ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ


152 71 636KB

Greek Pages [65] Year 2008

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD PDF FILE

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

  • 0 0 0
  • Like this paper and download? You can publish your own PDF file online for free in a few minutes! Sign Up
File loading please wait...
Citation preview

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÅÉÄÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ ÄçìÞôñçò Ð.Ê. Ãêßêáò 11 Öåâñïõáñßïõ 2008

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

Ðåñéå÷üìåíá 0.1 1

Ðñüëoãoò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. 1.1 AäñávåéáêÜ ÓõóôÞìáôá êáé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ 1.1.1 Ç Ývvoéá ôoõ Áäñávåéáêoý ÓõóôÞìáôoò . . . . . . . . . 1.1.2 Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ . . . . . . . . . . . 1.2 To Ðñüâëçìá ìå ôçv Ôá÷ýôçôá ôoõ Öùôüò . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ç éäéáéôåñüôçôá ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý . . . . . . . . 1.2.2 ÐåéñÜìáôá ìÝôñçóçò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò . . . . . 1.2.3 Ôo Ðåßñáìá ôùv Michelson - Morley . . . . . . . . . . . 1.3 Ïé Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Oé ÁñxÝò ôoõ Einstein êáé ôo Ðñüâëçìá ôçò Ôáõôo÷ñovéêüôçôáò Äýo Ãåãovüôùv . . . . . . . . . . . 1.3.2 ÓõvÝðåéåò óôç ÌÝôñçóç ôoõ xñüvoõ êáé ôoõ xþñoõ . . .

. . . . . . .

7 7 7 8 11 11 12 13

. . . .

15

. . . . . . . .

15 16

. . . . . . .

2 Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ. 2.1 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Aìåóç Áðüäåéîç ìå ÂÜóç ôéò ÓõvÝðåéåò . . . . . . . . . . 2.1.2 Ç ÃåvéêÞ ÌoñöÞ ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz . . . . . 2.2 Eðéðôþóåéò óôoõò Íüìoõò ôçò Ìç÷ávéêÞò . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Måôáó÷çìáôéóìüò Ôá÷õôÞôùv . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 H Aváãêáéüôçôá Ãåvßêåõóçò ôùv Íüìùv ôoõ Íåýôùvá . 2.2.3 Ç Ývvoéá ôçò Óõváëëoßùôçò Äéáôýðùóçò ôùv Íüìùv ÖõóéêÞò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. 3.1 Ç ÃåùìåôñéêÞ åéêüvá ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz 3.1.1 ÓôñoöÝò óôo ÷þño . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 O ×þñoò Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ôåôñáäéávýóìáôá êáé Ìç÷ávéêÝò Ðoóüôçôåò . . . . . 3.2.1 Tåôñáäéávýóìáôá êáé ÂáèìùôÜ ÌåãÝèç . . . 3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ôçò . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

21 21 21 23 24 24 26 30 33 33 33 35 39 39

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ 3.2.2 3.2.3

Tåôñáôá÷ýôçôá êáé ÔåôñáoñìÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç Äýváìç Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. 4.1 Mç÷ávéêÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 ÃåvéêÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 ÅöáñìoãÝò óôçv Êñoýóç Óùìáôßùv . . . . . . . . . . . 4.2 Hëåêôñoìáãíçôéóìüò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 ÃåvéêÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò ôùv Ðåäßùv . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Óõváëëoßùôç Äéáôýðùóç ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý . 4.2.4 ÓõvÝðåéåò - ÅöáñìoãÝò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Êâáíôoìç÷áíéêÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Mç Ó÷åôéêéóôéêÞ Êâávôoìç÷ávéêÞ . . . . . . . . . . . 4.3.2 H Eîßóùóç Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Ç Åîßóùóç Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

40 43 45 45 45 46 52 52 54 55 58 61 61 62 64

4

0.1. ÐÑÏËOÃOÓ

0.1

Ðñüëoãoò

Ç ÅéäéêÞ Èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò (Å.È.Ó.) åßváé óÞìåñá ãéá ôçv ÖõóéêÞ ìéá oëoêëçñùìÝvç èåùñßá, ìå ðëÞñç ðåéñáìáôéêÞ åðéâåâáßùóç. Áðoôåëåß óõìðëÞñùóç êáé åðÝêôáóç ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò ùò ðñoò ôçv ðåñéãñáöÞ öáévoìÝvùv ðoõ åìðåñéÝ÷oõv êévÞóåéò ìå ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò. ÅðéóôçìoëoãéêÜ ç Å.È.Ó. åßváé Ývá ðëáßóéo ðoõ âáóßæåôáé óå äýo ìüvo áñ÷Ýò áðü ôéò oðoßåò óõvÜãovôáé vÝoé oñéóìoß èåìåëéáêþv êëáóéêþv åvvoéþv üðùò ôoõ ÷ñüvoõ êáé ôoõ ÷þñoõ. ÔÝôoéåò êëáóéêÝò Ývvoéåò Ý÷oõv ðçãÜóåé áðü ôçv êáèçìåñévÞ åìðåéñßá ôoõ ávèñþðoõ, åìðåéñßá ðoõ åßíáé Ýíá åßäoò ìÝôñçóçò ìå ìåôñçôéêÜ üñãáíá ôá áéóèçôÞñéá üñãávÜ ôoõ, êáé ôéò êëáóéêÝò óõóêåõÝò ðoõ åßváé ðñoóáñìoóìÝvåò ëåéôoõñãéêÜ ó’áõôÜ. Åôóé, Þôáv éóôoñéêÜ áváðüöåõêôo ôo ãåãovüò ôçò ìç Üìåóçò áðoäo÷Þò ôçò Å.È.Ó. üôáv ðñoôÜèçêå áðü ôov Einstein ôo 1905. Ç Å.È.Ó. åßváé ìßá èåùñßá äéáéóèçôéêÜ ôüóo ðáñÜäoîç, ðoõ ôá ðñþôá ÷ñüvéá ôçò åéóáãùãÞò ôçò áðåôÝëåóå ávôéêåßìåvo öéëoóoöéêþv, êoévùvéêþv, áêüìç êáé ðoëéôéêþv ávôéèÝóåùv ìå éäéáßôåño öáváôéóìü. Ç ìåãáëùóývç ôoõ Einstein Ýãêåéôáé óôo ãåãovüò üôé ôüëìçóå vá åðávoéêoäoìÞóåé üëo ôo êëáóéêü ðëáßóéo ôçò ÖõóéêÞò ÷Üñév ôçò îåêÜèáñçò ðåéñáìáôéêÞò Ýväåéîçò ôçò óôáèåñüôçôáò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò óå üëá ôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Åßváé üðùò ãëáöõñÜ åßðå êÜðoéoò, óáv vá Ý÷oõìå Ývá oéêoäüìçìá ôoõ oðoßoõ ìßá ðüñôá äåv ôáéñéÜæåé óôo Üvoéãìá ôoõ ôoß÷oõ êáé ávôß vá îáváöôéÜîoõìå ôçv ðüñôá, ãêñåìßæoõìå üëo ôo oéêoäüìçìá êáé ôo îává÷ôßæoõìå Ýôóé þóôå vá ôáéñéÜæåé óôçv ðüñôá, êáé óôçv óõvÝ÷åéá vá õðo÷ñåùèoýìå vá îáváöôéÜîoõìå üëåò ôéò ðüñôåò êáé ôá ðáñÜèõñá ãéá vá ôáéñéÜæoõv óôo vÝo oéêoäüìçìá. ÊÜôé ôÝôoéo åßváé êáé ç Å.È.Ó.: üëåò oé êëáóéêÝò Ývvoéåò ðñÝðåé vá îáváoñéóôoýv áðü ôçv áñ÷Þ. Ç äõóêoëßá ôoõ vá êáôáëÜâåé êÜðoéoò ôçv Å.È.Ó. ðåñéoñßæåôáé êõñßùò óôo ðñþôo áõôü óôÜäéo ôçò ãåvßêåõóçò ôùv åvvoéþv. Ôá ÌáèçìáôéêÜ åñãáëåßá ðoõ ÷ñçóéìoðoßçóå o Einstein óôéò ðñþôåò ôoõ åñãáóßåò åßváé åîáéñåôéêÜ áðëÜ, êé áõôü ü÷é ãéáôß äåv åß÷å ìáèçìáôéêÝò ãvþóåéò, áëëÜ ãéáôß Þèåëå vá ìçv óõóêoôéóèoýv oé óõëëoãéóìoß ôoõ ìå äýóêoëåò ìáèçìáôéêÝò Ývvoéåò. ÂÝâáéá, óôçv óõvÝ÷åéá üôáv Ýðñåðå ðëÝov ç Å.È.Ó. vá åðåêôáèåß ó’üëç ôç ÖõóéêÞ êáé vá åöáñìoóôåß óå ðoëýðëoêá öõóéêÜ ðñoâëÞìáôá, åéóÞ÷èçóáv êáôÜëëçëåò ìáèçìáôéêÝò äoìÝò üðùò o ÷þñoò Minkowski, ôávõóôÝò ê.ë.ð.. ÐáñÜëëçëá ìå ôçv åðÝêôáóç ôçò Å.È.Ó. êáé ôçv åêëÝðôõvóç ôùv ìáèçìáôéêþv ìåèüäùv o Einstein ðñoóðÜèçóå vá ãåvéêåýóåé ôç èåùñßá ôoõ óå ìç-áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ôüôå áváêÜëõøå üôé áváðüöåõêôá ç âáñýôçôá ðñÝðåé vá ðáßæåé Ývá åvôåëþò éäéáßôåño ñüëo óôç ÖõóéêÞ. Åôóé ãåvvÞèçêå ç ÃåvéêÞ Èåùñßá Óåôéêüôçôáò (Ã.È.Ó.) ðoõ âáóßæåôáé óôçv õðüèåóç üôé o îå÷ùñéóôüò ñüëoò ôçò âáñýôçôáò åßváé vá äçìéoõñãåß êáìðõëüôçôá óôo ÷þño. Ç Ã.È.Ó. åßváé Ývá èáõìÜóéo ìáèçìáôéêü äçìéoýñãçìá ðoõ óå ìåãÜëo âáèìü áðåéêovßæåé ôç öõóéêÞ ðñáãìáôéêüôçôá. Åvôoýôoéò äåv Ý÷åé ôçv ðëçñüôçôá ôçò Å.È.Ó. êáé áõôü ü÷é ãéáôß õðÜñ÷oõv ðåéñáìáôéêÝò åväåßîåéò ðoõ ôçv áváéñoýv áëëÜ ãéáôß äåv åßváé óõìâéâáóôÞ ìå ôçv Üëëç åðÝêôáóç ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò, ôçv ÊâávôoìçávéêÞ. O óõväéáóìüò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò êáß ôçò ÊâávôoìçávéêÞò Ýäùóå ôéò óçìåñévÝò ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

5

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ èåùñßåò ôùv Óôoé÷åéùäþv Óùìáôßùv ìÝóá áðü ôçv ãëþóóá ôçò ÊâávôéêÞò Èåùñßáò Ðåäßoõ. Ç Âáñýôçôá üìùò äåv åêöñÜæåôáé ìå ôÝôoéá ãëþóóá. Ç åvùðoßçóç üëùv ôùv âáóéêþv áëëçåðéäñÜóåùv: éó÷õñþv, çëåêôñoìáãvçôéêþv, áóèåvþv êáé âáñõôéêþv áðoôåëåß ôo âáóéêþôåño åñåõvçôéêü ðñüâëçìá ôçò ÈåìåëéáêÞò ÖõóéêÞò óÞìåñá. Ïé ìüvåò èåùñßåò ðoõ êáô’áñ÷Þv äÝ÷ovôáé ôç Âáñýôçôá åßváé oé ëåãüìåvåò èåùñßåò Õðåñ÷oñäþv ðoõ êé áõôÝò üìùò Ý÷oõv âáóéêÝò äõóêoëßåò. ÅêðáéäåõôéêÜ ç ðoñåßá áðü ôçv ÅéäéêÞ Èåùñßá Óåôéêüôçôáò êáé ôçv ÊâávôéêÞ ÖõóéêÞ ìÝ÷ñé ôéò óçìåñévÝò Èåùñßåò áðáéôåß ðoëëÜ åôÞóéá ìáèÞìáôá ðñoðôõ÷éáêoý êáé ìåôáðôõ÷éáêoý åðéðÝäoõ. Óôo ìÜèçìá áõôü ôçò Èåùñßáò Óåôéêüôçôáò ìðoñåß vá öôÜóåé êávåßò ìÝ÷ñé ôçv äåéëÞ åéóáãùãÞ ôçò ÃåvéêÞò Èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò. Óôá ìáèÞìáôá áõôÜ èá äoèåß Ýìöáóç êáé óôo åðéóôçìoëoãéêü ðëáßóéo ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò êáé óôçv ðñáêôéêÞ åöáñìoãÞ ôçò. Åôóé èá ãßvåé êáé ávÜëõóç ôçò áváãêáéüôçôáò ãåvßêåõóçò ôùv êëáóéêþv åvvoéþv êáé åöáñìoãÞ ôoõ ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz êáé ôçò ìåèüäoõ ôùv áváëëoéþôùv ðoóoôÞôùv óå ðñoâëÞìáôá óêÝäáóçò. Ãéá ôç ÃåvéêÞ Èåùñßá, èá åéóá÷èoýv oé åîéóþóåéò ôoõ Einstein êáé èá ãßvoõv výîåéò ãéá ôéò êoóìoëoãéêÝò åöáñìoãÝò. 1.

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

6

ÊåöÜëáéï 1 TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ ÊÁI ÏI ÈÅÙÑÇÔIÊÅÓ YÐÏÈÅÓÅIÓ TOÕ EINSTEIN 1.1 1.1.1

AäñávåéáêÜ ÓõóôÞìáôá êáé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ Ç Ývvoéá ôoõ Áäñávåéáêoý ÓõóôÞìáôoò

Óå êÜèå ÅìðåéñéêÞ ÅðéóôÞìç ç óõóóþñåõóç ôùv äåäoìÝvùv ôùv ðáñáôçñÞóåùv oäçãåß ðÜvôá óôçv ávÜãêç áváãùãÞò ôçò ðåñéå÷üìåvçò ðëçñoöoñßáò óå ëßãåò Áñ÷Ýò ìå ôéò oðoßåò èåùñçôéêÜ åßváé äõváôÞ ç ávÜëõóÞ ôçò. ÁõôÝò oé Áñ÷Ýò ëÝãovôáé vüìoé êáé ôo Èåùñçôéêü Ïéêoäüìçìá ðoõ êáôáóêåõÜæåôáé ëÝãåôáé Èåùñßá. Ïé vüìoé åßváé ôo Ó÷Ýäéo ìå ôo oðoßo ÷ôßæåôáé ç èåùñßá (ôo oéêoäüìçìá). Ôo Ïéêoäüìçìá üìùò ÷ñåéÜæåôáé õðüâáèño, êáé ôo õðüâáèño ãéá ôç èåùñßá åßváé oé ÕðoèÝóåéò. Ïé ÕðoèÝóåéò åßváé ç äéáðéóôùìÝvç ávôßëçøç ôçò Öýóçò ôùv Åvvoéþv ìå ôéò oðoßåò ðñùôoãåvþò o Ávèñùðoò ávôéëáìâÜvåôáé ôç ÖõóéêÞ ðñáãìáôéêüôçôá. Ïé Íüìoé åßváé Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùv åvvoéþv áõôþv. ÔÝôoéåò âáóéêÝò Ývvoéåò åßváé o ÷ñüvoò êáé o ÷þñoò. Ç åðéóôçìoëoãéêÞ åîÝëéîç ðoõ óõvåðÜãåôáé ç ÅéäéêÞ Èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò åßváé áêñéâþò ç áëëáãÞ ôùv ÕðoèÝóåùv ãéá ôéò Ývvoéåò ôoõ ÷ñüvoõ êáé ôoõ ÷þñoõ. Åðüìåvo ëoéðüv åßváé vá áëëÜîåé êáé ôo oéêoäüìçìá ãéá ôçv ÊëáóéêÞ ÖõóéêÞ. IóôoñéêÜ ç áñ÷Þ ôçò óõóôçìáôéêÞò ávÜëõóçò ôùv ðåéñáìáôéêþv äåäoìÝvùv êáé oñãÜvùóçò ôoõò óå Ývá ëoãéêü óývoëo Ýãévå áðü ôov Ãáëéëáßo (ã.1564). Ï Ãáëéëáßoò îåêévþvôáò áðü ôç èåùñßá ôoõ ÊoðÝñvéêoõ ãéá ôçv êßvçóç ôçò Ãçò oäçãÞèçêå óôçv õðüèåóç üôé êÜèå êßvçóç åßváé óõväéáóìüò äýo ðáñáãüvôùv á) Åõèýãñáììçò êßvçóçò ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá. â) Êßvçóç ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õvóç. 7

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. Ç áèþá öñÜóç "åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" åßváé ðoõ ðåñéÝ÷åé êáé ôo êñßóçìo óçìåßo ôùv âáóéêþv áñ÷þv. Ãéá vá oñßóoõìå üôé ìßá êßvçóç åßváé "åõèýãñáììç" ðñÝðåé vá ôçv óõãêñßvoõìå ìå êÜðoéá "åõèåßá áváöoñÜò" êáé ãéá vá ðoýìå üôé Ýxåé "óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" ðñÝðåé vá ìåôñÞóoõìå ôçv êßvçóç ìå êÜðoéo "xñüvo áváöoñÜò". Ó÷åôéêÜ ìå ôo ðñþôo åñþôçìá áv ìßá êßvçóç åßváé åõèýãñáììç ùò ðñoò ôo ôñáðÝæé ôoõ åñãáóôçñßoõ, ðñoöávþò äåv åßváé åõèýãñáììç áv ôç äoýìå áðü Ývá óçìåßo Ýîù áðü ôç Ãç. Áðü Ývá ôÝôoéo óçìåßo âÝâáéá oýôå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá èá Ý÷åé. ÅðoìÝvùò ðñÝðåé vá äoèåß óõìðëçñùìáôéêÜ êáé o oñéóìüò ôoõ óçìåßoõ áváöoñÜò Ýôóé þóôå ç öñÜóç "åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" vá Ý÷åé ìç ávôéöáôéêü åìðåéñéêü ðåñéåxüìåvo. Ôo âáóéêü áõôü åðéóôçìoëoãéêü åñþôçìá ìåôáôñÜðçêå áðü ôo Ãáëéëáßo oõóéáóôéêÜ óå oñéóìü, óôov oñéóìü ôoõ Áäñávåéáêoý ÓõóôÞìáôoò. ÄçëáäÞ Ývá óýóôçìá åßváé Áäñávåéáêü üôáv Ývá óþìá ÷ùñßò ôçv åðßäñáóç åîùôåñéêþv äõvÜìåùv åêôåëåß ó÷åôéêÜ ìå ôo óýóôçìá áõôü åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá. Åôóé âÝâáéá ôo ðñüâëçìá ìåôáôoðßæåôáé åðéóôçìoëoãéêÜ óôo Åñþôçìá: Ðþò ìðoñoýìå vá äéáöoñoðoéÞóoõìå Ývá áäñávåéáêü óýóôçìá áðü Ývá Üëëo: Ç áðÜvôçóç ôoõ Ãáëéëáßoõ Þôáv ôåëéêÞ : Áðëþò äåv ìðoñoýìå. Áõôü ëÝãåôáé êáé Áîßùìá ôoõ Ãáëéëáßoõ, Þ Ó÷åôéêüôçôá ôoõ Ãáëéëáßoõ. Ôo åñþôçìá üìùò îáváôÝèçêå Üìåóá ìå ôoõò vüìoõò ôoõ Íåýôùvá. Ï Äåýôåñoò Íüìoò ëÝåé üôé üôáv Ý÷oõìå åðéôÜ÷õvóç ôüôå õðÜñåé êÜðoéá äýváìç. Áv äåv õðÜñ÷åé åîùôåñéêÞ äýváìç ôüôå Ývá óþìá èá êévåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, ó÷åôéêÜ ìå êÜðoéo áäñávåéáêü óýóôçìá. ÅðoìÝvùò áv äåv ìðoñoýìå vá äéáðéóôþóoõìå ôçv ýðáñîç åîùôåñéêÞò äýváìçò êáé ôo óþìá åðéôá÷ývåôáé ôüôå ôo óýóôçìÜ ìáò äåv åßváé áäñávåéáêü êáé o åöéÜëôçò îáváðáñoõóéÜæåôáé: Ó÷åôéêÜ ìå ôé ôo óýóôçìá áváöoñÜò åðéôá÷ývåôáé; Ï Íåýôùv, ßóùò ìå ðëÞñç ávôßëçøç ôçò åðéóôçìoëoãéêÞò ávôßöáóçò, ìåôáôüðéóå ôo åñþôçìá ìå ôo vá åéóÜãåé ôéò Ývvoéåò ôoõ Áðüëõôoõ ×ñüvoõ êáé Áðüëõôoõ ×þñoõ. Åßváé ðoëý ìáêñéÜ ç éóôoñßá ôùv öéëoóoöéêþv áváëýóåùv áõôþv ôùv åvvoéþv. Ç áðÜvôçóç êáé ôoõ Einstein Þôáv ôåëéêÞ áëëÜ óå äýo åðßðåäá: Ðñþôov äÝ÷ôçêå óáv âáóéêÞ õðüèåóç üôé äåv õðÜñ÷åé áðüëõôoò ÷ñüvoò êáé ÷þñoò (ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò) êáé äåýôåñov ç ìç áäñávåéáêüôçôá åvüò óõóôÞìáôoò êñßvåôáé ìå óýóôçìá áváöoñÜò ôoõò áðëávåßò áóôÝñåò. Ôo ôåëåõôáßo ëÝãåôáé êáé Áñ÷Þ ôoõ Mach. Èá åðávÝëèoõìå óôéò áñ÷Ýò áõôÝò ðáñáêÜôù.

1.1.2

Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ

Å÷oõìå áðü ôo Áîßùìá ôoõ Ãáëéëáßoõ üôé äåv ìðoñoýìå vá äéáðéóôþóoõìå ðåéñáìáôéêÜ ôç ó÷åôéêÞ êßvçóç äýo áäñávåéáêþv óõóôçìÜôùv. ÄçëáäÞ oé äõvÜìåéò ðoõ áóêoývôáé óôá äýo áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá èá åßváé ßäéåò. ÅðoìÝvùò èá Ý÷oõìå ′

d2~r d2~r m 2 = m ′2 dt dt

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(1.1) 8

1.1. AÄÑÁVÅÉÁÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÉ ÔOÕ ÃÁËÉËÁÉOÕ

Ó÷Þìá 1.1: ÌÝôñçóç ìçêþí óôçí ÊëáóéêÞ Ìç÷áíéêÞ üðoõ (t, ~r), (t′ , ~r′ ) oé óõvôåôáãìÝvåò óôá äýo óõóôÞìáôá áváöoñÜò Ó êáé Ó’. Áv ôá óõóôÞìáôá Ý÷oõv ðáñÜëëçëoõò Üîovåò êáé êévoývôáé ìå ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá v ùò ðñoò ôov Üîová ôùv x ôüôå ç ðáñáðÜvù éóüôçôá ôùv äõvÜìåùv èá éó÷ýåé áv êáé ìüvov áv oé óõvôåôáãìÝvåò óõväÝovôáé ìå ôo ëåãüìåvo Ìåôáó÷çìáôéóìü ôoõ Ãáëéëáßoõ x = x′ + vt′ , y = y ′ , z = z ′ , t = t′

(1.2)

H éó÷ýò ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý ôoõ Ãáëéëáßoõ åßváé èåìåëéáêÞ õðüèåóç ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò. Åvôoýôoéò äéáðéóôþèçêå üôé ìüvo ç ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ õðáêoýåé óôçv (1.2). ÄçëáäÞ ìüvo ðåéñÜìáôá ìå êëáóéêÝò ìç÷ávéêÝò ðoóüôçôåò äßvoõv éóoäýváìá áðoôÝëåóìáôá óôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ïðùò èá äoýìå ôá ÇëåêôñoìáãvçôéêÜ öáévüìåvá üðùò ðåñéãñÜöovôáé áðü ôéò åîéóþóåéò Maxwell äåv ìðoñoýv vá åßváé áváëëoßùôá ùò ðñoò ôov ìåôáó÷çìáôéóìü (1.2). Ôo ðñüâëçìá óõväÝåôáé ìå ôo åñþôçìá ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôáò ôùv óõóôçìÜôùv êáé ôçò ôá÷ýôçôáò ôùv çëåêôñoìáãvçôéêþv êõìÜôùv. Ï ðñoâëçìáôéóìüò îåêévÜåé áðü ôçv óýãêñéóç ìåôáîý çëåêôñoìáãvçôéêþv êáé áêoõóôéêþv êõìÜôùv. Ãé’áõôü ðñþôá èá áváëýóoõìå ôo öáévüìåvo Dobbler ãéá ôov Ç÷o. 3. ÓõvÝðåéåò óôç äéÜäoóç ôoõ Ç÷oõ. (Öáévüìåvo Dobbler) O Þ÷oò Ý÷åé ôá÷ýôçôá cη = 333m/sec ìÝóá óôov áÝñá. Ôá âáóéêÜ äåäoìÝvá åäþ åßváé üôé o Þ÷oò ÷ñåéÜæåôáé Ývá õëéêü åëáóôéêü ìÝóo ãéá ôç äéÜäoóÞ ôoõ. Ç êëáóéêÞ áõôÞ öõóéêÞ áðáßôçóç Ý÷åé óáv èåìåëéáêÞ (ðñoöávÞ) óõvÝðåéá üôé ç ôá÷ýôçôá ôoõ Þ÷oõ Ý÷åé êÜðoéá äåäoìÝvç ôéìÞ óå ó÷Ýóç ìå áõôü ôo ìÝóo. Ïðùò èá äoýìå áõôÞ áêñéâþò ç ßäéá óõó÷Ýôéóç ãéá ôo öùò Ýäùóå ôéò oõóéáóôéêÝò êëáóéêÝò ávôéöÜóåéò. Ôo öáévüìåvo Dobbler ãéá ôá äýo áõôÜ êõìáôéêÜ öáévüìåvá, Þ÷o êáé öùò, äéáöoñoðoéåß ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôo Ývá áðü ôo Üëëo. Åóôù ðçãÞ Þ÷oõ áêßvçôç ùò ðñoò ôov áÝñá óôç èÝóç Ï. Åvá óöáéñéêü êýìá ðáñáãüìåvo óôo Ï èá öèÜóåé óå áðüóôáóç 333m óå Ývá sec. Åóôù Ïá=333m, üðoõ ç ìÝôñçóç ãßvåôáé ìå áêßvçôç ñÜâäo ìÝôñçóçò ÏÁ. Åóôù êévoýìåvç ñÜâäoò ìÝôñçóçò Ï’Á’ ìå ôá÷ýôçôá v. Ùò ðñoò ôçv êévoýìåvç ñÜâäo ðñoöávþò ç ôá÷ýôçôá ôoõ Þ÷oõ ôþñá èá åßváé cìåôñ = cη − v. Áv ç ñÜâäoò êévåßôáé êÜèåôá ç ìåôñoýìåvç ôá÷ýôçôá ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

9

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. èá åßváé cìåôñ. = (c2η − v 2 )1/2 . ÊëáóéêÞ óõvÝðåéá áõôoý åßváé üôé ãvùñßæovôáò ôo cìåôñ. ìðoñoýìå vá âñoýìå ôo v ôo oðoßo ÷áñáêôçñßæåé ôçv ó÷åôéêÞ êßvçóç ôçò ñÜâäoõ ùò ðñoò ôo ìÝóo äéÜäoóçò ôoõ Þ÷oõ. Åóôù ôþñá üôé ç ðçãÞ åêðÝìðåé êýìáôá óõ÷vüôçôáò νπ (ν-ðçãÞò). Ôá ðõêvþìáôá ôoõ Þ÷oõ áðÝ÷oõv êáôÜ λo = cη /νπ , êáé Ýváò áêßvçôoò ðáñáôçñçôÞò èá ìåôñÜåé óõ÷vüôçôá νµ (ν-ìÝôñçóçò), νµ = cη /λo = νπ . Åóôù üôé o ðáñáôçñçôÞò êévåßôáé ìå ôá÷ýôçôá v ðñoò ôçv ðçãÞ. Óå ÷ñüvo t èá äéávýåé áðüóôáóç v t êáé èá ìåôñÜåé áýîçóç ôçò óõ÷vüôçôáò êáôÜ vt/λo . ÅðoìÝvùò νµετ ρ = νπ +

v v = νπ (1 + ) λo cπ

(1.3)

Ãéá áðoìáêñõvüìåvo ðáñáôçñçôÞ Ý÷oõìå νµετ ρ = νπ (1 −

v ) cη

(1.4)

Eóôù üôé ôþñá üôé êévåßôáé ç ðçãÞ ìå ôá÷ýôçôá v êáé o ðáñáôçñçôÞò åßváé áêßvçôoò. ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ìéáò ðåñéüäoõ ç ðçãÞ êévåßôáé êáôÜ áðüóôáóç v/νπ = (v/cη )λo . ÅðoìÝvùò o áñéèìüò ôùv ðõêvùìÜôùv óå ÷ñüvo t èá åßváé cη t cη t = ′ λ λo (1 −

v ) cη

(1.5)

Áñá ç ìåôñoõìÝvç óõ÷vüôçôá èá åßváé νµ =

νπ 1 − cvη

(1.6)

νµ =

νπ 1 + cvη

(1.7)

Ãéá áðoìáêñõvüìåvç ðçãÞ Ý÷oõìå

Áðü ôo ávÜðôõãìá

1 1−x

= 1 + x + x2 + ..., ãéá x< 1, Ý÷oõìå áðü ôçv (1.6) νµ = νπ (1 +

v2 v + 2 + ...) cη cη

(1.8)

Ðáñáôçñoýìå óõãêñßvovôáò ôéò (1.3) êáé (1.8) üôé ìðoñoýìå ìåôñþvôáò ôç óõ÷vüôçôá ìå áêñßâåéá ôçò ôÜîçò v 2 /c2η vá äéá÷ùñßóoõìå ôéò ðåñéðôþóåéò êévoýìåvçò ðçãÞò áðü êévoýìåvo ðáñáôçñçôÞ. Ôo êñßóéìo óçìåßo åäþ åßváé üôé ç åîáêñßâùóç áõôÞò ôçò äéáöoñoðoßçóçò âáóßæåôáé óôo äåäoìÝvo üôé ç êßvçóç ãßvåôáé óå ó÷Ýóç ðñoò ôo ìÝóo äéÜäoóçò ôoõ êõìáôéêoý öáévoìÝvoõ ôoõ Þ÷oõ. Ôo öáévüìåvo Dobbler ãéá ôo öùò õðÜñ÷åé, äåv åñìçvåýåôáé üìùò êëáóéêÜ. Ôo ðñüâëçìá, üðùò èá äoýìå, åßváé áõôü ôo "ìÝóo äéÜäoóçò" ôoõ öùôüò, o ëåãüìåvoò "áéèÝñáò". ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

10

1.2. TO ÐÑÏÂËÇÌÁ ÌÅ ÔÇV ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÔOÕ ÖÙÔÏÓ

1.2

To Ðñüâëçìá ìå ôçv Ôá÷ýôçôá ôoõ Öùôüò

1.2.1 Ç éäéáéôåñüôçôá ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý Ïé åîéóþóåéò Maxwell óôo êåvü åßváé ~ ·E ~ ∇

=

0

,

~ ·B ~ ∇

=

0

,

~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ~ ×B ~ = −µ0 ǫ0 ∂ E ∇ ∂t

(1.9)

~ × (∇ ~ × A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ − ∇ ~ 2A ~ ðáßñvoõìå Aðü ôç äéávõóìáôéêÞ ôáõôüôçôá ∇ ~ ~ ×B ~ Þ ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ −∇ ~ 2E ~ = − ∂ [µ0 ε0 ∂ E ] ïðüôå ~ × (∇ ~ × E) ~ = ∂∇ ∇ ∂t ∂t ∂t 2~ ~2E ~ − 1∂ E = 0 ∇ c2 ∂t2

(1.10)

c = (µ0 ε0 )−1/2

(1.11)

üðoõ H (1.10) åßváé ìßá åîßóùóç êýìáôoò ìå ôá÷ýôçôá äéÜäoóçò c. Ôo Üìåóo êëáóéêü åñþôçìá ðoõ ôßèåôáé åäþ ðçãÜæåé áðü ôçv óýãêñéóç ðñoò ôá êëáóéêÜ åëáóôéêÜ êýìáôá (êýìáôá Þ÷oõ) óå êÜðoéo åëáóôéêü ìÝóo. Ãéá vá Ý÷oõìå äéÜäoóç ôùv çëåêôñoìáãvçôéêþv êõìÜôùv óôo êåvü èá ðñÝðåé áõôü ôo êåvü vá åßváé ãåìÜôo ìå Ývá ìÝóo ìå éäéáßôåñåò éäéüôçôåò. ÄçëáäÞ áö’åvüò vá Ý÷åé êáôÜëëçëåò åëáóôéêÝò óôáèåñÝò ãéá vá ãßvåôáé äéÜäoóç ìå ôçv ôá÷ýôçôá c êáé áö’ åôÝñoõ vá åßváé ôüóo áñáéü ðoõ vá ìçv åìðoäßæåé êávÝvá õëéêü óþìá óôçv åëåýèåñç êßvçóÞ ôoõ. Áõôü ôo õëéêü ovoìÜóôçêå "áéèÝñáò". Ç öéëoëoãßá ãýñù áðü ôçv ýðáñîç Þ ìç åvüò ôÝôoéoõ õëéêoý åßváé åêôåvÞò óôç âéâëéoãñáößá ðñév ôov Einstein. ÂÝâáéá o åvôoðéóìüò ôoõ ìå óõvÞèç ðåéñÜìáôá äåv ìðoñoýóå vá ãßvåé ãéáôß åî’oñéóìoý êávÝvá õëéêü óþìá äåv Ýðñåðå vá ávôéëáìâÜvåôáé ôçv ýðáñîç ôoõ. ÅðoìÝvùò ôo ìüvo ðoõ Ýìåvå åßváé vá ìåôñçèåß ç ó÷åôéêÞ êßvçóç ôùv óùìÜôùv ùò ðñoò ôov áéèÝñá. Ïðùò åßäáìå óôçv ðåñßðôùóç ôoõ Þ÷oõ ôo öáévüìåvo Dobbler ìåôñoýìåvo ìå áêñßâåéá ôçò ôÜîçò v 2 /c2η ìðoñåß vá äüóåé êñéôÞñéá ãéá ìéÜ ôÝôoéá êßvçóç. Ãéá ôo öùò üìùò ôÝôoéåò ôÜîåéò v 2 /c2 ðñoöávþò åßváé ðÝñá áðü êÜèå ìåôñçôéêÞ äõváôüôçôá (ôoõëÜ÷éóôov ìå ôéò óõóêåõÝò ôçò áñ÷Þò ôoõ 20ïõ áéþvá).ÅðoìÝvùò Ýìåvå vá ìåôñçèåß ç ìåôáâoëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò óå êévoýìåvá óõóôÞìáôá áváöoñáò : cµ = c ± v

(1.12)

üðùò ðåñéìÝvåé êávåßò êëáóéêÜ áðü ôç óýãêñéóç ìå ôov Þ÷o: cµετ ρ = cη + v ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(1.13) 11

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. Ðñoôoý áváöåñèoýìå óôéò ðñoóðÜèåéåò áõôÝò èá ðñÝðåé vá ôovßóoõìå ôo åîÞò âáóéêü óçìåßo ãéá ôçv êõìáôéêÞ åîßóùóç (1.10). Ç åîßóùóç áõôÞ ðåñéÝ÷åé ìßá óôáèåñÜ, ôçv c, ìå öõóéêÝò äéáóôÜóåéò. Áõôü óçìáßvåé üôé Ý÷oõìå ìßá êáèoñéóìÝvç êëßìáêá, êëßìáêá ôá÷õôÞôùv, ðoõ åßváé áðüëõôç. ÄçëáäÞ ìðoñoýìå vá ðoýìå: "ðoëý ìåãÜëåò Þ ðoëý ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò óå ó÷Ýóç ðñoò ôo c". Ávôßèåôá óå êáìßá åîßóùóç ôçò ÊëáóéêÞò Ìç÷ávéêÞò äåv õðÜñ÷åé êÜðoéá óôáèåñÜ ðoõ vá êáèoñßæåé ôçv êëßìáêá. Óôçv åîßóùóç: d2 x ∂V m 2 = − (1.14) dt ∂x äåv õðÜñ÷åé êÜðoéá óôáèåñÜ ðoõ vá êáèoñßæåé ôçv ôá÷ýôçôá áðüëõôá, (åêôüò áðü ôo m åäþ ðoõ êáèoñßæåé ôçv êëßìáêá ôùv åvåñãåéþv êé áõôü áðü ôç ó÷åôéêéóôéêÞ ó÷Ýóç E = mc2 , ðoõ äåv åßváé âÝâáéá êëáóéêÞ ó÷Ýóç). Ãéá êÜèå åîßóùóç ôçò ÊëáóéêÞò Ìç÷ávéêÞò ðoõ öáßvåôáé üôé õðÜñ÷oõv êÜðoéåò óôáèåñÝò áõôÝò åßváé ðÜvôá äoóìÝvåò óå ó÷Ýóç ìå ôéò éäéüôçôåò ôoõ ìÝóoõ óôo oðoßo äéáëáìâÜvåé ÷þñá ôo öáévüìåvo ðoõ ðåñéãñÜöåé ç åîßóùóç. ÔÝôoéo ðáñÜäåéãìá åßváé ç êõìáôéêÞ åîßóùóç ôoõ Þ÷oõ üðoõ ç ôá÷ýôçôá êáèoñßæåôáé áðü ôéò öõóéêÝò åëáóôéêÝò éäéüôçôåò ôoõ ìÝóoõ. Åñ÷üìáóôå ðÜëé ëoéðüv óôo åñþôçìá: Ôé åßváé áõôü ðoõ äßvåé ôçv ôéìÞ ôoõ c óôçv ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò; Áóêçóç Ná äåé÷èåß üôé ç êõìáôéêÞ åîßóùóç äåv åßváé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôoõ Ãáëéëáßoõ.

1.2.2 ÐåéñÜìáôá ìÝôñçóçò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò Ôo 1983 óôo Ãåvéêü ÓõvÝäñéo ÌÝôñùv êáé Óôáèìþv õéoèåôÞèçêå Ývá vÝo ðñüôõðo ãéá ôov oñéóìü ôoõ ìÝôñoõ : Åvá ìÝôño åßváé ç áðüóôáóç ðoõ äéávýåé ôo öùò óôo êåvü óå ÷ñüvo 1/299792458 sec. Ôo ãåãovüò áõôü ávôéêáôoðôñßæåé ôçv ðáñáäo÷Þ üôé ç ôéìÞ: c = 299792458m/sec (1.15) åßváé ç ðëÝov áêñéâÞò ìÝôñçóç ãéá ôçv ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò. Ç âáèýôåñç üìùò óçìáóßá ôoõ åßváé üôé äå÷üìáóôå ôçv ðáãêoóìéüôçôá êáé óôáèåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò óáv êÜôé åvôåëþò èåìåëéáêü. Ðñév âÝâáéá öèÜóoõìå óôçv áêñßâåéá áõôÞ, Ýãéváv ðoëëÜ ðåéñÜìáôá ãéá ôçv ìÝôñçóç ôoõ c. Ïëåò áõôÝò oé ìåôñÞóåéò âáóßóôçêáv óå êëáóéêoýò óõëëoãéóìoýò, äçëáäÞ óôçv éó÷ý ôùv ìåôáó÷çìáôéóìþv ôoõ Ãáëéëáßoõ. Ç ðáëáéüôåñç ìÝôñçóç Ýãévå áðü ôov Roemer (1675) üðoõ ðáñáôÞñçóå üôé oé åêëåßøåéò ôçò Ioýò, äoñõöüñoõ ôoõ Äßá, ðáñáôçñoýìåvåò ìå äéáöoñÜ 6 ìçvþv åß÷áv ìßá êáèõóôÝñçóç 22 min. Áõôü ôo áðÝäoóå óôçv êáèõóôÝñçóç ôoõ öùôüò vá äéávýóåé ôçv ôño÷éÜ ôçò Ãçò ãýñù áðü ôov Çëéo êáé Ýôóé åêôßìçóå üôé c = 2.83 × 1011 /22 = 2.14 × 108 m/s. O Bradley (1725) ðáñáôÞñçóå üôé õðÜñ÷åé ìßá öáévoìÝvç åðo÷éáêÞ ìåôáâoëÞ ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

12

1.2. TO ÐÑÏÂËÇÌÁ ÌÅ ÔÇV ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÔOÕ ÖÙÔÏÓ

Ó÷Þìá 1.2: To Ðåßñáìá ôùí Michelson-Morley ôçò èÝóçò ôùv Üóôñùv. Ïé öáévüìåvåò ôño÷éÝò åßváé ìéêñÝò åëëåßøåéò Þ êýêëoé ìå ãùvéáêÞ äéÜìåôño ôçò ôÜîçò ôùv 40’’. Áõôü ëÝãåôáé ðáñÜëáîç ôùv Üóôñùv êáé oöåßëåôáé óôçv ðåðåñáóìÝvç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò êáé ôçv êßvçóç ôçò Ãçò ìå ôá÷ýôçôá vγ . Å÷oõìå: vγ (1.16) tanα = c üðoõ á = 40’’/2. Ìå vγ = 3 × 104 m/s ðáßñvoõìå c = 3.1 × 108 m/s. ÓÞìåñá õðÜñ÷oõv ðoëëÝò áêñéâåßò ôå÷véêÝò vá ìåôñçèåß ôo c óôo åñãáóôÞñéo. (Áváö.: Âéâëßo Ìç÷ávéêÞò Berkeley).

1.2.3 Ôo Ðåßñáìá ôùv Michelson - Morley Åßäáìå ðéü ðÜvù üôé o Çëåêôñoìáãvçôéóìüò äåv åßváé óõìâéâáóôüò ìå ôç Ó÷åôéêüôçôá ôoõ Ãáëéëáßoõ. ÕðÞñ÷áv ôñßá åváëëáêôéêÜ åväå÷üìåvá á) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ, áëëÜ äåv éó÷ýåé ãéá ôov Çëåêôñoìáãvçôéóìü. Áõôü óçìáßvåé üôé ãéá ôov Ç.Ì. èá ðñÝðåé vá õðÜñ÷åé ðñoôéìçôáßo óýóôçìá áváöoñÜò, äçëáäÞ o áéèÝñáò. â) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé êáé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ êáé ãéá ôov Ç.Ì. áëëÜ oé åîéóþóåéò Maxwell äåv åßváé óùóôÝò. ã) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé êáé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ êáé ãéá ôov Ç.Ì. áëëÜ oé Íüìoé ôçò Ìç÷ávéêÞò äåv éó÷ýoõv õðü ôç ìoñöÞ ðoõ Ýäùóå o Íåýôùv. Äåv õðÜñ÷åé êávÝvá ðåßñáìá ðoõ vá äåß÷våé ôçv ìç éó÷ý ôùv åîéóþóåùv Maxwell. Ôo ðåßñáìá Michelson-Morley Ýäåéîå üôé äåv õðÜñ÷åé ó÷åôéêÞ êßvçóç ùò ðñoò êÜðoéo áéèÝñá. ÅðoìÝvùò ç ìüvç åðéëoãÞ åßváé ôo åväå÷üìåvo ã). Ôo ðùò ðñÝðåé vá áëëÜîoõv oé Íüìoé ôçò Ìç÷ávéêÞò áðoôåëåß ôo ðëáßóéo ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Ôo ðåßñáìá ôùv Michelson-Morley Ý÷åé ùò åîÞò: ÌéÜ äÝóìç öùôüò áðü ôo L äéáóðÜôáé óå äýo áðü ôo ðëáêßäéo Ñ ðoõ åßváé êáôÜ ôo Þìéóõ åðáñãõñùìÝvo. Ïé äýo äÝóìåò áváêëþvôáé óôá êÜôoðôñá S1 êáé S2 êáé óõãêåvôñþvovôáé óôo ôçëåóêüðéo ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

13

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ.

Ó÷Þìá 1.3: ¢îïíáò ôçò óõêåõÞò êÜèåôïò ðñïò ôçí êßíçóç ôçò ÃÞò F üðoõ äçìéoõñãoýv êñoóóoýò óõìâoëÞò. Åóôù üôé ç óõóêåõÞ êévåßôáé êáôÜ ôç äéåýèõvóç S1 P ìå ôá÷ýôçôá v óå ó÷Ýóç ðñoò ôov õðoèåôéêü áéèÝñá. Óýìöùvá ôþñá ìå ôçv ÊëáóéêÞ ÖõóéêÞ ôo öùò êáôÜ ôéò äéåõèývóåéò P S1 êáé S1 P èá Ý÷åé ôá÷ýôçôåò ávôßóôoé÷á c-v êáé c+v. Áñá o ÷ñüvoò äéáäñoìÞò áõôÞò ôçò äÝóìçò èá åßváé:   1 2 l1 1 + (1.17) = tl = l1 c−v c+v c (1 − β 2 ) üðoõ β = v/c. ÊáôÜ ôç äéáäñoìÞ P S2 P ôo öùò èá êÜvåé ôo äñüìo ôoõ Ó÷Þìáôoò 1.3, ëüãù ôçò êßvçóçò ôçò óõóêåõÞò êáôÜ ä. Å÷oõìå (δ 2

δ v = 2 1/2 + l2 ) c

(1.18)

Ïðüôå ðáßñvoõìå δ = β l2 /(1 − β 2 )1/2 . EðoìÝvùò o ÷ñüvoò äéáäñoìÞò åßváé: t2 =

2 l2 2 (δ 2 + l22 )1/2 = c c (1 − β 2 )1/2

(1.19)

Ç äéáöoñÜ ôoõ "oðôéêoý äñüìoõ" åßváé:   l1 2 ∆ = c (t1 − t2 ) = − l2 (1 − β 2 )1/2 (1 − β 2 )1/2

(1.20)

ÐåñéóôñÝöovôáò ôçv óõóêåõÞ êáôÜ 90o Ý÷oõìå åváëëáãÞ ôùv ñüëùv ôùv l1 êáé l2 êáé ðáßñvoõìå:   l2 2 ′ ′ ′ − l1 (1.21) ∆ = c (t1 − t2 ) = (1 − β 2 )1/2 (1 − β 2 )1/2 Áv Ä åßváé äéÜöoño ôoõ Ä’ ðåñéìÝvoõìå ìåôáôüðéóç ôçò óõìâoëÞò êáôÜ áñéèìü êñoóóþv ßóo ìå:   ′ ∆−∆ l1 + l2 n = β2 (1.22) ≈ − λ λ ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

14

1.3. ÏÉ ÁÑ×ÅÓ ÔÇÓ ÅÉÄÉÊÇÓ ÈÅÙÑÉÁÓ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ Óôo ðåßñáìá äåv ðáñáôçñÞèçêå êáìßá ôÝôoéá ìåôåôüðéóç. Áñá ç Ãç äåv êévåßôáé óå ó÷Ýóç ìå ôov áéèÝñá. Ôo åväå÷üìåvo vá ôov ðáñáóýñåé ìáæß óôçv êßvçóÞ ôçò ãýñù áðü ôov Çëéo äåv åßváé áðoäåêôü ãéáôß ôüôå äåv èá ðáñáôçñoýóáìå ôo öáévüìåvo ôçò ðáñÜëáîçò. Áñá äåí õðÜñ÷åé áéèÝñáò.

1.3 Ïé Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò 1.3.1 Oé ÁñxÝò ôoõ Einstein êáé ôo Ðñüâëçìá ôçò Ôáõôo÷ñovéêüôçôáò Äýo Ãåãovüôùv Ïðùò áváöÝñáìå êáé ðéü ðÜvù ç ëýóç ðoõ ðñoóÝöåñå o Einstein óôo ðñüâëçìá ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò Þôáv ôåëéêÞ: ÄÝ÷ôçêå ôçv ávåîáñôçóßá ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò áðü ôçv êßvçóç ôùv áäñávåéáêþv óõóôçìÜôùv óáv Áñ÷Þ ôçò ÖõóéêÞò ìå éó÷ý óå üëá ôá öáévüìåvá, çëåêôñoìáãvçôéêÜ êáé ìç÷ávéêÜ. ÁõôÞ ç áñ÷Þ êáé ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ôùv êévÞóåùv ôoõ Ãáëéëáßoõ åßváé oé äýo Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Ïëo ôo oéêoäüìçìá óôçñßæåôáé ó’áõôÝò. Áìåóç óõvÝðåéá üìùò åßváé ôo ãåãovüò ôçò ávÜãêçò ávôéêáôÜóôáóçò ôùv êëáóéêþv éäéoôÞôùv ðoõ äéáéóèçôéêÜ (ìå ôçv êëáóéêÞ ìáò åìðåéñßá) äå÷üìáóôå üôé Ý÷oõv oé Ývvoéåò ôoõ ÷ñüvoõ êáé ôoõ ÷þñoõ. Ôo ðñoöávÝò ðáñÜäoîo Ýñ÷åôáé Üìåóá áv ôá óöáéñéêÜ êýìáôá ðoõ åêðÝìðovôáé áðü ìßá ðçãÞ ôá ðáñáôçñÞóoõìå áðü äýo äéáöoñåôéêÜ óõóôÞìáôá áváöoñÜò. Áv ç ðçãÞ åßváé áêßvçôç óôçv áñ÷Þ ôùv áîüvùv åvüò óõóôÞìáôoò áváöoñÜò Ó êáé ôç ÷ñovéêÞ óôéãìÞ t=0 åêðÝìðåé Ývá óöáéñéêü êýìá, ôüôå Ýváò ðáñáôçñçôÞò áêßvçôoò ùò ðñoò ôo Ó èá ðáñáôçñÞóåé ãéá êÜèå t ìßá óöáéñéêÞ åðéöÜvåéá. Åóôù êévoýìåvo óå ó÷Ýóç ðñoò ôo Ó áäñávåéáêü óýóôçìá Ó’. Áv ç áñ÷Þ ôoõ Ï’ óõìðßðôåé ãéá t’=0 ìå ôo O ôüôå o ðáñáôçñçôÞò áõôüò, åöüóov ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò êáé ãé’áõôüv åßváé c, èá ðáñáôçñåß ðÜëé óöáéñéêü êýìá ãéá êÜèå t’. Áv õðÜñ÷åé Ýváò áðüëõôoò ÷ñüvoò óå ó÷Ýóç ðñoò ôov oðoßo oé äýo ðáñáôçñçôÝò êáôáãñÜöoõv ôo öáévüìåvo ôçò äéÜäoóçò ôoõ óöáéñéêoý êýìáôoò ôüôå ç óôáèåñüôçôá ôoõ c äåv ìðoñåß vá äüóåé êáé ãéá ôoõò äýo óöáéñéêÜ êýìáôá. ÅðoìÝvùò åöüóov ôá êýìáôá ðñÝðåé vá åßváé êáé ãéá ôoõò äýo óöáéñéêÜ èá ðñÝðåé vá ìçv õðÜñ÷åé áðüëõôoò ÷ñüvoò áëëÜ ìüvov ó÷åôéêüò ùò ðñoò êÜèå áäñávåéáêü óýóôçìá. Áñá ôßèåôáé ôo åñþôçìá ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò äýo ãåãovüôùv êáé ôoõ ôñüðoõ êáèoñéóìoý ôçò. Åöüóov ç óôáèåñüôçôá ôoõ c åßváé ç áéôßá ôoõ ðñoâëÞìáôoò, åðüìåvo åßváé vá ÷ñçóéìoðoéÞóoõìå áõôÞ ôçv óôáèåñüôçôá ãéá ôov oñéóìü ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò. Åóôù óå Ývá áäñávåéáêü óýóôçìá äýo óçìåßá x1 êáé x2 . Ïñßæoõìå äýo ÷ñovéêÝò óôéãìÝò t1 êáé t2 óáv ôáõôü÷ñovåò áv öùôåévü êýìá ðoõ åìðÝìðåôáé áðü ôo ìÝóo ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

15

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ.

Ó÷Þìá 1.4: Óýãêñéóç êáèÝôùí ìçêþí ìåôáîý ôùí x1 êáé x2 öôÜvåé óôá x1 êáé x2 ôéò óôéãìÝò t1 êáé t2 . Áðü ôov oñéóìü áõôü óõvÜãåôáé üôé ç ôáõôo÷ñovéêüôçôá äýo ãåãovüôùv ðoõ ëáìâÜvoõv ÷þñá óå äýo äéáöoñåôéêÜ óçìåßá, Ý÷åé vüçìá ìüvo ãéá óõãêåêñéìÝvo óýóôçìá áváöoñÜò. Óôçv ðåñßðôùóç ôoõ óöáéñéêoý êýìáôoò óôo óýóôçìá Ó, ç Üöéîç ôoõ óôá äåäoìÝvá óçìåßá ôçò óöáßñáò ôoõ Ó äßvåé Ývá óývoëo ôáõôü÷ñovùv ãåãovüôùv. Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ ôá ãåãovüôá áõôÜ äåv ìðoñåß vá åßváé ôáõôü÷ñová. Áñá äýo ôáõôü÷ñová ãåãovüôá óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò äåv åßváé ôáõôü÷ñová óå Üëëo óýóôçìá ìå ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ùò ðñoò ôo ðñþôo. Áv ëoéðüv Ývá ãåãovüò óôo Ó ðåñéãñÜöåôáé áðü ôçv ôåôñÜäá (t,x,y,z) êáé óôo Ó’ áðü ôçv ôåôñÜäá (t’,x’,y’,z’) èá ðñÝðåé vá õðÜñ÷åé Ýváò ìáôáó÷çìáôéóìüò ìåôáîý ôùv äýo. Áõôüò ðñÝðåé vá åßváé ãñáììéêüò Ýôóé þóôå üëá ôá óçìåßá ôoõ ÷þñoõ êáé ÷ñüvoõ vá åßváé éóoäýváìá. Åðßóçò ðñÝðåé vá åßváé ávôéóôñÝøéìoò ãéá vá ìçv õðÜñ÷åé ðñoôéìçôáßo óýóôçìá áváöoñÜò. Áõôüò o ìáôáó÷çìáôéóìüò ðñÝðåé vá Ý÷åé ôçv éäéüôçôá vá äßvåé óöáéñéêÜ êýìáôá öùôüò êáé ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá Ó êáé Ó’. Ì’áõôÝò ôéò ðñoõðoèÝóåéò ìðoñåß êávåßò vá âñåé áõôüv ôo ìåôáó÷çìáôéóìü, ðoõ ëÝãåôáé Ìåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz. Ðéü êÜôù èá äåßîoõìå ðùò âñßóêåôáé o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áëëÜ ðñþôá èá áêoëoõèÞóoõìå ôçv ávÜëõóç ôoõ Einstein. O Einstein ìå âÜóç ôéò Áñ÷Ýò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò êáé ôoõ oñéóìoý ðoõ Ýäùóå ãéá ôçv ôáõôo÷ñovéêüôçôá äéåñåývçóå ôéò åðéðôþóåéò óôéò ìåôñÞóåéò ìçêþv êáé ÷ñüvùv. ÏõóéáóôéêÜ áváêÜëõøå ôov ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz áðü ôéò óõvÝðåéÝò ôoõ.

1.3.2 ÓõvÝðåéåò óôç ÌÝôñçóç ôoõ xñüvoõ êáé ôoõ xþñoõ Óýãêñéóç ÐáñáëëÞëùv Ìåôñçôéêþv ÑÜâäùv ÊáèÝôùv ðñoò ôç Äéåýèõvóç ôçò ÓxåôéêÞò Êßvçóçò Åóôù üôé oé äýo ñÜâäoé ÏÑ êáé Ï’Ñ’ Ý÷oõv ôo ßäéo ìÞêoò ùò ðñoò ôo óýóôçìá áváöoñÜò Ó’ êáé Ó. Ôo åñþôçìá åäþ åßváé áv Ýváò ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ìåôñÜåé ôçv Ï’Ñ’ óáv ßóç ìå ôçv ÏÑ êáé ávôßóôoé÷á áv Ýváò ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó’ ìåôñÜåé ôçv ÏÑ óáv ßóç ìå ôçv Ï’Ñ’. Ãéá vá ìåôñÞóåé o ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ôçv ñÜâäo Ï’Ñ’ ðñÝðåé vá ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

16

1.3. ÏÉ ÁÑ×ÅÓ ÔÇÓ ÅÉÄÉÊÇÓ ÈÅÙÑÉÁÓ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ

Ó÷Þìá 1.5: Óýãêñéóç ùñïëïãßùí ôçv óõãêñßvåé ìå ôç äéêÞ ôoõ ñÜâäo Ýôóé þóôå ç óýìðôùóç ôùv Üêñùv Ï’, Ï êáé Ñ’, Ñ vá åßváé ãé’áõôüv ôáõôü÷ñovç. Ïìoéá êáé ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ ôoõ Ó’. Åóôù üôé Ì’Ì ðáñÜëëçëç ðñoò ôçv Ï’Ï êáé ôç óôéãìÞ ðoõ ôo Ì’ óõìðßðôåé ìå ôo Ì åêðÝìðovôáé öùôåévÜ óÞìáôá áðü ôá Ï’ êáé Ñ’. Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ ôá ãåãovüôá ôçò ôáýôéóçò ôùv óçìåßùv Ï’ êáé Ñ’ ìå ôov Üîová y åßváé ôáõôü÷ñová. ÅðåéäÞ êáôÜ ôç ó÷åôéêÞ êßvçóç oé áðoóôÜóåéò Ï’Ì êáé Ñ’Ì ðáñáìÝvoõv ßäéåò, èá Ý÷oõìå üôé ôá ãåãovüôá áõôÜ èá åßváé ôáõôü÷ñová êáé ãéá ôo óýóôçìá Ó. Ïìoéá ç ôáýôéóç ôùv óçìåßùv Ï êáé Ñ ìå ôov Üîová y’ åßváé ôáõôü÷ñová ãåãovüôá êáé ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá. Áñá ìðoñoýìå vá óõãêñßvoõìå ôéò äýo ñÜâäoõò. Åôóé êáé oé äýo ðáñáôçñçôÝò èá âñoõv åßôå OP ≤ O′ P ′ åßôå O′ P ′ ≤ OP . ÅðåéäÞ ôá óõóôÞìáôá åßváé éóoäýváìá ðñÝðåé vá óõìðåñÜvoõìå ÏÑ = Ï’Ñ’. Áv âñßóêáìå ávéóüôçôá ôüôå Ývá áðü ôá óõóôÞìáôá èá åß÷å ðñoôéìçôáßá êßvçóç ãéáôß ó÷åôéêÜ ì’áõôü èá åß÷áìå ôçv óõãêåêñéìÝvç öoñÜ ôçò ávéóüôçôáò. Óýãêñéóç Ñõèìþv Ñoëoãéþv Ãéá vá óõãêñßvoõìå ñõèìoýò ñoëoãéþv äýo óõóôçìÜôùv Ó êáé Ó’ ðñÝðåé vá öÝñoõìå ôá ñoëüãéá óôo ßäéo óçìåßo ôoõ ÷þñoõ. ÄéáöoñåôéêÜ èá ðñÝðåé vá ìåóoëáâÞóåé áðoóôoëÞ öùôåévþv ìçvõìÜôùv ðoõ èá åðçñåÜóoõv ôçv ôáõôo÷ñovéêüôçôá. Áõôü üìùò óçìáßvåé üôé ãéá vá ãßvåé óýãêñéóç èá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå äýo óõãêåêñéìÝvá ñoëüãéá óôo Ó ìå ôá oðoßá èá Ýñèåé äéáäo÷éêÜ óå óýìðôùóç ôo ñoëüé ôoõ Ó’. ÐñÝðåé vá óõãêñßvoõìå ôç ÷ñovéêÞ äéÜñêåéá êÜðoéoõ öáévoìÝvoõ óôá äýo óõóôÞìáôá. Ôo öáévüìåvo ðoõ åðéëÝãåôáé åßváé ávÜêëáóç áêôßvùv öùôüò óå êÜôoðôñá. Ãéá ôo ′ óýóôçìá Ó’ Ý÷oõìå: ∆t = 2 z0 /c. ÃéÜ ôo óýóôçìá Ó Ý÷oõìå: 2 ∆t = c

"

z02 +



v ∆t 2

2 #1/2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(1.23) 17

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ.

Ó÷Þìá 1.6: Óýãêñéóç ìçêþí ðáñáëëÞëùí ðñïò ôçí ó÷åôéêÞ êßíçóç Þ ∆t = EðåéäÞ zo = zo′ Ý÷oõìå

1 2 z0 · c (1 − β 2 )1/2

(1.24)



∆t ∆t = (1 − β 2 )1/2

(1.25)

O ÷ñüvoò Ät’ åßváé o ÷ñüvoò ìåôáîý äýo ãåãovüôùv ðoõ óõìâáßvoõv óôo Ó’ óôo ßäéo óçìåßo, äçëáäÞ ç åêðoìðÞ êáé ç ëÞøç ôùv áêôßvùv. Ï ÷ñüvoò áõôüò ëÝãåôáé ßäéo ÷ñovéêü äéÜóôçìá (proper time interval). Ï ðáñáôçñçôÞò Ó ðáñáôçñåß ôá ãåãovüôá áõôÜ óå äéáöoñåôéêÜ óçìåßá êáé o ÷ñüvoò ðoõ ìåóoëáâåß Ät åßváé ìåãáëýôåñoò ôoõ Ät’. Áõôü ëÝãåôáé ÷ñovéêÞ äéáóôoëÞ. Óýãêñéóç Ìçêþv ÐáñáëëÞëùv ðñoò ôç Äéåýèõvóç Êßvçóçò Åóôù ñÜâäoò ìÞêoõò xo , óôo óýóôçìá Ó’. Óôo óýóôçìá Ó ôo ìÞêoò xo èá ávôéóôoé÷åß óôçv áðüóôáóç ìåôáîý ôùv Üêñùv ôçò ñÜâäoõ ðoõ ìåôñþvôáé ôáõôü÷ñová ìå ôçv Ývvoéá ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò ôoõ Einstein. Ç ìÝôñçóç ôùv ìçêþv ãßvåôáé ìå ôç ÷ñÞóç öùôåévþv áêôßvùv, åöüóov ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò åßváé ôo ìüvo áváëëoßùôo ðoõ Ý÷oõìå. Åóôù üôé öùôåévÞ áêôßvá åêðÝìðåôáé áðü ôo S’. Ôá äýo ãåãovüôá åêìðoìðÞò êáé ëÞøçò óôo S’ åßváé óôo ßäéo óçìåßo ôoõ óõóôÞìáôoò Ó’, Üñá o ÷ñüvoò Ät’ ðoõ ìåóoëáâåß åßváé ßäéo-÷ñüvoò. Èá Ý÷oõìå: ′

2 xo ∆t = c ′

(1.26)

Óôo óýóôçìá Ó ç ávÜêëáóç èá ãßvåé óôç èÝóç Ì åvþ ç ðçãÞ èá åßváé óôo S1 êáé ç ëÞøç èá ãßvåé óôç èÝóç S2 . To ìÞêoò ðoõ èá ðáñáôçñçèåß áðü ôo Ó èá åßváé ôo xo ðoõ èá ðñÝðåé vá åßváé xo = So Mo = S1 M . Ëüãù ôçò ó÷åôéêÞò êßvçóçò èá Ý÷oõìå: v  S0 M = x 0 + · S0 M (1.27) c ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

18

1.3. ÏÉ ÁÑ×ÅÓ ÔÇÓ ÅÉÄÉÊÇÓ ÈÅÙÑÉÁÓ ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ

Ó÷Þìá 1.7: Óýãêñéóç óõã÷ñïíéóìïý ùñïëïãßùí Þ S0 M = êáé M S 2 = x0 − Þ M S2 =

x0 1−β

(1.28)

v 

(1.29)

c

· M S2

x0 1+β

(1.30)

Ï áðáéôoýìåvoò ÷ñüvoò óôo Ó åßváé: ∆t =

S0 M + M S 2 2 x0 = c c (1 − β 2

(1.31)

O Ät äåv åßváé éäéo÷ñüvoò ãéáôß ìåôñÜôáé óå äýo äéáöoñåôéêÜ óçìåßá ôoõ Ó. ×ñçóéìoðoéþvôáò ôþñá ôéò ó÷Ýóåéò (1.25) êáé (1.26) ðáßñvoõìå: p ′ x0 = xo 1 − β 2 (1.32) Aõôü ëÝãåôáé óõóôoëÞ ôoõ ÷þñoõ.

Óõãñovéóìüò ôùv Ñoëoãéþv Åóôù äýo ñoëüãéá óõã÷ñovéóìÝvá óôo Ó’. Åváò ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ãéá vá óõãêñßvåé ôá äýo áõôÜ ñoëüãéá èá ðñÝðåé äéáäo÷éêÜ vá Ýñèåé óå óýìðôùóç ìå ôá äýo ñoëüãéá óôéò ávôßóôoé÷åò èÝóåéò ôoõò. Ï ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó èá âñåß ìßá äéáöoñÜ ÷ñüvoõ t1 − to êáé áõôÞ ç äéáöoñÜ åßváé éäéo÷ñüvoò ãé’ áõôüv ãéáôß åßváé óôo ßäéo óçìåßo ôoõ Ó. ÁõôÞ ç äéáöoñÜ óôo Ó’ èá åßváé ëüãù ôçò (1.25): t1 − t0 ′ ′ t1 − t0 = √ 1 − β2 ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(1.33) 19

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. Ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ óôo Ó èá Ý÷oõìå åðßóçò äéáóôoëÞ ôùv ÷ñovéêþv äéáóôçìÜôùv ãéá êÜèå ñoëüé ôoõ Ó’ áëëÜ åðåéäÞ ôá ñoëüãéá ôoõ Ó’ åßváé óå äéáöoñåôéêÝò èÝóåéò, oé äéáöoñÝò ôùv åväåßîåùv äåv åßváé éäéo÷ñüvoò êáé åðoìÝvùò èá ðñÝðåé vá õðÜñ÷åé ìßá äéáöoñÜ ä Ýôóé þóôå: ′



t −t +δ t1 − t0 = 1p o 1 − β2

(1.34)

Ðáñáôçñoýìå åäþ üôé åðåéäÞ ç ó÷åôéêÞ êßvçóç åßváé óõììåôñéêÞ ðñÝðåé êáé oé äýo ðáñáôçñçôÝò vá ìåôñÜvå äéáóôoëÞ ÷ñüvoõ. Åôóé o áðoóõãñovéóìüò êáôÜ ä öáßvåôáé óáv Üìåóç óõvÝðåéá. Å÷oõìå ôþñá: ′





t1 − t0 =

x0 xo , t1 − t0 = v v

(1.35)

êáé xo = x′o · (1 − β 2 )1/2 oðüôå ðáßñvoõìå: ′

x β2 δ = − 0 v

(1.36)

Ç óçìáóßá ôoõ áñvçôéêoý óçìåßoõ åßváé üôé o ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó èá âëÝðåé üôé ôo äåýôåño ñoëüé ðñoðoñåýåôáé (äåß÷våé ðåñéóóüôåñç þñá) áðü ôo ðñþôo. ÓõìðÝñáóìá: Ïé Üìåóåò óõvÝðåéåò ôùv Áñ÷þv ôçò Ó÷åôéêüôçôáò åßváé åðoìÝvùò ôÝóóåñåéò äéáðéóôþóåéò ãéá ôéò ÷ùño÷ñovéêÝò ìåôñÞóåéò: (i) ÊÜèåôá ðñoò ôç äéåýèõvóç ôçò ó÷åôéêÞò êßvçóçò ôá äéáóôÞìáôá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôá. (ii) Áv äýo ãåãovüôá óõìâáßvoõv óôov ßäéo ôüðo óå Ývá óýóôçìá ç äéáöoñÜ ôùv ÷ñüvùv ôoõò Äô, ðoõ ëÝãåôáé éäéo÷ñüvoò, óõväÝåôáé ìå ôo ÷ñüvo ðoõ ìåôñÜôáé óå êévoýìåvo óýóôçìá áváöoñÜò ìå ôç ó÷Ýóç: ∆τ ∆t = p 1 − β2

(1.37)

(iii) Áv Ývá ìÞêoò ÄL åßváé éäéoìÞêoò, óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò, äçëáäÞ Ý÷åé ìåôñçèåß ìå ôáõôo÷ñovéêüôçôá, óå ó÷Ýóç ìå Ývá êévoýìåvo óýóôçìá áváöoñÜò èá Ý÷åé ìÞêoò: p (1.38) ∆x = ∆L 1 − β 2

(iv) Äýo ñoëüãéá, óýã÷ñová êáé áðÝ÷ovôá êáôÜ ÄL óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò, öáßvovôáé óå Üëëo óýóôçìá êévoýìåvo vá åßváé áóýã÷ñová êáôÜ: δ = −

∆L v c2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(1.39)

20

ÊåöÜëáéï 2 Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ ÊÁI ÏI ÓÕÍÅÐÅIÅÓ ÓÔÏÕÓ NOMOYÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁÍIÊÇÓ 2.1

Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz

2.1.1 Aìåóç Áðüäåéîç ìå ÂÜóç ôéò ÓõvÝðåéåò Åóôù äýo áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá áváöoñÜò Ó êáé Ó’ ìå ðáñÜëëçëoõò Üîovåò, ìå ôo Ó’ êévoýìåvo ðñoò ôç èåôéêÞ öoñÜ ôoõ Üîová ôùv x ìå ôá÷ýôçôá v. Åóôù üôé ôç óôéãìÞ ôçò óýìðôùóçò ôùv Ï êáé Ï’ äýo ñoëüãéá óôéò ávôßóôoé÷åò áñ÷Ýò ôùv óõóôçìÜôùv åßváé óõã÷ñovéóìÝvá êáé äåßvoõv t=0, t’=0. Ôo óçìåßo Á (äçëáäÞ ôo ãåãovüò Á) Ý÷åé óõvôåôáãìÝvåò (x,y,z,t) êáé (x’,y’,z’,t’) ávôßóôoé÷á. Ãéá Ýváv ðáñáôçñçôÞ óôo Ó Ý÷oõìå ÏÏ’=vt áëëÜ ç óõvôåôáãìÝvç Ï = x’ èá Ý÷åé óõóôáëåß êáé èá åßváé x′ (1 − β 2 )1/2 . EðoìÝvùò èá Ý÷oõìå OB = x = vt + x′ · (1 − β 2 )1/2 , oðüôå: x − vt ′ x = p (2.1) 1 − β2 Åðßóçò ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ ôoõ Ó ôá ñoëüãéá óôo Ó’ ðoõ âñßóêovôáé óôo Ï’ êáé  èá öáßvovôáé áðoóõã÷ñovéóìÝvá êáôÜ: ′

xv ∆t = 2 c ′

21

(2.2)

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ.

Ó÷Þìá 2.1: ÓõíôåôáãìÝíåò åíüò ãåãïíüôïò óå äýï ÁäñáíåéáêÜ ÓõóôÞìáôá Ãéá ôo Ó ç Ýväåéîç ôoõ ñoëoãéoý óôo  èá åßváé t’+ Ät’ êáé o ÷ñüvoò áõôüò èá öáßvåôáé äéáóôáëÞò óôo Ó, äçëáäÞ: t + x cv2 t = p 1 − β2 ′

Þ



t − x cv2 ′ t = p 1 − β2

(2.3)

(2.4)

üðoõ ávôéêáôáóôÞóáìå ôo x’ áðü ôçv (2.1). ÈÝôovôáò γ = (1 − β 2 )−1/2 Ý÷oõìå ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz: ′

x ′ y ′ z ′

t

= γ (x − v t) = y = z v = γ (t − x 2 ) c

(2.5) (2.6) (2.7) (2.8)

Áóêçóç 2.1 Ná äåé÷èåß üôé ç Ýêöñáóç F (x, y, z, t) = x2 + y 2 + x2 − c2 t2 ðáñáìÝvåé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz, äçëáäÞ: F (x, y, z, t) = F (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) Áóêçóç 2.2 Íá âñåèåß o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áðü ôçv áðáßôçóç ç ìoñöÞ F(x,y,z,t) ôçò Áóêçóçò 2.1 vá ðáñáìÝvåé áváëëoßùôç êáé ìå ôéò õðoèÝóåéò üôé ðñÝðåé vá åßváé ãñáììéêüò êáé ávôéóôñÝøéìoò. ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

22

2.1. Ï ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ LORENTZ

2.1.2 Ç ÃåvéêÞ ÌoñöÞ ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz Áv óôçv Áóêçóç 2.1 äåv êÜvoõìå ôçv áðëoðoßçóç ôçò êßvçóçò êáôÜ ôov Üîová ôùv x, ç áðÜvôçóç äßvåé ôo Ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz ãéá ó÷åôéêÞ êßvçóç êáôÜ ôõ÷oýóá äéåýèõvóç. Ç áðüäåéîç ãßvåôáé üìùò êáé Üìåóá. Åóôù v ôo Üvõóìá ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôáò. Ãéá ôá ávýóìáôá èÝóçò ~r êáé ~r′ Ý÷oõìå áváëýovôáò êáôÜ ôçv ðáñÜëëçëç êáé êÜèåôç ðñoò ôo v äéåýèõvóç: ~r = ~r + ~r⊥ üðoõ



,





(2.9)





~r · ~v ~v ~r = v2 Ãvùñßæoõìå üìùò üôé: ′

r⊥ = r⊥



~r = ~r + ~r⊥

,



~r⊥

~r · ~v ~v = ~r − v2 ′

r = γ (r

,





+ vt )

(2.10)

(2.11)





~r · ~v r v ′ t = γ (t + 2 ) = γ (t + 2 ) c c ′

(2.12)

EðoìÝvùò Ý÷oõìå: ~r

= ~r + ~r⊥ ′ ′ ′ = γ (~r + ~v t + ~r⊥   ′ ′ ~r · ~v ~r · ~v ′ ′ ~v + ~v t + ~r − ~v = γ v2 v2  ′  ~r · ~v ′ ′ = ~r + ~v (γ − 1) + γ t v2

(2.13) (2.14) (2.15) (2.16)

ÈÝôovôáò â = v/c ðáßñvoõìå ôåëéêÜ: ~r = ~r + β~ ′



γ −1 ′ ~ ′ (~r · β) + γ c t 2 β



(2.17)

êáé åðåéäÞ β 2 = (γ 2 − 1)/γ 2 ~r = ~r + β~ γ ′



γ ~ ′ ′ β · ~r + c t γ +1



′ ′ c t = γ [c t + β~ · ~r ]

(2.18) (2.19)

ÐáñáôÞñçóç ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

23

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ. Õðü ìoñöÞ ðévÜêùv Ý÷oõìå:      x′ γ 0 0 +βγ x ′   y   0 1 0 0   ·  y′  =   z   0 0 1 0   z +βγ 0 0 γ ct c t′

Åóôù äýo äéáäo÷éêoß ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz: ′′

Σ

   



→ Σ →Σ

Å÷oõìå: 

  γ 2 0 0 β2 γ2 x  y   0 1 0 0     z  = 0 0 1 0 ct β2 γ2 0 0 γ2  γ 2 γ 1 +β 2 β 1 γ 2 γ 1 0 0  0 1 0 =  0 0 1 β 2 γ 2 γ 1 +γ 2 β 1 γ 1 0 0  γ 0  0 1 =  0 0 βγ 0

 

(2.21)

  0 β1 γ1 x′′ ′′  0 0   ·  y ′′ 1 0   z 0 γ1 c t′′   ′′  γ 2 β 1 γ 1 +β 2 γ 2 γ 1 x  y ′′  0  ·  0   z ′′  β 2 γ 2 β 1 γ 1 +γ 2 γ 1 c′′ t   ′′  x 0 βγ  y ′′  0 0  ·  1 0   z ′′  0 βγ c′′ t

γ1   0 ·   0 β1 γ1

0 1 0 0

oðüôå ðñÝðåé vá Ý÷oõìå: γ = γ2 γ1 (1 + β2 β1 ) êáé βγ = γ2 γ1 (β1 + β2 ) Ávôéêáèéóôþvôáò ôçv ðñþôç óôç äåýôåñç ðáßñvoõìå β γ2 γ1 (1 + β2 β1 ) = γ2 γ1 (β1 + β2 ) Þ β1 + β2 β= 1+ β 1 β 2 v =

2.2

(2.20)

v1 + v2 1 + v 1c2v 2

   

(2.22) (2.23)

(2.24)

(2.25) (2.26)

Eðéðôþóåéò óôoõò Íüìoõò ôçò Ìç÷ávéêÞò

2.2.1 Måôáó÷çìáôéóìüò Ôá÷õôÞôùv Eóôù v ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ôùv äýo óõóôçìÜôùv. Ãéá ôçv ôá÷ýôçôá åvüò óçìåßoõ ′ Ý÷oõìå ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá ávôßóôoé÷á ux = dx/dt , ux = dx′ /dt′ ê.ë.ð. üðoõ x′ = γ(x − vt) , t′ = γ(t − βx/c). Ðáßñvoõìå: ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

24

2.2. EÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÓÔOÕÓ ÍÏÌOÕÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁVÉÊÇÓ





ux =



dx dx dt · = ′ dt dt dt′

(2.27)





dy dt dy = · uy = ′ dt dt dt′ ′

(2.28)





dz dt dz = · uz = ′ dt dt dt′ ′

(2.29)

Å÷oõìå: dt dt′ dx′ dt dy ′ dt dz ′ dt

= = = =

d dt′ d dt dy dt dz dt

βu



[γ(t′ + β xc )] = γ [1 + cx′ ] [γ(x − vt)] = γ(ux − v) = uy = uz

Ðáßñvoõìå ux′ = γ(ux − v)γ(1 + Þ

βux′ ) c

ux ′ =

ux − v 1 − ucx2v

(2.30)

Åôóé Ý÷oõìå dt dt′

= γ[1 +

Þ

β c

·

(ux − v) ] (1 − ux2 v ) c

dt 1 1 · = ′ dt γ 1 − ucx2v

(2.31)

Áñá uy ′ =

1 1 · uy γ 1 − ucx2v

(2.32)

uz ′ =

1 1 uz · γ 1 − ucx2v

(2.33)

ÐáñáôÞñçóç 1. Ëývovôáò ôçv (2.30) ùò ðñoò ux ðáßñvoõìå: ux =

ux ′ + v u v 1 + xc′2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(2.34) 25

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ. ç oðoßá ôáõôßæåôáé ìå ôçv (2.26). ÄçëáäÞ ç (2.34) äßvåé äýo äéáäo÷éêoýò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz áðü ôo áñ÷éêü óýóôçìá Ó óôo áäñávåéáêü óýóôçìá ôoõ êévoõìÝvoõ óçìåßoõ. ÐáñáôÞñçóç 2. Óôçv êëáóéêÞ öõóéêÞ ç öoñÜ "ñoÞò" ôoõ ÷ñüvoõ óõväÝåôáé ìå ôçv áýîçóç ôçò åvôñoðßáò óå Ývá êëåéóôü óýóôçìá. Åðßóçò áv t = t2 − t1 åßváé o ÷ñüvoò ðoõ ìåóoëÜâçóå ìåôáîý äýo ãåãovüôùv ìå ó÷Ýóç áéôßoõ êáé áðoôåëÝóìáôoò Ý÷oõìå Ät > 0. Ïé äýo áõôÝò éäéüôçôåò ôoõ ÷ñüvoõ èá ðñÝðåé vá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôåò ùò ðñoò ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Áõôü óçìáßvåé üôé èá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå ðÜvôá: dt ≥ 0 dt′

(2.35)

u ≤ c

(2.36)

äçëáäÞ ãéá êÜèå äéÜäoóç ðoõ óõväÝåôáé ìå "öáévüìåvo áéôßoõ-áéôéáôoý". ÐáñáôÞñçóç 3. Áðü ôçv (2.34) âëÝðoõìå üôé ç óývèåóç ôáxõôÞôùv Ýxåé ôçv éäéüôçôá vá ìçv ìðoñåß vá îåðåñáóôåß ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò ìå óývèåóç êévÞóåùv. Áv Ý÷oõìå u′x = 0 ðáßñvoõìå: c + v ux = = c (2.37) 1 + cc2v

2.2.2 H Aváãêáéüôçôá Ãåvßêåõóçò ôùv Íüìùv ôoõ Íåýôùvá Ç ÌåôáâoëÞ ôçò ÌÜæáò ÐáñáôÞñçóç Óôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ Ý÷oõìå ôéò èÝóåéò, ôo ÷ñüvo, ôéò ôá÷ýôçôåò, ôéò oñìÝò, ôéò ìÜæåò, ôéò åðéôá÷ývóåéò, ôéò äõvÜìåéò êáé ôoõò Íüìoõò ôoõ Íåýôùvá ðoõ óõväÝoõv ôéò ðoóüôçôåò áõôÝò. Ãéá vá ãåvéêåõôoývå oé vüìoé ôoõ Íåýôùvá åßôå óôçv Ó÷åôéêüôçôá åßôå óôçv Êâávôoìç÷ávéêÞ ðñÝðåé vá îåêáèáñéóôåß ðñþôá ç éåñáñ÷éêüôçôá êáé o ñüëoò ôùv ðáñáðÜvù ðoóoôÞôùv. Áõôü éó÷ýåé ü÷é ìüvo ãéá ôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ áëëÜ êáé ãéá êÜèå ÖõóéêÞ Èåùñßá. Å÷oõìå êáô’áñ÷Þv ôéò âáóéêÝò ìåôáâëçôÝò ðoõ êáèoñßæoõv ðëÞñùò ôçv êáôÜóôáóç åvüò öõóéêoý óõóôÞìáôoò üðùò oé èÝóåéò x, y, z êáé o ÷ñüvoò t. ÌåôÜ Ý÷oõìå ôéò êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò üðùò ôá÷ýôçôåò êáé åðéôá÷ývóåéò êáé ôïõò êávüvåò óývèåóçò ôùv ðoõ áðoôåëoýv ôçv êévçìáôéêÞ ôçò èåùñßáò. ÔÝëoò Ý÷oõìå ôoõò vüìoõò ôçò ÷ñovéêÞò åîÝëéîçò ôùv êévçìáôéêþv ðoóoôÞôùv üðùò åßíáé oé vüìoé ôoõ Íåýôùvá. Ç áðáßôçóç ãéá ôçv áðëoýóôåñç äõváôÞ äéáôýðùóç êáé ãéá ðáãêoóìéüôçôá áõôþv ôùv vüìùv óõvåðÜãåôáé áö’åvüò ôçv ýðáñîç ÷áñáêôçñéóôéêþv ðáñáìÝôñùv ôùv öõóéêþv óõóôçìÜôùv, üðùò ìÜæá, ðõêvüôçôá öoñôßoõ ê.ë.ð. êáé ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

26

2.2. EÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÓÔOÕÓ ÍÏÌOÕÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁVÉÊÇÓ áö’åôÝñoõ áváêÜëõøç åéäéêþv ó÷Ýóåùv ðoõ óõväÝoõv ôéò êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò êáé áõôÝò ôéò ðáñáìÝôñoõò. ÁõôÝò oé åéäéêÝò ó÷Ýóåéò åßváé oé äéÜöoñåò ìoñöÝò äõvÜìåùv. Ãéá ðáñÜäåéãìá óôov vüìo ôoõ Coulomb Ý÷oõìå ôá åîÞò: ÕðÜñ÷åé ìßá ðáñÜìåôñoò m êáé ìßá ðáñÜìåôñoò q ðoõ ÷áñáêôçñßæoõv ôá öõóéêÜ óõóôÞìáôá Ýôóé þóôå ãéá ôçv êévçìáôéêÞ ðoóüôçôá d2~r/dt2 üðoõ ~r ç ó÷åôéêÞ áðüóôáóç ìåôáîý äýo ôÝôoéùv óùìÜôùv vá éó÷ýåé m1

q1 q2 d2~r = − k 2 rˆ 2 dt r

(2.38)

üðoõ k åßíáé ìßá ðáãêüóìéá óôáèåñÜ, êáé ôo óþìá 2 èåùñåßôáé áêßvçôo. Ç (2.38) Ý÷åé ôç ìoñöÞ: d2~r m1 2 = F (q , ~r) (2.39) dt ç oðoßá ìáò ëÝåé üôé ãéá Ývá öõóéêü óþìá ðoõ Ý÷åé ôéò ðáñáìÝôñoõò m1 , q1 ôo ãévüìåvo m1 d2~r/dt2 äßvåôáé ðÜvôá áðü ôçv ßäéá óõvÜñôçóç F (q1 , ~r). Ôo "ðÜvôá" óçìáßvåé vüìoò äçëáäÞ o vüìoò ôoõ Íåýôùvá êáé ôo "ßäéá óõvÜñôçóç" óçìáßvåé ýðáñîç ÷áñáêôçñéóôéêþv ôÝôoéùv óõváñôÞóåùv óôç öýóç ðoõ ôéò ovoìÜæoõìå äõvÜìåéò (åäþ ç äýváìç Coulomb). Tþñá ç ìåôÜâáóç áðü ôçv (2.38) óôçv (2.39) Ýãévå ìå ôo "êñýøéìo" ôoõ äåõôÝñoõ óùìáôßoõ. Óôéò ðåñéðôþóåéò ôçò ôñéâÞò ôo êñýøéìo ôùv Üëëùv óùìáôßùv åßváé ðéü äñáóôéêü. Ç ávôßóôñoöç ðoñåßá, äçëáäÞ ç áðoêÜëõøç ôùv ðçãþv ôçò äñÜóçò ðÜvù óå Ývá öõóéêü óýóôçìá, óÞìåñá Ý÷åé öôÜóåé óå êÜðoéo äåäoìÝvo üñéo. ÓÞìåñá ãvùñßæoõìå üôé õðÜñ÷oõv ìüvo ôÝóóåñá åßäç èåìåëéáêþv äõvÜìåùv: oé éó÷õñÝò, oé çëåêôñoìáãvçôéêÝò, oé áóèåvåßò êáé oé âáñõôéêÝò. Ç ìoñöÞ áõôþv ôùv äõvÜìåùv êáé ç åvùðoßçóç ôùv, üðùò Ýãévå óôçv ðåñßðôùóç ôùv çëåêôñéêþv êáé ìáãvçôéêþv óå çëåêôñoìáãvçôéêÝò, áðoôåëåß ávôéêåßìåvo Ývôovçò åñåõvçôéêÞò äñáóôçñéüôçôáò. Ôo ðñüâëçìá üìùò ãéá ìáò åäþ äåv åßváé ç ìoñöÞ ôùv èåìåëéáêþv äõvÜìåùv áëëÜ áõôÞ êáè’áõôÞ ç äéáôÞñçóç ôùv ó÷Ýóåùv Þ vüìùv üðùò ç (2.39) óôçv ðåñßðôùóç ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. ÐåñéìÝvoõìå äñáóôéêÞ áëëáãÞ áõôÞò ôçò äéáôýðùóçò ãéáôß êáé oé èåìåëéáêÝò ðoóüôçôåò x,y,z,t êáé oé êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò d~r/dt Ý÷oõv ìç êëáóéêoýò ìåôáó÷çìáôéóìoýò. Ôo èåìåëéáêü åñþôçìá åßváé ðùò ðñÝðåé vá äéáôõðùèoýv oé äõváìéêoß vüìoé Ýôóé þóôå vá Ý÷oõv áváëëoßùôo ÷áñáêôÞñá, äçëáäÞ vá éó÷ýoõv êÜôù áðü ôéò ßäéåò öõóéêÝò ðñoûðoèÝóåéò óå üëá ôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ôo ðñüâëçìá ðoõ ôßèåôáé Üìåóá åßváé vá âñoýìå ôov ôñüðo ìå ôov oðoßo ìåôáó÷çìáôßæåôáé ç oñìÞ. Ãéá vá ôo ðåôý÷oõìå áõôü èá áðáéôÞóoõìå ôov vüìo äéáôÞñçóçò ôçò oñìÞò vá éó÷ýåé óå üëá ôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Åóôù ôo (voçôéêü) ðåßñáìá ôçò åëáóôéêÞò êñoýóçò äýo ôåëåßùv ëåßùv óöáéñþv. Åóôù ç óöáßñá á êévåßôáé óôo óýóôçìá Ó ðñoò ôo èåôéêü Üîová y ìå ôá÷ýôçôá u êáé ç â óôo óýóôçìá Ó’ ðñoò ôov áñvçôéêü Üîová y’ ìå ôá÷ýôçôá -u Ýôóé þóôå, ìå ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

27

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ.

Ó÷Þìá 2.2: Êñïýóç äýï ëåßùí óöáéñþí äåäoìÝvç ôç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá v vá ãßvåé ç êñoýóç óå êÜðoéá óôéãìÞ. Åóôù Vα êáé Vβ oé äýo ôá÷ýôçôåò óôo Ó êáé Vα′ êáé Vβ′ óôo Ó’. Èá Ý÷oõìå:



Vαx = 0

Vαx = −v 1/2  v2 ′ Vαy = u 1 − 2 c

Vαy = u



Vβx = v 

Vβy = −u 1 −

 2 1/2

v c2

(2.40) (2.41)

Vβx = 0

(2.42)



(2.43)

Vβy = −u

(2.44)

ÅðåéäÞ oé óöáßñåò åßváé ëåßåò äåv ðñÝðåé vá Ý÷oõìå áëëáãÞ ôçò ôá÷ýôçôáò êáôÜ ôov Üîová ôùv x. ÈÝëoõìå üìùò o vüìoò ôçò äéáôÞñçóçò ôçò oëéêÞò oñìÞò vá åßváé áváëëoßùôoò êáé åðåéäÞ oé ôá÷ýôçôåò ìåôáó÷çìáôßæovôáé ðñÝðåé vá õðoèÝóoõìå üôé ç oñìÞ oñßæåôáé ãåvéêÜ óáv ôo ãévüìåvo êÜðoéáò óõvÜñôçóçò ôçò oëéêÞò ôá÷ýôçôáò åðß ôçv óõvéóôþóá ôçò ôá÷ýôçôáò, äçëáäÞ: pi = φ(ïëéêÞ ôá÷ýôçôá) ui = f (u, v) ui

(2.45)

lim f (u, v) = mo

(2.46)

ìå ôçv óõvèÞêç: v→0

Ýôóé þóôå vá êáôáëÞãoõìå óôov êëáóéêü oñéóìü. Åöáñìüæovôáò ôþñá ôç äéáôÞñçóç ôçò oñìÞò ãéá ôoõò Üîovåò x êáé y ðáßñvoõìå ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

28

2.2. EÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÓÔOÕÓ ÍÏÌOÕÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁVÉÊÇÓ (üðoõ u óçìáßvåé ôá÷ýôçôá ìåôÜ ôçv êñoýóç): "s #  2 v ·v φ(u) · 0 + φ v 2 + u2 1 − 2 c "s  # 2 v v 2 + u2 1 − 2 = φ(u) · 0 + φ ·v c

(2.47)

êáé φ(u) · u − φ

"s

= φ(u) · u − φ

"s

v2 + u

2

v 2 + u2



v2 1 − 2 c

#



v2 1 − 2 c

#

·u·

r

1−

v2 c2

·u·

r

1−

v2 c2

(2.48)

Ç (2.46) ìáò äßvåé u = ±u, áëëÜ ãéá vá óõìðßðôåé ìå ôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ ðáßñvoõìå u = −u. Ïðüôå ç (2.47) äßvåé: ( "s )  # r 2 2 v v 2 v 2 +(−u ) . 1− 2 −u · φ (−u)−φ . 1− 2 c c # ) ( "s r   2 2 v v . 1− 2 (2.49) v 2 + u 2 . 1− 2 =u· φ (u)−φ c c Áñá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå: "s φ

v2 + u2 .



v2 1− 2 c

#

Ãéá u → 0 ðáßñvoõìå:

φ (u) =q 2 1− vc 2

φ (0) mo φ (v) = q =q 2 2 1− vc 2 1− vc 2

(2.50)

(2.51)

Áñá Ýxoõìå ôç ìåôáâoëÞ ôçò ìÜæáò: m(v) = q

mo 1−

(2.52) v2 c2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

29

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ. Ôo ðñüâëçìá ôçò Äýváìçò Ï vüìoò ôoõ Íåýôùvá äßvåé: ~F = d dt

m o u~u m o ~u mo d~u du + =    3/2 2 u 2 1/2 u 2 1/2 u dt dt 1− c 2 1− c 2 c 2 1− c 2

(2.53)

Ç (2.52) ëÝåé üôé ç äýváìç äåv åßváé ðëÝov óõããñáììéêÞ ðñoò ôçv åðéôÜ÷õvóç d~u/dt áëëÜ Ý÷åé êáé ìßá óõvéóôþóá ðñoò ôç äéåýèõvóç ôçò ôá÷ýôçôáò ~u ðoõ èá ìðoñoýóå vá åñìçvåõôåß óáv äéÜêñéóç óå äéáìÞêç êáé åãêÜñóéá áäñávåéáêÞ ìÜæá. Áõôü äåv åßváé üìùò ðñüâëçìá. Ôo åñþôçìá ðoõ ôßèåôáé åßváé ðùò ìåôáó÷çìáôßæåôáé ç äýváìç Ýôóé þóôå oé óõvèÞêåò éóoññoðßáò Þ ç ìoñöÞ êßvçóçò vá åßváé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. O áðëoýóôåñoò ôñüðoò vá âñoýìå Ýváv ôÝôoéo ìåôáó÷çìáôéóìü åßváé êáé o ðéü ãåvéêüò. ÄçëáäÞ vá åêöñÜóoõìå ôov Íüìo ôoõ Íåýôùvá êáôÜ Ývá ôñüðo ðoõ vá åßváé ávåîÜñôçôoò áðü óõãêåêñéìÝvo óýóôçìá áváöoñÜò. Áõôü ëÝãåôáé óõváëëoßùôoò ôñüðoò äéáôýðùóçò ôùv öõóéêþv vüìùv.

2.2.3 Ç Ývvoéá ôçò Óõváëëoßùôçò Äéáôýðùóçò ôùv Íüìùv ôçò ÖõóéêÞò Åóôù ìßá äýváìç F ðoõ ðáñÜãåé êÜðoéo Ýñão W(C) ìåôáêévþvôáò ôo óçìåßo åöáñìoãÞò ôçò ðÜvù óå ìßá êáìðýëç C. ÅðéëÝãovôáò êÜðoéo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv Ý÷oõìå: Z Z W (C) = [Fx dsx + Fy dsy + Fz dsz ] = F~ · d~s (2.54) C

C

Eóôù Fz = 0 êáé üôé ç êáìðýëç êåßôáé óôo åðßðåäo xy. Áv óôñßøoõìå ôo óýóôçìá áváöoñÜò êáôÜ ãùvßá È èá Ý÷oõìå:     ′   Fx Fx cosθ sinθ · (2.55) = F ′y Fy −sinθ cosθ êáé üìoéá ãéá ôo Üvõóìá (ds′x , ds′y ). Ðáßñvoõìå üìùò: ~ ′ ·d ~s′ = ~F ·d~s F

(2.56)

W = W′

(2.57)

oðüôå Ïé óõvéóôþóåò ôçò äýváìçò êáé ôoõ äñüìoõ åîáñôþvôáé áðü ôo äåäoìÝvo óýóôçìá áváöoñÜò ðoõ ìðoñåß vá êñýâåé ôo ðñáãìáôéêü öáévüìåvo. Áv ãéá ðáñÜäåéãìá ç (2.53) Þôáv: ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

30

2.2. EÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÓÔOÕÓ ÍÏÌOÕÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁVÉÊÇÓ

W (C) =

Z

F

x

ds x

(2.58)

C

óå Ývá Üëëo óýóôçìá áváöoñÜò èá ãévüôáv: Z ( F ′ x ds′ x + F ′ y ds′ y ) W (C) =

(2.59)

C′

Ávôßèåôá ç Ýêöñáóç (2.53) åßváé ç ßäéá óå üëá ôá óõóôÞìáôá ðoõ äéáöÝñoõv êáôÜ ìßá óôñoöÞ ôùv áîüvùv. Ç (2.53) åßváé áváëëoßùôç äéáôýðùóç ôoõ oñéóìoý ôoõ Ýñãoõ äýváìçò, Áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáóçìáôéóìoýò ôùv óôñoöþv. Åôóé ðñÝðåé vá äéáôõðþóoõìå ôoõò Íüìoõò ôçò ÖõóéêÞò, óáv áváëëoßùôåò åêöñÜóåéò êÜôù áðü ôoõò Ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Ãéá vá ãßvåé áõôü ðñÝðåé vá äþóoõìå ìéÜ ãåùìåôñéêÞ åñìçvåßá ôùv Ìåôáó÷çìáôéóìþv. Èá äoýìå üôé åßváé óôñoöÝò óå Ývá ÷þño ôåóóÜñùv äéáóôÜóåùv, ôo ÷þño Minkowski. Èá ðñÝðåé oé åêöñÜóåéò ôùv Íüìùv vá åßváé åóùôåñéêÜ ãévüìåvá óôo ÷þño Minkowski Ýôóé þóôå vá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôåò üðùò ç (2.53).

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

31

ÊåöÜëáéï 3 Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. ÔÅÔÑÁÄIÁÍÕÓÌÁÔÁ ÊÁI ÔÁÍÕÓÔÅÓ 3.1

Ç ÃåùìåôñéêÞ åéêüvá ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz

3.1.1 ÓôñoöÝò óôo ÷þño Eóôù oñèoãþvéo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv óôo ÷þño ãýñù áðü ôov Üîová z äßvåôáé ìå ôov ðßváêá:  cosθ sinθ U (θ ) =  −sinθ cosθ 0 0

äçëáäÞ

R3 . Ìßá óôñoöÞ êáôÜ ãùvßá È  0 0  1

(3.1)

~r′ = U (θ )~r

(3.2)

U (θ 1 +θ 2 ) = U (θ 1 )·U (θ 2 )

(3.3)

Å÷oõìå ôéò éäéüôçôåò:

U (−θ ) = U

−1

(θ )

U (0) = I = ìïíáäéáßïò ðßíáêáò

(3.4) (3.5)

AõôÝò oé éäéüôçôåò êÜvoõv ôo óývoëo ôùv ðévÜêùv U(è) ìßá ÏìÜäá. Ìßá óôñoöÞ ãýñù áðü Ýváv ôõ÷áßo Üîová äßvåôáé ìå Ývá ãévüìåvo ôñéþv ðévÜêùv ôçò 33

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. ìoñöÞò (3.1) áëëÜ ìå äéáöoñåôéêÝò èÝóåéò ôùv 0 êáé 1. Åóôù ôþñá ôñåéò óõváñôÞóåéò A1 (~r) , A2 (~r) , A3 (~r). Áv êÜvoõìå ìßá óôñoöÞ óôo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv êáôÜ ãùvßá è, oðüôå ~r′ = U (θ)~r èá Ý÷oõìå óôo vÝo óýóôçìá ôéò óõváñôÞóåéò A′1 (r~′ ) , A′2 (~r′ ) , A′3 (~r′ ). Áv éó÷ýåé üôé X ′ U ij (θ ) A j (U (−θ ) ~r ) (3.6) A i (~r ) = j

äçëáäÞ áv óôo vÝo óýóôçìá áváöoñÜò oé óõváñôÞóåéò åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò ôùv ôéìþv ôùv óõváñôÞóåùv óôo ðáëéü óýóôçìá áváöoñÜò ìå óõvôåëåóôÝò ßäéoõò ìå ôoõò óõvôåëåóôÝò ðoõ óõväÝoõv ôá ~r′ êáé ~r ôüôå ëÝìå üôé áõôÝò oé óõváñôÞóåéò åßváé oé ôñåéò óõvéóôþóåò ìéáò äéávõóìáôéêÞò óõvÜñôçóçò. Áv ìßá óõvÜñôçóç F (~r) Ý÷åé ôçv éäéüôçôá: ~ ′ (~r ) = ~F (U (−θ ) ~r F

(3.7)

ôüôå ç F (~r) ëÝãåôáé âáèìùôÞ óõvÜñôçóç. Åóôù ôþñá äýo äéávõóìáôéêÝò óõváñôÞóåéò A(~r) , B(~r) . Áðü áõôÝò ìðoñoýìå ~·B ~ êáé ôçv äéáíõóìáôéêÞ A ~ × B. ~ vá öôéÜîoõìå ôç âáèìùôÞ ðoóüôçôá A Áóêçóç ~·B ~ åßváé âáèìùôÞ êáé ç A ~×B ~ äéávõóìáôéêÞ. Ná áðoäåéèåß üôé ç A ÐáñáôÞñçóç ~ r) = Áv ávôéóôñÝøoõìå ôoõò Üîovåò, äçëáäÞ áv ~r → −~r, ôüôå Ý÷oõìå A(−~ ~ r) ãéá êÜèå äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá. Áv óõìâåß vá Ý÷oõìå: −A(~ ~B (−~r ) = ~B (~r )

(3.8)

~ r) ëÝãåôáé øåõäoÜvõóìá. ôüôå ôo B(~ Ïìoéá áv ãéá ôç âáèìùôÞ óõvÜñôçóç F (~r) éó÷ýåé F (−~r ) = −F (~r )

(3.9)

~×B ~ üôáv A ~, B ~ ôüôå áõôÞ ëÝãåôáé øåõäoâáèìùôÞ. Ðñoöávþò ç óõvÜñôçóç A åßváé äéávõóìáôéêÝò, åßváé øåõäoávõóìáôéêÞ. ~ êáé B ~ äéávõóìáôéêÝò óõváñôÞóåéò, êáé oé 5 ãñáììéêoß óõväéáóìoß Åóôù ôþñá A Ax By + Ay Bx C1 = 2 Ay Bz + Az By C2 = 2 Az Bx + Ax Bz C3 = 2 C 4 = Ax Bx − Ay By C 5 = 2· A z B z − A x B x − A y B y (3.10) ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

34

3.1. Ç ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÉÊÏVÁ ÔOÕ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÕ LORENTZ Ìå ìåñéêÝò ðñÜîåéò äéáðéóôþvoõìå üôé oé óõváñôÞóåéò Ci (~r) óôo vÝo óýóôçìá áváöoñÜò åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò ôùv óõváñôÞóåùv óôo ðáëéü óýóôçìá. ÁõôÝò oé ðÝvôå ðoóüôçôåò áðoôåëoýv ôéò óõvéóôþóåò åvüò ôávõóôÞ ôÜîçò 5 (5th-order). KÜvoõìå åäþ ôçv åîÞò âáóéêÞ ðáñáôÞñçóç: Ï oñéóìüò ôoõ âáèìùôoý, äéávõóìáôéêoý, ôávõóôéêoý ìåãÝèoõò, ê.ë.ð. ãßvåôáé ìå âÜóç óõãêåêñéìÝvo ìåôáó÷çìáôéóìü, äçëáäÞ ìå âÜóç óõãêåêñéìÝvç oìÜäá ìåôáó÷çìáôéóìþv. Ïðùò èá äoýìå oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz áðoôåëoýv oìÜäá ìåôáó÷çìáôéóìþv ôçv ÏìÜäá Lorentz. ÅðoìÝvùò óå ó÷Ýóç ìå ôçv oìÜäá Lorentz èá Ý÷oõìå vÝoõò oñéóìoýò âáèìùôþv, äéávõóìáôéêþv, ôávõóôéêþv, ê.ë.ð. ìåãåèþv. Åßäáìå ðéü ðÜvù üôé ôo Ýñão äýváìçò: Z ~F ·d~s W (C) = (3.11) C

åßváé ìßá áváëëoßùôç ðoóüôçôá óôéò óôñoöÝò. ÄçëáäÞ åßváé Ývá âáèìùôü ìÝãåèoò. Áõôü ôo êÜvåé ávåîÜñôçôo áðü óõãêåêñéìÝvç åðéëoãÞ óõóôÞìáôoò óõvôåôáãìÝvùv. Åvá Üëëo ðáñÜäåéãìá åßváé ôo äõváìéêü áëëçëåðßäñáóçò åvüò äéðüëoõ (äéðoëéêÞò ñoðÞò) ì ìå ôo ìáãvçôéêü ðåäßo. Å÷oõìå V µ = k~µ· ~B (3.12) Áv Ô åßváé ç êévçôéêÞ åvÝñãåéá ôoõ äéðüëoõ ôüôå ç oëéêÞ åvÝñãåéá ôoõ: E = T + k~µ· ~B

(3.13)

åßváé Ývá âáèìùôü ìÝãåèoò êÜôù áðü ôéò óôñoöÝò. Èá äoýìå ðéü êÜôù üôé ç åvÝñãåéá äåv åßváé âáèìùôÞ ðoóüôçôá êÜôù áðü ôçv oìÜäá Lorentz. Ïé åêöñÜóåéò (3.11,3.12,3.13) áðoôåëoýv áváëëoßùôåò äéáôõðþóåéò (ãéá ôéò óôñoöÝò) âáóéêþv ìç÷ávéêþv ðoóoôÞôùv. Ìáò ÷ñåéÜæovôáé åðoìÝvùò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò ôùv öõóéêþv ðoóoôÞôùv óôçv Ó÷åôéêüôçôá. ÐáñáôÞñçóç ~·B ~ vá åßváé âáèìùôÞ, üðoõ ôo A ~ Áv ãvùñßæoõìå (Þ áðáéôoýìå) ç ðoóüôçôá A ~ vá åßváé äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá. åßváé äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá, ôüôå ðñÝðåé ôo B Áõôü èá ôo ÷ñçóéìoðoéÞóoõìå ãéá vá êáôáóêåõÜóoõìå ôéò ávôßóôoé÷åò äéávõóìáôéêÝò ðoóüôçôåò óôç Ó÷åôéêüôçôá.

3.1.2

O ×þñoò Minkowski

Åóôù o äéávõóìáôéêüò ÷þñoò R4 ìå óôoé÷åßá xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ). Áv oñßóoõìå ãéá êÜèå Üvõóìá xǫR4 Ývá ìÝôño k xµ k 2 = ( x 0 ) 2 +( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 +( x 3 ) 2 ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.14) 35

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. êáé åóùôåñéêü ãévüìåvo: (x·y) = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3

(3.15)

Ï R4 ãßvåôáé o Åõêëåßäåéoò ÷þñoò E 4 . Ðáñáôçñoýìå üôé ôo åóùôåñéêü ãévüìåvo (3.15) åßváé áváëëoßùôo êÜôù áðü ôçv ÏìÜäá ôùv Óôñoöþv ãéá ôÝóóåñåéò äéáóôÜóåéò. Ï Ìinkowski ðÞñå ôo ÷þño R4 êáé Ýêávå ôçv ôáýôéóç ôoõ xo ìå ôo ct êáé ôùí x1 , x2 , x3 ìå ôéò óõvôåôáãìÝvåò ÷þñoõ x,y,z. ÐáñáôÞñçóå ôüôå üôé ç ðoóüôçôá: (ct ) 2 − x 2 − y 2 − z 2 = ( x o ) 2 −(~r ) 2 (3.16) åßváé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Åôóé oäçãÞèçêå o Minkowski óôov oñéóìü ôoõ ìÝôñoõ êáé ôoõ åóùôåñéêoý ãévoìÝvoõ ìå ôéò ó÷Ýóåéò: kx k 2 ≡( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 −( x 3 ) 2

(3.17)

(x·y) ≡ x o y o −~x·~y

(3.18)

Ìå ôov ôñüðo áõôüv o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áöÞvåé ôo ìÝôño êáé ôo ãévüìåvo ôùv ávõóìÜôùv áváëëoßùôo. Åßváé äçëáäÞ óáv Ývá vÝo åßäoò óôñoöÞò. Ï ÷þñoò R4 ìå ôoõò oñéóìoýò (3.17, 3.18) ëÝãåôáé ÷þñoò Minkowski M 4 . Ôo üôé oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz ìoéÜæoõv ìå óôñoöÞ ìðoñoýìå vá ôo äoýìå ìå ôo åîÞò ôÝ÷váóìá: Eóôù ôo óôoé÷åéþäåò ìÞêoò óôov M 4 ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2

(3.19)

X o = ix o , dS = ids

(3.20)

Áv ãñÜøoõìå: ôüôå Ý÷oõìå dS 2 = dX o + dx 2 + dy 2 + dz 2

(3.21) 4

ðoõ ìoéÜæåé ìå ôo óôoé÷åéþäåò ìÞêoò óôov Åõêëåßäåéo þño E . ÂÝâáéá åäþ ç óõvôåôáãìÝvç X o åßváé öávôáóôéêÞ. Óôo åðßðåäo (X o , x1 ) Ý÷oõìå ôçv óôñoöÞ 1

x′ = x 1 cosθ + X o sinθ o

X ′ = − x 1 sinθ + X o cosθ

(3.22) (3.23)

Ðáñáôçñoýìå üôé áðü ôéò ó÷Ýóåéò: cosθ =

e iθ + e −iθ 2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.24) 36

3.1. Ç ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÉÊÏVÁ ÔOÕ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÕ LORENTZ

Ó÷Þìá 3.1: ÓôñïöÞ ìå öáíôáóôéêÞ ãùíßá è

e iθ − e −iθ 2i ìå ôçv ávôéêáôÜóôáóç è = iö ðáßñvoõìå: sinθ =

cos (iθ ) =

sin (iθ ) =

(3.25)

e −φ + eφ =coshφ 2

(3.26)

e −φ − eφ = isinhφ 2i

(3.27)

oðüôå áðü ôéò (3.22,3.23) ðáßñvoõìå x′ = xcoshφ −ctsinhφ

(3.28)

ct′ = −xsinhφ +ctcoshφ

(3.29)

oé oðoßåò äßvoõv ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz áv êÜvoõìå ôçv ôáõôoðoßçóç: tanhφ =

sinhφ = p

β 1−β 2

v =β c

, coshφ = p

(3.30) 1 1−β 2

(3.31)

ÄçëáäÞ oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz åßváé óôñoöÝò ìå öávôáóôéêÞ ãùvßá óôov R ìå öávôáóôéêÞ ôåôÜñôç óõvôåôáãìÝvç. Ðáñáôçñoýìå üôé áðü ôéò ( 3.26, 3.27) ðáßñvoõìå tanhφ 1 +tanhφ 2 (3.32) tanh (φ 1 +φ 2 ) = 1+tanhφ 1 +tanhφ 2 4

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

37

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI.

Ó÷Þìá 3.2: ÃåùìåôñéêÞ åéêüíá ôïõ Ìåôáó÷çìáôéóìüý Lorentz óôïí ÷þñï Minkowski Þ β=

β 1 +β 2 1+β 1 β 2

(3.33)

ÄçëáäÞ ç óývèåóç ôùv ìåôáó÷çìáôéóìþv Lorentz åßváé áðëþò o êávüváò óývèåóçò ôùv õðåñâoëéêþv åöáðôoìÝvùv. Ìå ôéò ðñáãìáôéêÝò óõvôåôáãìÝvåò (xo , x1 , x2 , x3 ) = (xo , ~r) o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz äåv ìoéÜæåé ìå óôñoöÞ üðùò öáßvåôáé êáé óôo Ó÷Þìá 3.2. Ðáñáôçñoýìå áðü ôo Ó÷Þìá 3.2 üôé ôá ãåãovüôá O = (xo = 0, x1 = 0) êáé A′ = (x′o = 0, x′1 = OA′ ) åßváé ôáõôü÷ñová óôo óýóôçìá Ó’ áëëÜ äåv åßváé ôáõôü÷ñová óôo Ó. ÐÝñá áðü áõôÞv ôçv Üìåóç ðáñáôÞñçóç, ìðoñoýìå vá âãÜëoõìå êáé ôéò Üëëåò êévçìáôéêÝò óõvÝðåéåò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, áñêåß vá ãßvåé oñèÞ ÷ñÞóç ôçò Ývvoéáò ìÝôñçóçò ìçêþv êáé ÷ñüvùv óôo äéÜãñáììá ôoõ Ó÷Þìáôoò 3.2. Å÷oõìå üôé ( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 −( x 3 ) 2 = óôáèåñü

(3.34)

H éäéüôçôá áõôÞ ìáò äßvåé ôç äõváôüôçôá vá êáëýøoõìå ôo äéÜãñáììá ôùv ãåãovüôùv óôo åðßðåäo (xo , x1 ) ìå Ývá ðëÝãìá õðåñâoëþv (xo )2 − (x1 )2 = óôáèåñü, Ýôóé þóôå ç óýãêñéóç ìçêþv êáé ÷ñüvùv vá ãßvåôáé Üìåóá. Áóêçóç Íá áðoäåé÷èoýv oé óõvÝðåéåò ÷ùñéêÞò óõóôoëÞò êáé ÷ñovéêÞò äéáóôoëÞò ÷ñçóéìoðoéþvôáò ôo äéÜãñáììá (xo , x1 ) êáé ôçv oéêoãÝvåéá õðåñâoëþv (xo )2 − (x1 )2 = óôáèåñü. ÐáñáôÞñçóç Óôo äéÜãñáììá (x0 , x1 ) ç ãñáììÞ x0 = x1 Þ ct = x1 åßváé ç "ôño÷éÜ" ôùv ãåãovüôùv ôçò äéÜäoóçò ôoõ öùôüò óôo êåvü. ÊÜèå Üëëo óþìá ìå ìç-ìçäåvéêÞ ìÜæá èá êévåßôáé ìå ôá÷ýôçôá v ≤ c Üñá áv vt = x1 ôüôå åðåéäÞ x0 = ct , Ý÷ïõìå Þ ( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 > 0 ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.35) 38

3.2. ÔÅÔÑÁÄÉÁVÕÓÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÇ×ÁVÉÊÅÓ ÐOÓÏÔÇÔÅÓ

Ó÷Þìá 3.3: Êþíïò öùôüò êáé Áéôéüôçôá ãéá êÜèå õëéêü óçìåßo. Ç (3.35) äßvåé äýo ðåñéo÷Ýò óôo äéÜãñáììá (xo , x1 ) ìÝóá óôéò oðoßåò èá õðÜñ÷oõv oé "ôño÷éÝò" ôùv ãåãovüôùv ðoõ ðáñéóôÜvoõv ôçv éóôoñßá õëéêþv óçìåßùv. Ç ðåñéo÷Þ ç óõìðëçñùìáôéêÞ ôùv äýo áõôþv ðåñéo÷þv Ý÷åé ôçv éäéüôçôá (x0 )2 − (x1 )2 ≤ 0 Þ ct< x 1 (3.36) ÄçëáäÞ ãåãovüôá ðoõ âñßóêovôáé óôçv ðåñéo÷Þ áõôÞ äåv ìðoñoýv vá åðéêoévùvÞóoõv ìå êávÝvá óÞìá öõóéêü. Èá ìðoñoýóáv vá åðéêoévùvÞóoõv ìüvo ìå õðåñöùôåévÜ óÞìáôá áv ôÝôoéá õðÞñ÷áv óôç öýóç. Óôo äéÜãñáììá (xo , x1 , x2 ) Ý÷oõìå ôov äéðëü êþvo ( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 = 0

(3.37)

üðoõ o êëÜäoò xo ≥ 0 ðåñéÝ÷åé ôá ìÝëëovôá ãåãovüôá êáé o êëÜäoò x0 ≤ 0 ôá ðáñåëèüvôá ãåãovüôá óå ó÷Ýóç ðñoò ôçv áñ÷Þ ôùv óõvôåôáãìÝvùv.

3.2 3.2.1

Ôåôñáäéávýóìáôá êáé Ìç÷ávéêÝò Ðoóüôçôåò Tåôñáäéávýóìáôá êáé ÂáèìùôÜ ÌåãÝèç

Eóôù o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz  Λµ ν

γ  −βγ =  0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

(3.38)

Av èåóðßóoõìå ôçv óýìâáóç Einstein üôé äýo äåßêôåò Åëëçvéêoß åðáváëáìâávüìåvoé óå ìßá ó÷Ýóç, üðoõ o Ýváò åßváé åðÜvù êáé o Üëëoò êÜôù óçìáßvåé Üèñoéóç, äçëáäÞ: 4 X µ A Bµ ≡ Ak Bk (3.39) k=1

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

39

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. ôüôå o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz ôùv èÝóåùv åßváé: x′µ = Λµν xν

(3.40)

Áv ôþñá Ý÷oõìå ôÝóóåñåéò óõváñôÞóåéò Aµ = (A0 , A1 , A2 , A3 ) Ýôóé þóôå óôo vÝo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv (x′o , ~r′ ) vá óõväÝåôáé ìå ôéò ðáëáéÝò ìå ôç ó÷Ýóç: ′

Aµ (x) =Λµ ν Aν (Λ −1 x)

(3.41)

ôüôå áðoôåëoýv Ývá ôåôñáäéÜvõóìá êÜôù áðü ôoõò ìåôáóçìáôéóìoýò Lorentz. Ðñoöávþò ç ðoóüôçôá: A·B = A 0 B 0 − ~A· ~B

(3.42)

åßváé áváëëüéùôç êÜôù áðü ôoõò Lorentz êáß åðoìÝvùò åßváé Ývá âáèìùôü ìÝãåèoò ãéá ôoõò Lorentz. Áóêçóç ~ , B µ = (B o , B). ~ Ná äåé÷èåß üôé A · B = A′ · B ′ , oðoõ Aµ = (Ao , A) Oñßæoõìå ôov ðßváêá:   1 0 0 0  0 −1 0 0   (3.43) g µν =   0 0 −1 0  0 0 0 −1

~ Ï ávôßóôñoöoò ôoõ g µν Ý÷åé ôá ßäéá óôoé÷åßá. Ãéá Ývá äéÜvõóìá Aµ = (Ao , A) oñßæoõìå ôo äéÜvõóìá: Aµ = g µν Aν (3.44) ~ . Åðßóçò Ý÷oõìå Aµ = g µν Aν . Ìå ôç âoÞèåéá ôoõ gµν ôo E÷oõìå Aµ = (0, −A) åóùôåñéêü ãévüìåvo ãñÜöåôáé: A·B = g µν Aµ B ν

(3.45)

3.2.2 Tåôñáôá÷ýôçôá êáé ÔåôñáoñìÞ Óôov Åõêëåßäåéo þño E 3 Ý÷oõìå üôé ç äéávõóìáôéêÞ éäéüôçôá ìéáò ðoóüôçôáò äåv áëëÜæåé áv ôçv ðoëëáðëáóéÜóoõìå Þ ôç äéáéñÝóoõìå ìå Ývá âáèìùôü. Ð.÷. wˆ =

~w ( ~w . ~w ) 1/2

(3.46)

Óôo M 4 Ý÷oõìå üôé ç ðoóüóçôá: ds 2

= =

( dx o ) 2 −(dx ) 2 −(dy ) 2 −(dz ) 2 c 2 (dt ) 2 − (d~r ) 2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.47) 40

3.2. ÔÅÔÑÁÄÉÁVÕÓÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÇ×ÁVÉÊÅÓ ÐOÓÏÔÇÔÅÓ åßváé âáèìùôü ìÝãåèoò. Åôóé ç ðoóüôçôá uµ =

dxµ ds

(3.48)

èá åßváé ôåôñáäéÜvõóìá. Å÷oõìå:

ds = cdt

s

1 · c2

1−



d~r dt

2

= cdt

s

1−

~u 2 c2

Áñá: 



1 ~u  uµ =  q , q 2 u u2 1− c 2 c 1− c 2

(3.49)

Ôo ôåôñáäéÜvõóìá uµ ëÝãåôáé ôåôñáôá÷ýôçôá êáé ìåôáó÷çìáôßæåôáé: µ

u′ =Λµ ν uν

(3.50)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo uµ åßváé áäéÜóôáôo ìÝãåèoò. Áv ôo ðoëëáðëáóéÜóoõìå ìå ôçv ðoóüôçôá mo c2 ðáßñvoõìå Ývá ôåôñáäéÜvõóìá ìå äéáóôÜóåéò åvÝñãåéáò: p µ = m o uµ c 2 =

m c2 m o ~u c p o ,p 1−β 2 1−β 2

!

ðoõ ìåôáóxçìáôßæåôáé ðÜëé ìå ôç ó÷Ýóç: µ

p′ =Λµ ν pν

(3.51)

Ãéá ôçv óõvéóôþóá:

Ý÷oõìå

mo c2 p o =q 2 1− uc 2 dp o = +2 m o dt

E÷oõìå üìùò üôé:



d~u ~u · dt



1 2

(3.52)

1 2

1− uc 2

 3/2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.53)

41

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI.





d  ~u  q dt u2 1− c 2   r   2 d~u ~u d~u  u 1 q  ~u ·  ~u · 1− 2 + = u2 2 dt c dt 1− c 2 c2 1− uc 2    2    1 ~u u 2 d~u 2 d~u = ~u . c +~u ~u · −c 2  3/2 dt dt c2 dt c 2 1− uc 2 d~u 1 =  3/2 ~u· dt u2 1− ~u ·

c2

Áñá:



o

Å÷oõìå üìùò:

Áñá



d  m o ~u  dp q =~u· 2 dt dt 1− uc 2 p~ = p

m0~u 1 − β2

d~p dp o =~u · dt dt ÁëëÜ åðßóçò ãéá ôç äýváìç Ý÷oõìå êëáóéêÜ:

oðüôå:

(3.54)

(3.55)

(3.56)

~F = d~p dt

(3.57)

~F ·~u =~u· d~p dt

(3.58)

Ç ðoóüôçôá F~ ·~u ðáñéóôÜvåé ôo Ýñão äýváìçò êáé éóoýôáé ìå ôov ñõèìü ìåôáâoëÞò ôçò êévçôéêÞò åvÝñãåéáò: dT ~ d~p = F ·~u =~u· (3.59) dt dt Áñá: dT dp o = (3.60) dt dt êáé åðoìÝvùò: p o = T + óôáèåñü (3.61) ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

42

3.2. ÔÅÔÑÁÄÉÁVÕÓÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÇ×ÁVÉÊÅÓ ÐOÓÏÔÇÔÅÓ Ãéá u = 0 ðáßñvoõìå po = mo c2 = 0 + óôáèåñü. Áñá: p o = m o c 2 +T

(3.62)

Åôóé oñßæoõìå ôçv po óáv ôçv oëéêÞ åvÝñãåéá E. ÄçëáäÞ: 3mo u4 m o u2 mo c2 + + .... = mo c2 + E = po = q 2 2 8c2 1 − uc2

(3.63)

Ç ó÷Ýóç (3.66) åßváé ç ãvùóôÞ ó÷Ýóç Einstein:

E = mc 2

(3.64)

pµ = ( E o , c~p )

(3.65)

Áðü ôçv ôåôñáoñìÞ ëoéðüv Ý÷oõìå:

êáé ðáßñvoõìå ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz: ′

cp x =γ ( cp x −β E ) ′

(3.66)



cp y = cp y , cp z = cp z

(3.67)

E ′ =γ (E−β cp x )

(3.68)

3.2.3 Ç Äýváìç Minkowski Áðü ôo ôåôñáäéÜvõóìá èÝóçò xµ ðÞñáìå ôçv ôåôñáôá÷ýôçôá uµ = dxµ /ds ðoõ åßváé ðÜëé ôåôñáäéÜvõóìá åöüóov ôo ds åßváé âáèìùôü. Åôóé áðü ôçv oñìÞ pµ ðáßñvoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá: dpµ (3.69) Kµ = ds ôo oðoßo ovoìÜæåôáé äýváìç Minkowski. Å÷oõìå: Kµ

= =

Åßváé üìùò

d ( mc 2 , c~p ) ds 



1 d d~p  q 1 (mc) , q 2 2 1− uc 2 dt 1− uc 2 dt ~F = d~p dt

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(3.70)

(3.71) 43

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. êáß

~F ·~u d d 1 d (mc) = (m c 2 ) = (E) = dt cdt dt c c

(3.72)

Ïðüôå Ý÷oõìå: 

Kµ =  q

~F · ~u c

,q

2

1− uc 2

~F 2

1− uc 2



 =



c

~F ·~u ,γ ~F



Ðáñáôçñoýìå üôé ç ~u åßváé ç ôá÷ýôçôá ôoõ õëéêoý óçìåßoõ óôo oðoßo áóêåßôáé ç äýváìç. Ç ôá÷ýôçôá áõôÞ åßváé óå ó÷Ýóç ðñoò êÜðoéo óýóôçìá áváöoñÜò Ó’. Áv Ó åßváé ôo óýóôçìá áváöoñÜò ðoõ áêoëoõèåß ôo óùìÜôéo, èá Ý÷oõìå óôo óýóôçìá áõôü ãéá ôçv ôá÷ýôçôá ôoõ óùìáôßoõ u = 0 êáé K µ = (0, F~ ). Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ èá Ý÷oõìå ′ K µ =Λµ ν (u) K ν (3.73) oðüôå ðáßñvoõìå:   ′ γβ F x γ βγ  γ F ′x   βγ γ     γ F′  = 0 0 y ′ 0 0 γFz 

0 0 1 0

  0 0  Fx 0  · 0   Fy 1 Fz

   

(3.74)

Þ γF



x

=γ F

x

,γ F



y

=F

y

,γ F

z′

=F

z

(3.75)

Áñá F F



y



x

=F

=F r

y

r

(3.76)

x

1−

u2 c2

(3.77)

u2 (3.78) c2 Ðáñáôçñoýìå üôé ç Ýêöñáóç ôoõ Λµν ðñÝðåé vá åßváé ôÝôoéá ðoõ ávôéóôoé÷åß óôçv óõvéóôþóá êáôÜ ôç äéåýèõvóç ôçò oðoßáò ãßvåôáé ç êßvçóç. Ðáñáôçñoýìå ôÝëïò üôé ç ó÷Ýóç (3.74) åßváé éäéáßôåñá ÷ñÞóéìç ãéáôß ìðoñoýìå vá äoýìå ôçv åìöÜvéóç äõvÜìåùv ðoõ ðçãÜæoõv áðü ôçv êßvçóç åvüò óþìáôoò üðùò ãéá ðáñÜäåéãìá óôov çëåêôñoìáãvçôéóìü, üðùò èá áíáëõèåß ðéü êÜôù. F



z

=F

z

1−

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

44

ÊåöÜëáéï 4 ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. ÅÖÁÑÌÏÃÇ ÓÔÇÍ ÌÇ×ÁÍIÊÇ, ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔIÓÌÏ ÊÁI ÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍIÊÇ 4.1

Mç÷ávéêÞ

4.1.1 ÃåvéêÜ O Nüìoò ôoõ Íåýôùvá åßváé:

dpµ (4.1) ds Ðáßñvovôáò ôo åóùôåñéêü ôåôñáãévüìåvo ìå ôçv ôåôñáoñìÞ uµ Ý÷oõìå u · K = u · (dp/ds) , Þ dpν (4.2) g µν uµ K ν = g µν uµ ds Þ o d~p o o o dp ~ u F −~u· F = u −~u· (4.3) ds ds Ç ó÷Ýóç (4.3) éó÷ýåé ãéá êÜèå áäñávåéáêü óýóôçìá. ÏðoéáäÞðoôå óõvÝðåéá ôoõ Íüìoõ ôoõ Íåýôùvá Ý÷oõìå óå êÜðoéo óýóôçìá áváöoñÜò ìðoñåß áìÝóùò vá âñåèåß ðùò ãßvåôáé ávôéëçðôÞ áðü oðoéoäÞðoôå Üëëo óýóôçìá. Ðéü ãåvéêÜ ìðoñåß êávåßò vá äéáôõðþóåé êáôÜ Ývá óõváëëoßùôo ôñüðo üëç ôçv ÁváëõôéêÞ Ìç÷ávéêÞ, ôçv Ñåõóôoìç÷ávéêÞ êáé ôçv ÓôáôéóôéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Åäþ èá äoýìå ìüvo åöáñìoãÝò óôçv êñoýóç óùìáôßùv. Kµ =

45

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ.

4.1.2 ÅöáñìoãÝò óôçv Êñoýóç Óùìáôßùv Ãéá ôçv ôåôñáôá÷ýôçôá êáé ôçv ôåôñáoñìÞ Ý÷oõìå: uµ = (γ ,γ

~u ) , pµ = ( E , c~p ) c

(4.4)

Ãéá ôo ìÝôño ôoõ uµ ðáßñvoõìå: g µν uµ uν =γ 2 −γ 2

u2 =1 c2

(4.5)

äçëáäÞ: u·u = 1

(4.6)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo ìÝôño ôçò ôåôñáôá÷ýôçôáò åßváé óôáèåñü ãéá êÜèå ôñéôá÷ýôçôá ~u. Ãéá ôçv ôåôñáoñìÞ pµ Ý÷oõìå: g µν pµ pν = E 2 − c 2 p 2

(4.7)

p·p = ( m o c 2 ) 2 u·u = ( m o c 2 ) 2

(4.8)

( mo c2 )2 = E2 − c2 p2

(4.9)

E2 = ( mo c2 )2 + c2 p2

(4.10)

ÁëëÜ pµ = mo c2 uµ oðüôå

Áñá Þ Ðñüâëçìá Êñoýóçò Åóôù óùìÜôéá a êáé b óõãêñoýovôáé êáé äßvoõv ôá ðñoúüvôá c1 , c2 , ..., ck , äçëáäÞ: a + b → c 1 + c 2 +... + c k

(4.11)

Ç äéáôÞñçóç oñìÞò êáé åvÝñãåéáò äéáôõðþvovôáé óáv äéáôÞñçóç ôçò ôåôñáoñìÞò, äçëáäÞ: pµa + pµb = pµc 1 + pµc 2 +... + pµc k (4.12) Þ E a + E b = E c 1 + E c 2 +... + E c k

(4.13)

~p a +~p b =~p c 1 +~p c 2 +... +~p c k

(4.14)

Ðáñáôçñoýìå åäþ ôo åîÞò: Evá ðåßñáìá óêÝäáóçò (êñoýóçò) óùìáôßùv ãßvåôáé êáé ðáñáôçñåßôáé (ìåôñÜôáé) óôo Óýóôçìá ôoõ Åñãáóôçñßoõ (Ó.Å.) üðoõ Ýxoõìå üôé Ývá áðü ôá áñ÷éêÜ óùìÜôéá ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

46

4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ åßváé o óôü÷oò, ðoõ èåùñåßôáé áêßvçôoò. Åóôù ôo b o óôü÷oò. Ôüôå ãéá ôo Ó.Å. èá Ý÷oõìå: ~p b = 0 (4.15) Ïé êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò üìùò ðoõ èá ìåôñÞóoõìå óôo åñãáóôÞñéo ð.÷. åvÝñãåéåò, oñìÝò êáé ãùvßåò óêÝäáóçò ôùv ðñoúüvôùv èá ðåñéÝ÷oõv üñoõò ðoõ èá åîáñôþvôáé áðü ôçv åvÝñãåéá ôoõ a (äçëáäÞ ôçv ôá÷ýôçôá) áëëÜ oé ó÷Ýóåéò áõôþv ôùv ðoóoôÞôùv èá ðåñéÝ÷oõv êáé ôçv ðëçñoöoñßá ôçò êßvçóçò ôoõ êÝvôñoõ ìÜæáò ôùv óùìáôßùv a êáé b. Áv ìå Ývá ôÝôoéo ðåßñáìá ìáò åväéáöÝñåé vá áváëýóoõìå ôéò äõvÜìåéò ðoõ áóêoývôáé ìåôáîý ôùv a êáé b, ôá áðoôåëÝóìáôá ôùv ìåôñÞóåùv ðñÝðåé vá óõãêñéèoýv ìå ìßá èåùñßá áëëçëåðéäñÜóåùv ðoõ åv ãÝvåé äéáôõðþvåôáé ávåîÜñôçôá áðü ôçv åêÜóôoôå ôá÷ýôçôá ôoõ êÝvôñoõ ìÜæáò. Áñá ç èåùñßá ìáò ðñÝðåé vá äéáôõðùèåß óå Ývá åéäéêü óýóôçìá áváöoñÜò, ôo Óýóôçìá ÊÝvôñoõ ÌÜæáò (Ó.Ê.Ì.) ãéá ôo oðoßo åî’oñéóìoý Ý÷oõìå: ~p′ a + ~p′ b = 0

(4.16)

Ôüôå üìùò Üìåóá ôßèåôáé ôo ðñüâëçìá ìåôáó÷çìáôéóìoý ôùv êévçìáôéêþv äåäoìÝvùv áðü ôo Ývá óýóôçìá óôo Üëëo. Áõôü ìðoñåß vá ãßvåé ìå ôç ÷ñÞóç ôoõ ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz. Åßváé üìùò üðùò èá äoýìå ðéü åýêoëo vá äéáôõðþóoõìå ôéò ðoóüôçôåò áõôÝò áváëëoßùôá oðüôå Ý÷oõìå áìÝóùò ôçv åðéèõìçôÞ óõó÷Ýôçóç. Åóôù ãéá ðáñÜäåéãìá ç óêÝäáóç: a+b→c+d

(4.17)

s = ( p a + p b )·( p a + p b )

(4.18)

t = ( p a − p c )·( p a − p c )

(4.19)

u = ( p a − p d )·( p a − p d )

(4.20)

Ïñßæoõìå ôá âáèìùôÜ ìåãÝèç:

Å÷oõìå èÝôovôáò c=1: s

= = =

(Ea + Eb ) 2 − (~p a +~p b )·(~p a +~p b ) Ea2 + Eb2 + 2Ea Eb − ~p 2a −~p 2b −2~p a .~p b m 2a + m 2b +2 E a E b −2~p a ·~p b

(4.21)

Ðáßñvoõìå ðáñüìoéåò åêöñÜóåéò ãéá ôá t êáé u. Áðoäåéêvýåôáé ìå ëßãåò ðñÜîåéò üôé éó÷ýåé ðÜvôá ç ó÷Ýóç: s + t + u = m 2a + m 2b + m 2c + m 2d ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.22) 47

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ.

Ó÷Þìá 4.1: ÓêÝäáóç äýï óùìáôßùí : a) Óýóôçìá Åñãáóôçñßïõ, b) Óýóôçìá ÊÝíôñïõ ÌÜæáò Áóêçóç Íá äåé÷èåß ç (4.22). Áðü ôçv (4.22) óõìðåñáßvoõìå üôé Ý÷oõìå ãéá ôo åéäéêü ðñüâëçìá ôçò êñoýóçò a + b → c + d üôé õðÜñ÷oõv ìüvo äýo ávåîÜñôçôåò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò. Ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá Ý÷oõìå ôéò ïñìÝò ôùí áíôéäñþíôùí êáé óêåäáæïìÝíùí üðùò óôï Ó÷Þìá 4.1 á) êáé â). ÃñÜöovôáò ôá s,t,u óôá äýo óõóôÞìáôá áváöoñÜò êáé ìåôÜ áðü ìåñéêÝò ðñÜîåéò ðáßñvoõìå: cos (θ(åñã.) ) = F (s , t , u , m a , m b , m c , m d )·cos (θ(ê.ì.) )

(4.23)

Áóêçóç Íá âñåèåß ç F. (âë. âéâëßo I. ÂÝñãáäoò, Ç.Ôñéávôáöõëëüðoõëoò, Óôoéxåéþäç ÓùìÜôéá, ó. 182). Ðáñáäåßãìáôá 1. ÅëáóôéêÞ ÓêÝäáóç (á) Eóôù ç åëáóôéêÞ êñoýóç a + b → c + d. Å÷oõìå ′



pa + pb = pa + pb ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.24) 48

4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ êáé s = ( pa + pb )2

(4.25)

~p ∗a +~p ∗b = 0

(4.26)

Óôo óýóôçìá Ê.Ì. Ý÷oõìå: ∗′

∗′

~p a +~p b = 0

(4.27)

s = ( E ∗a + E ∗b ) 2 −( p ∗a + p ∗b ) 2 = ( E ∗a + E ∗b ) 2

(4.28)

oðüôå: Å÷oõìå åðoìÝvùò: E ∗a + E ∗b = s 1/2

= = =

[( p a + p b )·( p a + p b ) ] 1/2 [ E 2a + E 2b +2 E a E b −~p 2a −~p 2b −2~p a .~p b ] 1/2 (4.29) [ m 2a + m 2b +2 m a E b ] 1/2

åðåéäÞ pb = 0 , Eb = mb . Ç äéáèÝóéìç åvÝñãåéá óôo Ó.Ê.Ì. åßváé E ∗a + E ∗b = s 1/2

(4.30)

Ãéá ôçv êévçôéêÞ åvÝñãåéá Ý÷oõìå K = E − mo c2 . Ðáßñíïõìå K∗

= = = =

äéáèÝóéìç êévçôéêÞ åvÝñãåéá óôo Ó.Ê.Ì. E ∗a + E ∗b − m a − m b ( m 2a + m 2b +2 m b E a ) 1/2 − m a − m b

[ m 2a + m 2b +2 m b (K+ m a ) ] 1/2 − m a − m b

(4.31)

Åóôù a = b = çëåêôñüvéo êáé K me = 0.5GeV . Ðáßñvoõìå K ∗ ≈ (2 m e K ) 1/2 Þ K =

K ∗2 2 me

(4.32)

Áv áðáéôÞóïõìå K ∗ = 2GeV ðñÝðåé vá åðéôá÷ývoõìå ôá çëåêôñüvéá Ýôóé þóôå K = 4000GeV. 2. Óõãêñoõüìåvåò äÝóìåò ðñùôovßùv-çëåêôñovßùv Åóôù Ep = 820GeV , Ee = 30GeV . Å÷oõìå: ( E ∗p + E ∗e ) 2 = s

= = =

( E p + E e ) 2 −(~p p +~p e ) 2

E 2p + E 2e +2 E p E a −~p 2p −~p 2e −2~p p .~p e 4EpEe (4.33)

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

49

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. üðoõ Ep ≈ |pp | , Ea ≈ |pe | , pp · pe = −|pp ||pe | = −Ep Ee . Ïðüôå ðáßñvoõìå: E ∗ = E ∗p + E ∗e = 2( E p E e ) 1/2 = 310GeV

(4.34)

Ïôáv ôo ðñùôüvéo åßváé áêßvçôo Ý÷oõìå E∗

= = ≈

[( E e + m p ) 2 −~p 2e ] 1/2

[ E 2e + m 2p +2 E e m p −~p 2e ] 1/2

[ m p ( m p +2 E e ) ] 1/2 ≈ (2 m p E a

(4.35) 1/2

(4.36)

Åôóé ÷ñåéáæüìáóôå ãéá ôçv ßäéá åvÝñãåéá: Ee = E ∗2 /2mp = 5.3 × 104 GeV . Ãéá áêßvçôo çëåêôñüvéo ðáßñvoõìå Ep = E ∗2 /2me = 9.5 × 107 GeV . 3. Èåþñçìá Åóôù ç óêÝäáóç a + b → c + d. ÕðÜñ÷oõv ìüvo äýo áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò ðoõ ìðoñoýv áv êáôáóêåõáóôoýv áðü ôéò ôåôñáoñìÝò pµi . Aðüäåéîç Å÷oõìå 16 äõváôÜ ãévüìåvá pi · pj . Ió÷ýoõv oé ôÝóóåñåéò óõvèÞêåò p2i = m2i , Üñá Ý÷oõìå 12 æåýãç êáé ëüãù ôçò óõììåôñßáò pi · pj = pj · pi ìÝvoõv 6. Å÷oõìå üìùò êáé ôéò ôÝóóåñåéò åîéóþóåéò äéáôÞñçóçò pµa + pµb = pµc + pµd êáé Ýôóé ìÝvoõv ìüvo äýo ávåîÜñôçôåò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò, ðoõ üðùò åßäáìå ðéü ðÜvù åßváé oé (s,t) Þ (s,u) Þ (t,u): s = ( pa + pb )2 , t = ( pa − pc )2 , u = ( pa − pd )2

(4.37)

üðïõ éó÷ýåé s+t+u=

X

m 2i

(4.38)

i

4. ÅëáóôéêÞ ÓêÝäáóç (â) Åóôù ç åëáóôéêÞ óêÝäáóç a + b → c + b , |p ∗ | = |p ∗′ |. Å÷oõìå óôov oñéóìü ôoõ t, a = c , oðüôå ðáßñvoõìå: t

= = = =

( E ∗a − E ∗c ) 2 −(~p ∗ −~p ∗ ) 2 ′



m 2a + m 2c −2 E ∗a E ∗c +2|~p ∗ ||~p ∗ |cos (θ ∗ ) 2 m 2a −2 E 2a +2~p ∗2 cos (θ ∗ ) −2~p ∗2 +2~p ∗2 cos (θ ∗ )

Þ cos (θ ∗ ) = 1+

t 2 p∗ 2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.39) (4.40) 50

4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ 5. Áóêçóç Åóôù ç óêÝäáóç π − + p → n + γ , üðoõ mπ = 938.3M eV , mn = 939.6M eV , mγ = 0. Av Kπ = 0 vá âñåèåß ç Kn . (Áð. 8.872 ÌeV).

139.5M eV , mp

=

6. Êáôþöëéo ÅvÝñãåéáò ãéá ðáñáãùãÞ óùìáôßùv Åóôù ç óêÝäáóç a + b → c1 + c2 + ... + ck . Óôo óýóôçìá åñãáóôçñßoõ Ý÷oõìå: ~p a = ~p ,~p b = 0 , E a = ( m 2a +~p 2 ) 1/2 , E b = m b

(4.41)

ÈÝôovôáò E = Ea + Eb Ý÷oõìå: s

= =

E 2 −~p 2 = E 2a + E 2b +2 E a E b −~p 2 m 2a + m 2b +2 m b ( m 2a +~p 2 ) 1/2

(4.42)

Óôo Óýóôçìá ÊÝvôñoõ ÌÜæáò Ý÷oõìå: ~p ∗ =~p ∗a +~p ∗b = 0 , E ∗ = E c 1 ∗ + E c 2 ∗ +... + E c k ∗

(4.43)

Ïñßæoõìå Êáôþöëéo ÅvÝñãåéáò ôçv ôéìÞ ôoõ Å*: ∗ E κατ

=

k X

mi

(4.44)

i

Å÷oõìå ãéá ôo êáôþöëéo åvÝñãåéáò: m2a

+

m2b

+

2 1/2

2mb (m2a

+ p)

= E

∗2

k X = ( mi )2

(4.45)

i=1

Ãéá ôçv êévçôéêÞ åvÝñãåéá Ta : Ta + ma + Ea = (m2a + p2 )1/2 , oðüôå: X m 2a + m 2b +2 m b ( T a + m a ) = ( mi )2

(4.46)

i

Þ

T üðoõ Q = ma + mb −

k X i=1

a

=−

QM 2 mb

mi , M = ma + mb +

(4.47) k X

mi

(4.48)

i=1

ÅöáñìoãÞ (á) p + p → p + p + π o , mp = 938M eV , mπ = 135M eV : Ðáßñíïõìå Tp = 290M eV . (â) p + p → p + p + p + p : Ðáßñíïõå Tp = 5.64GeV . ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

51

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. 7. ÄéÜóðáóç Óùìáôßoõ Åóôù ç äéÜóðáóç π + → µ+ + ν , mπ = 140M eV , mµ = 105M eV , mν = 0. ÈÝëoõìå vá âñoýìå ôéò oñìÝò êáé ôéò êévçôéêÝò åvÝñãåéåò ôùv ðñoúüvôùv, ãéá áêßíçôï π. µ←π→ν üðïõ pπ = (mπ , 0) , pµ = (Eµ , p) , pν = (Eν , −p). Å÷oõìå Eµ + Eν = mπ , Eν = |p| , oðüôå (

mµ2

mπ2 − mµ2 +~p ) +|~p | = mπ , |~p | = 2 mπ 2

2

mπ2 + mµ2 2 mπ

(4.50)

( mπ − mµ ) 2 = 4 M eV 2 mπ

(4.51)

E µ = mπ −|~p | = T µ = E µ − mµ =

(4.49)

|~pµ | = |~pν | = E ν = 30M eV

(4.52)

8. Eýñåóç ÌÜæáò Óùìáôßoõ Åóôù ç ávôßäñáóç p + p → p + p + X ÈÝëoõìå vá âñoýìå ðoéÜ ìåãÝèç ðñÝðåé vá ìåôñçèoýv ãéá vá õðoëoãßæåôáé ç ìÜæá ôoõ óùìáôßoõ X. Å÷oõìå pX

m2X

= = = =

p1 + p2 − (p3 + p4 ) (Eo , po ) + (mp , 0) − (E3 , p3 ) − (E4 , p4 ) (Eo + mp − E3 − E4 , po − p3 − p4 ) p2X = (Eo + mp − E3 − E4 )2 − (p0 − p3 − p4 )2 .

(4.53)

Ôá ìåãÝèç ðoõ ðñÝðåé vá ìåôñçèoýv åßváé Eo , E3 , E4 , po , p3 , po , p4 .

4.2

Hëåêôñoìáãíçôéóìüò

4.2.1 ÃåvéêÜ Ï Çëåêôñoìáãvçôéóìüò Ý÷åé ìéÜ éäéáßôåñç ó÷Ýóç ìå ôçv ÅéäéêÞ Èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò. IóôoñéêÜ o ðñoâëçìáôéóìüò ãýñù áðü ôo åñþôçìá ôçò ýðáñîçò Þ ü÷é åvüò áðüëõôoõ óõóôÞìáôoò áváöoñÜò ôÝèçêå ãéÜ ôá öáévüìåvá ðoõ áöoñoýóáv ôéò çëåêôñoìáãvçôéêÝò áëëçëåðéäñÜóåéò êáé ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò. Åßváé ÷áñáêôçñéóôéêü üôé oé ôßôëoé ôùv ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

52

4.2. HËÅÊÔÑOÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ

Ó÷Þìá 4.2: ÇëåêôñåãåñôéêÞ Äýíáìç áðï ôçí êßíçóç ìåôáëëéêÞò ñÜâäïõ ðñþôùv åñãáóéþv ôoõ Lorentz êáé ôoõ Einstein åßváé: H.A.Lorentz: "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light", Proceedings of the Academy of Sciences of Amsterdam 6, 1904. A.Einstein: "On the Electrodynamics of Moving Bodies", Annalen der Physik 17, 1905. Óôçv åñãáóßá áõôÞ ôoõ Einstein ðáñoõóéÜæåôáé ç èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò óáv ìüvç äõváôÞ åîÞãçóç ôùv Çëåêôñoìáãvçôéêþv öáévoìÝvùv. Ôo åväéáöÝñov åßváé üôé o Ç.Ì. üðùò åß÷å äéáôõðùèåß áðü ôov Maxwell ìå ôéò åîéóþóåéò ôoõ åßváé Þäç Ó÷åôéêéóôéêÞ Èåùñßá. ÄçëáäÞ ìåôÜ ôçv åéóáãùãÞ ôçò èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò äåv ÷ñåéÜóôçêå vá áëëÜîåé Þ vá ãåvéêåõôåß ôßðoôá, óå ávôßèåóç ìå üôé Ýãévå ìå ôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Áõôü âÝâáéá üóov áöoñÜ ôç äoìÞ ôçò èåùñßáò, äçëáäÞ ôç ìoñöÞ êáé ôéò éäéüôçôåò ôùv åîéóþóåùv Maxwell. Áõôü ðoõ ðñoóöÝñåé ç Ó÷åôéêüôçôá óôov Çëåêôñoìáãvçôéóìü åßváé áö’åvüò ç ávÜäåéîç vÝùv öáévoìÝvùv ðoõ åêäçëþvovôáé óå õøçëÝò ôá÷ýôçôåò êáé óõvÜãovôáé åýêoëá áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôùv ðåäßùv, êáé áö’åôÝñoõ ç åõêoëßá ðoõ óõvåðÜãåôáé ãéá ôçv äéáôýðùóç ôùv äéáöüñùv ðñáêôéêþv ðñoâëçìÜôùv ç åõ÷Ýñåéá ÷ñÞóçò ôùv óõììåôáâëçôþv åêöñÜóåùv. Ðñév ðño÷ùñÞóoõìå èá ðñÝðåé vá äéáóáöçvßóoõìå ôo ôé óçìáßvåé üôé o Ç.Ì. åßváé ìßá Èåùñßá Ó÷åôéêéóôéêÞ. Ìßá èåùñßá åßváé Ó÷åôéêéóôéêÞ áv oé åîéóþóåéò ðoõ ôçv ðåñéãñÜöoõv åßváé ávåîÜñôçôåò áðü ôo óýóôçìá áváöoñÜò. Ãéá ôov Ç.Ì. ôÝôoéåò åîéóþóåéò åßváé oé åîéóþóåéò Maxwell. ÁõôÝò ðåñéãñÜöoõv ôçv áëëçëåðßäñáóç ôùv Ç.Ì. ðåäßùv ìå ôçv ýëç ç oðoßá ðñÝðåé vá áêoëoõèåß ôçv Ó÷åôéêéóôéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Áv èåùñÞóoõìå ôéò åîéóþóåéò Maxwell óôov êåvü ÷þño êáé áðáëåßøoõìå ôo Ývá áðü ôá äýo ðåäßá äéáäo÷éêÜ âãÜæoõìå üðùò åßäáìå ôçv ~ êáé ôo B ~ ðoõ åßváé ó÷åôéêéóôéêÜ áváëëoßùôç åîßóùóç. êõìáôéêÞ åîßóùóç ãéá ôo E ÅðoìÝvùò ç åîßóùóç ðoõ ðåñéãñÜöåé ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò åßváé ó÷åôéêéóôéêÞ. ÄçëáäÞ ìåëåôþvôáò ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò äåv ìðoñoýìå vá óõvÜãoõìå ôßðoôá ãéá ôçv áðüëõôç êßvçóç åvüò óõóôÞìáôoò (Ðåßñáìá Michelson-Morley). Áv ôþñá èåùñÞóoõìå ôçv ýðáñîç ýëçò óå áëëçëåðßäñáóç ìå ôá Ç.Ì. ðåäßá èá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå áváëëoßùôåò ôéò åîéóþóåéò Maxwell ìå ìç oìoãåvÞ üño. ÐåéñáìáôéêÜ (Ó÷Þìá 4.2) áv ðÜñoõìå ìßá Üðåéñç ñÜâäo ìå äýo åðáöÝò êáé Ývá âoëôüìåôño êáé Ýôóé þóôå vá êévåßôáé ç ñÜâäoò êáôÜ ôov ÜîovÜ ôçò óå ó÷Ýóç ðñoò ôéò åðáöÝò èá âñoýìå ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

53

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. ìßá çëåêôñåãåñôéêÞ äýváìç ðoõ åßváé ç ßäéá ìå ôçv ðåñßðôùóç ðoõ ç ñÜâäoò áêévçôåß êáé êévoývôáé oé åðáöÝò. Áõôü óçìáßvåé üôé oýôå ìå Ývá ôÝôoéo ðåßñáìá ìðoñoýìå vá âñoýìå áðüëõôç êßvçóç. ÅðoìÝvùò o Çëåêôñoìáãvçôéóìüò ÷ùñßò ìåôáâoëÞ óôç äoìÞ ôoõ ðñÝðåé vá äéáôõðùèåß êáôÜ óõváëëoßùôo ôñüðo ãéá vá åêöñÜóåé ôçv åããåvÞ ôoõ ó÷åôéêéóôéêÞ äoìÞ.

4.2.2 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò ôùv Ðåäßùv Ï Åinstein óôçv ðñþôç ôoõ åñãáóßá áöoý âñÞêå ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz êáé ôov ÷ñçóéìoðoßçóå ãéá vá ãåvéêåýóåé ôéò êévçìáôéêÝò êáé äõváìéêÝò ðoóüôçôåò ôçò Ìç÷ávéêÞò Ýöôáóå óôov Çëåêôñoìáãvçôéóìü. Åâáëå ôçv áðáßôçóç oé åîéóþóåéò Maxwell óôov êåvü ÷þño vá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôåò êÜôù áðü ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz. Eóôù óôo óýóôçìá Ó oé åîéóþóåéò Maxwell: ~ ~E = 0 ∇· ~ ~ × ~E = − ∂ B ∇ ∂t

,

~ ~B = 0 ∇·

(4.54)

,

∂ ~E ∇ × ~B =µ0 ε0 ∂t

(4.55)

Áv áðáéôÞóoõìå óôo óýóôçìá Ó’ oé åîéóþóåéò Maxwell vá Ý÷oõv ôçv ßäéá ìoñöÞ: ~ ′· E ~′=0 ∇ ~′ ∂B ′ ′ ~ ~ ∇ ×E =− ∂ t′

,

~ ′· B ~′=0 ∇

(4.56)

,

~′ ∂E ′ ′ ~ ~ ∇ × B =µ0 ε0 ∂ t′

(4.57)

~′ , B ~ ′ ìå ôá üðoõ Ñ = (x, y, z) , Ñ’= (x’, y’, z’), âñÞóêïõìå ðùò óõväÝovôáé ôá ðåäßá E ~ , B. ~ Å÷oõìå ìå ëßãåò ðñÜîåéò E ~E



= ~E



~E ⊥

=



~B ⊥

=

,

~B



= ~B

γ ( ~E ⊥ +~v × ~B ⊥ ! ~B ⊥ ~ v × ~B ⊥ − γ c2

(4.58)

(4.59)

üðoõ óçìáßvåé ðáñÜëëçëç ðñoò ôç ó÷åôéêÞ êßvçóç êáé ⊥ êÜèåôç óõvéóôþóá. Ðéü êÜôù èá äoýìå åöáñìoãÝò ôùv ó÷Ýóåùv (4.58,4.59). Ãéá ôçv áëëçëåðßäñáóç üìùò ìå ôçv ýëç èá ðñÝðåé vá êáôáöýãoõìå óôçv Óõváëëoßùôç äéáôýðùóç. ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

54

4.2. HËÅÊÔÑOÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ

4.2.3 Óõváëëoßùôç Äéáôýðùóç ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý Óôov Ç.Ì. oñßæoõìå ôá äõváìéêÜ ö êáé Á Ýôóé þóôå: ~B = ∇ ~ × ~A

~ ~E = −∇φ ~ −∂ A ∂t

,

(4.60)

Áðü ôéò åîéóþóåéò Maxwell êáé ÷ñçóéìoðoéþvôáò ôçv óõvèÞêç Lorentz ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý: ~ ·A ~ + ∂φ = 0 ∇ c2 ∂t

(4.61)

  2 ∂ 2 ~ = −µ0~j ~ −µ0 ε0 A ∇ ∂ t2

(4.62)

  2 ρ ∂ 2 ~ −µ0 ε0 φ=− ∇ 2 ∂t ε0

(4.63)

ðáßñvoõìå ôéò åîéóþóåéò:

üðoõ ~j êáé ñ ôo ñåýìá êáé ç ðõêvüôçôá öoñôßoõ ávôßóôoé÷á. Ðáñáôçñoýìå üôé ôá ~ , B ~ äåv áëëÜæoõv áv êÜvoõìå ôo ìåôáó÷çìáôéóìü: ðåäßá E ~A → A ~′

=

φ → φ′

=

~A −∇χ ~ ∂χ φ+ ∂t

(4.64)

üðoõ ÷ ôõ÷áßá óõvÜñôçóç ôoõ ~r êáé t. Ï ìåôáó÷çìáôéóìüò (4.64) ëÝãåôáé Ìåôáó÷çìáôéóìüò Gauge, êáé óôçv Êâávôoìç÷ávéêÞ ðáßæåé èåìåëéáêü ñüëo. Ãéá vá äéáôõðþóoõìå óõváëëoßùôá ôéò åîéóþóåéò Maxwell èá ðñÝðåé vá oñßóoõìå ~ ö. Ôo ñåýìá åßváé ðõêvüôçôá êáôÜëëçëá ôåôñáäéávýóìáôá ãéá ôéò ðoóüôçôåò ~j, ñ, A, µ µ öoñôßoõ åðß ôá÷ýôçôá. Áv u = dx /ds åßváé ç ôåôñáôá÷ýôçôá oñßæoõìå: j µ =ρ0

dxµ ds

(4.65)

üðoõ ρ0 ç ðõêvüôçôá öoñôßoõ ãéá óýóôçìá áváöoñÜò ðoõ ôo öoñôßo åßváé áêßvçôo. Å÷oõìå ρ~u j µ = (ρ , ) (4.66) c üðoõ ρ0 (4.67) ρ =q 2 1− uc 2 ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

55

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. Ðáñáôçñoýìå åäþ üôé áðü ôçv ó÷Ýóç (4.67) Ý÷oõìå áìÝóùò ôo Áváëëoßùôo ôçò ðoóüôçôáò öoñôßoõ: ρ dV

=

=

ρ0 q

1−

u2 c2

ρ0 . dx o

ÃñÜöovôáò óõìâoëéêÜ:

dxdydz

q

2

1− uc 2 · dy o · dz o q = ρ0 dV 0 2 1− uc 2

2 ~ 2 −µ0 ε0 ∂  =∇ ∂ t2

(4.68)

(4.69)

Ý÷oõìå: ρ~u  (c ~A ) = − cε o ρ φ=− ε0

(4.70) (4.71)

Åôóé áv oñßóoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá: Aµ = (φ , c ~A )

(4.72)

 Aµ = j µ

(4.73)

ðáßñvoõìå: ÁõôÞ ç åîßóùóç ðåñéãñÜöåé êáôÜ Ývá óõváëëoßùôo ôñüðo ôéò åîéóþóåéò Maxwell, äçëáäÞ ôçv áëëçëåðßäñáóç ìå ôçv ýëç êáé ôç äéÜäoóç ôùv Ç.Ì. äõváìéêþv. Ìðoñoýìå üìùò vá êÜvoõìå êáé ôçv óõváëëoßùôç äéáôýðùóç ôoõ Ç.Ì. ìå âÜóç ôá ðåäßá. Ïñßæoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá: Aµ = g µν Aν = (φ , −c ~A )

(4.74)

êáé ôov ôávõóôÞ äåýôåñçò ôÜîçò: F µν =∂µ Aν −∂ν Aµ ~ êáé B: ~ üðoõ ∂µ = ∂/∂xµ . Âñßóêoõìå ìå âÜóç ôá E  0 −Ex −Ey  Ex 0 − cB z F µν =   Ey cB z 0 E z − cB y cB x

(4.75)

 −Ez cB y   − cB x  0

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.76)

56

4.2. HËÅÊÔÑOÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ üðoõ Fµν = gµρ gνσ F ρσ . Ôüôå oé åîéóþóåéò ~ ~E = ρ ∇· ε0

~ ~ × ~B =µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t

,

ãßvovôáé

(4.77)

∂ F µν jν = ∂ xµ ε0

(4.78)

Ïé åîéóþóåéò: ~ ~B = 0 ∇· ãßvovôáé:

H ôávõóôéêÞ öýóç ôoõ Fµν

~ ~ × ~E = − ∂ B ∇ ∂t

,

(4.79)

∂ F µ ν ∂ F νρ ∂ F ρµ + + =0 ∂ xρ ∂ xµ ∂ xν ìáò äßvåé áìÝóùò ôo ìåôáó÷çìáôéóìü ôoõ: F µν = Λµρ Λνσ F ρσ

(4.80)

(4.81)

ÃñÜöovôáò ôçv (4.81) ãéá ôá ávôßóôoé÷á ðåäßá áváêáëýðôoõìå ôéò åîéóþóåéò ðoõ âñÞêå o Einstein, ôéò (4.58,4.59). Áóêçóç Íá áðoäåéèoýv oé (4.58,4.59) áðü ôçv (4.81). TÝëoò ðñÝðåé vá ãñÜøoõìå êáôÜ óõváëëoßùôo ôñüðo ôçv áëëçëåðßäñáóç ôçò ýëçò ìå ôá Ç.Ì. ðåäßá, äçëáäÞ vá ãåvéêåýóoõìå (óõváëëoßùôá) ôç äýváìç Lorentz: ~F =ρ ( ~E +~u × ~B )

(4.82)

f µ = F µν j ν

(4.83)

Ïñßæoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá: üðoõ: jν = gνσ j σ = (ρ, −

ρ~u ) c

(4.84)

Ðáßñvoõìå: fi=F



jν =F

io

jo+F

i1

j1+F

i2

j2+F

i3

j3

(4.85)

ãéÜ i=1,2,3 Áñá f

x

= = = =

f1 F 10 j o + F

11

j1+F

12

j2+F

13

j3 ρ ux ρ uy ρ uz E x ρ +0·(− ) + (− cB z )(− )+ cB y (− ) c c c ρ [ E x +(~u × ~B ) x ] (4.86)

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

57

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. êáé ãåvéêüôåñá

f~ =ρ [ ~E +~u × ~B ]

êáé fo=

(4.87)

~u· ~f c

(4.88)

Áñá ôo ôåôñáäéÜvõóìá fµ =

~u· ~f , ~f c

!

(4.89)

üðoõ ç f åßváé ç äýváìç Lorentz ávÜ ìovÜäá üãêoõ. Ãéá ôçv oëéêÞ äýváìç óå üãêo äV Ý÷oõìå: ~F = ~f δ V =δ q[ ~E +~u × ~B ] (4.90) ~ êáé B ~ ðáßñvoõìå: Áðü ôo ìåôáó÷çìáôéóìü ôùv E F~ ′ = F~

F~⊥′ = F~⊥

r

1 −

u2 c2

(4.91)

ðoõ åßváé ßäéoò ìåôáó÷çìáôéóìüò ìå áõôüv ôçò ìç÷ávéêÞò äýváìçò (3.80,3.81,3.82). Ç óõììåôáâëçôÞ åîßóùóç ôoõ Íåýôùvá ãéá ôçv áëëçëåðßäñáóç öoñôßoõ ìå ôo Ç.Ì. ðåäßo åßváé: µ 2 du = qF µν u ν (4.92) mo c ds

4.2.4 ÓõvÝðåéåò - ÅöáñìoãÝò 1. ÌÜæá êáé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôùí ðåäßùí Ï Åinstein óôçv ðñþôç ôoõ åñãáóßá, Ý÷ovôáò âñåé ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôùv ðåäßùv èÝëçóå vá äåé ôéò åðéðôþóåéò óôçv êßvçóç åvüò çëåêôñovßoõ êÜôù áðü ôçv åðßäñáóç ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý. ÈÝôovôáò ôçv áðáßôçóç üôé oé åîéóþóåéò êßvçóçò ðñÝðåé vá åßváé ôçò ßäéáò ìoñöÞò óå üëá ôá óõóôÞìáôá êáôÝëçîå óôçv ó÷Ýóç:

êáôÜ Ývá Ýììåóo ôñüðo âÝâáéá.

m =q

mo

(4.93) 2

1− vc 2

2. ÅìöÜíéóåé äéðïëéêþí ñïðþí Ôo ôåôñáäéÜvõóìá ñåýìáôoò üðùò ôo oñßóáìå åßváé: j µ = (ρ ,

~j ) c

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.94) 58

4.2. HËÅÊÔÑOÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ

Ó÷Þìá 4.3: ÅìöÜíçóç çëåêôñéêÞò äéðïëéêçò ñïðÞò óå êéíïýìåíï âñüã÷ï ñåýìáôïò üðoõ ~j = ρ~v . Ìå Ývá ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz Ý÷oõìå: j µ = Λµν j ν Þ

i h  v j ρ′ =γ ρ − x c2 jx′ = γ(jx − vρ)

(4.95)

(4.96) (4.97)

Ç äåýôåñç åîßóùóç, åêôüò áðü ôov ó÷åôéêéóôéêü óõvôåëåóôÞ ã, åßváé ðñoöávÞò ãéáôß ëÝåé üôé Ývá ñåýìá jx èá ðñÝðåé vá áëëÜæåé óå Üëëo óýóôçìá áváöoñÜò êáôÜ ôo ñåýìá ñv ðoõ ðñoÝñ÷åôáé áðü ôçv ó÷åôéêÞ êßvçóç ôçò ðõêvüôçôáò öoñôßoõ ñ. Ç ðñþôç åîßóùóç åßváé ðéü ðåñßåñãç. Áv õðoèÝóoõìå üôé óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò Ý÷oõìå ìüvo ñåýìáôá, äçëáäÞ ñ = 0 , óå êÜèå Üëëo óýóôçìá èá åìöávßæovôáé êáé ðõêvüôçôåò öoñôßoõ. ÌéÜ åväéáöÝñoõóá óõvÝðåéá åßváé ç åìöÜvéóç çëåêôñéêÞò äéðoëéêÞò ñoðÞò óå Ývá âñüã÷o ñåýìáôoò. Å÷oõìå óå ðñoóÝããéóç üñùv (v/c)2 ôéò ôéìÝò öoñôßoõ Jvα Jvα q ≈ 2 ,q = − 2 (4.98) c c ãéá ôéò ðáñÜëëçëåò ðñoò ôov Üîová x ðëåõñÝò ôoõ âñüã÷oõ. Áñá ðáßñvoõìå ìßá äéðoëéêÞ ñoðÞ:  v  v (αβ )J = | ~m | (4.99) | ~P | =β |q| = c2 c2 üðoõ m = áâJ = SJ , åßváé ç ìáãvçôéêÞ ñoðÞ ôoõ âñüã÷oõ.

3. Ìåôáó÷çìáôéóìüò ÇëåêôñéêÞò êáé ÌáãíçôéêÞò Ðüëùóçò Áðü ôéò åîéóþóåéò ôoõ Ç.Ì. Ý÷oõìå üôé ç çëåêôñéêÞ ðüëùóç P~ êáé ç ìáãvçôéêÞ ~ åßváé ávÜëoãåò ôùv ðåäßùv E ~ êáé B ~ ávôßóôoé÷á. Áõôü éó÷ýåé áêñéâþò ðüëùóç M ãéá oìoãåvÞ õëéêÜ. Ãåvéêþôåñá åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò ôùv óõvéóôùóþv. ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

59

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. ~ èá ìåôáó÷çìáôßæovôáé üðùò ôá E ~ êáé Áõôü óçìáßvåé üôé oé ðoëþóåéò P~ êáé M ~ Åôóé Ý÷oõìå: B. ~ ′ =M ~ ~ ′ = ~P , M (4.100) P " # ~ ~ ′ ⊥ =γ ~P ⊥ − ~v × M ⊥ P (4.101) c2 ~ ⊥ = γ[M ~ ⊥ + ~v × P~⊥ ] M

(4.102)

Ðéü êÜôù èá äoýìå åöáñìoãÝò ôÝôoéùv ó÷Ýóåùv. 4. Äõíáìéêü Lienard-Wieckert Ç óõváëëoßùôç äéáôýðùóç ôùv åîéóþóåùv âoçèÜåé vá âñoýìå ôç ãåvéêÞ ëýóç åvüò ðñoâëÞìáôoò áðü ìéÜ åéäéêÞ ëýóç ðoõ éó÷ýåé óå óõãêåêñéìÝvo óýóôçìá áváöoñÜò. ~ Åóôù óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò Ôo ôåôñáäéÜvõóìá Aµ ôo oñßóáìå Aµ = (φ, A). êÜðoéo áêßvçôo öoñôßo. Áõôü èá äçìéoõñãåß ìüvo äõváìéêü Coulomb êáé èá Ý÷oõìå:   e µ Ao = , ~0 (4.103) 4πε0 r o üðoõ ~0 = (0, 0, 0). Åóôù ôþñá ôo ôåôñáäéÜvõóìá ôá÷ýôçôáò uµ = (γ, γ~u/c) êáé ôçò èÝóçò rµ = (ct, ~r). Ç ðoóüôçôá u · r åßváé áváëëoßùôç. Å÷oõìå:   ~u·~r u·r = γ ct− (4.104) c Ãéá ôo óýóôçìá áváöoñÜò ôoõ öoñôßoõ Ý÷oõìå: uµ = (1 , ~0 ) , rµ = ( ct o , ~r o )

(4.105)

ÁëëÜ o ÷ñüvoò t0 ávôéóôoé÷åß óôo ÷ñüvo ðoõ ÷ñåéÜæåôáé ç åðßäñáóç óôçv áñ÷Þ ôùv áîüvùv vá ìåôáäoèåß óôo ~r0 , äçëáäÞ r0 = ct0 . Ðáßñvoõìå Ýôóé u·r = r o

(4.106)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo ôåôñáäéÜvõóìá Aµ =

uµ e · 4πε0 u·r

(4.107)

óôo óýóôçìá áváöoñÜò ôoõ öoñôßoõ äßvåé ôçv (4.103) ÅðoìÝvùò èá ðñÝðåé ç (4.107) vá ðåñéãñÜöåé ôo Ç.Ì. ðåäßo óå oðoéoäÞðoôå óýóôçìá áváöoñÜò. Ðáßñvoõìå èÝôovôáò ct = r:   e ~u 1 µ (4.108) A = , · 4πε0 s cs ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

60

4.3. ÊÂÁÍÔOÌÇ×ÁÍÉÊÇ üðoõ

~r·~u (4.109) c Ôo äõváìéêü (4.108) ëÝãåôáé äõváìéêü Lienard-Wieckert êáé ìðoñåß vá âãåé êëáóéêÜ áðü ôç ëýóç ôùv åîéóþóåùv ôoõ Ç.Ì.. s = r−

4.3

Êâáíôoìç÷áíéêÞ

4.3.1 Mç Ó÷åôéêéóôéêÞ Êâávôoìç÷ávéêÞ Óôá ìáèÞìáôá áõôÜ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò äåv åßváé äõváôüv vá áó÷oëçèoýìå ìå ôçv ávÜëõóç ôoõ ðñoâëÞìáôoò ôçò êâÜvôùóçò åvüò êëáóéêoý óõóôÞìáôoò. Åvá ôÝôoéo åñþôçìá áðáéôåß äéåîoäéêÞ ìåëÝôç êáé óõæÞôçóç ðoëëþv õðoèÝóåùv. Åßváé Ývá èÝìá ðoõ äåv Ý÷åé êëåßóåé êáé ßóùò üóo ðåñvÜ o êáéñüò êáé ç ÅðéóôÞìç áváêáëýðôåé vÝåò üøåéò (Þ áðüøåéò) ôçò ðñáãìáôéêüôçôáò, üðùò ç Êoóìoëoãßá, ç ÊâávôéêÞ Âáñýôçôá, oé ÌåëávÝò ÏðÝò, ôá Ìç-ÃñáììéêÜ ÓõóôÞìáôá ê.ë.ð. ôo Åñþôçìá ôçò ÊâÜvôùóçò vá ãßvåôáé ðéü äýóêoëo vá áðávôçèåß. Åäþ åìÜò èá ìáò áðáó÷oëÞóåé ôo Ðñüâëçìá Ãåvßêåõóçò ôçò åîßóùóçò Schrodinger Ýôóé þóôå vá Ý÷oõìå ìßá åîßóùóç ðoõ vá äéáôõðþvåé ôçv óõvèÞêç êâÜvôùóçò êáôÜ Ývá óõváëëoßùôo ôñüðo. ÄçëáäÞ ç ìoñöÞ ôçò åîßóùóçò vá åßváé ávåîÜñôçôç áðü ôo óýóôçìá áváöoñÜò. Ãéá vá ôo êÜvoõìå áõôü èá âáóéóôoýìå óôçv ðéü áðëÞ äéáôýðùóç ôoõ ðñoâëÞìáôoò ôçò êâÜvôùóçò, ó’ áõôÞ ðoõ èåùñåß ôçv êâÜvôùóç óáv Ývá êávüvá ávôéóôoé÷ßáò ìåôáîý ôùv âáóéêþv ìåôáâëçôþv åvüò êëáóéêoý óõóôÞìáôoò êáé êÜðoéùv åéäéêþv ôåëåóôþv óå Ýváv ÷þño Hilbert. Áõôoß oé êávüvåò ávôéóôoé÷ßáò äéáôõðþvovôáé óáv Áîéþìáôá Ýôóé þóôå vá ìðoñåß êávåßò åðáãùãéêÜ vá êÜvåé ávÜëõóç üëçò ôçò èåùñßáò. Ôá Áîéþìáôá áõôÜ õðoèÝôoõìå üôé åßváé ãvùóôÜ óôov áváãvþóôç. Äßvoõìå üìùò Ýìöáóç óå êÜðoéá óçìåßá ðoõ ìáò ÷ñåéÜæovôáé ãéá ôçv Ó÷åôéêéóôéêÞ Ãåvßêåõóç. Å÷oõìå ôá åîÞò: Åóôù Ývá êëáóéêü öõóéêü óýóôçìá ðoõ ÷áñáêôçñßæåôáé áðü ôéò ãåvéêåõìÝvåò ìåôáâëçôÝò èÝóçò êáé oñìÞò qi , pi i = 1,....,n. êáé H(qi , pi ) ç óõvÜñôçóç Hamilton. O êávüváò ávôéóôoé÷ßáò (êâÜvôùóç) ìáò ëÝåé üôé õðÜñ÷åé Ýváò ÷þñoò Hilbert (äéávõóìáôéêüò ÷þñoò ìå Üðåéñç äéÜóôáóç êáé åóùôåñéêü ãévüìåvo) Ýôóé þóôå ãéá êÜèå öõóéêÞ êáôÜóôáóç ôoõ óõóôÞìáôoò vá õðÜñåé ìßá óõvÜñôçóç (óôoé÷åßo ôoõ ÷þñoõ Hilbert) ψ(qi , pi ) êáé ôåëåóôÝò Qi , Pi ðoõ ávôéóôoé÷oýv óôá qi , pi Ýôóé þóôå ç Hamiltonian H vá ãßvåé Ýváò ôåëåóôÞò H(Qi , Pi ). Óôçv ëåãüìåvç ÁváðáñÜóôáóç Schrodinger Ý÷oõìå ôçv ávôéóôoé÷ßá: q k → Q k : Q k ψ (q) = q k ψ (q) p k→ P

k

: P k ψ (q) =

~ ∂ ψ (q) i∂ qk

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.110) (4.111) 61

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. Ç ÷ñovéêÞ åîÝëéîç ôçò êáôÜóôáóçò ðåñéãñÜöåôáé áðü ôçv åîßóùóç Schrodinger: i~

∂ψ = Hψ ∂t

(4.112)

Ãéá vá oäçãåß ç êâÜvôùóç óå ÖõóéêÞ Èåùñßá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå êáé Ývá êávüvá åñìçvåßáò ôùv ëýóåùv ôçò (4.112). Ï êávüváò áõôüò ëÝåé üôé ç ðoóüôçôá ρ = |ψ(qi , t)|2 äßvåé ôçv ðõêvüôçôá ðéèávüôçôáò vá âñåèåß ôo óýóôçìá óôçv êáôÜóôáóç ðoõ ÷áñáêôçñßæåôáé áðü ôéò óõvôåôáãìÝvåò (qi , t). Ïñßæovôáò ôo ñåýìá:  h  i ~ ∗~ ∗ ~ ~j = (4.113) ψ ∇ψ −ψ ∇ψ 2im ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò: ∂ρ ~ ~ +∇· j = 0 ∂t

(4.114)

ðoõ åßváé éóoäýváìç ìå ôç äéáôÞñçóç ôçò oëéêÞò ðéèávüôçôáò vá âñoýìå ôo óýóôçìá óå êÜðoéá èÝóç êáé oñìÞ óôo ÷ñüvo t. ÄçëáäÞ: Z d |ψ | 2 dv = 0 (4.115) dt Èá äoýìå üôé óôéò ðñoóðÜèåéåò Ó÷åôéêéóôéêÞò ãåvßêåõóçò ôçò åîßóùóçò Schrodinger äåv êáôoñèþèçêå vá âñåèåß ìßá óõìâéâáóôÞ äéáôýðùóç ôçò ðõêvüôçôáò ðéèávüôçôáò ðoõ vá éêávoðoéåß ôéò óõvèÞêåò (4.114) (Þ 4.115). Áõôü oäÞãçóå óôçv åãêáôÜëçøç ôçò ðñoóðÜèåéáò äéáôýðùóçò ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò êâÜvôùóçò ìå âÜóç åîéóþóåéò ðoõ ðåñéãñÜöoõv Ývá ìováäéêü óùìÜôéo. Ç äéÝîoäoò äüèçêå ìå ôçv åéóáãùãÞ ôçò ÊâávôéêÞò Èåùñßáò Ðåäßùv üðoõ ðëÝov oé âáóéêÝò ðoóüôçôåò åßváé ôá ðåäßá ðoõ Ý÷oõv ôçv åããåvÞ äõváôüôçôá vá äçìéoõñãÞóoõv Þ vá áöávßóoõv oðoéoäÞðoôå áñéèìü óùìáôßùv. Ðáñ’üëo áõôÜ üìùò oé ó÷åôéêéóôéêÝò åîéóþóåéò ðoõ áváêáëõöôÞêávå üðùò ç åîßóùóç Klein-Gordon êáé ç åîßóùóç Dirac Ýäùóáv áñêåôÝò ìáèçìáôéêÝò äõváôüôçôåò vá âñoýìå ôá ß÷vç ìéáò vÝáò öõóéêÞò ðñáãìáôéêüôçôáò üðùò ç ýðáñîç ôçò ávôéýëçò, ôo spin ê.ë.ð.

4.3.2

H Eîßóùóç Klein-Gordon

Åóôù Ývá åëåýèåño óùìÜôéo ðoõ ðåñéãñÜöåôáé ìå ôçv Hamiltonian: H=

~p 2 2m

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.116) 62

4.3. ÊÂÁÍÔOÌÇ×ÁÍÉÊÇ Må ôov êávüvá ávôéóôoéßáò (4.110,4.111) ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç: i~

~2 ~ 2 ∂ ψ (q , t) = − ∇ ψ (q , t) ∂t 2m

(4.117)

Ç åîßóùóç áõôÞ åßváé ðñoöávþò ìç ó÷åôéêéóôéêÞ ãéáôß o ÷ñüvoò t êáé o ÷þñoò x õðåéóÝñ÷ovôáé ìÝóù ôùv ðáñáãùãÞóåùv ìå äéáöoñåôéêÝò äõvÜìåéò. ÅîÜëëoõ ãvùñßæoõìå üôé ç åvÝñãåéá Å óôçv oðoßá ávôéóôoé÷åß ç Hamiltonian H äåv åßváé ó÷åôéêéóôéêÜ áváëëoßùôç ðoóüôçôá, áëëÜ áðoôåëåß ìüvo ôç ìçäåvéêÞ óõvéóôþóá ôçò ôåôñáoñìÞò pµ = (E, p) . AëëÜ ôo êõñéþôåño ç (4.116) äåv åßváé êáv ç Ýêöñáóç ôçò åvÝñãåéáò åvüò óùìáôßoõ ó÷åôéêéóôéêÜ. Óôçv Ó÷åôéêüôçôá Ý÷oõìå E 2 = m2 c4 + p2 c2 . Åôóé åýëoão åßváé vá oñßóoõìå ôçv Hamiltonian: q (4.118) H = ~p 2 c 2 + m 2 c 4 O êávüváò ôþñá èá ìáò äþóåé:

q ∂ ~ 2 + m2 c2 ψ i~ ψ = −~ 2 c 2 ∇ ∂t

(4.119)

H åîßóùóç (4.119) ìáèçìáôéêÜ åßváé ðoëý äýóêoëo vá ëõèåß Þ áêüìá êáé vá oñéóôåß óáv ôåëåóôÞò ôo äåîéü ìÝëoò ôçò üðoõ ðñÝðåé vá oñßóoõìå ôo ñéæéêü êÜðoéoõ äéáöoñéêoý ôåëåóôÞ. Åôóé ðñoôÜèçêå vá ÷ñçóéìoðoéçèåß ç Hamiltonian H õðü ôç ìoñöÞ: H 2 =~p 2 c 2 + m 2 c 4 (4.120) oðüôå ðáßñvoõìå ôç ëåãüìåvç åîßóùóç Klein-Gordon:   mc  2  + ψ=0 ~ üðoõ:

X ∂2 1 ∂2 = − 2 ∂ x 2i c ∂ t2 i

(4.121)

(4.122)

H åîßóùóç áõôÞ åßváé ó÷åôéêéóôéêÞ, äçëáäÞ ðáñáìÝvåé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz. ÐñÝðåé üìùò vá äþóoõìå ôç öõóéêÞ åñìçvåßá ôoõ ø. ÄçëáäÞ ðñÝðåé vá oñßóoõìå ðõêvüôçôá ðéèávüôçôáò ñ êáé ñåýìáôoò ~j Ýôóé þóôå vá éó÷ýåé ç åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò. Áõôü åðéôõã÷Üvåôáé ìå ôoõò oñéóìoýò:    i~ ∂ψ ∗ ∗ ∂ψ ρ= (4.123) ψ −ψ 2 mc 2 ∂t ∂t  h  i ~ ~ )−ψ (∇ψ ~ ∗) ~j = ψ ∗ (∇ψ (4.124) 2im ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

63

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. Äõóôõþò üìùò ç (4.123) äåv åßváé êáôÜëëçëoò oñéóìüò ðõêvüôçôáò ðéèávüôçôáò ãéáôß ìðoñåß vá ðÜñåé êáé áñvçôéêÝò ôéìÝò. Áõôü èá ìðoñoýóå vá ôo ðåñéìÝvåé êávåßò ãéáôß åããåvþò ç Hamiltonian (4.120) ìðoñåß vá äþóåé "áñvçôéêÝò åvÝñãåéåò": q H = − ~p 2 c 2 + m 2 c 4

(4.125)

TÝôoéåò åvÝñãåéåò öõóéêÜ åßváé áðáñÜäåêôåò. Åôóé åãêáôáëÞöèçêå ç åîßóùóç KleinGordon. ×ñçóéìoðoéÞèçêå üìùò üôáv äéáðéóôþèçêå ìÝóù ôçò ÊâávôéêÞò Èåùñßáò Ðåäßùv üôé ìðoñåß êávåßò vá åñìçvåýóåé êáôÜ Ývá áõôoóõìâéâáóôü ôñüðo ôéò áñvçôéêÝò åvÝñãåéåò ôçò ýëçò óáv èåôéêÝò åvÝñãåéåò ôçò ávôéýëçò.

4.3.3 Ç Åîßóùóç Dirac H ýðáñîç ôoõ åväå÷oìÝvoõ ôùv ëýóåùv ôçò åîßóùóçò Klein-Gordon ìå áñvçôéêÞ åvÝñãåéá oöåßëåôáé óôo ãåãovüò üôé ç åîßóùóç åßváé ôåôñáãùvéêÞ ùò ðñoò ôo ÷ñüvo êáé ôo ÷þño. Ï Dirac óêÝöôçêå üôé ìðoñåß êávåßò vá ãñÜøåé ìßá åîßóùóç ó÷åôéêéóôéêÞ ü÷é ìå ôo vá åéóÜãåé ôo ÷ñüvo ôåôñáãùvéêÜ áëëÜ ìå ôo vá åéóÜãåé ôo ÷þño óôçv ðñþôç äýváìç. Åãñáøå ëoéðüv ôçv åîßóùóç:    θΨ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ~c i~ +β mc 2 ψ = α1 +α 2 +α 3 1 2 3 θt i ∂x ∂x ∂x = Hψ (4.126) Ôá α1 , α2 , α3 äåv ìðoñåß vá åßváé óôáèåñÝò áñéèìçôéêÝò ðoóüôçôåò ãéáôß ç (4.126) äåv èá Þôáv êáv áváëëoßùôç ùò ðñoò ôéò óôñoöÝò. Åðßóçò ôo ø äåv ìðoñåß vá åßváé áñéèìçôéêÞ óõvÜñôçóç ãéáôß äåv ìðoñoýìå vá êáôáóêåõÜóoõìå ìéÜ åîßóùóç óõvÝ÷åéáò. Åôóé o Dirac õðÝèåóå üôé ôo ø åßváé ðßváêáò óôÞëçò   ψ1  ψ2     .    ψ = (4.127)  .    .  ψN êáé ôá αi , β åßváé ðßváêåò N × N . Tþñá ðñÝðåé vá éó÷ýåé ç ó÷åôéêéóôéêÞ ó÷Ýóç E 2 = p2 c2 + m2 c4 . Aõôü óçìáßvåé üôé ç êÜèå óõvéóôþóá ψk ðñÝðåé vá éêávoðoéåß ôçv Klein- Gordon: −~ 2

∂ 2ψ k = [−~ 2 c 2 ∇ 2 + m 2 c 4 ]ψ k ∂ t2

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.128) 64

4.3. ÊÂÁÍÔOÌÇ×ÁÍÉÊÇ Áðü ôçv (4.126) ãéá vá ìðoñoýìå vá ðÜñoõìå ôçv (4.128 ðñÝðåß vá åðéâÜëëoõìå êÜðoéåò óõvèÞêåò óôá αi , β. Ðáßñvoõìå: α i α k +α k α i = 2δ ik

(4.129)

α i β +βα i = 0

(4.130)

α i2 =β 2 = 1

(4.131)

Aðü ôéò (4.130) êáé (4.131) ðáßñvoõìå: α i = −βα i β

,

β = −α i βα i

(4.132)

Áðü ôçv éäéüôçôá ôoõ ß÷voõò (Trace) ðßváêá: T r(AB) = T r(BA)

(4.133)

ðáßñvoõìå: T r(α i ) = − T r(βα i β ) = − T r(α i β 2 ) = − T r( a i ) = 0

(4.134)

Êáé üìoéá: T r(β ) = 0

(4.135)

Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (4.131) Ý÷oõìå üôé oé éäéoôéìÝò ôùv ðévÜêùv αi êáé β ðñÝðåé vá åßváé ±1. Ôo ß÷voò üìùò (Trace) åvüò ðßváêá åßváé ôo Üèñoéóìá ôùv éäéoôéìþv ôoõ, oðüôå èá ðñÝðåé oé éäéoôéìÝò ôùv +1 êáé -1 vá õðÜñ÷oõv êáôÜ æåýãç. ÄçëáäÞ èá ðñÝðåé ôo Í vá åßváé Üñôéo. Ãéá Í = 2 ðáßñvoõìå ôoõò ðßváêåò Pauli:       1 0 0 −i 0 1 3 2 1 (4.136) , σ = , σ = σ = 0 −1 i 0 1 0 oé oðoßoé åßváé ìüvo ôñåéò ðoõ éêávoðoéoýv ôéò ó÷Ýóåéò ávôéìåôÜèåóçò. Áñá ðáßñvoõìå óáv ðñþôç ìç ôåôñéìÝvç ðåñßðôùóç ôo Í = 4. ÈÝôoõìå:       1 0 12 0 0 σi (4.137) , 12 = , β= αi = 0 1 0 12 σi 0 Ãéá ðáñÜäåéãìá Ý÷oõìå: 

Ïñßæovôáò ôo:

0  0 α1 =  0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

 1 0   0  0

ψ + = (ψ 1∗ , ψ 2∗ , ψ 3∗ , ψ 4∗ ) ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.138)

(4.139) 65

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. êáé ρ =ψ + ψ = |ψ 1 | 2 +|ψ 2 | 2 +|ψ 3 | 2 +|ψ 4 | 2 j k = cψ + α k ψ

(4.140) (4.141)

ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò. Eóôù ôþñá Ývá åëåýèåño áêßvçôo çëåêôñüvéo. Èá Ý÷oõìå: i~

∂ψ =β mc 2 ψ ∂t

(4.142)

ðoõ Ý÷åé ôÝóóåñåéò ëýóåéò:  1 2 imc 2  0   , ψ 2 = exp (− imc ) ψ 1 = exp (−  0  h h 0   0 + imc 2 imc 2  0  4 3   , ψ = exp ( ψ = exp (+ ) 1  h h 0 

 0  1   )  0  0   0  0   )  0  1 

(4.143)

(4.144)

ÁìÝóùò öáßvåôáé üôé ôo ðñüâëçìá ôùv áñvçôéêþv åvåñãåéþv åìöávßæåôáé êáé óôçv åîßóùóç Dirac. Ïé ëýóåéò ψ 3 , ψ 4 Ý÷oõí áñvçôéêÞ åvÝñãåéá. Ï Dirac ôo åñìÞvåõóå ìå ôo vá åéóÜãåé ôç ëåãüìåvç èåùñßá ôùv oðþv êáé Ýôóé oäçãÞèçêå óôo vá ðñoâëÝøåé ôçv ýðáñîç ôçò ávôéýëçò, äçëáäÞ åv ðñoêåéìÝvù ôá ðoæéôñüvéá. Ôo âáóéêü üìùò óôéò ëýóåéò (4.143,4.144) åßváé üôé ðåñéãñÜöoõv Ývá vÝo âáèìü åëåõèåñßáò áõôüv ôoõ spin. ÐñÜãìáôé oé ψ 1 , ψ 2 äßvoõv ôéò êáôáóôÜóåéò çëåêôñovßùv ìå ðñïâïëÞ spin +1/2 êáé -1/2 ¯ êáé ávôßóôoéá oé ψ 3 , ψ 4 ãéá ôá ðoæéôñüvéá. ÂÝâáéá ãéá vá öôÜóåé êávåßò óôçv åñìçvåßá áõôÞ ðñÝðåé vá âñåé ôo ìç ó÷åôéêéóôéêü üñéo ôçò åîßóùóçò Dirac. Ó’ áõôü ôo üñéo Ý÷oõìå ôçv åîßóùóç Pauli ðoõ ðñoôÜèçêå ãéá ôçv ðåñéãñáöÞ ôoõ spin. Åöáñìüæovôáò ôçv åîßóùóç Dirac ãéá ôo Üôoìo ôoõ õäñoãüvoõ ìðoñoýìå vá âñoýìå äéoñèþóåéò óôo öÜóìá ôoõ, ðoõ äåv åßváé äõváôüv vá âñåèoýv óôá ðëáßóéá ôçò ìç-ó÷åôéêéóôéêÞò ÊâávôoìçávéêÞò. Ôåëåéþvovôáò èá ðñÝðåé vá ëåxèåß üôé ç åîßóùóç Dirac åßváé ðñÜãìáôé óõváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáóxçìáôéóìoýò Lorentz, êÜôé ðoõ xñåéÜæåôáé ëåðôoìåñÞ áðüäåéîç. Ç óõììåôáâëçôÞ Ýêöñáóç ôçò åîßóùóçò åßváé: i~ [γ o

∂ ∂ ∂ ∂ +γ 1 +γ 2 +γ 3 ]ψ −mcψ = 0 o 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂ x3

(4.145)

üðoõ γ o =β

,

γ k =βα k , k = 1 , 2 , 3

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.146) 66

4.3. ÊÂÁÍÔOÌÇ×ÁÍÉÊÇ γ µ γ ν +γ ν γ µ =2 g µν I 4 üðoõ



1  0 I 4 =  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí

(4.147)

(4.148)

67