Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии 5-7695-2137-6
186 29 10MB
Russian Pages 511 Year 2005
Table of contents :
Предисловие......Page 3
1.1. Определение группы......Page 6
1.2. Подгруппы......Page 25
1.3. Порядки элементов группы......Page 27
1.4. Циклические группы и их подгруппы......Page 28
1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа......Page 29
1.6. Гомоморфизмы и фактор-группы......Page 32
1.7. Классы сопряженных элементов......Page 41
1.8. Коммутант группы......Page 46
1.9. Прямые и полупрямые произведения групп......Page 49
1.10.1. Точечные группы......Page 56
1.10.2. Двойные группы......Page 70
1.10.3. Группы Лонге-Хиггинса......Page 71
2.1. Конечно порожденные абелевы группы......Page 74
2.2. Решетки в евклидовых пространствах......Page 82
2.3. Группа движений......Page 86
2.4. Двумерный случай......Page 91
2.5. Трехмерный случай......Page 95
2.6. Решетки Браве и их элементарные ячейки......Page 101
2.7. Международная система обозначений точечных групп......Page 106
2.8. Стереографическая проекция......Page 109
2.9.1. Простые формы и их комбинации......Page 112
2.9.2. Индексы Миллера......Page 117
2.10. Плоские группы G22......Page 121
2.11. Пространственные группы G33......Page 123
2.12. Другие группы Gnm ......Page 132
2.13. Цветная симметрия и подгруппы G44......Page 139
2.14. Обратная решетка......Page 143
2.15. Гиперпространственные группы несоразмерных фаз......Page 147
3.1. Основные понятия и примеры......Page 152
3.2. Теорема Машке......Page 159
3.3. Неприводимые представления абелевых групп......Page 161
3.4. Одномерные представления произвольных групп......Page 165
3.5. Неприводимые представления групп диэдра......Page 166
3.6. Лемма Шура и ее следствия......Page 168
3.7. Характеры представления......Page 171
3.8. Тензорные произведения представлений......Page 178
3.9. Индуцированные представления......Page 183
3.10. Неприводимые представления группы Sn......Page 186
3.11. Конечномерные неприводимые представления группы GL(n,С)......Page 193
3.12. Неприводимые представления пространственных групп......Page 194
3.13.1. Точечные и двойные группы......Page 196
3.13.2. Приведение представлений с помощью таблицы характеров......Page 201
3.14. Представления пространственных групп и симметрия особых точек зоны Бриллюэна......Page 203
4.1. Линейные группы Ли......Page 212
4.2. Алгебраическая структура на TG(E)......Page 223
4.3. Группы Ли и их представления: предварительные иллюстрации......Page 226
4.4. Кольца и алгебры......Page 239
4.5. Связные и несвязные группы Ли......Page 252
4.6. Алгебры Ли......Page 260
4.7. Представления компактных групп Ли......Page 261
4.8. Представления групп SU(2, С), SO(3,R), SO(4,R)......Page 265
4.9. Представления групп SL(2,C) и O(1,3)......Page 268
5.1. Алгебраические соотношения механики......Page 275
5.1.1. Классическая механика......Page 277
5.1.2. Релятивистская механика......Page 279
5.1.3. Квантовая механика......Page 281
5.1.4. Перестановки тождественных частиц: бозоны и фермионы......Page 285
5.2. Спектры и электронное строение многоатомных молекул......Page 290
5.2.1. Правила отбора в оптической спектроскопии......Page 292
5.2.2. Симметризованные молекулярные-орбитали......Page 299
5.2.3. Электронно-колебательные взаимодействия......Page 304
5.2.4. Химические приложения симметрии......Page 307
5.3.1. Матрица термодинамических коэффициентов......Page 310
5.3.2. Колебательные спектры кристаллов......Page 317
5.3.3. Зонная структура кристалла......Page 322
5.3.4. Электрон-фононное взаимодействие......Page 326
5.3.5. Приближение слабой связи......Page 329
5.3.6. Фазовые переходы в твердом теле......Page 333
5.3.7. Молекулярные кристаллы......Page 338
5.4.1. Одноэлектронные состояния атома и правила отбора......Page 344
5.4.2. Термы многоэлектронного атома......Page 348
5.4.3. Коэффициенты векторного сложения......Page 354
5.4.4. Теория поля лигандов......Page 360
5.4.5. Квантовые состояния атомных ядер......Page 361
5.4.6. Термы линейных молекул......Page 367
5.4.7. Вращательные состояния молекул и структурная нежесткость......Page 369
5.4.8. Ядерные спиновые состояния молекул......Page 375
5.5. Релятивистские инварианты элементарных частиц......Page 377
5.5.1. Квантовое поле......Page 378
5.5.2. Группа Пуанкаре и релятивистские инварианты......Page 383
5.5.3. Статистика, спин и четность......Page 386
5.5.4. Матрицы Дирака......Page 389
5.5.5. Изоспин и мультиплеты масс......Page 392
6.1. Доказательство теоремы Шенфлиса—Бибербаха......Page 398
6.2. Разрешимые и нильпотентные группы......Page 404
6.3. Квазикристаллы......Page 408
6.3.1. Математическая теория квазикристаллов......Page 411
6.3.2. Симметрии квазикристаллов......Page 423
6.4. Фазовые переходы и группа перенормировок......Page 429
6.5. Линейные группы и алгебры Хопфа......Page 435
6.6.1. Группы (ко)гомологий......Page 441
6.6.2. Гомотопические группы......Page 444
7.1. Матрицы......Page 446
7.2. Линейные пространства и подпространства......Page 448
7.3. Плоскости......Page 450
7.4. Билинейные и полуторалинейные функции......Page 451
7.5. Евклидовы и эрмитовы пространства......Page 454
7.6. Линейные операторы......Page 456
7.7.1. Сопряженный и нормальный операторы......Page 460
7.7.2. Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы......Page 464
7.9. Аффинные преобразования и движения......Page 467
7.10. Дуальное (двойственное) пространство......Page 469
7.11. Тензорные произведения и тензоры......Page 470
Приложения......Page 474
Список литературы......Page 498
Предметный указатель......Page 504
Оглавление......Page 508
Предисловие......Page 3
1.1. Определение группы......Page 6
1.2. Подгруппы......Page 25
1.3. Порядки элементов группы......Page 27
1.4. Циклические группы и их подгруппы......Page 28
1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа......Page 29
1.6. Гомоморфизмы и фактор-группы......Page 32
1.7. Классы сопряженных элементов......Page 41
1.8. Коммутант группы......Page 46
1.9. Прямые и полупрямые произведения групп......Page 49
1.10.1. Точечные группы......Page 56
1.10.2. Двойные группы......Page 70
1.10.3. Группы Лонге-Хиггинса......Page 71
2.1. Конечно порожденные абелевы группы......Page 74
2.2. Решетки в евклидовых пространствах......Page 82
2.3. Группа движений......Page 86
2.4. Двумерный случай......Page 91
2.5. Трехмерный случай......Page 95
2.6. Решетки Браве и их элементарные ячейки......Page 101
2.7. Международная система обозначений точечных групп......Page 106
2.8. Стереографическая проекция......Page 109
2.9.1. Простые формы и их комбинации......Page 112
2.9.2. Индексы Миллера......Page 117
2.10. Плоские группы G22......Page 121
2.11. Пространственные группы G33......Page 123
2.12. Другие группы Gnm ......Page 132
2.13. Цветная симметрия и подгруппы G44......Page 139
2.14. Обратная решетка......Page 143
2.15. Гиперпространственные группы несоразмерных фаз......Page 147
3.1. Основные понятия и примеры......Page 152
3.2. Теорема Машке......Page 159
3.3. Неприводимые представления абелевых групп......Page 161
3.4. Одномерные представления произвольных групп......Page 165
3.5. Неприводимые представления групп диэдра......Page 166
3.6. Лемма Шура и ее следствия......Page 168
3.7. Характеры представления......Page 171
3.8. Тензорные произведения представлений......Page 178
3.9. Индуцированные представления......Page 183
3.10. Неприводимые представления группы Sn......Page 186
3.11. Конечномерные неприводимые представления группы GL(n,С)......Page 193
3.12. Неприводимые представления пространственных групп......Page 194
3.13.1. Точечные и двойные группы......Page 196
3.13.2. Приведение представлений с помощью таблицы характеров......Page 201
3.14. Представления пространственных групп и симметрия особых точек зоны Бриллюэна......Page 203
4.1. Линейные группы Ли......Page 212
4.2. Алгебраическая структура на TG(E)......Page 223
4.3. Группы Ли и их представления: предварительные иллюстрации......Page 226
4.4. Кольца и алгебры......Page 239
4.5. Связные и несвязные группы Ли......Page 252
4.6. Алгебры Ли......Page 260
4.7. Представления компактных групп Ли......Page 261
4.8. Представления групп SU(2, С), SO(3,R), SO(4,R)......Page 265
4.9. Представления групп SL(2,C) и O(1,3)......Page 268
5.1. Алгебраические соотношения механики......Page 275
5.1.1. Классическая механика......Page 277
5.1.2. Релятивистская механика......Page 279
5.1.3. Квантовая механика......Page 281
5.1.4. Перестановки тождественных частиц: бозоны и фермионы......Page 285
5.2. Спектры и электронное строение многоатомных молекул......Page 290
5.2.1. Правила отбора в оптической спектроскопии......Page 292
5.2.2. Симметризованные молекулярные-орбитали......Page 299
5.2.3. Электронно-колебательные взаимодействия......Page 304
5.2.4. Химические приложения симметрии......Page 307
5.3.1. Матрица термодинамических коэффициентов......Page 310
5.3.2. Колебательные спектры кристаллов......Page 317
5.3.3. Зонная структура кристалла......Page 322
5.3.4. Электрон-фононное взаимодействие......Page 326
5.3.5. Приближение слабой связи......Page 329
5.3.6. Фазовые переходы в твердом теле......Page 333
5.3.7. Молекулярные кристаллы......Page 338
5.4.1. Одноэлектронные состояния атома и правила отбора......Page 344
5.4.2. Термы многоэлектронного атома......Page 348
5.4.3. Коэффициенты векторного сложения......Page 354
5.4.4. Теория поля лигандов......Page 360
5.4.5. Квантовые состояния атомных ядер......Page 361
5.4.6. Термы линейных молекул......Page 367
5.4.7. Вращательные состояния молекул и структурная нежесткость......Page 369
5.4.8. Ядерные спиновые состояния молекул......Page 375
5.5. Релятивистские инварианты элементарных частиц......Page 377
5.5.1. Квантовое поле......Page 378
5.5.2. Группа Пуанкаре и релятивистские инварианты......Page 383
5.5.3. Статистика, спин и четность......Page 386
5.5.4. Матрицы Дирака......Page 389
5.5.5. Изоспин и мультиплеты масс......Page 392
6.1. Доказательство теоремы Шенфлиса—Бибербаха......Page 398
6.2. Разрешимые и нильпотентные группы......Page 404
6.3. Квазикристаллы......Page 408
6.3.1. Математическая теория квазикристаллов......Page 411
6.3.2. Симметрии квазикристаллов......Page 423
6.4. Фазовые переходы и группа перенормировок......Page 429
6.5. Линейные группы и алгебры Хопфа......Page 435
6.6.1. Группы (ко)гомологий......Page 441
6.6.2. Гомотопические группы......Page 444
7.1. Матрицы......Page 446
7.2. Линейные пространства и подпространства......Page 448
7.3. Плоскости......Page 450
7.4. Билинейные и полуторалинейные функции......Page 451
7.5. Евклидовы и эрмитовы пространства......Page 454
7.6. Линейные операторы......Page 456
7.7.1. Сопряженный и нормальный операторы......Page 460
7.7.2. Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы......Page 464
7.9. Аффинные преобразования и движения......Page 467
7.10. Дуальное (двойственное) пространство......Page 469
7.11. Тензорные произведения и тензоры......Page 470
Приложения......Page 474
Список литературы......Page 498
Предметный указатель......Page 504
Оглавление......Page 508
