Análise de Fluxo de Carga em Sistemas de Potência [1] 8588098830

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3 Métodos de Gauss e Gauss-Seidel

3.1 – Introdução Conforme visto no capítulo 1, ao longo dos anos surgiram vários métodos de fluxo de carga ou fluxo de potência. Um dos primeiros foi o de Gauss/Gauss-Seidel ou Gauss-Jacobi/Gauss-Seidel, caracterizado pela simplicidade e facilidade de programação. No entanto, ele normalmente requer várias iterações para alcançar a convergência. Este capítulo apresenta o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel usando a formulação matemática original e fazendo aplicação destas técnicas numéricas ao problema do fluxo de carga.

3.2 Métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel

Figura 3.1 – Jacobi

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Engenharia de sistemas de potência

Figura 3.2 – Gauss

A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear [ A][ x] = [b] em [ x] = [C ][ x] + [ g ] é a seguinte: Equações _ Capítulo _ 2 _  Eq _ 3.1

Toma-se o sistema original:

a12 x2  ...  a1n xn  b1  a11 x1 _Capítulo Equações _2_  x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2  a_123.1  Eq (3.1)  Equações _ Capítulo _ 2 _ ..............................................   a x  axEq _...3.1  ann xn  bn b1  a11 x1 n1a121 x2 n 2...2 a1n xn   b2  a12 x1  a22 x2 a... x a2 naxnx b1   Eq _ 3.2 11 1 12 2  ...  a1n xn   .............................................. b2  a12 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn .............................................. 1  E supondo aaiiii ≠ 0 i=1,......., n, isola-se o vetor [x ] , mediante a sepa x1 xnb) (ba1n1x1a12 3   xa2n 2xa2 13x... ... annxan1n  n ração pela diagonal:  Eq _ 3.2a11  1 (b2  a21 x1  a23 x3  ...  a2 n xn )  x2   a22 Eq _ 3.2  1   (b  a x  a x  ...  a1n xn ) x1 ...........................................................   a 1 12 2 13 3   11 1  1 xn1 (xb1n  an1 x(1b1ana212xx2 2...a a3nn1... xn1 a) 1n xn )   13 x  a   ( x  b a x a2nn 21 1 11a23 x3  ...  a2 n xn )  2  a22   1 ........................................................... (b2  a21 x (3.2)  x2  1  a23 x3  ...  a2 n xn ) a22   Eq _ 3.3  1  xn (bn ........................................................... a x  a x  ...  ann 1 xn 1 )   n1 1 n 2 2 ann    x]  [ g ]1 [ x] [C ][  xn a (bn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann 1 xn 1 ) nn   Eq _ 3.3  Eq _ 3.4 Dessa forma, temos:  Eq _a3.3 a a  [ x] [C ][ x] 0[ g ]  12  13 .  1n  a11 a11 a11   (3.3)  [ x ] [ C ][ x ]  [ g ]  a21 a23 a2 n   Eq _ 3.4   0 .   a22 a22  [C ]   a22 a a a   12 _ 3.4 13 1n  Eq  0  .  a .  a ..  .a  .    11 11 11  an1  an02 ana312  a 13 .  a1n     a21  a23 .a2 n  0 a11  a.a11    a 0 a a11   [C ]   a22 nn  nn a22 nn a22    a21 a2 n  a23 .   .  .  . .0 .   a22  a 22   b [C ]   a22



ann

 Eq _ 3.3

Métodos de Gauss e Gauss-Seidel

 [ x] [C ][ x]  [ g ]

Onde:

125

 Eq _ 3.4   0   a21  [C ]   a22  .    an1  a  nn



a12 a11



a13 a11

0



a23 a22

. 

an 2 ann

. 

an 3 ann

a1n  a11   a2 n  .   a22  . .   . 0   

. 

(3.4)

 b1  a   11   b2    [ g ]   a22   .     bn  a   nn   Eq Da mesma forma que_ 3.5 no método de Gauss-Jacobi, no de Gauss-Seidel o sistema linear [ A][ x ] = [b] é escrito na forma equivalente [ x ] = [C ][ x ] + [ g ] , N ( S G  SiC )* por separação da diagonal. no momento de se calcular o valor YikVk No  ientanto,  Vi * ( k +1) ( k +1) k 1 ( k +1) x j , são considerados todos os valores x1 ,..., x j −1 mais atualizados, que já foram calculados, e os valores restantes x (jk+1) ,..., x n( k ) .  Eq _ 3.6

A formulação matemática de sistemas não lineares é feita de maneira G C semelhante àquela de Ssistemas i  Si Slineares. i Pi  jQi O exemplo numérico 3.1 esclarece os métodos citados, usando um sistema não linear de equações.

Figura 3.3 – Seidel

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Engenharia de sistemas de potência

Exemplo 3.1

2 x + x x = 1

xx22 = + 22 xx11não Considerando o sistema de de equações Considerando o sistema equações , ,encontre +nãoxxxlineares: = 111  1 1 2 11lineares: x x 2 + =  Considerando o sistema de equações não lineares: , encontre 2 x x x 1 − = − 1 1 2  Considerando o sistema de equações não lineares: , encontre  2 1 2  x − x x = −1, encontre Considerando o sistema de equações não lineares:  2xx22 −− xx11de 22métodos encontre a solução do sistema usando os Gauss-Jacobi e Gaussxx222Gauss-Jacobi == −−11  métodos 2 1de a solução do sistema usando os e Gauss-Seidel. A estimativa i Seidel. A estimativa inicial é um vetor nulo, enquanto a tolerância para convetoros nulo, enquanto a tolerância para convergência é de 0,00001. a solução do sistema usando métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. A estimativa inicial é um solução do do sistema sistema usando usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Gauss-Seidel. A estimativa estimativa inicial inicial é é um um aa solução os métodos de Gauss-Jacobi e A vergência é de 0,00001. vetor nulo, enquanto a tolerância para convergência é de 0,00001. Solução:para convergência é de 0,00001. vetor nulo, enquanto a tolerância

vetor nulo, enquanto a tolerância para convergência é de 0,00001. Método de Gauss-Jacobi Solução: Solução: Solução: Solução:

Colocação do sistema na forma para a solução de Gauss-Jacobi: Método de Gauss-Jacobi Método de Gauss-Jacobi Método de de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi Método x x  Colocação do sistema na forma a solução de Gauss-Jacobi: − 1 2 x1 =de 0.5Gauss-Jacobi Colocação dopara sistema na forma para a solução : Colocação do sistema na forma para a solução de Gauss-Jacobi:  Colocação do sistema na forma para a solução de Gauss-Jacobi:  2  xx11 xx22  x = −0.5 + x1 x 2  0.5 − x1 x 2  2  xx11 = 2  x == 00..55 −− 2 

2  1 2  1) Estimativas iniciais:  x1 = 0 e x2 xx=11 0xx22 = =− −00..55 + + x1 x 2 xxx22 = 2 das estimativas iniciais, vem 2) Iteração 1 – substituindo-se  2 −0.5os+ valores 22 (1) xx11 = 00 ee xx22iniciais: = 00 x1 = 0 e x2 = 0 x1 = 0.5 − 0 = 0.5 1) Estimativas iniciais: 1) Estimativas = = 1) Estimativas iniciais: 1) Estimativas iniciais: x = 0 e x = 0 1

2

(1) xdas −0.5 + 0 = − 0.5 2 = 2) Iteração 1 – substituindo-se os valores estimativas iniciais, vem 2) Iteração 1 – substituindo-se os valores das estimativas iniciais, vem 2) Iteração Iteração 11 –– substituindo-se substituindo-se os os valores valores das das estimativas estimativas iniciais, iniciais, vem vem 2)

3) Iteração 2 – substituindo-se os valores da iteração 1 x ((11)) = 0.5 − 0 = 0.5 xx111(1) == 00..55 −− 00 x==( 200) ..=55 0.5 − 0.5 x(−0.5) = 0.625 1 2 xx2(((111))) = − 00..55 + 00 = − = − + −000...555 2 x 2 = −0.5 + 0 (== − 0.5 x(−0.5) 2)

x 2 = −0.5 + 3) Iteração 2 – substituindo-se os valores da iteração 1 3) Iteração 2 – substituindo-se os valores da iteração21 3) Iteração 2 – substituindo-se os valores da iteração 3) Iteração 2 – substituindo-se os valores da iteração 11

= −0.625

4) Iteração 3 – substituindo-se da iteração 2 00..55xx((− 55)) −os000...valores x 0 . 5 ( − 5 ) xx1(((222))) = − = 0 . 625 0 . 5 = 00..0625 625 .625 x(−0.625) x11 == 00..55 −− 22x (3) = 0= . 5 − = 0.6953 21

xx2(((222))) x 22

2 00..55xx((− 00..55)) − x 0 . 5 ( − 0 . 5 ) = −0.5 + = − 625 =5 +− −000....625 625x(−0.625) = −0.6953 3) == −−00..55 ++ 625 x 2(2 = −0.= 2 2 2

4) Iteração 3 – substituindo-se os valores iteração 2 4) Iteração Iteração 3 3– – substituindo-se substituindo-se os valores da iteração Substituindo-se as da raízes noos sistema equações, 4) Iteração 3 –valores substituindo-se valores iteraçãoos2 resíduos são: 4) os da iteração 22 deda , x 2 ) = 0.9072 0.625 − 625 625xxx(((− −000...625 625))) =f (0x1.6953 00..625 xx1(((333))) = 00..55 − = − = 0 . 6953 , x1 ) = −0.9072 =f (0x.26953 x11 = 0.5 − 2

22 (rotina −0.625 O processo continua0 e.625 umax em)) linguagem MATLAB foi usada 625 625 00..625 )= xx((−−00..625 xx2(((333))) = − 00..55 + −0.6953 = − + 6953 seguintes. == −−00..6953 x 22 = −0.5 + 22 Rotina para resolver o sistema2não linear pelo método de Gauss-Jacobi:

para calcular as

Substituindo-se as raízes no sistema de equações, os resíduos são: Substituindo-se as as raízes raízes no no sistema de de equações, equações, os os resíduos resíduos são: são: %Gauss-Jacobi Substituindo-se sistema

f ( x , x ) = 0.9072 9072 ff ((xx111 ,, xx222 )) == 00..9072 f ( x , x ) = −0.9072 9072 ff ((xx222 ,, xx111 )) == −−00..9072

O processo continua e uma rotina em linguagem MATLAB foi usada para calcular as iterações

0.625(x3()−0.625) 0.625 x(−0.625) x1 = 0.5 − = 0.6953 = 0.6953 2 2 0.625 x(−0.625) 0.625 x(−0.625) x 2(3) Métodos = −0.5 +de Gauss x 2(3) =e−Gauss-Seidel 0.5 + = −0.6953 = −0127 .6953 2 2 x1(3) = 0.5 −

Substituindo-se as raízes no sistema de equações, os resíduos são:

Substituindo-se as raízes no sistema de equações, os resíduos são: os resíduos são: Substituindo-se as raízes no sistema de equações,

f ( x1 , x 2 ) = 0.9072 f ( x1 , x 2 ) = 0.9072

f ( x 2 , x1 ) = −0.9072 f ( x 2 , x1 ) = −0.9072

O processo continua uma continua rotina emeelinguagem foi usada parafoicalcular as para iterações O processo uma rotinaMATLAB emlinguagem linguagem MATLAB foi usada calcu O eprocesso continua uma rotina em MATLAB usada seguintes. seguintes. para calcular as iterações seguintes. Rotina para resolver o sistema não linear pelo método de Gauss-Jacobi: Rotina para resolver oosistema não linear pelométodo método Gauss-Jacobi: Rotina para resolver sistema não linear pelo dede Gauss-Jacobi:: %Gauss-Jacobi %Gauss-Jacobi %2*x1+x1*x2=1 %2*x2-x1*x2=-1 clear all; clc; x1=0; x2=0; x1_ant=x1; x2_ant=x2; n=0; while 1 x1=0.5-x1_ant*x2_ant/2; x2=-0.5+x1_ant*x2_ant/2; if abs(x1-x1_ant)