Absorción del sonido [1 ed.] 8400099524, 9788400099527

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ABSORCIÓN DEL SONIDO

BIBLIOTECA DE CIENCIAS, 42

Pedro Cobo Parra

ABSORCIÓN DEL SONIDO

CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTÍFICAS MADRID, 2015

Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por medio ya sea electrónico, químico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito de la editorial. Las noticias, los asertos y las opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores. La editorial, por su parte, solo se hace responsable del interés científico de sus publicaciones.

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© CSIC © Pedro Cobo Parra ISBN: 978-84-00-09952-7 e-ISBN: 978-84-00-09953-4 NIPO: 723-15-104-3 e-NIPO: 723-15-105-9 Depósito Legal: M-19470-2015 Maquetación, impresión y encuadernación: Rotaclick Impreso en España. Printed in Spain En esta edición se ha utilizado papel ecológico sometido a un proceso de blanqueado FSC, cuya fibra procede de bosques gestionados de forma sostenible.

AGRADECIMIENTOS Este libro es el resultado de mi trabajo en los últimos diez años en el Instituto de Acústica, primero, y Centro de Acústica Aplicada y Evalución No Destructiva, después, del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC). Gran parte de este trabajo se ha realizado en colaboración con mis colegas del Instituto, a los que quiero manifestar mi más sincero agradecimiento. Entre ellos, quiero destacar a Jaime Pfretzschner, María Cuesta y Paco Montero. Algunos de mis estudiantes de doctorado también han contribuido al progreso de esta línea de investigación en mi grupo del CSIC. Merecen especial mención Alejandro Fernández, Heidi Ruiz, David Ibarra y Santiago Ortiz. Por último, mi más profundo agradecimiento a Carlos de la Colina, además de por su disponibilidad a ayudar en la instrumentación y en las medidas de absorción, por leer pacientemente el primer borrador de este libro y sugerir correcciones y mejoras sustanciosas.

ÍNDICE

 1.

INTRODUCCIÓN........................................................................................... 13 1.1. La absorción acústica........................................................................... 13 1.2. Materiales absorbentes......................................................................... 14 1.3. Organización del libro.......................................................................... 18 1.4. Referencias........................................................................................... 20

2.

ABSORCIÓN EN EL AIRE........................................................................... 23 2.1. Introducción.......................................................................................... 23 2.2. Norma ISO 9613-1............................................................................... 25 2.3. Referencias........................................................................................... 31

3.

COEFICIENTE DE ABSORCIÓN................................................................ 33 3.1. Introducción.......................................................................................... 33 3.2. Coeficiente de absorción para incidencia normal................................. 34 3.3. Coeficiente de absorción en incidencia oblicua.................................... 36 3.4. Coeficiente de absorción de una capa anisótropa................................. 38 3.5. Coeficiente de absorción de un medio estratificado............................. 42 3.6. Coeficiente de absorción en campo difuso........................................... 44 3.7. Absorbentes volumétricos.................................................................... 49 3.8. Referencias........................................................................................... 51

4. MATERIALES POROSOS............................................................................ 53 4.1. Introducción.......................................................................................... 53 4.2. Modelos de impedancia semi-empíricos.............................................. 53 4.2.1. Ecuaciones semi-empíricas........................................................ 55 4.2.2. Coeficiente de absorción de una capa porosa............................. 61 4.2.3. Coeficiente de absorción de una capa porosa trasdosada por una cavidad de aire..................................................................... 70 4.3. Modelos semi-fenomenológicos........................................................... 82 4.3.1.Modelo fluido equivalente........................................................... 82 4.3.2.Modelo de Johnson-Champoux-Allard....................................... 84 4.4. Referencias........................................................................................... 92

10 Índice

5. MATERIALES SOSTENIBLES.................................................................... 93 5.1. Introducción.......................................................................................... 93 5.2. Materiales granulares sueltos............................................................... 94 5.3. Materiales granulares encolados........................................................... 100 5.4. Referencias........................................................................................... 106 6. RESONADORES DE HELMHOLTZ........................................................... 107 6.1. Introducción.......................................................................................... 107 6.2. Impedancia de un resonador de helmholtz........................................... 108 6.3. Coeficiente de absorción para incidencia normal................................. 110 6.4. Coeficiente de absorción para incidencia aleatoria............................... 114 6.5. Referencias........................................................................................... 117 7. MATERIALES MICROPERFORADOS....................................................... 119 7.1. Introducción.......................................................................................... 119 7.2. Impedancia de un MPP......................................................................... 121 7.3. Modelo de Maa..................................................................................... 122 7.4. Modelo fluido equivalente.................................................................... 130 7.5. Comparación entre modelos................................................................. 133 7.6. MPPs ranurados.................................................................................... 140 7.7. Unidades Microperforadas de Inserción............................................... 144 7.8. MPPs poliméricos fabricados por infiltración...................................... 149 7.9. Referencias........................................................................................... 157 8. ABSORBENTES MICROPERFORADOS MULTICAPA............................ 159 8.1. Introducción.......................................................................................... 159 8.2. Absorbentes MPP dobles...................................................................... 160 8.2.1. Incidencia normal....................................................................... 161 8.2.2. Incidencia aleatoria..................................................................... 178 8.3. Absorbentes MPP triples...................................................................... 179 8.3.1. Incidencia normal....................................................................... 182 8.3.2. Incidencia aleatoria..................................................................... 187 8.4. Absorbentes híbridos MPP/capa porosa............................................... 189 8.5. Referencias........................................................................................... 197 9. OPTIMIZACIÓN DE ABSORBENTES MULTICAPA................................ 199 9.1. Introducción.......................................................................................... 199 9.2. El recocido simulado............................................................................ 200 9.2.1. El algoritmo de Metropolis........................................................ 203 9.2.2. La estructura del entorno............................................................ 204 9.2.3. El horario de enfriamiento.......................................................... 205 9.2.4. La condición de parada............................................................... 205 9.3. Optimización de un MPP múltiple por recocido simulado................... 206 9.3.1. optimización de un DL-MPP por recocido simulado................. 208

Índice

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9.3.2. Optimización de un TL-MPP por recocido simulado................. 218 9.3.3. Optimización de un DL-MPP/P por recocido simulado............. 223 9.4. Referencias........................................................................................... 226 10. ABSORCIÓN DEL SUELO.......................................................................... 229 10.1. Introducción.......................................................................................... 229 10.2. Propagación de onda esférica sobre suelo absorbente.......................... 229 10.3. Suelo homogéneo................................................................................. 235 10.3.1. Suelo de reacción local............................................................. 235 10.3.1.1. Modelo de impedancia de un solo parámetro............ 236 10.3.1.2. Modelo de impedancia de dos parámetros................ 243 10.3.1.3. Modelos de impedancia de tres parámetros.............. 247 10.3.1.4. Modelos de impedancia de cuatro parámetros.......... 250 10.3.2. Suelo estratificado.................................................................... 253 10.3.3. Suelo de reacción extendida..................................................... 255 10.4. Suelo discontinuo................................................................................. 258 10.4.1. Modelo de de Jong.................................................................... 260 10.4.2. Modelo de Rasmussen.............................................................. 263 10.5. Referencias........................................................................................... 266 11. ABSORCIÓN HÍBRIDA PASIVA-ACTIVA................................................. 269 11.1. Introducción.......................................................................................... 269 11.2. Modelo de onda plana para incidencia normal..................................... 271 11.3. Absorción híbrida para incidencia oblicua........................................... 282 11.4. Resultados experimentales................................................................... 291 11.5. Referencias........................................................................................... 297 12. MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE ABSORCIÓN SONORA................. 299 12.1. Introducción.......................................................................................... 299 12.2. Coeficiente de absorción para incidencia normal................................. 300 12.3. Coeficiente de absorción para incidencia oblicua................................. 304 12.4. Coeficiente de absorción para incidencia aleatoria............................... 320 12.5. Referencias........................................................................................... 324

1. INTRODUCCIÓN 1.1. LA ABSORCIÓN ACÚSTICA El sonido se absorbe por diferentes mecanismos, siendo el más importante la conversión de la energía acústica en calor por disipación visco-térmica. Aunque esta disipación se produce incluso en el aire, es cuantitativamente mucho más importante en el seno de materiales especialmente diseñados para ello, denominados materiales acústicos. Estos materiales se suelen disponer recubriendo la superficie interior de divisorios o de placas. Se habla entonces de absorbentes superficiales. En algunas ocasiones, se disponen de manera que toda su superficie esté en contacto con el campo sonoro, actuando entonces como absorbentes volúmicos (Ingard, 1999). Históricamente, el interés por los materiales acústicos surgió en los años 30, en el contexto del estudio de la reverberación en recintos, aunque los aspectos fundamentales de la absorción sonora ya habían sido tratados en el libro de Teoría del Sonido de Lord Rayleigh a finales del siglo xix (Ingard, 1999). Desde entonces han aparecido libros dedicados exclusivamente a la absorción sonora, como el de Zwikker y Kosten (1954), el de Allard (1993), el de Ingard (1999), o la versión más actualizada de Allard y Atalla (2009). Otros libros incluyen capítulos dedicados al tema, como el de Beranek y Ver (1992), el de Bies y Hansen (1996), el de Fahy (2001), el de Mechel (2002), o el de Cox y D’Antonio (2004). Además, se han publicado cientos de artículos en revistas especializadas. Ingard (1999) incluye una revisión de los trabajos más importantes publicados hasta 1999. Hay aspectos interesantes de la absorción sonora que no se encuentra en los libros anteriormente citados. El objetivo fundamental de este libro es incidir sobre estos aspectos. Estos incluyen: materiales sostenibles (Asdrubali et al., 2013), paneles microperforados sencillos y múltiples (Maa, 1987; 1998), o sistemas absorbentes híbridos pasivo-activos (Cobo et al., 2003; 2004). Además de estos, se incluyen otros temas ya desarrollados en otros libros, como la absorción en el aire, la absorción por materiales porosos, el efecto del suelo en la propagación del sonido (Attenborough et al., 2007), o los métodos de medida del coeficiente de absorción. Más que profundizar en los aspectos teóricos de la absorción del sonido en estos materiales, muy bien tratados en otros libros y artículos, en este libro se pondrá el énfasis en el diseño óptimo de un sistema absorbente para una banda de frecuencias dada.

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1.2. MATERIALES ABSORBENTES Los dispositivos absorbentes son aquellos susceptibles de producir una absorción del sonido alta. Según Colina y Moreno (2005), los materiales absorbentes se pueden clasificar en: • materiales porosos ° de esqueleto rígido ° de esqueleto flexible • resonadores ° simples  de Helmholtz  de membrana  membranas propias  tipo Bekesy ° acoplados  en serie  en paralelo: paneles perforados • m  ateriales mixtos: combinación de los anteriores, constituyen la mayor parte de los materiales comerciales • materiales anecoicos: de variación gradual de las características por variación real o por configuración geométrica Los materiales porosos están constituidos por un esqueleto, que puede ser rígido o flexible, en cuyo seno existen cavidades, más o menos tortuosas, rellenas de aire. Los materiales porosos de esqueleto rígido proporcionan, en general, una absorción mayor que los de esqueleto flexible, por encima de una cierta frecuencia. Los de esqueleto flexible tienen picos de resonancia, y son susceptibles de proporcionar mayor absorción en baja frecuencia (figura 1.1). Los poros pueden ser abiertos o cerrados (figura 1.2). Los materiales de poro abierto absorben más que los de poro cerrado. Según Arenas y Crocker (2010), los materiales porosos pueden ser celulares (por ejemplo, las espumas), fibrosos (por ejemplo, las lanas minerales), o granulares (por ejemplo, las granzas de caucho). Los materiales celulares se pueden modelar mediante una réplica volumétrica de células cúbicas con tubos de conexión, los materiales fibrosos mediante tubos cilíndricos paralelos, y los materiales granulares mediante esferas apiladas. En los absorbentes tipo resonador, la absorción se produce por el bien conocido efecto de resonancia de Helmholtz. Proporcionan una curva de absorción de banda estrecha alrededor de una frecuencia que depende del volumen de la cavidad y de la longitud y sección del cuello del resonador. Los paneles microperforados pueden ser considerados como una distribución de resonadores, compartiendo todos ellos la misma cavidad de aire. Su banda de absorción es, por tanto, más ancha que la de un solo resonador. Para ensanchar aun más la banda de frecuencias de absorción de un sistema microperforado, se pueden disponer diferentes capas de ellos (sistemas multicapa).

Introducción

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material poroso a. Rígido b. Flexible

Resonador Helmholt

Resonador membrana

Panel perforado

Absorbente anecoico

Figura 1.1. Curvas de absorción típicas de algunos materiales absorbentes (Según Colina y Moreno, 2005).

Poros abiertos

Poros abiertos

Figura 1.2. Poros abiertos y cerrados en un material absorbente.

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La propagación del sonido en un medio consiste en variaciones de la presión hidrostática de equilibrio a que está sometido dicho medio. En un medio homogéneo, esta propagación se hace con pérdidas de energía (absorción) muy pequeñas, excepto a distancias muy grandes y frecuencias muy altas. Un medio poroso se caracteriza por una cierta microestructura, donde existen al menos dos fases: la fase sólida, o esqueleto rígido o flexible, y la parte gaseosa, el aire que rellena los poros. La propagación de una onda acústica a través de un medio poroso da lugar a procesos viscosos y térmicos que degradan la energía acústica en calor. La viscosidad regula la transición de la velocidad desde cero (sobre la superficie del esqueleto) hasta la velocidad en campo libre. La distancia de transición entre ambas velocidades se denomina capa límite viscosa (figura 1.3a). La viscosidad es la responsable de que el perfil de velocidad de partículas sea cero en las paredes y máximo en el centro (figura 1.3b).

(a) Capa límite viscosa

(b) Perfil de velocidad en un tubo

Figura 1.3. (a) Capa límite viscosa y (b) perfil de velocidad en un tubo.

El espesor de la capa límite viscosa, dv, es (Ingard, 1999): (1.1)

donde η es la viscosidad dinámica del aire, ρ0 la densidad del aire, y ω=2πf es la frecuencia angular. Así pues, el espesor de la capa límite viscosa es inversamente proporcional a la frecuencia. Para una frecuencia de f=100 Hz, la capa límite viscosa tiene un espesor aproximado de dv=220 μm, mientras que para f=1000 Hz, dv=70 μm. Un modelo muy simplificado de un material fibroso sería una serie de tubos paralelos, figura 1.4. De hecho, Rayleigh ilustraba la absorción sonora estudiando la propagación del sonido en un tubo cilíndrico. La resistencia al flujo, definida como la caída de presión acústica entre las dos caras del cilindro, dividida por la velocidad de partículas media en el mismo, es (Ingard, 1999) (1.2)

Introducción

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siendo d=2a el diámetro del cilindro. La resistividad al flujo de un tubo cilíndrico es inversamente proporcional al diámetro del cilindro (al tamaño de los poros, en un material fibroso).

Figura 1.4. Un material fibroso modelado como una serie de tubos paralelos.

Así pues, la magnitud de los efectos viscosos depende de la frecuencia y de la microestructura de los poros. Las pérdidas térmicas también contribuyen a disipar energía del campo acústico. Una onda acústica que se propaga en un medio libre produce una fluctuación de temperatura isentrópica (adiabática) entre las zonas de compresión (temperatura más alta) y las de rarificación (temperatura más baja). Sin embargo, en un medio poroso, la conductividad térmica de la parte rígida (el esqueleto) es mucho mayor que la de la parte gaseosa (el aire). Esto hace que las fluctuaciones de temperatura cerca de las paredes del esqueleto rígido sean isotermas. La transición desde la condición isoterma cerca de las paredes, hasta la adiabática lejos de ellas, origina una capa límite térmica, con su correspondiente espesor, dt. Según Ingard (1999), el espesor de la capa límite térmica es (1.3)

donde κ es el coeficiente de conductividad térmica del aire, y Cp es el calor específico a presión constante del aire. Así pues, el espesor de la capa límite térmica es del mismo orden que el de la viscosa, y también disminuye con la frecuencia. La estructura de la figura 1.4, aunque bastante simple, es capaz de predecir el comportamiento más elemental de un material poroso. Las estructuras tubulares dan

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lugar a una resistividad, que depende del diámetro de los tubos y de la frecuencia, como consecuencia de la cual hay unas pérdidas visco-térmicas de energía acústica. Existen modelos más sofisticados que tienen en cuenta otros parámetros constitutivos del material, como la porosidad, la tortuosidad, factores de forma, etc. En cualquier caso, la característica acústica más importante de un material absorbente es su curva de absorción como una función de la frecuencia. El coeficiente de absorción de un absorbente superficial se puede predecir si se conoce la impedancia de entrada al sistema. Dicha impedancia de entrada depende de la impedancia acústica compleja del material, de su constante de propagación compleja, y de su espesor. Los modelos de propagación a través de los materiales absorbentes proporcionan estas variables acústicas, que resultan ser funciones de sus parámetros constitutivos (resistividad al flujo, porosidad, tortuosidad, etc.). El objetivo fundamental de este libro es analizar los modelos que proporcionan las variables acústicas de los materiales absorbentes a partir de sus parámetros constitutivos, enfatizando su uso para el diseño óptimo de un sistema absorbente en una determinada banda de frecuencias.

1.3. ORGANIZACIÓN DEL LIBRO La absorción del sonido en el aire tiene una gran importancia en problemas de propagación a distancias grandes y altas frecuencias. En el capítulo 2 se revisará este tema, prestando especial atención a la Norma ISO 9623-1 (1993). Esta Norma nos proporciona una fórmula que permite obtener la atenuación del sonido por absorción como una función de la distancia y del coeficiente de absorción del aire, que depende esencialmente de las condiciones atmosféricas. El coeficiente de absorción depende, además de la frecuencia y de los parámetros constitutivos del material, del ángulo de incidencia sobre su superficie. En el capítulo 3 se definirán los diferentes coeficientes de absorción de interés en aplicaciones de control de ruido. En concreto, el coeficiente de absorción para incidencia normal, α0, y el coeficiente de absorción bajo incidencia oblicua para un absorbente de reacción local, α1, o de reacción volumétrica, α2. Integrando sobre el ángulo de incidencia se obtiene el coeficiente de absorción para incidencia difusa, αd, que equivale al coeficiente de absorción Sabine, αs, de un recinto. En el capítulo 4 se revisan algunos de los modelos de materiales absorbentes porosos. En concreto, los modelos semi-empíricos que proporcionan la impedancia compleja y la constante de propagación compleja como una función del parámetro del absorbente E=ρof/σ, con especial atención a los modelos de Delany y Bazley (1970) y de Allard y Champoux (1992), y los modelos semi-fenomenológicos, como el de fluido equivalente, o Johnson-Champoux-Allard (Allard, 1993; Allard y Atalla, 2009), que requiere, además de la resistividad al flujo, la porosidad, la tortuosidad, y las longitudes características viscosa y térmica. Ya que el coeficiente de absorción de estos sistemas depende de varios parámetros, puede resultar útil representarlo gráficamente como una función de un par de variables adimensionsales que agrupen a varios de dichos parámetros. Se obtienen así las cartas de diseño del material absorbente (Mechel, 1980).

Introducción

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Algunos de los materiales acústicos más usados son susceptibles de desprender partículas que pueden producir irritación de la piel y, si son inhaladas, se pueden depositar en los alveolos pulmonares. En los últimos años han surgido muchos materiales porosos, susceptibles de proporcionar absorción, pero que son fabricados a partir de materiales naturales (fibras de algodón, fibras de coco, fibras de lino, fibras de caña de bambú, etc.) o reciclados (granza de caucho obtenida de los neumáticos fuera de uso). En el capítulo 5 se revisan los modelos que permiten predecir el comportamiento de estos materiales sostenibles como absorbentes sonoros. Los absorbentes basados en resonadores de Helmholtz son unos de los más usados en acústica de la edificación. Como tienen una banda de absorción muy estrecha, se usan fundamentalmente para absorber tonos puros de baja frecuencia. En el capítulo 6 se revisan los modelos que permiten predecir la curva de absorción de sistemas basados en resonadores de Helmholtz. El absorbente acústico que más se parece al modelo elemental esbozado en la figura 1.4 es el basado en paneles microperforados (MPP). Un absorbente MPP consta de un panel con perforaciones de diámetro d, distribuidas sobre un panel de espesor t, con un porcentaje de perforación ϕ, enfrente de una pared rígida, dejando una cavidad de aire de espesor D. Este sistema proporciona una curva de absorción sintonizable en función de los parámetros constitutivos (d,t,ϕ,D). Para predecir su coeficiente de absorción se pueden usar los modelos de Maa (1987; 1998) o fluido equivalente (Atalla y Sgard, 2007). En el capítulo 7 se analizarán estos modelos. La curva de absorción que se puede conseguir con un sistema MPP sencillo tiene un ancho máximo de unas dos octavas. Para ensanchar la curva de absorción se pueden usar sistemas de dos MPPs (DL-MPP) o tres MPPs (TL-MPP). En el capítulo 8 se analizan los modelos que permiten obtener el coeficiente de absorción de estos absorbentes multicapa. También se estudia en este capítulo un diseño híbrido, que combina una capa porosa con dos MPPs (el DL-MPP/P), capaz de producir absorción en hasta cinco octavas. El diseño de un sistema MPP multicapa óptimo es bastante complicado, ya que requiere la sintonización de 4N parámetros, siendo N el número de capas. Por ejemplo, la sintonización de un DL-MPP (TL-MPP) requiere el ajuste de 8 (12) parámetros. Para facilitar el diseño óptimo de un sistema MPP multicapa se propone en el capítulo 9 un procedimiento de optimización basado en el recocido simulado. Los modelos de predicción del coeficiente de absorción propuestos en los capítulos 3-9 están basados todos en un modelo de propagación de onda plana. En los estudios de propagación sonora encima del suelo se usa, sin embargo, un modelo de ondas esféricas (Attenborough et al., 2007). El coeficiente de reflexión de onda esférica contiene, además del coeficiente de reflexión de onda plana, un término denominado onda de tierra. Por lo demás, el coeficiente de reflexión de onda plana se obtiene a partir de la impedancia de entrada al suelo. Como en los capítulos 3-9, esta impedancia de entrada se puede predecir si se conoce la impedancia compleja y la constante de propagación compleja del suelo (para suelos homogéneos) o de cada una de sus capas (para suelos estratificados). En el capítulo 10 se presentan los modelos que permiten predecir el efecto del suelo en la propagación del sonido en espacios abiertos.

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Con cualquiera de los diseños estudiados en los capítulos 3-5 y 7-8 se puede conseguir una curva de absorción con un pico por encima de los 500-600 Hz y un espesor limitado. Si se quiere extender la curva de absorción a frecuencias más bajas es menester incrementar el espesor considerablemente. En la mayor parte de las aplicaciones, la solución ocupa tanto espacio que no es práctica. En este margen de las frecuencias bajas se pueden usar sistemas híbridos pasivo-activos que combinan las prestaciones de la parte pasiva a frecuencias medias y altas, con las de la parte activa a frecuencias bajas (Cobo et al., 2003, 2004). En el capítulo 11 se revisan los fundamentos del funcionamiento del diseño de estos sistemas híbridos, así como su optimización en una determinada banda de frecuencias. Por último, en el capítulo 12 se revisan los diferentes métodos de medida del coeficiente de absorción en incidencia normal (tubo de impedancias), incidencia oblicua (método de reflexión), y en campo difuso (cámara reverberante).

1.4. REFERENCIAS Allard, J. F. y Champoux, Y. (1992). «New empirical equations for sound propagation in rigid frame fibrous materials». J. Acoust. Soc. Am., 91: 3346-3353. Allard, J. P. (1993). Propagation of Sound in Porous Media. Modelling sound absorbing materials. Elsevier Applied Science, London. Allard, J. P. y Atalla, N. (2009). Propagation of Sound in Porous Media. Modelling sound absorbing materials. Second Edition. John Wiley & Sons, Chichester. Atalla, N. y Sgard, J. F., (2007). «Modeling of perforated plates and screens using rigid frame porous models». J. Sound Vib., 303: 195-208. Arenas, J. P. y Crocker, M. J. (2010). «Recent trends in porous sound-absorbing materials». Sound&Vibration, July 2010: 12-17. Asdrubali, F., Schiavoni, S. y Horoshenkov, K. V. (2013). «A review of sustainable materials for acoustic applications». Building Acoustics, 19: 283-312. Attenborough, K., Li, K. M. y Horoshenkov, K., (2007). Predicting Outdoor Sound. Taylor & Francis, London. Beranek, L. L. y Ver, I. L., (1992). Noise and Vibration Control Engineering. Principles and Applications. John Wiley & Sons, New York. Bies, D. A. y Hansen, C.H., (1996). Engineering Noise Control. Theory and Practice. E&FN Spon, Londres. Cobo, P., Fernández, A., y Doutres, O. (2003). «Low frequency absorption using a two-layer system with active control of input impedance». J. Acoust. Soc. Am., 114: 3211-3216. Cobo, P., Pfretszchner, J., Cuesta, M., y Anthony, D. K. (2004). «Hybrid passive-active absorption using microperforated panels». J. Acoust. Soc. Am., 116: 2118-2125. Colina, C. de la y Moreno, A., (2005). Acústica de la Edificación. Fundación Escuela de la Edificación, Madrid. Cox, T. J. y d’Antonio, P. (2004). Acoustic Absorbers and Diffusers. Theory, Design and Application. Spon Press, New York.

Introducción

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Fahy, F., (2001). Foundations of Engineering Acoustics. Academic Press, San Diego. Ingard, U. 1999. Notes in Sound Absorption. Kitteri Point, Maine. ISO 9613-1 (1993). Acoustics- Attenuation of sound during propagation. Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere. The International Standardization Organization, Geneve. Maa, D. Y., (1987). «Microperforated-panel wideband absorbers». Noise Control Eng. J., 29: 77-84. Maa, D. Y., (1998). «Potential of microperforated panel absorber». J. Acoust. Soc. Am., 104: 2861-2866. Mechel, F. P. (1988). «Design charts for sound absorber layers». J. Acoust. Soc. Am., 83: 1002-1013. Mechel, F. P., (2002). Formulas of Acoustics. Springer, Berlín. Zwikker, C. y Kosten, C. W., (1949). Sound Absorption Materials. Elsevier, New York.

2.  ABSORCIÓN EN EL AIRE 2.1. INTRODUCCIÓN La absorción del sonido en el aire es muy sensible a su composición, y en particular, a la concentración muy cambiante de vapor de agua (ISO 9613-1, 1993). El aire está compuesto esencialmente de nitrógeno, oxígeno y dióxido de carbono. Mientras que la concentración molar de estos componentes se mantiene más o menos constante hasta una altitud de 50 km, la concentración de vapor de agua varía en dos órdenes de magnitud desde el nivel del mar hasta los 10 km. El sonido se disipa en el aire por una combinación de mecanismos incluyendo: • Absorción clásica causada por procesos de transporte de la física clásica • Absorción molecular causada por relajación rotacional. • A  bsorción molecular causada por relajación vibracional del oxígeno y del nitrógeno. Los procesos de transporte molecular clásicos dan lugar a disipación viscosa y térmica. La viscosidad en fluidos es una consecuencia de la existencia de tensiones de cizalla. La teoría cinética de gases demuestra que la tensión viscosa es linealmente proporcional a la velocidad de cambio de la tensión de cizalla, siendo el factor de proporcionalidad el denominado coeficiente de viscosidad dinámica (Fahy, 2001). Las tensiones viscosas son esencialmente no conservativas y disipan energía cinética del fluido en calor. El coeficiente de viscosidad dinámica, debido a su origen en el transporte molecular, crece con la temperatura según la ecuación de Sutherland (McInally, 1963). (2.1) donde C=118 es una constante, y T es la temperatura absoluta en °K. Panneton ha propuesto una ecuación polinómica que se aproxima bien a la de Sutherland (2.2) La figura 1 muestra una comparación del resultado de ambas ecuaciones. Como puede verse, ambas curvas casi coinciden, con un ligero exceso de la ecuación de Panneton

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en comparación con la de Sutherland. También podemos destacar que el coeficiente de viscosidad crece casi linealmente con la temperatura, en el margen entre 0 y 40 °C. 1,95 Sutherland Panneton

h (*10-5 Ns m-2)

1,9

1,85

1,8

1,75

1,7

0 5 10 15 20 25 30 35 40

T (ºC)

Figura 2.1. Variación del coeficiente de viscosidad dinámica del aire con la temperatura.

Otro mecanismo de conversión de la energía acústica en calor opera en gases que tienen más de un átomo por molécula. Cuando un gas realiza trabajo por compresión súbita, se incrementa instantáneamente la energía cinética del movimiento traslacional de las moléculas, y como consecuencia, crecen su presión, densidad y temperatura. Parte de esta energía se usa para los movimientos vibracionales y rotacionales de las moléculas, lo que hace disminuir la presión: esto es lo que se denomina relajación. Si la expansión se produce con suficiente rapidez, se pierde una cantidad despreciable de energía traslacional y el trabajo de compresión se puede recuperar completamente en la fase de expansión. Si el ciclo compresión-expansión es suficientemente lento, hay tiempo para que se alcance el equilibrio termodinámico entre los diferentes modos de energía, y el proceso vuelve a ser reversible. Si el periodo de oscilación está entre estos dos casos extremos, parte de la energía sonora se perderá irreversiblemente en energía interna del gas. En consecuencia, el gas no se comportará como perfectamente elástico, sino que tendrá un módulo de compresibilidad complejo, y exhibirá una cierta histéresis conocida como viscoelasticidad, según la cual la presión es una función tanto de la deformación volumétrica como de su derivada temporal (Fahy, 2001). En este caso, las presiones no están completamente en fase con las deformaciones volumétricas. Las ondas sonoras producen gradientes de temperatura entre regiones de presión, densidad y temperatura temporalmente incrementadas y reducidas. Según la teoría

Absorción en el Aire

25

termodinámica, estos gradientes de temperatura dan lugar a difusión del calor en proporción al gradiente y al coeficiente de conductividad térmica del medio. En gases, a las frecuencias de audio, las longitudes de onda son tan grandes comparadas con la distancia promedio recorridas por las moléculas entre las diferentes colisiones (recorrido libre medio), y la conductividad térmica tan baja, que el flujo de calor producido por este proceso de difusión es muy pequeño. Sin embargo, aun siendo tan pequeño, este flujo es irreversible, dando lugar a una cierta disipación de la energía sonora en calor (Fahy, 2001). En el aire, la viscosidad y la difusión térmica producen una pérdida de energía sonora comparable, que crece con el cuadrado de la frecuencia. Como se verá en la sección 2.2, la absorción a la que dan lugar es despreciable a distancias cortas y baja frecuencia. Sin embargo, a distancias grandes, la absorción de las frecuencias altas es tal que el proceso de pérdida de energía sonora se asemeja a un proceso de filtrado paso-bajo. Como se ha comentado antes, la energía traslacional de las moléculas de gases poliatómicos puede ser transferida a otras formas de energía molecular, tales como rotacional o vibracional. Este efecto, que es despreciable en aire seco, se puede ver incrementado por la presencia de moléculas de agua, que altera el tiempo de relajación de las moléculas de nitrógeno y oxígeno de tal forma que la atenuación resultante a las frecuencias de audio llega a ser significativa a frecuencias altas y grandes distancias. Como se verá en la sección 2.2, la atenuación atmosférica, en dB/m, a 20 °C para una humedad relativa del 50 %, es diez veces superior a la correspondiente para el aire seco. La absorción por este proceso de relajación molecular incluso reduce el tiempo de reverberación de grandes espacios, tales como auditorios y cámaras reverberantes, a frecuencias en el rango del kHz (Fahy, 2001). Este efecto es una fuente de discrepancia entre los modelos a escala reducida y los recintos a escala real en modelos de acústica de salas. La absorción del sonido en el aire, resultante de los mecanismos mencionados, se puede predecir usando las ecuaciones recogidas en la Norma ISO 9613-1 (1993).

2.2. NORMA ISO 9613-1 Sea P0 la presión acústica en un determinado punto. La presión acústica a una distancia r en una atmósfera con condiciones uniformes, libre de niebla significativa y de partículas contaminantes (ISO 9613-1, 1993; Attenborough et al., 2007) es (2.3) donde α(f) es el coeficiente de absorción del sonido en el aire. Nótese que la diferencia de niveles de presión sonora entre ambos puntos es (2.4) siendo αa el coeficiente de absorción del aire que se expresa en dB/m y depende, además de la frecuencia, de las variables atmosféricas, pudiéndose calcular, para el caso de tonos puros, con la ecuación

26

Absorción del sonido

(2.5a) con

(2.5b)

(2.5c)

(2.5d)

(2.6)

(2.7)

las frecuencias de relajación del oxígeno y nitrógeno, respectivamente. En las ecuaciones (2.5)-(2.7), pr=101.325 kPa es la presión de referencia del aire, T0=293.15 K (20 °C) es la temperatura del aire de referencia, pa es la presión atmosférica en kPa, T es la temperatura atmosférica en °K, y h es la concentración molar del vapor de agua dada por (2.8) siendo Hr la humedad relativa del aire, y psat la presión de saturación del vapor de agua, cuyo valor es (2.9)

Absorción en el Aire

27

La concentración molar del vapor de agua es el cociente (en tanto por ciento) entre el número de kilomoles del vapor de agua y la suma del número de kilomoles del aire seco y el vapor de agua. Según la ley de Avogadro, la concentración molar del vapor de agua es también el cociente entre la presión parcial del vapor de agua y la presión atmosférica. Para las condiciones atmosféricas que se encuentran usualmente cerca del nivel del mar, h varía entre el 0.2 % y el 2 %. A una altitud de 10 km, h desciende hasta un valor aproximado del 0.01 %. Las ecuaciones (2.5)-(2.9) permiten calcular el coeficiente de absorción del aire como una función de la frecuencia y de las variables atmosféricas presión, temperatura y humedad. La figura 2.2 muestra el coeficiente de absorción del aire, como una función de la frecuencia y de la presión atmosférica, para T=20 °C y para varias humedades relativas. Podemos comprobar que: • El coeficiente de absorción apenas depende de la presión atmosférica. • P  ara una temperatura fija, el coeficiente de absorción crece con la frecuencia y decrece con la humedad relativa. Es decir, para una temperatura fija, un aire seco es más absorbente que uno húmedo. Para un análisis más fino de la dependencia del coeficiente de absorción con la temperatura y la humedad, las figuras 2.3 y 2.4 muestran el coeficiente de absorción del aire, como una función de la frecuencia y de la humedad relativa (y para varias temperaturas), en el primer caso, y como una función de la frecuencia y de la temperatura (y para varias humedades relativas), en el segundo. En ambas figuras la presión atmosférica es constante e igual a 1013 mbar. 105

Hr=10% 0.2

Hr=30%

105

0.15

100

95

0.1

95

0.05

90

0.2

100

Presión atmosférica (mbar)

0.15

90 85 2000 4000 6000 8000 10000

105

0.1 0.05

85

2000 4000 6000 8000 10000

Hr=60%

Hr=90%

105 0.12

100

0.1

0.2

100

0.15

0.08 95 90

0.06 0.04

95 0.1 90

0.05

0.02 85 2000 4000 6000 8000 10000

85

2000 4000 6000 8000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.2. Coeficiente de absorción del aire, en dB/m, para T=20 °C, como una función de la frecuencia y presión atmosférica, para diferentes humedades relativas.

Absorción del sonido

28

Podemos observar que: • P  ara temperaturas muy bajas (-20 °C), el coeficiente de absorción crece con la frecuencia y con la humedad relativa, figura 2.3. • A  temperaturas bajas (5 °C), vemos como hay una humedad relativa media a la que se alcanza la absorción máxima. • L  a tendencia se invierte completamente a temperaturas altas, en donde la absorción crece a medida que decrece la humedad relativa. • S  i mantenemos constante la humedad relativa, vemos que el coeficiente de absorción alcanza un valor máximo a alguna temperatura entre -20 °C y 50 °C, figura 2.4. De hecho, en concordancia con el resultado de la figura 2.4, la temperatura a la que se alcanza la máxima absorción decrece a medida que aumenta la humedad relativa. T=-20ºC

100

100

T=5ºC 0.2

0.04 80

80 0.15

0.03 60

60 0.1

0.02

Humedad relativa (%)

40

40 0.05

0.01 20

20 2000 4000 6000 8000 10000

2000 4000 6000 8000 10000

T=-30ºC

T=50ºC

100

100 0.3

80

0.25 0.2

60

80

0.15 60

0.15 40

0.1 0.05

20 2000 4000 6000 8000 10000

0.2

0.1 40 0.05 20 2000 4000 6000 8000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.3. Coeficiente de absorción del aire, en dB/m, para pa=1013 mbar, como una función de la frecuencia y humedad relativa, para diferentes temperaturas.

Aún cuando la dependencia del coeficiente de absorción del aire con las variables atmosféricas humedad relativa y temperatura es algo más compleja, la dependencia con la frecuencia es mucho más simple: la absorción del aire crece rápidamente con la frecuencia, figura 2.5. La figura 2.6 muestra la atenuación del sonido en su trayecto entre dos puntos del aire separados por r=6.75 m, para T=10 °C y Hr=20 %. Como puede verse, solo a frecuencias altas se obtiene una atenuación reseñable. Esta es la razón por la que los modelos de propagación a distancias cortas no suelen tener en cuenta las pérdidas por absorción en el aire. A distancias más grandes, sin embargo, el efecto puede ser muy importante. La figura 2.7 muestra la atenuación del sonido entre dos puntos separados 2 km, para T=20 °C y Hr=50 %. Como puede verse, en este caso, el sonido de alta frecuencia se atenúa rápidamente.

Absorción en el Aire

50

29 H=10%

40

0.3

40

30

0.25

30

20

0.2

20

10

0.15

10

0

0.1

0

Temperatura (ºC)

-10

H=40%

50

0.05

2000 4000 6000 8000 10000

0.2 0.15 0.1 0.05

-10 2000 4000 6000 8000 10000

H=70% 50

H=100% 0.2

50 40

40 0.15

30

0.15

30 20

20 0.1

10 0

0.05

-10 2000 4000 6000 8000 10000

0.1

10 0

0.05

-10 2000 4000 6000 8000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.4. Coeficiente de absorción del aire, para pa=1013 mbar, como una función de la frecuencia y temperatura, para diferentes humedades relativas. 0.2 Hr = 10% 0.18

Hr = 40% Hr = 70%

0.16

Hr = 100%

aa (dB/m)

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.5. Coeficiente de absorción del aire como una función de la frecuencia para T=20 °C, pa=1013 mbar, y varias humedades relativas.

Absorción del sonido

30

Así pues, el efecto de la absorción del aire en la propagación del sonido a grandes distancias puede simularse por un filtro paso-bajo que atenúa rápidamente las frecuencias medias y altas.

1

DL (dB/)

0.5

0.6

0.4

0.2

0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.6. Atenuación del sonido entre dos micrófonos separados 6.75 m, para T=10 °C, pa=1013 mbar y Hr=20 %. 350

300

250

DL (dB/)

200

150

100

50

0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Frecuencia (Hz)

Figura 2.7. Atenuación del sonido entre dos micrófonos separados 2000 m, para T=20 °C, pa=1013 mbar y Hr=50 %.

Absorción en el Aire

31

2.3. REFERENCIAS Attenborough, K., Li, K .M. y Horoshenkov, K. (2007). Predicting Outdoor Sound. Taylor & Francis, London. Fahy, F. (2001). Foundations of Engineering Acoustics. Academic Press, San Diego. ISO 9613-1 (1993). Acoustics- Attenuation of sound during propagation. Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere. The International Standardization Organization, Geneve. McInally, M., (1963). «Variation of air density with temperature». Am. J. Phys. 31:732-733.

3.  COEFICIENTE DE ABSORCIÓN 3.1. INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 se analizó el coeficiente de absorción del sonido en el aire, como una consecuencia de procesos disipativos viscotérmicos. En este capítulo estudiaremos el coeficiente de absorción del sonido en la interfaz entre dos medios. Dicho coeficiente de absorción está determinado por la impedancia de cada uno de los medios. Se define la impedancia acústica específica como el cociente entre la presión acústica y la velocidad de partículas. En el caso de que hablemos de la impedancia en la frontera de un medio, hay que considerar la componente de la velocidad de partículas perpendicular a la superficie de dicha frontera. Además de la impedancia y la frecuencia, el coeficiente de absorción en la interfaz entre dos medios depende del ángulo de incidencia. En el caso de incidencia oblicua, se debe distinguir entre medios de reacción local o volumétrica (Fahy, 2001; Mechel y Ver, 1992). En los absorbentes de reacción local, la absorción del sonido en la dirección del plano de la interfaz está prohibida. Ejemplos de absorbentes de reacción local son las capas porosas particionadas, los resonadores de Helmholtz con volumen particionado, o las capas de nido de abeja. En este caso, la velocidad de partículas en la interfaz depende solamente de la presión sonora local en el punto de incidencia. En un medio absorbente de reacción volumétrica, tal como una capa porosa con una capa de aire detrás, es posible la propagación del sonido en la dirección paralela al plano de la interfaz. En este caso, la velocidad de partículas en la interfaz depende no solo de la presión acústica local sino también de la distribución de presión sonora en todo el volumen de absorbente. Fahy (2001) proporciona otra explicación de la absorción para algunos materiales absorbentes de reacción local. En dichos materiales es razonable pensar que la velocidad de partículas asociada a una onda sonora incidente en un punto está relacionada solamente con la presión sonora local, siendo, por tanto, independiente de la forma del campo de ondas incidentes. Es por eso que en los materiales acústicos de reacción local, la interfaz puede ser caracterizada por una impedancia acústica específica única. En términos prácticos, la impedancia acústica en un medio de reacción local es independiente del ángulo de incidencia, siendo igual a la impedancia acústica específica en dirección normal a la interfaz. El sonido se propaga en este medio en la dirección perpendicular a la superficie, figura 3.1.

Absorción del sonido

34

Reacción local θ0

θ1

Reacción volumétrica

Figura 3.1. Absorbentes de reacción local y volumétrica.

En el caso de un medio de reacción volumétrica, la impedancia depende del ángulo de incidencia, y el sonido se propaga según la dirección especificada por la ley de Snell (3.1) donde k0 y k1 es el número de onda en cada medio, y θ0 y θ1 son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente.

3.2. COEFICIENTE DE ABSORCIÓN PARA INCIDENCIA NORMAL Considérese una onda plana incidente en dirección perpendicular en la interfaz entre dos medios de impedancias acústicas Z0 y Z1, y números de onda k0 y k1. Las presiones acústicas incidente y reflejada son (3.2)

Coeficiente de Absorción

35

La presión acústica total en la interfaz (x=0), será, por tanto, (3.3) Y la velocidad de partículas correspondiente en la dirección normal será (3.4) La impedancia a la entrada del medio absorbente será entonces (3.5) De aquí, el coeficiente de reflexión en la interfaz será (3.6) La componente normal de intensidad de la onda plana incidente será (3.7) Y la de la componente normal de la intensidad de la onda plana reflejada será (3.8) El coeficiente de absorción en dirección normal será entonces (3.9) Esta es una de las ecuaciones más importantes en el diseño de materiales absorbentes, pues establece que el coeficiente de absorción puede obtenerse si se calcula el coeficiente de reflexión, el cual depende exclusivamente del contraste de impedancias entre los dos medios. La ecuación (3.9) nos dice que el coeficiente de absorción es el complementario del módulo del coeficiente de reflexión de onda plana al cuadrado. Por tanto, máxima absorción requiere mínima reflexión. Según la ecuación (3.6), para que el coeficiente de reflexión sea cero es necesario que el segundo medio tenga la misma impedancia que el medio incidente. En el caso concreto del aire, un medio absorbente ideal debería tener una impedancia acústica adaptada a la impedancia del

Absorción del sonido

36

aire, que es real. Como la impedancia del absorbente es una magnitud compleja, esto se puede conseguir, generalmente, solo en una determinada banda de frecuencias. Sea (3.10) La parte real de la impedancia se denomina resistencia acústica, y la parte imaginaria se denomina reactancia acústica. Pues bien, un absorbente ideal tiene que tener una resistencia lo más próxima a Z0=411 kg m-2 s-1, y una reactancia lo más próxima a cero.

3.3. COEFICIENTE DE ABSORCIÓN EN INCIDENCIA OBLICUA Considérese la interfaz plana entre dos medios homogéneos de impedancias Z0 y Z1, y números de onda k0 y k1, figura 3.2. y

θ0

θ1 x

θ0

Z0, K0

Z1, K1

Figura 3.2. Incidencia oblicua de onda plana en una superficie plana.

Sean k0x=k0 cosθ0 y k0y=k0sinθ0 las componentes del número de onda en las direcciones perpendicular y tangencial a la superficie, respectivamente, en el medio incidente, y k1x=k1 cosθ1 y k1y=k1sinθ1 las componentes del número de onda en las

Coeficiente de Absorción

37

direcciones perpendicular y tangencial a la superficie, respectivamente, en el medio transmitido. Las presiones acústicas incidente y reflejada son (3.11)

La presión acústica total en la interfaz (x=0), será, por tanto, (3.12) Y la velocidad de partículas correspondiente en la dirección normal será (3.13) La presión acústica transmitida será (3.14) y la componente normal de la velocidad de partículas será (3.15) En la interfaz x=0 (3.16) y (3.17) De la continuidad de la presión acústica y de la componente normal de la velocidad de partículas en la interfaz (3.18)

Absorción del sonido

38

resultando (3.19a) que es el coeficiente de reflexión en incidencia oblicua para un medio de reacción volumétrica. Los ángulos de incidencia y transmisión está relacionados por la Ley de Snell (Brekhovskikh, 1980) (3.20) El ángulo de transmisión puede ponerse entonces como

Como vemos, el ángulo de propagación en el medio transmitido depende del cociente entre las velocidades de propagación en ambos medios. En general, c1>c0, por lo que θ1>θ0. Por lo tanto, el ángulo de transmisión es, en general, mayor que el ángulo de incidencia. En este caso, hay un ángulo a partir del cual hay reflexión total, dado por θal=asin (c0/c1). Este es el caso que se da en la transmisión de sonido desde el aire al agua. El cociente de velocidades en este caso es c0/c1=0.23 y el ángulo límite para reflexión total es de unos 13.2°. Para un medio de reacción local, como θ1=0, cos θ1=1 (3.19b)

Una vez calculado el coeficiente de reflexión, el coeficiente de absorción se obtendría, como en el caso de incidencia normal, de la ecuación (3.9). Nótese que un material que esté adaptado para producir máxima absorción en incidencia normal (resistencia próxima a ρ0c y reactancia próxima a cero), no tiene porqué comportarse igual a incidencia oblicua, ya que para cada ángulo la impedancia del medio incidente cambia como Z0/cosθ0.

3.4. COEFICIENTE DE ABSORCIÓN DE UNA CAPA ANISÓTROPA Si el material es isótropo, las propiedades acústicas en incidencia oblicua son las mismas que en incidencia normal. Gran parte de los trabajos encontrados en la literatura tratan a los materiales absorbentes como isótropos. Sin embargo, las propiedades de los materiales no son las mismas en la dirección del plano del material que

Coeficiente de Absorción

39

en la dirección perpendicular. Pyett (1953) caracterizó a los materiales absorbentes anisótropos para incidencia oblicua. Allard (1993) también incluye esta formulación en su libro. Las propiedades acústicas de un material absorbente pueden ser expresadas en términos de una impedancia acústica específica, Za, y de una constante de propagación también compleja, Γa. Estas están relacionadas con la densidad dinámica, ρ, y el módulo de compresibilidad dinámico, K, por (3.21)

Un medio de propagación se puede caracterizar entonces por dos de estas cuatro variables. Una onda plana en la dirección x viene dada por (3.22)

Es usual escribir Γa=ζ+jβ, donde ζ es la constante de atenuación, y β es la constante de fase. En el aire, β=2π/λ=k0. En un medio anisótropo, ρ, y posiblemente K, dependerán de la dirección de u, de modo que ambas variables serán tensores. Si los tensores ρ y K son simétricos y tienen los mismos ejes principales (lo cual es de esperar, ya que ambas magnitudes deben su anisotropía a la anisotropía de la microestructura geométrica del material), entonces ambos tensores son diagonales referidos a estos ejes. En este caso se obtiene la ecuación de ondas (3.23)

Definiendo

y

, la ecuación de ondas es (3.24)

y la velocidad de volumen (3.25)

Absorción del sonido

40

Se pueden definir ondas planas en cada una de las direcciones de los ejes principales, mediante (3.26)

Para otro tipo de ondas, en general, la dirección de u no tiene que coincidir necesariamente con la dirección de propagación. Calculemos ahora la impedancia de entrada a una capa de material poroso, de espesor d, figura 3.3. Si la onda plana forma un ángulo δ con el eje y, y k0 es el número de onda en el aire, la suma de presiones en el medio de incidencia será (despreciando la componente eiwt) (3.27) y la onda transmitida (3.28)

Z

θ

X δ

y

X=d

X=0

Figura 3.3. Una onda plana incidiendo oblicuamente en una capa de material absorbente.

Coeficiente de Absorción

41

De acuerdo con las ecuaciones (3.25) y (3.26) (3.29) y (3.30) La continuidad de la presión acústica en la interfaz x=0 requiere que (3.31)

En x=d, ux=0. Por tanto (3.32) La impedancia acústica específica de entrada a la capa (en x=0) es (3.33)

donde q, de las ecuaciones (3.29) y (3.31) es (3.34)

En incidencia normal, θ0=0, q=Γa, y la ecuación (3.34) se reduce a (3.35) Para una capa de aire, la ecuación (3.35) se simplifica a (3.36)

Absorción del sonido

42

En un medio isótropo, Γx=Γy=Γz=Γa, y (3.37)

que es lo que Mechel (1988) define como Γacosθ1, siendo θ1 el ángulo de refracción en la capa de material absorbente. Siempre se puede definir un ángulo de refracción tal que (3.38) Si no existe absorción, ζ=0, y Γy=ik1. Entonces el ángulo de refracción es real y tenemos la ley de Snell. Cuando existe absorción, el ángulo de refracción es complejo, y la onda plana se dice que es inhomogénea. Es decir, el conjunto de puntos de igual fase no ha de ser paralelo a la superficie del material, mientras que el conjunto de puntos de igual amplitud si lo es (Pyett, 1953). En los materiales absorbentes tipo lanas de roca y de vidrio, las fibras suelen estar aleatoriamente distribuidas en el plano de la superficie. Es razonable asumir entonces que Γy=Γz=Γp. Si definimos Γx=Γn, la constante de propagación en la dirección perpendicular a la superficie del material es entonces (3.39)

Conocida la impedancia de entrada, se puede calcular el coeficiente de reflexión de onda plana usando la ecuación (3.19a), para una capa de reacción volumétrica, o la ecuación (3.19b) para una capa de reacción local. Obviamente, el modelo de reacción local simplifica mucho los cálculos del coeficiente de reflexión. El coeficiente de absorción se obtendría entonces usando la ecuación (3.9).

3.5. COEFICIENTE DE ABSORCIÓN DE UN MEDIO ESTRATIFICADO En la sección 3.4 se ha asumido que la onda plana incide sobre un medio homogéneo. Un caso muy común es que el medio de transmisión sea estratificado. La figura 3.4 muestra un medio con N capas, cada una de ellas con espesor dn, impedancia acústica específica compleja Zn y constante de propagación compleja Γn. La impedancia y número de onda en el medio de incidencia son Z0 y k0, respectivamente. Los correspondientes valores del medio de transmisión son ZN y kN. La onda plana incide con ángulo θ0 y se transmite con ángulo θN+1. Estableciendo condiciones de continuidad de las presiones acústicas y de las componentes normales de la velocidad de partículas se puede obtener una relación de

Coeficiente de Absorción

43

recurrencia entre diferentes variables acústicas de cada una de las capas. Por ejemplo, Brekhovskikh (1980) obtiene una relación de recurrencia entre las impedancias de entrada a las capas, mientras que Mechel (1988) obtiene una relación tal entre los coeficientes de reflexión en cada una de las interfaces. Asumiendo que la interfaz última es una pared rígida (es decir, ZN+1=∞, RN=1), entonces Mechel (1988) proporciona la relación (3.40)

θN+1

θ0 θ0

Z0, K0

Z1, Γ1, d1

Z2, Γ2, d2

ZN, ΓN, dN

ZN+1, KN+1

Figura 3.4. Onda plana incidiendo sobre un medio estratificado.

con

(3.41)

La relación de recurrencia de la ecuación (3.40), para una pared rígida, empieza con RN=1. Wn en la ecuación (3.41) es la componente normal de la impedancia de cada una de las capas. En la interfaz de entrada W0=Z0/cos θ0. La segunda de las ecuaciones (3.41) es la Ley de Snell en cada una de las interfaces. Usando esta ley de Snell, se puede poner la impedancia en cada capa como

44

Absorción del sonido

(3.42) La tercera de las ecuaciones (3.41) representa el espesor acústico de cada capa, y usando la ley de Snell, puede ponerse también como (3.43) Las relaciones de recurrencia (3.40)-(3.43) permiten obtener el coeficiente de reflexión en la primera interfaz del sistema, una vez que se conocen las impedancias, constantes de propagación y espesores de cada una de las capas. El coeficiente de absorción se obtendría entonces usando la ecuación (3.9). Una formulación matricial elegante del problema de la propagación de ondas planas en medios estratificados puede ser encontrada en Allard y Atalla (2009).

3.6. COEFICIENTE DE ABSORCIÓN EN CAMPO DIFUSO Un campo acústico difuso se caracteriza porque en cualquier punto existen ondas sonoras en todas las direcciones con igual probabilidad. Ya que los absorbentes se usan generalmente para revestir paredes y techos de recintos, es interesante calcular el coeficiente de absorción de una superficie recubierta con un material absorbente para incidencia difusa. Se asume que en cada punto de la superficie inciden ondas planas incorreladas desde cualquier dirección de un semi-espacio, figura 3.5.

Figura 3.5. Superficie de integración en un campo semi-difuso.

Coeficiente de Absorción

45

La intensidad sonora normal en el punto de incidencia es (Fahy, 2001) (3.44) donde es la presión cuadrática media en el campo difuso y θ es el ángulo de incidencia en la superficie. La potencia total absorbida por unidad de área en la superficie es la integral de esta cantidad sobre todos los ángulos de incidencia, es decir (3.45)

La potencia total incidente es ción de potencia sonora en campo difuso será

, así que el coeficiente de absor-

(3.46)

Ya que la forma de α(θ) depende de que la superficie sea de reacción local o volumétrica, el coeficiente de absorción en campo difuso también depende de esta condición. Ingard (1999) usa la notación α0, α1 y α2 para denotar los coeficientes de absorción en incidencia normal, de absorción difusa con reacción local, y de absorción difusa con reacción volumétrica, respectivamente. Para ilustrar la diferencia entre cada uno de estos coeficientes de absorción, consideremos un sistema compuesto por un velo rígido, de impedancia normalizada z=Z/Z0, sobre una capa de aire de espesor L. La impedancia de entrada normalizada, zi=Zi/Z0, a este sistema será (3.47)

el coeficiente de reflexión será (3.48) El coeficiente de absorción será α(θ0) = 1 – |R(θ0)|2, y el coeficiente de absorción en incidencia difusa será el proporcionado por la ecuación (3.46). Las Figuras 3.6-3.8 muestran los coeficientes de absorción en incidencia normal y difusa, como una función de L/λ, para tres valores de la resistencia normalizada del velo rígido, z. Como es de esperar, el pico de absorción en incidencia normal se produce para el caso z=1, ya que la resistencia acústica del velo está completamente adaptada a la del aire.

Absorción del sonido

46 1 0.9 0.8

α0 α1 α2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 10-2 10-1 100

L/λ

Figura 3.6. Coeficientes de absorción de un velo rígido sobre capa de aire, para z=1.

1 0.9 0.8

α0 α1 α2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 10-2 10-1 100

L/λ

Figura 3.7. Coeficientes de absorción de un velo rígido sobre capa de aire, para z=2.

Coeficiente de Absorción

47

1 0.9 0.8

α0 α1 α2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 10-2 10-1 100

L/λ

Figura 3.8. Coeficientes de absorción de un velo rígido sobre capa de aire, para z=4. 1 0.9

α0 α1

0.8

α2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 101 102 103

104

Frecuencia (Hz)

Figura 3.9. Coeficientes de absorción de banda estrecha de un velo rígido, con z=1, sobre capa de aire de L=10 cm.

Absorción del sonido

48

•

E  l coeficiente de absorción en incidencia normal está por encima de los correspondientes coeficientes de absorción en campo difuso para el caso z=1. En los casos z=2 y z=4 se obtiene una absorción mayor en campo difuso con el absorbente de reacción local (por ejemplo, compartimentando la capa de aire con un nido de abeja). E  n todos los casos, la curva de absorción en campo difuso y reacción extendida, está desplazada hacia las frecuencias altas.

•

1 0.9 0.8

α0 α1 α2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 102 103

Frecuencia (Hz)

Figura 3.10. Coeficientes de absorción en bandas de tercio de octava de un velo rígido, con z=1, sobre capa de aire de L=10 cm.

Las figuras 3.6-3.8 mostraban los coeficientes de absorción en bandas de frecuencia estrecha. Otras veces conviene conocer dichos coeficientes de absorción en bandas proporcionales. Los promedios dentro de cada banda proporcional se llevan a cabo mediante (3.49)

(3.50) siendo fc la frecuencia central de la banda, N el orden de la banda (N=1 para octavas, N=3 para tercios de octava, etc.), y Δf es el intervalo de frecuencias del espectro de

Coeficiente de Absorción

49

banda estrecha. Las figuras 3.9-3.11 muestran los distintos coeficientes de absorción del sistema anterior con z=1 y L=10 cm, en banda estrecha, tercios de octava y octavas, respectivamente. Nótese que: • C  omo antes, el coeficiente de absorción para incidencia normal es mayor en el máximo que los de incidencia difusa, ya que z=1. También, el coeficiente de absorción para campo difuso en reacción volumétrica está desplazado hacia las altas frecuencias. • L  a integración del coeficiente de absorción en bandas de frecuencia proporcionales suaviza las curvas, sobre todo en la parte de alta frecuencia. 1 0.9

a0 a1

0.8

a2

0.7 0.6

α

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 102 103

Frecuencia (Hz)

Figura 3.11. Coeficientes de absorción en bandas de octava de un velo rígido, con z=1, sobre capa de aire de L=10 cm.

3.7. ABSORBENTES VOLUMÉTRICOS Generalmente, los velos acústicos con cavidad de aire se usan revistiendo paredes y techos. En este caso, la presión sonora a ambos lados del velo están correladas, ya que la presión en la parte trasera del velo resulta de la reflexión en la pared rígida, lo que hace posible la estructura resonante de su curva de absorción. Los velos acústicos pueden disponerse también suspendidos del techo, o en una mampara lejos de cualquier pared, en cuyo caso son absorbentes volumétricos. Asumiendo un velo de dimensiones grandes comparadas a la longitud de onda, se puede despreciar la difracción. Asumiendo un campo difuso, los

Absorción del sonido

50

campos de presiones a ambos lados del velo están incorrelados, y podemos poner (Ingard, 1999).

(3.51)

siendo z=Z/Z0 la impedancia específica normalizada y θ0 el ángulo de incidencia. 1

τ2 R2 α0

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

z

Figura 3.12. Coeficientes de absorción, reflexión y transmisión en incidencia normal de un velo rígido.

La figura 3.12 muestra los coeficientes de absorción, reflexión y transmisión en incidencia normal de un velo rígido, como una función de la impedancia específica normalizada. El coeficiente de absorción tiene un valor máximo de 0.5 para una impedancia normalizada de 2. Los coeficientes correspondientes de reflexión y transmisión tienen ambos un valor de 0.25 para z=2. En estas circunstancias, la mitad de la potencia incidente es absorbida y la otra mitad se reparte a partes iguales en potencias reflejada y transmitida. Estos resultados en incidencia normal son válidos para cualquier ángulo de incidencia si se sustituye z por z cos θ0.

Coeficiente de Absorción

51

3.8. REFERENCIAS Allard, J. F. (1993). Propagation of sound in porous media. Modelling sound absorbing materials. Chapman&Hall, London. Allard, J. F. y Atalla, N. (2009). Propagation of sound in porous media. Modelling sound absorbing materials. 2nd Edition. John Wiley & Sons, Chichester, West Sussex. Brekhovskikh, L. M. (1980). Waves in Layered Media. Academic Press, New York, USA. Fahy, F. (2001). Foundations of Engineering Acoustics. Academicc Press, San Diego. Ingard, U. (1999). Notes on Sound Absorption. Kittery Point, Maine. Mechel, F. P. (1988). «Design charts for sound absorber layers». J. Acoust. Soc. Am., 83: 1002-1013. Mechel, F. P. y Ver, I. L. (1992). «Sound-absorbing materials and sound absorbers». En Noise and Vibration Control Engineering (L. L. Beranek y I. L. Ver, Eds.), Chapter 8, John Wiley & Sons, New York. Pyett, J. S. (1953). «The acoustic impedance of a porous layer at oblique incidence». Acustica, 3: 375-382.

4.  MATERIALES POROSOS 4.1. INTRODUCCIÓN El uso de materiales porosos para incrementar el aislamiento a ruido aéreo de paramentos multicapa, o para reducir la reverberación en recintos, es bien conocido en Acústica. En este capítulo, estamos interesados en las características absorbentes de tales materiales. Estos materiales se denominan porosos y, como se vio en el capítulo 1, pueden subdividirse en celulares, fibrosos o granulares. Entre los más conocidos tenemos las lanas de vidrio, las lanas de roca, y las espumas de material plástico. Cuando se usan en la edificación, las lanas de vidrio y de roca resisten además temperaturas más altas. Hoy en día, las lanas de vidrio y de roca se incluyen en la denominación común de lanas minerales. La fabricación de las lanas de vidrio y de roca es muy similar. Se parte de componentes constitutivos mezclados con materiales aglutinantes. La composición se funde en un horno. La mezcla fundida pasa después por un proceso de fibrado y de polimerización de la resina, que confiere rigidez a los productos. El resultado es un material con alto contenido en aire (muy poroso), de densidad muy variable, y con unas características acústicas muy interesantes. En la literatura se pueden encontrar modelos de propagación en materiales porosos semi-empíricos, semi-fenomenológicos y micro-estructurales (Garai y Pompoli, 2002). Los modelos micro-estructurales toman en consideración la estructura del medio y resuelven en él la ecuación de ondas. Gran parte de los modelos de este tipo son variaciones del modelo de Biot (1956). Recientemente, se están aplicando técnicas de elementos finitos para resolver las ecuaciones resultantes del modelo de Biot (Dazel et al., 2002; Bermúdez de Castro et al., 2002). Los modelos semi-empíricos se basan en el ajuste de la constante de propagación y de la impedancia acústica característica a datos medidos experimentalmente.

4.2. MODELOS DE IMPEDANCIA SEMI-EMPÍRICOS Un material fibroso se puede caracterizar físicamente por su porosidad, tamaño medio de las fibras, y resistividad al flujo. La porosidad es la relación que existe entre el volumen de poros y el volumen total de material (Beranek y Ver, 1992)

Absorción del sonido

54

(4.1) donde ρA es la densidad del material poroso absorbente y ρM es la densidad del esqueleto. El tamaño de las fibras se suele caracterizar dando su diámetro y su longitud medios. Por ejemplo, las lanas de vidrio suelen tener diámetros que oscilan entre 1 y 10 μm, siendo 2-5 μm su diámetro medio. Las fibras de poliéster, sin embargo, tienen diámetros que oscilan entre 18 y 48 μm, asumiéndose un diámetro medio de 33 μm, y una longitud media de 55 μm (Garai y Pompoli, 2002). La resistividad al flujo de una capa porosa es el cociente entre la caída de presión y la velocidad promedio del flujo a través de la capa. La resistividad es la resistencia por unidad de longitud, es decir (4.2) La resistividad al flujo se mide en rayls mks/m o N s /m4. Existe una relación entre la resistividad al flujo, diámetro medio de las fibras y densidad aparente del material (4.3) donde K1 y K2 son constantes que dependen del tipo de material. La Tabla 4.1 muestra el valor de las constantes K1 y K2 para algunos materiales. TABLA 4.1. VALORES DE LAS CONSTANTES K1 Y K2 PARA ALGUNOS MATERIALES K1

K2 x 10-9

Referencia

Lanas minerales

1.53

3.18

Bies y Hansen (1980)

Poliéster

1.404

28.302

Material

Garai y Pompoli (2002)

De acuerdo con la ecuación (4.3), la resistividad al flujo: • A  umenta con la densidad aparente del material. • D  isminuye con el tamaño medio de las fibras. Un material fibroso es esencialmente anisótropo. Las fibras se suelen distribuir de forma aleatoria en el plano de la plancha de material, por lo que sus características acústicas (la resistencia al flujo, por ejemplo) son distintas en la dirección perpendicular y en la dirección paralela al plano de la plancha. Algunos modelos toman en cuenta esta anisotropía, distinguiendo entre incidencia normal e incidencia oblicua (Allard, 1993). Muchos otros, sin embargo, consideran que a las frecuencias de interés, las longitudes de onda que se manejan son mucho mayores que el tamaño de las fibras, y aplican el mismo modelo en incidencia normal y oblicua (Delany y Bazley, 1970; Mechel, 1988).

Materiales Porosos

55

4.2.1. Ecuaciones semi-empíricas Resultados experimentales han demostrado que, cuando se usa la variable adimensional E=ρof/σ, como eje de abscisas, todos los datos de absorción colapsan en la misma curva, Mechel y Ver (1992). E también se denomina parámetro del absorbente poroso (Mechel, 2002). Casi todos los modelos semiempíricos usan la variable adimensional E como la variable independiente en las ecuaciones de ajuste. Consideremos pues un medio absorbente caracterizado por una impedancia acústica normalizada y una constante de propagación normalizada dadas por

(4.4)

donde Zo y ko son la impedancia acústica característica y el número de onda en el aire que rellena los poros del material absorbente. La mayor parte de los modelos semiempíricos usan las siguientes ecuaciones de regresión (4.5) donde las constantes ci dependen del tipo de material. La Tabla 4.2 resume el valor de estas constantes para distintos tipos de materiales. TABLA 4.2. RESUMEN DE LOS COEFICIENTES DE LAS ECUACIONES DE REGRESIÓN EN MATERIALES POROSOS Modelo

Delany y Bazley (1970)

Dunn y Davern (1986)

Wu (1988)

Garai y Pompoli (2002)

Material

Lanas minerales

Espumas poro abierto

Espumas poro abierto

Fibras de poliéster

Validez

0.01