudamos a versão a tempo discreto do célebre filtro de Wicncr para, cm seguida, nos dedicarmos ao projeto de filtro digitais.

6.3.1

O Filtro de Wiener

O filtro de \.Viener é obtido através da aplicação de conceitos matemáticos que se assemelham aos que foram adotados para determinar este mesmo filtro,

204

•

CAPITULO 6. FILTRAGEA1 DETER,VIINlSTICA

111as no contexto de tempo contínuo. Ele decorre da solução do problema de otiniização convexo {6.3) o qual, por esta razão, admite urna solução ótima global. Desta forma, estabelece um ilnportantc paradigma de desempenho, mas que geralmente não pode ser atingido quando o filtro obtido não é causal. Restrições e aproximações são mais simples de serem incorporadas no projeto original. sobretudo quando se resolve a versão do problema (6.3) expressa no domínio do tempo. As seguintes definições devem ser consideradas para serem usadas mais adiante. Definição 6.5 (Densidade espectral de energia) Seja um sinal a tempo discreto s(k) com transformada de Fourier S(w) definida em um domínio f!. A sua densidade espectral de energia é a função fPss(w) : D:-+ IR+ dada por

,p,,(w)

=

ls{w)l2

(G.40)

Utilizando o Teorema de Parseval, verifica-se que esta função está naturalmente associada à norma do sinal cm consideração, isto é,

=

L

11s112

�1

ls{k)l2

k=-oo

-

2.,,- n 2�

ln

ls(w)l'c1w 99(k),

,Py9(w)

� H(w),p99(w)

(6.46)

expressas, respectivamente, nos domínios do tempo e da frequência, são válidas. A sua prova permanece inalterada. mas é importante observar urua vez rnais que a operação de convolução e as funções correlação e autocorrelação envolvendo os sinais de entrada e de saída devem ser, obviamente, aquelas associadas aos sinais a tempo discreto. U1n outro caso importante é o do Teorema 6.1, que fornece a fórmula do filtro de Wiener. O fato é que, no domínio da frequência, invocando o Teorema de Parscval, podemos reescrever (6.3) na forma equivalente . 1 111111 P(w) 2r.

i

n

O qualquer. O filtro é do tipo passa-faixa. tem ganho J( > O e frequências de corte w(I e Wb tais que O < waT < wbT < 1r. Filtros das demais classes são projetados da mesma maneira. Algoritmo 6.2 {Projeto de filtros digitais) Com os dados T, 1(, Wa e Wb fornecidos pelo usuário, o algoritmo requer a execução dos seguintes passos: Determine as frequências de corte Wa = tg(w0T /2) e • Passo 1: tg(w,T/2), o fator de qualidade e a frequência centml

Q ab =

Jw(lwb 1 Wb �wa

w, = (6.61)

no domínio de tempo contínuo. 8 • Passo 2: Determine o filtro passa-baixas nonnalizado Po(tu) = jo(s)l =iw e, em seguida, com a transformação que consta da Tabela 6.21 determine o 8 filtro passa-faixa Pc(tu) = jc(s)l =jw com o ganho!(> O desejado.

• Passo 3: Apliql}e a tmnsjormaçiio bilinea1· (6.56) pan1. determinar o jiuro digital Fd(w) = /d(z)I,-.,,,. pam toda wT E íl = 1-r.,r.] em que

Íd(z)

= f,(s)L-,-• •+•

(6.62)

•

CAPITULO 6. FILTRAGEA1 DETER,VIINlSTICA

216

,-·

ro ---= - = · -· =··= · -= - ··= · -= - -= ··--", -

•

---·· - , -�-=-·-=· ·=- -=-· =· :· ..=,.. ' ,

"''

.,oo

1200

1600

w [rad/s]

Figura 6.12: Filtros digitais do tipo Butterworth

Unia comparação

00111

o algoritmo anterior coloca claramente que a única

modificação decorre imediatamente da definição da frequência a tempo contínuo w = tg{wT/2) que, neste caso, passa a depender do período de amostragem T > O. Com ela convertemos as especificações do filtro digital para o domínio de tempo contínuo definido pela frequência s = jw. O filtro projetado neste domínio é convertido para o domínio de tempo discreto com a relação dada pela • transformação bilinear. E claro que o Algoritino 6.2 reduz-se ao anterior sempre que o período de amostragem for unitário, ou seja, T = l [s]. O próximo exemplo ilustra a aplicação deste algoritmo cm um caso concreto. Exemplo 6.16 Sinais são amostrados com frequência 1/T = 1 [kl-lz] e desejemos projetar um filtro digital capaz de bloquear as suas componentes situadas na faixa de frequências 0,2 ± 0,02 [k.Hz). O ganho do filtro fora desta faixa deve ser aproximadamente l(dB = 20 dB. Iniciahnente determinamos T = 10-3 [s], w0 = 2rr x 0,18 x 1000 = 1,1310 x 103 [rad/s] e Wt, = 2;r x 0,22 x 1000 = 1,3823 x 103 jrad/s]. Aplicando o Algoritmo 6.2, no passo I determinamos w0 = 0,6346 [rad/sJ. Wt, = 0,8273 [rad/sl, Qab = 3,7610 e Wa1i = 0,7246 [rad/sJ. No passo 2, em tempo contínuo, calculamos numericamente o filtro passa-baixas normalizado do tipo Butterworth com n = 2, ou seja, •

1

/o(s) = s2 + 1,414s+ l e,

00111

a lransfonnação indicada na quarta linha da Tabela 6.2, determinamos o filtro

' 6.4. 1VOTAS BIBLIOGRAFIC1\S

217

bloqueia-faixa com ganho 1( = 10, dado por

J,(s)

t.tv(t) em que >. > O e seja g(t) 11111 ruído branco definido no Exemplo 7.1. O sinal y(t), saída deste sistema linear correspondente à entrada g(t), é um sinal aleatório estacionário no sentido amplo, com as características que são determinadas pelo Lema 7 .1. Como µ9 = O e R99(-r) = ô(-r). então Jty = O e, além disso.

R,,(r) R,,,(r)

h(-r) = e'Tv(-r) h(-r) = e->.-r u(-r) e-..\1.,.t

h(r)•h(-r)=

2,\

o que nos leva. a. confinnar que R9y(r) = Ry9(-r) E IR: e Ryy(-r) - Ryy(-r) > O para • todo 'T E R. E interessante observar que a igualdade

R.,,,(O) -

I:

h(t)2,lt

não é uma coincidência deste exemplo. Ela é verdadeira sempre que um sistema LIT assintotica,ncnte estável for excitado por um ruído branco. D

7.2. FILTRAGEAi A TEAiPO CONTÍ1VUO

231

Para esta importante classe de sinais aleatórios, que são estacionários no sentido amplo, a função densidade espectral de potência apresenta duas propriedades surpreendentes, conforme são enunciadas no próximo lema.

Lema 7.2 Seja s(t) um sinal real, não nulo e estacjonário n� sentido amplo. A sua densidade espectml de potência é real e satisfaz Rss(w) = R88(-w) > O, 'r/w E IR. Prova: Vamos inicialmente provar que se trata de urna função com imagem real. Corno o sinal s(t) é, por hipótese. real. então sabemos que a correlação é uma função com imagem real e satisfaz a condição R8.,(r) = R88(-r) para todo TE R e, assim, o cálculo do conjugado de {7.15) resulta cm

R,,(w)'

1:

-

1:

R,,(T)dw, dr R,,(-0)e-JwOd0

(7.18)

R,,(w)

Entretanto, como Rss(w)* = Êlss(-w), temos que Rss(w) = Rss(-w) E IR, Vw E IR. Por outro lado, escolhendo o filtro passa-faixa ideal com função de transferência fl(w) = l para llwl - wol < .ó. e H(w) = O, caso contrário, em que w0 E IR+ é urna frequência arbitrária e .ó. > O é arbitrariamente pequeno, verifica-se que se trata de um sistema LJT não causal com resposta ao impulse h(t) = (2ll./ir)cos(wot)sinc(ll.t) para todo t E IR. Assim sendo, o Lema 7.1 se aplica. Considerando s(t) como o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída corres-poudente, ele nos leva a Ryy(T) = h(T) * h(-T) * Rss(T) e, assim, 00

1

[ {y(t)2)

2,. 1,.

""

1 1

-oo

Ryy(w)dw

00

IH(w)l2R,,(w)dw

_00 2 2.C,. -R,,(wo) 7r

(7.19)

Como .ó.> O é arbitrariamente pequeno e E{y(t)2} >O.a equação (7.19) implica que a densidade espectral de potência é não negativa para todo wo E IR, o que O prova o lema proposto. Corno consequência desse lema podemos afirmar que para qualquer processo estocástico estacionário no sentido amplo s(t) com imagem real, a sua densidade

CAPÍTULO 7. FILTRAGEl\,f ESTOCÁSTICA

232

espectral de potência Rss(w) também é urna função com imagem real. Entretanto, esta afinnação não é válida para dois processos estocásticos conjuntos. De fato, a aplicação da transformada de Fourier cm (7.13) leva a

R••.. (w ) = [

H(w)H(w)• H(w)•

{7.20)

o que per1nite dctcr1n�nar Ryy(w) = IH(w)l2 R99(�), que é r�al pois Êl.99(w) é real, mas R,,9(w) = H(w)R99(w) e R9,(w) = H(w)• R99(w) = R,,9(w)• cm geral não são reais pois H(w) não é real. Finahnentc, devemos notar que se g(t) for um ruído branco a sua densidade espectral de potência é R99(w) = 1, Vw E IR. Este resultado permite interpretar o ruído branco corno sendo um sinal que atua e1n todas as faixas de frequências, indistintamente, no que se refere à correlação que ele produz entre os sinais de entrada e de saída de u m sistema LIT. Exemplo 7.4 Desejamos verificar o que ocorre com um sinal quando a sua densidade espectral de potência se anula em uma determinada frequência w = Wo E IR. Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h(t) = 1, ltl O um escalar dado. A sua função de transferência Jl(w) = 2T sinc(wT) resulta da transfonnada de Fourier de h(t). Se este sistema LIT (não causal) for excitado por um ruído branco, o sinal de saída correspondente s(t) tem média nula e autocorrelação

R,,(r) = h(r) • h(-r) =

{ 21· - lrl 0

lrl < 2T lrl > 2T

cuja transfonnada de Fourier fornece a sua densidade espectral de potência

Rss(w) = lií(w)l2 = 4T2sinc(wT)2 Para w = wo = rr/T é claro que Ílss(wo) = O. Considere agora 001110 entrada do mesmo sistema LIT o sinal g(t) = re1"'01, e111 quer é uma variável aleatória com rnédia nula e variância unitária. Este sinal que tem média nula e função correlação R99(r) = eÍ""ºr é estacionário no sentido amplo. Denotando y(t) a saída correspondente, obtemos a função correlação Íl.yy(w) = 21rlll(w)l2ó(w - wo) e tambôm

E{ly(t)l'J

1 ?-

1� .

1: -"

Ryy(w)dw

-oo

IH(w)l2ó(w -wo) A' com N E N dado e finito, embora possa ser suficientemente grande para assegurar um nível de precisão adequado. Neste último caso, a resposta ao impulse do filtro deve satisfazer N-1

R,9(n) -

L fw(i)R

99(n

- i)

(7.62)

i=O

para todo n E [O, N -1]. Para a determinaçâc do filtro de \•Viener causal devemos então resolver um sistema linear de N equações e A' incógnitas. Mesmo que 1\T seja um número bastante elevado, para que os valores de fw(n), Vn > 1\', possam ser considerados nulos e, portanto, desprezados, este sistema de equações lineares • pode ser resolvido sem dificuldades. E comum escolher N da ordom de várias dezenas sem que isso cause problemas na obtenção do filtro, veja o Exemplo 7.7. Este aspecto também é abordado na solução do próximo exemplo. Exemplo 7.13 Vamos novamente resolver o Exemplo 7.12, mas ilnpondo a restrição de causalidade. Iniciahnente, com N = 20, calculamos com unia rotina de convolução discreta R88(n) = h(11) * h(-n) para todo [n] < 20 e h(n) = (l/2)"v(n). E1n seguida, determinamos R.sg(n) = R.s.s(n) e R99(11) = Rss(n) + ô(n) e resolvemos o sistema linear (7.62) com 41 equações e igual número de incógnitas. A resposta ao impulso do filtro de \Vicncr causal é fw(k) = O para todo -20 < k < -1, fw(k) = {0.5311;0,1245:0,0292;0,0068:0.0016;0,0004}Z=o e zero para k > 6. Isto indica claramente que não é necessário aumentar o valor de N. É interessante observar que a resposta ao impulso do filtro de \Viener causal é bastante próxima da resposta do filtro de \Viener não causal para k > O. Simulações temporais, sob as mesmas condições descritas no Exemplo 7.12, foram realizadas e mostram que os D desempenhos de ambos os filtros são semelhantes, mas não idênticos.

Os resultados que acabamos de apresentar são válidos para tratar sinais estacionários no sentido amplo, definidos no domínio de tempo contínuo e no domínio

7.4. DETERiflNÍSTlCO VERSUS ESTOCÁSTICO

253

de tempo discreto. Co1110 é usual, o filtro de Wiener foi desenvolvido para tratar exclusivarnente sinais desta classe com imagem real. Os exemplos resolvidos mostram que as operações matemáticas envolvidas são formalmente simples, mas requerem a utilização de rotinas numéricas para serem realizadas. Entretanto, com esta Icrramcnta cm màos, sinais e sistemas bastante complexos podem ser

tratados.

7.4

Determinístico versus Estocástico

E1n diversas oportunidades neste capítulo mencionamos que os resultados

obtidos para filtragem em um ambiente de sinais estocásticos se assemelham com os resultados homônimos válidos para filtragem em ambiente de sinais de-

terminísticos. Assim sendo, vale a pena explorar essas semelhanças, pois elas permitem interpretações e análises que, se não levam a simplificaçôcs nos proccdimcntos de síntese, ccrtrunente permitem melhor comprccnsâo dos resultados obtidos. As manipulações matemáticas que viabilizam o estudo das relações entre sinais determinísticos e estocásticos baseiam-se no fato de que eles são gerados por sistemas LIT com entradas específicas. Assumimos que todos os sinais a tempo contínuo ou a tempo discreto são reais, ou seja, têm imagem em IR. Inicialmente, consideramos sinais e sistemas a tempo contínuo. Seja z(t) um processo estocástico gerado a partir de um sistema LIT com função de transferência H(w), isto é, z(t) = h(t) • ,u(t) (7.63) em que h(t) é a sua resposta ao impulso que resulta da relação conhecida H (w) = F[h(t)] e w(t) é um ruído branco. O Lema 7.1 assegura que z(t) é um sinal aleatório estacionário no sentido amplo, com média nula e autocorrelação R,,(T)

-

[ (z(t + T)z(t)) h(T) • h(-T)

1:

h(0)h(0 - T)d0

(7.64)

que permite verificar a validade da relação 1'1ih(T) = R:::z(T) para todo TE IR. Isto indica que a autocorrelaçào do processo estocástico z(t) é igual à autocorrelação detenninística presente na resposta ao impulse h(t) do sistema LIT que o gera a partir do rufdo branco w(t). Assim sendo, a transfonnada de Fourier desta relação leva ao resultado equivalente

-O .5 > .

,

. o

.

.

os

.,

.

.

2

2.5

kT [ms]

""

o----------- --------.,, f [kH,)

Figura 8.5: Características principais do filtro projetado

8.4

Vibrações Mecânicas

Vamos ilustrar através desta aplicação prática como proceder para estimar os modos de vibração de urna estrutura mecânica simples, mas da qual não conhecemos com precisão os seus elementos constituintes, tais como as massas e, sobretudo, os coeficientes de elasticidade das molas e o coeficiente ele atrito viscoso do amortecedor. Ademais, também não é conhecido com precisão o coeficiente de atrito viscoso que resulta do movimento relativo das massas no ar, meio onde ocorre a vibração. O sistema mecânico mostrado na Figura 8.6 é composto por três massas, quatro molas, um amortecedor e uui atuador de força. A primeira massa sofre a ação de urna força externa com intensidade g(t) e está conectada a uma parede através de uma mola. A segunda massa está conectada à primeira e à terceira através de duas molas e a um suporte fixo através de um amortecedor. Finahnente, a terceira massa está conectada a outra parede através de urna mola. Este sistema foi implementado em laboratório com sensores de posição que permitem registrar os deslocamentos de cada massa em instantes de amostragem igualmente espaçados,

-

-

8.4. VIBRAÇOES I1ECA1VICAS

277

b

H

g(t)