A Guide to Econometric Methods

Citation preview

      !

   

   !


  





 

 
 
  






 
  


 
   


 

     

 
  
  




 
   
 
 

 
 
   

 
  




 






  


 
 


  

  

  

 
 
   
  

 


 

     
  
     
!"#$
 
 

 
 % 
"


&
' 


' ( 
($

  )*+
,
$ 
#
- 
 
.*
/#%
0 
1 (
  
*23)

)

!%4*+)*
$ 

!   #

 







    
5
 
%
#
06  
5
*+*7
% 
"


&
' 


' ( 
($ 
 

ÇNDEKLER TABLOSU 1.

TEMEL STATSTK KONULARI.........................................................................................5 KORELASYON ANALZ ...................................................................................................5

1.1. 1.1.1.

Sürekli deiken-sürekli deiken (Continuous-Continuous) ................................................6

1.1.2.

Sürekli deiken-snfl ölçek (Continuous- Nominal) ..........................................................6

1.1.3.

Sürekli deiken- sral ölçek (Continuous-Ordinal) ............................................................6

1.1.4.

Sral Ölçek –Sral Ölçek (Ordinal –Ordinal) ......................................................................6

1.1.5.

Sral Ölçek- Snfl ölçek (Ordinal- Nominal) ......................................................................7

1.1.6.

Snfl Ölçek-Snfl Ölçek (Nominal-Nominal) ....................................................................7

1.2.

HANG ÖLÇEKTE HANG UYGULAMA KULLANILIR ...............................................7

1.3.

YAPISAL ETLK MODELLEMESNE GR ...............................................................9

1.3.1.

Arac Deiken ve Düzenleyici Deiken......................................................................... 10

2.

GÖRÜNÜTE LKSZ REGRESYONLAR ..................................................................... 11

3.

NTEL TERCH MODELLER............................................................................................. 16

3.1.

DORUSAL OLASILIK MODELLER ........................................................................... 16

3.2.

KL TERCH MODELLER ........................................................................................... 17

3.2.1.

Katsaynn Yorumlanmas............................................................................................... 19

3.2.2.

Uyum yilii Ölçütleri .................................................................................................... 20

3.2.3.

Modelin Anlamll Testi le ilgili statistikler ............................................................... 21

3.2.4.

Lojistik Regresyon Modelinin Uygunluunun Deerlendirilmesi .................................. 22

3.2.5.

Lojistik Regresyon Analizinde liki Ölçümü ................................................................. 24

3.3. 3.3.1.

ÇOKLU TERCH MODELLER ........................................................................................... 24 Multinomial Logit Model .................................................................................................... 25

3.3.1.1.

Olaslklar .................................................................................................................... 27

3.3.1.2.

Marjinal Etkiler ........................................................................................................... 28

3.3.1.3.

Multinomial Logit Modelinin Tahmini ....................................................................... 29

3.3.1.4.

likisiz Alternatiflerin Bamszl Varsaym ...................................................... 29

3.3.1.5.

Benzerlik Oran (LR) Testi ........................................................................................ 30

3.3.1.6. 3.3.2. 3.3.2.1. 3.3.2.2. 3.3.3.

Uyum yilii Ölçüleri ................................................................................................. 31 Sral Logit (Ordered Logit) Modeller .............................................................................. 31 Olaslklar .................................................................................................................... 34 Fark Oran ................................................................................................................... 34 Sral Logit Modelinin Tahmini ...................................................................................... 35

1

3.3.3.1.

Belirlenme Hatas Testi ............................................................................................... 36

3.3.3.2.

Uyum yilii Ölçüleri ................................................................................................... 36

4.

DURAANLIK VE BRM KÖK SINAMALARI ................................................................ 38

4.1.

SAHTE REGRESYON ....................................................................................................... 38

4.2.

DURAANLIK ................................................................................................................... 38 Duraan Olmayan Süreçler............................................................................................. 40

4.2.1. 4.2.1.1.

Rassal Yürüyü Süreci ................................................................................................. 40

4.2.1.2.

Trend Duraan Süreç, Fark Duraan Süreç .............................................................. 41 Duraanln Saptanmas ................................................................................................ 42

4.2.2.

Otokorelasyon Katsays .............................................................................................. 43

4.2.2.1.

Birim Kök Snamalar ..................................................................................................... 45

4.2.3. 4.2.3.1.

DF Snamas ................................................................................................................. 46

4.2.3.2.

ADF Snamas .............................................................................................................. 48

4.2.3.3.

PP Snamas ................................................................................................................. 49

4.2.3.4.

ERS (DF-GLS) Snamas ............................................................................................. 50

4.2.3.5.

Ng Perron Snamas ..................................................................................................... 50

4.2.3.6.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ve Shin (KPSS) Snamas ......................................... 51

4.3.

PANEL BRM KÖK SINAMALARI ................................................................................ 54

4.3.1.

Panel Veri Ekonometrisine Genel Bir Bak ................................................................... 54

4.3.1.1.

Tek Yönlü Hata Bileenli Regresyon Modeli .............................................................. 55

4.3.1.1.1.

Sabit Etkiler Modeli ....................................................................................................... 56

4.3.1.1.2.

Rassal Etkiler Modeli..................................................................................................... 56

4.3.1.2.

Hausman Testi ............................................................................................................. 57

4.3.2. 4.3.2.1.

Panel Birim Kök Testleri ................................................................................................. 58 Yatay Kesit Bamll ................................................................................................ 59

2

ÖNSÖZ Günümüzde ekonometri uygulamalarnn bir paket programda nasl yaplacan anlatan bir belgeye ulamak çok zor deil. Bu güzel gelimenin dourduu sorun ise yaplan uygulamann kuramn ve mantn anlamadan uygulamaya geçilmesi. Bu nedenle de hatal ve eksik yorumlamalar yaplmas. Örnein, bu kitabn en büyük ksmn içeren birim kök snamalar konusunda; snama için tahmin edilen modelde baml deikenin önünde neden delta (') bulunduu, daha bilinçli bir yaklamla neden baml deikenin farknn alnd daha da bilinçli bir yaklamla neden iki tarafn farknn alnd, baz aratrmalarda aratrmacnn yorumlarndan anlalaca üzere, uygulamac tarafndan bilinmiyor. Hatta baz çalmalardaki test sonuçlarna yaplan yorumlardan anlalan, bir model tahmin edilip oradaki katsayya anlamllk testi yapld bile bilinmiyor. Ayrca birçok akademisyenin yapt herhangi bir uygulamann amacn ya da mantn sorduumda; “LISREL’de uraya tklyorsun u pencerede u deer çkyor…”, “SPSS’de u ikona basyorsun..” eklinde anlatmas ya da “AMOS program yapyor..” gibi yantlar almam da hangi modeli ne amaçla yapldnn bilinmesi açsndan sorunlar olduunu gösteriyor. Dier bir durum deikenlerin türlerine ve ölçeklerine baklmadan yaplan analizler. ki ikili snfl ölçekteki nitel deikenle regresyon modeli kurulabiliyor ya da Pearson korelasyon katsays hesaplanabiliyor. Ancak iki ikili nitel deiken arasndaki ilikinin aratrlmas isteniyorsa, yaplabilecek ey çapraz tablolama yapmaktr. Bu kitabn konusu ekonometri olmakla birlikte ilk bölümde birkaç istatistik konusuna da deindim. Bahsettiim konular derslerimde kullanmak üzere hazrladm notlarda ele almtm. Hazrladm notlarn daha fazla örenciye ulaabilmesi için bir kitapta toplamak düüncesi uzun yllardr aklmdayd. Okuduunuz kitap bu düüncenin eseri olarak; ders notlar ve akademik yaynlarda kullandm uygulamalarn kuramn ve mantn anlatmak amacyla derlenmitir. Kitabn yaplan uygulamalarn mantn anlatan bir klavuz olmasn amaçladm ve bu amaç dorultusunda adn da Ekonometri Uygulamalar Klavuzu olarak belirledim. Yaptklar uygulamalarn kuramsal temellerini anlamak isteyenler için yararl bir kitap olacaktr. Prof. Dr. Erginbay Uurlu stanbul Aydn Üniversitesi [email protected]

3

4

1. TEMEL STATSTK KONULARI Her ne kadar ekonometri modelleri için bir klavuz hazrlamay amaçlam olsak da yaplan yaynlarda göze çarpan istatiksel hatalara da deinmek yararl olacaktr. Bunlarn banda birçok çalmada karcmza çkan deikenlerin türüne ve ölçeine bakmadan Pearson korelasyon katsaysnn hesaplanmas ve dorusal regresyon modelinin tahmin edilmesidir. 1.1. KORELASYON ANALZ Korelasyon analizi temel istatistik derslerinde örendiimiz bir konudur. Deikenler arasnda bir iliki bulunup bulunmadn, eer varsa bu ilikinin yönünü ve gücünü korelasyon katsaysn bularak belirleyebiliriz. Ancak korelasyon katsaysnn deikenler arasndaki nedensel ilikiyi göstermediini unutmamak gerekir. Regresyonda da bu geçerlidir her ne kadar birçok yaynda regresyonun ya da korelasyonun nedensel ilikiyi gösterdii yazlsa da herhangi bri ekonometri kitabndan regresyonun nedensel ilikiyi göstermedii bilgisini bulabilirsiniz. Bu bölümde amacmz konu farkl ölçeklerdeki (snfl ölçek, sral ölçek, aralk ölçek ve oranl ölçek) deikenler için farkl korelasyon katsays hesaplama yöntemi kullanlmas gerektiini ve hangi durumda hangisinin kullanlacan örenmek. Unutulmamas gereken nokta; aada verilen korelasyon katsaylarnn hesaplanmasndan sonra, istatistiksel olarak anlamllnn snanmas gerektiidir. Çok ksa ve basit ekilde ölçekleri hatrlamak yararl olacaktr. Sadece kümeleme, gruplandrma vb. yaparak deiken deerlerini düzenleyebileceimiz, cinsiyet, saç rengi, göz rengi gibi deerleri arasnda üstünlük bulunmayan deikenlerden oluan snfl ölçek (nominal scale). Sral ölçek de olduu gibi nitel deikenlerden oluan ancak i pozisyonu, akademik unvan gibi deerleri arasnda üstünlük olan sralama ölçei (ordinal scale). Nicel deiken olmasna karn sfrn yoklu ifade etmedii (örnein scaklk 0 °C deidiimizde sfr yokluk ifade etmez) aralk ölçek (interval scale). Son olarak sfrn yokluk ifade etmedii deikenler dnda kalan tüm nicel deikenler oranl ölçek (ratio ölçek) türüne girer. Bahsettiimiz son iki ölçekte nicel deikenler yer almaktayd. Nicel deikenler de kesikli (discrete) deiken ve sürekli (continuous) deiken olmak üzere ikiye ayrlr. Sürekli deiken tanmland aralkta her deeri alabilir. Örnein bir bardaktaki su miktar 2 ml de olabilir 2,1 ml de, 2,999 ml de olabilir. Aralk olarak 2 ml ile 3ml arasn belirlesek bu aralkta sonsuz deer alabilir. Ancak bir snftaki örenci says kesikli deikendir. Bir snfta ya 2

5

kii vard ya 3 ya 100…, ama 2,3 kii olmaz. Sahip olduunuz araba says kesikli deikendir ancak arabaya doldurduunuz benzin miktar sürekli deikendir. Korelasyon katsaysnn formülü ve yorumlanmas hakknda bilgi bulmak oldukça kolaydr, ancak deikenin türüne ya da ölçeine bal olarak kullanlmas gereken korelasyon katsays hakknda bu kadar çok sayda yayn bulunmuyor. ki deikenin hangi ölçekte ya da hangi türde deiken olduuna göre karmza alt farkl durum çkmaktadr. : 1. Sürekli deiken-sürekli deiken 2. Sürekli deiken-snfl ölçek 3. Sürekli deiken- sral ölçek 4. Sral Ölçek- Snfl ölçek 5. Sral ölçek- snfl ölçek 6. Snfl Ölçek-Snfl Ölçek 1.1.1. Sürekli deiken-sürekli deiken (Continuous-Continuous) ki deiken de sürekli deiken ise ve normal dalyorsa Pearson (Pearson Momentler Çarpm) korelasyon katsays uygun olan korelasyon katsaysdr. ki deiken sürekli ancak normal dalmyorsa Spearman sra (Spearman rank) korelasyon katsays kullanlr. 1.1.2. Sürekli deiken-snfl ölçek (Continuous- Nominal) Deikenlerden biri sürekli biri iki kategorili (erkek-kadn gibi) snfl ölçekte ise nokta iki-serili (point bi-serial) korelasyon kullanlmaldr. 1.1.3. Sürekli deiken- sral ölçek (Continuous-Ordinal) Bir deiken sürekli dier deiken sral ölçekte ise uygun korelasyon katsays, Kendall’n rank korelasyon ɒୠ ’nin korelasyon katsaysdr. Ancak eer snfl deiken be, alt ya da daha fazla kategori içeriyorsa Spearman sra korelasyonu da kullanlabilir. 1.1.4. Sral Ölçek –Sral Ölçek (Ordinal –Ordinal) Eer iki deiken de sral ölçekte ise Kendal’n ɒୠ ’si kullanlr. Eer iki sral deiken de be ve üstü sayda kategori içeriyorsa Spearman sra korelasyonu kullanlabilir.

6

1.1.5. Sral Ölçek- Snfl ölçek (Ordinal- Nominal) Eer deikenlerden biri sral ölçekte dieri snfl ölçekte ise sra iki-serili (rank biserial) korelasyon katsays kullanlabilir. 1.1.6. Snfl Ölçek-Snfl Ölçek (Nominal-Nominal) Eer iki deiken de snfl ölçekte ise ve iki deer alyorsa (erkek-kadn gibi) 2x2’lik olumsallk tablosu (two-by-two contingency table) kullanlr. 2x2’lik çapraz tablo hazrlandktan sonra M fi katsays (phi coefficient) hesaplanarak yorumlanabilir. M katsays -1 ile +1 arasnda deerler alr. Katsay 0 ise deikenler arasnda iliki yok, 1 ise deikenler arasnda tam pozitif iliki, -1 ise deikenler arasnda tam negatif iliki vardr. Ayrca Ki-Kare deeri hesaplanp istatistiksel anlamll snanabilir. Bo hipotez (଴ ) iki deiken arasnda iliki olmadn söyler, eer bo hipotez reddelirse iki deiken arasnda iliki vardr. Son olarak eer iki deikenden biri ya da ikisi ikiden fazla deer alyorsa Goodman ve Kruskal’n lambda  deeri kullanlabilir. 1.2. HANG ÖLÇEKTE HANG UYGULAMA KULLANILIR Deinilmesi gereken bir konu da kullanlan istatistiksel yöntemler seçilirken deikenlerin ölçeklerinin dikkate alnmamasdr. Ölçeklerle ilgili bilgi yukarda verilmiti. Kullanlacak modelleme yöntemi deikenin hangi ölçee girdiine göre belirlenmelidir. Kitabn konusu istatistiksel yöntemler olmadndan ksaca bir tablo ile bu konuyu özetlemek istedim. Öncelikle hangi ölçek verilere hangi uygulamay yapmaya izin verir onu inceleyelim. Tablo 1.1: Ölçekler ve Özellikleri Ölçek

Kümeleme yapabiliriz

Verileri Sralayabiliriz

Toplama/Çkarma ilemi yapabiliriz

Çarpma/Bölme ilemi yapabiliriz

Snfl

Evet

Hayr

Hayr

Hayr

Evet

Evet

Hayr

Hayr

Evet

Evet

Evet

Hayr

Evet

Evet

Evet

Evet

Sral Aralk Oransal

7

Hangi ölçekteki deiken ikilisi ile hangi modelleme yaplabilir aadaki tabloda incelenebilir. Ancak tablo iki deikenli analizlerle (korelasyon, ANOVA ve regresyon) snrlandrlmtr, faktör analizi, diskriminant analizi gibi çok deikenli analizler dahil edilmemitir. Tablo 1.2: Ölçekler ve Kullanlabilecek Analiz Yöntemleri Ölçek

Snfl

Sral

Aralk

Oranl

Snfl

Ki-Kare*

Ki-Kare

t-testi, ANOVA

t testi, ANOVA

Sral

Ki-Kare

Ki-Kare

ANOVA

ANOVA

t-testi, ANOVA

ANOVA

Korelasyon, Regresyon

Korelasyon, Regresyon

t-testi, ANOVA

ANOVA

Korelasyon, Regresyon

Korelasyon, Regresyon

Aralk Oranl

*Çok yaplan bir hata da Yunan alfabesindeki Ki (F ) harfi yerine X yazlarak Ki-Kare istatistiinin verilmesi. Lütfen F yerine X kullanmaynz

Çok deikenli analizler ise kullanlan deikenlerin nitel deiken ve nicel deiken olmasna göre aadaki gibi özetlenebilir. Çok deikenli Varyans Çözümlemesi (MANOVA) ૚ ൅ ૛ ൅ ૜ ൅…+࢔ = ૚ ൅ ૛ ൅ ૜ ൅…+࢔ (nicel)

(nitel)

Varyans Çözümlemesi (ANOVA) ૚ =

૚ ൅ ૛ ൅ ૜ ൅…+࢔

(nicel)

(nitel)

Çoklu Diskriminant Analizi ૚ =

૚ ൅ ૛ ൅ ૜ ൅…+࢔

(nitel)

(nicel)

Çoklu Regresyon Analizi ૚ =

૚ ൅ ૛ ൅ ૜ ൅…+࢔

(nicel)

(nitel, nicel)

8

Yapsal Eitlik Modellemesi ૚ =

 ૚૚ ൅ ૚૛ ൅ ૚૜ ൅…+૚࢔

૛ =

૛૚ ൅ ૛૛ ൅ ૛૜ ൅…+૛࢔

૜ =

૜૚ ൅ ૜૛ ൅ ૜૜ ൅…+૜࢔ (nitel, nicel)

(nicel)

1.3. YAPISAL ETLK MODELLEMESNE GR Deikenler arasndaki ilikiyi aratrmakta en çok kullanlan yöntemlerden biri çoklu regresyon analizidir. Çoklu regresyon analizinde bir baml deiken birden fazla bamsz deiken yer alr. Baml ve bamsz deikenlerden oluan dier analizler ise ANOVA, diskriminant analizi, lojistik regresyon ve ANOVA’dr. Bu yöntemlerin baz durumlarda uygulanabilirliini kstlayan üç snrlamas vardr (Haenlein ve Kaplan 2004). Bu üç snrlama unlardr: 1. Bu modellerde, bir baml ve birkaç bamsz deikenden oluan basit bir model yapsnn varsaymna ihtiyacmz vardr. 2. Bu tür modellerde, tüm deikenlerin gözlemlenebilir kabul edilebilecei varsaylr. 3. Tüm deikenlerin hatasz ölçüldüü varsaylr. Bu snrlamalar baz durumlarda gerçek hayatta yaadmz sorunlar modellemek için yetersiz kalr. Birinci snrlama için Jacoby (1978) ve Shugan (2002) regresyona dayal yöntemlerde

gerçek

hayatta

karmza

çkan

arac

modellenemediini belirtmitir. kinci snrlama ile ilgili

ve

düzenleyici

ilikilerin

gözlenemeyen özellikler ise

dorulayc faktör analizi gibi bamsz dorulamaya sahip olduklarnda dikkate alnabilir (Hair vd., 2021). Üçüncü snrlama, ekonometri ve istatistik derslerinden iyi bilinen bilgilerdir; her gözlemin rassal hata ve sistematik hata olmak üzere iki hatas vardr. Bu snrlamalarn üstesinden gelmek için yapsal eitlik modellemesi (Structural equation modelling) YEM (SEM) gelitirilmitir. Regresyon tabanl yaklamlarda yalnzca bir baml ve çok sayda bamsz deiken bulunurken, YEM birden çok baml ve bamsz

deikenle

ezamanl

modellemeye

izin

verir.

YEM'de

aratrmaclar

gözlemlenmemi deikenleri kullanabilir ve ölçüm hatalar modelde yer alr. Ayrca yapsal eitlik modellemesinde arac (mediator/mediating variable) düzenleyici deiken (moderator variable) yer almaktadr.

9

1.3.1. Arac Deiken ve Düzenleyici Deiken Bu aamada arac deiken (mediator/mediating variable) ve düzenleyici deiken (moderator variable) terimlerine açklk getirmek gerekmektedir. Arac deiken, bamsz deiken ile baml deiken arasnda neden bir iliki olduunu açklar. Bamsz deiken öncelikle arac deikeni etkiler ve arac deiken ise baml deikeni etkiler. Düzenleyici deiken, bamsz ve baml deiken arasndaki ilikinin gücünü etkileyen deikendir. Düzenleyici deikenin yapt etki; iki deiken arasndaki ilikinin üçüncü bir deikenin ald deerlere göre gösterdii deiimi gösterir. Aadaki grafikler arac deiken ve düzenleyici deiken arasndaki fark anlamak için yararl olacaktr. ekil 1.1 klasik regresyon modeli ilikisini göstermektedir.

A:Bamsz Deiken C: Baml Deiken B:Bamsz Deiken

ekil 1.1: A ve B C’yi etkiliyor ekil 1.2’de B deikeni arac deikendir. A:Bamsz Deiken

C: Baml Deiken

B:Arac Deiken ekil 1.2 : Arac liki

ekil 1.3’de D deikeni düzenleyici deikendir. A:Bamsz Deiken C: Baml Deiken B:Bamsz Deiken

D:Düzenleyici Deiken ekil 1.3 : Düzenleyici liki

10

2. GÖRÜNÜTE LKSZ REGRESYONLAR Görünüte ilikisiz regresyon modelleri (seemingly unrelated regressions SUR)

Xi : TxK i olmak üzere farkl açklayc deikenlere sahip denklem sistemidir (Stewart, 1997: 323). Zellner; Rossi (1989) söyleisinde Zellner (1962a)’de gelitirdii GR fikrinin nereden aklna geldii sorusuna u yant vermitir. ”1956 ya da 1957 yllarnda yamurlu bir Seattle akamnda, her naslsa aklma çok deikenli modeli tek (single) denklem formuyla yazma fikri geldi. Bunu nasl çözeceimi düünürken her ey yerli yerine oturdu çünkü o zaman birçok tek deikenli sonuç çok deikenli sistemlere çevrilebiliyordu ve çok deikenli sistemin analizi gösterimsel, matematiksel ve kavramsal olarak daha basitletirilmiti.” (Rossi, 1989: 292). Y’nin beklenen deeri: E( Y)

>X ȕ , X ȕ 1

1

>X , X 1

2

2

2

,..., X pȕ P @

,..., X p @

ªȕ 1 0 «0 ȕ 2 « «  « «¬ 0 0

 0º  0 »»   » »  ȕ p »¼

XB

(1)

eklinde gösterilir. Buradan GR için GDM’yi (Genel Dorusal Model) aadaki ekilde elde ederiz: E( y)

Xȕ

Cov( y)

(2)

Ȉ…I

Burada yer alan X ve Ȉ matrisleri aadaki gibi tanmlanr:

X

ªX 1 «0 « «  « «¬ 0

0 X2  0

Ȉ

ª V 11 «V « 21 «  « ¬V M1

V 12 V 22  V M21

 0º  0 »» (3)   » »  X p »¼

 V 1M º  V 1M »» (4)   » »  V MM ¼

11

(2)’de Y’nin sütunlar modellenmi ve böylece p adet korele regresyon modeli elde edilmitir. Bununla birlikte Y’nin her bir satr, Ȉ ’nn ortak kovaryans yapsyla ÇDND(çok deikenli normal dalm)’ye uyduu varsaylr. (2)’de ȕ ’y tahmin etmek için EO(ençok olabilirlik) ya da GEK(genelletirilmi en küçük kareler) tahmincisi kullanldnda  Ȉ … In olmak üzere aadaki eitlik (5) elde edilir. Çünkü 6 bilinmeyendir ve uygun genelletirilmi en küçük kareler (feasible generalized least squares) UGEK tahmincisi 6 ile tutarl tahminci deitirilerek elde edilmitir.

ȕˆ

>Xc X@ 1

1

Xc 1y (Xc: 1X) 1Xc 1y

(5)

Kronecker çarpmn geniletilirse

ȕˆ

ª ı 11X c1X 1 ı 12 X c1X 2 « 21 22 « ı X c2 X 1 ı X c2 X 2 «   « M1 M2 ¬«ı X cM X 1 ı X cM X 1

 ı 1M X c1X M º »  ı 2M X c2 X M » »   » MM  ı X cM X M ¼»

1

ª º « M V1j X c y » ¦ 1 j » « j1 « M V 2 j X c y » (6) ¦ 2 j « j1 »  « » « M V Mj X c y » ¦ M j» ¼ ¬« j 1

olur. Bu tahminci açkça SEK (sradan en küçük kareler) tahmincisinden farkldr ve denklemler yalnzca kendi bozucu terimleri ile ilikilidir. Bu durumda tartlmas gereken konu SEK’e göre GR modelinin etkinlikte salad kazançtr. Bu konuda Zellner (1962b) ve Dwivedi ve Srivastava(1978) baz özel durumlar ayrntl olarak ele almtr: (Green, 2002: 342) 1. Eer denklemler gerçekten ilikisizse ki bu V ij

0 i z j durumunda geçerlidir. Tüm

sisteme GEK uygulamak ile denklemlere tek tek SEK uygulamak arasnda bir fark yoktur. 2. Eer deikenler ayn bamsz deikenlere sahipse ki bu durum çok deikenli regresyon olarak adlandrlmaktadr. GEK ve SEK tahmincisi özdetir. 3. Eer herhangi bir denklemdeki bamsz deikenler blok olarak dier bir denklemin alt kümesi GEK tahmincisi SEK’ten daha etkin olmayacaktr. Zenler (1962a) 6 ’y

6ˆ

S

>s @ ile deitirerek  ij

eitlie ulamtr:

12

 … In olmak üzere aadaki







1 y i' In  X i (X i' X i ) 1 X i' In  X i (X i' X i ) 1 X i' y J nq

s ij

(7)

her modeldeki deiken says eit kabul edilerek q r( X j ) ’dir. Bu varsaym gevetilir ve q

0 veya q

qij varsaylrsa; aadaki gibi gösterilir.7

>



iz In  X i (X i' X i )X i' In  X i (X i' X i ) 1 X i'

qij

@

(8)

ˆ 6ˆ ’y 8’de 6 ’nn yerine koyarak ȕ ’nn UGEK tahmincisi ȕˆ aadaki ekilde tanmlanr.

ˆ ȕˆ

ª Eˆˆ º « 1» «Eˆˆ 2 » « » «» «Eˆˆ p » ¬ ¼

ª s11X 1' X 1 « 21 ' «s X 2 X 1 «  « p1 ' s X p X1 ¬«

p 1 ' 1j  s1p X 1' X p º ª X 1 ¦ j 1 s y j º « » » p 1p ' '  s X 2 X p » «X 2 ¦ s 2 j y j » j 1 » (9) » «    « » »  s pp X p' X p »¼ « X p' ¦p s pj y j » j 1 ¬ ¼

burada 6ˆ 1

>s @’dir. ȕˆˆ ’nn asimptotik kovaryans matrisi ise

>X c(

@

1

… In )X

ij

1

ª V11X 1' X 1  V11X 1' X p º » «    » « «V p1X p' X 1  V11X p' X p » ¼ ¬

1

(10)

ȕ ’y tahmin etmek için iki aamal bir süreç kullanlr. Öncelikle 6 ile 6ˆ ’y tahmin

ˆ p etmek gerekir; öyle ki; 6ˆ o 6 ’dr. kinci aamada ise ȕˆ elde edilir. EO tahmincisine ˆ yinelemeli (iterating) bir süreçle ulalr. kinci aamada ȕˆ ’y elde etmek için   … In aadaki ekilde yeniden tahmin edilebilir.

ˆ2 :

ˆ ˆ ( y  Xȕˆ 1 )( y  Xȕˆ 1 )c

(11)

ˆ burada ȕˆ 1 iki aamal bir tahmindir ve ȕ için yeniden düzenlenirse: ˆ ȕˆ 2

ˆ X) 1Dc ˆ -1y (Xc 2 2

(12)

olur. Bu ekilde yinelemeler sürdürülürse i. yinelemede :

13

ˆi :

ˆ ˆ ( y  Xȕˆ i-1 )( y  Xȕˆ i-1 )c ˆ ȕˆ i

(13)

ˆ X)1 Xc ˆ -1y (Xc i i

(14)

sonucuna ulalr.

ˆ ˆ ˆ Bu süreç; ȕˆ i , baz ! o ’lar için ȕˆ i  ȕˆ i1

2

’e yaknsayana kadar devam eder.

Park (1993) bu yinelemeli uygun genelletirilmi en küçük kareler YUGEK tahmincisinden elde edilen ȕ ile EO tahmincisinden elde edilen ȕ ’nn matematiksel olarak edeer olduunu göstermitir. (Timm, 2002:313)

H0

C *ȕ ȟ hipotezini snamak için aadaki Wald istatistii kullanlabilir.

W

1 ˆ ˆ d (Cȕˆ UGEK  ȟ )c C( X cˆ 1X)Cc (Cȕˆ UGEK  ȟ) o F 2 (v h )

>

@

>s @ göz önüne alnrsa, D’de tanml ȕ ’nn tahmincisi ȕˆˆ kullanlarak

6ˆ

ij

^>

@

1 ˆ (C *ȕˆ  ȟ )c C * Xc(ˆ … In ) 1 X C'*

W

` (C ȕˆˆ  ȟ) 1

*

(15)

olur. Yukarnda belirtilen bo hipotez altnda W, v h

r(C* ) serbestlik derecesine sahip

asimptotik ki-kare dalmna uyar. Buna almak olarak Zellner (1962a) bo hipotez altnda yaklak bir F istatistii gelitirmitir. F*

MS e ve

( W / v h ) / MS e

(16)

ˆ ˆ 1 ˆ ( y  Xȕˆ )c: ( y  Xȕˆ )/v e

n  ¦ qj j

(17) (18)

Verilenleri kullanarak artk 9 u ekilde ifade edilebilir

yi

Xi Ti  ei

X ci

ªx ci1 0c « 0c x c i2 « «   « ¬« 0c 0c

px1

pxm mx1

(19)

px1

 0c º   »»   » »  x cip ¼»

(20)

14

burada x ij , i=1,2,…n ve j=1,2,…,p, q * = 6 j q j olmak üzere qx1’lik deikenler vektörüdür. ș c

>ȕc ,ȕc ,..., ȕc @ parametreler vektörüdür. Bu gösterimi de sütunlar düzeyinde 1

2

p

çevrilirse SUR modeli genel olarak u ekilde gösterilir:

y* A T  e px1

npxm mx1

burada y

*

npx 1

(21)

vec (Yc) , e

>ec1, ec2 ,...., ecn @ ,

A

>Dc1,Dc2 ,..., Dcn @ ve

*

Cov( y )= I … 6 ’dr.

Yine 19 denklemini kullanarak ș ’nn UGEK tahmincisi elde edilir:

ˆ șˆ

>Ac(I

n

@

1 … 6ˆ ) 1 A Ac(In … 6ˆ ) 1 y *

(22)

Bu eitlikte 6ˆ 6 ’nn tutarl tahmincisidir. Yukardaki eitlikten yararlanarak

H0 : Cș

ș0

hipotezi de aadaki Wald istatistii

kullanlarak ya da 17’de verilen Zellner (1962a) F testi ile snanabilir.

W

^>

@

`

1 ˆ ˆ (Cșˆ  ș 0 )c C Ac(In … 6ˆ 1 )A §¨ Cșˆ  ș 0 ·¸ © ¹

Burada W ~ F ( v h ) ve v h 2

(23)

r(C) ’dr.

Ayrca Zellner (1963) GR tahmin yöntemi ile elde edilen tahmin edicilerinin baz sonlu örnek özellikleri ile ilgili incelemelere yer vermitir.

15

3. NTEL TERCH MODELLER 3.1. DORUSAL OLASILIK MODELLER Kurulan

regresyon

modellerinde

baml

deikenler

nitel

deikenlerden

oluabilmektedir. Bu tür modellerde baml deiken iki deer alyorsa deiken evet-hayr, baarl baarsz, olumlu-olumsuz… gibi tercih belirtir. Bu nedenle bu tür modeller; ikili tercih modelleri olarak adlandrlr. Baml deiken ikiden fazla deer de alabilir. Bu durumda ise modeller çoklu tercih modelleri olarak adlandrlmaktadr. Baml deikeni iki veya daha fazla deer alan modellerde amaç seçimin olaslnn saptanmasdr. Olaslk deeri bildii gibi 0 ile 1 arasnda bir deer alr. Tercih modellerinin en basiti Dorusal Olaslk Modelleri (DOM)’dir. Dorusal regresyon modelin aadaki gibi tanmlayalm:

Yi

E 0  E1 X i  H i

Yi

1 ilk seçenein tercih edilmesi

Yi

0 ikinci seçenein tercih edilmesi

(1)

olarak tanmlanabilir. Bu modelin beklenen deeri alnarak;

E Yi E 0  E1 X i

(2)

modeli elde edilebilir. Bu modelde iliki seçenein tercih edilme olasl

Pi

P(Yi

1) ve ikinci seçenein olasl ise 1- Pi

P(Yi

0) . Buradan baml deikenin

beklenen deeri aadaki gibi elde edilir.

E Yi 1, ( Pi )  0(1  P i )

P(Yi

1)

Pi

Fakat dorusal olaslk modellerinde karlalan sorunlar yeni tekniklere gereksinim dourmutur. Bu sorunlar aadaki gibi özetlenebilir. (Güri ve Çalayan,2000, 655) x

Hata teriminin dalm binom dalm olup iki deer almaktadr. Bu nedenle

büyük örneklerde DOM’da dalmn normal dalm olduu varsaylr x

Hata

terimleri

sabit

varyansl

deildir.

Bu

durum

uygulamada

düzeltilebilmektedir. Uygun dönüümlerle hata terimleri sabit varyansl yaplabilir. Klasik EKK yöntemi yerine Arlklandrlm EKK yöntemi kullanlmas bu dönüüm yöntemlerinden biridir. x

0 d E( Yi / X ) d 1 eitlii salanmamaktadr. DOM’da X ve Y’nin koullu

16

olaslklarn gösteren E( Yi / X ) ’nin tahmincisi Yˆi her zaman 0-1 aralnda olmamaktadr. Deerler 0’dan küçükse 0, 1 den büyükse 1 olduu kabul edilerek Yˆi hesaplanr. x

Belirlilik katsays R 2 ’nin en iyi modelin belirlenmesinde kullanlmas

sakncaldr. DOM’un uygun olmad durumlarda modelin seçimi hata terimine bal olacaktr. Hata teriminin dalm için genellikle lojistik ya da normal eri seçilir. Bu iki model logit ve probit modeli olarak bilinmektedir. Çalmann ikinci bölümünde daha önce belirtilen ikili seçim modellerinden Lojistik Fonksiyon tantlacaktr. Aratrmann üçüncü bölümünde ikili tercih modelleri için Logit Model tantlacaktr. Üçüncü bölümde çoklu tercih modelleri için Multinomial Logit ve Sral Logit Modelleri tantlmaktadr. Son bölümde çalma ksaca özetlenmitir. 3.2. KL TERCH MODELLER kili tercih modelleri bal altnda bu modellerden olan Logit model incelenecektir. Öncelikle dorusal regresyon modelini hatrlatmakta yarar vardr. Dorusal regresyon modeli 3’deki gibidir. Y=XE E+H

(3)

n gözlem says, açklayc deiken says p olmak üzere, açklayc deiken vektörü X, parametre vektörü Y, hata terimleri vektörüdür. Bu model 0 d ( E (Yi / X ) d 1 koulunu salamak amacyla gelitirilmitir. Logit modeli açklayabilmek için lojistik dalm fonksiyonundan yararlanlmaktadr. Lojistik dalm fonksiyonu Pi

F (Z i )

F ( E 0  E1 X i )

1 1  e Zi

1 1  e ( E 0  E1 X i )

(4)

olur ve burada Pi , açklayc deiken X i hakknda bilgi veri iken i. bireyin belirli seçimi yapma olasldr. Buradaki

Z i deikeni - f ile + f arasnda deerler alr. Z i

deikeni bu aralkta deitikçe olaslk deeri de 0-1 arasnda deerler alacaktr. Böylece

0 d Pi d 1 ve Z i ile Pi arasndaki ilikinin dorusal olmama artlar yerine gelmi olacaktr. Fakat

buradan

parametreler

EKK

ile

tahmin

edilemez.

Öncelikle

bu

iliki

dorusallatrlmaldr. Logit model birikimli olaslk dalmndan türetilmi lojistik dalm fonksiyonudur.

17

Pi 1  Pi

e Zi

(5)

Bu oran yardmyla lojistik fonksiyon dorusal regresyon analizinde kullanlabilir. Doal logaritma alnarak

Li

ln(

ln( e Zi ) Pi ) 1  Pi

Zi

ln(

Pi ) 1  Pi

E 0  E1 X 1 veya P

(6) 1 1  e ( E 0  E1 X1 )

(7)

elde edilir ve Li dorusaldr. Modelin dorusallatrlmas tahmin için büyük kolaylk salar. Lojistik regresyonun olaslk younluk fonksiyonu gözlem fonksiyonu k=1’den sonsuza kadar aadaki gibi gösterilebilir.

ekil 3.1: Lojistik olaslk younluk fonksiyonu Lojistik regresyon erisi ise aadaki ekilde gösterilir.

ekil 3.2: Lojistik Regresyon Erisi

18

Logit modeli de hata terimleri binom dalml olduundan deien varyansa sahiptir. Logit modelin balca özellikleri aadaki gibi özetlenebilir. x

Olaslk deeri 0’dan 1’e giderken logit Li , Z i gibi - f ile + f a deiir. Bu

nedenle olaslk deeri (0-1) aralnda olmak zorundadr ve Li snrlandrlamaz. x

Li , X ik bamsz deikenine göre dorusalken, olaslk deeri Pi dorusal

deildir. 3.2.1. Katsaynn Yorumlanmas Lojistik fonksiyonda tahmin edilen regresyon katsaylarnn yorumlanmas farkldr. Katsaylar yorumlanrken X’deki bir birimlik tahmin için

S 1S

olarak tanmlanan odds tahmini ile

exp( E 1 ) çarplarak elde edilen lojistik cevap fonksiyonundan yararlanlr. ( Bircan, 2004, 196) Lojistik modeldeki etkiler odds’a dayanr. X’in bir deerinde kestirilen odds’un, dier deerinde kestirilen odds’a oran olarak verilmektedir. Bu istatistik x=1 olan bireylerin x=0 olan bireylere nazaran baml deikenin kaç kat daha fazla 1 olarak görüldüü sonucunu verir. Bireyler boyunca x=1 olarak tanmlanan deikenler için odds çkts olarak; x=0 olan bireyler için ise

S (1) 1  S (1)

S (0) olarak tanmlanr. Odds oran (odds ratio ), OR olarak 1  S (0)

gösterilirse, x=o için; x=1 için odds’un oran (ratio of odds) aadaki denklemdeki gibi bulunur. (Hosmer ve Lemsehow, 2000, 49)

S ( 0) 1  S ( 0) Odds Oran: OR= S (1) 1  S (1)

(8)

19

Tablo 3.1: Baml Deiken kili ken Lojistik Regresyon Modeli Deerleri Çkt Deikeni (Y)

Bamsz Deiken (X) x=1

y=1

S (1)

y=2

1  S (1)

Toplam

x=2

e E 0  E1 1  e E 0  E1

E

e 01 1  e E0

S (0)

1 1  e E 0  E1

1  S (0)

1,0

1 1  e E0

1,0

Kaynak: Hosmer ve Lemsehow, 2000, 49

e E 0  E1 ( ) 1  e E 0  E1 OR=

E

e 01 ( ) 1  e E0

1 E 0  E1 1  e E 0  E1 = e = e ( E 0  E1 )  E 0 e E0

e E1 (9)

1 1  e E0

Buradan regresyon katsaylar ile odds oran (Odds ratio, OR= arasndaki iliki aadaki gibi elde edilir. OR= e E1

(10)

3.2.2. Uyum yilii Ölçütleri ncelenecek ilk istatistik modelin verileri iyi temsi l edip etmediidir. Test hipotezleri:

H 0 : Teorik model verileri iyi temsil etmektedir

H 1 : Teorik model verileri iyi temsil etmemektedir. Görüldüü gibi modelin geçerli olabilmesi için sfr hipotezinin kabul edilmesi gerekmektedir. Bunun için kullanlan istatistik maksimum olabilirlik

(ML) yöntemine

dayanmaktadr. Sfr ve alternatif hipotezlerin snanmasnda L istatistiinin dönütürülmü ekli olan 2LogL istatistii kullanlmaktadr.

20

Model verileri tam temsil etmesi durumunda olabilirlik(L) 1 ve -2LogL istatistii sfr olmaktadr. -2LogL istatistii modele eklenen bamsz deikenlerin modele olan katklarnn aratrlmasnda da kullanlmaktadr. Dier bir anlatmla

-2LogL istatistii lojistik regresyon

katsaylarnn anlamllklarnn snanmasnda kullanlmaktadr. lgili sfr ve kart hipotezler aadaki gibi yazlmaktadr.

H0

§ E1 · ¨ ¸ ¨ E2 ¸ ¨ . ¸ ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨E ¸ © p¹

§0· ¨ ¸ ¨0¸ ¨ . ¸ ve H 1 ¨ ¸ ¨.¸ ¨0¸ © ¹

§ E1 · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ E2 ¸ ¨ 0¸ ¨ . ¸z¨.¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨.¸ ¨E ¸ ¨ ¸ © p ¹ © 0¹

(11)

Bu hipotezler F 2 fark testlerini kullanarak snanmaktadr. Sabit terimli ve bamsz deikenli modellerin serbestlik derecesi arasndaki farkla F 2 dalmna uymaktadr. 3.2.3.

Modelin Anlamll Testi le ilgili statistikler

x lk Ki- Kare statistii ( F B20 ): Modelde sadece sabit terim varken söz konusu olan hatay gösterir. Dier bir anlatmla F B20 istatistii, modelde sadece sabit terim olduunda 2LogL istatistiini vermektedir. Yani ilk ki-kare istatistii modeldeki tüm B katsaylarnn sfr olduunu söyleyen hipotezi kabul eden -2LogL istatistiidir x -2LogL statistii: Genelde analize bamsz deiken ilave edildiinde modelin hatas gösterir. Bu nedenle -2LogL istatistii baml deikendeki açklanmayan varyansn anlamlln gösterir. Bu istatistik sapmal ki-kare istatistii olarak da bilinir. x Model Ki-Kare statistii: Hosmer ve Lemeshow G istatistii olarak da bilinen bu istatistik deeri lojistik regresyon modelini genel olarak test etmektedir. Bamsz deikenlerden hiçbirinin baml üstünlük oranyla anlaml dorusal bir iliki göstermediini ileri süren sfr hipotezini test etmektedir. statistik deeri; modelde bamsz deikenlerin olduu -2LogL istatistii ile modelde bamsz deikenlerin olduu -2LogL istatistii arasndaki fark alnarak hesaplanmaktadr. Model ki-kare istatistii, incelenilen modelin parametre says ile yalnz sabit terimli modelin parametreleri arasndaki farka eit bir serbestlik derecesi ile ki-kare dalmna uymaktadr. Lojistik regresyon analizinde model kikare deerinin anlaml olmas arzu edilen durumu göstermektedir. Model ki-kare testi regresyon analizindeki F testine benzemektedir.

21

3.2.4. Lojistik Regresyon Modelinin Uygunluunun Deerlendirilmesi statistikte gelitirilen bir modelin geçerliliinin deerlendirilmesi büyük önem tamaktadr. Lojistik regresyonun uygunluunun deerlendirilmesinde genelde gerçek olaslklarla tahmin edilen olaslklar arasndaki farka baklmaktadr. Lojistik regresyon prosedürüyle hesaplanabilen standart hatalar aadaki gibi ksaca açklanabilir. (Norusis ve di. 1999:56-61; Aktaran: Albayrak a.g.e) Standart Olmayan Hatalar Standart olmayan hatalar gerçekleen olaslklarla tahmin edilen olaslklar arasndaki farka eittir. Logit hatalar aadaki gibi hesaplanmaktadr. Logit Hatai =

ei Pi (1  Pi )

(12)

kinci birim içim logit hata: Logit Hata2 =

e2 P2 (1  P2 )

(13)

formülü ile hesaplanr. Standart Hatalar Standart hatalar; standart olmayan hatalarn kendi standart sapmalarna bölünmesi ile hesaplanr. Bu hesaplama formülü aadaki gibi gösterilir. Zi

ei

(14)

Pi (1  Pi )

Her birimin standart hatas ki-kare uygunluk istatistiinin bir bileeni olarak görülebilir. Büyük örnekler için standart hatalar “0” ortalama ve 1 standart sapma ile normal dalma uymaktadr. Sapma (Deviance) Deeri Her birimin sapmas, aadaki gibi hesaplanmaktadr.

ncelenen deikenin olma

olaslnn sapma deeri aadaki gibi hesaplanabilir. Sapma=

 2 ln( Pi )

(15)

22

Olmama olasl için ise; Sapma=

 2 ln( 1  Pi )

(16)

Sapma deerinin yüksek çkmas modelin ilgili veriyi iyi temsil etmediini göstermektedir. Kaldraç Deeri Bu deer tahmin edilen deerler üzerinde büyük etkisi olan birimlerin belirlenmesi amacyla kullanlmaktadr. Kaldraç deeri 0-1 aral içinde deerler almaktadr. Eer bulunan deer 0 ise tamamen etkisiz, 1 ise tamamen etkili anlamna gelmektedir. Kaldraç deerinin ortalamas p/n oranna eittir. P, sabit terim dahil, modelde tahmin edilen parametre saysn ve n örnek hacmini göstermektedir. Bulunan kaldraç deeri ortalama kaldraç deeri ile karlatrlmaktadr. Cook Uzakl Herhangi bir birimin model üzerindeki etkisini göstermektedir. Cook uzakl; belirli bir modelden çkartlmas durumunda lojistik regresyon katsaylarnn ne kadar deieceini gösterir. Cook uzakl aadaki gibi hesaplanmaktadr.

CU i

§ h Z i2 ¨¨ i © 1  hi

· ¸¸ ¹

(17)

Formülde Z i standartlatrlm hatalar ve h i ise kaldraç deerini göstermektedir. DfBeta Deeri Lojistik regresyon analizinin uygunluunun deerlendirilmesinde kullanlan bir dier önemli istatistik DfBeta deeridir. Bu deerin herhangi bri modelden çkartlmas durumunda modelin katsaylarnda meydana gelen deiimi göstermektedir. Sabit terim dahil her bri deiken için bu deerler aadaki gibi hesaplanmaktadr. Örnein, i birim modelden çkartlmas durumunda sabit terim ve birinci deiken DfBeta deeri aadaki gibi hesaplanr. DfBeta ( E oi ) = E 0  E 0( i )

(18)

23

DfBeta ( E 1i ) = E 1E1(i )

(19)

Eitliklerde, E 0 ve E 1 bütün birimlerin modele dahil edilmesi durumundaki parametreleri E 0( i ) ve E1( i ) i. birimin modelden çkartlmasyla hesaplanan parametreleri göstermektedir. 3.2.5.

Lojistik Regresyon Analizinde liki Ölçümü

Regresyon analizindeki R 2 istatistiine

benzeyen ve geni kabul gören bir lojistik

2

regresyon analizinde bulunmamaktadr. R , baml deikenin açklanan varyansnn yüzdesini göstermekte, ancak lojistik regresyon analizinde baml deikenin varyans bu deikenin olaslk dalmna baldr. x

Cox ve Snell R 2 : Olabilirlik esasna göre çoklu R 2 istatistiine benzemektedir.

statistiin maksimum deerinin genelde 1’den küçük olmas bu istatistiin maksimum deerinin genelde 1’den küçük olmas bu istatistiin yorumunu güçletirmektedir. x

Nalgerke R 2 : Cox ve Snell R 2 istatistiinin 0-1 arasnda deer almasn salamak

amacyla gelitirilmitir. (Albayrak, S. ,2006, 461) 3.3. ÇOKLU TERCH MODELLER Çoklu tercih modelleri baml deikenin seçeneklerinin yapsna göre sral, srasz ve ardk olmak üzere kullanlan çoklu tercih modellerinden seçeneklerin srasz olduu Multinomial logit modelleri ve seçeneklerin sral olduu sral logit modelleri hakknda ksaca teorik bilgiler verilmitir. Dier çoklu tercih modelleri burada incelenmemitir Klasik regresyon modellerinde baml deiken ölçülebilen, nicel deikenler eklindeyken, baz analizlerde baml deikenin nitel deiken olduu görülmektedir. Saysal olarak ifade edilemeyen ve ölçülemeyen bu deikenler saysal olarak ifade edilen deikenlere dönütürülerek modeller tahmin edilmektedir. Baml deikenin deeri nicel olmayan, nitel özellik gösteren modeller nitel tercih modelleri olarak adlandrlr. Bu modeller bireylerin davranlar ve yapacaklar tercihler hakknda bilgi sahibi olunduunda, bireylerin seçimlerini öngörmek için tahmin edilmektedir. Bu modellerde amaç bireyin yapaca belirli bir seçimin olasln belirlemektir Nitel tercih modellerinde baml deiken evet-hayr, baarl-baarsz, satn almaalmama gibi tercih veya karar belirtirse, yani baml deiken iki seçenekten oluuyorsa bu

24

modeller ikili tercih modelleri olarak adlandrlr. Bu modellerde baml deikeni oluturan seçenekler 0-1 deerleri verilerek saysal olarak ifade edilirler. Logit ve probit modelleri en çok kullanlan ikili tercih modelleridir. Baml deikeni evet-hayr-belki, A markas-B markas-C markas-D markas gibi ikiden fazla deer alan nite! tercih modelleri çoklu tercih modelleri olarak adlandrlr. Bu modellerde baml deikeni oluturan seçenekler 1,2,3 gibi deerler verilerek saysal olarak ifade edilmektedirler (Güri ve Çalayan, 2005: 678). 3.3.1. Multinomial Logit Model Multinomial model; tama çeitlerinin seçiminde üzerine çalmak için Theil (1969) tarafndan; Talep edilen otomobil saysn tahmin için Cragg ve Uhler (1970)

tarafndan

kullanlmtr (Maddala, 1993, 41) . Multinomial modeller, ikiden fazla seçenek arasnda tercih yaplmas söz konusu olduunda kullanlan tercih modelleridir. Srasz tercih modellerinden biri olan Multinomial logit modellerinde baml deiken ikiden fazla seçenee sahiptir. Örnek olarak, seyahat araçlar otobüs, tren, uçak verilebilir. Baml deikeni oluturan seçeneklerin birbirinden bamsz olmas gerekmektedir. Bu seçeneklerden herhangi birisi dierinden daha iyi veya daha kötü deildir, yani seçeneklerin arasnda bir sralama bulunmamaktadr. Bu nedenle, seçeneklerden birinin yerinin deitirilmesi sonuçlan etkilememektedir. Anlalaca üzere; birey kendisi için en iyi seçenei seçecek veya kendisine en fazla fayday salayan seçenei tercih edecektir. Yaplacak bu tercihin arkasnda yatan kuram; rassal fayda kuramdr. Bu kuram; tüketici kuramnda olduu gibi bireylerin iyi bir seçim yapacaklarn ve en yüksek fayday salayacaklarn varsaymaktadr. Ayrca teoriye göre belirsizliklerin de dikkate alnmas gerekmektedir. Fayda fonksiyonu aadaki gibi tanmlanr. K

U ij

¦E

S

jk

k 1

X ik  ¦ J isW js  H ij

(20)

s 1

Z ij  H ij k=1,2,..,K s=1,2,…,S olmak üzere

25

Burada, U ij , : i'nci bireyin j'nci seçenei seçimi sonucu elde ettii fayda,

X ik : i'nci bireyin özelliklerini gösteren deikenlerin deerleri W js : j'nci seçenein niteliklerini gösteren deikenlerin deerleri

E jk : j'nci seçenek için k'nc özellikleri

J is : i'nci birey için s'inci özelliklerdir. Fayda fonksiyonunda yer alan Z ij deterministik ksm ve H ij ise hata terimini ifade etmektedir. Fayda fonksiyonunun deterministik ksm bireylerin özelliklerinin

X ik

ve

seçeneklerin niteliklerinin W js dorusal fonksiyonudur . Aadaki gibi gösterilir. K

Z ij

¦E k 1

S

jk

X ik  ¦ J isW js

j=1,..,,M

(21)

s 1

Seçeneklerin nitelikleri, seçenekler arasnda farkldr ve bireyden bireye deime gösterebilmektedir. Bireylerin özellikleri ise bireyler arasnda farkl; fakat tüm seçenekler için ayndr. Fayda ve onu belirleyen deikenler arasndaki iliki tam olmadndan fayda fonksiyonunda belirsizlii ifade eden rassal terim yani hata terimi yer alr. Bu model rassal fayda modeli olarak adlandrlr. Birey faydas en yüksek seçenei seçmek isteyecektir. m seçeneini seçecek i bireyinin olasl:

P(Yi

P (U im ! U ij )

m)

P( Z im  H im ! Z ij  H ij )

j=1,2,…M (22)

P(H im  H ij ! Z ij  Z im ) olacaktr. Burada yer alan H ij bamsz ve Weibull dalmna sahiptir Bu model tüm seçenekler için genelletirilirse;

P (Yi

m)

eZ m M

¦e j 1

Z ij

e( X i E i ) M

¦e

(23)

( X i Ei )

j 1

elde edilir.

26

Multinomial logit modelleri, tercih olaslklarn bu özelliklerden sadece bireyin özelliklerine X ik bal klmaktadr. Bu nedenle, Multinomial modeller için fayda fonksiyonu K

¦E

oluturduumuzda J is =0 olacak ve deterministik ksm, Z ij

jk

X ik

olarak elde

k 1

edilecektir.

Multinomial logit modellerinde fayda fonksiyonu bireylerin özelliklerinin

dorusal fonksiyonudur. Ayrca bu modellerde hata terimleri bamszdr ve hata terimlerinin dalm normal dalmna benzese de; saa eiktir ve sol kuyruk daha inceyken sa kuyruk daha kalndr. 3.3.1.1.

Olaslklar

Baml deikeni oluturan M seçenek arasndan m. seçeneini gerçekleme olaslnn belirlenmesi için olaslklar hesaplanr. M seçenekli baml deikenin açklayc deikenin belirlenen bir deeri için m seçeneinin gerçekleme olasl, P(Y = m/X) 'dir ve X i E ’nn dorusal fonksiyonudur. Multinomial logit modeline göre i bireyin M seçenek arasndan m. seçenei tercih etme olasl,

P (Yi

e( X i E i )

eZ m

m)

M

¦e

(24)

M

¦ e( X i E i )

Z ij

j 1

j 1

dr. Olaslklar pozitif deerlidir ve toplam bire eittir ve sadece M-1 tane olaslk bamsz

belirlenebileceinden

normalletirme

ilemi

yaplmaktadr.

belirlenebilmesi için parametrelerden birinin sfra eit olduunu gösteren E ik

Modelin

0 kst

kullanlarak aadaki olaslklar elde edilir. P(Yi

e X i E1

e Z i1

1/ X i )

M

e

Z i1

 ¦e

Z ij

e

X iE i

j 2

M

 ¦e

e Xi 0 M

X iijE i

e

X i0

j 2

 ¦e

1 X iijE i

j 2

M

1 ¦e

(25) X iijE i

j 2

Yukardaki eitlii m deiken için genelletirirsek;

P(Yi

m/ Xi )

e X i Em

e Zim M

e Z i1  ¦ e

Z ij

j 2

Bu ilemler

sonucu

elde

M

1 ¦e

m=2,3,…,M (26)

X iijE i

j 2

edilen Multinomial model olaslk modeli olarak da

adlandrlr.

27

Multinomial logit modellerinin dorusal olmamas nedeni ile açklayc deikenin etkisi olaslklar üzerinde sabit olmamaktadr. Bu nedenle açklayc deikenin yorumlanabilmesi için bir karlatrma grubu seçilerek marjinal etkiler hesaplanr. 3.3.1.2.

Marjinal Etkiler

Multinomial logit modelleri için elde edilen marjinal etkiler ikili tercih modellerinde olduu gibi her zaman katsay iareti ile ayn olmamaktadr. Bu nedenle marjinal etkilerin açklanmasnda dikkatli davranmak gerekir. Bunun yerine daha çok fark oranlarna veya risk oranlarna dayanan açklamalarn yaplmas önerilmektedir. Marjinal etkiler hem risk oranna öre hem de olaslklara göre hesaplanabilir. Açklayc deikendeki X ik ' daki küçük bir deiikliinin risk oranndaki deiiklik meydana getirip getirmediini belirlemek için risk orannn marjinal etkisi hesaplanr. Bunun için risk orannn X ik 'ya göre ksmi türevinin alnmas gerekmektedir. Risk orannn marjinal etkisi,

w log(

P(Y m) P(Yi 1) wX ik

E mk

(27)

olarak hesaplanr. Görüldüü gibi, X ik 'daki küçük bir deiiklik için risk oranndaki deiikliin yönü katsay iareti E mk ile belirlenmektedir. Buna göre,

E mk >0

ise

j=m'in risk olasl artacak,

E mk E cx +c ise 1. kategoriye denk gelecektir. Böylece aadaki olaslk deerlerine sahip oluruz. (Maddala , 1993, 46)

P3

F (E cx)

(34)

P2

F (E cx  c)  F (E cx)

(35)

P1

1  F (E cx  c)

(36)

M seçenekli bir olayda i bireyi için her bir seçenein yapld seçim, J=1 için

Yi

1

J=2 için

Yi

2

 J=M için olarak

ifade

Yi

M

edildiinde,

ilk

seçenek

için

kodlama

1,

ikinci

seçenek için kodlama 2, ...... eklindedir ve baml deikeni oluturan deerler için bir sra söz konusudur. Bu modellerde sralama genelde j=1,2,3,... ,M olarak verilmektedir Yukarda da belirttiimiz deki tur, deer

deerlerin bunlar

Yi =1'den

gibi

bu

saysal sadece 2

kodlama

büyüklük sray

kat

olarak

gösterir, güçlü

deildir

eklin

hiçbir

örnein, veya

anlam

Yi =2 Yi =3

ise

yok bu

bunlardan

daha iyi deildir, seçenekler arasnda aralklar eittir. Sral logit modellerinde gizli (latent) deiken yaklam kullanlabilir. Sral logit modellerinde sral gözlenen Y baml deikeni, gözlenemeyen bu deikenin fonksiyonudur. Y* olarak ifade edilen gözlenemeyen bu deiken, bir düünce veya bir olayn içinde barnd görü ile ilgili yargnn gücünü gösteren sürekli bir deikendir ve çeitli kesim noktalarna sahiptir. W ile ifade edeceimiz bu kesim noktalarna eik noktalar ad da verilmektedir. Kesim noktalan - f ile + f arasnda deikenlik gösterir. Buna göre, Yi =1

32

deerini aldnda Yi * W 1 ’in altnda, Yi =2 deerini aldnda

Yi * W M 1 ve W M f yer alacak ve

deerini aldnda

Yi

Yi * W 1 ve W 2 arasnda, Yi =M

­ 1  f d Yi*  W 1 ° * °° 2 W 1 d Yi  W 2  ® ° ° °¯M W M 1 d Yi *  f

(37)

olacaktr. Y* sürekli rassal deikeni Y'nin alaca deerleri belirlemektedir. Burada belirlenen kesim noktalar Y çin mümkün deerlen göstermektedir ve bunlar Y için tahmin deerlerini verecektir Y* deikeni açklayd deikenlerin dorusal bir fonksiyonudur ve

¦E

Yi*

k

X ik  H i

k=1,2,,…,K

(38)

k 1

olacaktr ve K

¦E

k

X ik

Z

(39)

k 1

olarak ifade edilirse sral logit modeli, Yi*

Zi  H i

(40)

eklinde olur. Burada Z i deterministik ksm, sÕ ise hata terimidir. Modelde Y* ile belirleyen deikenler arasndaki iliki tam olmadndan hata terimi yer alr. Modelde K sayda E parametresi ve (m-1) sayda kesim noktasnn ( W ) tahmin edilmesi gerekir. Modelde sabit parametre varsa, k

Yi *

D  ¦ E k X ik  H i

k=1,2,…,K

(41)

k ?1

olarak elde edilir. Sral lojit modelinde, H ortalamas 0 ve varyans S 2 / 3 olan lojistik dalma sahiptir (Borooah,2002: 7-8).

33

3.3.2.1.

Olaslklar

Açklayc deikenin verilen deerleri için Y'nin seçeneklerin olaslklar hesaplanabilir. Bu olaslklar iki kesim noktas arasndaki hatalarn dald alana karlk gelmektedir ve bu alan birikimli dalm fonksiyonlar arasndaki farkn elde edilmesi ile hesaplanabilmektedir. Herhangi bir X deeri için gözlenebilir herhangi bir seçenein tercih edilme olasl, P (Yi

F (W m  X i E )  F (W m1  X i E )

m / X i)

(42)

olarak elde edilir. Bir deikenin iki deer arasnda olma olasl, bu deerler için birikimli dalm fonksiyonlar arasndaki farka eittir. Olaslklar hesaplanrken, verilen formülde, Y,=1 için ikinci terim sfra eit, Y,=j için birinci terim 1'e eit olmaktadr. Bu nedenle, Yj=1 için olaslk P(Y,=\X,) hesaplanrken yukardaki ifadede yer alan ikinci terim ;

F (W 0  X i E )

F (f  X i E )

0

(43)

olduundan hesaplamaya katlmamaktadr. Dier özel bir durum ise Yi olaslk P( Yi

j için

j / X i ) hesaplanmasdr. Bu durumda birinci terimin bire eit olmas nedeni ile

F (W 1  X i E )

F (f  X i E ) 1

(44)

olacaktr 3.3.2.2.

Fark Oran

Sral logit modellerinin katsaylarnn yorumlanmas için fark oranlarndan yararlanlabilir. Bu modeller daha çok birikimli frekanslar için fark oranlar açsndan yorumlanr. Sonucun m’e eit veya m’den fazla olmasna ait birikimli olaslk,

P(Yi d m)

m

¦ P(Y

(45)

j)

j 1

olacaktr. Bu modeller için bir sonucun m'den büyük ( P(Yi ! m)) olanlara kar m'den daha az ya da m'e eit ( P(Yi d m)) olanlarla fark, fark oran ile elde edilebilir. Fark oran,

Rm

P(Yi d m) P(Yi ! m)

P(Yi d m) 1  P(Yi d m)

(46)

34

olacaktr. Elde edilen fark oran m seçenekten bamszdr. Sral logit modellerinde tüm seçenekler için fark orannn sabit olduu varsaylmaktadr. Katlyorum ya da tamamen katlyorum görüleri karsnda katlmyorum ya da hiç katlmyorum görüünü belirtmenin fark hesaplanr. Dier tüm deikenler sabit olduunda e E k deeri fark orann verecektedir. 3.3.3. Sral Logit Modelinin Tahmini Sral logit modelleri en çok benzerlik yöntemi ile tahmin edilebilir. Bu benzerlik fonksiyonunun oluturulmasnda olaslklardan yararlanlmaktadr. Herhangi bir x deeri için bir sonucun olaslnn,

(Yi

F (W m  X i E )  F (W m1  X i E )

m / X i)

(47)

eklinde elde edilmiti. Y'nin herhangi bir deeri için olaslklar,

1 / X i , E ,W )

Yi

1

P(Yi

 Yi

m

P(Yi

m / X i , E ,W )

 Yi

j

P(Yi

j / X i , E ,W )

olacaktr. Modelin belirlenebilmesi için sabit parametrenin E 0 veya W i 'nin sfra eit olmas gerekir. Sral logit modellerinde benzerlik fonksiyonu bu olaslklar için, M

–– P(Y

L( E ,W / Y , X )

j / X i , E ,W )

i

J 1 Yi j

–– >F (W M

=

i

 X i E )  F (W j 1  X i E )

J 1 Yi j

@

(48)

olarak elde edilir. Logaritmik benzerlik fonksiyonu ise, lnL ( E ,W / Y , X )

¦ ¦ ln >F (W j

j

 X i E )  F (W j 1  X i E )

j 1 Yi j

@

(49)

olacaktr. Bu fonksiyonun maksimizasyonu ile E ve W 'lar tahmin edilmektedir. Elde edilen tahminciler tutarl. asimptotik normal ve asimptotik etkin olacaktr .

35

3.3.3.1.

Belirlenme Hatas Testi

Hausman ve Mc Fadden (1980) IIA özelliinin snanmas için alternatif bir test önermilerdir.

Tüm seçim kümesinin alt kstlanm alt setleri için model yaps ve

parametrelerinin deimez olduunu düünelim. (Maddala, 1993, 77) C tüm seçim kümesi , Eˆc bu C kümesinden ML yöntemi ile elde edilen elde edilen parametre, VˆC ’de bu kümenin kovaryans matrisi olsun. Ardndan kstlanm seçim kümesi D için ayn deikenleri srasyla Eˆ D bu D kümesinden ML yöntemi ile elde edilen elde edilen parametre, VˆD ’de bu kümenin kovaryans matrisi olsun. Bo hipotez altnda IIA geçerlidir, Eˆ D - Eˆc sfr’n kstl tahmincisidir. Alternatif hipotez altnda ise IIA varsaym reddedilir. Bo hipotez altnda Eˆ D - Eˆc VˆD - VˆC kovaryans matrisine sahiptir. Test istatistii S ise aadaki gibi hesaplanr. S=( Eˆ D - Eˆc )’ ( VˆD - VˆC )-1( Eˆ D - Eˆc )

(50)

Bu istatistik deeri VˆD - VˆC ’nin rank serbestlik derecesi olarak Ki-kare dalmna uymaktadr. (Maddala, 1993, 78) 3.3.3.2.

Uyum yilii Ölçüleri

Sral logit modellerinde uyum yilii ölçüsü olarak farkl deerler kullanlabilir. Bunlardan en yaygn Pseduo-R2 deeridir. Bu deer: Pseduo- R 2 = 1 

L1 L2

(51)

Burada L1 , tüm açklayc deikenlerin içerildii log benzerlik fonksiyonu deeri L0 sadece açklayc deikenin sabit olduu log-benzerlik fonksiyonu deeridir. Uyum iyilii ölçüsü olarak, Pseduo- R2 deerinin yannda sral logit modelleri için varyanslara dayanan McKelvey ve Zavonian'n önerdii ölçü de kullanlabilir. Buna göre R2 deeri:

36

R2

Vˆ (Yˆ*) Vˆ (Y *)

Vˆ (Yˆ*) ˆ V (Y *)  V (H )

(52)

Burada V (H ) sral logit modelinin hata terimi varyansdr. Vˆ ise E ’nn varyanskovaryans matrisidir. Bu matris aadaki ekilde elde edilir. Vˆ (Yˆ*)

Eˆ cVˆEˆ

(53)

Sral olmayan model yerine sral bir model tahmin edilmesi olaslklarn tahmininde ciddi sapmalara neden olmakta veya sral model yerine sral olmayan bir modelin tahmin edilmesi ise etkinlik kaybna yol açmaktr. Bu nedenle gerek Multinomial logit modellerinin gerekse sral logit modellerinin tahmininden elde edilen sonuçlarn salkl olabilmesi için bu modeller için söz edilen varsaymlarn salanmas önemlidir.

37

4. DURAANLIK VE BRM KÖK SINAMALARI 4.1. SAHTE REGRESYON Duraanlk snamalarn anlamak için öncelikle sahte regresyon (spurious regression) konusunun incelenmesi yararl olacaktr. Duraan olmayan serilerle yaplan çalmalar sahte regresyon sonucunu dourmaktadr. Granger ve Newbold (1974) deikenler arasnda bulunan istatistiksel anlaml regresyonun nedeninin, bu deikenler arasnda aslnda olmayan ama duraan olmayan serilerle çalmaktan kaynaklanan sahte regresyondan kaynaklanabileceini göstermitir. Makroekonomik veriler duraan olmayabilir, duraanlatrlmayan verilerle uygulanan regresyonun istatistiksel olarak anlamlln snayan testlerin sonuçlar ise yanltcdr. Granger ve Newbold (1974) iki duraan olmayan, rassal yürüyü içeren birbiri ile korelasyonu olmayan y ve x serilerini kullanarak Monte-Carlo simülasyonu yapmtr. Simülasyonda y baml x bamsz deiken olarak yer alm; x deikenin katsaysnn istatistiksel olarak anlamsz çkmas gerekirken, yaplan denemelerin %75’inde parametrenin sfra eitliini söyleyen bo hipotez reddedilememitir 1. Banerjee, Dolado, Galbraith ve Hendry (1993,73-75) 10000 tekrar ile yaptklar Monte Carlo çalmasnda bu oran %75.3 bulmutur2. Görüldüü gibi kurulan regresyon modellerine uygulanan snamalarnn geçerlilii için duraan serilerle çalmak gerekmektedir. Serilerde yer alan trendden dolay birbirleri ile ilikisiz olan serilen yaplan testler sonucu ilikili görünmektedir. 4.2. DURAANLIK Ekonometri uygulamalarnda kullanlan veri türleri; yatay kesit verileri, zaman serisi verileri ve panel veridir. Duraanlk zaman serisi verilerinde görülen bir özelliktir. Duraan sürecin en basit tanm; herhangi bir trend etkisi tamayan, varyans ve ortalamas sabit olan (zaman içerisinde deimeyen), kovaryans hesapland döneme deil, dönem arasndaki

1 Burada %5’te ya da %10 anlamllk düzeyi derken ne demek istediimiz konusunu hatrlamakta yarar var. Örnein %5’te çalyorsak; bu, modeli 100 kere kurarsak, bir simülasyonda 100 deneme yaparsak aslnda anlaml olan yani bo hipotezin reddedilmesi gereken modeli 5 kere reddedemeyeceimizi söylemi oluyoruz. Reddedilmesi gereken bo hipotezi 5 kere reddedemeyebileceimizi batan belirtmi oluyoruz. 100 simülasyon sonucunda yaplan hipotez testleri 5 kere reddedilememe sonucuna ulamal, ancak seriler duraan olmaynca 75 kere reddedilememe sonucu olumu. 2 Ayrntl bilgi için bkz: Richard Haris and Robert Sollis Applied Time Series Modelling and Forecasting, Chichester, West Sussex, England : J. Wiley, c2003

38

farka bal olan süreçtir. Zayf Duraanlk koullar olarak tanmlanan bu koullar, bir zaman serisi Yt için aadaki gibi gösterilir:

E>Yt @ P

(1)

Var>Yt @ V 2

(2)

Cov>Yt , Yt n @ Cov>Yt , Yt m @

(3)

Yukarda saylan koullara ek olarak; ele alnan zaman serisinin herhangi bir n birimlik gözlem setinin ortak dalm, Y(t 1), Y(t2),…, Y(tn) her n ve k için, Y(t1 +k), Y(t2 +k), …, Y(tn +k) setinin ortak dalm ile ayn dalma sahipse bu süreç güçlü duraan olaslkl süreç olarak bilinir. Güçlü duraanlk koullarn tanmlayan kstlarn salanmasnn güçlüünden uygulamada zayf duraanlk koullarnn salanmas yeterli görülür. Eer bir zaman serisi yukarda saylan koullar3 salamyorsa, duraan olmayan zaman serisi adn alr. ekil 4.1 ortalamada ve varyansta duraan olan ve olmayan serilerin temsili grafikleri sunulmutur. Görüldüü gibi b panelinde veriler ne kadar deikenlik tasa da dönemsel olarak ikiye bölündüünde ortalamalar duraandr.

a) Ortalamada Duraan Olmayan

b) Ortalamada Duraan

ekil 4.1: Ortalamada Duraanlk Duraan bir sürece en iyi örnek beyaz gürültü (white noise) hata terimidir. Ortalamas sfr, varyans sabit, ardk baml olmayan olaslkl süreci aadaki gibi gösterebiliriz.

3

Burada bahsedilen koullar zayf duraanlk koullardr.

39

ekil 4.2: Beyaz Gürültü Süreci 4.2.1. Duraan Olmayan Süreçler Bir zaman serisinin modellenmesinde kullanlacak birçok farkl çeitte stokastik süreç bulunmaktadr. Duraan olmayan bir zaman serisini tanmlamak için; rassal yürüyü (random walk),

hareketli

ortalamalar

süreci

(moving-averages

process),

otoregresif

süreç

(autoregressive process),… kullanlabilir. Bu bölümde duraan olmayan süreç; rassal yürüyü süreci, eilim duraan süreç (trend stationary process) ve fark duraan süreçten (difference stationary process) yararlanlarak anlatlacaktr. Ad geçen süreçlerin seçilmesi, ileride anlatlan birim kök testleri ve bu testlerin yaygnlamasn salayan makalelerin yap talarn oluturmas ve ilerleyen konularn daha anlalr klnmasdr.

4.2.1.1.

Rassal Yürüyü Süreci

Rassal Yürüyü duraan olmayan bir zaman serisi örneidir. Hisse senedi fiyatlarnn hareketi buna çok iyi bir örnektir. Hisse senedi fiyatlar bir önceki dönemin fiyatna rassal bir etkinin eklenmesiyle oluan bir süreç izler.

H t ’nin P ortalama ve V 2 varyansl bir seri olmas varsaym altnda, Yt serisi aada (2.4)’ de tanmlanan süreçle üretiliyorsa bu seri rassal yürüyü serisidir.

Yt

Yt 1  H t

(4)

40

Yukarda genel hali yazlan denklemi Y1 ,Y2 ve Yn için yazarsak, rassal yürüyü sürecinin yaratt sorunu daha iyi gözler önüne sereriz.

Y1

Y0  H 1

Y2

Y1  H 2

( y0  H 1 )  H 2

Y3

Y2  H 3

(Y0  H 1  H 2 )  H 3

Yt

Yt 1  H t

(Y0  H 1  H 2  ....  H t 1 )  H t

Yt

Y0  ¦ H i

(5)

y0  (H 1  H 2 ) Y0  (H 1  H 2  H 3 ) Y0  (H 1  H 2  H 3  ...  H t )

(6) (7) (8)

t

(9)

i 1

Balangç deeri olan Y0 ’n sfra eit olduunu varsayalm. Bu durumda t

Yt

¦H

(10)

i

i 1

olacaktr. Görüldüü gibi E>Yt @ tP Var (Yt )

tV 2 olup zaman içerisinde sonsuza doru

büyümekte olan duraan olmayan bir süreçtir. Bu serinin fark alnarak elde edilecek seri ise duraan olacaktr. 4.2.1.2.

Trend Duraan Süreç, Fark Duraan Süreç

Zaman serisi modellerinde sahte korelasyon (spurious correlation) sorununu zamann yaratt etkiyi ya da baka bir deyile serinin eilimini yanstan t deikeni modele katlr. Bu durumda Yt serisi aadaki süreçle üretilmitir.

Yt

f (t )  H t

(11)

f (t ) trend, H t sfr ortalamal V 2 varyansl duraan bir süreçtir. f (t ) ’nin dorusal bir trend sergilediini varsayarsak Yt aadaki gibi modellenir.

Yt

D 0  Et  H t

(12)

41

Nelson ve Ploser (1982) makroekonomik deikenleri trendi ve rassal yürüyüü ele aldklar makalelerinde (12) yi, trend duraan süreç4, TDS(TSP) olarak tanmlamlardr. Bu seriyi trendden arndrmak amacyla farkn alnrsa;

'Yt

E  H t  H t 1

Yt  Yt 1

(13)

elde edilir. Görüldüü gibi seri duraanlatrlamamtr. Serinin bir kez daha farkn trendden arndrlm seri olarak aadaki seri elde edilir. Görüldüü gibi bu seri duraan deildir. '2Yt

'2 H t

H t  2H t 1  H t 2

(14)

Nelson ve Ploser ayn makalelerinde aadaki denklemi (15) tanmlar ve bu süreci ise fark duraan süreç FDS (DSP) olarak adlandrr.

Yt  Yt 1

E  Ht

(15)

Bu model, yukarda anlatlan rassal yürüyü modelidir. TDS ve FDS olarak adlandrlan bu iki süreç de dorusal eim sergilemektedir fakat bu iki süreçte trendi arndrma yöntemi farkldr. TDS bir seriyi trendden arndrmak için, trend modele eklenir (16) ve modele EKK uygulanr. Elde edilen artklar trendden arndrlm seridir. FDS bir süreci trendden arndrmak içinse bu serinin fark alnr (2.17) ve seri duraanlatrlr. Yt

'Yt

D 0  E1T EKK  o Hˆ

(16)

Yt  Yt 1

(17)

4.2.2. Duraanln Saptanmas Duraanln saptanmas için birçok yöntem gelitirilmitir. Serilerin görsel olarak incelenmesi ile de duraanlk saptanabilir. Dier bir yol korelogramdan ve örnek otokorelasyon katsaysndan yararlanmaktr. Günümüzde duraanln saptanmas için bu amaçla gelitirilmi birim kök testleri kullanlmaktadr.

4

Hata teriminin sfr ortalama ve sabit varyansl olduu varsaym devam etmektedir.

42

4.2.2.1.

Otokorelasyon Katsays

Otokorelasyon katsays; gecikme k iken hesaplanan kovaryansn, varyansa bölümüdür. Gecikme k iken otokorelasyon katsays U k ile gösterilir. Kovaryans Jˆ k ile örneklem varyansn Jˆ 0 ile gösterelim. Bu iki deer aadaki gibi bulunur. n

Jˆk

Jˆ0 Uk

¦ (Yt Y )(Yt  k Y )

t k 1

(19)

n

¦ (Y

t

 Y )2

(20)

n

Jˆ k Jˆ0

(21)

Her korelasyon katsays gibi bu katsay da -1 ile +1 arasndadr. Eer U k ’nn k’ya göre grafiini çizersek otokorelasyon fonksiyonunu elde ederiz. Bu çizim bize duraanlk hakknda bilgi salar. Çizilen bu fonksiyon k=o iken 1 den balar, serinin kendisi ile korelasyonu 1 çkacaktr. lk deerden sonra serinin ilerleyii serinin duraanl hakknda fikir sahibi olmamz salar. Aadaki seri otokorelasyon fonksiyonu incelenirse serinin deerlerinin çok yava küçüldüü görülecektir. Bu tür örüntüler zaman serisinin duraan olmayan zaman serilerinde karmza çkar.

ekil 4.3: Otokorelasyon fonksiyonu

43

Otokorelasyon fonksiyonlarndan görsel olarak yararlanlabildii gibi hipotez testleri ile de snanabilir. U k ’nn bütünüyle rassalsa yani beyaz gürültü sergiliyorsa örneklem otokorelasyon katsaylar, n örneklem büyüklüü olmak üzere sfr ortalama ve 1/n varyansla normal dalma uyar.

1

ˆ k ~ N (0,

n

)

(22)

Bu çalmada bu testlerden Box ve Pierce (1970) ve Ljung ve Box (1978) tarafndan gelitirilen Q * Testi ele alnacaktr. Bu testte otokorelasyon katsaylarnn tümünün birden sfra eitlii snanr. Box-Pierce test istatistii Q Ljung-Box Test istatistii LB olarak adlandrlr. Aada hipotezler ve kullanlan test istatistikleri görülmektedir

H 0 : U1

U2

...

Uk

0 Otokorelasyon yok Seri duraan

H a : U1 z U 2 z ... z U k z 0 Otokorelasyon var Seri duraan deil. n

Q

n¦ Uˆ k2

(23)

k 1

n

LB

n(n  2)¦ k 1

Uˆ k2

(24)

nk

n : Örneklem büyüklüü m : Gecikme uzunluu LB test istatistii ki-kare dalmna uyar ve küçük örneklemde daha güçlü bir testtir. Otokorelasyonun varlnn aratrlmas ile ilgili yukardaki testleri uygulanrken, otokorelasyonu ortadan kaldrmaya yetecek uygun gecikme uzunluunun da tespit edilmesi gerekir. Eer gecikme uzunluu gereinden fazla olursa serbestlik derecesi problemi ortaya çkar, etkinlik kayb olur. Az olursa da ihmal edilen deikenler yüzünden sapma meydana gelir ve otokorelasyon problemi çözülememi olur. Uygun gecikme uzunluklar seçilirken, Akaike Final Prediction Error (FPE), Akaike Information Criterion (AIC), Schwartz Criterion (SC) veya Hannan-Quinn Criterion (HQ) gibi kriterlerden faydalanlr. Bu konuya ilerleyen bölümlerde ayrntl olarak deinilecektir.

44

4.2.3. Birim Kök Snamalar Duraanl snamada günümüzde birim kök snamalar kullanlmaktadr. Bu snamay u modeli ele alarak açklayabiliriz.

Yt

UYt -1  H t

(25)

Buradaki hata terimi beyaz gürültü hata terimidir. Bu denklemdeki Yt -1 ’in katsays U 1’e eitse bu seri birim kök içeriyor denir. Bu durumda uygulanacak olan bu katsaynn 1’e eitliini snayan t testidir. Kullanlan hipotez ve test istatistii aada verilmitir.

H0 : U

1 Seri duraan deildir. Serinin birim kökü vardr.

H a : U  1 Seri duraandr. Serinin birim kök yoktur. Test statistii: ȡˆ - 1 t= S ȡˆ

(26)

Herhangi bir serinin “t” istatistiinin hesaplanabilmesi için, serinin duraan olmas gerekir. Dolaysyla

H 0 hipotezi altnda standart “t” testi kullanlabilirliini yitirir.

Hesaplanan “t” deeri t dalmna uymaz ve sapmal olur. Böyle bir durumda yeni bir tabloya ihtiyaç duyulur. Yukarda birim kök testlerinin temel modeli ele alnmtr. Fakat eer incelenilen seri duraan deilse, yukarda belirtilen istatistiksel sorunun dnda önceki bölümlerde anlatlan sorunlardan dolay model de geçersiz olacaktr. Zaten duraan olmayan ve bu nedenden sahte regresyon vb. sorunlar yaratacak olan bir serinin SEK (Sradan En Küçük Kareler) kullanlarak hesaplanacak bir modelde yer almas, bu modelden elde edilecek istatistiksel sonuçlar güvenilmez klacaktr. Yukardaki denklemde Yt -1 ’in varlndan kaynaklanan etkinlik kaybndan dolay ȡˆ aa doru sapmal olur. Bu durum standart hatay büyültür ve duraanlk konusunda yanl karar verilmesine neden olur. Ekonometriciler bu sorunlarla ba edecek birim kök testlerini gelitirmilerdir. Bu testlerden en eskisi ve en çok kullanlan ADF Testi’dir. Ardndan çkan birim kök testleri, kendisinden önce gelen testlerdeki sorunlar ya da bu testlerdeki eksikleri gidermek amacyla gelitirilmitir.

45

Üretilen bu testlerin hipotez ve test istatistikleri birbirine oldukça yakn bazen de ayndr. Birim kök testlerinin anlatld bu bölümde, öncelikle ADF Testi bir birim kök testinin ileyiini de kapsayacak biçimde ayrntl olarak anlatlacak, ardndan gelen testler, hangi eksikleri giderdii ya da hangi sorunlar çözdüü konularna deinilerek tantlacaktr. 4.2.3.1.

DF Snamas

Dickey ve Fuller (1979) makalelerinde, yukarda belirtilen etkinlik kaybndan doan, etkinin varln modelin her iki tarafndan Yt -1 çkararak ortadan kaldrmlardr. Yukarda bahsedilen birim kök testinde yeni bir tabloya ihtiyaç duyulduu belirtilmitir. Bu tablo Dickey ve Fuller (1979) tablosudur. Bu makalede uygulanan birim kök snamas yazarlarn soyadnn ba harfi DF ile anlmtr ve en yaygn kullanma sahip birim kök testidir. Elde edilen regresyon denklemi aada ama aama görülmektedir.

Yt

UYt -1  H t

(26)

UYt -1 - Yt -1  H t

Yt - Yt -1

(27)

'Yt

( U - 1)Yt -1  H t

(28)

'Yt

U * Yt -1  H t

(29)

Elde edilen bu denklemden sonra sfr önsav katsaynn bire deil sfra eitlii ile snanr ve kullanlan test istatistii W (tau) olarak adlandrlr. Bu durumda kullanlan test hipotezi ve test istatistii:

H 0 : U*

0 Seri duraan deildir. Serinin birim kökü vardr.

H a : U *  0 Seri duraandr. Serinin birim kök yoktur.

W

Uˆ * S Uˆ *

~ DF(79)

Bu

test

(30) istatistiinin

eik

deerleri

ad

geçen

yazarlar

tarafndan

tablolatrlmtr. Fakat bu makalede yer alan tablolar yeterli genilikte deildir. MacKinnon (1991) makalesinde bu tablolar geniletmitir. Ekonometri bilgisayar programlarnn çktsnda verilen tablolar MacKinnon’n makalesinde elde edilen tablolardr.

46

Dickey ve Fuller makalelerinde üç tip regresyon modeli kurmu ve bunlar içinde üç tip test istatistii üretmitir. Kurulan modeller; incelenilen çalmann daha önceki bölümlerinde belirtilen TDS, FDS konularn temel alarak sabitin yer ald, hem trendin hem sabitin yer ald, ya da ikisinin de yer almad modeldir. Aada yer alan modeller için kullanlan test istatistikleri srasyla tau istatiskleri, W ,

W P , W T ’dir. Her denklemin test istatistii için tabloda kendi adyla yer alan kritik deere baklr. 'Yt

U * Yt -1  H t

(31)

'Yt

D  U * Yt -1  H t

(32)

'Yt

D  E t  U * Yt -1  H t

(33)

lk modele sabitin ve trendin eklenmesi kritik tablo deerlerinin mutlak deerlerinin yükselmesine neden olacaktr, bu da reddedilmesi gereken sfr hipotezinin reddedilmesini güçletirecektir. Hesaplanan test istatistii deerinin negatif olmas beklenir. Tablo deerleri negatif deerlerden oluur. Hesaplanan test istatistiinin, say dorusunda tablo deerinin solunda yer almas ya da baka bir söylemler daha küçük olmas durumunda sfr hipotezi reddedilir ve seri duraandr ya da birim kök içermiyor denir. Tersi durumda ise seri duraan deildir. Dickey ve Fuller (1979) testinin güvenilir bir test olmas için artk terimlerinin otokorelasyonsuz ve sabit varyansl olmas gerekir. Yani artk terimler White Noise özellii göstermelidir. Aksi takdirde DF testine güvenilmez. Deien varyans ortadan kaldrmak için modele logaritmik dönüüm, otokorelasyonu ortadan kaldrmak için ise, denklemin sana gecikmeli baml deiken deerleri konulur. Gecikmeli baml deikenlerle elde edilen yeni model Geniletilmi Dickey Fuller (Augmented Dickey Fuller, ADF) olarak adlandrlr. Anlatlan DF testini daha iyi anlamak için varsaymsal grafii incelendikten ve gerekli dönüümler (logaritma alnmas) yapldktan sonra varsaymsal bir X t serisinin birim kök incelemesini yapalm.

47

lk aamada duraanl ya da baka bir deyile birim kök durumu aratrlacak olan seri X t kurulacak olan model5 'X t

GX t -1  H t olacaktr. Bu modelin katsays tablo

deeriyle karlatrldnda, istatistik deeri say tablosunda tablo deerinin solunda yer alyorsa sfr hipotezi reddedilir. Bu durumda seri duraandr ya da birim kök içermiyor denir ve I(0) olarak gösterilir. Sfr hipotezinin reddedilememesi durumunda serinin birim kökü vardr denir ve 1. ya da daha üst dereceden duraan bir serimiz vardr. Bu durumda teste devam edilir ve bir sonraki aamaya geçilir. Bir sonraki aamada duraanl test edilecek seri ' Xt 2

'X t , kurulacak model

M'X t -1  H t dir. Elde edilen test istatistiinin tablo deerinden mutlak deer olarak

büyük olmas serinin birim kök içerdiini söyleyen H 0 hipotezinin reddedildiini incelenen serinin duraan olduunu gösterir. Bu durumda X t sersinin I(1) yani birinci dereceden bütünleik olduu söylenir. Tersi durumda seri I(2) ya da daha yüksek dereceden bütünlenendir. Bir önceki aama '2 X t serisi için uygulanmaya devam edilir. Teorik olarak her ne kadar bir sonraki aamaya geçilmesi gerekse de yaplan ekonometrik çalmalar makroekonomik zaman serilerinin I(2) den yüksek olmadn ve büyük çounluunun I(1) olduunu göstermitir. 4.2.3.2.

ADF Snamas

DF testi anlatlrken otokorelasyon sorunu çözmek amacyla denklemin sana baml deikenin gecikmelerinin eklendii ve oluturulan yeni modele uygulanan teste ADF testi dendii belirtilmiti. Bu test, Said ve Dickey (1984) makalesine dayanmaktadr. Yazarlar makalelerinde otoregresif zaman serilerinden doan sorunlardan yola çkarak bu testi gelitirmilerdir. Makaleleri varsaymlar ve teoremlerin ispatn içeren teorik tabanl bir makaledir. ADF test istatistii ile DF test istatistikleri büyük örneklemde ayn dalm sergilediinden, kullanlacak tablolar ayndr. Hipotez ve test istatistiklerinin kurulmas Dickey-Fuller (1979) makalesinden farkllk göstermemektedir. Eklenecek gecikmeli deer

5

Genel gösterim olarak sabit ve trend içermeyen model seçilmitir. Uygulamada hangi modelin kullanlacan anlamak amacyla çeitli yöntemler bulunmaktadr. En basit yöntem olarak sabitin ve trendin olduu modelden balayarak, kullanlan ekonometri bilgisayar programnn çktlarnda katsaylarn t testlerinin anlaml olduu modele doru inmek kullanlabilir. Dier bir yöntem çalmann ilerleyen aamasnda anlatlacaktr.

48

says seçilirken ardk bamlln ortadan kalkmas önemlidir. Bunun için kullanlacak kriterler çalmann bir sonraki bölümünde aktarlacaktr.

'Yt

k

UYt 1  ¦ E i 'Yt i  H t

(35)

i 1

'Yt

k

D 0  UYt 1  ¦ E i 'Yt i  H t

(36)

i 1

'Yt

k

D 0  E t  UYt 1  ¦ E i 'Yt i  H t

(37)

i 1

Yukarda yer alan modeller için kullanlan test istatistikleri de belirtildii gibi DF testi ile ayn W , W P , W T ’dir. Yukarda ncelenilen DF testinin ardndan birçok yeni test gelitirilmitir. Bu testlerden Phillips, Perron’un PP(1988), Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ve Shin’in KPSS (1992) ve Elliot, Rothenberg (ERS,1996) spektral tahmin yöntemlerine dayanan birim kök testleridir (Çalayan ve Saçakl, 2006). Parametrik olmayan yöntemler uygulanarak gelitirilen bu yöntemlerin amac testlerin gücünün arttrlmasdr. 4.2.3.3.

PP Snamas

ADF testi birim kök testleri içinde en yaygn kullanlan olmasna karn testin içerdii eksiklerde bulunmakta ve bu eksiklikler yardmc testlerle giderilmektedir. Phillips ve Peron (1988) makalelerinde daha çok finansal zaman serilerinde popüler olan birim kök testlerini gelitirmilerdir. Bu test hatalarda meydana gelen serisel korelasyon ve deien varyans sorunu ile ba etme konusunda ADF ile farkllamaktadr. ADF denkleminde otokorelasyonu engellemek amacyla gecikmeli deerlerin eklenmesi yerine yazarlar DF denklemini tahmin ederek t istatistiklerini de yeniden düzenlemilerdir. Bu test yanl bir H0 hipotezini reddetmek için daha güçlüdür. Aada bu testin kulland hipotez testleri ve istatistikleri aada okuyucuya sunulmutur. Kullanlan regresyon denklemi:

'Yt

E cDt  SYt 1  ut , u t aI(0)

(38)

Kullanlan t istatistii:

49

tD

tD (

J0 f0

1

)2 

T ( f 0  J 0 )( se(Dˆ ))

(39)

1

2 f 02 s

Formülde kullanlan D tahmin edilen katsay; s denklemin standart hatas; J0 hata varyans ve

f 0 sfr frekansndaki artk spektrumu tahmincisidir. Hipotezler ve karar kriteri

DF testi ile ayndr. 4.2.3.4.

ERS (DF-GLS) Snamas

Elliot, Rothenberg ve Stock 1996 ylnda yaynladklar makalelerinde ADF testinin Genelletirilmi En Küçük Kareler (Generalized Least Square) yöntemi ile dönütürülmesini ve trendden arndrlmasn önermilerdir. Trend içermeyen bir seri için ve trend içeren bir seri için farkl iki model kullanlmaktadr. Birim kökü incelenecek seri X t ise modeller aada görülmektedir.

'X t

k

D 0  E t  UX t 1  ¦ E i 'X t i  H t i 1

'X td

(40)

k

UX td1  ¦ E i 'X tdi  H t

(41)

i 1

Hesaplanan bu DF-GLS test istatistii sadece sabit terimin eklendii durumda DickeyFuller dalmna uyar. Ancak hem sabit terim hem trendin eklendii durumda bu dalmdan farkllar. Yazarlar makalelerinde Monte Carlo simülasyonu uygulam; 50, 100, 200 ve sonsuz gözlem için tablo deerlerini oluturmulardr. Test hipotezleri ve karar aamas ADF ile ayndr. 4.2.3.5.

Ng Perron Snamas

Ng-Peron (2001) makalelerinde; GLS trendden arndrma prosedürü üzerine yeni bir birim kök testi gelitirmitir. Bu test PP testinin büyük negatif MA ve AR kökleri içermesi durumundaki sapmay sergilemeyen bir testtir. Bu testte, dört test istatistii bulunmaktadr. Kullanlan üç test istatistiinin hesaplanmas aada görülmektedir. Test istatistikleri GLS d trendden arndrlm veri yT kullanlarak oluturulmaktadr.

50

MZ D

T 1 ( yTd ) 2  f 0 2k

(42)

MZ t

MZ D xMSB

(43)

MSB

(

1

K 2 ) f0

(44)

­ (c 2 k  c T 1 ( yT ) 2 / f 0 ® 2 1 2 ¯(c k  (1  c )T ( yT ) / f 0

MPT

if if

xt xt

^1` ^1, t`

Eer seride trend etkisi yok sadece sabit varsa ( X t

^1, t`),

ylm varsa ( X t

(45)

^1` ),

c = - 7,0 hem trend hem de

c = -13,5 tablosunun kullanlmas gerekmektedir. Elde edilen MZ

test istatistikleri negatif hareketli ortalamalar durumunda PP den daha etkin ve daha az sapma içermektedir. Testin karar aamasnda ADF testi gibi davranlr. 4.2.3.6.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ve Shin (KPSS) Snamas

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ve Shin (1992) testlerini serinin duraan olduunu söyleyen bo hipotezi kullanarak, Lagrange Çarpan üzerine kurmutur. Bu test ekonometri yaznnda duraanlk testi olarak ele alnmaktadr. Dier testlerin hipotezleri hem birim kök hem duraanla göre yorumlanrken, KPSS testi sadece duraanl söyleyen hipotez üzerine kurulur. Kullanlan LM istatistii:

¦ S (t )

2

i

LM

2

T f0

S i (t )

t

ve S i (t ) 2

¦ vˆ

rt

r 1

(46)

, birikimli artk fonksiyonunu ve vˆr ise 46 denkleminden tahmin edilen artklar

simgelemektedir. Kullanlan kritik deerler Kwiatkowski ve di. (1992) makalesinde Tablo 1 de belirtilmektedir. Uygulanan test açklayc deikenin sabit veya deterministik trend içermesine göre kurulur. Test istatistikleri de bu modellere göre; KT ,K isimlerini alr. Ayrca

f0

sfr frekansndaki artk spektrumu tahmincisidir

Yt

E cDt  Pt  ut ,

ut

aI(0)

(47)

51

Pt

P t 1  H t , H t aWN(0, V H2 )

(48)

Dt deterministik bileeni simgelemektedir Test hipotezleri : ‫ܪ‬଴ ǣ ߪఌଶ ൌ ͲSeri duraandr. ‫ܪ‬଴ ǣ ߪఌଶ ൐ ͲSeri duraan deildir. Yukardaki hipotezlerde dikkat edilmesi geren nokta, sfr hipotezinin serinin duraan olduunu söyleyen hipotez olmasdr. Önceki bölümlerde incelenilen tüm testlerde sfr hipotezinin reddi serinin duraan olduuna karar verilmesi anlamna gelirken bu test de tam tersi söz konusudur. 4.2.3.6.1. Gecikme Belirleme Kriterleri Birim kök testleri anlatlrken otokorelasyonun ortadan kaldrlmas için modele baml deikenin gecikmeli deerlerinin eklendii, eklenecek gecikmeli deerleri seçmek amacyla da çeitli kriterlerin kullanldndan bahsedilmiti. Bu kriterler ve hesaplama formülleri aadaki tabloda görülmektedir. Tablo 4.1: Gecikme Kriterleri Kriter

Formül

Akaike(AIC)

l 2k  2( )  T T

Schwarz(SIC)

l k log( T )  2( )  T T

Hannan-Quinn (HQ)

l 2k log(log( T ))  2( )  T T

Modified AIC (MAIC)

l 2(k  W )  2( )  T T

Modified SIC (MSIC)

l (k  W ) log( T )  2( )  T T

Modified HQ (MHQ)

l 2(k  W ) log(log( T ))  2( )  T T

T : Gözlem Says

52

k: Parametre Says l : Logaritmik olabilirlik (likelihood) fonksiyonu

D2¦

W

t

Yukarda

yt21

V2

formülleri

görülen

kriterler

karar

aamasnda

ayn

yöntem

ile

sonuçlandrlrlar. Birim kök incelemesi yaplan seride kullanlan gecikme saysna göre, 1. gecikme için hesaplanan AIC deeri AIC1 ikinci gecikme için hesaplanan AIC deeri AIC2 olarak adlandrlr. Hesaplanan AIC’lerden minimum olan seçilir ve kullanlacak gecikme belirlenmi olur. Dier kriterler için de ayn yöntemle karar verilir. Önemli iki sorun hangi gecikme kriterinin kullanlaca ve gecikme kriteri deerlerinin en yüksek kaç gecikme için hesaplanacadr. Bu bölüm birinci sorunu aydnlatmak üzere hazrlandndan, ikinci konuya ksaca açklk getirilecek ve sonra dier sorun ayrntl olarak ele alnacaktr. En çok kaç gecikmeden balanaca hakknda bir çok yöntem6 önerilmitir. En yaygn kullanlan formül Schwert (1989) makalesinde önerilen p kullanlan gecikme says olmak üzere p max

T 1/ 4 º ª «¬12(100 ) »¼ ‘dr. Ekonometri paket program EViews’ ta da, maksimum

gecikme says olarak program tarafndan otomatik belirlenen say bu formül ile hesaplanmaktadr. Kullanlan kriterler tutarllk ve büyük örneklem etkinlii varsaymlar üzerine temellenir. Bu gecikme belirleme ölçütlerinin hangi örneklemlerde ve ne tür modellerde kullanlaca aada belirtilmitir. AIC büyük örneklemde daha etkin bir kriterdir, SIC’da tutarllk varsaymn salayan bir kriter olup orta ve küçük örnekte daha güvenilir sonuçlar elde edilmesini salar. Hannan-Quin (HQ) kriteri ise sral, ikili ve sansürlü modellerde kullanlmaktadr. AIC modeli için serilerde MA tipi otokorelasyon olmas durumu için Modified AIC modeli gelitirilmitir. SIC Bayezyen ayarlama yapldndan gecikme uzunluu seçiminde daha tutumlu davranr. 6

Bu konuda yazlm bir çok makale vardr. Ayrca ekonometri kitaplarnda da bu kriterlere deinilmektedir. ncelenen çalmada bu makalelere ayrca deinilmeyecektir. Daha ayrntl bilgi için bkz: Perron and Ng “Useful Modifications to Some Unit Root Tests with Dependent Errors and their Local Asymptotic Properties,” RESTUD, (1996), Ayrca bkz: Ng and Perron “Unit Root Tests in ARMA Models with Data-Dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag,” JASA, 1995.

53

Kullanlan örneklem ve seriyi üreten süreç göz önünde bulundurarak, en uygun ölçüt seçilmeli ve elde edilen deerlerden minimum deeri veren gecikme birim kök testi modeline eklenmelidir. 4.3. PANEL BRM KÖK SINAMALARI Ekonometrik aratrmalarda kullanlan üç veri tipi bulunmaktadr. Bunlar; zaman serisi verileri, yatay kesit (cross section) verileri panel verilerdir (panel data). Yatay kesit veriler gözlemlerin; kiiler, tüketiciler, hane halklar, firmalar, bölgeler, ülkeler gibi birimlere göre düzenlenmesi ile elde edilir. Zaman serisi verileri gözlemlerin; yl, ay, gün, dakika gibi dönemlere göre düzenlenmesi ile elde edilir. Panel veri ayn yatay kesit birimlerinin zamana göre düzenlenmesi ile elde edilirler 7. Panel veri zaman serisi bileenini içerdiinden panel veride de birim kök testleri kullanlmaktadr. Ancak panel verilerin içerdii yatay kesit verilerini de içeren panel birim kök testleri gelitirilmitir. Panel birim kök testlerinden önce ksaca panel veri hakknda bilgi vermek yararl olacaktr. 4.3.1. Panel Veri Ekonometrisine Genel Bir Bak Panel veri analizinde zaman serisi ve yatay kesit veriler bir arada bulunmaktadr. Panel veri analizinin zaman serisi ya da yatay kesit verilerinden tekini barndran analizlere göre birçok avantaj vardr. Baltagi (1995) ve Gujaratti (2003) panel veri yönteminin üstünlüklerini u ekilde sralamaktadr. 1-

Panel

veri

yöntemi

yatay

kesit

ve

zaman

serisi

gözlemlerini

birletirdiinden gözlem says daha fazladr. 2-

Panel veri teknikleri, zaman boyunca ülkeler ile ilgili olduklarndan bu birimler yüksek olaslkla heterojenlik baz deikenlerle izin vererek hesaba katabilmektedir.

3-

Panel veri deikenler arasnda daha az çoklu dorusal balant sorunu oluturur.

4-

Ksa zaman serisi ve/veya yetersiz kesit gözlemin varlnda ekonometrik analiz yaplmasna izin verir.

7

Panel verinin ayn birimler için olmas dolasyla; hem zaman hem de yatay kesit verisi içeren ancak ayn birimler için deil de hem zaman serisine hem de yatay kesit birimlerine göre deiim gösteren veri türü ise havuzlanm veri (pooled data) olarak ayr bir veri türü olarak adlandrlmaktadr.

54

Panel veride homojenlik hipotezleri reddedildiinde bireylerden ve/veya zamandan doru olan heterojenlii dikkate almann en basit yolu deiken-kesimli modellerdir. Bu tür modellerin temel varsaym, gözlemlenen açklayc deikende koulludur, ihmal edilmi (veya dlanm) deikenlerin etkileri üç tip deikene göre davranr: bireysel zamandadeimez(individual time-invariant), dönemsel bireyde-deimez (period individual time invariant), ve bireysel zamanla deien deikenler (individual time-varying). Tek balarna ele alndklarnda zaman-deimez deikenler, zaman içinde (süresince) belli bir yatay kesit birim için ayn kalan ancak yatay kesit birim boyunca deien deikenlerdir. Birey zamandadeimez deikenler zaman içinde verili yatay-kesit birim için sabit fakat yatay kesit birimini boyunca deien deikendir ( Hsiao, 1985, 25). Panel veri modelinin tahmin edilmesinde sabit etkiler (fixed effects) ve rassal etkiler (random effects) olmak üzere iki yaklam vardr. Sabit etkiler yaklam sabit terim (intercept), eim katsaylar (slope coefficients) ve hata terimi üzerine yaplan çeitli varsaymlara dayanr. 4.3.1.1.

Tek Yönlü Hata Bileenli Regresyon Modeli

Panel veri regresyonlar zaman serisi e yatay kesit verilerini içerir. Genel gösterim olarak bir panel veri modeli aadaki gibi gösterilebilir. ࢅ࢏࢚ ൌ ࢼ૙ ൅ ࢼ૚ ࢄ૚࢏࢚ ൅ ࢼ૛ ࢄ૛࢏࢚ ൅ ࢼ૜ ࢄ૜࢏࢚ ൅ ‫ ڮ‬൅ ࢼ࢑ ࢄ࢑࢏࢚ ൅ ࢿ࢏࢚

i=1,....,T

Her panel veri modeli aada ࣆ ile gösterilen gözlemlenemeyen etkiler tar. Kullanlacak

modeller;

yaplacak

incelemenin

örneklem

seçimine

ve

bu

gözlemlenemeyen etkilerin bulunduu bileene göre belirlenir. Panel veri modelleri birimlere ya da zamana bal deiim oluturuyorsa tek yönlü panel veri modelleri, birim ve zamana göre deiimi birlikte gösteriyorsa çift yönlü panel veri modelleri olarak adlandrlmaktadr. Birim ve zamana etkilerine göre modelleri ઺૙ sabit parametre, ઺‫ ܓ‬eim olarak adlandrldnda aadaki ekilde özetleyebiliriz. ۹

‫ ܜܑ܇‬ൌ ઺૙ ൅ ෍ ઺‫ ܜܑܓ ܆ ܓ‬൅ ઽܑ‫ܜ‬ ‫ܓ‬ୀ૚ ۹

‫ ܜܑ܇‬ൌ ઺૙ܑ ൅ ෍ ઺‫ ܜܑܓ ܆ ܓ‬൅ ઽܑ‫ܜ‬ ‫ܓ‬ୀ૚

Sabit parametre ve eim parametresi, yatay kesit ve zamana göre sabit olduu model. Sabit parametrenin birimlere göre deitii, eim parametresinin sabit olduu model

55

۹

‫ ܜܑ܇‬ൌ ઺૙ܑ‫ ܜ‬൅ ෍ ઺‫ ܜܑܓ ܆ ܓ‬൅ ઽܑ‫ܜ‬ ‫ܓ‬ୀ૚ ۹

‫ ܜܑ܇‬ൌ ઺૙ܑ ൅ ෍ ઺‫ ܜܑܓ ܆ ܑܓ‬൅ ઽܑ‫ܜ‬ ‫ܓ‬ୀ૚ ۹

‫ ܜܑ܇‬ൌ ઺૙ܑ‫ ܜ‬൅ ෍ ઺‫ ܜܑܓ ܆ ܜܑܓ‬൅ ઽܑ‫ܜ‬ ‫ܓ‬ୀ૚

Sabit parametrenin birimlere ve zamana göre deitii, eim parametresinin sabit olduu model. Sabit parametrenin ve eimin birimlere göre deitii zamana göre sabit olduu model. Sabit parametrenin ve eim parametresinin zaman birimlere ve zamana göre deitii model.

ktisat yaznnda daha çok kullanlan tek yönlü hata bileeni için, ksaca sabit etkiler ve rassal etkiler modellerini ele alalm. 4.3.1.1.1. Sabit Etkiler Modeli Bu modelde örneklem etkileri göz önünde bulundurularak koullu çkarsama yaplr. ncelenilen örneklemin belli bir ksm için yorumlar yaplr Bu model yatay kesit baznda gözlemlenemeyen etkiler olmas durumunda kullanlr. Bu etkiler

D i üzerinde bulunur.

Uygulanacak model y it

D i  E cX it  u it

i=1,......,N t=1,.......,T

Burada en küçük kareler gölge deiken tahmincisi (LSDV) E i kovaryans tahmincisi olarak adlandrlr. 4.3.1.1.2. Rassal Etkiler Modeli Bu yaklamda tüm etkiler modeline koulsuz çkarsama yaplr. Zaman baznda ölçülemeyen deerler olduunda bu model kullanlmaktadr. Hata terimi olan v it üç bileen içerir.

vit

D i  Oi  uit

D i ile X arasnda iliki olmad varsaymna dayanr

56

Sabit ve rassal etki modelleri arasndaki temel farkllk kukla deikenlerin oynad role dayaldr. Eer kukla deikenler sabit terimin (intercept) bir parças olarak dikkate alnyorsa, bu bir sabit etki modelidir. Rassal etki modelinde ise kukla deikenler bir hata terimi olarak dikkate alnr. Aada sabit etkiler ve rassal etkiler modellerinin gösterimleri verilmitir. –

Sabit grup etkisi modeli

: y it

(D  P i )  X it E  v it

–

Rassal grup etkisi modeli

: y it

D  X it E  (vit  P i )

burada v it ~IID (O, V V2 ) Bu çalmada dikkate alnacak olan varsaym “eim katsaylar (b2, b3,...) sabittir fakat sabit terim kiisel birimler, i, arasnda deikendir” varsaymdr(Gujarati, 2003: 640). . Sabit etki modelleri gruplar boyunca eimin ayn ve varyansn sabit olduu varsaym altnda sabit terimlerdeki grup farkllklarn inceler ve En Küçük Kareler Kukla Deiken (Least Square Dummy Variable, LSDV), etkiler içi (within effect) ve etkiler aras (between effect) tahmin yöntemlerini kullanr. Bu modelde örneklem etkileri göz önünde bulundurularak koullu çkarsama yaplr. ncelenilen örneklemin belli bir ksm için yorumlar yaplr. Bu model yatay kesit baznda gözlemlenemeyen etkiler olmas durumunda kullanlr. Bu etkiler D i üzerinde bulunur. En Küçük Kareler Kukla Deiken tahmincisi(LSDV)

E i kovaryans tahmincisi olarak

adlandrlr. Hata bileenleri regresyonunda en önemli varsaym

E (uit / X it )

0 varsaymdr.

Hausman Testi bu varsaymn salanmas durumunda oluacak GEK tahmincisi E GEK ve gruplar içi E grupiçi tahmincilerin karlatrlmasna dayanr. 4.3.1.2.

Hausman Testi

H 0 hipotezi rassal etkiler modelinin hata terimi ile açklayc deikenler arasnda iliki olmad varsaymn gösterir. Kurulacak modelin rassal etkiler mi yoksa sabit etkiler modeli mi olduu bu testle snanr. Hipotezler

57

H 0 : E (uit / X it )

0 Rassal etkiler modeli kullanlr

H 1 : E (uit / X it ) z 0 Sabit Etkiler modelini kullanlr. Test istatistii

qˆ

Eˆcv  EˆGEK

w

1 q 1 >Var (qˆ )@ qˆ

W > F k ise 2

H 0 reddedilir Sabit etkiler modeli kullanlr. (Hsiao, 1985, 48)

Eer sabit etkiler modeli kullanlmas gerektii sonucuna varlrsa; sabit terimlerin ülkelere göre deimedii yani ülkeler arasnda bir fark olmad havuzlanm (pooled) veri olup olmad incelenmelidir. 4.3.2. Panel Birim Kök Testleri Daha önce belirtildii gibi panel birim kök testleri yatay kesit verileri ve zaman serisi verilerinin birletirilmesi ile elde edilmektedir. Zaman bileenini de içerdiinden panel veriye de duraanlk snamas yapmak gerekmektedir. Gelitirilen ilk panel birim kök testleri olarak Levin ve Lin (1992,1993) ve Quah (1994) verilebilir. Uzun süre bu testler kullanlm ancak De Hoyos ve Sarafidis (2006) çalmasnda ülkelerin artan ekonomik bütünlemesinin yol açt, ülkeler aras güçlü karlkl bamllklara sahip olma eiliminin panel veri çalmalarnda verilerde de etkisini gösterdiini belirtmitir. Hata teriminin bir parças haline gelen gözlemlenmemi ortak oklarn yatay kesit bamllna yol açabileceini belirtmilerdir. Bu çalmadan sonra deikenlere uygulanacak panel birim kök testleri, artklarn yatay kesit bamll içerip içermemesine bal olarak seçilmeye baland. Panel birim kök testleri yatay kesit bamllnn dikkate alnp alnmamasna göre birinci nesil panel birim kök testleri ve ikinci nesil panel birim kök testleri olarak ikiye ayrlmaktadr. Birinci nesil panel birim kök testleri yatay kesit bamlln dikkate almamakta, ikinci nesil birim kök testleri ise dikkate almaktadr. Hangi nesil test seçilecei karar yatay kesit bamlln varlna baldr. Bu nedenle öncelikle yatay kesit bamll testleri kullanlarak birim kök testi türüne karar verilmesi gerekmektedir. Birinci nesil birim kök testleri Choi (2001); Im vd. (2003), Levin vd. (2002), Maddala ve Wu (1999) ve Hadri, (2000) snamalardr. kinci nesil birim kök testleri ise Bai

58

ve Ng (2004, 2005), Breitung (2000), Chang (2002), Moon ve Perron (2004), Pesaran (2007) ve Harris vd. (2005) snamalardr. Birinci Nesil Birim Kök Snamalar

kinci Nesil Birim Kök Snalamalar

Maddala vd.1999)

Chang (2002)

Breitung (2000)

Moon and Perron (2004)

Choi (2001)

Bai and Ng (2004)

Levin vd.. (2002)

Bai and Ng (2005)

Im vd. (2003)

Harris vd. (2005)

Hadri (2000)

Pesaran (2007)

4.3.2.1.

Yatay Kesit Bamll

Yatay kesit bamll için farkl testler gelitirilmitir. Aada bir çok farkl test ele alnacaktr ancak tüm bu testlerin hipotezi ortaktr: ‫ܪ‬଴ : Yatay kesit bamll yoktur. (There is no cross-sectional dependence exists within the panel data) Bo hipotezin reddedilmesi durumunda yatay kesit bamll olduu ikinci nesil birim kök snamalarnn kullanlmasnn doru olduu sonucuna varlr. Aada Breusch & Pagan (1980) Lagrange Multiplier (LM) test, Pesaran, (2004) Pesaran LM test , Pesaran CD test ve Baltagi vd. (2012) testlerinin test istatistikleri sunulmutur. Breusch & Pagan, (1980) Lagrange Multiplier (LM) test istatistii denklem 3’te sunulmutur. ୒ିଵ

୒

ଵ ൌ ෍ ෍ ୧୨ ɏොଶ୧୨ ՜  Fଶ ୧ୀଵ ୨ୀ୧ାଵ

ሺ െ ͳሻ ሺ͵ሻ ʹ

Ancak Breusch-Pagan LM test istatistii yüksek sayda yatay kesit birimi (N) için uygun olmadndan Pesaran (2004) proposes Pesaran LM (LM) ve Pesaran CD testini gelitirmitir.

59

୒ିଵ

 ൌ ඨ൬

୒

ͳ ൰ ෍ ෍ ሺ୧୨ ɏොଶ୧୨ െ ͳሻ ՜ ሺͲǡͳሻ ሺͶሻ ሺ െ ͳሻ ୧ୀଵ ୨ୀ୧ାଵ

୒ିଵ

୒

ʹ  ൌ ඨ൬ ൰ ෍ ෍ ୧୨ ɏොଶ୧୨ ՜ ሺͲǡͳሻ ሺͷሻ ሺ െ ͳሻ ୧ୀଵ ୨ୀ୧ାଵ

Baltagi vd, (2012) ise basit asimptotik düzeltme ile gelitirdii aadaki ölçeklendirilmi LM testini önermektedir. ୒ିଵ

ଷ ൌ ඨ൬

୒

ͳ  ൰ ෍ ෍ ൫୧୨ ɏොଶ୧୨ െ ͳ൯ െ ՜ ሺͲǡͳሻ ሺ͸ሻ ሺ െ ͳሻ ʹሺ െ ͳሻ ୧ୀଵ ୨ୀ୧ାଵ

Yukardaki tüm eitliklerde ɏො୧୨ artklarn korelasyon katsaysn göstermektedir ve tüm eitlikler asimptotik olarak ୧୨ ՜ λ ,  ՜ λ. and Ȁ୧୨ ՜ …୧୨ ‫ א‬ሺͲǡ λሻ ile asimptotik normal dalmaktadr.

60

Kaynakça : Akaike, H. (1981), “Likelihood of a Model and Information Criteria”, Journal of Econometrics, 16, 1, 3—14. Akaike, H. (1973),“Information Theory and an Extension of the Maximum Likelihood Principle”, in B.N.Petrov and F. Csáki (eds.) Second International Symposium on Information Theory, Akadémiai Kiadó, Budapest, 267—281. Albayrak, Sait, 2006, “Uygulamal Çok Deikenli statistik Teknikleri”, Asil Yayn, Ankara Atan, M. ve Kll, M. (2005). Etkinlik/Verimlilik Çalmalarnda Kullanlan Veri Zarflama Analizi Üzerine Karlatrmal Yaklamlar. 4. statistik Kongresi, statistik Mezunlar Dernei ve Türk statistik Dernei, Antalya. Bai, Jushan, ve Serena Ng. 2004. “A Panic Attack on Unit Roots and Cointegration”. Econometrica 72(4): 1127-77. ———. 2005. “A new look at panel testing of stationarity and the PPP hypothesis”. çinde Identification and Inference for Econometric Models, Cambridge UK: Cambridge University Press, 426-50. Baltagi, Badi H., Qu Feng, ve Chihwa Kao. 2012. “A Lagrange Multiplier Test for Cross-Sectional Dependence in a Fixed Effects Panel Data Model”. Journal of Econometrics 170(1): 164-77. Banerjee, A., Dolado, J. J., Galbraith, J. W., and Hendry, D. F. (1993), Cointegration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-Stationary Data. Oxford: Oxford University Press. Bircan, Hüdaverdi,2004, “Lojistik Regresyon Analizi: Tp Verileri Üzerine Bir Uygulama” , Kocaeli Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi, 2004 / 2 : 185-208 Breitung, J. 2000. “The local power of some unit root tests for panel data”. Nonstationary Panels, Panel Cointegration, and Dynamic Panels 15: 161-78. Breusch, T. S., ve A. R. Pagan. 1980. “The Lagrange Multiplier Test and its Applications to Model Specification in Econometrics”. The Review of Economic Studies 47(1): 239-53. Chang, Yoosoon. 2002. “Nonlinear IV Unit Root Tests in Panels with CrossSectional Dependency”. Journal of Econometrics 110(2): 261-92. Choi, In. 2001. “Unit Root Tests for Panel Data”. Journal of International Money and Finance 20(2): 249-72. Çalayan, E. ve Saçakl ., (2006), “Satn Alma Gücü Paritesinin Geçerliliinin Sfr Frekansta Spektrum Tahmincisine Dayanan Birim Kök Testleri ile ncelenmesi”, Atatürk Üniversitesi ktisadi ve dari Bilimler Dergisi, Say.1, Cilt.20, 121-137 De Hoyos, Rafael E., ve Vasilis Sarafidis. 2006. “Testing for Cross-Sectional Dependence in Panel-Data Models”. The Stata Journal 6(4): 482-96. Dickey, D. A., ve W. A. Fuller (1979), “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Journal of the American Statistical Association, 74, 427–431. Dickey, D. A., ve W. A. Fuller (1981), “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Econometrica, 49(4), 1057-1072

61

Dwivedi, T.D., Srvastava, V.K.; “Optimality of Least Squares in Seemingly Unrelated Regression Equation Model”, Journal of Econometrics, Say: 7,s.391-395. Elliot, G.; T.J. Rothenberg, J.H. Stock (1996), “Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root”, Econometrica 64, 813-36. Enders, W. (1995),Applied Econometric Time Series, First Edition, John Wiley and Sons, NewYork. Engle, R. F., D. F. Hendry ve J.-F. Richard (1983), “Exogeneity”, Econometrica, 51, 2, 277—304. Engle, R.F. and Granger, C.W.J. (1987), “Cointegration and representation, estimation and testing”, Econometrica, 55, 257-276.

error

correction:

Green, Wllam .H.1997, “Econometric Analysis, Third Edition “, Prentice- Hall International, New Jersey Gujarati, Damodar M., Hill, Inc.,Usa,

1995, “Basic Econometrics”, Third Edition ,Mc-Graw-

Güri, S,. ve E. Çalayan , 2000, “Ekonometri Temel Kavramlar”, Der Yaynlar, stanbul. Hadri, Kaddour. 2000. “Testing for stationarity in heterogeneous panel data”. The Econometrics Journal 3(2): 148-61. Harris, David, Stephen Leybourne, ve Brendan McCabe. 2005. “Panel Stationarity Tests for Purchasing Power Parity With Cross-Sectional Dependence”. Journal of Business & Economic Statistics 23(4): 395-409. Haenlein, Michael, and Andreas M. Kaplan. 2004. “A Beginner’s Guide to Partial Least Squares Analysis.” Understanding Statistics 3 (4): 283–97. https://doi.org/10.1207/s15328031us0304_4. Hair, Joseph F, G. Tomas M Hult, Christian M Ringle, Marko Sarstedt, Nicholas P Danks, and Soumya Ray. 2021. Partial Least Squares Structural Equation Modeling (PLSSEM) Using R A Workbook. Springer Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-80519-7. Hannan, E. J., and B. G. Quinn (1979),“The Determination of the Order of an Autoregression”, Journal of the Royal Statistical Society , Series B, 41, 2, 190—195. Hosmer D.W., Ve S. Lemeshow,2000, Edition John Wiley & Sons, Inc, New York

“Applied Logistic Regression”,Second

Hsiao,C. (1985) Econometric Analysis of Panel Data, Cambridge University Press. Im, Kyung So, M. Hashem Pesaran, ve Yongcheol Shin. 2003. “Testing for Unit Roots in Heterogeneous Panels”. Journal of Econometrics 115(1): 53-74. Jacoby, Jacob. 1978. “Consumer Research: A State of the Art Review.” Journal of Marketing 42 (April): 87–96. https://doi.org/10.2307/1249890. Kalayc, eref. 2006, “SPSS Uygulamal Çok Deikenli statistik Teknikleri, kinci Bask”, Asil Yayn, Ankara Kwiatkowski, D., et al. (1992), Testing the Null Hypothesis of Stationarity Against the Alternative of a Unit Root., Journal of Econometrics, 54, 91-115

62

Levin, Andrew, Chien-Fu Lin, ve Chia-Shang James Chu. 2002. “Unit Root Tests in Panel Data: Asymptotic and Finite-Sample Properties”. Journal of Econometrics 108(1): 124. Maddala G.S. 1983, “Limited Depenndent Variables And Qualitative Variables n Econometrics”, Cambiridege University Pressi New York Maddala, G.S., ve Shaowen Wu. 1999. “Do panel data rescue the purchasing power parity (PPP) theory?” çinde Panel Data Econometrics: Future Directions, Elsevier, 35-51. Moon, Hyungsik Roger, ve Benoit Perron. 2004. “Testing for a Unit Root in Panels with Dynamic Factors”. Journal of Econometrics 122(1): 81-126. Muratolu M. (2011), Ekonomik Büyüme Ve sizlik Arasndaki Asimetrik liki ve Türkiye’de Okun Yasas’nn Snanmas; Yüksek Lisans Tezi, Hitit Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Nelson C. R., Ploser R. C.(1982), “Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series : Some Evidence and Implications”, Journal of Monetary Economics, 10( 2) , 139-162 Ng S. ve Perron P. (2001), “Lag Length Selection and The Construction of Unit Root Test With Good Size and Power”, Econometrica 69(6), 1519-1554 Pesaran, M. H. 2004. Cambridge Working Papers in Economics ‘General Diagnostic Tests for Cross Section Dependence in Panels’. Faculty of Economics, University of Cambridge. https://ideas.repec.org/p/cam/camdae/0435.html (17 ubat 2022). Pesaran, M. Hashem. 2007. “A Simple Panel Unit Root Test in the Presence of Cross-Section Dependence”. Journal of Applied Econometrics 22(2): 265-312. Phillips, P. C. B., and Perron, P. (1988), “Testing for a unit root in time series regression.”, Biometrika,75, 335–346. Ross, Peter E; “The Et Interview Professor Arnold Zerner”, Econometric Theory, No:5, s.287-317,1989 Said, E. S., ve D. A. Dickey (1984) “Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order”, Biometrika, 71, 599–607. Schwarz, G. (1978) “Estimating the Dimension of a Model”, Annals of Statistic s,6, 2, 461—464. Schwert G. W.(1989), “Test for Unit Roots: A Monte Carlo Investigation”, Journal of Business & Economic Statistics, 7, 147-159 Shugan, Steven. 2002. “Editorial: Marketing Science, Models, Monopoly Models, and Why We Need Them.” Marketing Science 21 (August): 223–28. https://doi.org/10.1287/mksc.21.3.223.145. Stewart, Kenneth G.; “Exact Testing n Multivariate Regression”, Econometric Reviews, No:3, s.321 -352,1997. Timm, Neil H. ; Applied Multivariate Analysis, Springer Texts in Statistics, Springer-Verlag New York, Inc,2002 Uurlu, E. (2006); Reel Döviz Kuru ve Ekonomik Büyüme: Türkiye; Yüksek Lisans Tezi; stanbul Teknik Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü

63

Zellner, Arnold; “An Efficient Method of Estimating SUR and Tests for Agregation Bias”, JASA, No:57, 348-368,1962 Zellner, Arnold;“Estimators for Seemingly Unrelated Regression Equations: Some Exact Finite Sample Results” , Journal of the American Statistical Association, Cilt:. 58, No: 304, s.977- 992, 1963.

64

Buy your books fast and straightforward online - at one of world’s fastest growing online book stores! Environmentally sound due to Print-on-Demand technologies.

Buy your books online at

www.morebooks.shop Kaufen Sie Ihre Bücher schnell und unkompliziert online – auf einer der am schnellsten wachsenden Buchhandelsplattformen weltweit! Dank Print-On-Demand umwelt- und ressourcenschonend produzi ert.

Bücher schneller online kaufen

www.morebooks.shop

[email protected] www.omniscriptum.com