Квантовая теория полей [Том 1. Основы. Главы 1 — 14]

Citation preview

ɋɬɢɜɟɧ ȼɚɣɧɛɟɪɝ

ɄȼȺɇɌɈȼȺə ɌȿɈɊɂə ɉɈɅȿɃ

Ɍɨɦ 1

Ɉɫɧɨɜɵ

Ƚɥɚɜɵ

1 – 14

GZ ij Z\Zo H mdZa u\Z_ f bkdexqbl_evgh

hfm gZ gb`g_f ^ey ebqgh]h

jmdhib kb

dhehglblme_ ih evah\Zgby

Перевод на русский язык А. В. Беркова под редакцией Б. Л. Воронова с исправлениями на 03.03.2001 I_j_ \h^ gZ jmkk dbc yaud dnfg: 1/2 (â ñîîòâåòñòâèè ñî çíà÷åíèÿìè l, ðàâíûìè j ± 1/2). Íåñìîòðÿ íà ýòè óñïåõè, âñå åùå íå ñóùåñòâîâàëî ïîñëåäîâàòåëüíîé ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè, ñ ñàìîãî íà÷àëà âêëþ÷àâøåé ñïèí ýëåêòðîíà. Òàêóþ òåîðèþ ïîñòðîèë â 1928 ãîäó Ïîëü Äèðàê. Îäíàêî îí íå ïûòàëñÿ ïðîñòî ñîçäàòü ðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðèþ âðàùàþùåãîñÿ ýëåêòðîíà. Äèðàê ïîäîøåë ê çàäà÷å, ïîñòàâèâ âîïðîñ, êàæóùèéñÿ â íàøè äíè î÷åíü ñòðàííûì.  íà÷àëå ñâîåé ñòàòüè 1928 ãîäà 15 îí ñïðàøèâàåò, «ïî÷åìó Ïðèðîäà âûáðàëà èìåííî ýòó ìîäåëü ýëåêòðîíà, âìåñòî òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòüñÿ òî÷å÷íûì çàðÿäîì». Äëÿ íàñ ñåãîäíÿ ýòî çâó÷èò ïðèìåðíî òàê æå, êàê âîïðîñ î òîì, ïî÷åìó áàêòåðèÿ ñîñòîèò èç îäíîé êëåòêè. Cïèí $/2 — ïðîñòî îäíî èç ñâîéñòâ, îïðåäåëÿþùèõ èìåííî ýëåêòðîí, è îòëè÷àþùåå ýòó ÷àñòèöó îò ìíîæåñòâà äðóãèõ èçâåñòíûõ â íàøè äíè ÷àñòèö ñ ðàçíûìè ñïèíàìè. Îäíàêî â 1928 ãîäó íå âîçáðàíÿëîñü âåðèòü, ÷òî âñå âåùåñòâî ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ è ïîõîæèõ íà íèõ ÷àñòèö, íî ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ àòîìíîãî ÿäðà. Ïîýòîìó â äóõå òîãî âðåìåíè ìîæíî òàê ïåðåôîðìóëèðîâàòü âîïðîñ Äèðàêà: «Ïî÷åìó ôóíäàìåíòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåùåñòâà äîëæíû èìåòü ñïèí $/2?»

1.1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ âîëíîâàÿ ìåõàíèêà

9

Äëÿ Äèðàêà êëþ÷îì ê îòâåòó íà ýòîò âîïðîñ áûëî òðåáîâàíèå ïîëîæèòåëüíîñòè âåðîÿòíîñòåé. Áûëî èçâåñòíî 16, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ðàâíà |ψ|2, ïðè÷åì îíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè âèäà: ∂

ih ∇ ⋅ d ψ ∇ψ − ψ∇ψ i = 0, | ψ| i − d 2m ∂t 2

*

*

òàê ÷òî èíòåãðàë îò |ψ|2 ïî ïðîñòðàíñòâó íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åäèíñòâåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ρ è ïëîòíîñòè òîêà J, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü èç ðåøåíèé ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, è êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ∂ρ ∂t

èìåþò âèä

+ ∇ ⋅ J = 0,

FG ∂ − ieϕ IJ ψ , H ∂t h K F ieA IJ ψ , Im ψ G ∇ + H hK

ρ = N Im ψ * J = Nc2

*

(1.1.10)

(1.1.11)

(1.1.12)

ãäå N — ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Íåâîçìîæíî ñ÷èòàòü ρ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè, òàê êàê è ïðè íàëè÷èè, è â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ïîòåíöèàëà ϕ ïëîòíîñòü ρ íå èìååò îïðåäåëåííîãî çíàêà. Ïðîöèòèðóåì âîñïîìèíàíèÿ Äèðàêà 17 ïî ýòîìó ïîâîäó: «Âñïîìèíàþ, ÷òî êàê-òî â Êîïåíãàãåíå Áîð ñïðîñèë ìåíÿ, íàä ÷åì ÿ ðàáîòàþ, è ÿ ðàññêàçàë, ÷òî ïûòàþñü ïîñòðîèòü óäîâëåòâîðèòåëüíóþ ðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðèþ ýëåêòðîíà. Áîð îòâåòèë: “Íî âåäü ýòî óæå ñäåëàëè Êëåéí è Ãîðäîí!” Ïîíà÷àëó òàêîé îòâåò ìåíÿ êðàéíå îáåñêóðàæèë. Êàçàëîñü, ÷òî Áîð âïîëíå óäîâëåòâîðåí ðåøåíèåì Êëåéíà, ìåíÿ æå îíî ñîâåðøåííî íå óñòðàèâàëî èç-çà âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì îòðèöàòåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé. Íî ÿ íå ñäàëñÿ è ïðîäîëæàë ïîèñê òåîðèè, â êîòîðîé áûëè áû òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè». Êàê óòâåðæäàåò Ãåîðãèé Ãàìîâ 18, Äèðàê íàøåë ðåøåíèå ïðîáëåìû îäíàæäû âå÷åðîì â 1928 ãîäó, êîãäà îí ñèäåë, óñòàâèâøèñü

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

10

â îãîíü êàìèíà â êîëëåäæå ñâ. Èîàííà â Êåìáðèäæå. Äèðàê ïîíÿë, ÷òî óðàâíåíèå Êëåéíà−Ãîðäîíà (èëè ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà) ïðèâîäèò ê îòðèöàòåëüíûì âåðîÿòíîñòÿì ïîòîìó, ÷òî ïëîòíîñòü ρ â óðàâíåíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (1.1.10) ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå âîëíîâîé ôóíêöèè ïî âðåìåíè. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Çàäà÷à, òàêèì îáðàçîì, çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òîáû çàìåíèòü ýòî âîëíîâîå óðàâíåíèå äðóãèì óðàâíåíèåì, êóäà áû âõîäèëè ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ïåðâîãî ïîðÿäêà, êàê â íåðåëÿòèâèñòñêîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà ÿâëÿåòñÿ ìíîãîêîìïîíåíòíîé âåëè÷èíîé ψn(x), óäîâëåòâîðÿþùåé âîëíîâîìó óðàâíåíèþ âèäà ih

∂ψ

= H ψ,

∂t

(1.1.13)

ãäå Í − íåêîòîðàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå ëèíåéíî ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé òåîðèè ìû äîëæíû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíî òàêæå ëèíåéíî è ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì, èíûìè ñëîâàìè, H èìååò âèä H = − ihcα ⋅ ∇ + α 4 mc 2 ,

(1.1.14)

ãäå α1, α2, α3 è α4 — ïîñòîÿííûå ìàòðèöû. Èç (1.1.13) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà: − h2

∂2 ψ ∂t 2

= H 2 ψ = − h 2 c 2α i α j

∂2 ψ ∂x i ∂x j

− ihmc3 α i α 4 + α 4α i

b

g ∂∂ψx + m c α ψ . 2 4 2 4

i

(Çäåñü ïðèíÿòî ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì: i, j ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3 èëè x, y, z.) Íî ýòî óðàâíåíèå äîëæíî ñîãëàñîâûâàòüñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêèì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîãî ïîëÿ (1.1.4), âûðàæàþùèì ïðîñòî ðåëÿòèâèñòñêóþ ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì. Ïîýòîìó ìàòðèöû α è α4 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì:

1.1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ âîëíîâàÿ ìåõàíèêà

11

α i α j + α j α i = 2δ ij I,

(1.1.15)

α i α 4 + α 4α i = 0,

(1.1.16)

α 24 = I,

(1.1.17)

ãäå δij — ñèìâîë Êðîíåêåðà (1 ïðè i = j; 0 ïðè i ≠ j), à I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Äèðàê íàøåë íàáîð ìàòðèö 4 × 4, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì ñîîòíîøåíèÿì:

α1 =

α3

LM0 MM0 MM0 N1

LM0 0 = MM MM1 N0

OP 0P , 0P P 0PQ 0O P −1P , 0P P 0 PQ

LM0 0 = MM MM0 Ni LM1 0 = MM MM0 N0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

1

0

0

0

0

−1 0

α2

α4

0

0

0

i

−i

0

0

0

0

0

−1 0 0

1

0

0

−i

OP 0P , 0P P 0 PQ 0O P 0P . 0P P −1PQ

(1.1.18)

×òîáû äîêàçàòü ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü ðàçâèòîãî ôîðìàëèçìà, Äèðàê óìíîæèë (1.1.13) ñëåâà íà α4, òàê ÷òî óðàâíåíèå ñòàëî âîçìîæíûì çàïèñàòü â âèäå: ∂ hcγ µ + mc2 ψ = 0, (1.1.19) µ ∂x

FG H

IJ K

γ ≡ − iα 4 α , γ 0 ≡ − iα 4 .

(1.1.20)

(Ãðå÷åñêèå èíäåêñû µ, ν, è ò. ä. ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, 0, ïðè÷åì x0 = ct. Äèðàê èñïîëüçîâàë â ñâîåé ðàáîòå x4 = ict è ïîýòîìó γ4 = α4.) Ìàòðèöû γµ óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì àíòèêîììóòàöèè: 1 2

dγ

µ ν

ν µ

γ +γ γ

i=η

µν

R| +1, ≡ S −1, |T 0,

µ = ν = 1,2,3, µ = ν = 0, µ ≠ ν.

(1.1.21)

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

12

Äèðàê çàìåòèë, ÷òî ýòè ñîîòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî ìàòðèöû Λµνγν, ãäå Λ — ïðîèçâîëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà, òàêæå èì óäîâëåòâîðÿþò. Îòñþäà Äèðàê ñäåëàë âûâîä, ÷òî Λµνγν äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ñ γµ íåêîòîðûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ

Λµ ν γ ν = S −1 Λ γ µ S Λ .

bg bg

Ñëåäîâàòåëüíî âîëíîâîå óðàâíåíèå îêàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì, åñëè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà xµ → Λµνxν âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïîäâåðãàåòñÿ ìàòðè÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ψ → S(Λ)ψ. (Áîëåå ïîäðîáíî ýòè âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ â ãë. 5 ñ íåñêîëüêî èíîé òî÷êè çðåíèÿ.) Äëÿ èçó÷åíèÿ ïîâåäåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ïðîèçâîëüíîì âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå Äèðàê âîñïîëüçîâàëñÿ «îáû÷íîé ïðîöåäóðîé», ñäåëàâ òå æå çàìåíû ih

∂ ∂t

→ ih

∂ ∂t

+ eϕ ,

− ih ∇ → − ih ∇ +

e c

A,

(1.1.22)

÷òî è â (1.1.4). Â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå (1.1.13) ïðèíèìàåò âèä:

FG ih ∂ + eϕIJ ψ = FG − ih∇ + e AIJ ⋅ αψ + mc α ψ . H ∂t K H c K 2

4

(1.1.23)

Ñ ïîìîùüþ ýòîãî óðàâíåíèÿ Äèðàê ïîêàçàë, ÷òî óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà â öåíòðàëüíîì ïîëå èìååò âèä H ,− ihr × ∇ + h / 2 = 0, s

(1.1.24)

ãäå H − ìàòðè÷íûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð (1.1.14), à 4×4−îáîáùåíèå ñïèíîâûõ ìàòðèö, ðàíåå ââåäåííûõ Ïàóëè 19:

s

F0 GG 0 = GG 1 H0

I 1J J 0J J 0K

s

—

0 1 0 0 0 0 0 1 0

a

.

(1.1.25)

1.1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ âîëíîâàÿ ìåõàíèêà

13

Òàê êàê êàæäàÿ êîìïîíåíòà èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ± 1, òî íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíîãî ñëàãàåìîãî â (1.1.24) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåêòðîí îáëàäàåò âíóòðåííèì óãëîâûì ìîìåíòîì $/2. Äèðàê òàêæå êâàäðèðîâàë óðàâíåíèå (1.1.23) è ïîëó÷èë óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Îêàçàëîñü, ÷òî îíî èìååò òîò æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå Êëåéíà−Ãîðäîíà (1.1.4), çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè: s

− ehc ⋅ B − iehc ⋅ E ψ. s

(1.1.26)

a

 ñëó÷àå ìåäëåííî äâèæóùåãîñÿ ýëåêòðîíà äîìèíèðóåò ïåðâîå ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàãíèòíîìó ìîìåíòó, çíà÷åíèå êîòîðîãî ñîãëàñóåòñÿ ñ íàéäåííûì Óëåíáåêîì è Ãàóäñìèòîì 11 çíà÷åíèåì (1.1.8). Êàê çàìåòèë Äèðàê, òàêîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ ó÷åòîì ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóêòóðû òåîðèè ïðèâîäèò ê ïðàâèëüíîé ñòðóêòóðå òîíêîãî ðàñùåïëåíèÿ â ñîãëàñèè (ñ òî÷íîñòüþ äî α4mc2) ñ ðåçóëüòàòàìè Ãåéçåíáåðãà, Èîðäàíà è ×àðëüçà Ã. Äàðâèíà 13. ×óòü ïîçäíåå Äàðâèí 20 è Ãîðäîí 21 âûâåëè «òî÷íóþ» ôîðìóëó äëÿ óðîâíåé ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà â ðàìêàõ òåîðèè Äèðàêà:

F α G E = mc G 1 + GH {n − j − 21 + [(j + 21) 2

2

2

−α ]

2 1/ 2

I JJ }J K

−1/ 2

.

(1.1.27)

Ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè ýòîãî âûðàæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì α2 ñîãëàñóþòñÿ ñ ïðèáëèæåííûì âûðàæåíèåì (1.1.9). Ïîñòðîåííàÿ òåîðèÿ óäîâëåòâîðÿëà òðåáîâàíèÿì, âûäâèíóòûì Äèðàêîì: ôîðìàëèçì äîëæåí áûòü ðåëÿòèâèñòñêèì, à âåðîÿòíîñòè — ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíûìè. Èç (1.1.13) è (1.1.14) ìîæíî âûâåñòè óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè: ∂ρ ∂t

+ ∇ ⋅ J = 0,

ρ = ψ , J = cψ + αψ , 2

(1.1.28) (1.1.29)

òàê ÷òî ïîëîæèòåëüíóþ âåëè÷èíó |ψ|2 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, ïðè÷åì ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà èíòåãðàëó 2 3 îò êâàäðàòà ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè | ψ| d x .

z

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

14

Îäíàêî âîçíèêëà íîâàÿ ïðîáëåìà, êîòîðóþ Äèðàê íå ñóìåë ñðàçó ðàçðåøèòü. Ïðè çàäàííîì èìïóëüñå p âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.1.13) èìååò ÷åòûðå ðåøåíèÿ â âèäå ïëîñêèõ âîëí: i p ⋅ x − Et . ψ ∝ exp (1.1.30) h

LM b N

gOPQ

Äâà ðåøåíèÿ ñ E = + p2 c 2 + m 2 c 4 ñîîòâåòñòâóþò äâóì ñïèíîâûì ñîñòîÿíèÿì ýëåêòðîíà ñ ïðîåêöèÿìè ñïèíà ± $/2. Ó äâóõ äðóãèõ ðåøåíèé E = − p2 c 2 + m 2 c 4 , è îíè íå èìåþò ÿñíîé ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. Êàê îòìåòèë Äèðàê, ýòà æå ïðîáëåìà âîçíèêàåò è äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà: ïðè êàæäîì p ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ âèäà (1.1.30), îäíî — ñ ïîëîæèòåëüíûì, äðóãîå — ñ îòðèöàòåëüíûì çíà÷åíèåì Å. Êîíå÷íî, äàæå â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ðåëÿòèâèñòñêîå ñîîòíîøåíèå E2= p2c2 + m2c4 èìååò äâà ðåøåíèÿ: E = ± p2 c 2 + m 2 c 4 . Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðîñòî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôèçè÷åñêèìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî òå ÷àñòèöû, ó êîòîðûõ Å ïîëîæèòåëüíî. Òàê êàê ó ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé E > mc2, à ó îòðèöàòåëüíûõ E < − mc2, ìåæäó ýòèìè ðåøåíèÿìè ñóùåñòâóåò ùåëü êîíå÷íîé âåëè÷èíû, ïðè÷åì íèêàêèì íåïðåðûâíûì âîçäåéñòâèåì íåâîçìîæíî ïåðåâåñòè ÷àñòèöó èç ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé â ñîñòîÿíèå ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé.  ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðîáëåìà ñ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè ïðåäñòàâëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå ñåðüåçíîé. Êàê çàìåòèë Äèðàê â ðàáîòå 1928 ãîäà, âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà ñ èçëó÷åíèåì ìîæåò ïðèâåñòè ê ïåðåõîäàì, â êîòîðûõ ýëåêòðîí ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, à èçáûòî÷íàÿ ýíåðãèÿ óíîñèòñÿ äâóìÿ èëè áîëåå ôîòîíàìè. Ïî÷åìó æå òîãäà âåùåñòâî ñòàáèëüíî?  1930 ãîäó Äèðàê ïðåäëîæèë íåîáû÷íîå ðåøåíèå ïðîáëåìû. Îíî áûëî îñíîâàíî íà ïðèíöèïå çàïðåòà, òàê ÷òî óìåñòíî ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ îá èñòîðèè ýòîãî ïðèíöèïà. Èçó÷åíèå ïåðèîäè÷åñêîé òàáëèöû ýëåìåíòîâ, à òàêæå ñèñòåìàòèêà ðåíòãåíîâñêèõ ñïåêòðîâ âûÿâèëè îïðåäåëåííûå çàêîíîìåðíîñòè çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîíàìè ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé àòîìîâ 23: ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ Nn íà îáîëî÷êå, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì n, âäâîå áîëüøå ÷èñëà ðàçëè÷íûõ îðáèòàëüíûõ ñîñòîÿíèé ñ äàííûì n:

1.1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ âîëíîâàÿ ìåõàíèêà

Nn = 2

15

n −1

∑ b2l + 1g = 2n2 = 2, l =0

8, 18, . . .

(1.1.31)

 1925 ãîäó Âîëüôãàíã Ïàóëè âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïîäîáíóþ ñòðóêòóðó ìîæíî ïîíÿòü, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî Nn ðàâíî ïîëíîìó ÷èñëó âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé íà n-îé îáîëî÷êå, è êðîìå òîãî ñóùåñòâóåò íåêèé òàèíñòâåííûé ïðèíöèï çàïðåòà, çàïðåùàþùèé áîëåå, ÷åì îäíîìó ýëåêòðîíó íàõîäèòüñÿ â äàííîì ñîñòîÿíèè. Ïàóëè ïðèïèñàë çàãàäî÷íûé ìíîæèòåëü 2 â (1.1.31) «íåîáû÷íîé, êëàññè÷åñêè íåîáúÿñíèìîé äâîéñòâåííîñòè» ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé, ÷òî, êàê ìû âèäåëè, ÷óòü ïîçäíåå áûëî ñâÿçàíî ñî ñïèíîì ýëåêòðîíà 11. Ïðèíöèï çàïðåòà äàë îòâåò íà âîïðîñ, îñòàâàâøèéñÿ íåÿñíûì â ñòàðîé òåîðèè Áîðà è Çîììåðôåëüäà: ïî÷åìó âñå ýëåêòðîíû â òÿæåëûõ àòîìàõ íà ïàäàþò íà îáîëî÷êó ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé? Çàòåì ïðèíöèï çàïðåòà Ïàóëè áûë ôîðìàëèçîâàí ðÿäîì àâòîðîâ 25 êàê òðåáîâàíèå, ÷òîáû âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîýëåêòðîííîé ñèñòåìû áûëà áû àíòèñèììåòðè÷íîé ïî ïðîñòðàíñòâåííûì è ñïèíîâûì êîîðäèíàòàì âñåõ ýëåêòðîíîâ. Ýíðèêî Ôåðìè 26 è Äèðàê 27 âêëþ÷èëè ýòîò ïðèíöèï â ñòàòèñòè÷åñêóþ ìåõàíèêó, òàê ÷òî ÷àñòèöû, ïîä÷èíÿþùèåñÿ ïðèíöèïó çàïðåòà, ñòàëè íàçûâàòü îáùèì òåðìèíîì ôåðìèîíû, â òî âðåìÿ, êàê ÷àñòèöû òèïà ôîòîíîâ, äëÿ êîòîðûõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèììåòðè÷íà è êîòîðûå ïîä÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå Áîçå è Ýéíøòåéíà, ïîëó÷èëè íàçâàíèå áîçîíîâ. Ïðèíöèï çàïðåòà ñûãðàë âàæíåéøóþ ðîëü â òåîðèè ìåòàëëîâ, áåëûõ êàðëèêîâ è íåéòðîííûõ çâåçä è ò. ï., à òàêæå â õèìèè è àòîìíîé ôèçèêå, íî îáñóæäåíèå ýòèõ âîïðîñîâ óâåäåò íàñ ñëèøêîì äàëåêî îò îñíîâíîé òåìû. Ãèïîòåçà Äèðàêà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî ýëåêòðîíû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýíåðãèÿìè íå ìîãóò ïåðåéòè â ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, òàê êàê «âñå ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé çàíÿòû, áûòü ìîæåò, çà èñêëþ÷åíèåì íåñêîëüêèõ ñîñòîÿíèé ñ ìàëûìè ñêîðîñòÿìè». Ýòè âàêàíòíûå ñîñòîÿíèÿ èëè «äûðêè» â ìîðå ýëåêòðîíîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè âåäóò ñåáÿ êàê ÷àñòèöû ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíà÷åíèÿìè êâàíòîâûõ ÷èñåë: ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé è ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì. Åäèíñòâåííîé ÷àñòèöåé ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì, èçâåñòíîé ê òîìó âðåìåíè, áûë ïðîòîí, è êàê ïîçäíåå âñïîìèíàë Äèðàê 27à, «âñÿ íàó÷íàÿ àòìîñôåðà â òå âðåìåíà ïðîòèâèëàñü ââåäåíèþ íîâûõ ÷àñòèö». Ïîýòîìó Äèðàê îòîæäåñòâèë ñâîè äûðêè ñ ïðîòîíàìè; äåéñòâèòåëüíî,

16

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

åãî ñòàòüÿ 1930 ãîäà 22 òàê è íàçûâàëàñü — «Òåîðèÿ ýëåêòðîíîâ è ïðîòîíîâ». Òåîðèÿ äûðîê íåìåäëåííî ñòîëêíóëàñü ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè. Îäíà î÷åâèäíàÿ ïðîáëåìà áûëà ñâÿçàíà ñ áåñêîíå÷íîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà âåçäåñóùèõ ýëåêòðîíîâ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé: ãäå æå òîãäà ñîçäàâàåìîå èìè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå? Äèðàê ïðåäëîæèë èíòåðïðåòèðîâàòü ïëîòíîñòü çàðÿäà, âõîäÿùóþ â óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, êàê «îòêëîíåíèå îò íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðèçàöèè ìèðà». Äðóãàÿ ïðîáëåìà áûëà ñâÿçàíà ñ êîëîññàëüíîé ðàçíèöåé íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé ìàññ è âçàèìîäåéñòâèé ýëåêòðîíîâ è ïðîòîíîâ. Äèðàê íàäåÿëñÿ, ÷òî êóëîíîâñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè êàêèì-òî îáðàçîì îáúÿñíÿò òàêóþ ðàçíèöó, íî Ãåðìàí Âåéëü 28 ïîêàçàë, ÷òî òåîðèÿ äûðîê ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íà ïî îòíîøåíèþ ê îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäàì. Íàêîíåö, Äèðàê 22 ïðåäñêàçàë ñóùåñòâîâàíèå ïðîöåññà ýëåêòðîí−ïðîòîííîé àííèãèëÿöèè, â êîòîðîì ýëåêòðîí ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâóåò ñ äûðêîé â ìîðå ýëåêòðîíîâ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, è ïîïàäàåò íà ýòîò íåçàíÿòûé óðîâåíü, èñïóñêàÿ ïàðó ãàììà−êâàíòîâ. Ñàìî ïî ñåáå ýòî íå ñîçäàâàëî äîïîëíèòåëüíûõ òðóäíîñòåé äëÿ òåîðèè äûðîê. Áîëåå òîãî, âûñêàçûâàëèñü íàäåæäû, ïîçäíåå íå îïðàâäàâøèåñÿ, ÷òî òàêèì îáðàçîì óäàñòñÿ îáúÿñíèòü èñòî÷íèê ýíåðãèè çâåçä. Îäíàêî âñêîðå Þëèóñ Ðîáåðò Îïïåíãåéìåð è Èãîðü Òàìì îòìåòèëè 29, ÷òî ýëåêòðîí-ïðîòîííàÿ àííèãèëÿöèÿ â àòîìàõ áóäåò ïðîèñõîäèòü ñî ñêîðîñòüþ, íåñîâìåñòèìîé ñ íàáëþäàåìîé ñòàáèëüíîñòüþ îáû÷íîãî âåùåñòâà. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì â 1931 ãîäó Äèðàê èçìåíèë ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ è ðåøèë, ÷òî äûðêè äîëæíû ïðîÿâëÿòüñÿ íå êàê ïðîòîíû, à êàê íîâûé ñîðò ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ ìàññîé, ðàâíîé ìàññå ýëåêòðîíà 29à. Âòîðàÿ è òðåòüÿ ïðîáëåìû áûëè óñòðàíåíû ïîñëå òîãî, êàê Êàðë Àíäåðñîí, ïî-âèäèìîìó íè÷åãî íå çíàâøèé î ïðåäñêàçàíèè Äèðàêà, îòêðûë ïîçèòðîí 30. 2 àâãóñòà 1932 ãîäà â êàìåðå Âèëüñîíà, ïîìåùåííîé â ìàãíèòíîå ïîëå èíäóêöèåé 15 êÃñ, áûë çàðåãèñòðèðîâàí íåîáû÷íûé òðåê îò ÷àñòèö êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòîò òðåê áûë èñêðèâëåí â íàïðàâëåíèè, ñâèäåòåëüñòâîâàâøåì î ïîëîæèòåëüíîì çàðÿäå ÷àñòèöû, ïðè÷åì åãî ïðîòÿæåííîñòü áûëà ïî ìåíüøåé ìåðå â äåñÿòü ðàç áîëüøå, ÷åì ìîæíî áûëî îæèäàòü äëÿ ïðîòîíà! È êðèâèçíà, è óäåëüíàÿ èîíèçàöèÿ òðåêà áûëè ñîâìåñòèìû ñ ãèïîòåçîé, ÷òî ýòî ñëåä íîâîé ÷àñòèöû, îòëè÷àþùåéñÿ îò ýëåêòðîíà òîëüêî çíàêîì çàðÿäà, êàê è îæèäàëîñü äëÿ îäíîé èç äèðàêîâñêèõ äûðîê.

1.1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ âîëíîâàÿ ìåõàíèêà

17

(Åùå ðàíåå ýòî æå îòêðûòèå áûëî ñäåëàíî Ï. Ì. Áëåêêåòîì, îäíàêî îí åãî íå îïóáëèêîâàë ñðàçó æå. Àíäåðñîí öèòèðóåò ñîîáùåíèÿ ïðåññû î ïîëó÷åííûõ Áëåêêåòîì è Äæóçåïïå Îêêèàëèíè ñâèäåòåëüñòâàõ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â òðåêàõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé.) Òàê îêàçàëîñü, ÷òî Äèðàê áûë íå ïðàâ òîëüêî â ñâîåì ïåðâîíà÷àëüíîì îòîæäåñòâëåíèè äûðîê ñ ïðîòîíàìè. Îòêðûòèå áîëåå èëè ìåíåå ïðåäñêàçàííîãî ïîçèòðîíà, à òàêæå ïðåäûäóùèå óñïåõè óðàâíåíèÿ Äèðàêà â îáúÿñíåíèè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà è òîíêîé ñòðóêòóðû ñïåêòðîâ âîäîðîäà ïîäíÿëè òåîðèþ Äèðàêà íà ïüåäåñòàë, íà êîòîðîì îíà íàõîäèòñÿ óæå áîëåå øåñòè äåñÿòèëåòèé. Õîòÿ è íåò ñîìíåíèé â òîì, ÷òî òåîðèÿ Äèðàêà â êàêîé-òî ôîðìå âûæèâåò â ëþáîé áóäóùåé ôèçè÷åñêîé òåîðèè, âñå æå åñòü ñåðüåçíûå îñíîâàíèÿ áûòü íåóäîâëåòâîðåííûìè åå èñõîäíûìè ïîñûëêàìè. 1. Ïðîäåëàííûé Äèðàêîì àíàëèç òðóäíîñòåé ñ îòðèöàòåëüíûìè âåðîÿòíîñòÿìè, âîçíèêàþùèìè ïðè ðàññìîòðåíèè ðåëÿòèâèñòñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, êàçàëîñü, èñêëþ÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ëþáûõ ÷àñòèö ñ íóëåâûì ñïèíîì. Íî äàæå â 1920-õ ãîäàõ òàêèå ÷àñòèöû áûëè èçâåñòíû — íàïðèìåð àòîì âîäîðîäà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè èëè ÿäðî ãåëèÿ. Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî ïûòàòüñÿ âîçðàæàòü, ÷òî àòîìû âîäîðîäà è àëüôà-÷àñòèöû íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè è ïîýòîìó íå äîëæíû îïèñûâàòüñÿ ðåëÿòèâèñòñêèìè âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè. Îäíàêî, íå áûëî ÿñíî (è ïðîäîëæàåò îñòàâàòüñÿ íåÿñíûì), êàê âêëþ÷èòü èäåþ ýëåìåíòàðíîñòè â ôîðìàëèçì ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè.  íàøè äíè èçâåñòíî áîëüøîå ÷èñëî ÷àñòèö ñî ñïèíîì íóëü — π-ìåçîíû, K-ìåçîíû è ò. ä., êîòîðûå íå ìåíåå ýëåìåíòàðíû, ÷åì ïðîòîí èëè íåéòðîí. Íàì èçâåñòíû òàêæå ÷àñòèöû ñî ñïèíîì åäèíèöà — W± è Z0, ñòîëü æå ýëåìåíòàðíûå, êàê ýëåêòðîí èëè ëþáàÿ äðóãàÿ ÷àñòèöà. Íàêîíåö, åñëè íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ýôôåêòû ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â íàøè äíè ìû áû ðàññ÷èòûâàëè òîíêóþ ñòðóêòóðó óðîâíåé «ìåçîàòîìîâ», ñîñòîÿùèõ èç áåññïèíîâûõ îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ π- èëè K-ìåçîíîâ, ñâÿçàííûõ ñ àòîìíûì ÿäðîì, èñõîäÿ èç ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà−Ãîðäîíà−Øðåäèíãåðà! Èòàê, òðóäíî ñîãëàñèòüñÿ ñ òåì, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì íóëü ñîäåðæèò â ñåáå ÷òî-òî ôóíäàìåíòàëüíî íåïðàâèëüíîå, ÷òî âûíóæäàåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ Äèðàêà — äåëî ïðîñòî â òîì, ÷òî ñïèí ýëåêòðîíà ðàâåí $/2, à íå íóëþ.

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

18

2. Íàñêîëüêî íàì ñåé÷àñ èçâåñòíî, êàæäîìó ñîðòó ÷àñòèö ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ «àíòè÷àñòèöà» ñ òîé æå ìàññîé è ïðîòèâîïîëîæíûì çàðÿäîì. (Íåêîòîðûå èñòèííî íåéòðàëüíûå ÷àñòèöû, âðîäå ôîòîíà, ÿâëÿþòñÿ àíòè÷àñòèöàìè äëÿ ñàìèõ ñåáÿ.) Îäíàêî, êàê æå ìû ìîæåì èíòåðïðåòèðîâàòü àíòè÷àñòèöû çàðÿæåííûõ áîçîíîâ, íàïðèìåð, π ± èëè W ±, êàê äûðêè â ìîðå ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé? Âåäü äëÿ ÷àñòèö, êâàíòîâàííûõ ïî ïðàâèëàì ñòàòèñòèêè Áîçå−Ýéíøòåéíà, ïðèíöèï èñêëþ÷åíèÿ íå äåéñòâóåò è íè÷òî íå ïðåïÿòñòâóåò ÷àñòèöå ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé ïåðåéòè â ñîñòîÿíèå ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, íåçàâèñèìî îò òîãî, çàíÿòî îíî èëè íåò. Íî åñëè òåîðèÿ äûðîê íåïðèìåíèìà äëÿ áîçîííûõ àíòè÷àñòèö, ïî÷åìó, ñïðàøèâàåòñÿ, åé ñëåäóåò äîâåðÿòü â ñëó÷àå ôåðìèîíîâ? ß ðàññïðàøèâàë Äèðàêà â 1972 ãîäó, ÷òî îí äóìàë â ñâîå âðåìÿ ïî ýòîìó ïîâîäó. Îí îòâåòèë, ÷òî íå âîñïðèíèìàë áîçîíû òèïà ïèîíà èëè W± êàê «ñóùåñòâåííûå». Íåñêîëüêèìè ãîäàìè ñïóñòÿ, â ëåêöèè 29à Äèðàê îòìåòèë, ÷òî «ìû íå èìååì áîëåå êàðòèíû âàêóóìà, â êîòîðîì ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé çàïîëíåíû», è ïîä÷åðêíóë, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå «âñÿ òåîðèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëåå ñëîæíîé».  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, êàê â ðåçóëüòàòå ðàçâèòèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ èíòåðïðåòàöèÿ àíòè÷àñòèö êàê äûðîê ñòàëà íåíóæíîé, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äî ñèõ ïîð îíà, ê ñîæàëåíèþ, ïðîñà÷èâàåòñÿ íà ñòðàíèöû ìíîãèõ ó÷åáíèêîâ. Ïðîöèòèðóåì Äæóëèàíà Øâèíãåðà 30à: «Êàðòèíà áåñêîíå÷íîãî ìîðÿ ýëåêòðîíîâ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåé÷àñ â ëó÷øåì ñëó÷àå êàê èñòîðè÷åñêèé êóðüåç è ïðî÷íî çàáûòà». 3. Îäíèì èç áîëüøèõ óñïåõîâ òåîðèè Äèðàêà áûëî ïðàâèëüíîå ïðåäñêàçàíèå âåëè÷èíû ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà. Îíî îñîáåííî ïîðàæàëî ïîòîìó, ÷òî ìàãíèòíûé ìîìåíò (1.1.8) îêàçàëñÿ âäâîå áîëüøå, ÷åì ìîæíî áûëî áû îæèäàòü â ñëó÷àå îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ óãëîâûì ìîìåíòîì $/2. Ýòîò ìíîæèòåëü 2 îñòàâàëñÿ çàãàäêîé âïëîòü äî ñîçäàíèÿ òåîðèè Äèðàêà. Îäíàêî, íà ñàìîì äåëå, â ëèíèè ðàññóæäåíèé Äèðàêà íåò íè÷åãî, ÷òî áåçîãîâîðî÷íî ïðèâîäèò èìåííî ê òàêîìó çíà÷åíèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Êîãäà ìû âêëþ÷àåì â âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.1.23) âçàèìîäåéñòâèå ñ ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, ìû ìîæåì ñ óñïåõîì äîáàâèòü «ïàóëèåâñêîå ñëàãàåìîå» 31 κα4[γµ, γν]ψFµν

(1.1.32)

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

19

ñ ïðîèçâîëüíûì êîýôôèöèåíòîì κ. (Çäåñü Fµν — îáû÷íûé òåíçîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðè÷åì F12 = B3, F01 = E1, è ò. ä.) Òàêîå ñëàãàåìîå ìîæíî ïîëó÷èòü, äîáàâèâ ïðåäâàðèòåëüíî â óðàâíåíèå ñâîáîäíîãî ïîëÿ ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå âûðàæåíèþ [γµγν](∂2/∂xµ∂xν)ψ, êîòîðîå, êîíå÷íî, ðàâíî íóëþ, à çàòåì ñîâåðøèòü, êàê è ðàíåå, ïîäñòàíîâêó (1.1.22). Áîëåå ñîâðåìåííûé ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ ïðîñòî â çàìå÷àíèè, ÷òî ñëàãàåìîå (1.1.32) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ïðèíÿòûì ïðèíöèïàì èíâàðèàíòíîñòè, âêëþ÷àÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, òàê ÷òî íåò ïðè÷èí, ïî÷åìó òàêîå ñëàãàåìîå íå äîëæíî âêëþ÷àòüñÿ â âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (ñì. ðàçäåë 12.3.). Òàêîå ñëàãàåìîå áóäåò ïðèâîäèòü ê äîïîëíèòåëüíîìó âêëàäó â ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà, ïðîïîðöèîíàëüíîìó κ, òàê ÷òî, åñëè íå ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå âîçìîæíîå òðåáîâàíèå ÷èñòî ôîðìàëüíîé ïðîñòîòû, íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé îæèäàòü, ÷òî â òåîðèè Äèðàêà ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà èìååò êàêîå-òî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå. Êàê ìû óâèäèì äàëåå, âñå ïåðå÷èñëåííûå ïðîáëåìû áûëè â êîíöå êîíöîâ ðåøåíû (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ðàçúÿñíåíû) â ïðîöåññå ðàçâèòèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. 1.2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ Ôîòîí — åäèíñòâåííûé ïðèìåð ÷àñòèöû, êîòîðàÿ äî ñâîåãî îòêðûòèÿ áûëà èçâåñòíà êàê ïîëå. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ðàçâèòèå ôîðìàëèçìà êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ïðåæäå âñåãî áûëî ñâÿçàíî ñ èçëó÷åíèåì, è òîëüêî ïîçäíåå îí áûë ïðèìåíåí ê äðóãèì ÷àñòèöàì è ïîëÿì.  1926 ãîäó â îäíîé èç îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïî ìàòðè÷íîé ìåõàíèêå Áîðí, Ãåéçåíáåðã è Èîðäàí 32 ïðèìåíèëè ñâîè íîâûå ìåòîäû ê ñâîáîäíîìó ïîëþ èçëó÷åíèÿ. Äëÿ ïðîñòîòû îíè èãíîðèðîâàëè ïîëÿðèçàöèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí è ðàññìîòðåëè ïðîñòðàíñòâåííî îäíîìåðíóþ çàäà÷ó, ïðè÷åì êîîðäèíàòà x èçìåíÿëàñü îò 0 äî L. Åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïîëå èçëó÷åíèÿ u(x, t) îáðàùàëîñü â íóëü íà êîíöàõ èíòåðâàëà, òî îíî áóäåò èìåòü âèä, ñîâïàäàþùèé ñ âåëè÷èíîé ñìåùåíèÿ òî÷åê ñòðóíû ñ çàêðåïëåííûìè ïðè x = 0 è x = L êîíöàìè. Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ñòðóíû äëÿ ïîëíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ãàìèëüòîíèàí áûë âûáðàí â âèäå

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

20

1 H= 2

X YY Z

L

0

|RSFG ∂u IJ T|H ∂t K

2

FG ∂u IJ |UV d x. H ∂x K W| 2

+ c2

3

(1.2.1)

×òîáû ñâåñòè ýòî âûðàæåíèå ê ñóììå êâàäðàòîâ, ïîëå u áûëî ïðåäñòàâëåíî êàê ñóììà ôóðüå-êîìïîíåíò ïðè óñëîâèè, ÷òî u = 0 ïðè x = 0 è x = L: ∞

b g ∑ q btg sin FGH ωc x IJK ,

(1.2.2)

ω k = kπc L .

(1.2.3)

u x, t =

k

k

k =1

 ðåçóëüòàòå

H=

L 4

∞

∑ nq& k2 (t) + ω2k q k2 (t)s.

(1.2.4)

k =1

Òàêèì îáðàçîì, ñòðóíà èëè ïîëå âåäåò ñåáÿ êàê ñóììà íåçàâèñèìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ ñ óãëîâûìè ÷àñòîòàìè ωk, êàê è ïðåäâèäåë çà 20 ëåò äî ýòîãî Ïàóëü Ýðåíôåñò 32à.  ÷àñòíîñòè, «èìïóëüñ» pk(t), êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûé ê qk(t), îïðåäåëÿåòñÿ, êàê è â ìåõàíèêå ÷àñòèö, óñëîâèåì, ÷òî åñëè H âûðàæåíî êàê ôóíêöèÿ p è q, òî q& k (t) =

∂ ∂pk (t)

b

g

H p(t), q (t) .

Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî èìïóëüñ pk (t) =

L 2

q& k (t) ,

(1.2.5)

è ìîæíî çàïèñàòü êàíîíè÷åñêèå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ: q& k (t), q j (t) =

2 L

pk (t), q j (t) =

q k (t), q j (t) = 0.

−2 ih L

δ kj ,

(1.2.6) (1.2.7)

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

21

Êðîìå òîãî, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü qk(t) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ Ãàìèëüòîíà 2 2 ∂H = − ω 2k q k (t). q&&k (t) = p& k (t) = − (1.2.8) L L ∂q k (t) ßâíûé âèä ìàòðèö, îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèÿìè (1.2.6)−(1.2.8), áûë óæå èçâåñòåí Áîðíó, Ãåéçåíáåðãó è Èîðäàíó èç ïðåäûäóùåé ðàáîòû ïî ãàðìîíè÷åñêîìó îñöèëëÿòîðó. Äëÿ q-ìàòðèöû ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå

q k (t) =

h

ak exp(− iω k t) + ak† exp(+ iω k t) ,

Lω k

(1.2.9)

ãäå ak — íå çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè ìàòðèöà, à ak† — åå ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîò íîøåíèÿì ak , a†j = δ kj , (1.2.10)

ak , a j = 0.

(1.2.11)

Ñòðîêè è ñòîëáöû ýòèõ ìàòðèö ïîìå÷åíû íàáîðîì íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë n1, n2, ..., êàæäîå èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëüíîé ìîäå. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ðàâíû

(ak ) n1′ , n2′ ,..., n1 , n2 ,... = (ak† ) n1′ , n2′ ,..., n1 , n2 ,... =

nk δ nk′ , nk −1

∏ δ n′ ,n , j≠k

n k + 1δ nk′ , nk +1

j

(1.2.12)

j

∏ δ n′ ,n . j

j≠k

(1.2.13)

j

Äëÿ åäèíñòâåííîé íîðìàëüíîé ìîäû ýòè ìàòðèöû ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå:

F0 GG 0 a = G0 GG GH 0.

1 0

0

0

2

0

0

0

3

0

0

0

.

.

.

I J . . .J . . .J J . . .J JK ...

,

a

†

F0 GG 1 =G 0 GG 0 GH .

I . . .J J . . .J J . . .J JK

0

0

0 ...

0

0

0

2

0

0

0

3

0

.

.

.

.

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

22

Ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöû (1.2.12) è (1.2.13) óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì (1.2.10) è (1.2.11). Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âåêòîðà-ñòîëáöà ñ öåëûìè êîìïîíåíòàìè n1, n2, ... çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò ñîñòîÿíèå ñ nk êâàíòàìè â êàæäîé íîðìàëüíîé ìîäå k. Ìàòðèöû ak èëè ak†, äåéñòâóþùèå íà òàêîé âåêòîð-ñòîëáåö, áóäóò ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàòü èëè óâåëè÷èâàòü nk íà åäèíèöó, îñòàâëÿÿ íåèçìåííûìè âñå nl ñ l ≠ k. Ïîýòîìó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ýòè ìàòðèöû êàê îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ èëè ðîæäåíèÿ îäíîãî êâàíòà â k-îé íîðìàëüíîé ìîäå.  ÷àñòíîñòè, âåêòîð ñî âñåìè nk = 0 ïðåäñòàâëÿåò âàêóóì; äåéñòâèå íà íåãî ëþáîãî îïåðàòîðà ak äàåò íóëü. Äàëüíåéøàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñâÿçàíà ñ ðàññìîòðåíèåì ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà. Ïîäñòàâëÿÿ (1.2.9) è (1.2.10) â (1.2.4), íàõîäèì:

H=

∑ hω k (ak† ak + 21 ).

(1.2.14)

k

Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äèàãîíàëåí â n-ïðåäñòàâëåíèè: (H ) n ′ ,n ′ ,...,n 1

2

1 , n2 ,...

=

∑ hω k (nk + 21 )∏ δ n′ ,n . j

k

j

j

(1.2.15)

Âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ åñòü ïðîñòî ñóììà ýíåðãèé $ωk êàæäîãî êâàíòà â äàííîì ñîñòîÿíèè ïëþñ áåñêîíå÷íàÿ íóëåâàÿ ýíåðãèÿ E0 = 1 ∑$ωk.  ïðèìåíåíèè ê ïîëþ èçëó÷åíèÿ ýòîò ôîðìàëèçì ïîäòâåðäèë ðàçðàáîòàííûé Áîçå ìåòîä ïîäñ÷åòà ñîñòîÿíèé èçëó÷åíèÿ ïî ÷èñëó nk êâàíòîâ â êàæäîé íîðìàëüíîé ìîäå. Áîðí, Ãåéçåíáåðã è Èîðäàí èñïîëüçîâàëè òàêîé ôîðìàëèçì ïðè âûâîäå âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ ôëóêòóàöèé ýíåðãèè â èçëó÷åíèè ÷åðíîãî òåëà. (Äëÿ ýòîé öåëè îíè, â äåéñòâèòåëüíîñòè, èñïîëüçîâàëè òîëüêî êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.2.6)−(1.2.7).) Îäíàêî âñêîðå òàêîé ïîäõîä áûë ïðèìåíåí ê èññëåäîâàíèþ áîëåå àêòóàëüíîé ïðîáëåìû — âû÷èñëåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ. ×òîáû ïîíÿòü âîçíèêøèå çäåñü òðóäíîñòè, íåîáõîäèìî âåðíóòüñÿ íåìíîãî íàçàä.  îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò ïî ìàòðè÷íîé ìåõàíèêå Áîðí è Èîðäàí 33 âûñêàçàëè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî àòîì, ïåðåñêàêèâàÿ èç ñîñòîÿíèÿ β â áîëåå íèçêîå ïî ýíåðãèè ñîñòîÿíèå α, äîëæåí èñïóñêàòü èçëó÷åíèå ïîäîáíî êëàññè÷åñêîìó çàðÿæåííîìó îñöèëëÿòîðó, ñìåùåíèå êîòîðîãî äàåòñÿ âûðàæåíèåì

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

23

* r(t) = rβα exp ( −2πiνt) + rβα exp (2πiνt) ,

(1.2.16)

hν = Eβ − Eα ,

(1.2.17)

à rβα — βα ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìàòðèöû, ñâÿçàííîé ñ êîîðäèíàòîé ýëåêòðîíà. Ýíåðãèÿ Å òàêîãî îñöèëëÿòîðà ðàâíà E = 21 m(&r 2 + (2πν)2 r 2 ) = 8π 2 mν2 | rβα |2 .

(1.2.18)

Íåïîñðåäñòâåííîå êëàññè÷åñêîå âû÷èñëåíèå ïîçâîëÿåò òåïåðü íàéòè èçëó÷åííóþ ìîùíîñòü, à ïîñëå äåëåíèÿ íà ýíåðãèþ hν îäíîãî ôîòîíà — âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ ôîòîíà

A(β → α) =

16π 3 e2 ν3

| rβα |2 .

(1.2.19) 3hc Îäíàêî îñòàâàëîñü ñîâåðøåííî íåïîíÿòíûì, ïî÷åìó ïðè ðàññìîòðåíèè ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ñëåäîâàëî òàêèì îáðàçîì îáðàùàòüñÿ ñ ôîðìóëàìè äëÿ èçëó÷åíèÿ êëàññè÷åñêîãî äèïîëÿ. Íåñêîëüêî ïîçäíåå Äèðàê 34 äàë áîëåå óáåäèòåëüíûé, õîòÿ åùå ìåíåå ïðÿìîé âûâîä ýòèõ ñîîòíîøåíèé. Ðàññìàòðèâàÿ ïîâåäåíèå êâàíòîâàííûõ àòîìíûõ ñîñòîÿíèé â îñöèëëèðóþùåì êëàññè÷åñêîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè u, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò â îêðåñòíîñòè ÷àñòîòû (1.2.17), îí ñóìåë âûâåñòè ôîðìóëû äëÿ âåðîÿòíîñòåé ïîãëîùåíèÿ uB(α→β) èëè èíäóöèðîâàííîãî èñïóñêàíèÿ uB(β → α): 3

B(α → β) = B(β → α) ≅

2π 2 e2 3h2

| rβα |2 .

(1.2.20)

(Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñèììåòðè÷íî ïî îòíîøåíèþ ê ñîñòîÿíèÿì α è β, òàê êàê rαβ ðàâíî rβα*.) Ýéíøòåéí 34à óæå ïîêàçàë â 1917 ãîäó, ÷òî âîçìîæíîñòü òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ìåæäó àòîìàìè è èçëó÷åíèåì ÷åðíîãî òåëà òðåáóåò âûïîëíåíèÿ îïðåäåëåííîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòüþ A(β → α) ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòÿìè uB èíäóöèðîâàííîãî èñïóñêàíèÿ èëè ïîãëîùåíèÿ: A(β → α) =

F 8πhν I Bbβ → αg. GH c JK 3

3

(1.2.21)

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

24

Ïîäñòàíîâêà ôîðìóëû (1.2.20) â ýòî ñîîòíîøåíèå íåìåäëåííî ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó Áîðíà è Èîðäàíà (1.2.19) äëÿ âåðîÿòíîñòè ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ. Òåì íå ìåíåå, ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåóäîâëåòâîðèòåëüíûì, ÷òî òåðìîäèíàìè÷åñêèå àðãóìåíòû äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âûâîäà ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ îäèíî÷íûìè àòîìàìè. Íàêîíåö â 1927 ãîäó Äèðàê 35 ñóìåë ïðåäñòàâèòü ñòðîãîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A(x, t) áûë ðàçëîæåí íà íîðìàëüíûå ìîäû, êàê â ôîðìóëå (1.2.2), è áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì òèïà (1.2.6). Ñîîòâåòñòâåííî, êàæäîå ñîñòîÿíèå ñâîáîäíîãî ïîëÿ èçëó÷åíèÿ áûëî çàäàíî íàáîðîì öåëûõ ÷èñåë nk, ïî îäíîìó íà êàæäóþ íîðìàëüíóþ ìîäó, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèíÿëè âèä ñóììû ïî íîðìàëüíûì ìîäàì, ïðè÷åì ìàòðè÷íûå êîýôôèöèåíòû îêàçàëèñü ïðîïîðöèîíàëüíûìè ìàòðèöàì ak è ak†, îïðåäåëåííûì â (1.2.10)− (1.2.13). Ãëàâíîå â ýòèõ ðåçóëüòàòàõ − ïîÿâëåíèå ìíîæèòåëÿ â óðàâíåíèè (1.2.13). Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà, â êîòîðîì ÷èñëî ôîòîíîâ â íîðìàëüíîé ìîäå k óâåëè÷èâàåòñÿ îò nk äî nk + 1, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýòîãî ìíîæèòåëÿ, ò. å. nk + 1. Íî â ïîëå èçëó÷åíèÿ ñ nk ôîòîíàìè â íîðìàëüíîé ìîäå k ïëîòíîñòü ýíåðãèè u íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò ðàâíà: u( ν k ) =

F 8πν I n GH c JK 2 k

3

k

× hν k ,

òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ èçëó÷åíèÿ â íîðìàëüíîé ìîäå k ïðîïîðöèîíàëüíà

nk + 1 =

c 3 u( ν k ) 8πhν3k

+ 1.

Ïåðâîå ñëàãàåìîå èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âêëàä èíäóöèðîâàííîãî èñïóñêàíèÿ, à âòîðîå − êàê âêëàä ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, áåç âñÿêîãî îáðàùåíèÿ ê òåðìîäèíàìèêå Äèðàê ñìîã çàêëþ÷èòü, ÷òî îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé èíäóöèðîâàííîãî èñïóñêàíèÿ uB è ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ À óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ Ýéíøòåéíà (.2.21). Èñïîëüçóÿ ñâîé æå áîëåå ðàííèé ðåçóëüòàò (1.2.20) äëÿ Â, Äèðàê ñóìåë çàíîâî âûâåñòè ôîðìóëó Áîðíà–Èîðäàíà 33 (1.2.19)

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

25

äëÿ âåðîÿòíîñòè ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ À. Íåñêîëüêî ïîçäíåå àíàëîãè÷íûå ìåòîäû áûëè èñïîëüçîâàíû Äèðàêîì ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ðàññåÿíèÿ èçëó÷åíèÿ è âðåìåíè æèçíè âîçáóæäåííûõ àòîìíûõ ñîñòîÿíèé 36, à òàêæå Âèêòîðîì Âàéñêîïôîì è Þäæèíîì Âèãíåðîì ïðè äåòàëüíîì àíàëèçå ôîðìû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé 36à. Äèðàê â ñâîåé ðàáîòå ðàçäåëèë ýëåêòðîìàãíèòíûé ïîòåíöèàë íà ïîëå èçëó÷åíèÿ À è íà ñòàòè÷åñêèé êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë À0, ÷òî â ðåçóëüòàòå íàðóøèëî ÿâíóþ ëîðåíöîâñêóþ è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Ïîçäíåå ýòè ïðîöåäóðû ïîëó÷èëè áîëåå ñîëèäíîå îáîñíîâàíèå â èçâåñòíîé ðàáîòå Ýíðèêî Ôåðìè 26á.  1930-å ãîäû ìíîãèå ôèçèêè èçó÷àëè êâàíòîâóþ ýëåêòðîäèíàìèêó ïî îáçîðó Ôåðìè 1932 ãîäà. Èñïîëüçîâàíèå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ îïåðàòîðîâ q è p èëè a è a† òàêæå ïîñòàâèëî âîïðîñ î ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè êâàíòîâàííîé òåîðèè.  1928 ãîäó Èîðäàí è Ïàóëè 37 ñóìåëè ïîêàçàòü, ÷òî êîììóòàòîðû ïîëåé â ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ òî÷êàõ ÿâëÿþòñÿ íà ñàìîì äåëå ëîðåíöèíâàðèàíòíûìè. (Ýòè êîììóòàòîðû âû÷èñëÿþòñÿ â ãë. 5.) Íåñêîëüêî ïîçæå Áîð è Ëåîí Ðîçåíôåëüä 38 èñïîëüçîâàëè ðÿä îñòðîóìíûõ ìûñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòè ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ âûðàæàþò îãðàíè÷åíèÿ íà íàøó ñïîñîáíîñòü ïðîèçâîäèòü èçìåðåíèÿ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ òî÷êàõ, ðàçäåëåííûõ âðåìåíèïîäîáíûìè èíòåðâàëàìè. Âñêîðå ïîñëå óñïåøíîãî êâàíòîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ýòà æå òåõíèêà áûëà ïðèìåíåíà ê äðóãèì ïîëÿì. Ïîíà÷àëó òàêóþ òåõíèêó íàçûâàëè «âòîðè÷íûì êâàíòîâàíèåì»: òå ïîëÿ, êîòîðûå ïîäâåðãàëèñü êâàíòîâàíèþ, áûëè âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè, èñïîëüçóåìûìè â îäíî÷àñòè÷íûõ çàäà÷àõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, íàïðèìåð, äèðàêîâñêîé âîëíîâîé ôóíêöèåé ýëåêòðîíà. Ïî-âèäèìîìó, ïåðâûé øàã â ýòîì íàïðàâëåíèè áûë ñäåëàí â 1927 ãîäó Èîðäàíîì 39.  ñëåäóþùåì, 1928 ãîäó Èîðäàí è Âèãíåð 40 ñäåëàëè âàæíûå äîïîëíåíèÿ. Îíè çàìåòèëè, ÷òî ïðèíöèï çàïðåòà Ïàóëè íå ïîçâîëÿåò ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîíîâ nk â ëþáîé íîðìàëüíîé ìîäå k (ó÷èòûâàþùåé êàê êîîðäèíàòíûå, òàê è ñïèíîâûå ïåðåìåííûå) ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, îòëè÷íûå îò 0 èëè 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîííîå ïîëå íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ îïåðàòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì (1.2.10), (1.2.11), òàê êàêýòè ñîîòíîøåíèÿ òðåáóþò, ÷òîáû nk ïðèíèìàëî ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî ∞. ×òîáû âûéòè èç

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

26

ïîëîæåíèÿ, îíè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýëåêòðîííîå ïîëå äîëæíî ðàçëàãàòüñÿ íà ñóììó îïåðàòîðîâ ak è ak†, óäîâëåòâîðÿþùèõ àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì

ak a †j + a †j ak = δ jk ,

(1.2.22)

ak a j + a j ak = 0 .

(1.2.23)

Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû ìàòðèöàìè, ïîìå÷åííûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ öåëûõ ÷èñåë n1, n2, ..., ïî îäíîìó äëÿ êàæäîé ìîäû, ïðè÷åì ýòè öåëûå ÷èñëà ìîãóò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ — íóëü è åäèíèöà: (ak ) n ′ , n ′ ,...,n 1

1 , n2 ,...

2

(ak† ) n ′ ,n ′ ,...,n 1

2

1 , n2 ,...

RS1, n ′ = 0, n = 1, n ′ = n äëÿ j ≠ k, T0 äëÿ îñòàëüíûõ èíäåêñîâ, R1, n ′ = 1, n = 0, n ′ = n äëÿ j ≠ k, =S T0 äëÿ îñòàëüíûõ èíäåêñîâ. k

=

k

k

k

j

j

j

j

(1.2.24)

(1.2.25)

Íàïðèìåð, äëÿ îäíîé íîðìàëüíîé ìîäû ìàòðèöû ak è ak† ñîäåðæàò ðîâíî äâà ñòîëáöà è äâå ñòðîêè, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì n è n′, ðàâíûìè 0 è 1. Ìàòðèöû a è a† èìåþò âèä:

a=

FG 0 0IJ , a = FG 0 1IJ . H 1 0K H 0 0K †

×èòàòåëü ìîæåò óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöû (1.2.24) è (1.2.25) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (1.2.22) è (1.2.23). Èíòåðïðåòàöèÿ âåêòîðà-ñòîëáöà, çàäàâàåìîãî öåëûìè ÷èñëàìè n1, n2, ..., çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, êàê è äëÿ áîçîíîâ, îí ïðåäñòàâëÿåò ñîñòîÿíèå ñ nk êâàíòàìè â êàæäîé íîðìàëüíîé ìîäå. Ðàçíèöà, êîíå÷íî, â òîì, ÷òî, ïîñêîëüêó êàæäîå ÷èñëî nk ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ 0 èëè 1, â êàæäîé ìîäå ìîæåò áûòü íå áîëåå îäíîãî êâàíòà, êàê è òðåáóåòñÿ ïðèíöèïîì çàïðåòà Ïàóëè. Îïåðàòîð ak óíè÷òîæàåò êâàíò â íîðìàëüíîé ìîäå k, åñëè îí òàì óæå áûë, èëè äåéñòâèå ýòîãî îïåðàòîðà äàåò íóëü; àíàëîãè÷íî,

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

27

îïåðàòîð ak† ïîðîæäàåò êâàíò â íîðìàëüíîé ìîäå k, åñëè òîëüêî â íåé íå ïðèñóòñòâóåò óæå îäèí êâàíò, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îïåðàòîð a† äåéñòâóåò íóëåì. Ìíîãî ïîçæå Ôèðö è Ïàóëè ïîêàçàëè 40à, ÷òî âûáîð ìåæäó êîììóòàöèîííûìè è àíòèêîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äèêòóåòñÿ òîëüêî çíà÷åíèåì ñïèíà ÷àñòèöû: êîììóòàòîðû ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ÷àñòèö ñ öåëûì ñïèíîì âðîäå ôîòîíà, àíòèêîììóòàòîðû — äëÿ ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì âðîäå ýëåêòðîíà. (Èíûì ñïîñîáîì ýòî ïîêàçàíî â ãë. 5.) Îáùàÿ òåîðèÿ êâàíòîâûõ ïîëåé áûëà âïåðâûå èçëîæåíà â 1929 ãîäó â äâóõ èñ÷åðïûâàþùèõ ñòàòüÿõ Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè 41. Èñõîäíûì ïóíêòîì èõ ðàáîòû áûëî ïðèìåíåíèå êàíîíè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà ê ñàìèì ïîëÿì, à íå ê êîýôôèöèåíòàì íîðìàëüíûõ ìîä, ñîäåðæàùèõñÿ â ýòèõ ïîëÿõ. Ãåéçåíáåðã è Ïàóëè ðàññìîòðåëè ëàãðàíæèàí L êàê èíòåãðàë ïî ïðîñòðàíñòâó îò ëîêàëüíîé ôóíêöèè ïîëåé è èõ ïðîñòðàíñòâåííûõ è âðåìåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Óðàâíåíèÿ ïîëÿ îïðåäåëÿëèñü èç ïðèíöèïà ñòàöèîíàðíîñòè äåéñòâèÿ ∫ Ldt ïðè âàðüèðîâàíèè ïîëåé, à êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïðåäåëÿëèñü èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî âàðèàöèîííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëàãðàíæèàíà ïî ëþáîé èç ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ïî âðåìåíè âåäåò ñåáÿ êàê ñîïðÿæåííûé ýòîìó ïîëþ «èìïóëüñ» (äëÿ ôåðìèîííûõ ïîëåé êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðåâðàùàëèñü â àíòèêîììóòàöèîííûå). Ãåéçåíáåðã è Ïàóëè ïðèìåíèëè îáùèé ôîðìàëèçì ê ýëåêòðîìàãíèòíîìó è äèðàêîâñêîìó ïîëÿì è èññëåäîâàëè ðàçëè÷íûå èíâàðèàíòíîñòè è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, âêëþ÷àÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà, èìïóëüñà è ýíåðãèè, à òàêæå ëîðåíöîâñêóþ è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü. Ôîðìàëèçì Ãåéçåíáåðãà−Ïàóëè ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ òåì, êîòîðûé îïèñàí â ãë. 7, òàê ÷òî ñåé÷àñ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îäíèì ïðèìåðîì, êîòîðûé ïðèãîäèòñÿ äàëåå â ýòîé ãëàâå. Ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîãî êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ(x) èìååò ñëåäóþùèé âèä: L=

z

LM N

2

OP Q

d 3 x ϕ& †ϕ& − c 2 (∇ϕ)† ⋅ (∇ϕ) − mc 2 h ϕ †ϕ .

d

i

(1.2.26)

Åñëè ïîäâåðãíóòü ϕ(x) áåñêîíå÷íî ìàëîé âàðèàöèè δϕ(x), òî ëàãðàíæèàí èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó δL =

z

& & † − c 2∇ϕ † ⋅ ∇δϕ − c 2∇ϕ ⋅ ∇δϕ † d 3 x[ϕ& †δϕ& + ϕδϕ 2

2

− mc 2 h ϕ †δϕ − mc 2 h ϕδϕ † ] .

d

i

d

i

(1.2.27)

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

28

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âàðèàöèè ïîëåé èñ÷åçàþò íà ãðàíèöàõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè èçìåíåíèÿ äåéñòâèÿ ∫ Ldt ìîæíî ñðàçó æå ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì è çàïèñàòü:

z

z

LM F d N H

δ Ldt = c2 d 4 x δϕ † 9 − mc2 h

i IK ϕ + δϕFH9 − dmc hi IK ϕ OPQ . 2

2

2

†

Íî ýòî âûðàæåíèå äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè ëþáûõ δϕ è δϕ†, òàê ÷òî ïîëå ϕ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü çíàêîìîìó ðåëÿòèâèñòñêîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ

FH9 − dmc hi IK ϕ = 0 2

2

(1.2.28)

è ϕ†-ñîïðÿæåííîìó óðàâíåíèþ. «Èìïóëüñû», êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûå ïîëÿì ϕ è ϕ†, äàþòñÿ âàðèàöèîííûìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèè Ëàãðàíæà L ïî ϕ& è ϕ& † , êîòîðûå ëåãêî íàõîäÿòñÿ èç (1.2.27):

π≡

δL = ϕ& † , & δϕ

(1.2.29)

π† ≡

δL = ϕ& . δϕ& †

(1.2.30)

Ýòè ïîëåâûå ïåðåìåííûå óäîâëåòâîðÿþò îáû÷íûì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì ñ äåëüòà-ôóíêöèåé âìåñòî äåëüòà-ñèìâîëà Êðîíåêåðà:

π(x, t), ϕ(y, t) = π † (x, t), ϕ † (y, t) = − ihδ 3 (x − y),

(1.2.31)

π(x, t), ϕ † (y, t) = π† (x, t), ϕ(y, t) = 0,

(1.2.32)

π(x, t), π(y, t) = π † (x, t), π† (y, t) = π(x, t), π† (y, t) = 0,

(1.2.33)

ϕ(x, t), ϕ(y, t) = ϕ † (x, t), ϕ † (y, t) = ϕ(x, t), ϕ † (y, t) = 0.

(1.2.34)

Çäåñü (êàê è â ìåõàíèêå ÷àñòèö) ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà äàåòñÿ «ñóììîé» âñåõ êàíîíè÷åñêèõ èìïóëüñîâ, óìíîæåííûõ íà ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé, ìèíóñ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà:

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

H=

z

29

d 3 x πϕ& + π †ϕ& † − L,

(1.2.35)

èëè, ïîñëå ïîäñòàíîâêè (1.2.26), (1.2.29) è (1.2.30), H=

z

d 3 x π † π + c 2 (∇ϕ)† (∇ϕ) + m 2 c 4 h 2 ϕ †ϕ .

d

i

(1.2.36)

Ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè îñòàâàëñÿ åùå îäèí âîïðîñ, êîòîðûé íåîáõîäèìî áûëî ðàçðåøèòü, ïðåæäå ÷åì êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ñìîãëà äîñòè÷ü îêîí÷àòåëüíîé ïðåäâîåííîé ôîðìû. Ýòî áûëî ðåøåíèå ïðîáëåìû ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû âèäåëè, ÷òî â 1930 ãîäó, êàê ðàç â òî æå âðåìÿ, êîãäà ïîÿâèëèñü ðàáîòû Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè, Äèðàê ïðåäïîëîæèë, ÷òî âñå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé çàïîëíåíû, à íàáëþäàåìûìè ÿâëÿþòñÿ íå ñàìè ýòè ýëåêòðîíû, à äûðêè â ìîðå ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Ïîñëå òîãî, êàê â 1930 ãîäó èäåÿ Äèðàêà áûëà íàãëÿäíî ïîäòâåðæäåíà îòêðûòèåì ïîçèòðîíà, åãî «òåîðèÿ äûðîê» áûëà èñïîëüçîâàíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðÿäà ïðîöåññîâ â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, â òîì ÷èñëå, ïðîöåññîâ ðîæäåíèÿ ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð è ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ íà ýëåêòðîíàõ.  òî æå âðåìÿ áûëî çàòðà÷åíî ìíîãî óñèëèé íà ðàçâèòèå ôîðìàëèçìà, ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü êîòîðîãî áûëà áû î÷åâèäíîé. Ïîïûòêîé, îêàçàâøåé íàèáîëüøåå âëèÿíèå íà äàëüíåéøåå ðàçâèòèå, áûë «ìíîãîâðåìåííîé» ôîðìàëèçì Äèðàêà, Âëàäèìèðà Ôîêà è Áîðèñà Ïîäîëüñêîãî 42, â êîòîðîì âåêòîð ñîñòîÿíèÿ áûë ïðåäñòàâëåí âîëíîâîé ôóíêöèåé, çàâèñÿùåé îò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ è ñïèíîâûõ êîîðäèíàò âñåõ ýëåêòðîíîâ êàê ñ ïîëîæèòåëüíîé, òàê è ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé.  ðàìêàõ ýòîãî ôîðìàëèçìà ñîõðàíÿåòñåòñÿ ïî-îòäåëüíîñòè ïîëíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ñ ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé; íàïðèìåð, ðîæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð îïèñûâàåòñÿ êàê âîçáóæäåíèå ýëåêòðîíà ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé ñ ïåðåõîäîì â ñîñòîÿíèå ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé, à àííèãèëÿöèÿ ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà îïèñûâàåòñÿ êàê îáðàòíûé ïðîöåññ. Òàêîé ìíîãîâðåìåííîé ôîðìàëèçì èìåë òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî áûë ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíûì, íî èìåë è ðÿä íåäîñòàòêîâ.  ÷àñòíîñòè, áûëà ãëóáîêàÿ ïðîïàñòü ìåæäó îïèñàíèåì ôîòîíà â òåðìèíàõ êâàíòîâàííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è îïèñàíèåì ýëåêòðîíîâ è ïîçèòðîíîâ. Ïðàâäà, íå âñå ôèçèêè ñ÷èòàëè ýòî íåóäîáñòâîì; ýëåêòðîííîå ïîëå,

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

30

â îòëè÷èå îò ýëåêòðîìàãíèòíîãî, íå èìåëî êëàññè÷åñêîãî ïðåäåëà, òàê ÷òî áûëè ñîìíåíèÿ îòíîñèòåëüíî åãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Ê òîìó æå Äèðàê 42à ðàññìàòðèâàë ïîëÿ êàê ñðåäñòâà íàáëþäåíèÿ ÷àñòèö, òàê ÷òî îí è íå ðàññ÷èòûâàë, ÷òî ÷àñòèöû è ïîëÿ áóäóò îïèñûâàòüñÿ îäèíàêîâî. Õîòÿ ìíå íåèçâåñòíî, òðåâîæèëî ëè ýòî êîãî-íèáóäü â òå ãîäû, íî âåäü â ìíîãîâðåìåííîì ôîðìàëèçìå áûë è áîëåå ïðàêòè÷åñêèé íåäîñòàòîê: ýòîò ôîðìàëèçì áûëî òðóäíî èñïîëüçîâàòü ïðè îïèñàíèè ïðîöåññîâ òèïà β-ðàñïàäà ÿäðà, â êîòîðîì ðîæäàþòñÿ ýëåêòðîí è àíòèíåéòðèíî áåç ñîïðîâîæäàþùèõ ïîçèòðîíà è íåéòðèíî. Îñóùåñòâëåííîå Ôåðìè 43 óñïåøíîå âû÷èñëåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ýëåêòðîíîâ â β-ðàñïàäå ñëåäóåò ðàñöåíèâàòü êàê îäèí èç ïåðâûõ òðèóìôîâ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Êëþ÷åâàÿ èäåÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ äåìîíñòðàöèè ýêâèâàëåíòíîñòè äèðàêîâñêîé òåîðèè äûðîê è êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ýëåêòðîíà, áûëà âûñêàçàíà â 1933−1934 ãîäàõ Ôîêîì 43à, à òàêæå Óýíäåëëîì Ôàððè è Îïïåíãåéìåðîì 44. ×òîáû ïðåäñòàâèòü ñóòü ýòîé èäåè ñ áîëåå ñîâðåìåííîé òî÷êè çðåíèÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü ýëåêòðîííîå ïîëå ïî àíàëîãèè ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì èëè ïîëåì Áîðíà−Ãåéçåíáåðãà−Èîðäàíà (1.2.2). Òàê êàê ýëåêòðîí îáëàäàåò çàðÿäîì, ìû íå ìîæåì, ïî-âèäèìîìó, ñìåøèâàòü îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ, è äîëæíû ïîïûòàòüñÿ çàïèñàòü ïîëå â âèäå:

ψ (x) =

∑ uk (x)e − iω tak , k

k

(1.2.37)

ãäå uk (x)e− iωkt ïðåäñòàâëÿþò ïîëíûé íàáîð îðòîíîðìèðîâàííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Äèðàêà (1.1.13) â âèäå ïëîñêèõ âîëí (èíäåêñ k òåïåðü íåñåò èíôîðìàöèþ î òðåõìåðíîì èìïóëüñå, ñïèíå è çíàêå ýíåðãèè):

Huk = hω k uk ,

(1.2.38)

H ≡ − ihc ⋅ ∇ + α 4 mc 2 ,

(1.2.39)

a

z

u k† ul d 3 x = δ kl ,

(1.2.40)

à ak − ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì Èîðäàíà−Âèãíåðà (1.2.22)−(1.2.23).  ñîîòâåòñòâèè ñ èäåÿìè «âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ» èëè êàíîíè÷åñêîé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

31

ïðîöåäóðû êâàíòîâàíèÿ Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè 41 ãàìèëüòîíèàí ñòðîèòñÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ «ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ» H, ïðè÷åì «âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ» çàìåíÿåòñÿ íà êâàíòîâàííîå ïîëå (1.2.37):

H=

z

d 3xψ + H ψ =

∑ hω k ak† ak .

(1.2.41)

k

Êîíå÷íî, òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ýòîò îïåðàòîð íå ïîëîæèòåëåí — ïîëîâèíà çíà÷åíèé ωk îòðèöàòåëüíû, â òî âðåìÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ak†ak ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ 0 è 1 (ñì. ôîðìóëû (1.2.24) è (1.2.25)). Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûëå÷èòü ýòó áîëåçíü, Ôàððè è Îïïåíãåéìåð âîñïîëüçîâàëèñü èäååé Äèðàêà 42, ÷òî ïîçèòðîí ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îòñóòñòâèå ýëåêòðîíà ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Ñîîòíîøåíèÿ àíòèêîììóòàöèè ñèììåòðè÷íû ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, òàê ÷òî îíè îïðåäåëèëè îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ïîçèòðîíà êàê ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé:

bk† ≡ ak , bk ≡ ak†

(äëÿ ω k < 0),

(1.2.42)

ãäå èíäåêñ k ó b îçíà÷àåò ïîçèòðîííóþ ìîäó ñ èìïóëüñîì è ñïèíîì, ïðîòèâîïîëîæíûìè ýòèì âåëè÷èíàì â ýëåêòðîííîé ìîäå k. Äèðàêîâñêîå ïîëå (1.2.37) ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü â âèäå

ψ(x) =

∑ (+)ak uk (x) + ∑ (−)bk† uk (x) , k

(1.2.43)

k

ãäå ñèìâîëû (+) è (−) îçíà÷àþò ñóììû ïî íîðìàëüíûì ìîäàì k ñ ýíåðãèÿìè ωk > 0 è ωk < 0, ñîîòâåòñòâåííî, à uk(x) ≡ u k (x)e − iω k t . Àíàëîãè÷íî, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ àíòèêîììóòàöèè äëÿ îïåðàòîðîâ b, ìîæíî ïåðåïèñàòü îïåðàòîð ýíåðãèè (1.2.41) â ñëåäóþùåì âèäå: H=

∑ (+)hω k ak† ak + ∑ (−)h| ω k | bk† bk + E0 , k

(1.2.44)

k

ãäå Å0 — áåñêîíå÷íîå ñ−÷èñëî

E0 = −

∑ (−)h| ω k | . k

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(1.2.45)

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

32

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîäîáíîå ïåðåîïðåäåëåíèå ñòàëî ÷åì-òî áîëüøèì, ÷åì ïðîñòîé ôîðìàëüíîñòüþ, íåîáõîäèìî óòî÷íèòü, ÷òî ôèçè÷åñêèé âàêóóì — ýòî ñîñòîÿíèå Ψ0, íå ñîäåðæàùåå ýëåêòðîíîâ èëè ïîçèòðîíîâ ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé:

ak Ψ0 = 0

(ω k > 0),

(1.2.46)

bk Ψ0 = 0

(ω k < 0) .

(1.2.47)

Òàêèì îáðàçîì, èç ôîðìóëû (1.2.44) âûòåêàåò, ÷òî ýíåðãèÿ âàêóóìà ðàâíà Å0. Åñëè èçìåðÿòü âñå ýíåðãèè îòíîñèòåëüíî ýíåðãèè âàêóóìà Å0, òî ôèçè÷åñêèé îïåðàòîð ýíåðãèè ðàâåí Í − Å0; èç (1.2.44) ñëåäóåò, ÷òî ýòî îïåðàòîð ïîëîæèòåëåí. Ïðîáëåìà ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñî ñïèíîì íóëü áûëà òàêæå ðàçðåøåíà â 1934 ãîäó Ïàóëè è Âàéñêîïôîì 45 â ðàáîòå, íàïèñàííîé îò÷àñòè êàê âûçîâ äèðàêîâñêîé êàðòèíå çàïîëíåííûõ ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò â ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèÿì êîììóòàöèè, à íå àíòèêîììóòàöèè, ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïðîñòî ïîìåíÿòü ðîëü ýòèõ îïåðàòîðîâ, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ôåðìèîíîâ. Âìåñòî ýòîãî ñëåäóåò âåðíóòüñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó ôîðìàëèçìó Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè 41 ñ òåì, ÷òîáû ðåøèòü, êàêèå êîýôôèöèåíòû â ðàçíûõ íîðìàëüíûõ ìîäàõ ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ èëè óíè÷òîæåíèÿ. Ïàóëè è Âàéñêîïô ðàçëîæèëè ñâîáîäíîå çàðÿæåííîå ñêàëÿðíîå ïîëå íà ïëîñêèå âîëíû â êóáè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåííîì îáúåìå V ≡ L3: 1 ϕ(x, t) = q (k, t)e ik ⋅x (1.2.48) V

∑ k

ñ âîëíîâûìè ÷èñëàìè, îãðàíè÷åííûìè óñëîâèÿìè ïåðèîäè÷íîñòè: âåëè÷èíû kjL/(2π) äîëæíû áûòü ïðè j = 1, 2, 3 íàáîðîì òðåõ ïîëîæèòåëüíûõ èëè îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë. Àíàëîãè÷íî êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà (1.2.29) ðàçëàãàåòñÿ â âèäå

π(x, t) =

1 V

∑ p(k, t)e − ik ⋅x .

(1.2.49)

k

Çäåñü â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû ïîñòàâëåí çíàê ìèíóñ, òàê ÷òî (1.2.29) ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

33

p(k , t) = q& † (k , t) .

(1.2.50)

Ôîðìóëû ôóðüå−îáðàùåíèÿ èìåþò âèä

q(k, t) =

1

p(k, t) =

1

V

V

z z

d 3x ϕ(x, t)e − ik ⋅x ,

(1.2.51)

d 3x π(x, t)e + ik ⋅x .

(1.2.52)

Ïîýòîìó äëÿ âñåõ q è p âûïîëíÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.2.31)−(1.2.34): p(k, t), q (l, t) =

− ih V

z

d 3 xe ik ⋅x e − il ⋅x = − ihδ kl ,

(1.2.53)

p(k, t), q † (l, t) = p(k, t), p(l, t) = p(k, t), p† (l, t) = q (k, t), q (l, t) q (k, t), q † (l, t) = 0,

(1.2.54)

à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷àþùèåñÿ îòñþäà äëÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûõ âåëè÷èí. Ïîäñòàâëÿÿ (1.2.48) è (1.2.49) â ôîðìóëó (1.2.36) äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, ìîæíî âûðàçèòü ýòîò îïåðàòîð ÷åðåç âåëè÷èíû p è q: H=

∑ p† (k, t)p(k, t) + ω 2k q † (k, t)q(k, t) ,

(1.2.55)

k

2

ω 2k ≡ c2k 2 + mc2 h .

d

i

(1.2.56)

Ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè âåëè÷èí p îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ∂H p& (k, t) = − = − ω 2k q † (k, t) (1.2.57) ∂q (k, t) (è åìó ñîïðÿæåííîãî). Ñ ó÷åòîì (1.2.50) ýòîò ðåçóëüòàò â òî÷íîñòè ýêâèâàëåíòåí âîëíîâîìó óðàâíåíèþ Êëåéíà−Ãîðäîíà−Øðåäèíãåðà (1.2.28).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

34

Ìû âèäèì, ÷òî, êàê è â ñëó÷àå ìîäåëè Áîðíà, Ãåéçåíáåðãà è Èîðäàíà 4 1926 ãîäà, ñâîáîäíîå ïîëå âåäåò ñåáÿ êàê áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ. Ïàóëè è Âàéñêîïôó óäàëîñü ïîñòðîèòü îïåðàòîðû p è q, óäîâëåòâîðÿþùèå êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (1.2.53)−(1.2.54) è «óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ» (1.2.50) è (1.2.57), ââåäÿ îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ a, b, a† è b† äâóõ ðàçíûõ òèïîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòèöàì è àíòè÷àñòèöàì:

q(k, t) = i

p(k, t) =

h

[a(k) exp(− iω k t) − b† (k) exp(iω k t)],

(1.2.58)

[b(k) exp(− iω k t) + a † (k) exp(iω k t)],

(1.2.59)

2ω k 2ω k h

äëÿ êîòîðûõ [a(k ), a † (l)] = [b(k), b† (l)] = δ kl ,

(1.2.60)

[a(k), a(l)] = [b(k), b(l)] = 0,

(1.2.61)

[a(k), b(l)] = [a(k ), b† (l)] = [a † (k), b(l)] = [a † (k ), b† (l)] = 0 . (1.2.62)

Ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòè îïåðàòîðû äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (1.2.53), (1.2.54), (1.2.50) è (1.2.57). Ïîëå (1.2.48) ìîæíî çàïèñàòü êàê ϕ(x, t) =

i V

∑ k

h [a(k) exp( ik ⋅ x − iω k t) 2ω k −

b† (− k) exp( − ik

⋅ x + iω k t)] ,

à ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà (1.2.55) ïðèíèìàåò âèä H=

∑ 2hω k [b† (k)b(k) + b(k)b† (k) + a† (k)a(k) + a(k)a† (k)] , 1

k

èëè, èñïîëüçóÿ (1.2.60)−(1.2.62),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(1.2.63)

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

H=

35

∑ hω k [b† (k)b(k) + a† (k)a(k)] + E0 ,

(1.2.64)

k

ãäå Å0 − áåñêîíå÷íî áîëüøîå ñ−÷èñëî

E0 ≡

∑ hω k .

(1.2.65)

k

Ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ðàçíûõ òèïîâ îïåðàòîðîâ a è b, ðàâíîïðàâíî âõîäÿùèõ â ãàìèëüòîíèàí, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòðîåííàÿ òåîðèÿ îïèñûâàåò äâà ñîðòà ÷àñòèö îäíîé è òîé æå ìàññû. Êàê ïîä÷åðêíóëè Ïàóëè è Âàéñêîïô, ýòè äâå ðàçíîâèäíîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùèå àíòè÷àñòèöû, êîòîðûå (åñëè îíè çàðÿæåíû) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çàðÿäû. Òàêèì îáðàçîì. êàê ìû îòìå÷àëè âûøå, áîçîíû ñî ñïèíîì 0, òàê æå, êàê è ôåðìèîíû ñî ñïèíîì 1/2, ìîãóò èìåòü ñâîè àíòè÷àñòèöû, êîòîðûå äëÿ áîçîíîâ íåâîçìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äûðêè â ìîðå ÷àñòèö ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Òåïåðü ìîæíî âûÿñíèòü, êàêèå èç îïåðàòîðîâ a è b èëè a† è b† ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ, âçÿâ ñðåäíåå çíà÷åíèå îò êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé â ñîñòîÿíèè âàêóóìà Ψ0. Íàïðèìåð, åñëè a†k áûëè áû îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ, òî ïðè äåéñòâèè íà âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå îíè äàâàëè áû íóëü, òàê ÷òî ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò (1.2.60) ðàâíÿëîñü áû −| | a(k)Ψ0 | |2 = Ψ0 , [a(k), a † (k)]Ψ0 = +1 ,

d

i

(1.2.66)

â ïðîòèâîðå÷èè ñ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà áûëà îòðèöàòåëüíîé. Òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ak è bk, è ïîýòîìó

a(k)Ψ0 = b(k)Ψ0 = 0 .

(1.2.67)

Ýòî óñëîâèå íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñî âñåìè êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè. Èòàê, êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì âûíóæäàåò çàêëþ÷èòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè e+iωt â âûðàæåíèè äëÿ ïîëÿ (1.2.63) äîëæåí áûòü îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ, êàê ýòî ïîëó÷àåòñÿ è â ôîðìàëèçìå Ôàððè−Îïïåíãåéìåðà 44 äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2. Èç óðàâíåíèé (1.2.64) è (1.2.67) âûòåêàåò, ÷òî Å0 åñòü ýíåðãèÿ âàêóóìíîãî ñîñòîÿíèÿ. Åñëè èçìåðÿòü âñå ýíåðãèè îòíîñèòåëüíî Å0,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

36

òî ôèçè÷åñêèì îïåðàòîðîì ýíåðãèè ñòàíåò îïåðàòîð Í − Å0, ïðè÷åì èç (1.2.64) ñëåäóåò, ÷òî îí ïîëîæèòåëåí. Êàê æå îáñòîèò äåëî ñ ïðîáëåìîé îòðèöàòåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé, êîòîðàÿ ñòàëà îòïðàâíîé òî÷êîé â èññëåäîâàíèÿõ Äèðàêà? Êàê çàìåòèë Äèðàê, åäèíñòâåííàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ρ, êîòîðóþ ìîæíî ïîñòðîèòü èç ðåøåíèé ñâîáîäíîãî ñêàëÿðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà−Ãîðäîíà−Øðåäèíãåðà (1.2.28) è êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó ñîõðàíåíèÿ â ôîðìå (1.1.10), äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå

LM N

ρ = 2 Im ϕ †

∂ϕ ∂t

OP Q

(1.2.68)

è ïîýòîìó íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíà. Àíàëîãè÷íî, âî «âòîðè÷íî− êâàíòîâàííîé» òåîðèè, ãäå ϕ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (1.2.63), ρ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì îïåðàòîðîì. Òàê êàê îïåðàòîð ϕ†(x) íå êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ϕ& (x) , ôîðìóëó (1.2.68) ìîæíî çàïèñàòü ïîðàçíîìó, ïðè÷åì âñå âûðàæåíèÿ áóäóò îòëè÷àòüñÿ íà áåñêîíå÷íî áîëüøèå ñ−÷èñëà. Îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì çàïèñàòü ïëîòíîñòü ρ â âèäå ρ=

i ∂ϕ † ∂ϕ † ϕ − ϕ . h ∂t ∂t

LM N

OP Q

(1.2.69)

Èíòåãðàë ïî ïðîñòðàíñòâó îò ýòîãî îïåðàòîðà ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ è ðàâåí N≡

z

ρ d3x =

∑ da† (k)a(k) − b† (k)b(k)i . k

(1.2.70)

Î÷åâèäíî, ÷òî îí èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îáîèõ çíàêîâ. Îäíàêî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå òàêàÿ æå ïðîáëåìà âîçíèêàåò è â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÷àñòèö ñïèíà 1/2. Äèðàêîâñêèé îïåðàòîð ïëîòíîñòè ψ†ψ äåéñòâèòåëüíî ïîëîæèòåëüíûé, íî ÷òîáû ïîñòðîèòü ôèçè÷åñêóþ ïëîòíîñòü, ìû äîëæíû âû÷åñòü âêëàä çàïîëíåííûõ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé.  ÷àñòíîñòè, ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì íà ïëîñêèå âîëíû (1.2.43), ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö:

N≡

z

d3x ψ †ψ =

∑ (+)a† (k)a(k) + ∑ (−)b(k)b† (k) . k

k

Ñîîòíîøåíèÿ àíòèêîììóòàöèè äëÿ îïåðàòîðîâ b ïîçâîëÿþò ïåðåïèñàòü ýòî âûðàæåíèå êàê

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

N − N0 =

37

∑ (+)a† (k)a(k) − ∑ (−)b† (k)b(k) , k

(1.2.71)

k

ãäå N0 − áåñêîíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ, N0 =

∑ ( −) 1 .

(1.2.72)

k

Ñîãëàñíî (1.2.46) è (1.2.47) âåëè÷èíà N0 åñòü ÷èñëî ÷àñòèö â âàêóóìå, ïîýòîìó Ôàððè è Îïïåíãåéìåð ñäåëàëè âûâîä, ÷òî îïåðàòîð ÷èñëà ôèçè÷åñêèõ ÷àñòèö åñòü N − N0 è îí ìîæåò, êàê äëÿ ïîëÿ ñïèíà íóëü, èìåòü è ïîëîæèòåëüíûå, è îòðèöàòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ïðåäëàãàåìîå êâàíòîâîé òåîðèåé ïîëÿ ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íè âåëè÷èíû ψ ó Ôàððè è Îïïåíãåéìåðà, íè ϕ ó Ïàóëè è Âàéñêîïôà íå ÿâëÿþòñÿ àìïëèòóäàìè âåðîÿòíîñòè, êîòîðûå äîëæíû îïðåäåëÿòü ñîõðàíÿþùèåñÿ ïîëîæèòåëüíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Âìåñòî ýòîãî ôèçè÷åñêîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðàçëàãàåòñÿ íà ñîñòîÿíèÿ, îïðåäåëåííûå êàê ñîñòîÿíèÿ c çàäàííûì ÷èñëîì ÷àñòèö è/èëè àíòè÷àñòèö â êàæäîé ìîäå. Åñëè Φn åñòü ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð òàêèõ ñîñòîÿíèé, òî èçìåðåíèå ÷èñëà ÷àñòèö â ïðîèçâîëüíîì ñîñòîÿíèè Ψ ïðèâåäåò ê âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè Φn, ðàâíîé

Pn = | (Φ n , Ψ) |2,

(1.2.73)

ãäå (Φn,Ψ) åñòü îáû÷íîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî ñïèíà äàæå íå âîçíèêàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè îòðèöàòåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé. Âîëíîâûå ïîëÿ ψ, ϕ, è ò. ä. — ñîâñåì íå àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòè, à îïåðàòîðû, ðîæäàþùèå èëè óíè÷òîæàþùèå ÷àñòèöû â ðàçëè÷íûõ íîðìàëüíûõ ìîäàõ. Áûëî áû õîðîøî, åñëè áû ââîäÿùèé â çàáëóæäåíèå òåðìèí «âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå» ïîñòåïåííî óøåë áû íà ïîêîé.  ÷àñòíîñòè, îïåðàòîðû N è N − N0 â (1.2.70) è (1.2.71) äîëæíû èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ íå êàê ïîëíûå âåðîÿòíîñòè, à êàê îïåðàòîðû ÷èñëà ÷àñòèö, òî÷íåå, ÷èñëà ÷àñòèö ìèíóñ ÷èñëî àíòè÷àñòèö. Äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñîõðàíåíèå çàðÿäà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îïåðàòîðû çàðÿäà ïðîïîðöèîíàëüíû îïåðàòîðàì ÷èñëà ÷àñòèö, òàê ÷òî çíàê ìèíóñ â (1.2.70) è (1.2.71) ïîçâîëÿåò íåìåäëåííî ïðèéòè ê âûâîäó, ÷òî çàðÿäû ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö ïðîòèâîïîëîæíû.  òàêîì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

38

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

òåîðåòèêî-ïîëåâîì ôîðìàëèçìå âçàèìîäåéñòâèÿ ñîîòâåòñòâóþò ñëàãàåìûì â ãàìèëüòîíèàíå òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî èëè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïî ïîëåâûì ïåðåìåííûì, à âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ ïîëó÷àþòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ îïåðàòîðîâ âçàèìîäåéñòâèÿ â çàâèñÿùåé îò âðåìåíè òåîðèè âîçìóùåíèé. Êîíöåïöèè, èçëîæåííûå â ïðåäûäóùèõ êðàòêèõ çàìå÷àíèÿõ, áóäóò ñëóæèòü îñíîâîé äëÿ áîëüøåé ÷àñòè ìàòåðèàëà ýòîé êíèãè. Íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíûå ïðåèìóùåñòâà, êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ íå ñðàçó âûòåñíèëà òåîðèþ äûðîê. Îáå òî÷êè çðåíèÿ íåêîòîðîå âðåìÿ ñîñóùåñòâîâàëè, à ïðè âû÷èñëåíèÿõ âåðîÿòíîñòåé ôèçè÷åñêèõ ðåàêöèé èñïîëüçîâàëèñü ðàçíûå êîìáèíàöèè òåîðåòèêî-ïîëåâîãî è äûðî÷íîãî ïîäõîäîâ. Ýòîò ïåðèîä îçíàìåíîâàëñÿ ðàñ÷åòàìè â íèçøåì ïîðÿäêå ïî ñòåïåíÿì å2 ñå÷åíèé ðàçíûõ ïðîöåññîâ: e– + γ → e– + γ (1929 ãîä, Êëåéí, Íèøèíà 46); e+ + e– → 2γ (1930 ãîä, Äèðàê 47); e– + e– → e– + e – (1932 ãîä, Ìåëëåð 48); e– + Z → e– + γ + Z è γ + Z → e+ + e– + Z (çäåñü Z îçíà÷àåò êóëîíîâñêîå ïîëå òÿæåëîãî àòîìà) (1934 ãîä, Áåòå, Ãàéòëåð 49); e+ + e– → e+ + e– (1936 ãîä, Áàáà 50). (Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ñôîðìóëèðîâàíû â ãë. 8 è ïîäðîáíî ïðîèëëþñòðèðîâàíû íà ïðèìåðå ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà ýëåêòðîíå.) Ýòè âû÷èñëåíèÿ â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé äàâàëè êîíå÷íûå ðåçóëüòàòû, íàõîäèâøèåñÿ â ðàçóìíîì ñîãëàñèè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Òåì íå ìåíåå, â 1930-å ãîäû íàðàñòàëî îùóùåíèå íåóäîâëåòâîðåííîñòè êâàíòîâîé òåîðèåé ïîëÿ (ñ ó÷åòîì èëè áåç ó÷åòà òåîðèè äûðîê). Îäíîé èç ïðè÷èí áûëà î÷åâèäíàÿ íåóäà÷à êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïðè ðàñ÷åòå ïðîíèêàþùåé ñïîñîáíîñòè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ëèâíÿõ êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, îòìå÷åííàÿ â 1936 ãîäó Îïïåíãåéìåðîì è Ôðàíêëèíîì Êàðëñîíîì 50à. Äðóãîé ïðè÷èíîé íåóäîâëåòâîðåííîñòè, îêàçàâøåéñÿ ñâÿçàííîé ñ ïåðâîé, áûëî ïîñòîÿííîå îòêðûòèå íîâûõ ñîðòîâ ÷àñòèö è âçàèìîäåéñòâèé. Ìû óæå óïîìèíàëè ýëåêòðîí, ôîòîí, ïîçèòðîí, íåéòðèíî, è, êîíå÷íî, ÿäðî àòîìà âîäîðîäà — ïðîòîí.  1920-å ãîäû áûëî ðàñïðîñòðàíåíî ìíåíèå, ÷òî áîëåå òÿæåëûå ÿäðà ñîñòîÿò èç ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ, îäíàêî áûëî òðóäíî ïîíÿòü, êàê ëåãêàÿ ÷àñòèöà âðîäå ýëåêòðîíà ìîãëà óäåðæèâàòüñÿ âíóòðè ÿäðà. Åùå îäíà ñåðüåçíàÿ òðóäíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òàêîé êàðòèíîé, áûëà îòìå÷åíà â 1931 ãîäó Ýðåíôåñòîì è Îïïåíãåéìåðîì 51: äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿäðî îáû÷íîãî àçîòà 14N èìåëî àòîìíûé íîìåð 7 è ìàññîâîå ÷èñëî 14, îíî äîëæíî áûëî ñîñòîÿòü èç 14 ïðîòîíîâ è 7 ýëåêòðîíîâ è ïîýòîìó áûòü ôåðìèîíîì,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1. 2. Ðîæäåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ

39

÷òî ïðîòèâîðå÷èëî ïîëó÷åííîìó ìåòîäàìè ìîëåêóëÿðíîé ñïåêòðîñêîïèè 52 âûâîäó, ÷òî 14N — áîçîí. Ýòà (è äðóãèå) ïðîáëåìà ðåøèëàñü ïîñëå îòêðûòèÿ â 1932 ãîäó íåéòðîíà 53 è ãèïîòåçû Ãåéçåíáåðãà 54, ÷òî ÿäðà ñîñòîÿò èç ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, à íå èç ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ. Áûëî î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ óäåðæàíèÿ ÿäðà ìåæäó íåéòðîíàìè è ïðîòîíàìè äîëæíû äåéñòâîâàòü áîëüøèå íåýëåêòðîìàãíèòíûå êîðîòêîäåéñòâóþùèå ñèëû. Ïîñëå óñïåõà ôåðìèåâñêîé òåîðèè β-ðàñïàäà ðÿä àâòîðîâ 54à âûñêàçûâàë ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî â ðàìêàõ ýòîé òåîðèè ÿäåðíûå ñèëû ìîæíî áûëî áû îáúÿñíèòü êàê ðåçóëüòàò îáìåíà ýëåêòðîíàìè è íåéòðèíî. Íåñêîëüêèìè ãîäàìè ñïóñòÿ, â 1935 ãîäó Õèäåêè Þêàâà ïðåäëîæèë ñîâåðøåííî íîâóþ êâàíòîâóþ òåîðèþ ïîëÿ äëÿ îïèñàíèÿ ÿäåðíûõ ñèë 55.  ðàìêàõ ïîëíîñòüþ êëàññè÷åñêîãî îïèñàíèÿ îí íàøåë, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ íóêëîíàìè (ïðîòîíàìè è íåéòðîíàìè) äîëæíî áûëî áû ïîðîæäàòü íóêëîí-íóêëîííûå ïîòåíöèàë, çàâèñÿùèé îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýòèìè ÷àñòèöàìè êàê 1 V ( r) ∝ exp( − λr), (1.2.74) r à íå êàê 1/r â ñëó÷àå êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè. Âåëè÷èíà λ áûëà ââåäåíà â óðàâíåíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ Þêàâû êàê ïàðàìåòð; ïðîêâàíòîâàâ ýòî ïîëå, Þêàâà îáíàðóæèë, ÷òî îíî îïèñûâàåò ÷àñòèöû ìàññîé $/(λc). Âçÿâ íàáëþäàåìûé ðàäèóñ ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íóêëîíàìè, Þêàâà ñóìåë îöåíèòü, ÷òî $/(λc) ïîðÿäêà 200 ìàññ ýëåêòðîíà.  1937 ãîäó òàêèå «ìåçîíû» áûëè îáíàðóæåíû â îïûòàõ ñ ïóçûðüêîâûìè êàìåðàìè 56 Ñåòîì Íåääåðìåéåðîì è Àíäåðñîíîì, à òàêæå Äæàáåçîì Êàððè Ñòðèòîì è Ýäâàðäîì Êàðëîì Ñòèâåíñîíîì. Ïî îáùåìó ìíåíèþ, ýòî è áûëè ãèïîòåòè÷åñêèå ÷àñòèöû Þêàâû. Îòêðûòèå ìåçîíîâ ïîäòâåðäèëî, ÷òî â êîñìè÷åñêîì èçëó÷åíèè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ìîãóò áûòü íå òîëüêî ýëåêòðîíû, è ïîýòîìó ïðîáëåìà, òðåâîæèâøàÿ Îïïåíãåéìåðà è Êàðëñîíà, áûëà ñíÿòà.Îäíàêî ýòî îòêðûòèå ïîðîäèëî íîâûå òðóäíîñòè. Ëîòàð Íîðäõåéì 56à îòìåòèë â 1939 ãîäó, ÷òî òå æå ñàìûå ñèëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, çà ñ÷åò êîòîðûõ ìåçîíû ìíîæåñòâåííî ðîæäàþòñÿ â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû (è êîòîðûå òðåáóþòñÿ òåîðèåé Þêàâû) äîëæíû ïðèâîäèòü ê ïîãëîùåíèþ ìåçîíîâ â íèæíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî íàáëþäàâøåìóñÿ áîëüøîìó êîëè÷åñòâó ýòèõ ìåçîíîâ íà ìàëûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

40

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

âûñîòàõ.  1947 ãîäó â ýêñïåðèìåíòå Ìàð÷åëëî Êîíâåðñè, Ýòòîðå Ïàí÷èíè è Îðåñòå Ïè÷÷èîíè 57 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî òå ìåçîíû, êîòîðûå ïðåîáëàäàþò â êîñìè÷åñêîì èçëó÷åíèè íà ìàëûõ âûñîòàõ, íà ñàìîì äåëå ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþò c íóêëîíàìè è ïîýòîìó íå ìîãóò áûòü ñîïîñòàâëåíû ÷àñòèöàì Þêàâû. Ýòà çàãàäêà ðàçðåøèëàñü ïîñëå òåîðåòè÷åñêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ 58, à çàòåì è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ 59 ×åçàðå Ëàòòåñà, Îêêèàëèíè è Ñåñèëà Ïàóýëëà, ÷òî íà ñàìîì äåëå ñóùåñòâóþò äâà òèïà ìåçîíîâ ñ íåñêîëüêî ðàçëè÷àþùèìèñÿ ìàññàìè: áîëåå òÿæåëûé (åãî ñåé÷àñ íàçûâàþò π-ìåçîíîì èëè ïèîíîì) ñïîñîáåí ñèëüíî âçàèìîäåéñòâîâàòü è âûïîëíÿåò ðîëü ïåðåíîñ÷èêà ÿäåðíûõ ñèë, ïðåäñêàçàííóþ Þêàâîé; áîëåå ëåãêèé (íàçûâàåìûé ñåé÷àñ ìþîíîì) ñïîñîáåí òîëüêî ê ñëàáûì èëè ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèÿì è ïðåîáëàäàåò â êîñìè÷åñêîì èçëó÷åíèè íà óðîâíå ìîðÿ, âîçíèêàÿ êàê ðåçóëüòàò ðàñïàäà ïèîíîâ.  òîì æå 1947 ãîäó â êîñìè÷åñêîì èçëó÷åíèè áûëè íàéäåíû ñîâåðøåííî íîâûå òèïû ÷àñòèö, èçâåñòíûå ñåé÷àñ êàê K-ìåçîíû è ãèïåðîíû (Äæîðäæ Ðî÷åñòåð è Êëèôôîðä Áàòëåð 60.) C 1947 ãîäà è âïëîòü äî íàøèõ äíåé ïðîäîëæàåòñÿ îòêðûòèå óæàñàþùåãî êîëè÷åñòâà ÷àñòèö âñå íîâûõ ðàçíîâèäíîñòåé, îäíàêî ïðîäîëæåíèå ðàññêàçà îá ýòîì óâåëî áû íàñ äàëåêî â ñòîðîíó îò ïðåäìåòà ðàññìîòðåíèÿ. Âñå ýòè îòêðûòèÿ ÿñíî ïîêàçàëè, ÷òî ëþáàÿ êîíöåïòóàëüíàÿ îñíîâà, îãðàíè÷åííàÿ ôîòîíàìè, ýëåêòðîíàìè è ïîçèòðîíàìè, áûëà áû ñëèøêîì óçêîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ñåðüåçíî ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðèÿ. Íî åùå áîëåå âàæíîé îêàçàëàñü ÷èñòî òåîðåòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé. 1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ èìååò äåëî ñ ïîëÿìè ψ(x), óíè÷òîæàþùèìè è ðîæäàþùèìè ÷àñòèöû â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå x. Ïðåäûäóùèé îïûò îáðàùåíèÿ ñ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé ýëåêòðîíà ïðåäóïðåæäàåò, ÷òî òî÷å÷íûé ýëåêòðîí îáëàäàåò áåñêîíå÷íîé ñîáñòâåííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé ìàññîé.  ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà ïî ñôåðå ðàäèóñîì a ýòà ìàññà ðàâíà e2/(6πac2) è ðàñõîäèòñÿ ïðè à → 0. Ê ñîæàëåíèþ, òà æå ïðîáëåìà ñ åùå áîëüøåé îñòðîòîé âñòàëà â ïåðâûå æå äíè ñóùåñòâîâàíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, è õîòÿ åå óäàëîñü â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñìÿã÷èòü ïîñëåäóþùèìè óëó÷øåíèÿìè òåîðèè, îíà òàê è îñòàåòñÿ ñ íàìè ïî ñåé äåíü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé

41

Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ áûëà, ïîâèäèìîìó, âïåðâûå îòìå÷åíà â ðàáîòàõ Ãåéçåíáåðãà è Ïàóëè 1929− 1930 ãîäîâ 41 Âñêîðå ïîÿâëåíèå áåñêîíå÷íîñòåé áûëî ïîäòâåðæäåíî ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà Îïïåíãåéìåðîì 61 è ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà Àéâàðîì Âàëëåðîì 62. Îíè èñïîëüçîâàëè îáû÷íóþ òåîðèþ âîçìóùåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîìåæóòî÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè, âêëþ÷àâøèìè ýëåêòðîí è ôîòîí. Íàïðèìåð, ñäâèã ýíåðãèè ýëåêòðîíà En íà n-îì ýíåðãåòè÷åñêîì óðîâíå àòîìà âîäîðîäà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

∆E n =

X

∑ YZ d3k

m,λ

| < m; k, λ| H ′| n >|2 , E n − E m −| k | c

(1.3.1)

ãäå ñóììû è èíòåãðàë áåðóòñÿ ïî âñåì ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì ýëåêòðîíà m, ñïèðàëüíîñòÿì ôîòîíà λ è èìïóëüñàì ôîòîíà k, à Í′ - ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå, îïèñûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå èçëó÷åíèÿ è ýëåêòðîíîâ. Ïîäîáíîå âû÷èñëåíèå äàåò ôîðìàëüíî áåñêîíå÷íóþ ñîáñòâåííóþ ýíåðãèþ; áîëåå òîãî, åñëè óñòðàíèòü ýòó áåñêîíå÷íîñòü ïóòåì îòáðàñûâàíèÿ âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ âîëíîâûìè ÷èñëàìè ôîòîíîâ áîëüøèìè 1/à, òî ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ïðè à → 0 âåäåò ñåáÿ êàê 1/à2. Áåñêîíå÷íîñòè òàêîãî ðîäà ÷àñòî íàçûâàþò óëüòðàôèîëåòîâûìè ðàñõîäèìîñòÿìè, òàê êàê îíè âîçíèêàþò îò ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, ñîäåðæàùèõ ÷àñòèöû î÷åíü êîðîòêèõ äëèí âîëí. Âî âñåõ òàêèõ âû÷èñëåíèÿõ ýëåêòðîí ðàññìàòðèâàëñÿ ïî ïðàâèëàì ïåðâîíà÷àëüíîé òåîðèè Äèðàêà áåç çàïîëíåííûõ ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Íåñêîëüêèìè ãîäàìè ñïóñòÿ Âàéñêîïô ïîâòîðèë âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííîé ìàññû ýëåêòðîíà â ðàìêàõ íîâîé äûðî÷íîé òåîðèè ñ ïîëíîñòüþ çàíÿòûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé.  ýòîì ñëó÷àå âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå, êîòîðîå íà ÿçûêå òåîðèè áåç äûðîê ìîæåò áûòü îïèñàíî êàê âîçíèêàþùåå îò ïðîöåññîâ, â êîòîðûõ ýëåêòðîí â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ñíà÷àëà ðîæäàåòñÿ èç âàêóóìà âìåñòå ñ ôîòîíîì è ïîçèòðîíîì, à ïîñëåäíèé çàòåì àííèãèëèðóåò ñ íà÷àëüíûì ýëåêòðîíîì. Ñíà÷àëà Âàéñêîïô ïîëó÷èë çàâèñèìîñòü 1/à2 îò âåëè÷èíû îáðåçàíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà ôîòîíîâ 1/à.  òî æå âðåìÿ (ïî ïðåäëîæåíèþ Áîðà) àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ áûëè ñäåëàíû Êàðëñîíîì è Ôàððè. Óâèäåâ ðåçóëüòàòû Âàéñêîïôà, Ôàððè ïîíÿë, ÷òî õîòÿ Âàéñêîïô è ó÷åë òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ñëàãàåìîå, êîòîðûì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

42

ïðåíåáðåãëè îí è Êàðëñîí, íî äîïóñòèë îøèáêó ïðè âû÷èñëåíèè âêëàäà ìàãíèòíîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè. Óçíàâ îá ýòîì îò Ôàððè, Âàéñêîïô èñïðàâèë ñâîþ îøèáêó è îáíàðóæèë, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîðÿäêà 1/à2 â ïîëíîì ñäâèãå ìàññû ñîêðàòèëèñü! Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòî ñîêðàùåíèå, áåñêîíå÷íîñòü ñîõðàíèëàñü: ïðè îáðåçàíèè ïî âîëíîâîìó ÷èñëó âåëè÷èíîé 1/à ñîáñòâåííàÿ ìàññà îêàçàëàñü ðàâíîé 63 h 3α mýì = m ln , (1.3.2) mca 2π

FG H

IJ K

Îñëàáëåíèå çàâèñèìîñòè îò îáðåçàíèÿ, ïðèíÿâøåé âèä ln a ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ 1/à èëè ðàííåé êâàíòîâîé çàâèñèìîñòüþ 1/à2, áûëî âîñïðèíÿòî â ñâîå âðåìÿ êàê îáíàäåæèâàþùèé ïðèçíàê è îêàçàëîñü î÷åíü âàæíûì ïîçäíåå ïðè ðàçâèòèè òåîðèè ïåðåíîðìèðîâîê.  1933 ãîäó, ïî-âèäèìîìó, Äèðàê 64 îáíàðóæèë âîçíèêíîâåíèå áåñêîíå÷íîñòè ñîâñåì äðóãîãî òèïà. Îí ðàññìîòðåë âëèÿíèå âíåøíåãî ñòàòè÷åñêîãî çàðÿäà ïî÷òè îäíîðîäíîé ïëîòíîñòè ε(x) íà âàêóóì, ò. å. íà ýëåêòðîíû ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, íàõîäèâøèåñÿ â ðàìêàõ òåîðèè äûðîê â çàïîëíåííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ. Êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ε(x) è ïëîòíîñòüþ çàðÿäà ýëåêòðîíîâ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèè ïðèâîäèò ê «ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà» ñ èíäóöèðîâàííîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà

F h IJ δε = Aε + BG H mc K

2

∇2 ε + . . .

(1.3.3)

Êîíñòàíòà  êîíå÷íà è ïîðÿäêà α.  òî æå âðåìÿ, êîíñòàíòà À ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäèòñÿ êàê α ln a, ãäå 1/à − âåëè÷èíà îáðåçàíèÿ ïî âîëíîâîìó ÷èñëó. Ïîõîæå, ÷òî áåñêîíå÷íîñòè âîçíèêàëè è â ñâÿçàííîé ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ ñâåòà íà ñâåòå. Ãàíñ Ýéëåð, Áåðíàðä Êîêåëü è Ãåéçåíáåðã 65 ïîêàçàëè â 1935−1936 ãîäàõ, ÷òî ýòè áåñêîíå÷íîñòè ìîæíî óñòðàíèòü, èñïîëüçóÿ áîëåå èëè ìåíåå ïðîèçâîëüíîå ïðåäïèñàíèå, ðàíåå ïðåäëîæåííîå Äèðàêîì 66 è Ãåéçåíáåðãîì 67. Îíè âû÷èñëèëè ýôôåêòèâíóþ ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïîðîæäàåìûõ âèðòóàëüíûìè ýëåêòðîí−ïîçèòðîííûìè ïàðàìè,

L =

1 2

(E 2 − B 2 ) +

e4h 360π

2

me4 c7

LMdE N

2

− B2

2

i

OP Q

+ 7(E ⋅ B)2 + . . . , (1.3.4)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé

43

ñïðàâåäëèâóþ ïðè ÷àñòîòàõ ν n mec2/$. Âñêîðå Íèêîëàñ Êåììåð è Âàéñêîïô 68 âûñêàçàëè ñîîáðàæåíèÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå áåñêîíå÷íîñòè ôèêòèâíû, è ÷òî âûðàæåíèå (1.3.4) ìîæíî âûâåñòè áåç âñÿêèõ âû÷èòàòåëüíûõ ïðåäïèñàíèé. ßðêèì ëó÷îì â áîðüáå ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè áûëî óñïåøíîå ðàññìîòðåíèå èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, âîçíèêàþùèõ íå îò âûñîêîýíåðãåòè÷åñêîé, à îò íèçêîýíåðãåòè÷åñêîé îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ.  1937 ãîäó Ôåëèêñ Áëîõ è Àðíå Íîðäñèê ïîêàçàëè 68à, ÷òî ýòè áåñêîíå÷íîñòè ñîêðàùàþòñÿ, åñëè ó÷åñòü ïðîöåññû ñ èçëó÷åíèåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ôîòîíîâ íèçêîé ýíåðãèè.  ñîâðåìåííûõ òåðìèíàõ ýòà ïðîáëåìà áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ãë. 13. Íàêîíåö, åùå îäíà áåñêîíå÷íîñòü âîçíèêëà â 1939 ãîäó â âû÷èñëåíèÿõ Ñèäíè Ìàéêëîì Äàíêîâûì 69 ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíà ñòàòè÷åñêèì êóëîíîâñêèì ïîëåì àòîìà. Âû÷èñëåíèå ñîäåðæàëî îøèáêó (áûëî ïðîïóùåíî îäíî ñëàãàåìîå), íî ýòî ñòàëî ïîíÿòíî òîëüêî ïîçäíåå 69à.  1930-å ãîäû âñå ýòè áåñêîíå÷íîñòè íå âîñïðèíèìàëèñü ëèøü êàê íåóäà÷è êîíêðåòíûõ âû÷èñëåíèé. Ñêîðåå, îíè óêàçûâàëè íà ïðîáåë â ïîíèìàíèè ôóíäàìåíòàëüíûõ îñíîâ ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, ÷òî òîëüêî ïîä÷åðêèâàëîñü óïîìÿíóòûìè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðîáëåìàìè ñ êîñìè÷åñêèì èçëó÷åíèåì. Îäíèì èç ñèìïòîìîâ ýòîãî íåïðåõîäÿùåãî ïåññèìèçìà áûëî ïðîäîëæàâøååñÿ âñå 30-å è 40-å ãîäû èñïîëüçîâàíèå àëüòåðíàòèâíûõ ñõåì. Êàê âñïîìèíàë ïîçäíåå Äæóëèàí Øâèíãåð 69á, «îñíîâíûì çàíÿòèåì áîëüøèíñòâà âîâëå÷åííûõ â ýòè ïðîáëåìû ôèçèêîâ áûë íå àíàëèç è òùàòåëüíîå ïðèìåíåíèå èçâåñòíîé ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîííîãî è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëåé, à ïîïûòêè èçìåíèòü åå». Òàê, â 1938 ãîäó Ãåéçåíáåðã 70 ïðåäïîëîæèë ñóùåñòâîâàíèå ôóíäàìåíòàëüíîé äëèíû L, àíàëîãè÷íîé ôóíäàìåíòàëüíîìó êâàíòó äåéñòâèÿ $ è ôóíäàìåíòàëüíîé ñêîðîñòè ñ. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ, òåîðèÿ ïîëÿ áûëà ïðèìåíèìà òîëüêî íà ðàññòîÿíèÿõ, áîëüøèõ L, òàê ÷òî âñå ðàñõîäÿùèåñÿ èíòåãðàëû ýôôåêòèâíî äîëæíû áûëè îáðåçàòüñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà L, èëè íà èìïóëüñàõ ïîðÿäêà h/L. ×òîáû ïðèäàòü òåîðèè ïîëÿ íåëîêàëüíóþ ñòðóêòóðó, áûëî âûñêàçàíî íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé. Íåêîòîðûå òåîðåòèêè ñòàëè ïîäîçðåâàòü, ÷òî ôîðìàëèçì âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé è êâàíòîâûõ ïîëåé äîëæåí áûòü çàìåíåí íà äðóãîé, îñíîâàííûé èñêëþ÷èòåëüíî íà íàáëþäàåìûõ âåëè÷èíàõ, òèïà ââåäåííîé â 1937 ãîäó

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

44

Äæîíîì Àð÷èáàëüäîì Óèëåðîì 71 è Ãåéçåíáåðãîì 72 S-ìàòðèöû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû àìïëèòóäàì ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ. Êàê ìû óâèäèì, ïîíÿòèå S-ìàòðèöû ñòàëî æèçíåííî íåîáõîäèìîé ÷àñòüþ ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, à äëÿ íåêîòîðûõ òåîðåòèêîâ ÷èñòàÿ òåîðèÿ S-ìàòðèöû ñòàëà èäåàëîì, îñîáåííî êàê âîçìîæíîå ðåøåíèå ïðîáëåì ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé 73. Ðàññóæäàÿ â íåñêîëüêî èíîì íàïðàâëåíèè, Óèëåð è Ðè÷àðä Ôåéíìàí 74 ïîïûòàëèñü â 1945 ãîäó èñêëþ÷èòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, âûâîäÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ èç äåéñòâèÿ íà ðàññòîÿíèè. Èì óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ïîëíîñòüþ çàïàçäûâàþùèé (èëè îïåðåæàþùèé) ïîòåíöèàë ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ó÷åñòü íå òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó èñòî÷íèêîì è ïðîáíûìè çàðÿäàìè, íî è ìåæäó ýòèìè çàðÿäàìè è âñåìè äðóãèìè çàðÿäàìè âî âñåëåííîé. Âîçìîæíî, íàèáîëåå ðàäèêàëüíîé ìîäèôèêàöèåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðåäëîæåííîé â ýòè ãîäû, áûëî ââåäåíèå Äèðàêîì 75 ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ êàê ñðåäñòâà ñîêðàùåíèÿ áåñêîíå÷íîñòåé â ñóììå ïî ñîñòîÿíèÿì. Ýòà èäåÿ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ïîëó÷èëà ðàçâèòèå è â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, õîòÿ è íå â îðèãèíàëüíîé ôîðìå.  1930-å ãîäû â âîçäóõå íîñèëàñü è áîëåå êîíñåðâàòèâíàÿ èäåÿ î òîì, êàê îáðàùàòüñÿ ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè. Âîçìîæíî, âñå ýòè áåñêîíå÷íîñòè ìîãëè áûòü ïîãëîùåíû â ïåðåîïðåäåëåíèè èëè ïåðåíîðìèðîâêå ïàðàìåòðîâ òåîðèè. Íàïðèìåð, óæå áûëî èçâåñòíî, ÷òî â ëþáîé ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé êëàññè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíûå ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ è ñîáñòâåííûé èìïóëüñ ýëåêòðîíà äîëæíû èìåòü ôîðìó ïîïðàâîê ê ìàññå ýëåêòðîíà. Îòñþäà, áåñêîíå÷íîñòè â ýòèõ âåëè÷èíàõ ìîæíî áûëî ñîêðàòèòü ñ «ãîëîé» íåýëåêòðîìàãíèòíîé ìàññîé ýëåêòðîíà, ïîëó÷èâ êîíå÷íóþ èçìåðèìóþ «ïåðåíîðìèðîâàííóþ» ìàññó. Êðîìå òîãî, óðàâíåíèå (1.3.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà èçìåíÿåò çàðÿä ýëåêòðîíà îò âåëè÷èíû, ðàâíîé èíòåãðàëó å ≡ ∫ d3x⋅ε, äî âåëè÷èíû eïîëíûé =

z

d 3 x(ε + δε) = (1 + A)e .

(1.3.5)

Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà ïðèâîäèò ê êîíå÷íûì ðåçóëüòàòàì â íèçøåì ïîðÿäêå, åñëè íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû òèïà ñå÷åíèé ðàññåÿíèÿ âûðàæåíû ÷åðåç åïîëíûé, à íå ÷åðåç å. Âîïðîñ çàêëþ÷àëñÿ â òîì, âñå ëè áåñêîíå÷íîñòè â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ìîæíî óñòðàíèòü ïîäîáíûì îáðàçîì.  1936 ãîäó Âàéñêîïô 76 ïðåäïîëîæèë, ÷òî äåëî îáñòîèò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé

45

èìåííî òàê, è íà ðÿäå ïðîñòûõ ïðèìåðîâ óáåäèëñÿ, ÷òî èçâåñòíûå áåñêîíå÷íîñòè ìîãóò áûòü óñòðàíåíû ïåðåíîðìèðîâêîé ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Îäíàêî ïðè ñóùåñòâîâàâøåé òîãäà âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêå áûëî íåâîçìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íîñòè âñåãäà ìîæíî óñòðàíèòü ïîäîáíûì îáðàçîì, à ïðèìåð Äàíêîâà 69, êàçàëîñü, ïîäòâåðæäàë, ÷òî ýòîãî ñäåëàòü íåëüçÿ. Äðóãèì ðåçóëüòàòîì, ñâÿçàííûì ñ ïîÿâëåíèåì áåñêîíå÷íîñòåé, ñòàëà òåíäåíöèÿ ïîëàãàòü, ÷òî âñÿêèé ýôôåêò, êîòîðûé îêàçûâàëñÿ áåñêîíå÷íûì â ðàìêàõ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, íà ñàìîì äåëå íå èìååò ìåñòà.  ÷àñòíîñòè, â äèðàêîâñêîé òåîðèè 1928 ãîäà ïðåäñêàçûâàëîñü ïîëíîå âûðîæäåíèå óðîâíåé 2s1/2−2p1/2 àòîìà âîäîðîäà âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî α. Âñÿêàÿ ïîïûòêà ðàñ÷åòà ðàñùåïëåíèÿ ýòèõ äâóõ óðîâíåé â ðàìêàõ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñâîäèëàñü ê ïðîáëåìå áåñêîíå÷íîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà. Ïîýòîìó ðåàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ðàñùåïëåíèÿ íå âîñïðèíèìàëîñü âñåðüåç. Ïîçäíåå Áåòå 80 âñïîìèíàë, ÷òî «ýòîò ñäâèã îêàçûâàëñÿ áåñêîíå÷íûì âî âñåõ ñóùåñòâîâàâøèõ òåîðèÿõ è ïîýòîìó ïðîñòî èãíîðèðîâàëñÿ». Òàêîå îòíîøåíèå ñîõðàíÿëîñü äàæå â êîíöå 1930-õ ãîäîâ, êîãäà ñïåêòðîñêîïè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû ñòàëè äàâàòü ïðÿìûå óêàçàíèÿ íà ñóùåñòâîâàíèå ðàñùåïëåíèÿ 2s1/2−2p1/2 óðîâíåé ïîðÿäêà 1000 ÌÃö. Çàìåòíûì èñêëþ÷åíèåì ñòàë Ýäâèí Àëüáðåõò Þëèíã 78, êîòîðûé ïîíÿë, ÷òî óïîìÿíóòûé âûøå ýôôåêò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà äîëæåí ïðèâîäèòü ê ðàñùåïëåíèþ óðîâíåé 2s1/2−2p1/2. Ê ñîæàëåíèþ, êàê ìû óâèäèì â ãë. 14, ýòîò âêëàä â ðàñùåïëåíèå ìíîãî ìåíüøå 1000 ÌÃö è ê òîìó æå èìååò íåïðàâèëüíûé çíàê. Òóìàí, îêóòûâàâøèé êâàíòîâóþ òåîðèþ ïîëÿ, íà÷àë ðàññåèâàòüñÿ âñêîðå ïîñëå âòîðîé ìèðîâîé âîéíû.  òå÷åíèå 1−4 èþíÿ 1947 ãîäà â ìåñòå÷êå Øåëòåð Àéëåíä, øòàò Íüþ Éîðê, ïðîõîäèëà êîíôåðåíöèÿ ïî îñíîâàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè, íà êîòîðóþ ñîáðàëèñü êàê ôèçèêè−òåîðåòèêè, ðàáîòàâøèå íàä ïðîáëåìàìè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ åùå â 30-å ãîäû, òàê è ó÷åíûå ìîëîäîãî ïîêîëåíèÿ, íà÷àâøèå íàó÷íóþ ðàáîòó âî âðåìÿ âîéíû. ×òî îñîáåííî âàæíî, ñðåäè ó÷àñòíèêîâ áûëî è íåñêîëüêî ôèçèêîâ−ýêñïåðèìåíòàòîðîâ. Ëèäåðàìè äèñêóññèè ñòàëè Ãàíñ Êðàìåðñ, Îïïåíãåéìåð è Âàéñêîïô. Îäèí èç ýêñïåðèìåíòàòîðîâ (èëè, ñêîðåå, òåîðåòèê, ñòàâøèé ýêñïåðèìåíòàòîðîì), Óèëëèñ Ëýìá, ðàññêàçàë îá óáåäèòåëüíîì îïûòå ïî èçìåðåíèþ ñäâèãà óðîâíåé ýíåðãèè 2s1/2−2p1/2 â âîäîðîäå 79. Ïó÷îê àòîìîâ âîäîðîäà îò èñòî÷íèêà, ñîäåðæàâøèé ìíîãî àòîìîâ â 2s- è 2ð-ñîñòîÿíèÿõ, íàïðàâëÿëñÿ íà äåòåêòîð, ÷óâñòâèòåëüíûé òîëüêî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

46

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

ê àòîìàì â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè. Àòîìû â 2ð-ñîñòîÿíèÿõ î÷åíü áûñòðî ðàñïàäàëèñü, ïåðåõîäÿ â îñíîâíîå 1s ñîñòîÿíèå ñ èñïóñêàíèåì îäíîãî ôîòîíà (α−ëèíèÿ Ëàéìàíà), â òî âðåìÿ, êàê 2s-ñîñòîÿíèÿ ìîãëè òîëüêî ìåäëåííî ðàñïàäàòüñÿ ñ èñïóñêàíèåì äâóõ ôîòîíîâ.  ðåçóëüòàòå äåòåêòîð èçìåðÿë ÷èñëî àòîìîâ â ìåòàñòàáèëüíîì 2s ñîñòîÿíèè. Ïó÷îê ïðîõîäèë ÷åðåç ìàãíèòíîå ïîëå, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ê ëþáîìó èìåþùåìóñÿ ñäâèãó óðîâíåé 2s1/2−2p1/2 äîáàâëÿëñÿ èçâåñòíûé çååìàíîâñêèé ñäâèã. Êðîìå òîãî, íà ïó÷îê íàêëàäûâàëîñü ìèêðîâîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñ ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòîé ν ∼ 10 ÃÃö. Ïðè îïðåäåëåííîé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàáëþäàëîñü ðåçêîå óìåíüøåíèå ñèãíàëà äåòåêòîðà, ñâèäåòåëüñòâîâàâøåå î òîì, ÷òî ìèêðîâîëíîâîå ïîëå ïîðîäèëî ðåçîíàíñíûå ïåðåõîäû èç ìåòàñòàáèëüíîãî 2s-ñîñòîÿíèÿ â 2ð-ñîñòîÿíèå, à çàòåì — â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå çà ñ÷åò áûñòðîãî ïåðåõîäà ñ èñïóñêàíèåì ëàéìàíîâñêîé α−ëèíèè. Ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîëíîå ðàñùåïëåíèå óðîâíåé 2s− 2ð, âêëþ÷àâøåå çååìàíîâñêîå ðàñùåïëåíèå è ñîáñòâåííî ñäâèã ìåæäó óðîâíÿìè, äîëæíî áûëî ðàâíÿòüñÿ hν. Îòñþäà ìîæíî áûëî èçâëå÷ü âåëè÷èíó ðàñùåïëåíèÿ óðîâíåé. Áûëî îáúÿâëåíî ïðåäâàðèòåëüíîå çíà÷åíèå ñäâèãà, ðàâíîå 1000 ÌÃö è íàõîäèâøååñÿ â ñîãëàñèè ñ áîëåå ðàííèìè ñïåêòðîñêîïè÷åñêèìè èçìåðåíèÿìè 77. Ïîñëåäñòâèÿ ýòîãî îòêðûòèÿ íàøëè îòðàæåíèå â èçðå÷åíèè, êîòîðîå ÿ ñëûøàë â Êîïåíãàãåíå â 1954 ãîäó, êîãäà ïðîõîäèë òàì àñïèðàíòóðó: «Íå ñëåäóåò ãîâîðèòü, ÷òî íå÷òî ðàâíî íóëþ òîëüêî ïîòîìó, ÷òî îíî ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè!» Îòêðûòèå ëýìáîâñêîãî ñäâèãà âûçâàëî ãëóáîêèé èíòåðåñ ó òåîðåòèêîâ, ñîáðàâøèõñÿ â Øåëòåð Àéëåíäå, òåì áîëåå, ÷òî ìíîãèå èç íèõ óæå ðàáîòàëè íàä óëó÷øåíèåì ôîðìàëèçìà ðàñ÷åòîâ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Êðàìåðñ äîëîæèë ñâîþ ðàáîòó î ïåðåíîðìèðîâêå ìàññû â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ïðîòÿæåííîãî ýëåêòðîíà 79à, â êîòîðîé ïîêàçàë, ÷òî òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ðàñõîäèìîñòüþ ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â ïðåäåëå íóëåâîãî ðàäèóñà, íå âîçíèêàþò â ÿâíîì âèäå, åñëè çàïèñàòü òåîðèþ â âèäå, ãäå ìàññîâûé ïàðàìåòð îòîæäåñòâëåí ñ ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìîé ìàññîé ýëåêòðîíà. Øâèíãåð è Âàéñêîïô (äî êîòîðûõ óæå äîøëè ñëóõè î ðåçóëüòàòå Ëýìáà) îáñóæäàëè ñèòóàöèþ ïî äîðîãå â Øåëòåð Àéëåíä è âûñêàçàëè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïîñêîëüêó, êàê áûëî èçâåñòíî, ó÷åò ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, âêëþ÷àþùèõ ïîçèòðîíû, óìåíüøàåò ðàñõîäèìîñòü âûðàæåíèé äëÿ ñäâèãîâ óðîâíåé ýíåðãèè ñ 1/a2 äî ln a, òî íå ìîæåò ëè ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ó÷åò ýòèõ ïðîìå-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé

47

æóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé ñäåëàåò ðàçíîñòè ñäâèãîâ àòîìíûõ óðîâíåé êîíå÷íûìè. (Íà ñàìîì äåëå, â 1946 ãîäó, åùå äî òîãî, êàê Âàéñêîïô óçíàë îá îïûòå Ëýìáà, îí ïðåäëîæèë ýòó çàäà÷ó ñâîåìó àñïèðàíòó Áðàéñó Ôðåí÷ó.) Ïî÷òè ñðàçó æå ïîñëå êîíôåðåíöèè, â ïîåçäå, èäóùåì â Ñêåíåêòåäè, Ãàíñ Áåòå 80 ïðîäåëàë íåðåëÿòèâèñòñêîå âû÷èñëåíèå, âñå åùå íå ó÷èòûâàâøåå ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ íàëè÷èåì ïîçèòðîííûõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, íî èñïîëüçîâàâøåå äëÿ óñòðàíåíèÿ áåñêîíå÷íîñòåé ïðîñòîé ìåòîä îáðåçàíèÿ èìïóëüñîâ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ âåëè÷èíîé ïîðÿäêà mec. Áåòå ïîëó÷èë âñåëÿâøåå íàäåæäó ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñäâèãà, ðàâíîå 1040 ÌÃö. Âñêîðå ðÿäîì àâòîðîâ 81 áûëè âûïîëíåíû ïîëíîñòüþ ðåëÿòèâèñòñêèå âû÷èñëåíèÿ, èñïîëüçóþùèå äëÿ óñòðàíåíèÿ áåñêîíå÷íîñòåé èäåþ ïåðåíîðìèðîâîê. Ýòè âû÷èñëåíèÿ ïðèâåëè ê áëåñòÿùåìó ñîãëàñèþ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Íà êîíôåðåíöèè â Øåëòåð Àéëåíäå áûë äîëîæåí è äðóãîé âçâîëíîâàâøèé âñåõ ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò Èñèäîðà Ðàáè. Ïðîâåäåííûå â åãî ëàáîðàòîðèè èçìåðåíèÿ ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðû âîäîðîäà è äåéòåðèÿ ïîêàçàëè 82, ÷òî ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäñêàçûâàåìîãî äèðàêîâñêîãî çíà÷åíèÿ e$/2mc íà ìíîæèòåëü, ðàâíûé ïðèìåðíî 1,0013. Ïîñëåäóþùèå èçìåðåíèÿ ãèðîìàãíèòíûõ îòíîøåíèé â íàòðèè è ãàëëèè ïðèâåëè ê åùå áîëåå òî÷íîìó çíà÷åíèþ 83 µ=

eh 2mc

(1,00118 ± 0,00003) .

Óçíàâ îá ýòèõ ðåçóëüòàòàõ, Ãðåãîðè Áðåéò ïðåäïîëîæèë 83à, ÷òî îòêëîíåíèÿ âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ïîðÿäêà α ê ìàãíèòíîìó ìîìåíòó ýëåêòðîíà. Íà êîíôåðåíöèè è Áðåéò, è Øâèíãåð äîëîæèëè î ñâîèõ ïîïûòêàõ ðàññ÷èòàòü ýòó ïîïðàâêó. Âñêîðå ïîñëå êîíôåðåíöèè Øâèíãåð óñïåøíî çàâåðøèë ðàñ÷åò âåëè÷èíû àíîìàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà 84, ïîëó÷èâ çíà÷åíèå eh eh α µ= ⋅ 1,001162 , (1 + )= 2mc 2π 2mc íàõîäèâøååñÿ â ïðåêðàñíîì ñîãëàñèè ñ ýêñïåðèìåíòîì. Ýòîò ðåçóëüòàò íàðÿäó ñ ðàñ÷åòîì ëýìáîâñêîãî ñäâèãà, âûïîëíåííûìè Áåòå, óáåäèëè íàêîíåö ôèçèêîâ â ðåàëüíîñòè ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

48

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

Ïðèìåíÿâøèåñÿ â ýòî âðåìÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû âû÷èñëåíèé ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé äèêóþ ñìåñü êîíöåïöèé è ôîðìàëèçìîâ. Îäèí èç ïîäõîäîâ, ðàçâèòûé Øâèíãåðîì 85, áûë îñíîâàí íà îïåðàòîðíûõ ìåòîäàõ è ïðèíöèïå íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Ýòîò ïîäõîä áûë äîëîæåí íà ïîñëåäîâàâøåé çà Øåëòåð Àéëåíäîì êîíôåðåíöèè â Ïîêîíî Ìàíîð â 1948 ãîäó. Äðóãîé ëîðåíö-èíâàðèàíòíûé îïåðàòîðíûé ôîðìàëèçì áûë åùå ðàíüøå ïîñòðîåí Ñèíèòèðî Òîìîíàãîé 86 ñ ñîòðóäíèêàìè â ßïîíèè, íî ýòà ðàáîòà ñíà÷àëà íå áûëà èçâåñòíà íà Çàïàäå. Åùå â 1930-å ãîäû Òîìîíàãà ñòîëêíóëñÿ ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè â ìåçîííîé òåîðèè Þêàâû.  1947 ãîäó îí è åãî êîëëåãè âñå åùå íàõîäèëèñü âíå îáùåãî êðóãà íàó÷íûõ ñâÿçåé: îá îïûòå Ëýìáà îíè óçíàëè èç ñòàòüè â æóðíàëå Newsweek. Âíåøíå ñîâåðøåííî èíîé ïîäõîä áûë ïðåäëîæåí Ôåéíìàíîì 87. Îí êîðîòêî äîëîæèë î íåì íà êîíôåðåíöèè â Ïîêîíî. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ââîäèòü êâàíòîâîïîëåâûå îïåðàòîðû, Ôåéíìàí ïðåäñòàâèë Sìàòðèöó â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà îò exp(iW), ãäå W — èíòåãðàë äåéñòâèÿ äëÿ ñîâîêóïíîñòè äèðàêîâñêèõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ êëàññè÷åñêèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, âçÿòûé ïî âñåì òðàåêòîðèÿì äèðàêîâñêèõ ÷àñòèö, óäîâëåòâîðÿþùèì ïðè t → ± ∞ îïðåäåëåííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Îäíèì èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû Ôåéíìàíà, ïîëó÷èâøèì íåîáû÷àéíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå, áûëà ôîðìóëèðîâêà ñèñòåìû ãðàôè÷åñêèõ ïðàâèë äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ S−ìàòðèöû â ëþáîì æåëàåìîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé 1920−1930 ãîäîâ, ýòè ôåéíìàíîâñêèå ïðàâèëà àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàëè îäíîâðåìåííî ïðîöåññû ðîæäåíèÿ ÷àñòèö è àííèãèëÿöèè àíòè÷àñòèö è ïðèâîäèëè ê ðåçóëüòàòàì, êîòîðûå íà êàæäîì ýòàïå âû÷èñëåíèé áûëè ëîðåíö-èíâàðèàíòíûìè. Íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ Âàéñêîïôîì ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà 63 ìû óæå âèäåëè, ÷òî ïðèðîäà âîçíèêàþùèõ áåñêîíå÷íîñòåé ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíîé òîëüêî, êîãäà ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû ðàññìàòðèâàþòñÿ íà ðàâíûõ îñíîâàíèÿõ. Íàêîíåö, â äâóõ ñòàòüÿõ 1949 ãîäà Ôðèìåí Äàéñîí 88 ïîêàçàë, ÷òî îïåðàòîðíûå ôîðìàëèçìû Øâèíãåðà è Òîìîíàãè ïðèâîäÿò ê òåì æå ñàìûì ãðàôè÷åñêèì ïðàâèëàì, êîòîðûå íàøåë Ôåéíìàí. Äàéñîí ïðîàíàëèçèðîâàë òàêæå áåñêîíå÷íîñòè, âîçíèêàþùèå â ïðîèçâîëüíûõ äèàãðàììàõ Ôåéíìàíà, è íàìåòèë äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî âñå îíè îòíîñÿòñÿ ê òîìó òèïó, êîòîðûé ìîæåò áûòü óñòðàíåí ïðè ïåðåíîðìèðîâêå. Îäíèì èç ñàìûõ ïîðàçèòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, âûòåêàâ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

1.3. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòåé

49

øèõ èç àíàëèçà Äàéñîíà, áûë êðèòåðèé òîãî, êàêèå êâàíòîâûå òåîðèè ïîëÿ îòíîñÿòñÿ ê ðàçðÿäó «ïåðåíîðìèðóåìûõ», â òîì ñìûñëå, ÷òî âñå áåñêîíå÷íîñòè ìîãóò áûòü ïîãëîùåíû ïåðåîïðåäåëåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññ.  ÷àñòíîñòè, âçàèìîäåéñòâèå ïàóëèåâñêîãî òèïà (1.1.32), êîòîðîå ìîãëî áû ïðèâåñòè ê èçìåíåíèþ ïðåäñêàçûâàåìîãî çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà, íàðóøèëî áû ïåðåíîðìèðóåìîñòü êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Ñ âûõîäîì â ñâåò ñòàòüè Äàéñîíà íàêîíåö-òî ïîÿâèëñÿ åäèíûé ñèñòåìàòè÷åñêèé ôîðìàëèçì, êîòîðûé ìîã áûòü ëåãêî èçó÷åí ôèçèêàìè è îáåñïå÷èâàë îáùèé ÿçûê äëÿ ïîñëåäóþùèõ ïðèëîæåíèé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ê çàäà÷àì ôèçèêè. ß íå ìîãó ðàññòàòüñÿ ñ ðàññêàçîì î áåñêîíå÷íîñòÿõ, íå óïîìÿíóâ îá îäíîì óäèâèòåëüíîì àñïåêòå ýòîé èñòîðèè. Åùå â 1930 ãîäó Îïïåíãåéìåð çàìåòèë, ÷òî îñíîâíàÿ óëüòðàôèîëåòîâàÿ ðàñõîäèìîñòü â ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà ñîêðàùàåòñÿ, åñëè âçÿòü ðàçíîñòü ñäâèãîâ äâóõ àòîìíûõ óðîâíåé ýíåðãèè. Ïîçäíåå, â 1934 ãîäó Âàéñêîïô íàøåë, ÷òî áîëüøàÿ ÷àñòü ðàñõîäèìîñòè ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ñîêðàùàåòñÿ, åñëè âêëþ÷èòü â ðàññìîòðåíèå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ, ñîäåðæàùèå ïîçèòðîíû. Óæå â 1934 ãîäó áûëî âïîëíå åñòåñòâåííûì ïîëàãàòü, ÷òî âêëþ÷èâ ïîçèòðîííûå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ è íàõîäÿ ðàçíîñòü ñäâèãîâ óðîâíåé äëÿ ïàðû àòîìíûõ ñîñòîÿíèé, ìîæíî ïîëíîñòüþ óñòðàíèòü óëüòðàôèîëåòîâóþ ðàñõîäèìîñòü â îòíîñèòåëüíîì ñäâèãå óðîâíåé ýíåðãèè *. Áûëè è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ñâèäåòåëüñòâà 77 ñóùåñòâîâàíèÿ ñäâèãà óðîâíåé 2s1/2−2p1/2, ðàâíîãî ïðèìåðíî 1000 ÌÃö. Òàê ïî÷åìó æå íèêòî èç òåîðåòèêîâ äî 1947 ãîäà íå ïîïûòàëñÿ ÷èñëåííî îöåíèòü ýòó ðàçíîñòü óðîâíåé ýíåðãèè? Ñòðîãî ãîâîðÿ, îäíà òàêàÿ ïîïûòêà áûëà â 1939 ãîäó 88à, íî âíèìàíèå áûëî ñôîêóñèðîâàíî íå íà òîé ÷àñòè çàäà÷è íà âû÷èñëåíèè çàðÿäîâîãî ðàäèóñà ïðîòîíà, ÷òî âåñüìà ìàëî âëèÿåò íà óðîâíè ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà. Ðàñ÷åò ïðèâåë ê ãðóáîìó ñîãëàñèþ ñ ðàííèìè ýêñïåðèìåíòàìè 77. Îäíàêî, êàê â 1939 ãîäó ïîêàçàë Ëýìá, ýòî áûëî îøèáêîé. * Íà ñàìîì äåëå, òàêàÿ äîãàäêà íåâåðíà. Êàê îáñóæäàåòñÿ â ðàçäåëå 14.3, ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ìàññå ýëåêòðîíà âëèÿþò íà ñäâèã àòîìíûõ óðîâíåé íå òîëüêî ÷åðåç ñäâèã ýíåðãèè ïîêîÿ ýëåêòðîíà, êîòîðûé îäèíàêîâ äëÿ âñåõ óðîâíåé, íî è ÷åðåç èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà, ìåíÿþùåéñÿ îò îäíîãî óðîâíÿ ê äðóãîìó.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

50

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

Ïîëíîñòüþ ðåëÿòèâèñòñêîå âû÷èñëåíèå ëýìáîâñêîãî ñäâèãà, ó÷èòûâàþùåå ïîçèòðîíû â ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ, ìîæíî áûëî áû ñäåëàòü è â 1930-å ãîäû, èñïîëüçóÿ ñòàðóþ íåðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðèþ âîçìóùåíèé. Ïîêà óäåðæèâàþòñÿ âñå ñëàãàåìûå äî äàííîãî ïîðÿäêà, ñòàðîìîäíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèâîäèò ê òåì æå ðåçóëüòàòàì, ÷òî è ñòðîãî ðåëÿòèâèñòñêèå ðàñ÷åòû ñ ïîìîùüþ ôîðìàëèçìîâ Ôåéíìàíà, Øâèíãåðà è Òîìîíàãè. Íà ñàìîì äåëå, ïåðâûé ïîñëå ðàáîòû Áåòå òî÷íûé ðàñ÷åò ëýìáîâñêîãî ñäâèãà, âûïîëíåííûé â ÑØÀ Ôðåí÷åì è Âàéñêîïôîì è Íîðìàíîì Êðîëëîì è Ëýìáîì, áûë ñäåëàí èìåííî òàêèì ñïîñîáîì, õîòÿ ãðóïïà Òîìîíàãè 81 óæå ïðèìåíÿëà êîâàðèàíòíûå ìåòîäû ðàñ÷åòîâ äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé è äðóãèõ çàäà÷. Òî, ÷åãî íåõâàòàëî ó÷åíûì, — ýòî óâåðåííîñòè â ñõåìå ïåðåíîðìèðîâîê êàê ñðåäñòâà îáðàùåíèÿ ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè. Êàê ìû âèäåëè, ïåðåíîðìèðîâêè øèðîêî îáñóæäàëèñü â êîíöå 30-õ ãîäîâ. Íî â ýòî âðåìÿ ñ÷èòàëîñü îáùåïðèíÿòûì (òàêóþ òî÷êó çðåíèÿ îñîáåííî ïîä÷åðêèâàë Îïïåíãåéìåð 89) ÷òî ïðè ýíåðãèÿõ, ïðåâûøàþùèõ 100 ÌýÂ, êâàíòîâóþ ýëåêòðîäèíàìèêó íåëüçÿ âîñïðèíèìàòü âñåðüåç, è ÷òî ðåøåíèå åå ïðîáëåì ìîæåò áûòü íàéäåíî ñ ïîìîùüþ ñîâåðøåííî íîâûõ íåîæèäàííûõ èäåé. Íà êîíôåðåíöèè â Øåëòåð Àéëåíäå ïðîèçîøëî íåñêîëüêî ñîáûòèé, èçìåíèâøèõ òàêóþ òî÷êó çðåíèÿ. Îäíèì èç íèõ áûëî ñîîáùåíèå, ÷òî îáñóæäàâøèåñÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðîáëåìû, êàñàþùèåñÿ êîñìè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, íàõîäÿò ñâîå ðàçðåøåíèå: Ðîáåðò Ìàðøàê âûñêàçàë ãèïîòåçó 58 î ñóùåñòâîâàíèè äâóõ ìåçîíîâ ñ áëèçêèìè ìàññàìè — ìþîíîâ, êîòîðûå è íàáëþäàëèñü íà îïûòå, è ïèîíîâ, îòâåòñòâåííûõ çà ÿäåðíûå ñèëû. Åùå âàæíåå áûëî ïîëó÷åíèå äîñòàòî÷íî òî÷íûõ çíà÷åíèé ëýìáîâñêîãî ñäâèãà è àíîìàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà, ÷òî çàñòàâèëî ôèçèêîâ âíèìàòåëüíî îáäóìàòü âñþ ïðîáëåìó ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Âîçìîæíî, íå ìåíåå ñóùåñòâåííûì áûëî è òî, ÷òî íà êîíôåðåíöèè ñîáðàëèñü òåîðåòèêè, èìåâøèå ñâîè îðèãèíàëüíûå âçãëÿäû íà ïåðåíîðìèðîâêó êàê ðåøåíèå ïðîáëåìû áåñêîíå÷íîñòåé. Êîãäà â êîíöå 1940-õ ãîäîâ ñëó÷èëàñü ðåâîëþöèÿ, îíà áûëà ñîâåðøåíà â îñíîâíîì ìîëîäûìè ôèçèêàìè. Íåñìîòðÿ íà âîçðàñò, ýòè ó÷åíûå ñûãðàëè êîíñåðâàòèâíóþ ðîëü, îòêàçàâøèñü îò ïîèñêîâ ðàäèêàëüíûõ ðåøåíèé, êîòîðûìè çàíèìàëèñü èõ ïðåäøåñòâåííèêè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

51

Áèáëèîãðàôèÿ

Áèáëèîãðàôèÿ

Aramaki, S. Development of the Renormalization Theory in Quantum Electrodyn amics. Historia Scientiarum, 36, 97 (1989); ibid. 37, 91 (1989).[Ðàçäåë 1.3] Beyer, R.T., ed. Foundations of Nuclear Physics (Dover Publications, Inc., New York, 1949). [Ðàçäåë 1.2] Brown, L. Yukava's Prediction of the Meson. Centauros, 25, 71 (1981). [Ðàçäåë 1.2] Brown, L.M. and Hoddeson, L., eds. The Birth of Particle Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1983). [Ðàçäåëû 1.1-1.3] Cao, T.Y. and Schweber, S.S. «The Conceptual Foundations and the Philosophical Aspects of Renormalization Theory». Synthese, 97, 33 (1933). [Ðàçäåë 1.3] Dirac, P.A.M. The Development of Quantum Theory (Gordon & Breach Science Publishers, New York, 1971). [Ðàçäåë 1.1] Fermi, E. Quantum Theory of Radiation. Rev. Mod. Phys. 4, 87 (1932). [Ðàçäåëû 1.2 è1.3] Gamov, G.A. Thirty Years that Shook Physics (Doubleday and Co., Garden Sity, New York, 1966). [Ðàçäåë 1.1] Jammer, M. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. (McGraw Hill Book Co., New York, 1966). [Ðàçäåë 1.1] (Èìååòñÿ ðóññêèé ïåðåâîä: Äæåììåð Ì. Ýâîëþöèÿ ïîíÿòèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì., Íàóêà, 1985.) Mehra, J. «The Golden Age of Theoretical Physics: P.A.M. Dirac's Scientific Work from 1924 t0 1933», in: Aspects of Quantum Theory, ed. by A. Salam and E.P. Wigner (Cambridge University Press, Cambridge, 1972). [Ðàçäåë 1.1]

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

52

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

Miller, A.I. Early Quantum Electrodynamics — A Source Book (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1994). [Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Pais, A. Inward Bound (Clarendon Press, Oxford, 1986). [Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Schweber, S.S. «Feynman and the Visualization of Space-Time Processes», Rev. Mod. Phys., 58, 449 (1986). [Ðàçäåë 1.3] Schweber, S.S. «Some Chapters for a History of Quantum Field Theory: 1938-1952», in: Relativity, Groups, and Topology II, ed. by B.S. DeWitt and R.Stora (North-Holland, Amsterdam, 1984).[Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Schweber, S.S. «A Short History of Shelter Island I», in: Shelter Island II, ed. by R. Jackiw, S. Weinberg, and E. Witten (MIT Press, Cambridge, MA, 1985). [Ðàçäåë 1.3] Schweber, S.S. QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga (Princeton University Press, Princeton, 1994). [Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Schwinger, J., ed., Selected Papers in Quantum Electrodynamics (Dover Publications Inc., New York, 1958). [Ðàçäåëû 1.2 è 1.3] Tomon aga, S.-I. The Physicist's Conception of Nature (Reidel, Dordrecht, 1973). [Ðàçäåëû 1.2 è 1.3] Weinberg, S. «The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory», Daedalus, Fall 1977. [Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Weisskopf, V.F. «Growing Up with Field Theory: The Development of Quantum Electrodyn amics in Half a Century», 1979 Bern ard Gregory lecture at CERN, published in: L. Brown and L. Hoddeson, op. cit. [Ðàçäåëû 1.1, 1.2, 1.3] Wentzel, G. «Quantum Theory of Fields (Until 1947)», in: Theoretical Physics in the Twentieth Century, ed. by M. Fierz and V.F. Weisskopf (Interscience Publishers Inc., New York, 1960). [Ðàçäåëû 1.2 è 1.3]

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

53

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

Whittaker, E. A. History of the Theories of Aether and Electricity (Humanities Press, New York, 1973). [Ðàçäåë 1.1] Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

de Broglie, L., Comptes Rendus, 177, 507, 548, 630 (1923); Nature, 112, 540 (1923); The7se de doctorat (Masson et Cie, Paris, 1924); Annales de Physique, 3, 22 (1925) [reprinted in English in: Wave Mechanics, ed. by G. Ludwig (Pergamon Press, New York, 1968)]; Phil. Mag., 47, 446 (1924).

2.

Elsasser, W., Naturwiss., 13, 711 (1925).

3.

Davisson, C. J. and Germer, L. H., Phys. Rev., 30, 705 (1927).

4.

Heisenberg, W., A. Phys., 33, 879 (1925); Born, M. and Jordan, P., Z. f. Phys., 34, 858 (1925); Dirac, P. A. M., Proc. Roy. Soc., A109, 642 (1925); Born, M., Heisenberg, W., and Jordan, P., Z. f. Phys., 35, 557 (1925); Pauli, W., Z. f. Phys., 36, 336 (1926). Ýòè ðàáîòû ïåðåïå÷àòàíû â êíèãå: Sources of Quantum Mechanics, ed. by B. L. van der Waerden (Dover Publications, Inc., New York, 1968).

5.

Schrödinger, E., Ann. Phys., 79, 361, 489; 80, 437; 81, 109 (1926). Ýòè ñòàòüè ïåðåïå÷àòàíû â ïåðåâîäå íà àíãë., ê ñîæàëåíèþ, â íåñêîëüêî ñîêðàùåííîì âàðèàíòå, â êíèãå Wave Mechanics (ñì. [1]). Êðîìå òîãî ñì.: Collected Papers on Wave Mechanics, trans. by J. F. Schearer and W. M. Deans (Blackie & Son, London, 1928).

6.

Ñì., íàïðèìåð: Dirac, P. A. M., The Development of Quantum Theory (Gordon & Breach, New York, 1971). Êðîìå òîãî, ñì. íåêðîëîã Äèðàêà î Øðåäèíãåðå: Dirac, P. A. M., Nature, 189, 355 (1961), è ñòàòüþ: Dirac, P. A. M., Scientific American, 208, 45 (1963).

7.

Klein, O., Z. f. Phys., 37, 895 (1926). Ñì. òàêæå: V. Fock, Z. f. Phys., 38, 242 (1926); ibid, 39, 226 (1926).

8.

Gordon, W., Z. f. Phys., 40, 117 (1926).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

54

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

9.

Äåòàëè âû÷èñëåíèé ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 3rd edn (McGrow Hill, Inc., New York, 1968), Section 51. (Åñòü ðóñ. ïåð.: Øèôô Ë. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì., ÈË, 1957).

10. Pashen, F., Ann. Phys., 50, 901 (1916). Ýòè ýêñïåðèìåíòû ðåàëüíî áûëè âûïîëíåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì èîíîâ Íå+, ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè òîíêîé ñòðóêòóðû ó íèõ â 16 ðàç áîëüøå, ÷åì ó âîäîðîäà. Âïåðâûå òîíêàÿ ñòðóêòóðà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé áûëà îáíàðóæåíà â èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèõ îïûòàõ: Michelson, A.A., Phil. Mag., 31, 338 (1891); ibid, 34, 280 (1892). 10a. Sommerfeld, A., Münchner Berichte 1915, pp. 425, 429; Ann. Phys., 51, 1, 125 (1916). Ñì. òàêæå: Wilson, W., Phil. Mag., 29, 795 (1915). 11. Uhlenbeck, G.E. and Goudsmit, S., Naturwiss., 13, 953 (1925); Nature, 117, 264 (1926). Ñïèí ýëåêòðîíà áûë ðàíåå ââåäåí èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé â ðàáîòå: Compton, A.H., J. Frank. Inst., 192, 145 (1921). 12. Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ çååìàíîâñêîãî ðàñùåïëåíèÿ â îäíîýëåêòðîííûõ àòîìàõ áûëà ýìïèðè÷åñêè óñòàíîâëåíà â ðàáîòàõ: Landé, A.,Z. f. Phys., 5, 231 (1921); ibid., 7, 398 (1921); ibid., 15, 189 (1923); ibid., 19, 112 (1923).  òå âðåìåíà äîïîëíèòåëüíûé íåîðáèòàëüíûé óãëîâîé ìîìåíò, âõîäÿùèé â ýòó ôîðìóëó, ñ÷èòàëñÿ óãëîâûì ìîìåíòîì àòîìíîé «ñåðäöåâèíû»: Sommerfeld, A., Ann. Phys., 63, 221 (1920); ibid., 70, 32 (1923). Òîëüêî ïîçäíåå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî äîïîëíèòåëüíûé óãëîâîé ìîìåíò ñâÿçàí ñî ñïèíîì ýëåêòðîíà (ñì. 11). 13. Heisenberg , W. and Jordan, P., Z. f. Phys., 37, 263 (1926); Darwin, C.G., Proc. Roy. Soc., A116, 227 (1927). Äàðâèí óòâåðæäàåò, ÷òî íåñêîëüêî àâòîðîâ ñäåëàëè ýòó ðàáîòó îäíîâðåìåííî, â òî âðåìÿ êàê Äèðàê öèòèðóåò òîëüêî Äàðâèíà. 14. Thomas, L.H., Nature, 117, 514 (1926). Ñì. òàêæå: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 5.1. 15. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A117, 610 (1928). Ïî ïîâîäó ïðèìåíåíèÿ ýòîé òåîðèè ê âû÷èñëåíèþ ýôôåêòîâ Çååìàíà è Ïàøå-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

55

íà–Áàêà, à òàêæå îòíîñèòåëüíûõ èíòåíñèâíîñòåé ëèíèé âíóòðè ìóëüòèïëåòîâ òîíêîé ñòðóêòóðû ñì. òàêæå Dirac, ibid., A118, 351 (1928). 16. Ïî ïîâîäó âåðîÿòíîñòíîé èíòåðïðåòàöèè íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñì.: Born, M., Z. f. Phys., 37, 863 (1926); ibid., 38, 803 (1926); Wentzel, G., Z. f. Phys., 40, 590 (1926); Heisenberg, W., Z. f. Phys., 43, 172 (1927); Bohr, N., Nature, 121, 580 (1928); Naturwissenschaften, 17, 483 (1929); Electrons et Photons — Rapports et Discussions du Ve Conseil de Physique Solvay (Gauthier-Villars, Paris, 1928). 17. Áåñåäà ìåæäó Äèðàêîì è Äæ. Ìåõðîé 28 ìàðòà 1969 ãîäà, öèòèðóåòñÿ â êíèãå: Mehra, J., Aspects of Quantum Theory, ed. by A. Salam and E.P. Wigner (Cambridge University Press, Cambridge, 1972). 18. Gamow, G., Thirty Years that Shook Physics (Doubleday and Co., Garden City, NY, 1966), p. 125. 19. Pauli, W., Z. f. Phys., 37, 263 (1926); 43, 601 (1927). 20. Darwin, C.G., Proc. Roy. Soc., A118, 654 (1928); A120, 621 (1928). 21. Gordon, W., Z. f. Phys., 48, 11 (1928). 22. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A126, 360 (1930); ñì. òàêæå [47]. 23. Stoner, E.C., Phil. Mag., 48, 719 (1924). 24. Pauli, W., Z. f. Phys., 31, 765 (1925). 25. Heisenberg, W., Z. f. Phys., 38, 411 (1926); 39, 499 (1926); Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A112, 661 (1926); Pauli, W., Z. f. Phys., 41, 81 (1927); Slater, J.C., Phys. Rev., 34, 1293 (1929). 26. Fermi, E., Z. f. Phys., 36, 902 (1926); Rend. Accad. Lincei, 3, 145 (1926). 27. Dirac, P.A.M., [25].

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

56

27a. Dirac, P.A.M., First W.R. Crane Lecture at the University of Michigan, April 17, 1989, íåîïóáëèêîâàíî. 28. Weyl, H., Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated from the second (1931) German edition (Dover Publications, Inc., New York), Ch. IV, Section 12. Ñì. òàêæå: Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A133, 61 (1931). 29. Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 35, 562 (1930); Tamm, I., Z. f. Phys., 62, 545 (1930). 29a. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., 133, 60 (1931). 30. Anderson, C.D., Science, 76, 238 (1932); Phys. Rev., 43, 491 (1933). 30a. Schwinger, J., A Report on Quantum Electrodyn amics, in: The Physicist's Conception of Nature (Reidel, Dordrecht, 1973), p. 415. 31. Pauli, W., Handbuch der Physik (Julius Springer, Berlin, 1932– 1933); Rev. Mod. Phys., 13, 203 (1941). 32. Born, Heisenberg, and Jordan, [4], Section 3. 32a. Ehrenfest, P., Phys. Z., 7, 528 (1906). 33. Born and Jordan, [4]. 34. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A112, 661 (1926), Section 5. Áîëåå ïîíÿòíûé âûâîä äàí â êíèãå: Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 3rd edn. (McGrow-Hill Book Company, New York, 1968), Section 44. 34a. Einstein, A., Phys. Z., 18, 121 (1917). 35. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A114, 243 (1927). 36. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A114, 710 (1927). 36a. Weisskopf, V.F. and Wigner, E.P., Z. f. Phys., 63, 54 (1930).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

57

36b. Fermi, E., Lincei Rend., 9, 881 (1929); 12, 431 (1930); Rev. Mod. Phys., 4, 87 (1932). 37. Jordan, P. and Pauli, W., Z. f. Phys., 47, 151 (1928). 38. Bohr, N. and Rosenfeld, L., Kon. dansk. vid. Selsk., Mat.–Fys. Medd., XII, No. 8 (1933); Phys. Rev., 78, 794 (1950). 39. Jordan, P., Z. f. Phys., 44, 473 (1927). Ñì. òàêæå: Jordan, P. and Klein, O., Z. f. Phys., 45, 751 (1929); Jordan, P., Phys. Zeit., 30, 700 (1940). 40. Jordan, P. and Wigner, E., Z. f. Phys., 47, 631 (1928). 40a. Fierz, M., Helv. Phys. Acta, 12 (1939); Pauli, W., Phys. Rev., 58, 716 (1940); Pauli, W. and Belinfante, F.J., Physica, 7, 177 (1940). 41. Heisenberg, W. and Pauli, W., Z. f. Phys., 56, 1 (1929); ibid, 59, 168 (1930). 42. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A136, 453 (1932); Dirac, P.A.M., Fock, V.A., and Podolsky, B., Phys. Zeit. der Sovjetunion, 2, 468 (1932); Dirac, P.A.M., Phys. Zeit. der Sovjetunion, 3, 64 (1933). Ñì. òàêæå Rosenfeld, L., Z. f. Phys., 76, 729 (1932). 43. Fermi, E., Z. f. Phys., 88, 161 (1934). Ôåðìè öèòèðóåò íåîïóáëèêîâàííóþ ðàáîòó Ïàóëè, ãäå âûêàçûâàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî íàðÿäó ñ ýëåêòðîíîì â β−ðàñïàäå èñïóñêàåòñÿ íîâàÿ íåíàáëþäàåìàÿ íåéòðàëüíàÿ ÷àñòèöà. Ýòà ÷àñòèöà áûëà íàçâàíà íåéòðèíî, ÷òîáû îòëè÷èòü åå îò íåäàâíî îòêðûòîãî íåéòðîíà. 43a. Fock, V., C. R. Leningrad, 1933, p. 267. 44. Furry, W.H. and Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 45, 245 (1934).  ýòîé ñòàòüå èñïîëüçóåòñÿ ôîðìàëèçì ìàòðèöû ïëîòíîñòè, ðàçâèòûé â ðàáîòå: Dirac, P.A.M., Proc. Camb. Phil. Soc., 30, 150 (1934). Ñì. òàêæå: Peierls, R.E., Proc. Roy. Soc., 146, 420 (1934); Heisenberg, W., Z. f. Phys., 90, 209 (1934); Rosenfeld, L., Z. f. Phys., 76, 729 (1932).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

58

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

45. Pauli, W. and Weisskopf, V., Helv. Phys. Acta, 7, 709 (1934). Ñì. òàêæå: Pauli, W., Ann. Inst. Henri Poincaré, 6, 137 (1936). 46. Klein, O. and Nishin a, Y., Z. f. Phys., 52, 853 (1929); Nishin a, Y., ibid., 869 (1929). Ñì. òàêæå: Tamm, I., Z. f. Phys., 62, 545 (1930). 47. Dirac, P.A.M., Proc. Camb. Phil. Soc., 26, 361 (1930). 48. Møller, C., Ann. d. Phys., 14, 351, 568 (1932). 49. Bethe, H. and Heitler, W., Proc. Roy. Soc., A146, 83 (1934); ñì. òàêæå Racah, G., Nuovo Cimento, 11, 7 (1934); ibid., 13, 69 (1936). 50. Bhabha, H.J., Proc. Roy. Soc., A154, 195 (1936). 50a. Carlson, J.F. and Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 51, 220 (1937). 51. Ehrenfest, P. and Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 37, 333 (1931). 52. Heitler, W. and Herzberg, G., Naturwiss., 17, 673 (1929); Rasetti, F., Z. f. Phys., 61, 598 (1930). 53. Chadwick, J., Proc. Roy. Soc., A136, 692 (1932). 54. Heisenberg, W., Z. f. Phys., 77, 1 (1932); ñì. òàêæå: Curie-Joliot, I. and Joliot, F., Compt. Rend., 194, 273 (1932). 54a. Ïî ïîâîäó ññûëîê ñì. â ðàáîòå: Brown, L.M. and Rechenberg, H., Hist. Stud. in Phys. and Bio. Science, 25, 1 (1994). 55. Yukawa, H., Proc. Phys.-Math. Soc. (Japan) (3) 17, 48 (1935). 56. Neddermeyer, S.H. and Anderson, C.D., Phys. Rev., 51, 884 (1937); Street, J.C. and Stevenson, E.C., Phys. Rev., 52, 1003 (1937). 56a. Nordheim, L. and Webb, N., Phys. Rev., 56, 494 (1939). 57. Conversi, M., Pancini, E., and Piccioni, O., Phys. Rev., 71, 209L (1947).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

59

58. Sakata, S. and Inoue, T., Progr. Theor. Phys., 1, 143 (1946); Marshak, R.E. and Bethe, H.A., Phys. Rev., 77, 506 (1947). 59. Lattes, C.M.G., Occhialini, G.P.S., and Powell, C.F., Nature, 160, 453, 486 (1947). 60. Rochester, G.D. and Butler, C.C., Nature, 160, 855 (1947). 61. Oppenheimer, J.R., Phys. Rev., 35, 461 (1930). 62. Waller, I., Z. f. Phys., 59, 168 (1930); ibid., 61, 721, 837 (1930); ibid., 62, 673 (1930). 63. Weisskopf, V.F., Z. f. Phys., 89, 27 (1934). Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ â ýòîé ðàáîòå âû÷èñëåíà òîëüêî â íèçøåì ïîðÿäêå ïî α. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ðàñõîäèìîñòü èìååò ëîãàðèôìè÷åñêèé õàðàêòåð âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé áûëî äàíî â ðàáîòå: Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 56, 72 (1939). 64. Dirac, P.A.M., XVII Conseil Solvay de Physique, p. 203 (1933). Ïîñëåäóþùèå âû÷èñëåíèÿ, îñíîâàííûå íà ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: Heisenberg, W., Z. f. Phys., 90, 209 (1934); Sachs. Akad. Wiss., 86, 317 (1934); Serber, R., Phys. Rev., 43, 49 (1935); Uehling, E.A., Phys. Rev., 48, 55 (1935); Pauli, W. and Rose, M., Phys. Rev., 49, 462 (1936). Ñì. òàêæå: Furry and Oppenheimer, [44]; Peierls, [44], Weisskopf, [63]. 65. Euler, H. and Kockel, B., Naturwiss., 23, 246 (1935); Heisenberg, W. and Euler, H., Z. f. Phys., 98, 714 (1936). 66. Dirac, P.A.M., Proc. Camb. Phil. Soc., 30, 150 (1934). 67. Heisenberg, W., Z. f. Phys., 90, 209 (1934). 68. Kemmer, N. and Weisskopf, V.F., Nature, 137, 659 (1936). 68a. Bloch, F. and Nordsieck, A., Phys. Rev., 52, 54 (1937). Ñì. òàêæå: Pauli, W. and Fierz, M., Nuovo Cimento, 15, 167 (1938). 69. Dancoff, S.M., Phys. Rev., 55, 959 (1939).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

60

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

69a. Lewis, H.W., Phys. Rev., 73, 173 (1948); Epstein, S., Phys. Rev., 73, 177 (1948). Ñì. òàêæå: Schwinger, J., [84] ; Koba, Z. and Tomon aga, S., Progr. Theor. Phys., 3/3, 290 (1948). 69b. Schwinger, J., â êíèãå: The Birth of Particle Physics, ed. by L. Brown and L. Hoddeson (Cambridge University Press, Cambridge, 1983), p. 336. 70. Heisenberg, W., Ann. d. Phys., 32, 20 (1938). 70a. Wentzel, G., Z. f. Phys., 86, 479, 635 (1933); 87, 726 (1934); Born, M. and Infeld, L., Proc. Roy. Soc., A150, 141 (1935); Pauli, W., Ann. Inst. Henri Poincaré, 6, 137 (1936). 71. Wheeler, J.A., Phys. Rev., 52, 1107 (1937). 72. Heisenberg, W., Z. f. Phys., 120, 513, 673 (1943); Z. Naturforsch. 1, 608 (1946). Ñì. òàêæå: Møller, C., Kon. Dansk. Vid. Sel.., Mat.Fys. Medd., 23, No. 1 (1945); ibid., 23, No. 19 (1946). 73. Ñì., íàïðèìåð: Chew, G., The S-Matrix Theory of Strong Interactions (W.A. Benjamin, Inc., New York, 1961) (åñòü ðóñ. ïåð.: Äæ. ×ó. Òåîðèÿ S-ìàòðèöû. Ì.: Ìèð, 1965). 74. Wheeler, J.A. and Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945); ibid., 21, 425 (1949). Äàëüíåéøèå ññûëêè è îáñóæäåíèå ïðèìåíåíèÿ òåîðèé äåéñòâèÿ íà ðàññòîÿíèè â êîñìîëîãèè ñì. â êíèãå: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972), Section 16.3 (åñòü ðóñ. ïåð.: Âåéíáåðã Ñ. Ãðàâèòàöèÿ è êîñìîëîãèÿ. Ì.: Ìèð, 1976). 75. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc., A180, 1 (1942). Êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ñì. â ðàáîòå: Pauli, W., Rev. Mod. Phys., 15, 175 (1943). Îáçîð êëàññè÷åñêèõ òåîðèé ýòîãî òèïà, à òàêæå äðóãèõ ïîïûòîê ðàçðåøèòü ïðîáëåìó áåñêîíå÷íîñòåé ñì. â ñòàòüå: Peierls, R.P., in: Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay 1948 (R. Stoops, Brussels, 1950), p. 241. 76. Weisskopf, V.F., Kgl. Dansk. Vidensk. Selskab, Mat.-Fys. Medd.,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

61

14, No. 6 (1934), îñîáåííî c. 34 è c. 5-6. Ñì. òàêæå: Pauli and Fierz, [68a]; Kramers [79a]. 77. Pastern ack, S., Phys. Rev., 54, 1113 (1938). Ýòî ïðåäëîæåíèå áûëî îñíîâàíî íà ýêñïåðèìåíòàõ: Houston, W.V., Phys. Rev., 51, 446 (1937); Williams, R.C., Phys. Rev., 54, 558 (1938). Ñîîáùåíèÿ î ïðîòèâîïîëîæíûõ äàííûõ: Drinkwater , J.W., Richardson, O., and Williams, W.E., Proc. Roy. Soc., 174, 164 (1940). 78. Uehling, E.A., [64]. 79. Lamb, W.E. and Retherford, R.C., Phys. Rev., 72, 241 (1947). 79a. Kramers, H.A., Nuovo Cimento, 15, 108 (1938); Ned. T. Natwink., 11, 134 (1944); Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay 1948 (R. Stoops, Brussels, 1950). 80. Bethe, H.A., Phys. Rev., 72, 339 (1947). 81. French, J.B. and Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 75, 1240 (1949); Kroll, M. and Lamb, W.E., ibid., 75, 388 (1949); Schwinger, J., Phys. Rev., 75, 898 (1949); Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); 76, 749, 769 (1949); 80, 440 (1950); Fukuda, H., Miyamoto, Y., and Tomon aga, S., Progr. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys., 4, 47, 121 (1948). 82. Nafe, J.E., Nelson, E.B., and Rabi, I.I., Phys. Rev., 71, 914 (1947); Nagel, D.E., Julian, R.S., and Zacharias, J.R., Phys. Rev., 72, 973 (1947). 83. Kush, P. and Foley, H.M., Phys. Rev., 72, 1256 (1947). 83a. Breit, G., Phys. Rev., 71, 984 (1947). Øâèíãåð âêëþ÷èë â ðàáîòó [84] èñïðàâëåííûé âàðèàíò ðåçóëüòàòîâ Áðåéòà. 84. Schwinger, J., Phys. Rev., 73, 416 (1948). 85. Schwinger, J., Phys. Rev., 74, 1439 (1948); ibid., 75, 651 (1949);

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

62

Ãëàâà 1. Èñòîðè÷åñêîå ââåäåíèå

ibid., 76, 790 (1949); ibid., 82, 664, 914 (1951); ibid., 91, 713 (1953); Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 452 (1951). 86. Tomon aga, S., Progr. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys., 1, 27 (1946); Koba, Z., Tati, T., and Tomon aga, S., ibid., 2, 101 (1947); Kanesawa, S. and Tomonaga, S., ibid., 3, 1, 101 (1948); Tomonaga, S., Phys. Rev., 74, 224 (1948); Ito, D., Koba, Z., and Tomon aga, S., Progr. Theor. Phys., 3, 276 (1948); Koba, Z. and Tomon aga, S., ibid., 3, 290 (1948). 87. Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); ibid., 76, 749, 769 (1949); ibid., 80, 440 (1950). 88. Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949). 88a. Frohlich, H., Heitler, W., and Kahn, B., Proc. Roy. Soc., A171, 269 (1939); Phys. Rev., 56, 961 (1939). 88b. Lamb, W.E., Jr., Phys. Rev., 56, 384 (1939); 57, 458 (1940). 89. Öèòèðóåòñÿ Ð. Ñåðáåðîì â êíèãå: The Birth of Particle Physics, [69b], p. 270.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2 Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà Òî÷êà çðåíèÿ, ïðèíÿòàÿ â ýòîé êíèãå, òàêîâà: êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ òàêàÿ, êàêàÿ îíà åñòü, ïîòîìó ÷òî (ñ îïðåäåëåííûìè îãîâîðêàìè) ýòî åäèíñòâåííûé ñïîñîá ñîâìåñòèòü êâàíòîâóþ ìåõàíèêó ñ ÷àñòíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîýòîìó íàøåé ïåðâîé çàäà÷åé áóäåò èçó÷åíèå òîãî, êàê â êâàíòîâûõ ïîñòðîåíèÿõ âîçíèêàþò ñèììåòðèè âðîäå ëîðåíöîâñêîé èíâàðèàíòíîñòè. 2.1. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà Ñíà÷àëà õîðîøåå èçâåñòèå: êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ îñíîâàíà íà òîé æå êâàíòîâîé ìåõàíèêå, êîòîðàÿ áûëà ñîçäàíà Øðåäèíãåðîì, Ãåéçåíáåðãîì, Ïàóëè, Áîðíîì è äð. â 1925−1926 ãîäàõ è ñ òåõ ïîð èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ â àòîìíîé, ìîëåêóëÿðíîé, ÿäåðíîé ôèçèêå è ôèçèêå òâåðäîãî òåëà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ êâàíòîâîé ìåõàíèêîé.  ýòîì ðàçäåëå äàåòñÿ ëèøü ñàìîå êðàòêîå èçëîæåíèå ïðèíöèïîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè â îáîáùåííîé äèðàêîâñêîé ôîðìóëèðîâêå 1. (1) Ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ çàäàþòñÿ ëó÷àìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòî îäèí èç âèäîâ êîìïëåêñíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè Φ è Ψ åñòü âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå (èõ ÷àñòî íàçûâàþò «âåêòîðàìè ñîñòîÿíèÿ»), òî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ è âåêòîð ξΦ + ηΨ, ãäå ξ, η — ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñíàáæåíî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì *: *

Ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü äèðàêîâñêèå ñêîáî÷íûå îáîçíà÷åíèÿ è âìåñòî (Ψ1, Ψ2) ïèñàòü .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

64

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ëþáîé ïàðå âåêòîðîâ ñîïîñòàâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (Φ,Ψ), ïðè÷åì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: ( Φ, Ψ ) = ( Ψ , Φ ) * ,

(2.1.1)

(Φ, ξ1Ψ1 + ξ2 Ψ2 ) = ξ1(Φ, Ψ1 ) + ξ2 (Φ, Ψ2 ) ,

(2.1.2)

( η1Φ1 + η2 Φ 2 , Ψ) = η1* (Φ1 , Ψ) + η*2 (Φ 2 , Ψ).

(2.1.3)

Íîðìà (Ψ,Ψ) óäîâëåòâîðÿåò òàêæå óñëîâèþ ïîëîæèòåëüíîñòè: (Ψ,Ψ) ≥ 0, ïðè÷åì íîðìà îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè è òîëüêî åñëè Ψ = 0. (Åñòü åùå ðÿä òåõíè÷åñêèõ ïðåäïîëîæåíèé, ïîçâîëÿþùèõ ñîâåðøàòü ïðåäåëüíûå ïåðåõîäû äëÿ âåêòîðîâ âíóòðè ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.) Ëó÷ — ýòî ìíîæåñòâî íîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ (ò. å. (Ψ, Ψ) = 1), ïðè÷åì Ψ è Ψ′ ïðèíàäëåæàò îäíîìó ëó÷ó, åñëè Ψ′ = ξΨ, ãäå ξ — ïðîèçâîëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñ |ξ| = 1. (2) Íàáëþäàåìûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè îïåðàòîðàìè. Ýòî îòîáðàæåíèÿ Ψ → AΨ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ, ëèíåéíûå â òîì ñìûñëå, ÷òî

A(ξΨ + ηΦ) = ξAΨ + ηAΦ ,

(2.1.4)

è óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ âåùåñòâåííîñòè A† = A, ãäå äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà À ñîïðÿæåííûé åìó îïåðàòîð À† îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ( Φ, A † Ψ ) ≡ ( AΦ, Ψ ) = ( Ψ , AΦ ) * .

(2.1.5)

(Åñòü òàêæå è íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ïðåäïîëîæåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè AΨ êàê ôóíêöèè Ψ.) Ñîñòîÿíèå, ïðåäñòàâëåííîå ëó÷îì R, èìååò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå α íàáëþäàåìîé, îïåðàòîð êîòîðîé åñòü À, åñëè âåêòîðû Ψ, ïðèíàäëåæàùèå ýòîìó ëó÷ó, ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè À ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè α:

AΨ = αΨ .

(2.1.6)

Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè À — ýðìèòîâ îïåðàòîð, òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ α äåéñòâèòåëüíû, à ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçíûì α, îðòîãîíàëüíû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2. 2. Ñèììåòðèè

65

(3) Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè, ïðåäñòàâëåííîì ëó÷îì R, è ïðîâîäèòñÿ ýêñïåðèìåíò ïî ïðîâåðêå òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòî ñîñòîÿíèå îäíèì èç ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïðåäñòàâëåííûõ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè ëó÷àìè R1, R2, ... (íàïðèìåð, ïóòåì èçìåðåíèÿ îäíîé èëè áîëåå íàáëþäàåìûõ), òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì ëó÷îì Rn, ðàâíà P(R → Rn ) = | ( Ψ, Ψn )|2 ,

(2.1.7)

ãäå Ψ è Ψn — ëþáûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå ëó÷àì R è Rn, ñîîòâåòñòâåííî. (Ïàðà ëó÷åé íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ èç äâóõ ëó÷åé ðàâíû íóëþ.) Äðóãàÿ ýëåìåíòàðíàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè âåêòîðû ñîñòîÿíèé Ψn îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó, òî ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà åäèíèöå:

∑ P(R → Rn ) = 1 .

(2.1.8)

n

2.2. Ñèììåòðèè Ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè — ýòî òàêîå èçìåíåíèå íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, êîòîðîå íå ìåíÿåò ðåçóëüòàòîâ âîçìîæíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Åñëè íàáëþäàòåëü Î âèäèò ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè, ïðåäñòàâëåííîì ëó÷àìè R èëè R1, R2, ..., òî ýêâèâàëåíòíûé íàáëþäàòåëü Î′, èññëåäóþùèé òó æå ñàìóþ ñèñòåìó, áóäåò âèäåòü åå â äðóãîì ñîñòîÿíèè, ïðåäñòàâëåííîì ëó÷àìè R′ èëè R′1, R′2, ..., ñîîòâåòñòâåííî, îäíàêî îáà íàáëþäàòåëÿ äîëæíû îáíàðóæèòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè íå èçìåíèëèñü:

P(R → Rn ) = P(R ′ → Rn′ ).

(2.2.1)

(Ýòî ëèøü íåîáõîäèìîå óñëîâèå òîãî, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàíèå ëó÷åé áûëî ñèììåòðèåé; äàëüíåéøèå óñëîâèÿ îáñóæäàþòñÿ â ñëåäóþùåé ãëàâå.) Âàæíàÿ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ Âèãíåðîì â íà÷àëå 1930-õ ãîäîâ, óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ëó÷åé R → R′ ìîæíî îïðåäåëèòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîð U, ïðè÷åì, åñëè Ψ ïðèíàäëåæèò ëó÷ó R, òî UΨ ïðèíàäëåæèò ëó÷ó R′, à ñàì îïåðàòîð U ÿâëÿåòñÿ ëèáî óíèòàðíûì è ëèíåéíûì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

66

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

(UΦ, UΨ) = (Φ, Ψ),

(2.2.2)

U (ξΦ + ηΨ) = ξUΦ + ηUΨ,

(2.2.3)

ëèáî àíòèóíèòàðíûì è àíòèëèíåéíûì: ( U Φ, UΨ ) = ( Φ , Ψ ) * ,

(2.2.4)

U (ξΦ + ηΨ) = ξ * UΦ + η* UΨ .

(2.2.5)

 àðãóìåíòàöèè Âèãíåðà ïðîïóùåíû íåêîòîðûå ýòàïû. Áîëåå ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî äàíî â Ïðèëîæåíèè À ê ýòîé ãëàâå. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ëèíåéíîìó îïåðàòîðó L, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (Φ, L† Ψ) ≡ (LΦ, Ψ).

(2.2.6)

Ýòî óñëîâèå íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî äëÿ àíòèëèíåéíîãî îïåðàòîðà, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïðàâàÿ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (2.2.6) áûëà áû ëèíåéíà ïî Φ, â òî âðåìÿ êàê ëåâàÿ ÷àñòü − àíòèëèíåéíà. Âìåñòî ýòîãî îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé àíòèëèíåéíîìó îïåðàòîðó À, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

(Φ, A†Ψ ) ≡ ( AΨ, Φ)* = (Ψ, AΦ).

(2.2.7)

Åñëè ïðèíÿòü ýòî îïðåäåëåíèå, òî óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè èëè àíòèóíèòàðíîñòè èìåþò îäèíàêîâûé âèä U † = U −1 .

(2.2.8)

Âñåãäà ñóùåñòâóåò òðèâèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè R → R, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò åäèíè÷íûé îïåðàòîð U = 1. Ýòîò îïåðàòîð, êîíå÷íî, óíèòàðíûé è ëèíåéíûé. Òåïåðü èç ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ëþáàÿ ñèììåòðèÿ (òèïà âðàùåíèÿ, òðàíñëÿöèè èëè ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ), êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñäåëàíà òðèâèàëüíîé ïóòåì íåïðåðûâíîãî èçìåíåíèÿ íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ (óãëîâ ïîâîðîòà, ðàññòîÿíèé èëè ñêîðîñòåé), äîëæíà ïðåäñòàâëÿòüñÿ íå àíòèëèíåéíûì è àíòèóíèòàðíûì îïåðàòîðîì, à òîëüêî ëèíåéíûì óíèòàðíûì îïåðàòîðîì U. (Ñèììåòðèè, ïðåä-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2. 2. Ñèììåòðèè

67

ñòàâëÿåìûå àíòèóíèòàðíûìè àíòèëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè, ìåíåå èçâåñòíû â ôèçèêå; âñå îíè âêëþ÷àþò îáðàùåíèå íàïðàâëåíèÿ òå÷åíèÿ âðåìåíè. Ïîäðîáíåå ñì. ðàçäåë 2.6.)  ÷àñòíîñòè, ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè, áåñêîíå÷íî áëèçêîå ê òðèâèàëüíîìó, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèíåéíûì óíèòàðíûì îïåðàòîðîì, áåñêîíå÷íî áëèçêèì ê åäèíè÷íîìó: U = 1 + iεt ,

(2.2.9)

ãäå ε — äåéñòâèòåëüíîå áåñêîíå÷íî ìàëîå ÷èñëî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòîò îïåðàòîð áûë óíèòàðíûì è ëèíåéíûì, îïåðàòîð t äîëæåí áûòü ýðìèòîâûì è ëèíåéíûì. Ïîýòîìó t ÿâëÿåòñÿ êàíäèäàòîì íà òî, ÷òîáû áûòü íàáëþäàåìîé. Äåéñòâèòåëüíî, áîëüøèíñòâî (åñëè íå âñå) íàáëþäàåìûõ â ôèçèêå, âðîäå èìïóëüñà èëè óãëîâîãî ìîìåíòà, âîçíèêàþò ïîäîáíûì îáðàçîì èç ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè. Ìíîæåñòâî ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ïîçâîëÿþùèìè óñòàíîâèòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé. Åñëè T1 — ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå ëó÷è Rn â R′n, à T2 — äðóãîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå R′n â R′′n, òî ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî îñóùåñòâëåíèÿ îáîèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ òîæå ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè, ïåðåâîäÿùèì Rn â R′′n, êîòîðîå ìû çàïèñûâàåì êàê T2T1. Êðîìå òîãî, ïðåîáðàçîâàíèþ ñèììåòðèè Ò, ïåðåâîäÿùåìó ëó÷è Rn â R′n, ñîîòâåòñòâóåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ò−1, ïåðåâîäÿùåå R′n â Rn. Íàêîíåö, ñóùåñòâóåò òîæäåñòâåííîå-ïðåîáðàçîâàíèå Ò = 1, îñòàâëÿþùåå ëó÷è íåèçìåííûìè. Óíèòàðíûå èëè àíòèóíèòàðíûå îïåðàòîðû U(T), ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñèììåòðèè, îòðàæàþò ãðóïïîâóþ ñòðóêòóðó ïðåîáðàçîâàíèé, íî ñ òåì óñëîæíåíèåì, ÷òî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ñàìèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñèììåòðèè îïåðàòîðû U(T) äåéñòâóþò íå íà ëó÷è, à íà âåêòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè Ò1 ïåðåâîäèò Rn â R′n, òî U(T1), äåéñòâóÿ íà âåêòîð Ψn èç ëó÷à Rn, ïðåâðàùàåò åãî â âåêòîð U(T1)Ψn èç ëó÷à R′n. Äàëåå, åñëè Ò2 ïåðåâîäèò R′n â R′′n, òî, äåéñòâóÿ íà U(T1)Ψn, ïîëó÷àåì âåêòîð U(T2)U(T1)Ψn èç ëó÷à R′′n. Îäíàêî U(T2T1)Ψn òàêæå ïðèíàäëåæèò ýòîìó ëó÷ó, òàê ÷òî äâà âåêòîðà ìîãóò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî ôàçîé φn(T2, T1):

U (T2 )U (T1 )Ψn = e iφ n (T2 ,T1 ) U (T2T1 )Ψn .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.2.10)

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

68

Äàëåå, çà îäíèì âàæíûì èñêëþ÷åíèåì, èç ëèíåéíîñòè (èëè àíòèëèíåéíîñòè) U(T) âûòåêàåò, ÷òî ýòè ôàçû íå çàâèñÿò îò ñ î ñ ò î ÿíèÿ Ψn. Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äâà ðàçëè÷íûõ âåêòîðà ΨA, ΨB, íå ïðîïîðöèîíàëüíûå äðóã äðóãó. Ïðèìåíÿÿ (2.2.10) ê ñîñòîÿíèþ ΨAB ≡ ΨA + ΨB, ïîëó÷èì φ AB

ei

U (T2T1 )(ΨA + ΨB ) = U (T2 )U (T1 )(ΨA + ΨB )

= U (T2 )U (T1 )ΨA + U (T2 )U (T1 )Ψ =e

iφ A

U (T2T1 )ΨA + e

iφ B

(2.2.11)

U (T2T1 )ΨB .

Âñÿêèé óíèòàðíûé èëè àíòèóíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð (ñîïðÿæåííûé èñõîäíîìó), êîòîðûé òàêæå óíèòàðåí èëè àíòèóíèòàðåí. Óìíîæàÿ (2.2.11) ñëåâà íà U−1(T2T1), íàõîäèì, ÷òî

e ± iφ AB (ΨA + ΨB ) = e ± iφ A ΨA + e ± iφ B ΨB ,

(2.2.12)

ïðè÷åì âåðõíèå èëè íèæíèå çíàêè ñîîòâåòñòâóþò óíèòàðíîìó èëè àíòèóíèòàðíîìó îïåðàòîðó U(T2T1). Òàê êàê ΨA è ΨB ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî

e iφ AB = e iφ A = e iφ B .

(2.2.13)

Òàêèì îáðàçîì, êàê è óòâåðæäàëîñü, ôàçà â (2.2.10) íå çàâèñèò îò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ Ψn, òàê ÷òî ñàìî ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê îïåðàòîðíîå ðàâåíñòâî U (T2 )U (T1 ) = e iφ(T2 ,T1 ) U (T2T1 ).

(2.2.14)

Ïðè φ = 0 ãîâîðÿò, ÷òî U(T) ðåàëèçóåò ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè. Ïðè ïðîèçâîëüíûõ ôàçàõ φ(T2, T1) ìû ïîëó÷àåì òî, ÷òî íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì èëè «ïðåäñòàâëåíèåì ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçû». Ñòðóêòóðà ãðóïïû Ëè ñàìà ïî ñåáå íå ìîæåò óêàçàòü, ðåàëèçóþò ëè ôèçè÷åñêèå âåêòîðû ñîñòîÿíèé îáû÷íîå èëè ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå, îäíàêî, êàê ìû óâèäèì, ýòà ñòðóêòóðà ìîæåò óêàçàòü, èìååò ëè ãðóïïà õîòÿ áû îäíî âíóòðåííå åé ïðèñóùåå ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2. 2. Ñèììåòðèè

69

 öåïî÷êå ðàññóæäåíèé, ïðèâîäÿùèõ ê (2.2.14), åñòü îäíî óçêîå ìåñòî: ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íåëüçÿ ïðèãîòîâèòü ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè ΨA + ΨB. Íàïðèìåð, ñ÷èòàåòñÿ îáùåïðèçíàííûì, ÷òî íåâîçìîæíî ïðèãîòîâèòü ñèñòåìó â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ ñîñòîÿíèé, ïîëíûå óãëîâûå ìîìåíòû êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâåííî, öåëûå è ïîëóöåëûå.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìû ãîâîðèì, ÷òî ìåæäó ðàçíûìè êëàññàìè ñîñòîÿíèé äåéñòâóþò «ïðàâèëà ñóïåðîòáîðà» 3, è ôàçû φ(T2, T1) ìîãóò çàâèñåòü îò òîãî, íà êàêèå êëàññû äåéñòâóþò îïåðàòîðû U(T2)U(T1) è U(T2,T1).  ðàçäåëå 2.7 ìû îáñóäèì ýòè ôàçû è ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå. Êàê áóäåò âèäíî, âñÿêàÿ ãðóïïà ñèììåòðèè, èìåþùàÿ ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, âñåãäà ìîæåò áûòü ðàñøèðåíà (áåç êàêîãî ëèáî äðóãîãî èçìåíåíèÿ åå ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé) òàêèì îáðàçîì, ÷òî âñå åå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî áóäåò îïðåäåëèòü êàê íå- ïðîåêòèâíûå ñ φ = 0. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî óæå äîêàçàíî, è ïîëîæèì φ = 0 â (2.2.14). Äëÿ ôèçèêè îñîáåííî âàæíû ãðóïïû, íîñÿùèå íàçâàíèå ñâÿçíûõ ãðóïï Ëè. Ýòî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé T(θ), çàäàâàåìûå êîíå÷íûì íàáîðîì äåéñòâèòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ ïàðàìåòðîâ θa, ïðè÷åì êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû ìîæíî ñâÿçàòü ñ åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì íåêîòîðûì ïóòåì, ëåæàùèì âíóòðè ãðóïïû. Çàêîí ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä T( θ)T(θ) = T( f ( θ, θ)),

(2.2.15)

ãäå f ( θ, θ) — ôóíêöèÿ θ è θ. Ïîëàãàÿ êîîðäèíàòû åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà ðàâíûìè θa = 0, ìû äîëæíû èìåòü a

f a (θ,0) = f a (0, θ) = θ a .

(2.2.16)

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðåîáðàçîâàíèÿ òàêèõ íåïðåðûâíûõ ãðóïï äîëæíû ïðåäñòàâëÿòüñÿ óíèòàðíûìè (íî íå àíòèóíèòàðíûìè) îïåðàòîðàìè U(T(θ)) â ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ãðóïï Ëè ýòè îïåðàòîðû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû (ïî êðàéíåé ìåðå, â îêðåñòíîñòè åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà) ñòåïåííûì ðÿäîì U (T(θ)) = 1 + iθ a ta +

1 2

θ b θ c tbc + . . . ,

(2.2.17)

ãäå ta, tbc = tcb è ò. ä. — ýðìèòîâû îïåðàòîðû, íå çàâèñÿùèå îò θ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

70

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî U(T(θ)) ðåàëèçóåò îáû÷íîå (ò. å. íå ïðîåêòèâíîå) ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé, èíûìè ñëîâàìè U (T( θ ))U (T(θ)) = U (T( f ( θ , θ))). (2.2.18) Ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ýòî ñîîòíîøåíèå, åñëè ðàçëîæèòü åãî â ðÿä ïî ñòåïåíÿì θa èθa. Êàê ñëåäóåò èç (2.2.16), ðàçëîæåíèå f a ( θ, θ) äî âòîðîãî ïîðÿäêà äîëæíî èìåòü âèä f a ( θ , θ) = θ a + θ a + f a bc θ b θ c + . . . ,

(2.2.19)

ãäå fabc − äåéñòâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû. (Íàëè÷èå ëþáûõ ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà θ2 èëèθ2 áóäåò íàðóøàòü ñîîòíîøåíèå (2.2.16).) Òîãäà óðàâíåíèå (2.2.18) ïðèíèìàåò âèä:

LM1 + iθ t N a

a

OP LM Q N

+ 1 θ b θ c tbc + . . . × 1 + iθ a ta + 1 θ b θ c tbc + . . . 2 2

OP Q

= 1 + i(θ a + θ a + f a bc θ b θ c + . . . )ta

(2.2.20)

+ 1 (θ b + θ b + . . . )(θ c + θ c + . . . )tbc + . . . 2 Ñëàãàåìûå ïîðÿäêà 1, θ,θ, θ2 èθ2 àâòîìàòè÷åñêè ñîêðàùàþòñÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ (2.2.20), îäíàêî, ñîáèðàÿ ñëàãàåìûå ñθ θ, íàõîäèì íåòðèâèàëüíîå óñëîâèå:

tbc = −tbtc − if a bcta .

(2.2.21)

Îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè íàì çàäàíà ñòðóêòóðà ãðóïïû, ò. å. ôóíêöèÿ f(θ, θ ) , à ñëåäîâàòåëüíî, è åå êâàäðàòè÷íûå êîýôôèöèåíòû f abc,ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà â U(T(θ)), çíàÿ ãåíåðàòîðû ta, âîçíèêàþùèå â ñëàãàåìûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îäíàêî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ñàìîñîãëàñîâàííîñòè: îïåðàòîð tbc äîëæåí áûòü ñèììåòðè÷íûì ïî b è c (òàê êàê îí ðàâåí âòîðîé ïðîèçâîäíîé U(T(θ)) ïî θb è θc), òàê ÷òî èç (2.2.21) ñëåäóåò, ÷òî

[tb , tc ] = iCa bcta , ãäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.2.22)

2. 2. Ñèììåòðèè

71

Cabc ≡ −f abc + f acb

(2.2.23)

ïðåäñòàâëÿåò íàáîð äåéñòâèòåëüíûõ êîíñòàíò, íàçûâàåìûõ ñòðóêòóð-íûìè êîíñòàíòàìè. Òàêîé íàáîð êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îïðåäåëÿåò àëãåáðó Ëè.  ðàçäåëå 2.7 ìû äîêàæåì, ÷òî êîììóòà-öèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (2.2.22) — åäèíñòâåííîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ ìîã áûòü ïðîäîëæåí: âåñü ñòåïåííîé ðÿä äëÿ U(T(θ)) ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ñîîòíîøåíèé òèïà (2.2.21), åñëè íàì èçâåñòíû ñëàãàåìûå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ò. å. ãåíåðàòîðû ta. Ýòî íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò, ÷òî çíàíèå ta îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îïåðàòîðû U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa, îäíàêî, ïî êðàéíåé ìåðå, â êîíå÷íîé îêðåñòíîñòè êîîðäèíàò θa = 0 åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà U(T(θ)) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè θ,θ è f(θ, θ) çàäàíû â ýòîé îêðåñòíîñòè, òî óäîâëåòâîðÿåòñÿ óðàâíåíèå (2.2.18). Ðàñïðîñòðàíåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íà âñå θa îáñóæäàåòñÿ â ðàçäåëå 2.7. Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé, ê êîòîðîìó ìû áóäåì âíîâü è âíîâü îáðàùàòüñÿ. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(θ, θ) (âîçìîæíî, ëèøü äëÿ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà êîîðäèíàò θa) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ñóììîé f a (θ, θ ) = θ a + θ a .

(2.2.24)

Ñþäà îòíîñÿòñÿ òðàíñëÿöèè â ïðîñòðàíñòâå−âðåìåíè èëè âðàùåíèÿ âîêðóã ôèêñèðîâàííîé îñè (íî íå âîêðóã äâóõ ïî î÷åðåäè). Òîãäà êîýôôèöèåíòû f abc â (2.2.19) è ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû (2.2.23) îáðàùàþòñÿ â íóëü. Âñå ãåíåðàòîðû êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì:

[tb , tc ] = 0.

(2.2.25)

Òàêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ àáåëåâîé.  ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âû÷èñëèòü U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa. Ïðè ëþáîì öåëîì N íàõîäèì èç (2.2.18) è (2.2.24):

LM FG FG θ IJ IJ OP N H H NKK Q

U (T(θ)) = U T

N

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

72

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó N → ∞ è óäåðæèâàÿ òîëüêî ñëàãàåìîå ïåðâîãî ïîðÿäêà â U(T(θ/N)), ïîëó÷àåì

LM N

U (T(θ)) = lim 1 + N →∞

i N

θ a ta

OP Q

N

,

îòêóäà U (T(θ)) = exp( ita θ a ).

(2.2.26)

2.3. Êâàíòîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà Ýéíøòåéíîâñêèé ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè óòâåðæäàåò ýêâèâàëåíòíîñòü «èíåðöèàëüíûõ» ñèñòåì îòñ÷åòà. Îí îòëè÷àåòñÿ îò ãàëèëååâñêîãî ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè, êîòîðîìó ïîä÷èí ÿ åòñÿ ìåõàíèêà Íüþòîíà, âèäîì ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî êîîðäèíàòû â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Åñëè xµ — êîîðäèíàòû â îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå (x1, x2, x3 — äåêàðòîâû ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû, x0 = t — âðåìåííàÿ êîîðäèíàòà, ñêîðîñòü ñâåòà ïîëîæåíà ðàâíîé åäèíèöå), òî êîîðäèíàòû x′µ â ëþáîé äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ:

ηµν dx ′ µ dx ′ ν = ηµν dx µ dx ν

(2.3.1)

èëè ýêâèâàëåíòíî:

ηµν

∂ x ′ µ ∂x ′ ν ∂x ρ ∂x σ

= ηρσ .

(2.3.2)

Çäåñü ηµν — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû η11 = η22 = η33 = +1, η00 = −1.

(2.3.3)

Ïðèíÿòî ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ ïî íåìûì èíäåêñàì: ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììà ïî ëþáîìó èíäåêñó òèïà µ èëè ν â ôîðìóëå (2.3.2), ïîÿâëÿþùåìóñÿ â îäíîì è òîì æå ñëàãàåìîì äâàæäû, îäèí ðàç ââåðõó, äðóãîé — âíèçó. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îáëàäàþò òåì ñïåöè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2. 3. Êâàíòîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà

73

àëüíûì ñâîéñòâîì, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà îäèíàêîâà âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà (â âûáðàííûõ åäèíèöàõ îíà ðàâíà 1). Äåéñòâèòåëüíî, ñâåòîâàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñ åäèíè÷íîé ñêîðîñòüþ, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |dx/dt| = 1 èëè ηµνdxµdxν = dx2 − dt2 = 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî è ηµνdx′µdx′ν = 0, ò. å. |dx'/dt'| = 1*. Âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò xµ → x′µ, óäîâëåòâîðÿþùåå (2.3.2), ëèíåéíî 3à: x ′ µ = Λµ ν x ν + a µ ,

(2.3.4)

ãäå aµ − ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, à ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà Λµν óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

ηµν Λµ ρ Λν σ = ηρσ .

(2.3.5)

Äëÿ äàëüíåéøåãî ïîëåçíî çàïèñàòü óñëîâèÿ ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé â èíîé ôîðìå. Ìàòðèöà ηµν èìååò îáðàòíóþ,îáîçíà÷àåìóþ ηµν, êîòîðàÿ èìååò òå æå êîìïîíåíòû, ò. å. îíà äèàãîíàëüíà è η00 = –1, η11 = η22 = η33 = +1. Óìíîæàÿ âûðàæåíèå (2.3.5) íà ηστΛκτ è ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè, èìååì

ηµν Λµ ρ ( Λν σ Λκ τ ηστ ) = Λκ ρ = ηµν η νκ Λµ ρ . Óìíîæàÿ ýòî ðàâåíñòâî íà ìàòðèöó, îáðàòíóþ ηµνΛµρ, ïîëó÷àåì: Λν σ Λκ τ ηστ = η νκ .

(2.3.6)

Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàçóþò ãðóïïó. Åñëè ñíà÷àëà îñóùå*Ñóùåñòâóåò áîëåå øèðîêèé êëàññ ïðåîáðàçîâàíèé êîîðäèíàò, èçâåñòíûõ êàê êîíôîðìíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ηµνdx′µdx′ν ïðîïîðöèîíàëüíî, õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâíî, ηµνdxµdxν, è êîòîðûå òàêæå îñòàâëÿþò èíâàðèàíòíîé ñêîðîñòü ñâåòà. Ïîêàçàíî, ÷òî êîíôîðìíàÿ èíâàðèàíòíîñòü â äâóõ èçìåðåíèÿõ èìååò îãðîìíîå çíà÷åíèå â òåîðèè ñòðóí è ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, íî ôèçè÷åñêèé ñìûñë òàêèõ êîíôîðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå−âðåìåíè äî ñèõ ïîð íåÿñåí.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

74

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ñòâèòü ëîðåíöîâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå (2.3.4), à çàòåì âòîðîå ëîðåíöîâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå x′µ → x′′µ, òàê ÷òî x ′′ µ = Λµ ρ x ′ ρ + a µ = Λµ ρ ( Λρ ν x ν + a ρ ) + a µ ,

òî ðåçóëüòàò ýêâèâàëåíòåí ëîðåíöîâñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ xµ → x′′µ, ïðè÷åì (2.3.7) x ′′ µ = ( Λµ ρ Λρ ν )x ν + ( Λµ ρ a ρ + a ν ). (Çàìåòèì, ÷òî åñëè îáå ìàòðèöû Λµν èΛµν óäîâëåòâîðÿþò (2.3.5), òî ýòî æå âåðíî è äëÿΛµρΛρν, òàê ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà. ×åðòà èñïîëüçóåòñÿ çäåñü òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòëè÷èòü îäíî ëîðåíöîâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå îò äðóãîãî.) Ïðå-îáðàçîâàíèÿ T(Λ,a), äåéñòâóþùèå íà ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ, óäîâëåòâîðÿþò ïîýòîìó ïðàâèëó êîìïîçèöèè

T( Λ, a )T(Λ, a) = T( ΛΛ, Λa + a ).

(2.3.8)

Áåðÿ äåòåðìèíàíò îò îáåèõ ÷àñòåé (2.3.5), íàõîäèì, ÷òî (DetΛ)2 = 1,

(2.3.9)

òàê ÷òî Λµν èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó (Λ−1)νρ, â ñèëó (2.3.5) ðàâíóþ ( Λ−1 )ρ ν = Λ ν ρ ≡ η νµ ηρσ Λµ σ .

(2.3.10)

Êàê ñëåäóåò èç (2.3.8), îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ê T(Λ,a) èìååò âèä T(Λ−1,−Λ−1a), ïðè÷åì òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ðàâíî T(1,0).  ñîãëàñèè ñ òåì, î ÷åì øëà ðå÷ü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïðåîáðàçîâàíèÿ T(Λ, a) èíäóöèðóþò óíèòàðíûå ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ â ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå Ψ → U (Λ, a)Ψ .

Îïåðàòîðû U óäîâëåòâîðÿþò ïðàâèëó êîìïîçèöèè

U(Λ, a)U(Λ, a) = U(ΛΛ, Λa + a).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.3.11)

2. 3. Êâàíòîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà

75

(Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ÷òîáû èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.3.11), íåîáõîäèìî â îáùåì ñëó÷àå ðàñøèðèòü ãðóïïó Ëîðåíöà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîöåäóðà îïèñàíà â ðàçäåëå 2.7.) Âñÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé T(Λ,a) îáû÷íî íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíîé ãðóïïîé Ëîðåíöà èëè ãðóïïîé Ïóàíêàðå. Îíà èìååò ìíîãî âàæíûõ ïîäãðóïï. Âî-ïåðâûõ, ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ aµ = 0, ïðè÷åì T( Λ,0)T( Λ,0) = U ( ΛΛ,0). (2.3.12) î÷åâèäíî îáðàçóþò ïîäãðóïïó, íàçûâàåìóþ îäíîðîäíîé ãðóïïîé Ëîðåíöà. Êðîìå òîãî, èç (2.3.9) ñëåäóåò, ÷òî ëèáî Det Λ = +1, ëèáî Det Λ = −1. ßñíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ Det Λ = +1 îáðàçóþò ïîäãðóïïó êàê îäíîðîäíîé, òàê è íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà. Äàëåå, âûïèñûâàÿ 00-êîìïîíåíòû óðàâíåíèé (2.3.5) è (2.3.6), èìååì: (Λ00 )2 = 1 + Λi 0 Λi 0 = 1 + Λ0 i Λ0 i .

(2.3.13)

ãäå ïðîâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî èíäåêñó i, ïðèíèìàþùåìó çíà÷åíèÿ 1, 2, 3. Âèäíî, ÷òî ëèáî Λ00 ≥ +1, ëèáî Λ00 ≤ −1. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ Λ00 ≥ +1 îáðàçóþò ïîäãðóïïó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Λµν èΛµν — äâå òàêèõ ìàòðèöû Λ, òî ( ΛΛ)00 = Λ00 Λ00 + Λ01Λ10 + Λ02 Λ20 + Λ03 Λ30 .

Íî èç óðàâíåíèÿ (2.3.13) âûòåêàåò, ÷òî 3−âåêòîð (Λ10, Λ20, Λ30) èìååò äëèíó (( Λ00 )2 − 1)1/2 , àíàëîãè÷íî 3−âåêòîð ( Λ01 , Λ02 , Λ03 ) èìååò äëèíó (( Λ00 )2 − 1)1/2 , ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ äâóõ 3−âåêòîðîâ îãðàíè÷åíî óñëîâèåì

| Λ01Λ10 + Λ02 Λ20 + Λ03 Λ30 | ≤ (Λ00 )2 − 1 ( Λ00 )2 − 1 ,

(2.3.14)

òàê ÷òî

( ΛΛ)00 ≥ Λ00 Λ00 − (Λ00 )2 − 1 ( Λ00 )2 − 1 ≥ 1. Ïîäãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà ñ Det Λ = +1 è Λ00 ≥ +1 íîñèò íàçâàíèå ñîáñòâåííîé îðòîõðîííîé ãðóïïû Ëîðåíöà. Òàê êàê íåâîçìîæíî ñ ïîìîùüþ íåïðåðûâíîãî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ïåðåñêî÷èòü îò ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ Det Λ = +1 ê ïðåîáðàçîâàíèþ ñ Det Λ = –1, èëè îò ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ Λ00 ≥ +1 ê ïðåîáðàçîâàíèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

76

ñ Λ00 ≤ −1, òî âñÿêîå ëîðåíöîâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç åäèíè÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïóòåì íåïðåðûâíîãî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ, äîëæíî èìåòü Det Λ è Λ00 òîãî æå çíàêà, ÷òî è ñàìî åäèíè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, ò. å. äîëæíî ïðèíàäëåæàòü ñîáñòâåííîé îðòîõðîííîé ãðóïïå Ëîðåíöà. Âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà — ëèáî ñîáñòâåííîå è îðòîõðîííîå, ëèáî ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòà ñîáñòâåííîé îðòîõðîííîé ãðóïïû Ëîðåíöà è îäíîãî èç äèñêðåòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé P, T èëè P T, ãäå P — ìàòðèöà ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè, íåíóëåâûå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû

P 00 = 1, P 11 = P 22 = P 33 = −1,

(2.3.15)

à T — ìàòðèöà îáðàùåíèÿ âðåìåíè ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè T

0

0

= −1, T 11 = T

2

2

=T

3

3

= 1.

(2.3.16)

Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå âñåé ãðóïïû Ëîðåíöà ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ñîáñòâåííîé îðòîõðîííîé ïîäãðóïïû, à òàêæå ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè è îòðàæåíèÿ âðåìåíè. Ìû ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííóþ èíâåðñèþ è îòðàæåíèå âðåìåíè îòäåëüíî â ðàçäåëå 2.6. Äî ýòîãî áóäåì èçó÷àòü òîëüêî îäíîðîäíóþ èëè íåîäíîðîäíóþ ñîáñòâåííóþ îðòîõðîííóþ ãðóïïó Ëîðåíöà. 2.4. Àëãåáðà Ïóàíêàðå Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 2.2, ìíîãîå î ëþáîé ãðóïïå ñèììåòðèè, ÿâëÿþùåéñÿ ãðóïïîé Ëè, ìîæíî óçíàòü, èçó÷àÿ ãðóïïîâûå ýëåìåíòû âáëèçè åäèíèöû.  ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà åäèíèöåé ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Λµν = δµν, aµ = 0, òàê ÷òî ñëåäóåò èçó÷àòü ïðåîáðàçîâàíèÿ, èìåþùèå âèä Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν , a µ = ε µ ,

(2.4.1)

ñ èíôèíèòåçèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ωµν è εµ. Óñëîâèå (2.3.5) ìîæíî çàïèñàòü êàê ω σρ ≡ ηµσ ω µ ρ , ω µ ρ ≡ ηµσ ω σρ .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.4. Àëãåáðà Ïóàíêàðå

77

ηρσ = ηµν (δ µ ρ + ω µ ρ )(δ ν σ + ω ν σ ) = ησρ + ω σρ + ω ρσ + O(ω 2 ).

Çäåñü èñïîëüçîâàíî ñîãëàøåíèå, êîòîðîå áóäåò äàëåå ïðèìåíÿòüñÿ âî âñåé êíèãå, ÷òî îïóñêàíèå è ïîäúåì èíäåêñîâ îñóùåñòâëÿþòñÿ ñâåðòêîé ñ ηµν èëè ηµν: Óäåðæèâàÿ òîëüêî ñëàãàåìûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ω â óñëîâèè (2.3.5), íàõîäèì, ÷òî ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ àíòèñèììåòðèè ωµν: ω µν = − ω νµ .

(2.4.2)

Àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò (4×3)/2 = 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò, òàê ÷òî ñ ó÷åòîì ÷åòûðåõ êîìïîíåíò εµ íåîäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà îïðåäåëÿåòñÿ 6 + 4 = 10 ïàðàìåòðàìè. Òàê êàê U(1, 0) ïåðåâîäèò âñÿêèé ëó÷ â ñåáÿ, ýòîò îïåðàòîð äîëæåí áûòü ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó è ìîæåò áûòü ñäåëàí ðàâíûì åìó ïóòåì âûáîðà ôàçû *. Äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (2.4.1) îïåðàòîð U(1 + ω, ε) äîëæåí áûòü ñóììîé åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà 1 è ñëàãàåìûõ, ëèíåéíûõ ïî ωρσ è ερ. Çàïèøåì ýòî â âèäå U (1 + ω, ε) = 1 +

1 2

iω ρσ J ρσ − iε ρP ρ + . . . .

(2.4.3)

Çäåñü Jρσ è Pρ — íå çàâèñÿùèå îò ω è ε îïåðàòîðû, à ìíîãîòî÷èå ñîîòâåòñòâóåò ñëàãàåìûì áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ω è/èëè ε. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïåðàòîð U(1 + ω, ε) áûë óíèòàðíûì, îïåðàòîðû Jρσ è Pρ äîëæíû áûòü ýðìèòîâûìè: * Ïðè îòñóòñòâèè ïðàâèë ñóïåðîòáîðà âîçìîæíîñòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ, íà êîòîðîå äåéñòâóåò U(1, 0), ìîæåò áûòü èñêëþ÷åíà ñ ïîìîùüþ òåõ æå ðàññóæäåíèé, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü â ðàçäåëå 2.2, ÷òîáû èñêëþ÷èòü âîçìîæíóþ çàâèñèìîñòü ôàç ïðîåêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï ñèììåòðèè îò ñîñòîÿíèé, íà êîòîðûå ýòà ñèììåòðèÿ äåéñòâóåò. Åñëè æå äåéñòâóþò ïðàâèëà ñóïåðîòáîðà, ìîæåò îêàçàòüñÿ íåîáõîäèìûì ïåðåîïðåäåëèòü U(1, 0), âêëþ÷èâ ôàçîâûå ìíîæèòåëè, çàâèñÿùèå îò ñåêòîðà, â êîòîðîì äåéñòâóåò ýòîò îïåðàòîð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

78

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

J ρσ † = J ρσ , P ρ† = P ρ .

(2.4.4)

Òàê êàê ωρσ — àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð, êîýôôèöèåíòû Jρσ ìîæíî òàêæå âûáðàòü àíòèñèììåòðè÷íûìè: J ρσ = − J σρ .

(2.4.5)

Êàê áóäåò âèäíî, Ð1, Ð2 è Ð3 ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè êîìïîíåíò èìïóëüñà, J23, J31 è J12 — îïåðàòîðàìè êîìïîíåíò âåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà, à Ð0 — îïåðàòîðîì ýíåðãèè èëè ãàìèëüòîíèàíîì.* Èññëåäóåì ñâîéñòâà ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îïåðàòîρσ ðîâ J è Pρ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U −1 (Λ, a), ãäå Λµν è aµ − ïàðàìåòðû íîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, íå ñâÿçàííûå ñ ω èëè ε. Ñîãëàñíî (2.3.11), ïðîèçâåäåíèå U(Λ−1, −Λ−1a)U(Λ, a) ðàâíî U(1,0), òàê ÷òî U(Λ−1, −Λ−1a) — îïåðàòîð, îáðàòíûé U(Λ, a). Òîãäà èç (2.3.11) ñëåäóåò, ÷òî

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U −1 (Λ, a) = U(Λ(1 + ω)Λ−1, Λε − ΛωΛ−1a). (2.4.6) Â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ω è ε èìååì

U (Λ, a)[ 21 ω ρσ J ρσ − ε ρP ρ )U −1(Λ, a) = 21 (ΛωΛ−1) µν J µν − (Λε − ΛωΛ−1a) µ P µ .

(2.4.7)

Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ωρσ è ερ â îáîèõ ÷àñòÿõ ýòîãî ðàâåíñòâà (è ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (2.3.10)), íàõîäèì:

U(Λ, a)Jρσ U −1(Λ, a) = Λ µ ρ Λ ν σ (Jµν − aµ Pν + a ν Pµ ),

(2.4.8)

* Îïðåäåëåíèå ãåíåðàòîðîâ ìîìåíòà èìïóëüñà (óãëîâîãî ìîìåíòà) äèêòóåòñÿ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ Jµν. Îäíàêî îíè íå ïîçâîëÿþò âûáðàòü ìåæäó îïåðàòîðàìè Pµ è –Pµ, òàê ÷òî çíàê ñëàãàåìîãî ερPρ â (2.4.3) ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ñîãëàøåíèÿ. Ñîâìåñòèìîñòü (2.4.3) ñ îáû÷íûì îïðåäåëåíèåì ãàìèëüòîíèàíà Ð0 ïîêàçàíà â ðàçäåëå 3.1.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.4. Àëãåáðà Ïóàíêàðå

79

U ( Λ, a)P ρ U −1 ( Λ, a) = Λ µ ρ P µ .

(2.4.9)

Äëÿ îäíîðîäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà (aµ = 0) èç ýòèõ âûðàæåíèé ïðîñòî ñëåäóåò, ÷òî Jµν åñòü òåíçîð, à Pµ — âåêòîð. Äëÿ ÷èñòûõ òðàíñëÿöèé (Λµν = δµν) èç ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò, ÷òî Pρ ÿâëÿåòñÿ òðàíñëÿöèîííî−èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, à Jρσ — íåò.  ÷àñòíîñòè, èçìåíåíèå ïðîñòðàíñòâåííî−ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò Jρσ â ðåçóëüòàòå ïðîñòðàíñòâåííîé òðàíñëÿöèè ñîîòâåòñòâóåò îáû÷íîìó èçìåíåíèþ óãëîâîãî ìîìåíòà çà ñ÷åò ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò, ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðîìó âû÷èñëÿåòñÿ óãëîâîé ìîìåíò. Äàëåå, ïðèìåíèì ïðàâèëà (2.4.8), (2.4.9) ê ïðåîáðàçîâàíèþ, êîòîðîå ñàìî ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì. Èíà÷å ãîâîðÿ, âûáåðåì ìàòðèöó Λµν = δµν + ωµν, aµ = εµ, ãäå áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû ωµν è εµ íå ñâÿçàíû ñ ïðåäûäóùèìè ω è ε. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (2.4.3) è ñîõðàíÿÿ òîëüêî ñëàãàåìûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ωµν è εµ, íàõîäèì, ÷òî ôîðìóëû (2.4.8) è (2.4.9) ïðèíèìàþò âèä:

i[ 21 ω µν J µν − ε µ P µ , J ρσ ] = ω µ ρ J µσ + ω ν σ J ρν − ε ρP σ + ε σ P ρ , (2.4.10) i[ 21 ω µν J µν − ε µ P µ , P ρ ] = ω µ ρP µ .

(2.4.11)

Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ωµν è εµ â îáåèõ ñòîðîíàõ ýòèõ ðàâåíñòâ, íàõîäèì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

i[ J µν , J ρσ ] = ηνρ J µσ − ηµρ J νσ − ησµ J ρν + ησν J ρµ ,

(2.4.12)

i[P µ , J ρσ ] = ηµρP σ − ηµσ P ρ ,

(2.4.13)

[P µ , P ρ ] = 0.

(2.4.14)

Îíè îïðåäåëÿþò àëãåáðó Ëè ãðóïïû Ïóàíêàðå. Â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îñîáóþ ðîëü èãðàþò òå îïåðàòîðû, êîòîðûå ñîõðàíÿþòñÿ, ò. å. êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì ýíåðãèè H = P0. Èç ôîðìóë (2.4.13) è (2.4.14) ñëåäóåò, ÷òî òàêèìè îïåðàòîðàìè ÿâëÿþòñÿ 3-âåêòîð èìïóëüñà

P = P1 , P 2 , P 3 ,

m

r

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.4.15)

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

80

3-âåêòîð

ìîìåíòà èìïóëüñà

J = J 23 , J 31 , J12

m

r

(2.4.16)

è, êîíå÷íî, ñàì îïåðàòîð ýíåðãèè Ð0. Îñòàþùèåñÿ ãåíåðàòîðû îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûé 3-âåêòîð áóñòà

K = J10 , J 20 , J 30 .

m

r

(2.4.17)

Ýòè ãåíåðàòîðû íå ñîõðàíÿþòñÿ, è ïîýòîìó ìû íå ïðèïèñûâàåì ôèçè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé K.  òðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (2.4.12), (2.4.13) è (2.4.14) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: [ J i , J j ] = iε ijk J k ,

(2.4.18)

[ J i , K j ] = iε ijk K k ,

(2.4.19)

[K i , K j ] = − iε ijk J k ,

(2.4.20)

[ J i , Pj ] = iε ijk Pk ,

(2.4.21)

[K i , Pj ] = iHδ ij ,

(2.4.22)

[J i , H ] = [Pi , H ] = [H, H ] = 0,

(2.4.23)

[K i , H ] = iPi ,

(2.4.24)

ãäå i, j, k ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, à εijk — ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ ε123 = +1. Âèäíî, ÷òî êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (2.4.18) ñîâïàäàþò ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ êîìïîíåíò îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà. ×èñòûå òðàíñëÿöèè T(1, a) îáðàçóþò ïîäãðóïïó íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà ñ âûòåêàþùèì èç (2.3.8) ïðàâèëîì ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ (2.4.25) T(1, a )T(1, a) = T(1, a + a). Îíî àääèòèâíî â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è (2.2.24), òàê ÷òî, èñïîëüçóÿ (2.4.3) è ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäøèå ê (2.2.26),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.4. Àëãåáðà Ïóàíêàðå

81

íàõîäèì, ÷òî êîíå÷íûå òðàíñëÿöèè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå â âèäå

U (1, a) = exp(− iP µ aµ ).

(2.4.26)

Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âðàùåíèå Rθ íà óãîë |θ θ| âîêðóã íàïðàâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå êàê q

U (Rθ ,0) = exp(iJ ⋅ ).

(2.4.27)

q

Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñðàâíèòü àëãåáðó Ïóàíêàðå ñ àëãåáðîé Ëè ãðóïïû ñèììåòðèè íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêè — ãðóïïû Ãàëèëåÿ. Ìîæíî âûâåñòè ýòó àëãåáðó, íà÷àâ ñ çàêîíîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû Ãàëèëåÿ è ïîâòîðèâ òó ïðîöåäóðó, êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàëè äëÿ âûâîäà àëãåáðû Ïóàíêàðå. Îäíàêî, òàê êàê óæå âûâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ (2.4.18)−(2.4.24), ëåã÷å ïîëó÷èòü àëãåáðó Ãàëèëåÿ êàê ïðåäåë àëãåáðû Ïóàíêàðå ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ñ ïîìîùüþ ïðèåìà, êîòîðûé èçâåñòåí êàê êîíòðàêöèÿ Èíîíþ−Âèãíåðà 4, 5. Ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö ñ òèïè÷íûìè ìàññîé m è ñêîðîñòüþ v îïåðàòîðû èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà ïîðÿäêà P ∼ mv, J ∼ 1 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàòîð ýíåðãèè H = M + W, ãäå ïîëíàÿ ìàññà Ì ∼ m è ýíåðãèÿ, íå ñâÿçàííàÿ ñ ìàññîé (êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ), W ∼ mv2. Èç óðàâíåíèé (2.4.18)−(2.4.24) ñëåäóåò, ÷òî â ïðåäåëå ïðè v n 1 êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðèíèìàþò âèä:

[Ji , J j ] = iε ijk Jk, [Ji , Kj ] = iε ijkKk, [Ki , Kj ] = 0, [ J i , Pj ] = iε ijk Pk , [K i , Pj ] = − iMδ ij ,

[ J i , W] = [Pi , W] = 0, [K i , W] = − iPi , [J i , M] = [Pi , M] = [K i , M] = [W, M] = 0, ãäå K ∼ 1/v. Ïðîèçâåäåíèå òðàíñëÿöèè x → x + a è «áóñòà» x → x + vt äîëæíî áûòü ïðåîáðàçîâàíèåì x → x + vt + a, íî ýòî íåâåðíî äëÿ äåéñòâèÿ óêàçàííûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå:

exp(iK ⋅ v) exp(− iP ⋅ a) = exp(iMa ⋅ v / 2) exp i(K ⋅ v − P ⋅ a) .

a

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

f

82

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

Ïîÿâëåíèå ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ exp(iMa⋅⋅ v/2) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ñ ïðàâèëîì ñóïåðîòáîðà, çàïðåùàþùèì ñóïåðïîçèöèþ ñîñòîÿíèé ñ ðàçíûìè ìàññàìè.  ýòîì îòíîøåíèè ìàòåìàòèêà ãðóïïû Ïóàíêàðå ïðîùå, ÷åì ãðóïïû Ãàëèëåÿ. Îäíàêî íåò íèêàêèõ ïðè÷èí, ïðåïÿòñòâóþùèõ ôîðìàëüíîìó ðàñøèðåíèþ ãðóïïû Ãàëèëåÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ îäíîãî èëè áîëåå ãåíåðàòîðîâ â åå àëãåáðó Ëè, êîòîðûå êîììóòèðîâàëè áû ñî âñåìè äðóãèìè ãåíåðàòîðàìè è èìåëè áû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ìàññàì ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé.  ýòîì ñëó÷àå ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ ðåàëèçóþò îáû÷íîå, à íå ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ðàñøèðåííîé ãðóïïû ñèììåòðèè. Ïî-âèäèìîìó, ðàçíèöà ïðîÿâëÿåòñÿ ëèøü â îáîçíà÷åíèÿõ, íå ñ÷èòàÿ òîãî, ÷òî ïðè ïîäîáíîé èíòåðïðåòàöèè ãðóïïû Ãàëèëåÿ íåò íóæäû â ïðàâèëå ñóïåðîòáîðà ïî ìàññå. 2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ Ðàññìîòðèì òåïåðü êëàññèôèêàöèþ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ òåì, êàê îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà. Âñå êîìïîíåíòû 4-âåêòîðà ýíåðãèè−èìïóëüñà êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, ïîýòîìó åñòåñòâåííî âûðàæàòü ôèçè÷åñêèå âåêòîðû ñîñòîÿíèé ÷åðåç ñîáñòâåííûå âåêòîðû 4-èìïóëüñà. Ââîäÿ ìåòêó σ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âñåõ äðóãèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ðàññìîòðèì âåêòîðû ñîñòîÿíèé Ψp,σ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ

P µ Ψp,σ = pµ Ψp,σ .

(2.5.1)

Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé, îïèñûâàþùèõ, íàïðèìåð, íåñêîëüêî íåñâÿçàííûõ ÷àñòèö, ìåòêà σ ñàìà ìîæåò âêëþ÷àòü êàê íåïðåðûâíûå, òàê è äèñêðåòíûå ìåòêè. Ïðèìåì êàê ÷àñòü îïðåäåëåíèÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, ÷òî ìåòêà σ ìîæåò áûòü òîëüêî äèñêðåòíîé, è îãðàíè÷èìñÿ ïîêà ÷òî ðàññìîòðåíèåì òàêîãî ñëó÷àÿ. (Îäíàêî êîíêðåòíîå ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ èëè áîëåå ÷àñòèö, íàïðèìåð, íèçøåå ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå àòîìà âîäîðîäà, ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå. Îíî íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé, íî ðàçëè÷èå ìåæäó ñîñòàâíûìè è ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè íàì ñåé÷àñ íå âàæíî.)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

83

Èç óðàâíåíèé (2.5.1) è (2.4.26) ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîÿíèÿ Ψp,σ ïðåîáðàçóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì òðàíñëÿöèé ïî çàêîíó

U(1, a)Ψp,σ = e − ip⋅a Ψp,σ . Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ïðåîáðàçóþòñÿ ýòè ñîñòîÿíèÿ ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Èç ôîðìóëû (2.4.9) ñëåäóåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ êâàíòîâîãî îäíîðîäíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà U(Λ, 0) ≡ U(Λ) íà ñîñòîÿíèå Ψp,σ âîçíèêàåò ñîáñòâåííûé âåêòîð 4-èìïóëüñà ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Λp:

[

]

P µ U (Λ)Ψp,σ = U (Λ) U −1 (Λ)P µ U (Λ) Ψp,σ = U (Λ)(Λ−ρ1µ P ρ )Ψp,σ = ΛµρpρU (Λ)Ψp,σ .

(2.5.2)

Ïîýòîìó U(Λ)Ψp,σ äîëæíî áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ΨΛp,σ′:

U ( Λ)Ψp,σ =

∑ Cσ′σ (Λ, p)ΨΛp,σ′ . σ′

(2.5.3)

 îáùåì ñëó÷àå ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé Ψp,σ ìîæíî òàê âûáðàòü ìåòêè σ, ÷òîáû ìàòðèöà Cσ′σ(Λ, p) ñòàëà áëî÷íî−äèàãîíàëüíîé, ò. å. ñîâîêóïíîñòü Ψp,σ ñ ìåòêîé σ, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ âíóòðè îäíîãî áëîêà, ñàìà áûëà áû ïðåäñòàâëåíèåì íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà. Åñòåñòâåííî ñîïîñòàâèòü ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû êîíêðåòíîãî òèïà ñ êîìïîíåíòàìè ïðåäñòàâëåíèÿ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà, êîòîðîå íåïðèâîäèìî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî íåëüçÿ äàëåå ðàçëîæèòü óêàçàííûì ñïîñîáîì. Êîíå÷íî, ðàçíûå ñîðòà ÷àñòèö ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü èçîìîðôíûì ïðåäñòàâëåíèÿì, äëÿ êîòîðûõ ìàòðèöû Cσ′σ(Λ, p) ëèáî òîæäåñòâåííû, ëèáî ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíî îïðåäåëèòü òèïû ÷àñòèö êàê íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ áîëåå øèðîêèõ ãðóïï, âêëþ÷àþùèõ íåîäíîðîäíóþ ñîáñòâåííóþ îðòîõðîííóþ ãðóïïó Ëîðåíöà â êà÷åñòâå ïîäãðóïïû; íàïðèìåð, êàê ìû óâèäèì, äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ ñîõðàíÿþò ñèììåòðèþ ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííûì îòðàæåíèÿì, ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü âñå êîìïîíåíòû íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

84

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

Ëîðåíöà, âêëþ÷àÿ ïðîñòðàíñòâåííóþ èíâåðñèþ, êàê îäèí òèï ÷àñòèö. Íàøà çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â èññëåäîâàíèè ñòðóêòóðû êîýôôèöèåíòîâ Cσ′σ(Λ, p) äëÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî åäèíñòâåííûìè ôóíêöèÿìè pµ, îñòàþùèìèñÿ èíâàðèàíòíûìè ïî îòíîøåíèþ êî âñåì ñîáñòâåííûì îðòîõðîííûì ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà Λµν, ÿâëÿþòñÿ êâàäðàò ýòîãî 4-âåêòîðà p2 ≡ ηµνpµpν è çíàê p0 ïðè p2 ≤ 0. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ð2 è (ïðè ð2 ≤ 0) îïðåäåëåííîãî çíàêà ð0 ìîæíî âûáðàòü «ñòàíäàðòíûé» 4-èìïóëüñ kµ è âûðàçèòü ëþáîé 4-âåêòîð pµ èç ýòîãî êëàññà â âèäå (2.5.4) p µ = Lµ ν (p)k ν , ãäå Lµν — ñòàíäàðòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà, çàâèñÿùåå îò pµ è íåÿâíî îò âûáîðà ñòàíäàðòíîãî èìïóëüñà kµ. Çàòåì ìîæíî îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèÿ Ψp,σ èìïóëüñà ð êàê Ψp,σ ≡ N (p)U (L(p)) Ψk ,σ ,

(2.5.5)

ãäå N(p) − ÷èñëîâîé íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü, êîòîðûé áóäåò äàëåå óñòàíîâëåí. Äî ýòîãî ìîìåíòà ìû íè÷åãî íå ãîâîðèëè î òîì, êàê ìåòêè σ ñâÿçàíû ñ ðàçíûìè èìïóëüñàìè. Óðàâíåíèå (2.5.5) çàïîëíÿåò ýòîò ïðîáåë. Äåéñòâóÿ íà (2.5.5) ïðîèçâîëüíûì îäíîðîäíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà U(Λ), íàõîäèì:

U (Λ)Ψp,σ = N(p)U (ΛL(p))Ψk,σ = N(p)U(L(Λp))U (L−1(Λp)ΛL(p))Ψk,σ .

(2.5.6)

Ñóòü ïîñëåäíåãî øàãà — â òîì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà L−1(Λp)ΛL(p) ïåðåâîäèò k â L(p)k = p, çàòåì â Λp è íàçàä â k, òàê ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïðèíàäëåæèò ïîäãðóïïå îäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà, ñîñòîÿùåé èç ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé Wµν, îñòàâëÿþùèõ kµ èíâàðèàíòíûì:

W µ νk ν = k µ .

(2.5.7)

Ýòà ïîäãðóïïà íàçûâàåòñÿ ìàëîé ãðóïïîé 5. Äëÿ ëþáîãî W, óäîâëåòâîðÿþùåãî (2.5.7), èìååì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

85

U ( W)Ψk,σ =

∑ Dσ′σ (W)Ψk,σ′ .

(2.5.8)

σ′

Êîýôôèöèåíòû D(W) ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ìàëîé ãðóïïû, ò. å. äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ W , W

∑ Dσ′σ (W , W)Ψk,σ′ = U (WW)Ψk,σ = U (W )U (W)Ψk,σ σ′

= U(W )

∑ Dσ′′σ (W , W)Ψk,σ′′ = ∑ Dσ′′σ (W)Dσ′σ′′ (W )Ψk,σ′ σ ′′

σ ′σ ′′

è ïîýòîìó

Dσ ′σ ( WW) =

∑ Dσ′σ′′ (W )Dσ′′σ (W) .

(2.5.9)

σ ′′

 ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïðèìåíèòü ñîîòíîøåíèå (2.5.8) ê ïðåîáðàçîâàíèþ ìàëîé ãðóïïû: (2.5.10) W(Λ, p) ≡ L−1 (Λp)ΛL(p) , ïîñëå ÷åãî (2.5.6) ïðèíèìàåò âèä:

U (Λ)Ψp,σ = N(p)

∑ Dσ′σ (W(Λ, p))U(L(Λp))Ψk,σ′ , σ′

èëè, âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå (2.5.5),

U ( Λ)Ψp,σ =

FG N(p) IJ ∑ D H N(Λp) K σ′

σ ′σ (W( Λ, p)) ΨΛp, σ ′

.

(2.5.11)

Ïîìèìî âîïðîñîâ íîðìèðîâêè, çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Cσ′σ â çàêîíå ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.5.3) áûëà ñâåäåíà ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ìàëîé ãðóïïû. Òàêîé ïîäõîä, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïîëó÷åíèè ïðåäñòàâëåíèé êàêîé-òî ãðóïïû òèïà íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà èç ïðåäñòàâëåíèé ìàëîé ãðóïïû, íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà èíäóöèðîâàííûõ ïðåäñòàâëåíèé 6.  òàáëèöå 2.1 ïðèâåäåí óäîáíûé âûáîð ñòàíäàðòíîãî èìïóëüñà kµ è ñîîòâåòñòâóþùåé ìàëîé ãðóïïû äëÿ 4-èìïóëüñîâ ðàçíûõ êëàññîâ. Èç ýòèõ øåñòè êëàññîâ 4-èìïóëüñîâ òîëüêî äëÿ ñëó÷àåâ à, â è å èçâåñòíà êàêàÿ-òî èíòåðïðåòàöèÿ â òåðìèíàõ ôèçè÷åñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

86

Òàáëèöà 2.1

Ñòàíäàðòíûé èìïóëüñ κµ

Ìàëàÿ ãðóïïà

à

p2 = – M2 < 0, p0 > 0

(0,0,0,M)

SO(3)

á

p2 = – M2 < 0, p0 < 0

(0,0,0,M)

SO(3)

â

p2 = 0, p0 > 0

(0,0,κ,κ)

ISO(2)

ã

p2 = 0, p0 < 0

(0,0,κ,-κ)

ISO(2)

ä

p2 = N 2 > 0

(0,0,N,0)

SO(2,1)

å

pµ = 0

(0,0,0,0)

SO(3,1)

Òàáë. 2. 1. Ñòàíäàðòíûå èìïóëüñû è ñîîòâåòñòâóþùèå ìàëûå ãðóïïû äëÿ ðàçíûõ êëàññîâ 4-èìïóëüñîâ. Çäåñü κ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ, íàïðèìåð, 1 ýÂ. Òèï ìàëûõ ãðóïï ïî÷òè î÷åâèäåí: SO(3) — îáû÷íàÿ ãðóïïà âðàùåíèé â òðåõ èçìåðåíèÿõ (íå ñîäåðæàùàÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ èíâåðñèé), ïîñêîëüêó âðàùåíèÿ — ýòî åäèíñòâåííûå ñîáñòâåííûå îðòîõðîííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, îñòàâëÿþùèå ÷àñòèöó ñ íóëåâûì èìïóëüñîì â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ. Ãðóïïû SO(2,1) è SO(3,1) — ãðóïïû Ëîðåíöà â (2 + 1) è (3 + 1) èçìåðåíèÿõ, ñîîòâåòñòâåííî. Ãðóïïà ISO(2) — ãðóïïà åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ñîñòîÿùàÿ èç âðàùåíèé è òðàíñëÿöèé â äâóõ èçìåðåíèÿõ. Ïîÿâëåíèå ýòîé ãðóïïû â êà÷åñòâå ìàëîé ãðóïïû äëÿ ñëó÷àÿ ð2 = 0 îáúÿñíåíî â îñíîâíîì òåêñòå.

êèõ ñîñòîÿíèé. Íåò íóæäû ìíîãî ãîâîðèòü çäåñü î ñëó÷àå å, êîãäà pµ = 0. Îí ñîîòâåòñòâóåò âàêóóìó, êîòîðûé èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê äåéñòâèþ U(Λ).  ïîñëåäóþùåì èçëîæåíèè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñëó÷àè à è â, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòèöàì ñ ìàññîé Ì > 0 è Ì = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

87

Ïîëåçíî ñäåëàòü ïàóçó è ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ î íîðìèðîâêå òàêèõ ñîñòîÿíèé. Ïîëüçóÿñü îáû÷íîé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ïðîöåäóðîé îðòîãîíàëèçàöèè è íîðìèðîâêè, ìîæíî âûáðàòü ñîñòîÿíèÿ ñî ñòàíäàðòíûì èìïóëüñîì kµ, îðòîíîðìèðîâàííûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî

(Ψk ′,σ′ , Ψk,σ ) = δ 3 (k ′ − k)δ σ′σ .

(2.5.12)

( ýòîì ñîîòíîøåíèè âîçíèêëà δ-ôóíêöèÿ, òàê êàê Ψk,σ è Ψk′,σ′ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè ýðìèòîâà îïåðàòîðà ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè k è k′, ñîîòâåòñòâåííî.) Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ìàëîé ãðóïïû â (2.5.8) è (2.5.11) äîëæíî áûòü óíèòàðíûì *: D† ( W ) = D −1 ( W ) .

(2.5.13)

×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèÿõ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ èìïóëüñîâ? Èñïîëüçóÿ óíèòàðíîñòü îïåðàòîðà U(Λ) â ñîîòíîøåíèÿõ (2.5.5) è (2.5.11), ïîëó÷àåì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî (Ψp′,σ ′ , Ψp,σ ) = N(p)(U −1 (L(p))Ψp′,σ ′ , Ψk,σ )

= N(p)N * (p′) D( W(L−1 (p), p′)*σσ ′ δ 3 (k ′ − k) , ãäå k′ ≡ L−1(p)p′. Êðîìå òîãî, k ≡ L−1(p)p, è äåëüòà-ôóíêöèÿ δ3(k− k′) ïðîïîðöèîíàëüíà δ3(p − p′). Ïðè p′ = p ïðåîáðàçîâàíèå ìàëîé ãðóïïû òðèâèàëüíî, W (L−1 (p), p) = 1 , òàê ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî

(Ψp′,σ′ , Ψp,σ ) = | N(p) |2 δσ′σ δ3 (k′ − k).

(2.5.14)

Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, ÷åìó ðàâåí êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó δ3(k − k′) è δ3(p − p′). Çàìåòèì, ÷òî ëîðåíö− * Ìàëûå ãðóïïû SO(2,1) è SO(3, 1) äëÿ p2 > 0 è pµ = 0 íå èìåþò íåòðèâèàëüíûõ êîíå÷íîìåðíûõ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ïîýòîìó, åñëè áû ñóùåñòâîâàëè ñîñòîÿíèÿ ñ äàííûì èìïóëüñîì pµ ïðè p2 > 0 èëè pµ = 0, êîòîðûå áû íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì ïðåîáðàçîâûâàëèñü ïîä äåéñòâèåì ýëåìåíòîâ ìàëîé ãðóïïû, òî òàêèõ ñîñòîÿíèé äîëæíî áûëî áûòü áåñêîíå÷íî ìíîãî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

88

èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë îò ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f(p) ïî 4-èìïóëüñàì ñ −p2 = M2 ≥ 0 è ð0 > 0 (ò. å. äëÿ ñëó÷àåâ à è â â òàáëèöå) ðàâåí

z

d 4p δ(p2 − M 2 ) θ(p0 ) f (p) = =

z

d 3pdp0 δ((p0 )2 − p2 − M 2 ) θ(p0 ) f (p, p0 )

X d p f(p, p + M YY 2 p + M Z 2

2

3

2

)

2

(θ(p0) − ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ: θ(x) = 1 ïðè x ≥ 0, θ(x) = 0 ïðè x < 0). Ïðè èíòåãðèðîâàíèè «íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè» ð2 + Ì2 = 0 èíâàðèàíòíûé ýëåìåíò îáúåìà åñòü

d 3 p / p2 + M 2 .

(2.5.15)

Äåëüòà−ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì F(p) =

z

F ( p ′) δ 3 ( p − p ′) d 3 p ′ =

z

F ( p ′)

p ′ 2 + M 2 δ 3 (p ′ − p)

d3p ′ p′2 + M 2

,

îòêóäà èíâàðèàíòíàÿ äåëüòà−ôóíêöèÿ ðàâíà

p ′ 2 + M 2 δ 3 (p ′ − p) = p0δ 3 (p ′ − p) .

(2.5.16)

Òàê êàê ð′ è ð ñâÿçàíû ñîîòâåòñòâåííî ñ k′ è k ëîðåíöîâñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì L(p), èìååì: p0δ 3 (p ′ − p) = k 0δ 3 (k ′ − k )

è ïîýòîìó ( Ψp′,σ ′ , Ψp,σ ) =| N(p)|2 δ σ ′σ

0

FG p IJ δ (p′ − p) . Hk K 3

0

(2.5.17)

Èíîãäà âûáèðàþò íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü N(p) ïðîñòî ðàâíûì åäèíèöå, N(p) = 1, íî â ýòîì ñëó÷àå íóæíî ñëåäèòü çà ìíîæèòåëÿìè p0/k0 â ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèÿõ. ß ïðåäïî÷èòàþ áîëåå ïðèâû÷íîå ñîãëàøåíèå (2.5.18) N (p) = k 0 p0 , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

89

ïðè âûáîðå êîòîðîãî (Ψp′,σ ′ , Ψp,σ ) = δ σ ′σ δ 3 (p ′ − p) .

(2.5.19)

Ðàññìîòðèì äâà ïðåäñòàâëÿþùèõ ôèçè÷åñêèé èíòåðåñ ñëó÷àÿ: ÷àñòèöû ñ ìàññîé M > 0 è ÷àñòèöû íóëåâîé ìàññû. Ñëó÷àé ïîëîæèòåëüíîé ìàññû  äàííîì ñëó÷àå ìàëîé ãðóïïîé ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíàÿ ãðóïïà âðàùåíèé. Åå óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîãóò áûòü ðàçëîæåíû â ïðÿìóþ ñóììó íåïðèâîäèìûõ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé 7 Dσ( j′)σ (R) ðàçìåðíîñòè 2j + 1, ãäå j = 0, 1/2, 1, … Ïîñëåäíèå ìîæíî ïîñòðîèòü èç ñòàíäàðòíûõ ìàòðèö áåñêîíå÷íî ìàëûõ âðàùåíèé Rik = δik + Θik, ãäå Θik = −Θki — áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû: Dσ( j′)σ (1 + Θ) = δ σ ′σ +

i 2

Θ ik ( J (ikj) ) σ ′σ ,

( j) ( j) ( J23 ) σ ′σ = ( J1( j ) ± iJ2( j) ) σ ′σ ± iJ31

= δ σ ′,σ ±1 ( j m σ)( j ± σ + 1) , ( j) ( J12 ) σ ′σ = ( J3( j) ) σ ′σ = σδ σ ′σ .

(2.5.20)

(2.5.21) (2.5.22)

Çäåñü σ ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ j, j − 1, …, −j. Äëÿ ÷àñòèöû ìàññîé M > 0 è ñïèíà j óðàâíåíèå (2.5.11) ïðèíèìàåò âèä: U ( Λ)Ψp,σ =

( Λp)0 p

0

∑ Dσ( j′)σ (W(Λ, p))ΨΛp,σ′ , σ′

(2.5.23)

ãäå ýëåìåíò ìàëîé ãðóïïû W(Λ, p) (âèãíåðîâñêîå âðàùåíèå 5) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2.5.10):

W(Λ, p) = L−1 (Λp)ΛL(p). ×òîáû ðàññ÷èòàòü ðåçóëüòàò ýòîãî âðàùåíèÿ, ñëåäóåò âûáðàòü «ñòàíäàðòíûé áóñò» L(p), êîòîðûé ïåðåâîäèò 4-èìïóëüñ kµ = (0, 0, 0, M) â 4-èìïóëüñ pµ. Óäîáíî âûáðàòü åãî â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

90

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

Lik (p) = δ ik + (γ − 1)p$ ip$ k , Li0 (p) = L0i (p) = p$ i γ 2 − 1 ,

(2.5.24)

L00 (p) = γ , p$ i ≡ p i /| p| , γ ≡

p2 + M 2 / M .

Î÷åíü âàæíî, ÷òî åñëè Λµν åñòü ïðîèçâîëüíîå òðåõìåðíîå âðàùåíèå R, âèãíåðîâñêîå âðàùåíèå W(Λ, p) ñîâïàäàåò ñ R äëÿ âñåõ ð. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü áóñò (2.5.24) â âèäå L(p) = R(p$ ) B(| p| )R −1 (p$ ) ,

ãäå R(p$ ) − âðàùåíèå (ñòàíäàðòíàÿ ôîðìà åãî îïðåäåëåíà íèæå óðàâíåíèåì (2.5.47)), ïåðåâîäÿùåå îñü z âäîëü íàïðàâëåíèÿ p, à

LM1 0 B(| p| ) = M MM0 MN0

0

0

1

0

0

γ

0

γ2 − 1

0

OP 0 P . γ − 1P P γ PQ 2

Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âðàùåíèÿ R W (R, p) = R(Rp$ ) B −1 (| p| )R −1 (Rp$ )RR(p$ ) B(| p| )R −1 (p$ ) .

Îäíàêî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ R −1 (Rp$ )RR(p$ ) îñü z îêàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííîé ñíà÷àëà âäîëü p$ , çàòåì âäîëü Rp$ , è íàêîíåö, îïÿòü âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå, òàê ÷òî â ñîâîêóïíîñòè ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòî âðàùåíèå íà íåêîòîðûé óãîë θ âîêðóã òðåòüåé îñè:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

R −1

LM cos θ − sin θ (Rp$ )RR(p$ ) = R(θ) ≡ M MM 0 MN 0

91

sin θ

OP 0P . 0P P 1PQ

0 0

cos θ 0 0

1

0

0

Òàê êàê R(θ) êîììóòèðóåò ñ B(|p|), ïîëó÷àåì: W (R , p) = R(Rp$ ) B −1 (| p| )R(θ) B(| p| )R −1 (p$ ) = R(Rp$ )R(θ)R −1 (p$ )

è îòñþäà W(R, p) = R, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèÿ äâèæóùåéñÿ ìàññèâíîé ÷àñòèöû (à ñëåäîâàòåëüíî è ìíîãî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèÿì òàê æå, êàê è â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ýòî åùå îäíî õîðîøåå èçâåñòèå, ïîñêîëüêó âåñü àïïàðàò ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê, êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà− Ãîðäàíà è ò. ï. ìîæíî öåëèêîì ïåðåíåñòè èç íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè â ðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðèþ. Ìàññà íóëü Ïðåæäå âñåãî, ñëåäóåò óñòàíîâèòü ñòðóêòóðó ìàëîé ãðóïïû. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìàëîé ãðóïïû Wµν, ãäå Wµνkν = kµ è kµ = (0,0,1,1) − ñòàíäàðòíûé 4-èìïóëüñ äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ. Äåéñòâóÿ íà âðåìåíèïîäîáíûé 4-âåêòîð tµ = (0, 0, 0, 1), ýòî ëîðåíöîâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå äîëæíî äàòü 4-âåêòîð Wt, äëèíà êîòîðîãî è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ âåêòîðîì Wk = k òàêèå æå, êàê è äëÿ âåêòîðà t: ( Wt) µ ( Wt) µ = t µ tµ = −1 ,

( Wt) µ kµ = t µ kµ = −1 . Ëþáîé 4-âåêòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé âòîðîìó óñëîâèþ, ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå ( Wt) µ = (α, β, ζ, 1 + ζ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

92

è òîãäà èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå ζ = (α 2 + β 2 ) / 2 .

(2.5.25)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äåéñòâèå Wµν íà tν ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèåì ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

Sµ ν

LM 1 0 (α, β) = M MM α MN−α

0

−α

1

−β

β

1− ζ

−β

−ζ

α

OP β P . ζ P P 1 + ζ PQ

(2.5.26)

Ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò W ðàâåí S(α,β), îäíàêî S−1(α,β)W ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöîâñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì, íå ìåíÿþùèì âðåìåíèïîäîáíûé âåêòîð (0,0,0,1), ò. å. ïðîñòûì âðàùåíèåì. Êðîìå òîãî, Sµν, êàê è Wµν, îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì ñâåòîïîäîáíûé 4-âåêòîð (0,0,1,1), òàê ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå S−1(α,β)W äîëæíî áûòü âðàùåíèåì íà íåêîòîðûé óãîë θ âîêðóã òðåòüåé îñè: S −1 (α, β) W = R(θ) ,

Rµ ν

LM cos θ − sin θ (θ) ≡ M MM 0 MN 0

sin θ

(2.5.27)

OP 0P . 0P P 1PQ

0 0

cos θ 0 0

1

0

0

Ïîýòîìó íàèáîëåå îáùèé âèä ýëåìåíòà ìàëîé ãðóïïû òàêîâ:

W(θ, α, β) = S(α, β)R(θ) .

(2.5.28)

×òî ýòî çà ãðóïïà? Çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ θ = 0 èëè ñ α = β = 0 îáðàçóþò ïîäãðóïïû:

S(α, β )S(α, β) = S(α + α, β + β),

(2.5.29)

R(θ)R(θ) = R(θ + θ).

(2.5.30)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

93

Ýòè ïîäãðóïïû àáåëåâû, ò. å. âñå èõ ýëåìåíòû êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Áîëåå òîãî, ïîäãðóïïà ñ θ = 0 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî åå ýëåìåíòû ïðåîáðàçóþòñÿ â äðóãèå ýëåìåíòû òîé æå ïîäãðóïïû ïîä äåéñòâèåì ëþáîãî ýëåìåíòû âñåé ãðóïïû:

R(θ)S(α, β)R−1 (θ) = S(αcos θ + βsin θ, − αsin θ + βcos θ). (2.5.31) Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (2.5.29)−(2.5.31) ìîæíî íàéòè ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû. ×èòàòåëü óçíàåò â ýòèõ ïðàâèëàõ óìíîæåíèÿ òå, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ãðóïïå ISO(2), ñîñòîÿùåé èç òðàíñëÿöèé (íà âåêòîð (α, β)) è âðàùåíèé (íà óãîë θ) â äâóõ èçìåðåíèÿõ. Òå ãðóïïû, ó êîòîðûõ íåò èíâàðèàíòíûõ àáåëåâûõ ïîäãðóïï, îáëàäàþò ðÿäîì ïðîñòûõ ñâîéñòâ, è ïî ýòîé ïðè÷èíå èõ íàçûâàþò ïîëóïðîñòûìèè. Êàê ìû âèäåëè, ìàëàÿ ãðóïïà ISO(2), êàê è íåîäíîðîäíàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà, íå ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðîñòîé, ÷òî ïðèâîäèò ê èíòåðåñíûì óñëîæíåíèÿì. Ïðåæäå âñåãî, ïîñìîòðèì íà àëãåáðó Ëè ãðóïïû ISO(2). Åñëè ñ÷èòàòü θ, α, β áåñêîíå÷íî ìàëûìè, òî îáùèé ãðóïïîâîé ýëåìåíò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå W(θ, α, β) µ ν = δ µ ν + ω µ ν ,

ω µν

LM 0 −θ =M MM α MN−α

θ

−α

0

−β

β

0

−β

0

α

OP βP . 0P P 0 PQ

Èç (2.4.3) ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàâåí

U ( W(θ, α, β)) = 1 + iαA + iβB + iθJ3 ,

(2.5.32)

ãäå À è Â − ýðìèòîâûå îïåðàòîðû: A = − J 13 + J 10 = J2 + K 1 ,

(2.5.33)

B = − J 23 + J 20 = − J1 + K 2 ,

(2.5.34)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

94

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

è, êàê è ðàíåå, J3 = J12. Ëèáî èç ñîîòíîøåíèé (2.4.18)−(2.4.20), ëèáî íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóë (2.5.29)−(2.5.31) âèäíî, ÷òî êîììóòàòîðû ýòèõ ãåíåðàòîðîâ ðàâíû (2.5.35) [ J3 , A] = + iB ,

[ J3 , B] = − iA ,

(2.5.36)

[ A, B ] = 0 .

(2.5.37)

Òàê êàê À è Â ÿâëÿþòñÿ êîììóòèðóþùèìè ýðìèòîâûìè îïåðàòîðàìè, îíè (êàê è îïåðàòîðû èìïóëüñà â íåîäíîðîäíîé ãðóïïå Ëîðåíöà) ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî äèàãîíàëèçîâàíû íà ñîñòîÿíèÿõ Ψk,a,b :

AΨk,a,b = aΨk,a,b , BΨk,a,b = bΨk,a,b . Ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè áóäåò íàéäåí îäèí òàêîé íàáîð íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé À è Â, òî ìû àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷èì êîíòèíóóì òàêèõ çíà÷åíèé. Èç (2.5.31) èìååì:

U [R(θ)]AU −1 [R(θ)] = A cos θ − B sin θ , U [R(θ)]BU −1 [R(θ)] = A sin θ + B cos θ . òàê ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì θ AΨkθ,a,b = (a cos θ − b sin θ)Ψkθ,a,b , BΨkθ,a,b = (a sin θ + b cos θ)Ψkθ,a,b ,

Ψkθ,a,b ≡ U −1 (R(θ))Ψk,a,b . Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì áåçìàññîâûå ÷àñòèöû íå îáëàäàþò êàêîé-ëèáî íåïðåðûâíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû âðîäå θ. ×òîáû èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ ïîäîáíîãî êîíòèíóóìà ñîñòîÿíèé, ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ (íàçûâàåìûå òåïåðü Ψk,s) áûëè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè À è  ñ a = b = 0: AΨk ,σ = BΨk , σ = 0 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.5.38)

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

95

Ýòè ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îñòàâøåãîñÿ ãåíåðàòîðà J3 Ψk ,σ = σΨk ,σ . (2.5.39) Òàê êàê èìïóëüñ k îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, σ ðàâíà êîìïîíåíòå óãëîâîãî ìîìåíòà â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ, èíà÷å, ñïèðàëüíîñòè ÷àñòèöû. Òåïåðü ìîæíî óñòàíîâèòü ñâîéñòâà ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîèçâîëüíûõ áåçìàññîâûõ ñîñòîÿíèé. Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî ñ ïîìîùüþ îáùèõ ñîîáðàæåíèé, ïðèâåäåííûõ â ðàçäåëå 2.2, óðàâíåíèå (2.5.32) îáîáùàåòñÿ äëÿ êîíå÷íûõ α è β, ïðèíèìàÿ âèä

U(S(α, β)) = exp(iαA + iβB) ,

(2.5.40)

à äëÿ êîíå÷íûõ θ — âèä

U(R(θ)) = exp(iJ3θ) .

(2.5.41)

Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìàëîé ãðóïïû W ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (2.5.28), è ïîýòîìó U ( W )Ψk , σ = exp( iαA + iβB) exp( iJ3θ)Ψk , σ = exp( iθσ)Ψk ,σ

òàê ÷òî èç (2.5.8) íàõîäèì:

Dσ ′σ ( W) = exp(iθσ)δ σ ′σ , ãäå θ — óãîë, îïðåäåëåííûé òàê æå, êàê â (2.5.28).  ðåçóëüòàòå ïðàâèëî ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ áåçìàññîâîé ÷àñòèöû ïðîèçâîëüíîé ñïèðàëüíîñòè çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (2.5.11) è (2.5.18) è ïðèíèìàåò âèä

U ( Λ)Ψp,σ =

( Λp)0 p0

exp(iσθ( Λ, p))ΨΛp,σ ,

(2.5.42)

ãäå θ(Λ, p) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà W ( Λ, p) ≡ L−1 ( Λp) ΛL(p) ≡ S(α( Λ, p), β( Λ, p))R(θ( Λ, p)) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.5.43)

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

96

 ðàçäåëå 5.9 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü âîçíèêàåò èç òîé ÷àñòè ìàëîé ãðóïïû, êîòîðàÿ ïàðàìåòðèçîâàíà ñ ïîìîùüþ α è β. Äî ýòîãî ìîìåíòà íå áûëî ïðèâåäåíî íèêàêèõ àðãóìåíòîâ, çàïðåùàþùèõ ñïèðàëüíîñòè áåçìàññîâîé ÷àñòèöû σ ïðèíèìàòü ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå çíà÷åíèå. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 2.7, ñóùåñòâóþò òîïîëîãè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ, îãðàíè÷èâàþùèå ðàçðåøåííûå çíà÷åíèÿ σ öåëûìè èëè ïîëóöåëûìè ÷èñëàìè, êàê è äëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòà ìàëîé ãðóïïû (2.5.43) äëÿ çàäàííûõ Λ è ð (à òàêæå äëÿ âû÷èñëåíèÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå äåéñòâèÿ îïåðàöèé ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè è îòðàæåíèÿ âðåìåíè íà ýòè ñîñòîÿíèÿ), íàì íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü ñîãëàøåíèå î âèäå ñòàíäàðòíîãî ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðîå ïåðåâîäèò âåêòîð kµ = (0, 0, κ, κ) â pµ. Óäîáíî âûáðàòü åãî â âèäå

L(p) = R(p$ ) B(| p|/κ ) ,

(2.5.44)

ãäå B(u) − ÷èñòûé áóñò â íàïðàâëåíèè òðåòüåé îñè:

LM1 0 B( u) ≡ M MM0 MN0

0

0

1

0

0 ( u + 1) / 2 u

(u2

0 ( u 2 − 1) / 2u

(u2

2

OP 0 P. − 1) / 2u P P + 1) / 2u PQ 0

(2.5.45)

à R(p$ ) − ÷èñòîå âðàùåíèå, ïåðåâîäÿùåå òðåòüþ îñü ïî íàïðàâëåíèþ åäèíè÷íîãî âåêòîðà p$ . Íàïðèìåð, ïóñòü p$ îïðåäåëÿåòñÿ ïîëÿðíûì è àçèìóòàëüíûì óãëàìè θ è ϕ :

p$ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) .

(2.5.46)

Òîãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü R(p$ ) êàê âðàùåíèå íà óãîë θ âîêðóã âòîðîé îñè, ïåðåâîäÿùåå (0, 0, 1) â (sin θ, 0, cos θ), è ïîñëåäóþùåå âðàùåíèå íà óãîë ϕ âîêðóã òðåòüåé îñè :

U(R(p$ )) = exp(iϕJ3 ) exp(iθJ2 ) ,

(2.5.47)

ãäå 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π. (Ìû ïðèâîäèì U(R(p$ )) , à íå R(p$ ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.5. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

97

óêàçûâàÿ îäíîâðåìåííî èíòåðâàë èçìåíåíèÿ θ è ϕ, ïîñêîëüêó ñäâèã θ è ϕ íà 2π îïðåäåëÿåò òî æå ñàìîå âðàùåíèå R(p$ ) , îäíàêî èçìåíÿåò çíàê U(R(p$ )) ïðè äåéñòâèè íà ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì.) Òàê êàê (2.5.47) — âðàùåíèå, ïåðåâîäÿùåå òðåòüþ îñü ê íàïðàâëåíèþ (2.5.46), ëþáîé äðóãîé âûáîð R(p$ ) áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðèâåäåííîãî íå áîëåå ÷åì íà íà÷àëüíîå âðàùåíèå âîêðóã òðåòüåé îñè, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòî ïåðåîïðåäåëåíèþ ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ äëÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ñïèðàëüíîñòü ëîðåíö-èíâàðèàíòíà; áåçìàññîâàÿ ÷àñòèöà çàäàííîé ñïèðàëüíîñòè σ âûãëÿäèò îäèíàêîâî (íå ñ÷èòàÿ èìïóëüñà) âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, è ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñ çàäàííûìè ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ñïèðàëüíîñòè êàê ðàçíûå ñîðòà ÷àñòèö. Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ÷àñòèöû ïðîòèâîïîëîæíîé ñïèðàëüíîñòè ñâÿçàíû ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîãî îòðàæåíèÿ. Òàê, ïîñêîëüêó ýëåêòðîìàãíèòíûå è ãðàâèòàöèîííûå ñèëû óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèþ ñèììåòðèè ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè, îáå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñî ñïèðàëüíîñòÿìè ±1, ñâÿçàííûå ñ ýëåêòðîìàãíåòèçìîì, íîñÿò íàçâàíèå ôîòîíîâ, à äâå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñî ñïèðàëüíîñòÿìè ±2, êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ òÿãîòåíèåì, íàçûâàþòñÿ ãðàâèòîíàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðåäïîëàãàåìûå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñî ñïèðàëüíîñòÿìè ±1/2, èñïóñêàåìûå ïðè β−ðàñïàäå ÿäåð, ïðè âçàèìîäåéñòâèÿõ íå ñîõðàíÿþò ñèììåòðèþ ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè (åñëè íå ñ÷èòàòü òÿãîòåíèÿ), ïîýòîìó òàêèå ÷àñòèöû íàçûâàþòñÿ ïî-ðàçíîìó: íåéòðèíî â ñëó÷àå ñïèðàëüíîñòè +1/2, è àíòèíåéòðèíî — â ñëó÷àå ñïèðàëüíîñòè −1/2. Õîòÿ ñïèðàëüíîñòü áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ëîðåíö− èíâàðèàíòíîé õàðàêòåðèñòèêîé, ñàìè ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö íå îáëàäàþò ýòèì ñâîéñòâîì.  ÷àñòíîñòè, èç-çà çàâèñÿùåãî îò ñïèðàëüíîñòè ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ exp(iσθ) â óðàâíåíèè (2.5.42), ñîñòîÿíèå, îáðàçîâàííîå êàê ëèíåéíàÿ ñóïåðïîçèöèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè ñïèðàëüíîñòÿìè, ïåðåéäåò â ðåçóëüòàòå ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â äðóãóþ ñóïåðïîçèöèþ. Íàïðèìåð, îáùåå îäíîôîòîííîå ñîñòîÿíèå ñ çàäàííûì 4-èìïóëüñîì ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Ψp; α = α + Ψp,+1 + α − Ψp,−1 ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

98

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

| α + |2 + | α − |2 = 1.

Íàèáîëåå îáùèì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè, êîãäà îáà êîýôôèöèåíòà |α±| íå ðàâíû íóëþ è ðàçëè÷íû. Ïðåäåëüíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ÿâëÿåòñÿ öèðêóëÿðíàÿ (êðóãîâàÿ) ïîëÿðèçàöèÿ, êîãäà îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ α+ èëè α− îáðàùàåòñÿ â íóëü, è ëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ, êîãäà |α+| = |α−|. Îáùàÿ ôàçà α+ è α− íå èìååò ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà è â ñëó÷àå ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ìîæåò áûòü âûáðàíà òàê, ÷òî α− = α+*. Îäíàêî îòíîñèòåëüíàÿ ôàçà âàæíà. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ñ α− = α+* ôàçó α+ ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñ óãëîì ìåæäó ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè è íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì îïîðíûì íàïðàâëåíèåì, ïåðïåíäèêóëÿðíûì âåêòîðó p. Èç ôîðìóëû (2.5.43) ñëåäóåò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Λµν ýòîò óãîë èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó θ(Λ, p). Ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûå ãðàâèòîíû ìîæíî îïðåäåëèòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïðè ýòîì ñëåäñòâèåì ñîîòíîøåíèÿ (2.5.42) áóäåò òî, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Λ ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ïîâåðíåòñÿ íà óãîë 2θ(Λ, p). 2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè  ðàçäåëå 2.3 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âñÿêîå îäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà ÿâëÿåòñÿ èëè ñîáñòâåííûì è îðòîõðîííûì (ò. å. Det Λ = +1 è Λ00 ≥ +1), èëè ïðîèçâåäåíèåì ñîáñòâåííîãî îðòîõðîííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è îäíîãî èç ïðåîáðàçîâàíèé Ð, T èëè PT, ãäå Ð è T — ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè è îáðàùåíèÿ âðåìåíè:

P µν

LM−1 0 =M MM 0 MN 0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

OP 0P , 0P P 1PQ 0

T

µ

ν

LM1 0 =M MM0 MN0

0 0 1 0 0 1 0 0

OP 0P . 0P P −1PQ 0

Âñåãäà ñ÷èòàëîñü ñàìîî÷åâèäíûì, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ãðóïïû Ïóàíêàðå

U(Λ, a)U(Λ, a) = U(ΛΛ, Λa + a)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè

99

âûïîëíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, åñëè Λ è/èëèΛ âêëþ÷àþò ìíîæèòåëè Ð, T èëè P T.  ÷àñòíîñòè, ñ÷èòàëîñü, ÷òî ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñàìèì P è T, P ≡ U ( P ,0) , T ≡ U ( T ,0) ,

òàêèå, ÷òî PU ( Λ, a)P −1 = U ( PΛP −1 , Pa) ,

(2.6.1)

T U ( Λ , a) T −1 = U ( TΛ T

(2.6.2)

−1

, Ta)

äëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî îðòîõðîííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà Λµν è ëþáîé òðàíñëÿöèè aµ. Ýòè çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîäåðæàò â ñåáå áîëüøóþ ÷àñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòî ïîíèìàòü ïîä ñëîâàìè î «ñîõðàíåíèè» âåëè÷èí P è T.  1956-1957 ãîäàõ ñòàëî ïîíÿòíî8, ÷òî äëÿ P ýòî âåðíî òîëüêî â ïðèáëèæåíèè, êîãäà ìû ïðåíåáðåãàåì ýôôåêòàìè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, òèïà òåõ, êîòîðûå îáóñëîâëèâàþò β−ðàñïàä. Èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè «ïðîæèëà» åùå íåêîòîðîå âðåìÿ, ïîêà â 1964 ãîäó íå ïîÿâèëèñü êîñâåííûå ñâèäåòåëüñòâà9, ÷òî ýòè ñâîéñòâà T òàêæå âåðíû ëèøü ïðèáëèæåííî (ñì. ðàçäåë 3.3).  ïîñëåäóþùåì èçëîæåíèè ìû ïðèìåì, ÷òî îïåðàòîðû P è T, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì (2.6.1) è (2.6.2), äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò, íî áóäåì äåðæàòü â ïàìÿòè, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå íîñèò ïðèáëèæåííûé õàðàêòåð. Ðàññìîòðèì (2.6.1) è (2.6.2) äëÿ ñëó÷àÿ èíôèíèòåçèìàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ò. å. ïîëîæèì Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν , a µ = ε µ ,

ãäå ωµν = −ωνµ è εµ — áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû. Ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì (2.4.3) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ωρσ è ερ â (2.6.1) è (2.6.2), íàéäåì ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû Ïóàíêàðå ïî îòíîøåíèþ ê P è T:

PiJ ρσP −1 = iPµρ Pνσ J µν ,

(2.6.3)

PiP ρP −1 = iPµρ P µ ,

(2.6.4)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

100

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

TiJ ρσ T −1 = iT µρ T νσ J µν ,

(2.6.5)

TiP ρ T −1 = iT µρP µ .

(2.6.6)

Âî ìíîãîì ýòè ñîîòíîøåíèÿ íàïîìèíàþò ôîðìóëû (2.4.8) è (2.4.9), åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî ìû íå ñîêðàòèëè ìíîæèòåëè i â îáåèõ ÷àñòÿõ ýòèõ óðàâíåíèé, òàê êàê åùå íå ïðèíÿëè ðåøåíèÿ, ñ÷èòàòü ëè P è T ëèíåéíûìè è óíèòàðíûìè èëè àíòèëèíåéíûìè è àíòèóíèòàðíûìè îïåðàòîðàìè. Ðåøåíèå ïðèíèìàåòñÿ î÷åíü ïðîñòî. Ïîëàãàÿ ρ = 0 â ôîðìóëå (2.6.4), íàõîäèì: PiHP−1 = iH, ãäå H ≡ P0 — îïåðàòîð ýíåðãèè. Åñëè áû P áûë àíòèóíèòàðíûì è àíòèëèíåéíûì îïåðàòîðîì, òî îí àíòèêîììóòèðîâàë áû ñ i, òàê ÷òî PHP−1 = −H. Íî â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ Ψ ñ E > 0 ñóùåñòâîâàëî áû äðóãîå ñîñòîÿíèå P−1Ψ ñ ýíåðãèåé −E < 0. Îäíàêî íå ñóùåñòâóåò ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé (ò. å. ýíåðãèåé, ìåíüøåé ýíåðãèè âàêóóìà), òàê ÷òî ìû âûíóæäåíû âûáðàòü äðóãóþ àëüòåðíàòèâó: îïåðàòîð P — ëèíåéíûé è óíèòàðíûé è îí êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì Í. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëàãàÿ ρ = 0 â (2.6.6), èìååì TiHT−1 = −iH. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî T — ëèíåéíûé è óíèòàðíûé îïåðàòîð, ìîæíî ïðîñòî ñîêðàòèòü âñå i, òàê ÷òî THT−1 = −H, è â ðåçóëüòàòå ìû îïÿòü ïðèõîäèì ê ãóáèòåëüíîìó âûâîäó, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ Ψ c ýíåðãèåé Å ñóùåñòâóåò äðóãîå ñîñòîÿíèå T−1Ψ c ýíåðãèåé −Å. ×òîáû èçáåæàòü ýòîãî, ìû âûíóæäåíû çàêëþ÷èòü, ÷òî T ÿâëÿåòñÿ àíòèëèíåéíûì è àíòèóíèòàðíûì îïåðàòîðîì. Ïîñêîëüêó ìû ðåøèëè, ÷òî îïåðàòîð P ëèíååí, à T àíòèëèíååí, ìîæíî ïåðåïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ (2.6.3)−(2.6.6) â òðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ ÷åðåç ãåíåðàòîðû (2.4.15)−(2.4.17): P J P −1 = + J ,

(2.6.7)

P K P −1 = − K ,

(2.6.8)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè

101

P P P −1 = − P ,

(2.6.9)

T JT −1 = − J ,

(2.6.10)

TK T −1 = + K ,

(2.6.11)

TP T −1 = − P

(2.6.12)

PHP −1 = THT −1 = H .

(2.6.13)

è, êàê ïîêàçàíî âûøå, Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ âàæíî, ÷òî P äîëæåí ñîõðàíÿòü çíàê J, òàê êàê ïî êðàéíåé ìåðå îðáèòàëüíàÿ ÷àñòü J åñòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå r × p äâóõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ìåíÿåò çíàê ïðè èíâåðñèè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàòîð T ìåíÿåò çíàê J, òàê êàê ïîñëå îáðàùåíèÿ âðåìåíè íàáëþäàòåëü âèäèò âñå òåëà âðàùàþùèìèñÿ â äðóãóþ ñòîðîíó. Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî (2.6.10) ñîâìåñòíî ñ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ êîìïîíåíò óãëîâîãî ìîìåíòà J × J = iJ, ïîñêîëüêó T ìåíÿåò çíàê íå òîëüêî J, íî è i. ×èòàòåëü ìîæåò áåç òðóäà ïðîâåðèòü, ÷òî (2.6.7)−(2.6.13) ñîâìåñòíû ñî âñåìè ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè (2.418)−(2.4.24). Ðàññìîòðèì äåéñòâèå îïåðàòîðîâ P è T íà îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ. P: M > 0 Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ Ψk,σ îïðåäåëåíû êàê ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðîâ p, H è J3 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè 0, Ì è σ, ñîîòâåòñòâåííî. Èç ñîîòíîøåíèé (2.6.7), (2.6.9) è (2.6.13) ñëåäóåò, ÷òî ýòî æå âåðíî è äëÿ ñîñòîÿíèÿ PΨk,σ, è ïîòîìó, ÷òîáû èñêëþ÷èòü âûðîæäåíèå, òàêèå ñîñòîÿíèÿ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî ôàçîé: PΨk ,σ = ησ Ψk ,σ

ïðè÷åì ôàçîâûé ìíîæèòåëü (|η| = 1) ìîæåò êàê çàâèñåòü, òàê è íå çàâèñåòü îò ïðîåêöèè ñïèíà σ. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ησ íå çàâèñèò îò σ, çàìåòèì, ÷òî èç (2.5.8), (2.5.20) è (2.5.21) ñëåäóåò ôîðìóëà

( J1 ± iJ2 )Ψk,σ = ( j m σ)( j ± σ + 1)Ψk,σ ±1 , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.6.14)

102

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ãäå j — ñïèí ÷àñòèöû. Äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì P íà îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, èìååì ησ = ησ ±1 , òàê ÷òî ησ äåéñòâèòåëüíî íå çàâèñèò îò σ. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü PΨk ,σ = ηΨk ,σ ,

(2.6.15)

ãäå ôàçîâûé ìíîæèòåëü η íîñèò íàçâàíèå âíóòðåííåé ÷åòíîñòè, çàâèñÿùåé òîëüêî îò òèïà ÷àñòèöû, íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ êîòîðîé äåéñòâóåò îïåðàòîð P. ×òîáû ïåðåéòè ê ñîñòîÿíèÿì ñ êîíå÷íûì èìïóëüñîì, ñëåäóåò ïîäåéñòâîâàòü íà ñîñòîÿíèå óíèòàðíûì îïåðàòîðîì U(L(p)), ñîîòâåòñòâóþùèì «áóñòó» (2.5.24):

Ψp,σ =

M p0 U (L(p))Ψk,σ .

Çàìåòèì, ÷òî P L (p ) P − 1 = L ( P p ), P p = ( − p , p 2 + M 2 ).

òàê ÷òî, ïîëüçóÿñü (2.6.1) è (2.6.15), íàõîäèì:

PΨp,σ = M p0 U (L( Pp))ηΨk,σ , èëè

PΨp,σ = ηΨPp,σ .

(2.6.16)

T: M >0 Èç óðàâíåíèé (2.6.10), (2.6.12) è (2.6.13) ñëåäóåò, ÷òî äåéñòâèå T íà îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ñ íóëåâûì èìïóëüñîì Ψk,σ ïðèâîäèò ê ñîñòîÿíèþ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: P( TΨk ,σ ) = 0 ,

H ( TΨk,σ ) = M( TΨk ,σ ) ,

J3 ( TΨk ,σ ) = − σ( TΨk ,σ ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè

òàê ÷òî

103

TΨk ,σ = ζ σ Ψk ,− σ ,

ãäå ζσ — ôàçîâûé ìíîæèòåëü. Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð T ê (2.6.14) è âñïîìèíàÿ, ÷òî T àíòèêîììóòèðóåò íå òîëüêî ñ J, íî è c i, íàõîäèì:

( − J1 ± iJ2 )ζ σ Ψk,− σ = ( j m σ)( j ± σ + 1)ζ σ ±1Ψk,− σ ±1 . Ñíîâà èñïîëüçóÿ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñîîòíîøåíèå (2.6.14), âèäèì, ÷òî êâàäðàòíûå êîðíè ñîêðàùàþòñÿ è −ζ σ = ζ σ ± 1 . Ðåøåíèåì ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ζσ = ζ(−)j−σ , ãäå ζ — íåêîòîðûé äðóãîé ôàçîâûé ìíîæèòåëü, çàâèñÿùèé òîëüêî îò òèïà ÷àñòèöû: TΨk,σ = ζ(−) j − σ Ψk,− σ . (2.6.17) Îäíàêî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü «âíóòðåííåé ÷åòíîñòè» η ôàçîâûé ìíîæèòåëü îïåðàöèè îáðàùåíèÿ âðåìåíè ζ ôèçè÷åñêè íåñóùåñòâåíåí. Ýòîò âûâîä ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, èçìåíèâ èõ ôàçó:

Ψk ,σ → Ψk′ ,σ = ζ1/2 Ψk,σ , òàê ÷òî ôàçîâûé ìíîæèòåëü ζ èñ÷åçàåò èç çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ:

 ïîñëåäóþùåì èçëîæåíèè ìû ñîõðàíèì ïðîèçâîëüíûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü ζ â (2.6.17), ÷òîáû íå îãðàíè÷èâàòü âîçìîæíîñòè âûáîðà ôàçû îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ýòà ôàçà íà ñàìîì äåëå íå èìååò çíà÷åíèÿ. ×òîáû ïîñòðîèòü ñîñòîÿíèÿ ñ êîíå÷íûì èìïóëüñîì, âíîâü äåéñòâóåì «áóñòîì» (2.5.24). Çàìåòèì, ÷òî T L ( p) T

−1

P p = ( − p,

= L ( P p) , p2 + M 2 ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

104

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

(Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èçìåíåíèå çíàêà êàæäîãî ýëåìåíòà Λµν ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì âðåìåííûõ èíäåêñîâ ýêâèâàëåíòíî èçìåíåíèþ çíàêà ýëå-ìåíòîâ ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ïðîñòðàíñòâåííûõ èíäåêñîâ.) Ñ ïîìîùüþ (2.6.2) è (2.5.5) íàõîäèì:

TΨp,σ = ζ( −) j − σ ΨPp,− σ .

(2.6.18)

P: M = 0 Äåéñòâóÿ íà ñîñòîÿíèå Ψk,σ, îïðåäåëåííîå êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà Pµ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì kµ = (0,0,κ,κ) è ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà J3 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì σ, îïåðàòîð ÷åòíîñòè P ïåðåâîäèò ýòî ñîñòîÿíèå â ñîñòîÿíèå ñ 4-èìïóëüñîì (Pk)µ = (0,0,−κ,κ) è J3 = σ. Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå ñî ñïèðàëüíîñòüþ (ïðîåêöèåé ñïèíà íà íàïðàâëåíèå èìïóëüñà) σ ïåðåâîäèòñÿ â ñîñòîÿíèå ñî ñïèðàëüíîñòüþ −σ. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè òðåáóåò, ÷òîáû êàæäûé òèï áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñ íåíóëåâîé ñïèðàëüíîñòüþ îáÿçàòåëüíî èìåë ïàðòíåðà ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñïèðàëüíîñòüþ. Òàê êàê P íå îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì ñòàíäàðòíûé èìïóëüñ, óäîáíî âìåñòî ýòîãî ðàññìîòðåòü îïåðàòîð U(R2−1)P, ãäå R2 — âðàùåíèå, òàêæå ïåðåâîäÿùåå k â P k. Åãî óäîáíî âûáðàòü êàê âðàùåíèå íà óãîë −180° âîêðóã îñè y:

U (R2 ) = exp(− iπJ2 ) .

(2.6.19)

Òàê êàê U(R2−1) ìåíÿåò çíàê J3, íàõîäèì:

U (R2−1 )PΨk,σ = ησ Ψk,− σ ,

(2.6.20)

ãäå ησ — ôàçîâûé ìíîæèòåëü. Îïåðàöèÿ R2−1P êîììóòèðóåò ñ ëîðåíöîâñêèì «áóñòîì» (2.5.45), à P êîììóòèðóåò ñ âðàùåíèåì , ïîâîðà÷èâàþùèì îñü z â íàïðàâëåíèè p, òàê ÷òî, äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì P íà (2.5.5), ïîëó÷àåì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 4-èìïóëüñà pµ

PΨp,σ = =

κ | p| U R(p$ )R2 B 0 κ p

IJ IJ U(R KK F κ F | p| I I η U G R(p$ )R BG J J Ψ H κ KK H p 0

FG H

FG H

−1 2 )PΨk ,σ

σ

2

k ,− σ

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè

105

Çàìåòèì, ÷òî R(p$ )R2 — ýòî âðàùåíèå, ïîâîðà÷èâàþùåå îñü z â íàïðàâëåíèè − p$ , íî U( R(p$ )R2 ) íå â òî÷íîñòè ðàâíî U(R(−p$ )) . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.5.47)

U (R(−p$ )) = exp(i(ϕ ± π) J3 ) exp(i(π − θ) J2 ) , ãäå àçèìóòàëüíûé óãîë âûáðàí êàê ϕ + π, åñëè 0 ≤ ϕ ≤ π, èëè ϕ − π, åñëè π ≤ ϕ ≤ 2π, ñ òåì ÷òîáû îí îñòàâàëñÿ â èíòåðâàëå îò 0 äî 2π. Òîãäà U −1 (R(− p$ ))U (R(p$ )R2 ) = exp(− i(π − θ) J2 )

× exp(− i(ϕ ± π) J3 ) exp(iϕJ3 ) exp(iθJ2 ) exp(− iπJ2 ) = exp(− i(π − θ) J2 ) exp(m iπJ3 ) exp(− i(π − θ) J2 ) . Íî âðàùåíèå íà óãîë ±180° âîêðóã îñè z ìåíÿåò çíàê J2, òàê ÷òî

U(R(p$ )R2 ) = U(R(− p$ )) exp(± iπJ3 ) .

(2.6.21)

Êðîìå òîãî, R( −p$ ) B(| p|/k) åñòü ïðîñòî ñòàíäàðòíûé áóñò L(Pp) â íàïðàâëåíèè Pp = (−p, p0). Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî PΨp, σ = ησ exp( m iπσ)ΨPp,− σ ,

(2.6.22)

ãäå ôàçà ðàâíà −πσ èëè +πσ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïîëîæèòåëüíà èëè îòðèöàòåëüíà y−êîìïîíåíòà âåêòîðà p. Ýòî íåîáû÷íîå èçìåíåíèå çíàêà â ðåçóëüòàòå îïåðàöèè èíâåðñèè äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ïîëóöåëîãî ñïèíà ñâÿçàíî ñ ïðèíÿòûì â (2.5.47) ñîãëàøåíèåì äëÿ âðàùåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçîâàëîñü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñ ïðîèçâîëüíûì èìïóëüñîì. Ïîñêîëüêó ãðóïïà âðàùåíèé íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, ïîäîáíûå íàðóøåíèÿ íåïðåðûâíîñòè íåèçáåæíû. T: M = 0 Äåéñòâóÿ íà ñîñòîÿíèå Ψk,σ, ÿâëÿþùèìñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðîâ Pµ è J3 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè kµ = (0, 0, κ, κ) è σ, ñîîòâåòñòâåííî, îïåðàòîð îáðàùåíèÿ âðåìåíè T ïåðåâîäèò åãî â ñîñòîÿíèå ñ 4-èìïóëüñîì (Pk)µ = (0, 0, −κ, κ) è J3 = −σ. Òàêèì îáðàçîì T íå èçìåíÿåò ñïèðàëüíîñòü J ⋅ k$ , è ïîýòîìó íè÷åãî íåëüçÿ ñêàçàòü î òîì, èìåþòñÿ ëè ó ÷àñòèö ñî ñïèðàëüíîñòüþ σ ïàðòíåðû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

106

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñïèðàëüíîñòüþ −σ. Ïîñêîëüêó T, êàê è P, íå îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì ñòàíäàðòíûé 4-èìïóëüñ, óäîáíî ðàññìîòðåòü ãåíåðàòîð U(R2−1)T, ãäå R2 — âðàùåíèå (2.6.19), êîòîðûé òàêæå ïåðåâîäèò k â (Pk). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå êîììóòèðóåò ñ J3, òàê ÷òî

U (R2−1 ) TΨk,σ = ζ σ Ψk,σ ,

(2.6.23)

ãäå ζσ — äðóãàÿ ôàçà. Òàê êàê R2−1T êîììóòèðóåò ñ áóñòîì (2.5.45), à T êîììóòèðóåò ñ âðàùåíèåì, òî, äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì T íà ñîñòîÿíèå (2.5.5), ïîëó÷èì:

TΨp,σ =

κ | p| U R(p$ )R2 B 0 κ p

FG H

FG IJ IJ ζ Ψ H KK σ

k,σ

.

(2.6.24)

Ñ ïîìîùüþ (2.6.21) íàõîäèì îêîí÷àòåëüíî: TΨp,σ = ζ σ exp( ± iπσ)ΨPp,σ .

(2.6.25)

Êàê è ðàíåå, âåðõíèé èëè íèæíèé çíàê â ýòîé ôîðìóëå ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîìó èëè îòðèöàòåëüíîìó çíàêó y−êîìïîíåíòû âåêòîðà p. * * * Ëþáîïûòíî, ÷òî êâàäðàò îïåðàòîðà îáðàùåíèÿ âðåìåíè T2 î÷åíü ïðîñòî äåéñòâóåò íà îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ êàê ìàññèâíûõ, òàê è áåçìàññîâûõ ÷àñòèö. Ïîëüçóÿñü (2.6.18) è âñïîìèíàÿ, ÷òî T — àíòèóíèòàðíûé îïåðàòîð, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ìàññèâíûõ ÷àñòèö

T 2 Ψp,σ = Tζ( −) j − σ ΨPp,− σ = ζ* ( −) j − σ ζ( −) j + σ Ψp,σ , èëè èíà÷å

T 2 Ψp,σ = ( −)2 j Ψp,σ .

(2.6.26)

Äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ìû ïîëó÷àåì òàêîé æå ðåçóëüòàò. Åñëè y− êîìïîíåíòà âåêòîðà p ïîëîæèòåëüíà, òî y−êîìïîíåíòà P p îòðèöàòåëüíà è íàîáîðîò, ïîýòîìó èç (2.6.25) íàõîäèì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ è îáðàùåíèå âðåìåíè

107

T 2 Ψp,σ = Tζ σ exp(± iπσ)ΨPp,σ = ζ*σ exp(m iπσ)ζ σ exp(m iπσ)Ψp,σ = exp(m2iπσ)Ψp,σ . Åñëè ñïèðàëüíîñòü σ − öåëîå èëè ïîëóöåëîå ÷èñëî, ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

T 2 Ψp,σ = ( −)2| σ| Ψp,σ .

(2.6.27)

Ïîä «ñïèíîì» áåçìàññîâîé ÷àñòèöû îáû÷íî ïîíèìàþò àáñîëþòíîå çíà÷åíèå åå ñïèðàëüíîñòè, ïîýòîìó (2.6.27) ýêâèâàëåíòíî (2.6.26). Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèâîäèò ê èíòåðåñíîìó ñëåäñòâèþ. Êîãäà T2 äåéñòâóåò íà ëþáîå ñîñòîÿíèå Ψ ñèñòåìû íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàññèâíûõ èëè áåçìàññîâûõ ÷àñòèö, îí ïîðîæäàåò ìíîæèòåëü (−)2j èëè (−)2|σ| äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû. Ïîýòîìó, åñëè ñîñòîÿíèå ñîäåðæèò íå÷åòíîå ÷èñëî ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûìè ñïèíîì èëè ñïèðàëüíîñòüþ (è äîïîëíèòåëüíî ëþáîå êîëè÷åñòâî ÷àñòèö ñ öåëûìè ñïèíîì èëè ñïèðàëüíîñòüþ), ìû ïîëó÷èì îáùåå èçìåíåíèå çíàêà: T2Ψ = − Ψ .

(2.6.28)

Åñëè òåïåðü «âêëþ÷èòü» ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ýòîò ðåçóëüòàò ñîõðàíèòñÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ, íàðóøàÿ, áûòü ìîæåò, âðàùàòåëüíóþ èíâàðèàíòíîñòü, íå íàðóøàþò èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè. (Íàïðèìåð, ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñèñòåìà ïîäâåðãàåòñÿ âîçäåéñòâèþ ñòàòè÷åñêèõ ãðàâèòàöèîííîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé.) Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî Ψ åñòü ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå ãàìèëüòîíèàíà. Òàê êàê T êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì, ñîñòîÿíèå TΨ òàêæå áóäåò ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì ãàìèëüòîíèàíà. Áóäåò ëè ýòî òî æå ñàìîå ñîñòîÿíèå? Åñëè òàê, òî TΨ ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò Ψ òîëüêî ôàçîâûì ìíîæèòåëåì:

TΨ = ζΨ , íî â ýòîì ñëó÷àå

T 2 Ψ = T(ζΨ ) = ζ * TΨ =| ζ|2 Ψ = Ψ ,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò (2.6.28). Ìû âèäèì, ÷òî åñëè ó îïåðàòîðà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

108

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ýíåðãèè åñòü ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå (2.6.28), òî îáÿçàòåëüíî èìååòñÿ äðóãîå ñîñòîÿíèå ñ òîé æå ýíåðãèåé. Ýòîò ôàêò èçâåñòåí êàê âûðîæäåíèå Êðàìåðñà 10. Êîíå÷íî, âûâîä òðèâèàëåí, åñëè ñèñòåìà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé, òàê êàê ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò j ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ýòîé ñèñòåìû äîëæåí áûòü ïîëóöåëûì, è ïîýòîìó êàæäûé ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü áóäåò 2j + 1 = 2, 4, ... -êðàòíî âûðîæäåí. Óäèâèòåëüíî, ÷òî äàæå â ñëó÷àå, êîãäà èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé íàðóøåíà âíåøíèìè ïîëÿìè, íàïðèìåð, ýëåêòðîñòàòè÷åñêèì ïîëåì, äî òåõ ïîð, ïîêà ýòè ïîëÿ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî T, ñîõðàíÿåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâóêðàòíîå âûðîæäåíèå.  ÷àñòíîñòè, åñëè áû ëþáàÿ ÷àñòèöà èìåëà ýëåêòðè÷åñêèé èëè ãðàâèòàöèîííûé äèïîëüíûé ìîìåíò, òî ñòàòè÷åñêîå ýëåêòðè÷åñêîå èëè ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ïîëíîñòüþ ñíèìàëî áû 2j + 1-êðàòíîå âûðîæäåíèå ïî ñïèíó, òàê ÷òî ïîäîáíûå äèïîëüíûå ìîìåíòû çàïðåùåíû èíâàðèàíòíîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè. Äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî P- è Tïðåîáðàçîâàíèÿ ìîãóò äåéñòâîâàòü íà ìóëüòèïëåòû ÷àñòèö îäíîé ìàññû áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì. Ýòà âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåíà â Ïðèëîæåíèè  ê äàííîé ãëàâå. Ïðèìåðû åå èñïîëüçîâàíèÿ â ôèçèêå íåèçâåñòíû. 2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ * Âåðíåìñÿ ê âîçìîæíîñòè, óêàçàííîé â ðàçäåëå 2.2, êîãäà ãðóïïà ñèììåòðèè ìîæåò äåéñòâîâàòü íà ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ ïðîåêòèâíî, èíà÷å ãîâîðÿ, êîãäà ýëåìåíòû ãðóïïû ñèììåòðèè T, T è ò. ä. ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðàìè U(T), U (T ) è ò. ï., óäîâëåòâîðÿþùèìè ïðàâèëó êîìïîçèöèè:

U (T)U (T ) = exp(iφ(T, T ))U (TT ) ,

(2.7.1)

ñ äåéñòâèòåëüíîé ôàçîé φ. (×åðòà çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòëè÷àòü îäèí îïåðàòîð ñèììåòðèè îò äðóãîãî.) Îñíîâ* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

109

íîå òðåáîâàíèå, êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ëþáàÿ ôàçà φ â (2.7.1), âûòåêàåò èç óñëîâèÿ àññîöèàòèâíîñòè

U(T3 )(U(T2 )U(T1 )) = (U(T3 )U(T2 ))U(T1). Îíî èìååò ñëåäóþùèé âèä:

φ(T2 , T1 ) + φ(T3 , T2T1 ) = φ(T3 , T2 ) + φ(T3T2 , T1 ).

(2.7.2)

Êîíå÷íî, êàæäàÿ ôàçà âèäà

φ(T, T ) = α(TT ) − α(T) − α(T )

(2.7.3)

àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåò (2.7.2), íî ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ñ òàêîé ôàçîé ìîæíî çàìåíèòü íà îáû÷íîå ïðåäñòàâëåíèå, çàìåíèâ îïåðàòîð U(T) íà ~ U(T) ≡ U(T) exp iα(T) ,

a

äëÿ êîòîðîãî

f

~ ~ ~ U (T)U (T ) = U (TT ).

Âñÿêîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé φ(T, T ) , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.7.2) è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî íà ôóíêöèè ∆ φ(T, T ) âèäà (2.7.3), íàçûâàåòñÿ 2−êîöèêëîì. Òðèâèàëüíûé êîöèêë ñîäåðæèò ôóíêöèþ φ = 0, è ïîýòîìó ñîñòîèò èç ôóíêöèé âèäà (2.7.3), êîòîðûå ìîæíî óñòðàíèòü ïåðåîïðåäåëåíèåì U(T). Íàñ èíòåðåñóåò âîïðîñ, äîïóñêàåò ëè ãðóïïà ñèììåòðèè ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíûõ êîöèêëîâ, èíûìè ñëîâàìè, ìîæåò ëè ýòà ãðóïïà èìåòü ïðåäñòàâëåíèå íà ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðîå âíóòðåííå ïðîåêòèâíî â òîì ñìûñëå, ÷òî ôàçà φ(T, T ) íå ìîæåò áûòü óñòðàíåíà îïèñàííûì âûøå îáðàçîì. ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïîëåçíî ðàññìîòðåòü ñíà÷àëà âëèÿíèå ôàçû φ â (2.7.1) íà ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ãåíåðàòîðîâ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðåîáðàçîâàíèé. ÅñëèÒ èëè Ò − åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû ñèììåòðèè, ôàçà φ î÷åâèäíî äîëæíà ðàâíÿòüñÿ íóëþ: (2.7.4) φ(T,1) = φ(1, T ) = 0. Åñëè îáà ýëåìåíòà Ò èÒ áëèçêè ê åäèíè÷íîìó ýëåìåíòó, ôàçà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

110

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

äîëæíà áûòü ìàëà. Èñïîëüçóÿ äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýëåìåíòîâ ãðóïïû êîîðäèíàòû θa (ñì. ðàçäåë 2.2), ïðè÷åì Ò(0) ≡ 1, íàõîäèì, ÷òî âñëåäñòâèå (2.7.4) ðàçëîæåíèå â îêðåñòíîñòè θ =θ = 0 äîëæíî íà÷èíàòüñÿ ñî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêàθ θ :

φ T(θ), T( θ) = fabθ a θ b + . . . ,

d

i

(2.7.5)

ãäå fab − äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëîâûå êîíñòàíòû. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â ñòåïåííîå ðàçëîæåíèå ñîîòíîøåíèÿ (2.7.1) è ïîâòîðÿÿ øàãè, êîòîðûå ïðèâåëè ê (2.2.22), ïîëó÷àåì: (2.7.6) [tb , tc ] = iC a bc ta + iCbc 1 , ãäå Ñbc − àíòèñèììåòðè÷íûé êîýôôèöèåíò, Cbc = − fbc + fcb .

(2.7.7)

Ïîÿâëåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ åäèíè÷íîìó ýëåìåíòó (òàê íàçûâàåìûõ öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ), ÿâëÿåòñÿ äëÿ àëãåáðû Ëè ïðÿìûì àíàëîãîì íàëè÷èÿ ôàç â ïðîåêòèâíîì ïðåäñòàâëåíèè ãðóïïû. Ïîñòîÿííûå Cbc, òàê æå, êàê Cabc óäîâëåòâîðÿþò âàæíûì îãðàíè÷åíèÿì, âûòåêàþùèì èç òîæäåñòâà ßêîáè. Âû÷èñëÿÿ êîììóòàòîð (2.7.6) ñ td è äîáàâëÿÿ àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ, â êîòîðûõ èíäåêñû b, c, d çàìåíåíû íà c, d, b è d, b, c, óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñóììà âñåõ òðåõ äâîéíûõ êîììóòàòîðîâ òîæäåñòâåííî îáðàùàåòñÿ â íóëü, îòêóäà (2.7.8) C a bc C e ad + C a cd C e ab + C a db C e ac = 0 , à òàêæå C a bc Cad + C a cd Cab + C a db Cac = 0 .

(2.7.9)

Óðàâíåíèå (2.7.9) âñåãäà èìååò îäèí î÷åâèäíûé êëàññ íåíóëåâûõ ðåøåíèé äëÿ Cab: (2.7.10) Cab = C e ab φ e , ãäå φe − ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Äëÿ ýòèõ ðåøåíèé ìîæíî óñòðàíèòü öåíòðàëüíûå çàðÿäû èç (2.7.6) ïåðåîïðåäåëåíèåì ãåíåðàòîðîâ:

ta → ~ ta ≡ ta + φa .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.7.11)

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

111

Íîâûå ãåíåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì áåç öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ: [~tb , ~tc ] = iC a bc~ta .

(2.7.12)

Äàííàÿ àëãåáðà Ëè ìîæåò ëèáî äîïóñêàòü, ëèáî íå äîïóñêàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.7.9), îòëè÷íûõ îò (2.7.10). Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì êëþ÷åâóþ òåîðåìó, îïðåäåëÿþùóþ âîçìîæíîñòü èëè íåâîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ âíóòðåííå ïðîåêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ôàçà ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ U(T) äàííîé ãðóïïû ìîæåò áûòü âûáðàíà òàê, ÷òî φ = 0 â (2.7.1), åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ: à) ãåíåðàòîðû ãðóïïû â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè ìîãóò áûòü ïåðåîïðåäåëåíû òàê æå, êàê â ôîðìóëå (2.7.11)), ñ òåì, ÷òîáû óñòðàíèòü èç àëãåáðû Ëè âñå öåíòðàëüíûå çàðÿäû; á) ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, ò. å. ëþáûå äâà ýëåìåíòà ãðóïïû ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ïóòåì, öåëèêîì ëåæàùèì âíóòðè ãðóïïû, à ëþáûå äâà òàêèõ ïóòè ìîãóò áûòü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðåîáðàçîâàíû äðóã â äðóãà. (Ýêâèâàëåíòíî, ëþáàÿ ïåòëÿ, íà÷èíàþùàÿñÿ è êîí÷àþùàÿñÿ íà êàêîì-òî ãðóïïîâîì ýëåìåíòå, ìîæåò áûòü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ñòÿíóòà â òî÷êó.) Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû äàíî â Ïðèëîæåíèè Á ê ýòîé ãëàâå. Òàì æå êîììåíòèðóåòñÿ ñëó÷àé íåîäíîñâÿçíûõ ãðóïï. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå ñóùåñòâóþò ðîâíî äâå ïðè÷èíû (ïðè÷åì îäíà íå èñêëþ÷àåò äðóãóþ), ïî êîòîðûì ìîãóò âîçíèêàòü âíóòðåííå ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ: àëãåáðàè÷åñêàÿ, êîãäà ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ïðîåêòèâíî óæå â îêðåñòíîñòè åäèíèöû, èëè òîïîëîãè÷åñêàÿ, êîãäà ãðóïïà íåîäíîñâÿçíà, è ïîýòîìó ïóòü èç 1 â Ò è çàòåì èç Ò âÒ íå ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàí â íåêîòîðûé äðóãîé ïóòü èç 1 â TT .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ôàçà φ â (2.7.1) çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà ñòàíäàðòíûõ ïóòåé, âåäóùèõ èç åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà ê ðàçëè÷íûì ýëåìåíòàì ãðóïïû è èñïîëüçóåìûõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàòîðîâ U. Ðàññìîòðèì òåïåðü êàæäóþ èç ýòèõ âîçìîæíîñòåé ïî î÷åðåäè ïðèìåíèòåëüíî ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà. (À) Àëãåáðà Ñ ó÷åòîì öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

112

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

äëÿ ãåíåðàòîðîâ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà áóäóò èìåòü âìåñòî (2.4.12)−(2.4.14) âèä: i[ J µν , J ρσ ] = η νρ J µσ − ηµρ J νσ − ησµ J ρν + ησν J ρµ + C ρσ ,µν ,

(2.7.13)

i[P µ , J ρσ ] = ηµρ P σ − ηµσ P ρ + C ρσ ,µ ,

(2.7.14)

i[ J µν , P ρ ] = η νρ P µ − ηµρ P ν + C ρ,µν ,

(2.7.15)

i [ P µ , P ρ ] = C ρ, µ .

(2.7.16)

Î÷åâèäíî, ÷òî êîíñòàíòû Ñ óäîâëåòâîðÿþò òàêæå óñëîâèÿì àíòèñèììåòðèè: (2.7.17) C ρσ ,µν = − C µν,ρσ , C ρσ ,µ = − C µ ,ρσ ,

(2.7.18)

C ρ ,µ = − C µ ,ρ .

(2.7.19)

Ïîêàæåì, ÷òî ó âñåõ ýòèõ êîíñòàíò åñòü äîïîëíèòåëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå óñòðàíèòü èõ ïåðåîïðåäåëåíèåì Jµν è Pµ ïóòåì ñäâèãà íà ïîñòîÿííûå ñëàãàåìûå. (Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåîïðåäåëåíèþ ôàçû îïåðàòîðîâ U(Λ,a).) ×òîáû âûâåñòè óêàçàííûå ñâîéñòâà, èñïîëüçóåì òîæäåñòâà ßêîáè [ J µν , [P ρ , P σ ]] + [P σ , [ J µν , P ρ ]] + [P ρ , [P σ , J µν ]] = 0 ,

(2.7.20)

[ J λη , [ J µν , P ρ ]] + [P ρ , [ J λη , J µν ]] + [ J µν , [P ρ , J λη ]] = 0 ,

(2.7.21)

[[ J λη , [ J µν , J ρσ ]] + [ J ρσ , [ J λη , J µν ]] + [ J µν , [ J ρσ , J λη ]] = 0 .

(2.7.22)

(Òîæäåñòâî ßêîáè ñ òðåìÿ P óäîâëåòâîðÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè è ïîýòîìó íå ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè.) Ïîäñòàâëÿÿ (2.7.13)−(2.7.16) â (2.7.20)−(2.7.22), íàõîäèì àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò êîíñòàíòû Ñ:

0 = ηνρCµ,σ − ηµρCν,σ − ηνσCµ,ρ + ηµσCν,ρ ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.7.23)

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

113

0 = η νρ C µ , λη − ηµρ C ν,λη − ηµηC ρ,λν + ηλµ C ρ, νη + ηλν C ρ,µη − η ην C ρ,µλ + ηρλ C η,µν − ηρηC λ ,µν ,

(2.7.24)

0 = η νρ C µσ , λη − ηµρ C νσ ,λη − ησµ C ρν, λη + ησν C ρµ ,λη

+ η ηµ C λν,ρσ − ηλµ C νη,ρσ − η νλ C µη,ρσ + η νηC µλ ,ρσ + ησλ C ρη,µν − ηρλ C ση,µν − η ηρ C λσ ,µν + η ησ C λρ,µν .

(2.7.25)

Ñâîðà÷èâàÿ (2.7.23) ñ ηνρ, ïîëó÷àåì: C µ ,σ = 0 .

(2.7.26)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîíñòàíòû Cµ,λη è Cρσ,µν íå îáÿçàòåëüíî ðàâíû íóëþ, íî èõ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà äîñòàòî÷íî ïðîñòà, ÷òî ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü ýòè êîíñòàíòû ïåðåîïðåäåëåíèåì Pµ è Jµν, ñîîòâåòñòâåííî. Ñâåðòêà (2.7.24) ñ ηνρ äàåò C µ , λη = ηµηC λ − ηµλ C η ,

Cλ ≡

1 η Cρ,λν . 3 ρν

(2.7.27) (2.7.28)

Àíàëîãè÷íî, ñâîðà÷èâàÿ (2.7.25) ñ ηνρ , ïîëó÷àåì: C µσ ,λη = η ηµ C λσ − ηλµ C ησ + ησλ C ηµ − η ησ C λµ ,

C λσ ≡

1 η C λν,σρ . 2 νρ

(2.7.29) (2.7.30)

(Ýòè âûðàæåíèÿ àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (2.7.24) è (2.7.25), òàê ÷òî èç òîæäåñòâ ßêîáè óæå íåëüçÿ èçâëå÷ü äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè.) Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè êîíñòàíòû Ñ íå ðàâíû íóëþ, èõ ìîæíî óñòðàíèòü, îïðåäåëÿÿ íîâûå ãåíåðàòîðû ~ Pµ ≡ Pµ + Cµ ,

(2.7.31)

~ J µσ ≡ J µσ + C µσ ,

(2.7.32)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

114

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

è òîãäà ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ïðèìóò âèä, êîòîðûé îíè äîëæíû èìåòü äëÿ îáû÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ: ~ ~ ~ ~ ~ ~ i[ J µν , J ρσ ] = η νρ J µσ − ηµρ J νσ − ησµ J ρν + ησν J ρµ ,

(2.7.33)

~ ~ ~ ~ i[ J µν , P ρ ] = η νρ P µ − ηµρ P ν ,

(2.7.34)

~ ~ i[P µ , P ρ ] = 0 .

(2.7.35)

Ìû âñåãäà áóäåì çàïèñûâàòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ â âèäå (2.7.33)−(2.7.35), íî ñ îïóùåííûìè òèëüäàìè. Ìåæäó ïðî÷èì, çàìåòèì, ÷òî îòñóòñòâèå öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ â ñëó÷àå àëãåáðû, ïîðîæäàåìîé Jµν, ìîæíî íåìåäëåííî âûâåñòè èç òîãî ôàêòà, ÷òî ýòà àëãåáðà îòíîñèòñÿ ê òèïó ïîëóïðîñòûõ. (Ïîëóïðîñòûå àëãåáðû Ëè íå èìåþò èíâàðèàíòíûõ àáåëåâûõ ïîäàëãåáð, ïîðîæäàåìûõ êîììóòèðóþùèìè äðóã ñ äðóãîì ãåíåðàòîðàìè, êîììóòàòîðû êîòîðûõ ñ ëþáûìè äðóãèìè ãåíåðàòîðàìè àëãåáðû òàêæå ïðèíàäëåæàò ýòîé ïîäàëãåáðå.) Èìååòñÿ îáùàÿ òåîðåìà11, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáûå öåíòðàëüíûå çàðÿäû â ñëó÷àå ïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè âñåãäà ìîæíî óñòðàíèòü ïåðåîïðåäåëåíèåì ãåíåðàòîðîâ, êàê â (2.7.32). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëíàÿ àëãåáðà Ïóàíêàðå, ïîðîæäàåìàÿ êîììóòàòîðàìè Jµν è Pµ, íå ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðîñòîé (ãåíåðàòîðû Pµ îáðàçóþò èíâàðèàíòíóþ àáåëåâó ïîäàëãåáðó), è òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå àðãóìåíòû. ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî åå öåíòðàëüíûå çàðÿäû ìîæíî óñòðàíèòü òåì æå ñïîñîáîì.  ñàìîì äåëå, íåïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà Ãàëèëåÿ, îáñóæäàâøàÿñÿ â ðàçäåëå 2.4, äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå öåíòðàëüíîãî çàðÿäà — ìàññû Ì. Èòàê, íåîäíîðîäíàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó èç äâóõ óñëîâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âíóòðåííå ïðîåêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î âòîðîì óñëîâèè? (Á) Òîïîëîãèÿ ×òîáû èññëåäîâàòü òîïîëîãèþ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà, âåñüìà óäîáíî ïðåäñòàâèòü îäíîðîäíûå ëîðåíöîâñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 2×2 êîìïëåêñíûìè ìàòðèöàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé äåéñòâèòåëüíûé 4-âåêòîð Vµ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýðìèòîâîé 2×2 ìàòðèöû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

v ≡ V µσµ =

115

FV +V GH V + iV 0

3

V 1 − iV 2

1

2

V0 − V3

I, JK

(2.7.36)

ãäå σµ − îáû÷íûå ìàòðèöû Ïàóëè, ïðè÷åì σ0 ≡ 1. Îáðàòíî, âñÿêàÿ 2×2 ýðìèòîâà ìàòðèöà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ýòîì âèäå è ïîýòîìó îïðåäåëÿåò äåéñòâèòåëüíûé 4-âåêòîð Vµ. Ñâîéñòâî ýðìèòîâîñòè áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ v → λvλ† ,

(2.7.37)

ãäå λ — ïðîèçâîëüíàÿ 2×2 ìàòðèöà. Êðîìå òîãî, èíâàðèàíòíûé êâàäðàò 4-âåêòîðà ðàâåí

Vµ V µ = ( V 1 )2 + ( V 2 )2 + ( V 3 )2 − ( V 0 )2 = − Det v ,

(2.7.38)

è ýòîò äåòåðìèíàíò ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè (2.7.37), åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (2.7.39) | Det λ| = 1 . Êàæäàÿ êîìïëåêñíàÿ 2×2 ìàòðèöà λ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ (2.7.39), îïðåäåëÿåò òàêèì îáðàçîì äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå Vµ, îñòàâëÿþùåå èíâàðèàíòíûì âûðàæåíèå (2.7.38), ò. å. îäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà Λ(λ):

λV µ σ µ λ† = ( Λµ ν (λ) V ν )σ µ .

(2.7.40)

Äàëåå, äëÿ äâóõ òàêèõ ìàòðèö λ èλ

(λλ ) V µ σ µ (λλ )† = λ(λV µ σ µ λ† )λ† = = λΛµ ν (λ ) V ν σ µ λ† = Λµ ρ (λ)Λρ ν (λ ) V ν σ µ , òàê ÷òî Λ (λλ ) = Λ(λ) Λ ( λ ) .

(2.7.41)

Îäíàêî äâå ìàòðèöû λ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî îáùåé ôàçîé, îäèíàêîâî äåéñòâóþò íà v â (2.7.37) è ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ëîðåíöîâñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ. Ïîýòîìó óäîáíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

116

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

íàñòðîèòü ôàçó ìàòðèö λ òàê, ÷òîáû

Det λ = 1,

(2.7.42)

÷òî ñîâìåñòèìî ñ (2.7.41). Êîìïëåêñíûå 2×2 ìàòðèöû ñ äåòåðìèíàíòîì, ðàâíûì åäèíèöå, îáðàçóþò ãðóïïó, íàçûâàåìóþ SL(2, C). (Ñèìâîë SL îçíà÷àåò «ñïåöèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ», ïðè÷åì ñëîâî «ñïåöèàëüíàÿ» ñîîòâåòñòâóåò åäèíè÷íîìó äåòåðìèíàíòó ýëåìåíòîâ ãðóïïû, à Ñ îçíà÷àåò «êîìïëåêñíàÿ».) Ãðóïïîâûå ýëåìåíòû çàâèñÿò îò 4 − 1 = 3 êîìïëåêñíûõ ïàðàìåòðîâ èëè øåñòè äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ, ò. å. îò òîãî æå ÷èñëà ïàðàìåòðîâ, ÷òî è ãðóïïà Ëîðåíöà. Îäíàêî ãðóïïà SL(2, C) íå òîæäåñòâåííà ãðóïïå Ëîðåíöà: åñëè λ — ìàòðèöà èç SL(2,C), òî è −λ ïðèíàäëåæèò ýòîé ãðóïïå, ïðè÷åì êàê λ, òàê è −λ ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà â (2.3.37). Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòðèöà

λ(θ) =

iθ /2

Fe GH 0

0 e − iθ/2

I JK

îòâå÷àåò ëîðåíöîâñêîìó ïðåîáðàçîâàíèþ Λ(λ(θ)), ïðåäñòàâëÿþùåìó âðàùåíèå íà óãîë θ âîêðóã îñè z, òàê ÷òî λ = −1 ñîîòâåòñòâóåò âðàùåíèþ íà óãîë 2π. Òàêèì îáðàçîì ãðóïïà Ëîðåíöà íå ñîâïàäàåò ñ SL(2,C), à ðàâíà SL(2,C)/Z2 *, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ãðóïïó êîìïëåêñíûõ 2×2 ìàòðèö ñ åäèíè÷íûì äåòåðìèíàíòîì è ñ îòîæäåñòâëåíèåì ïàð ýëåìåíòîâ λ è −λ. Êàêîâà æå òîïîëîãèÿ ãðóïïû Ëîðåíöà?  ñèëó òåîðåìû î ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè 12 âñÿêàÿ êîìïëåêñíàÿ íåñèíãóëÿðíàÿ ìàòðèöà λ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå λ = ue h ,

ãäå u − óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, à h − ýðìèòîâà ìàòðèöà, u † u = 1 , h† = h . * Ãðóïïà Z2 ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ +1 è −1.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ìû ïèøåì G/H, ãäå H − èíâàðèàíòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû G, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî â ãðóïïå G îòîæäåñòâëåíû ýëåìåíòû g è gh, ãäå g ∈ G è h ∈ H. Ïîäãðóïïà Z2 òðèâèàëüíî èíâàðèàíòíà, òàê êàê åå ýëåìåíòû êîììóòèðóþò ñî âñåìè ýëåìåíòàìè SL(2, C).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

117

Òàê êàê Det u ÿâëÿåòñÿ ôàçîâûì ìíîæèòåëåì, à Det (exp h) = = exp (Tr h) äåéñòâèòåëåí è ïîëîæèòåëåí, òî èç óñëîâèÿ (2.7.42) âûòåêàåò îäíîâðåìåííî, ÷òî Det u = 1 , Tr h = 0.

(Ìíîæèòåëü u ñîîòâåòñòâóåò ïîäãðóïïå âðàùåíèé ãðóïïû Ëîðåíöà: åñëè u — óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, òî Tr (uvu†) = Tr v, òàê ÷òî V0 = 1 Tr v îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîä äåéñòâèåì Λ(u).) Äàëåå, ýòî ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî, òàê ÷òî ãðóïïà SL(2,C) òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì (ò. å. ìíîæåñòâîì ïàð ýëåìåíòîâ) ïðîñòðàíñòâà âñåõ ìàòðèö u è ïðîñòðàíñòâà âñåõ ìàòðèö h. Âñÿêàÿ ýðìèòîâà 2×2 ìàòðèöà h ñî ñëåäîì, ðàâíûì íóëþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå c a − ib h= , −c a + ib

FG H

IJ K

ãäå a, b, c äåéñòâèòåëüíû, íî â îñòàëüíîì ïðîèçâîëüíû, òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ h òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî îáû÷íîìó òðåõìåðíîìó ïëîñêîìó ïðîñòðàíñòâó R3. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêàÿ óíèòàðíàÿ 2×2 ìàòðèöà ñ åäèíè÷íûì äåòåðìèíàíòîì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå: d + ie f + ig u= , − f + ig d − ie

FG H

IJ K

ãäå d, e, f, g óäîâëåòâîðÿþò åäèíñòâåííîìó íåëèíåéíîìó îãðàíè÷åíèþ d 2 + e 2 + f 2 + g2 = 1 , òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâî SU(2) âñåõ u òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ïðîñòðàíñòâó S3 — òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè ñôåðû â ïëîñêîì ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì SL(2,C) òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ R3×S3. Ýòà ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé: âñÿêàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè èç R3 èëè S3, ìîæåò áûòü ïðîäåôîðìèðîâàíà â ëþáóþ äðóãóþ, è òî æå âåðíî äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ. (Âñå ñôåðû Sn çà èñêëþ÷åíèåì îêðóæíîñòè S1 ÿâëÿþòñÿ îäíîñâÿçíûìè.) Îäíàêî íàñ èíòåðåñóåò íå SL(2,C), à ãðóïïà SL(2,C)/Z2. Îòîæäåñòâëåíèå l è −l ýêâèâàëåíòíî îòîæäåñòâëåíèþ óíèòàðíûõ ìíîæèòåëåé u è −u (òàê êàê eh âñåãäà ïîëîæèòåëüíî), òàê ÷òî òîïîëîãèÿ ãðóïïû Ëîðåíöà — ýòî òîïîëîãèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

118

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

R3×S3/Z2, ãäå S3/Z2 — òðåõìåðíàÿ ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ñ îòîæäåñòâëåííûìè ïðîòèâîïîëîæíûìè òî÷êàìè. Ýòà ãðóïïà íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé; íàïðèìåð, íà S3 ïóòü èç u â u′ íåëüçÿ íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â ïóòü èç u â −u′, òîãäà êàê â S3/Z2 ýòè äâà ïóòè ñîåäèíÿþò îäíè è òå æå òî÷êè. Ôàêòè÷åñêè, S3/Z2 — äâóñâÿçíàÿ ãðóïïà: ïóòè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè ðàçäåëÿþòñÿ íà äâà êëàññà, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, âêëþ÷àþò ëè îíè èíâåðñèþ u → −u, è êàæäûé ïóòü èç îäíîãî êëàññà ìîæíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â äðóãîé ïóòü òîãî æå êëàññà. Ýêâèâàëåíòíûì ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî äâîéíàÿ ïåòëÿ, äâàæäû ïðîõîäÿùàÿ îäèí è òîò æå ïóòü èç êàêîãî-òî ýëåìåíòà îáðàòíî â íåãî æå, ìîæåò áûòü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ñæàòà â òî÷êó. (Êàê ïîêàçàíî â Ïðèëîæåíèè Á, ìàòåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ â óòâåðæäåíèè, ÷òî äëÿ ãðóïïû S3/Z2 ôóíäàìåíòàëüíàÿ èëè ïåðâàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà åñòü Z2.) Àíàëîãè÷íî, íåîäíîðîäíàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà èìååò òó æå òîïîëîãèþ, ÷òî è ãðóïïà R4×R3×S3/Z2, è ïîýòîìó îíà òàêæå äâóñâÿçíà. Òàê êàê ãðóïïà Ëîðåíöà (îäíîðîäíàÿ èëè íåîäíîðîäíàÿ) íåîäíîñâÿçíà, îíà èìååò âíóòðåííå ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îäíàêî ïîñêîëüêó äâîéíàÿ ïåòëÿ, äâàæäû ïðîõîäÿùàÿ ïóòü èç 1 â Λ, èç Λ â ΛΛ, è îáðàòíî â 1, ìîæåò áûòü ñæàòà â òî÷êó, ìû äîëæíû èìåòü [U ( Λ )U ( Λ )U −1 ( ΛΛ )]2 = 1 , è ïîýòîìó ôàçà e iφ( Λ, Λ) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî çíàêîâûì ìíîæèòåëåì: U ( Λ )U ( Λ ) = ± U ( ΛΛ ) .

(2.7.43)

Àíàëîãè÷íî äëÿ íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà

U(Λ, a)U(Λ, a) = ±U(ΛΛ, Λa + a) .

(2.7.44)

Íàì çíàêîìû òàêèå «ïðåäñòàâëåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà»: ýòî ñîñòîÿíèÿ ñ öåëûì ñïèíîì, äëÿ êîòîðûõ çíàêè â (2.7.43) è (2.7.44) âñåãäà ðàâíû +1, è ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì, äëÿ êîòîðûõ ýòè çíàêè ðàâíû +1 èëè −1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ìîæíî ëè ñæàòü â òî÷êó ïóòü îò 1 ê Λ, çàòåì ê ΛΛ, è íàçàä ê åäèíèöå. Ýòî ðàçëè÷èå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî âðàùåíèå íà óãîë 2π âîêðóã îñè z, äåéñòâóÿ íà âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîåêöèåé óãëîâîãî ìîìåíòà íà îñü z, ðàâíóþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

2.7. Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

119

σ, äàåò ôàçîâûé ìíîæèòåëü e2iπσ, è ïîýòîìó íèêàê íå âëèÿåò íà ñîñòîÿíèå ñ öåëûì ñïèíîì è èçìåíÿåò çíàê âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì. (Äâà ýòèõ ñëó÷àÿ ñîîòâåòñòâóþò äâóì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû Z2.) Èòàê, (2.7.43) è (2.7.44) âûðàæàþò ïðàâèëî ñóïåðîòáîðà: ìû íå äîëæíû ñìåøèâàòü ñîñòîÿíèÿ ñ öåëûì è ïîëóöåëûì ñïèíîì. Äëÿ ñëó÷àÿ êîíå÷íûõ ìàññ îãðàíè÷åíèÿ öåëûì èëè ïîëóöåëûì ñïèíîì áûëè ðàíåå âûâåäåíû ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèìè ìåòîäàìè èç õîðîøî èçâåñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãåíåðàòîðîâ ìàëîé ãðóïïû, êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå åñòü ïðîñòî ìàòðèöû óãëîâîãî ìîìåíòà J(j) ñ öåëûì èëè ïîëóöåëûì çíà÷åíèåì j. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ íóëåâûõ ìàññ äåéñòâèå ìàëîé ãðóïïû íà ôèçè÷åñêèå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñâîäèòñÿ ê âðàùåíèþ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ èìïóëüñà, òàê ÷òî ïîýòîìó çäåñü íåò àëãåáðàè÷åñêèõ ïðè÷èí îãðàíè÷èâàòüñÿ öåëûìè èëè ïîëóöåëûìè çíà÷åíèÿìè ñïèðàëüíîñòè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò òîïîëîãè÷åñêàÿ ïðè÷èíà: âðàùåíèå íà óãîë 4π âîêðóã íàïðàâëåíèÿ èìïóëüñà ìîæíî íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðîäåôîðìèðîâàòü â òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, òàê ÷òî ìíîæèòåëü exp(4πiσ) äîëæåí ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå, è ïîýòîìó âåëè÷èíà σ äîëæíà áûòü ëèáî öåëîé, ëèáî ïîëóöåëîé. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû èìåòü äåëî ñ ïðîåêòèâíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè è íàêëàäûâàòü ïðàâèëà ñóïåðîòáîðà, ìîæíî ðàñøèðèòü ãðóïïó Ëîðåíöà, âçÿâ åå ðàâíîé SL(2,C), à íå SL(2,C)/Z2, êàê ðàíåå. Îáû÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèÿì çàïðåùàåò ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ öåëûì èëè ïîëóöåëûì ïîëíûì ñïèíîì, òàê ÷òî åäèíñòâåííîé ðàçíèöåé áóäåò òåïåðü òî, ÷òî ãðóïïà îäíîñâÿçíà è èìååò ïîýòîìó òîëüêî îáû÷íûå, à íå ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, òàê ÷òî òåïåðü íåëüçÿ ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ ïðàâèë ñóïåðîòáîðà. Ýòî îçíà÷àåò íå òî, ÷òî òåïåðü ìîæíî ðåàëüíî ïðèãîòîâèòü ôèçè÷åñêóþ ñèñòåìó â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñîñòîÿíèé öåëîãî è ïîëóöåëîãî ñïèíà, à ëèøü òî, ÷òî íàáëþäàåìàÿ â ïðèðîäå ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü íåâîçìîæíîñòü òàêèõ ñóïåðïîçèöèé. Òàêèå æå ñîîáðàæåíèÿ ïðèìåíèìû ê ëþáîé ãðóïïå ñèììåòðèè. Åñëè àëãåáðà Ëè ýòîé ãðóïïû äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ, âñåãäà ìîæíî ðàñøèðèòü òàêóþ àëãåáðó, âêëþ÷èâ â íåå ãåíåðàòîðû, êîòîðûå êîììóòèðóþò ñ ëþáûì ýëåìåíòîì àëãåáðû è ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûå çàðÿäû. Èìåííî òàê ìû äåéñòâîâàëè, êîãäà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

120

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

äîáàâèëè îïåðàòîðìàññû ê àëãåáðå Ëè ãðóïïû Ãàëèëåÿ â êîíöå ðàçäåëà 2.4. Ðàñøèðåííàÿ àëãåáðà Ëè òåïåðü, êîíå÷íî, ñâîáîäíà îò öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ, òàê ÷òî ÷àñòü ãðóïïû â îêðåñòíîñòè åäèíèöû èìååò òîëüêî îáû÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ, è íèêàêèõ ïðàâèë ñóïåðîòáîðà íå òðåáóåòñÿ. Àíàëîãè÷íî, äàæå åñëè ãðóïïà Ëè G íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, åå âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå C/H, ãäå Ñ — îäíîñâÿçíàÿ ãðóïïà, êîòîðóþ íàçûâàþò óíèâåðñàëüíîé íàêðûâàþùåé ãðóïïîé ãðóïïû G, à H — èíâàðèàíòíàÿ ïîäãðóïïà * ãðóïïû Ñ.  îáùåì ñëó÷àå, ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå ãðóïïû ñèììåòðèè âìåñòî G ãðóïïó C, òàê êàê íåò íèêàêîé ðàçíèöû â ñëåäñòâèÿõ ýòîãî âûáîðà, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî G íàëàãàåò ïðàâèëî ñóïåðîòáîðà, à Ñ — íåò. Êîðî÷å ãîâîðÿ, ïðîáëåìà ïðàâèë ñóïåðîòáîðà åñòü íå÷òî èððåàëüíîå: ìîæåò áûòü, è ìîæíî ïðèãîòîâèòü ôèçè÷åñêóþ ñèñòåìó â âèäå ïðîèçâîëüíîé ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé, íî íåëüçÿ ðåøèòü, òàê ýòî èëè íåò, ññûëàÿñü íà ïðèíöèïû ñèììåòðèè, ïîñêîëüêó êàêóþ áû íè ãðóïïó ñèììåòðèè ìû íå ïðèïèñûâàëè ïðèðîäå, âñåãäà ñóùåñòâóåò äðóãàÿ ãðóïïà, ïðèâîäÿùàÿ ê òåì æå ñëåäñòâèÿì, íî áåç ïðàâèë ñóïåðîòáîðà. Ïðèëîæåíèå À. Òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè ñèììåòðèè  ýòîì ïðèëîæåíèè ìû äàäèì äîêàçàòåëüñòâî ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìû Âèãíåðà 2, óòâåðæäàþùåé, ÷òî âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ëèíåéíûì è óíèòàðíûì èëè àíòèëèíåéíûì è àíòèóíèòàðíûì îïåðàòîðîì. Ïðè ýòîì ãëàâíûì äëÿ íàñ áóäåò òî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè T ëó÷åé, ñîõðàíÿþùèìè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè Ψ1 è Ψ2 — âåêòîðû ñîñòîÿíèé, ïðèíàäëåæàùèå ëó÷àì R1 è R2, òî ëþáûå âåêòîðû ñîñòîÿíèé Ψ′1 è Ψ′2, ïðèíàäëåæà* Ïåðâàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà C/H åñòü H. Ìû âèäåëè, ÷òî íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà îäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà åñòü SL(2, C), à íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà òðåõìåðíîé ãðóïïû âðàùåíèé åñòü SU(2). Ïîäîáíàÿ ñâÿçü ãðóïï SL è SU ñïðàâåäëèâà äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ, ÷åòûðåõ èëè øåñòè èçìåðåíèé. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ d èçìåðåíèé íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà SO(d) íîñèò ñïåöèàëüíîå íàèìåíîâàíèå Spin(d).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

121

Ïðèëîæåíèå À

ùèå ïðåîáðàçîâàííûì ëó÷àì TR1 è TR2, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

| (Ψ1′, Ψ2′ ) |2 = | (Ψ1, Ψ2 ) |2.

(2.À.1)

Ìû òðåáóåì òàêæå, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè èìåëî îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñîõðàíÿþùåå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé Ψk, ïðèíàäëåæàùèõ ëó÷àì Rk, ïðè÷åì

(Ψk , Ψl ) = δ kl .

(2.À.2)

Ïóñòü Ψ′k — íåêîòîðàÿ ïðîèçâîëüíàÿ âûáîðêà âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, ïðèíàäëåæàùèõ ïðåîáðàçîâàííûì ëó÷àì TRk. Èç (2.À.1) èìååì: | ( Ψk′ , Ψl′)| 2 =| (Ψk , Ψl )|2 = δ kl .

Íî âåëè÷èíà (Ψk′ , Ψk′ ) àâòîìàòè÷åñêè äåéñòâèòåëüíà è ïîëîæèòåëüíà, òàê ÷òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî îíà äîëæíà èìåòü çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå. Ïîýòîìó

(Ψk′ , Ψl′) = δ kl .

(2.À.3)

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàííûå ñîñòîÿíèÿ Ψ ′k òàêæå îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó, òàê êàê åñëè áû ñóùåñòâîâàë êàêîé-íèáóäü íåíóëåâîé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ Ψ′, êîòîðûé áûë áû îðòîãîíàëåí êî âñåì Ψ′k, òî ëó÷, ïîëó÷åííûé îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ëó÷à, ê êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò Ψ′, ñîñòîÿë áû èç íåíóëåâûõ âåêòîðîâ Ψ′′, äëÿ êîòîðûõ | (Ψk , Ψ ′′)| 2 =| (Ψk′ , Ψ ′)|2 = 0 äëÿ âñåõ k. Ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî Ψk îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó. Òåïåðü ñëåäóåò ïðèíÿòü ñîãëàøåíèå î ôàçàõ äëÿ ñîñòîÿíèé Ψ′k. Ñ ýòîé öåëüþ âûäåëèì îäíî èç ñîñòîÿíèé Ψk, íàïðèìåð, Ψ1, è ðàññìîòðèì âåêòîðû ñîñòîÿíèé ϒk ≡

1 2

bΨ

1

+ Ψk ,

g

(2.À.4)

ïðèíàäëåæàùèå íåêîòîðûì ëó÷àì Sk c k ≠ 1. Ëþáîé âåêòîð

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

122

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ñîñòîÿíèÿ ϒ′k, ïðèíàäëåæàùèé ïðåîáðàçîâàííîìó ëó÷ó TSk, ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì ñîñòîÿíèé Ψ′l:

∑l ckl Ψl′.

ϒ ′k =

Èç (2.À.1) ñëåäóåò, ÷òî | ckk | = | ck1 | =

à äëÿ l ≠ k è l ≠ 1

1 2

,

ckl = 0.

ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî äàííîãî k ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ôàç äâóõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ϒ′k è Ψ′l ìîæíî òàê íàñòðîèòü ôàçû äâóõ íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ ckk è ñk1, ÷òîáû îíè ðàâíÿëèñü 1 2 . Ñ ýòîãî ìîìåíòà âåêòîðû ñîñòîÿíèé ϒ′k è Ψ′k, âûáðàííûå ïîäîáíûì îáðàçîì, áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ Uϒk è UΨk. Êàê áûëî ïîêàçàíî, U

1

bΨ 2

k

+ Ψ1 = UΥk =

g

1 2

b UΨ

k

+ UΨ1 .

g

(2.À.5)

Îäíàêî íóæíî åùå îïðåäåëèòü UΨ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé Ψ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ Ψ, ïðèíàäëåæàùèé ïðîèçâîëüíîìó ëó÷ó R, è ðàçëîæèì åãî ïî Ψk:

Ψ=

∑ Ck Ψk .

(2.À.6)

k

Ëþáîé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ Ψ′, ïðèíàäëåæàùèé ïðåîáðàçîâàííîìó ëó÷ó TR, ìîæåò áûòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàçëîæåí ïî ïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå âåêòîðîâ UΨk:

Ψ′ = Èç ðàâåíñòâà âåëè÷èí âñåõ k (âêëþ÷àÿ k = 1)

∑ Ck′ UΨk .

bΨ , Ψg k

k 2

è

b UΨ , Ψ ′ g k

(2.À.7) 2

âûòåêàåò, ÷òî äëÿ

| Ck |2 = | Ck′ |2 ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.À.8)

123

Ïðèëîæåíèå À

bϒ

â òî âðåìÿ êàê èç ðàâåíñòâà äëÿ âñåõ k ≠ 1

k

,Ψ

g

2

bU ϒ

è

k

, Ψ′

g

2

âûòåêàåò, ÷òî

| Ck + C1 |2 = | Ck′ + C1′ |2 .

(2.À.9)

Ðàçäåëèâ (2.À.9) íà (2.À.8), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå

Re(Ck / C1 ) = Re(Ck′ / C1′ ) ,

(2.À.10)

Im(Ck / C1) = ± Im(Ck′ / C1′ ) .

(2.À.11)

Ck / C1 = Ck′ / C1′ ,

(2.À.12)

Ck / C1 = (Ck′ / C1′ )* .

(2.À.13)

à ñ ó÷åòîì (2.À.8)

Ïîýòîìó ëèáî ëèáî

Äàëåå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âñåõ k âûáîð äîëæåí áûòü îäèí è òîò æå. (Ýòîò ýòàï äîêàçàòåëüñòâà áûë ïðîïóùåí Âèãíåðîì.) Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k èìååì Ck/C1 = C′k/C′1, à ïðè íåêîòîðîì l ≠ k, íàïðîòèâ, Cl/C1 = (C′l/C′1)*. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî îáà îòíîøåíèÿ êîìïëåêñíû, òàê ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì äåéñòâèòåëüíî äâà ðàçíûõ ñëó÷àÿ. (Ýòî èçíà÷àëüíî òðåáóåò, ÷òîáû k ≠ 1 è l ≠ 1, à òàêæå k ≠ l.) Ïîêàæåì, ÷òî òàêîå íåâîçìîæíî. Îïðåäåëèì âåêòîð ñîñòîÿíèÿ Φ ≡ Ψ1 + Ψk + Ψl / 3 . Òàê êàê âñå îòíîøåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ýòîì âåêòîðå ñîñòîÿíèÿ äåéñòâèòåëüíû, ìû äîëæíû ïîëó÷èòü òå æå îòíîøåíèÿ â ëþáîì âåêòîðå ñîñòîÿíèÿ Φ′, ïðèíàäëåæàùåì ïðåîáðàçîâàííîìó ëó÷ó:

b

α

Φ′ ≡

3

bUΨ + UΨ

k

1

g

+ UΨl ,

g

ãäå α — ôàçîâûé ìíîæèòåëü, |α| = 1. Íî òîãäà èç ðàâåíñòâà 2 2 è Φ ′, Ψ ′ âûòåêàåò, ÷òî âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Φ, Ψ

a

1+

a

f

Ck′ C′ + l C1′ C1′

2

f

2

= 1+

Ck Cl + , C1 C1

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

124

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

è ïîýòîìó

C C* 1 + k + l* C1 C1

2

2

C C = 1+ k + l . C1 C1

Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè C C* C C Re k l* = Re k l C1 C1 C1 C1

FG H

IJ K

FG H

IJ K

èëè, èíûìè ñëîâàìè, åñëè

C  C  Im k  Im l  = 0.  C1   C1  Îòñþäà, â ïðîòèâîðå÷èè ñ íàøèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè, ëèáî Ck/ C1, ëèáî Cl/C1 äîëæíû áûòü äåéñòâèòåëüíû äëÿ ëþáîé ïàðû k, l. Âèäèì, ÷òî äëÿ çàäàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè T, ïðèìåíåííîãî ê äàííîìó âåêòîðó ñîñòîÿíèé, äëÿ âñåõ k äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ëèáî óñëîâèå (2.À.12), ëèáî óñëîâèå (2.À.13). Âèãíåð èñêëþ÷èë âòîðóþ âîçìîæíîñòü (2.À.13), ïîñêîëüêó, êàê îí ïîêàçàë, âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè, äëÿ êîòîðîãî ýòà âîçìîæíîñòü ðåàëèçóåòñÿ, äîëæíî âêëþ÷àòü îáðàùåíèå âðåìåíè, à â ïðåäñòàâëåííîì äîêàçàòåëüñòâå îí ðàññìàòðèâàë òîëüêî ñèììåòðèè òèïà âðàùåíèé, íå âëèÿþùèå íà íàïðàâëåíèå âðåìåíè. Ìû èçó÷àåì çäåñü ñèììåòðèè, âêëþ÷àþùèå îáðàùåíèå âðåìåíè íà ðàâíûõ îñíîâàíèÿõ ñ äðóãèìè ñèììåòðèÿìè, òàê ÷òî íàì ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè T è âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ∑kCkΨk âûïîëíåíû ëèáî (2.À.12), ëèáî (2.À.13).  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç ýòèõ àëüòåðíàòèâ âûïîëíÿåòñÿ, îïðåäåëèì UΨ êàê òîò èç âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé Ψ', ïðèíàäëåæàùèõ ëó÷ó TR, ôàçà êîòîðîãî âûáðàíà òàê, ÷òî ëèáî C1 = C′1, ëèáî C1 = C′1*. Òîãäà ëèáî U

F C Ψ I = C UΨ , GH ∑ JK ∑

(2.À.14)

F C Ψ I = C UΨ . GH ∑ JK ∑

(2.À.15)

k

k

k

ëèáî U

k

k

k

k

k

* k

k

k

k

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

125

Ïðèëîæåíèå À

Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî äëÿ äàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ìû äîëæíû ñäåëàòü òîò æå âûáîð ìåæäó ôîðìóëàìè (2.À.14) è (2.À.15) â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ Ñk. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (2.À.14) âûïîëíåíî äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ∑kAkΨk, à (2.À.15) — äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ∑kBkΨk. Òîãäà èç èíâàðèàíòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ âûòåêàåò, ÷òî

∑ k

2

Bk* Ak

=

∑ Bk A k

2

.

k

èëè ýêâèâàëåíòíî

∑ Imc Ak* Al h Imc Bk* Bl h = 0 .

(2.À.16)

kl

Íåëüçÿ èñêëþ÷èòü, ÷òî (2.À.16) âûïîëíåíî äëÿ ïàðû âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ∑kAkΨk è ∑kBkΨk, ïðèíàäëåæàùèõ ðàçíûì ëó÷àì. Îäíàêî äëÿ ëþáîé ïàðû òàêèõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, ó êîòîðûõ íè Ak, íè Bk íå èìåþò âñå îäèíàêîâîé ôàçû (òàê ÷òî (2.À.14) è (2.À.15) íå îäèíàêîâû), âñåãäà ìîæíî íàéòè òðåòèé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ, äëÿ êîòîðîãî *

∑ ImcCk* Cl h Imc Ak* Al h ≠ 0 , kl

è òàêæå

∑ ImcCk* Cl h Imc Bk* Bl h ≠ 0 .

(2.À.17)

(2.À.18)

kl

* Åñëè äëÿ êàêîé-òî ïàðû k, l è A*kAl, è B*kBl êîìïëåêñíû, âûáèðàåì âñå Ñ ðàâíûìè íóëþ, çà èñêëþ÷åíèåì Ck è Cl, à ýòè êîýôôèöèåíòû âûáèðàåì ñ ðàçíûìè ôàçàìè. Åñëè äëÿ êàêîé-òî ïàðû k, l âåëè÷èíà A*kAl êîìïëåêñíà, à B*kBl äåéñòâèòåëüíà, òî äîëæíà ñóùåñòâîâàòü äðóãàÿ ïàðà m, n (ëèáî m, ëèáî n, íî íå îáà ñðàçó, ìîãóò ïðè ýòîì ðàâíÿòüñÿ k èëè l), äëÿ êîòîðîé B*mBn êîìïëåêñíà. Åñëè ê òîìó æå A*mAn êîìïëåêñíà, âûáèðàåì âñå Ñ ðàâíûìè íóëþ, çà èñêëþ÷åíèåì Cm è Cn, à ó ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ âûáèðàåì ðàçíûå ôàçû. Åñëè A*mAn äåéñòâèòåëüíà, òî âûáèðàåì âñå Ñ ðàâíûìè íóëþ, çà èñêëþ÷åíèåì Ck, Cl, Cm è Cn, à ó ýòèõ ÷åòûðåõ êîýôôèöèåíòîâ âûáèðàåì ðàçíûå ôàçû. Ñëó÷àé, êîãäà B*kBl êîìïëåêñíà, à A*kAl äåéñòâèòåëüíà, ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

126

Êàê ìû âèäåëè, èç (2.À.17) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ∑kAkΨk è ∑kCkΨk äîëæåí áûòü ñäåëàí âûáîð ìåæäó (2.À.14) è (2.À.15), à èç (2.À.18) ñëåäóåò, ÷òî îäèí è òîò æå âûáîð äîëæåí áûòü ñäåëàí è äëÿ ∑kBkΨk è ∑kCkΨk. Òàêèì îáðàçîì, îäèí è òîò æå âûáîð ìåæäó (2.À.14) è (2.À.15) äîëæåí áûòü ñäåëàí äëÿ äâóõ èñõîäíûõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ ∑kAkΨk è ∑kBkΨk. Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ äàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè T âñå âåêòîðû ñîñòîÿíèé óäîâëåòâîðÿþò ëèáî (2.À.14), ëèáî (2.À.15). Òåïåðü íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé îïåðàòîð U ìîæåò áûòü ëèáî ëèíåéíûì è óíèòàðíûì, ëèáî àíòèëèíåéíûì è àíòèóíèòàðíûì. Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé óäîâëåòâîðÿåòñÿ (2.À.14). Ëþáûå äâà âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ Ψ è Φ ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ïîëíîé ñèñòåìå:

Ψ=

∑ Ak Ψk , Φ = ∑ Bk Ψk , k

k

ñîîòâåòñòâåííî, èñïîëüçóÿ (2.À.14), ïîëó÷àåì: U αΨ + βΦ = U

a

f

∑ bαAk + βBk gΨk = ∑ bαAk + βBk gUΨk k

=α

k

∑ Ak UΨk + β∑ Bk UΨk . k

k

Âíîâü èñïîëüçóÿ (2.À.14), íàõîäèì:

U αΨ + βΦ = αUΨ + βUΦ ,

a

f

(2.À.19)

òàê ÷òî îïåðàòîð U ëèíååí. Ïîëüçóÿñü (2.À.2) è (2.À.3), íàõîäèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðåîáðàçîâàííûõ ñîñòîÿíèé ðàâíî

(UΨ, UΦ) =

∑ Ak* Bl (UΨk , UΨl ) = ∑ Ak* Bk , kl

è, ñëåäîâàòåëüíî,

k

(UΨ, UΦ) = (Ψ, Φ),

òàê ÷òî îïåðàòîð U óíèòàðåí.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.À.20)

Ïðèëîæåíèå Á

127

Ñëó÷àé ñèììåòðèè, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò (2.À.15) äëÿ âñåõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, ðàçáèðàåòñÿ âî ìíîãîì àíàëîãè÷íî. Âîçìîæíî, ÷èòàòåëü ñàì, áåç ïîñòîðîííåé ïîìîùè âîñïðîèçâåäåò äîêàçàòåëüñòâî. Îäíàêî, ïîñêîëüêó àíòèëèíåéíûå îïåðàòîðû ìîãóò áûòü íå ñëèøêîì ïðèâû÷íû, âñå æå ïðèâåäåì çäåñü íåîáõîäèìûå äåòàëè. Ïóñòü (2.À.15) óäîâëåòâîðÿåòñÿ äëÿ âñåõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ∑kCkΨk. Ëþáûå äâà âåêòîðà Ψ è Φ ìîãóò áûòü ðàçëîæåíû êàê è ðàíåå, òàê ÷òî U αΨ + βΦ = U

a

f

∑ bαAk + βBk gΨk = ∑ cα* Ak* + β* Bk* hUΨk k

= α*

k

∑ Ak* UΨk + β ∑ Bk* UΨk . *

k

k

Âíîâü ïîëüçóÿñü (2.À.15), íàõîäèì:

U αΨ + βΦ = α *UΨ + β*UΦ ,

a

f

(2.À.21)

òàê ÷òî U àíòèëèíååí. Èñïîëüçóÿ (2.À.2) è (2.À.3), ïîëó÷àåì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðåîáðàçîâàííûõ ñîñòîÿíèé

(UΨ, UΦ) =

∑ Ak Bl* (UΨk , UΨl ) = ∑ Ak Bk* , kl

k

è ïîýòîìó (UΨ , UΦ) = ( Ψ , Φ) * ,

(2.À.22)

òàê ÷òî îïåðàòîð U àíòèóíèòàðåí. Ïðèëîæåíèå Á. Ãðóïïîâûå îïåðàòîðû è ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû  ýòîì ïðèëîæåíèè ìû äîêàæåì óïîìÿíóòóþ â ðàçäåëå 2.7 òåîðåìó, ñîãëàñíî êîòîðîé ôàçû îïåðàòîðîâ U(T) äëÿ êîíå÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèììåòðèè T ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû ýòè îïåðàòîðû îáðàçîâûâàëè ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ñèììåòðèè, à íå ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå, åñëè òîëüêî: à) ãåíåðàòîðû ãðóïïû ìîæíî îïðåäåëèòü òàê, ÷òîáû â àëãåáðå Ëè íå áûëî öåíò-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

128

ðàëüíûõ çàðÿäîâ; á) ñàìà ãðóïïà îäíîñâÿçíà. Êðîìå òîãî, îáñóäèì ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ íåîäíîñâÿçíûõ ãðóïï è ñâÿçü ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé ñ ãîìîòîïè÷åñêèìè êëàññàìè ãðóïïû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû âñïîìíèì ìåòîä, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áûëè ïîñòðîåíû îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿì ñèììåòðèè. Êàê îïèñàíî â ðàçäåëå 2.2, äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû ââîäèì íàáîð äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ θa, òàê ÷òîáû ñàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ óäîâëåòâîðÿëè çàêîíó êîìïîçèöèè (2.2.15): T( θ)T(θ) = T f ( θ, θ) .

d

i

Ìû õîòèì ïîñòðîèòü îïåðàòîðû U (T(θ)) ≡ U [θ] , óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùåìó óñëîâèþ *: U [ θ ]U [θ] = U [ f ( θ , θ)] .

(2.Á.1)

×òîáû ñäåëàòü ýòî, ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíûå «ñòàíäàðòíûå» ïóòè Θ θa (s) â ïðîñòðàíñòâå ãðóïïîâûõ ïàðàìåòðîâ, èäóùèå èç íà÷àëà â êàæäóþ òî÷êó θ, ïðè÷åì Θ θa (0) = 0 , Θ θa (1) = θ a , è îïðåäåëèì Uθ(s) âäîëü êàæäîãî òàêîãî ïóòè ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ dΘ θb (s) d U θ (s) = ita U θ (s)hba (Θ θ (s)) ds ds

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

U θ (0) = 1 ,

(2.Á.2)

(2.Á.3)

ãäå

[h −1 ]ab (θ) ≡

LM ∂f (θ, θ) OP N ∂θ Q a

b

. θ =0

(2.Á.4)

Ìû íàìåðåíû â êîíöå êîíöîâ îòîæäåñòâèòü îïåðàòîðû U[θ] ñ Uθ(1), íî ïðåæäå ñëåäóåò âûÿñíèòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà Uθ(s). * Çäåñü è äàëåå êâàäðàòíûå ñêîáêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îòëè÷àòü îïåðàòîðû U, ïîñòðîåííûå êàê ôóíêöèè ãðóïïîâûõ ïàðàìåòðîâ, îò îïåðàòîðîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè ñàìèõ ãðóïïîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ïðèëîæåíèå Á

129

×òîáû ïðîâåðèòü çàêîí êîìïîçèöèè, ðàññìîòðèì äâå òî÷êè θ1 è θ2, è îïðåäåëèì ïóòü P, èäóùèé èç 0 â θ1, à çàòåì â f(θ2, θ1):

Θ aP (s) ≡

R| Θ (2s) , S|f (Θ (2s − 1), θ ) , T a θ1

a

θ2

1

0 ≤ s ≤ 1/ 2, 1 / 2 ≤ s ≤ 1.

(2.Á.5)

 êîíöå ïåðâîãî îòðåçêà ïóòè ìû ïîïàäàåì â òî÷êó, ãäå îïåðàòîð U P (1) = U θ1 (1). ×òîáû âû÷èñëèòü UP(s) âäîëü âòîðîãî îòðåçêà ïóòè, íàì íóæíî çíàòü ïðîèçâîäíóþ îò f a (Θ θ2 (2s − 1), θ1 ) . Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ôóíäàìåíòàëüíîå óñëîâèå àññîöèàòèâíîñòè f a ( f (θ3 , θ 2 ), θ1 ) = f a (θ3 , f (θ 2 , θ1 )) .

(2.Á.6)

Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè θc3 â ïðåäåëå θ3 → 0, íàõîäèì

∂f a (θ2 , θ1 ) c ha ( f (θ2 , θ1 )) = hbc (θ2 ) . b ∂θ2

(2.Á.7)

Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.Á.2) äëÿ U P (s) âäîëü âòîðîãî îòðåçêà ñîâïàäàåò ñ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ U θ2 (2s − 1) . Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ðàçëè÷íû, îäíàêî U P (s)U θ−11 (1) óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, ÷òî è U P (2s − 1) , íî âäîáàâîê óäîâëåòâîðÿåò è òîìó æå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ: ïðè s = 1 îáå âåëè÷èíû ðàâíû åäèíèöå. Îòñþäà ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ 1 ≤ s ≤ 1 U P (s)U θ−11 (s) = U θ2 (2s − 1) .

è, â ÷àñòíîñòè,

U P (1) = U θ2 (1)U θ1 (1) .

(2.Á.8)

Îäíàêî èç ýòîãî íå ñëåäóåò, ÷òî Uθ(1) óäîâëåòâîðÿåò æåëàåìîìó ïðàâèëó êîìïîçèöèè (2.Á.1), òàê êàê, õîòÿ ïóòü ΘP(s) èäåò èç θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1), îí â îáùåì ñëó÷àå íå áóäåò ñîâïàäàòü ñ òåì âûáðàííûì íàìè «ñòàíäàðòíûì» ïóòåì Θ f(θ2 ,θ1 ) , êîòîðûé èäåò ñðàçó èç θa = 0 â θa = fa(θ , θ ). ×òîáû îòîæäåñòâèòü U[θ] c U (1), 2 1 θ íóæíî åùå äîêàçàòü, ÷òî Uθ(1) íå çàâèñèò îò ïóòè èç 0 â θ. На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

130

Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âàðèàöèþ δU îïåðàòîðà Uθ(s), ïîðîæäåííóþ âàðèàöèåé δΘ(s) ïóòè èç 0 â θ. Áåðÿ âàðèàöèþ (2.Á.2), ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ d dΘ b dΘ b dδΘ b δU = ita δUhba (Θ) + ita Uhba,c (Θ)δΘ c + it a Uhba (Θ) , ds ds ds ds ãäå hba,c ≡ ∂hba / ∂Θ c . Èñïîëüçóÿ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ àëãåáðû Ëè (2.2.22) (áåç öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ) è ñîâåðøàÿ ïåðåãðóïïèðîâêó ñëàãàåìûõ, ïîëó÷àåì

(

)

(

)

d d U −1δU = iU −1ta Uhba δΘ b ds ds dΘ c a + iU −1ta UδΘ b hc,b − hba,c + C a ed hbehcd . ds

(

)

(2.Á.9)

Îäíàêî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó θ3, θ2 → 0 â óñëîâèè àññîöèàòèâíîñòè (2.Á.6), íàõîäèì äëÿ âñåõ θ

h(θ)ba,c = − f a deh(θ)bd h(θ)ec .

(2.Á.10)

ãäå fade – êîýôôèöèåíò, îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (2.2.19). Àíòèñèììåòðèçàöèÿ ïî b è c ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (2.Á.9) îáðàùàåòñÿ â íóëü:

hca,b − hba,c + C a ed hbehcd = 0.

(2.Á.11)

Òàêèì îáðàçîì, èç (2.Á.9) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà

U −1δU − iU −1ta Uhba δΘb ïîñòîÿííà âäîëü ïóòè θ(s). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð Uθ(1) ñòàöèîíàðåí ïðè ëþáîé áåñêîíå÷íî ìàëîé âàðèàöèè ïóòè, îñòàâëÿþùåé çàêðåïëåííûìè êîíå÷íûå òî÷êè Θ(0) = 0 è Θ(1) = θ (à òàêæå Uθ(0) = 1). Îäíàêî èç ïðåäïîëîæåíèÿ á) âûòåêàåò, ÷òî ëþáîé ïóòü îò Θ(0) = 0 äî Θ(1) = θ ìîæíî íåïðåðûâíî äåôîðìèðîâàòü â ëþáîé äðóãîé ïóòü, òàê ÷òî òåïåðü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü Uθ(1) êàê íå çàâèñÿùóþ îò ïóòè ôóíêöèþ òîëüêî ïåðåìåííîé θ:

U θ (1) ≡ U [θ] .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.Á.12)

Ïðèëîæåíèå Á

131

 ÷àñòíîñòè, òàê êàê ïóòü P ïðèâîäèò èç 0 â f(θ2, θ1), èìååì (2.Á.13) U P (1) = U[ f (θ2 , θ1 )], à òîãäà (2.Á.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî U[θ] óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ (2.Á.1), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ìû ïîñòðîèëè íåïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå U[θ], è îñòàëîñü ~ ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ïðîåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå U [θ] òîé æå ãðóïïû ñ òåìè æå ãåíåðàòîðàìè ïðåäñòàâëåíèÿ ta ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò U[θ] òîëüêî ôàçîé:

~ [θ] = e iα(θ) U[θ], U ~ òàê ÷òî ôàçà φ â çàêîíå óìíîæåíèÿ äëÿ U [θ]

~ [θ′]U ~ [θ] = e iφ(θ′,θ) U ~ [ f (θ′, θ)] U ~ ìîæåò áûòü óñòðàíåíà ïðîñòûì èçìåíåíèåì ôàçû U [θ]. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ðàññìîòðèì îïåðàòîð ~ ~ ~ U [θ]−1 U [θ ′ ]−1 U [θ ′ ]U [θ] = U [ f (θ ′, θ)]−1 U [ f (θ ′, θ)]e iφ(θ ′,θ) . ~ Îïåðàòîðû U[θ] è U [θ] èìåþò îäíè è òå æå ãåíåðàòîðû, ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ ëåâîé ÷àñòè ïî θ ′a îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè θ ′ = 0 è

0=

∂ ~ ~ U [θ]−1 U [θ] + iφ b (θ)U [θ]−1 U [θ] , b ∂θ

n

s

ãäå φ b (θ) ≡ hba (θ)

LM ∂ N ∂θ

b

φ(θ ′, θ)

OP Q

. θ ′ =0

Äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî θc è âûïîëíÿÿ àíòèñèììåòðèçàöèþ ïî b è c, ïîëó÷àåì ñðàçó æå ∂φ b (θ) ∂φ c (θ) − . ∂θ c ∂θ b Ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåîðåìå13 èç ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî â îäíîñâÿçíîì ïðîñòðàíñòâå φb åñòü ïðîñòî ãðàäèåíò 0=

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

132

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

íåêîòîðîé ôóíêöèè β: ∂β(θ) . ∂θ b

φ b (θ) =

~ Òàêèì îáðàçîì âåëè÷èíà U [θ]−1 U [θ]e iβ(θ) ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ïîñòîÿííîé ïî θ. Ïîëàãàÿ ýòó âåëè÷èíó ðàâíîé åå çíà÷åíèþ ïðè θ = ~ 0, âèäèì, ÷òî U ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëüíî U:

~ U[θ] = U[θ] exp − iβ(θ) + iβ(0) ,

a

f

÷òî è óòâåðæäàëîñü âûøå. * * * Ïðèâåäåííûé âûøå àíàëèç äàåò íåêîòîðóþ èíôîðìàöèþ î ïðèðîäå ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé, êîòîðûå ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ â ãðóïïîâîì çàêîíå óìíîæåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà àëãåáðà Ëè íå äîïóñêàåò öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ, íî ãðóïïà íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïóòü P èç íóëÿ â θ, à çàòåì â f( θ, θ) íåëüçÿ ïðîäåôîðìèðîâàòü â âûáðàííûé íàìè ñòàíäàðòíûé ïóòü èç 0 â f( θ, θ) , èíûìè ñëîâàìè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåòëÿ èç íóëÿ ÷åðåç θ â f( θ, θ) è îáðàòíî â íóëü íå ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàíà â òî÷êó. Òîãäà âûðàæåíèå U −1 ( f (θ2 , θ1 ))U (θ2 )U (θ1 ) ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ôàçîâûì ìíîæèòåëåì exp(iφ(θ2 , θ1)) ≠ 1, íî f — îäíîé è òîé æå äëÿ âñåõ äðóãèõ ïåòåëü, â êîòîðûå ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü äàííóþ ïåòëþ. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ïåòåëü, íà÷èíàþùèõñÿ è êîí÷àþùèõñÿ â íóëåâîé òî÷êå, êîòîðûå ìîãóò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàíû â äàííóþ ïåòëþ, íîñèò íàçâàíèå ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà14 äàííîé ïåòëè. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî f(θ2, θ1) çàâèñèò òîëüêî îò ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà ïåòëè, èäóùåé èç íóëÿ ÷åðåç θ â f( θ, θ) è çàòåì îáðàòíî â íóëü. Ìíîæåñòâî ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îáðàçóåò ãðóïïó: «ïðîèçâåäåíèå» ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ äëÿ ïåòåëü L1 è L2 åñòü ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ïåòëè, ïîëó÷àþùåéñÿ îáõîäîì ïî L1, à çàòåì ïî L2; «îáðàòíûé» ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ïåòëè L åñòü ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ïåòëè, ïîëó÷àþùåéñÿ îáõîäîì L â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè; «åäèíèöåé» ÿâëÿåòñÿ ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ ïåòåëü,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ïðèëîæåíèå Â

133

êîòîðûå ìîæíî ïðîäåôîðìèðîâàòü â íà÷àëüíóþ òî÷êó. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé èëè ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé îáñóæäàåìîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôàçîâûå ìíîæèòåëè îáðàçóþò ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ãðóïïû: åñëè îáõîä ïî ïåòëå L äàåò ôàçîâûé ìíîæèòåëü e iφ , à îáõîä ïî ïåòëå L — ôàçîâûé ìíîæèòåëü e iφ , òî îáõîä ïî îáåèì ïåòëÿì äàåò ôàçîâûé ìíîæèòåëü e iφ e iφ . Ïîýòîìó ìîæíî ñîñòàâèòü êàòàëîã âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïðîåêòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé äàííîé ãðóïïû G (áåç öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ), åñëè èçâåñòíû îäíîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðâîé ãîìîòîïè÷åñêîé ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà ïàðàìåòðîâ ãðóïïû G. Áîëåå ïîäðîáíî ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû îáñóæäàþòñÿ â ò. II. Ïðèëîæåíèå Â. Èíâåðñèè è âûðîæäåííûå ìóëüòèïëåòû Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíâåðñèè T è P ïåðåâîäÿò îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ â äðóãèå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ òîãî æå ñîðòà, âîçìîæíî, ñ çàâèñÿùèìè îò ñîðòà ÷àñòèö äîïîëíèòåëüíûìè ôàçîâûìè ìíîæèòåëÿìè.  ðàçäåëå 2.6 ìû ìåëüêîì îáðàòèëè âíèìàíèå íà òî, ÷òî íà âûðîæäåííûå ìóëüòèïëåòû îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðû èíâåðñèè ìîãóò äåéñòâîâàòü è áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì. Ýòà âîçìîæíîñòü, ïî-âèäèìîìó, áûëà âïåðâûå îòìå÷åíà â 1964 ãîäó Âèãíåðîì 15.  äàííîì Ïðèëîæåíèè ðàññìàòðèâàþòñÿ îáîáùåíèÿ îïåðàòîðîâ èíâåðñèè, â êîòîðûõ âìåñòî ôàç èíâåðñèè ïîÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûå ìàòðèöû. Ïðè ýòîì íå äåëàåòñÿ ðÿäà îãðàíè÷èòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé, èñïîëüçîâàííûõ Âèãíåðîì. Íà÷íåì ñ îáðàùåíèÿ âðåìåíè. Âèãíåð îãðàíè÷èë âîçìîæíîå äåéñòâèå îïåðàòîðîâ èíâåðñèè, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî èõ êâàäðàòû ïðîïîðöèîíàëüíû åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó. Òàê êàê T – àíòèóíèòàðíûé îïåðàòîð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîæèòåëü ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äëÿ T2 ìîæåò áûòü ðàâåí ±1, âîçìîæíî, ñ ðàçíûìè çíàêàìè äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâ, âûäåëåííûõ ïðàâèëàìè ñóïåðîòáîðà.  òîì ñëó÷àå, êîãäà çíàê T2 íà ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñ ÷åòíûìè èëè íå÷åòíûìè çíà÷åíèÿìè 2j ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó (-1)2j, íàéäåííîìó â ðàçäåëå 2.6, ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíû ðåàëèçîâûâàòü áîëåå ñëîæíûå, ÷åì ïðåäïîëàãàëîñü äî ñèõ ïîð, ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà T. Åñëè ìû õîòèì ïðèíÿòü òàêóþ ãèïîòåçó, óæå íå âèäíî äîñòàòî÷íûõ îñíîâàíèé äëÿ ñîõðàíåíèÿ óñëîâèÿ Âèãíåðà, ÷òî T2 ïðîïîðöèîíàëåí åäèíèöå. Îáðàùåíèå ê ñòðóêòóðå ðàñøèðåííîé ãðóïïû Ïóàíêàðå íåóáåäèòåëüíî. Åäèíñòâåííîå ïîëåçíîå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

134

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

îïðåäåëåíèå ëþáîãî èç îïåðàòîðîâ èíâåðñèè äîëæíî îáåñïå÷èâàòü òî÷íîå èëè ïðèáëèæåííîå ñîõðàíåíèå ýòîãî îïåðàòîðà. Îäíàêî òàêîå îïðåäåëåíèå ìîæåò ïðîòèâîðå÷èòü óñëîâèþ, ÷òî T2 ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó. ×òîáû ðàññìîòðåòü áîëåå îáùèå âîçìîæíîñòè äëÿ îïåðàòîðà îáðàùåíèÿ âðåìåíè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí äåéñòâóåò íà ìàññèâíîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ïî ïðàâèëó

TΨp,σ, n = (−1) j − σ

∑ Tmn Ψ− p,− σ,m ,

(2.Â.1)

m

ãäå p, j è σ — èìïóëüñ, ñïèí è z-êîìïîíåíòà ñïèíà, à n, m — èíäåêñû, êîòîðûìè íóìåðóþòñÿ ÷ëåíû âûðîæäåííîãî ìóëüòèïëåòà ÷àñòèö. (Ïîÿâëåíèå ìíîæèòåëÿ (−1)j–σ è èçìåíåíèå çíàêà p è σ âûâîäÿòñÿ òàê æå, êàê â ðàçäåëå 2.6.) Ìû íè÷åãî íå çíàåì î ìàòðèöå Tmn êðîìå òîãî, ÷òî â ñèëó àíòèóíèòàðíîñòè T ìàòðèöà T äîëæíà áûòü óíèòàðíîé. Ïîñìîòðèì òåïåðü, êàê ìîæíî óïðîñòèòü ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïîäõîäÿùèì âûáîðîì áàçèñà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Îïðåäåëÿÿ íîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ: Ψp′ , σ , n = U Ψ , ïîëó÷àåì òî æå ïðåîáðàçîâàíèå (2.Â.1) ñ m mn p, σ , m èçìåíèâøåéñÿ ìàòðèöåé Tmn:

∑

T ′ = U −1TU * .

(2.Â.2)

 îáùåì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ òàêîãî âûáîðà áàçèñà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé íå óäàåòñÿ ñäåëàòü T′ äèàãîíàëüíîé, êàê ýòî áûëî áû âîçìîæíî â ñëó÷àå óíèòàðíîãî îïåðàòîðà T. Îäíàêî ìîæíî ñäåëàòü ýòó ìàòðèöó áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé, ïðè÷åì áëîêè èìåþò âèä ëèáî 1×1 ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé, ëèáî 2×2 ìàòðèö âèäà

F 0 GH e

− iφ /2

e iφ /2 0

I, JK

(2. Â. 3)

ãäå φ — ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ôàçû. (Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (2.Â.2) ñëåäóåò T ′ T ′ * = U −1T T *U .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ïðèëîæåíèå Â

135

Ýòî óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, è åãî ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû äèàãîíàëèçîâàòü óíèòàðíóþ ìàòðèöó TT*. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòî ñäåëàíî, è îïóñêàÿ èíäåêñû, èìååì T = D T T,

(2.Â.4)

ãäå D – óíèòàðíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, èìåþùàÿ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ôàçû e iφ n . Íåìåäëåííûì ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äèàãîíàëüíàÿ êîìïîíåíòà Tnn îáðàùàåòñÿ â íóëü, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ e iφ n = 1. Äàëåå, ïóñòü e iφ n = 1, íî e iφ m ≠ 1. Òîãäà èç (2.Â.4) ñëåäóåò, ÷òî Tmn = Tnm = 0. Ïåðåáèðàÿ ñíà÷àëà âñå ñòðîêè è ñòîëáöû, äëÿ êîòîðûõ e iφ n = 1, ïðèâîäèì ìàòðèöó T ê âèäó

T =

FG À 0 IJ , H 0 BK

  

(2.Â.5)

ãäå À — ñèììåòðè÷íàÿ è óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, à ó  âñå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Òàê êàê À ñèììåòðè÷íà, îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ýêñïîíåíòà îò ñèììåòðè÷íîé àíòèýðìèòîâîé ìàòðèöû, ïîýòîìó åå ìîæíî äèàãîíàëèçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèåì (2.Â.2), äåéñòâóþùèì òîëüêî íà À, ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîäìàòðèöà ìàòðèöû U äåéñòâèòåëüíà è ïîòîìó îðòîãîíàëüíà. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîäìàòðèöó Â, ñâÿçûâàþùóþ ñòðîêè è ñòîëáöû, äëÿ êîòîðûõ e iφ n ≠ 0. Äëÿ çíà÷åíèé n ≠ m èç (2.Â.4) èìååì T nm = e iφ n T mn è T mn = e iφ m T nm , òàê ÷òî T nm = e iφ n e iφ m T nm è T mn = e iφ n e iφ m T mn . Îòñþäà Tnm = Tmn = 0, åñëè òîëüêî íå âûïîëíåíî e iφ n e iφ m = 1. Åñëè ñíà÷àëà ïåðåáðàòü âñå iφ ñòðîêè è ñòîëáöû  ñ äàííîé ôàçîé e 1 ≠ 1, çàòåì âñå ñòðîêè è ñòîëáöû ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ôàçîé, çàòåì âñå ñòðîêè è ñòîëáöû ± iφ iφ ñ êàêîé-òî äðóãîé ôàçîé e 2 ≠ 1, íå ðàâíîé e 1 , ñòðîêè è ñòîëáöû ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ôàçîé è ò. ä., òî ìàòðèöà  ïðèìåò áëî÷íî–äèàãîíàëüíûé âèä:

FB B=G0 GG H ...

1

0 B2 ...

I . . .J , JJ . . .K ...

ãäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(2.Â.6)

136

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

B1 =

F GH e

e iφ i /2C i

0 − iφ i /2

C iT

0

I. JK

(2.Â.7)

Äàëåå, óíèòàðíîñòü ìàòðèöû T, à ñëåäîâàòåëüíî è Â, òðåáóåò, † † ÷òîáû C i C i = C i C i = 1, îòêóäà Ci – êâàäðàòíàÿ è óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Åñëè ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå (2.Â.2) ñ ìàòðèöåé U, êîòîðàÿ áëî÷íî–äèàãîíàëüíà â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è T, ïðè÷åì ìàòðèöà â n-îì áëîêå èìååò âèä

FG V H0

i

IJ , WK 0

i

ñ óíèòàðíûìè ìàòðèöàìè Vi è Wi, òî ïîäìàòðèöû Ci ïîäâåðãíóòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ C i → Vi−1C i Wi* . Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ìîæíî âûáðàòü ýòî ïðåîáðàçîâàíèå òàê, ÷òîáû Ci = 1. Ýòèì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïàðàìè îòäåëüíûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ âíóòðè êàæäîãî áëîêà ñ ôàçàìè e iφ i è e − iφ i . ×òîáû ïðèâåñòè ìàòðèöó  ê áëî÷íîäèàãîíàëüíîìó âèäó ñ 2×2 áëîêàìè âèäà (2.Â.3), íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü ïåðåãðóïïèðîâàòü ñòðîêè è ñòîëáöû ñ ôàçàìè e iφ i ïîïåðåìåí− iφ íî ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðîêàìè è ñòîëáöàìè ñ ôàçàìè e i .) Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åñëè e iφ ≠ 1, íåâîçìîæíî âûáðàòü ñîñòîÿíèÿ òàê, ÷òîáû äèàãîíàëèçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå îáðàùåíèÿ âðåìåíè. Åñëè äàíû äâà ñîñòîÿíèÿ Ψp,σ,±, íà êîòîðûå îïåðàòîð T äåéñòâóåò ìàòðèöåé (2.Â.3), òî

TΨp,σ,± = e ± iφ /2 ( −1) j − σ Ψ− p,− σ,m .

(2.Â.8)

Ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàùåíèÿ âðåìåíè íà ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ ñîñòîÿíèé áóäåò

T(c + Ψp,σ,+ + c − Ψp,σ,− ) = (−1) j − σ (e iφ /2 c*+ Ψ− p,− σ,− + e − iφ /2 c*− Ψ− p,− σ,+ ) . Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàæåíèå c + Ψp,σ ,+ + c − Ψp,σ ,− ïîä äåéñòâèåì T ïðèîáðåëî ôàçó λ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû e iφ /2 c *+ = λc − , e − iφ /2 c *− = λc + .

Êîìáèíèðóÿ ýòè óðàâíåíèÿ, èìååì e ± i φ 2c*± = λ 2 c*± e m i φ 2 , ÷òî íåâîçìîæíî, åñëè íå âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç äâóõ óñëîâèé:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ïðèëîæåíèå Â

137

ëèáî ñ+ = ñ−= 0, ëèáî e iφ = 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè e iφ ≠ 1 èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè òðåáóåò äâóêðàòíîãî âûðîæäåíèÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé, íå ñ÷èòàÿ òîãî, êîòîðîå ñâÿçàíî ñ èõ ñïèíàìè. Êîíå÷íî, åñëè èìååòñÿ äîïîëíèòåëüíûé îïåðàòîð «âíóòðåííåé» ñèììåòðèè S, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîãî ñîñòîÿíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó SΨp,σ,± = e ± iφ /2 Ψ− p,σ,m ,

ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü îïåðàòîð îáðàùåíèÿ âðåìåíè êàê T′ ≡ S–1T, è òàêîé îïåðàòîð íå áóäåò ïåðåìåøèâàòü ñîñòîÿíèÿ Ψp,σ,± äðóã ñ äðóãîì. Òîëüêî ïðè îòñóòñòâèè âíóòðåííåé ñèììåòðèè ìîæíî ïðèïèñàòü óäâîåíèå ñîñòîÿíèé ÷àñòèö ñàìîìó îáðàùåíèþ âðåìåíè. Âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î êâàäðàòå T. Âòîðè÷íîå ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.Â.8) äàåò

T 2 Ψp,σ,± = (−1)2 j e m iφ Ψp,σ,± .

(2.Â.9)

∑ Pnm Ψ− p,σ,m ,

(2.Â.10)

Åñëè, ñëåäóÿ Âèãíåðó, ïðåäïîëîæèòü, ÷òî T2 ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó, ìû äîëæíû èìåòü eiφ = e−iφ, è òàê êàê îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôàçà äåéñòâèòåëüíà, îíà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ òîëüêî +1 èëè –1. Âûáîð eiφ = –1 âñå åùå áóäåò òðåáîâàòü äâóêðàòíîãî âûðîæäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïîìèìî òîãî âûðîæäåíèÿ, êîòîðîå ñâÿçàíî ñ èõ ñïèíîì.  ðàìêàõ ãèïîòåçû Âèãíåðà âñå ÷àñòèöû äîëæíû ïðîÿâëÿòü òàêîå óäâîåíèå ÷èñëà ñîñòîÿíèé. Îäíàêî íåò îñíîâàíèé íå âçÿòü ïðîèçâîëüíóþ ôàçó φ â (2.Â.8), êîòîðàÿ ìîãëà áû ðàâíÿòüñÿ íóëþ äëÿ îäíèõ ÷àñòèö, è áûòü îòëè÷íîé îò íóëÿ äëÿ äðóãèõ. Ïîýòîìó òîò ôàêò, ÷òî äëÿ íàáëþäàåìûõ ÷àñòèö íå âûÿâëåíî äîïîëíèòåëüíîå äâóêðàòíîå âûðîæäåíèå, íå èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòè, ÷òî äëÿ êàêèõ-òî äðóãèõ ÷àñòèö ýòî âûðîæäåíèå ñóùåñòâóåò. Ìîæíî òàêæå ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòü áîëåå ñëîæíûõ ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðà ÷åòíîñòè P, äëÿ êîòîðîãî

PΨp,σ, n =

m

ãäå ìàòðèöà P óíèòàðíà è â îñòàëüíîì ïðîèçâîëüíà. Â ïðîòèâîïîëîæíîñòü îáðàùåíèþ âðåìåíè, âñåãäà ìîæíî äèàãîíàëèçîâàòü

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

138

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

ýòó ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ âûáîðà áàçèñà äëÿ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî òàêîé âûáîð áàçèñà ìîæåò îêàçàòüñÿ íå òåì, â êîòîðîì îïåðàòîð îáðàùåíèÿ âðåìåíè äåéñòâóåò ïðîñòî, òàê ÷òî â ïðèíöèïå îïåðàòîðû P è T ñîâìåñòíî ìîãóò ïðèâåñòè ê äîïîëíèòåëüíûì âûðîæäåíèÿì, êîòîðûå íå òðåáóþòñÿ îïåðàöèÿìè P èëè T ïîîòäåëüíîñòè. Êàê îáñóæäàåòñÿ â ãë. 5, âñÿêàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ñ÷èòàåòñÿ óäîâëåòâîðÿþùåé ñèììåòðèè CPT, äåéñòâóþùåé íà îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïî ïðàâèëó

CPTΨp,σ, n = (−1) j − σ Ψp,− σ, n c ,

(2.Â.11)

ãäå nc îáîçíà÷àåò àíòè÷àñòèöó (èëè çàðÿäîâî–ñîïðÿæåííóþ ÷àñòèöó) ê ÷àñòèöå n.  ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè íå äîïóñêàþòñÿ íèêàêèå ôàçû èëè ìàòðèöû (õîòÿ, êîíå÷íî, âñåãäà ìîæíî ââåñòè ôàçû èëè ìàòðèöû, îáúåäèíèâ CPT ñ ïîäõîäÿùèìè âíóòðåííèìè ñèììåòðèÿìè). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

(CPT)2 Ψp,σ, n = ( −1)2 j Ψp,− σ, n ,

(2.Â.12)

òàê ÷òî ïðåäëîæåííàÿ Âèãíåðîì âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ çíàêà –(–1)2j ïðè äåéñòâèè îïåðàòîðà (CPT)2 â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ íå ðåàëèçóåòñÿ. Ïîêà T ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé ñèììåòðèåé äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ÿâëåíèé, òàêîé æå õîðîøåé ñèììåòðèåé ÿâëÿåòñÿ è êîìáèíèðîâàííàÿ èíâåðñèÿ CP ≡ (CPT)T–1. Äëÿ ñîñòîÿíèé, îáû÷íûì îáðàçîì ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì T, TΨp,σ , n ∝ Ψ− p,− σ , n ,

(2.Â.13)

îïåðàòîð CP òàêæå äåéñòâóåò îáû÷íûì îáðàçîì:

CPΨp,σ, n ∝ Ψ− p,σ, n c ,

(2.Â.14)

Òîãäà îïåðàòîð C ≡ CPP–1 ïðîñòî çàìåíÿåò ÷àñòèöû íà àíòè÷àñòèöû è íàîáîðîò: CΨp,σ, n ∝ Ψp,σ, n c . (2.Â.15) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè T èìååò íåñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå (2.Â.8), èç (2.Â.11) èìååì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Çàäà÷è

139 CPΨp,σ ,± = e m iφ / 2 Ψ− p,σ ,m c .

(2.Â.16)

 ÷àñòíîñòè, âîçìîæíî, ÷òî âûðîæäåíèå, îòìå÷åííîå çíà÷êàìè ±, ìîæåò áûòü òåì æå ñàìûì, ÷òî è âûðîæäåíèå ÷àñòèöààíòè÷àñòèöà, òàê ÷òî àíòè÷àñòèöà (îïðåäåëåííàÿ ïîñðåäñòâîì CPT) ñîñòîÿíèÿ Ψ± åñòü Ψå .  ýòîì ñëó÷àå CP èìåëî áû íåîáû÷íîå ñâîéñòâî íå ìåíÿòü ÷àñòèöû íà àíòè÷àñòèöû è îáðàòíî. Äî òåõ ïîð, ïîêà ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîäîáíûå ÷àñòèöû, CP è T èìåþò òîò æå ñìûñë, êîòîðûé îáû÷íî èìåþò P è CP. Íî ýòî íå ïðîñòî âîïðîñ îïðåäåëåíèÿ — íà äðóãèå ÷àñòèöû CP è T äåéñòâîâàëè áû îáû÷íûì îáðàçîì. Íåèçâåñòíû ïðèìåðû ÷àñòèö, ðåàëèçóþùèõ íåñòàíäàðòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ èíâåðñèé, è ìû äàëåå òàêèå âîçìîæíîñòè ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èíâåðñèè äåéñòâóþò òàê, êàê áûëî ïðèíÿòî â ðàçäåëå 2.6. Çàäà÷è 1.

Ïóñòü íàáëþäàòåëü Î âèäèò W-áîçîí (ñïèí 1 è ìàññà m ≠ 0) ñ èìïóëüñîì p, íàïðàâëåííûì âäîëü îñè y, è z-êîìïîíåíòîé ñïèíà σ. Âòîðîé íàáëþäàòåëü Î ′ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ñî ñêîðîñòüþ v â íàïðàâëåíèè îñè z. Êàê íàáëþäàòåëü Î ′ îïèøåò ñîñòîÿíèå W-áîçîíà?

2.

Ïóñòü íàáëþäàòåëü Î âèäèò ôîòîí èìïóëüñîì p â íàïðàâëåíèè îñè y è âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè â íàïðàâëåíèè îñè z. Âòîðîé íàáëþäàòåëü Î ′ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ñî ñêîðîñòüþ v â íàïðàâëåíèè îñè z. Êàê Î ′ îïèøåò ñîñòîÿíèå ôîòîíà?

3.

Ïîëó÷èòå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû Ãàëèëåÿ íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíà ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ (íå èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû äëÿ ãðóïïû Ëîðåíöà). Âêëþ÷èòå íàèáîëåå îáùèé íàáîð öåíòðàëüíûõ çàðÿäîâ, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü óñòðàíåíû ïåðåîïðåäåëåíèåì ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû.

4.

Ïîêàæèòå, ÷òî îïåðàòîðû PµPµ è WµWµ, ãäå Wµ ≡ εµνρλJνρPλ, êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðàìè ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé U(Λ, a).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

140

Ãëàâà 2. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà

5.

Ðàññìîòðèòå ôèçèêó â äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ è îäíîì âðåìåííîì èçìåðåíèè, ïðåäïîëàãàÿ èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê «ãðóïïå Ëîðåíöà» SO(2,1). Êàê ìîæíî áûëî áû îïèñàòü ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ îòäåëüíîé ìàññèâíîé ÷àñòèöû? Êàê ýòè ñîñòîÿíèÿ âåëè áû ñåáÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà? ×òî ìîæíî ñêàçàòü îá èíâåðñèÿõ P è T?

6.

Êàê è â çàäà÷å 5, ðàññìîòðèòå ôèçèêó â äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ è îäíîì âðåìåííîì èçìåðåíèÿõ, ïðåäïîëàãàÿ èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê «ãðóïïå Ëîðåíöà» SO(2,1). Êàê ìîæíî áûëî áû îïèñàòü ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ îòäåëüíîé áåçìàññîâîé ÷àñòèöû? Êàê ýòè ñîñòîÿíèÿ âåëè áû ñåáÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà? ×òî ìîæíî ñêàçàòü îá èíâåðñèÿõ P è T? Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Dirac, P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics, 4th edn (Oxford University Press, Oxford, 1958) (åñòü ðóñ. ïåð.: Äèðàê Ï.À.Ì. Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. 2-å èçä. Ì.: Íàóêà, 1980).

2.

Wigner, E.P. Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren (Braunschweig, 1931), pp. 251-253. Äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñì.: Wigner, E.P., in Theoretical Physics (Intern ation al Atomic Energy Agency, Vienn a, 1963), p. 64.

3.

Wick, G.C., Wightman, A.S., and Wigner, E.P., Phys. Rev., 88, 101 (1952).

3a. Ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 2.1. 4.

Inönü, E. and Wigner, E.P., Nuovo Cimento, 9, 705 (1952).

5.

Wigner, E.P., Ann. Math., 40, 149 (1939).

6.

Mackey, G.W., Ann. Math., 55, 101 (1952); 58, 193 (1953); Acta Math., 99, 256 (1958); Induced Representations of Groups and Quantum mechanics (Benjamin, New York, 1968).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

141

7.

Ñì., íàïðèìåð, êíèãè: Edmonds, A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), ch. 4 (åñòü ðóñ. ïåð.: Ýäìîíäñ À. Óãëîâîé ìîìåíò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ì.: Àòîìèçäàò, 1968); Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957), ch. 4; Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ. Èçä. 3-å. Ì.: Íàóêà, 1974, § 58; Wu-Ki Tung. Group Theory in Physics (World Scientific, Singapore, 1985), Sections 7.3 and 8.1.

8.

Lee, T.D. and Yang C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956); Wu, C.S. et al., Phys. Rev., 105, 1413 (1957); Garwin, R., Lederman, L., and Weinrich, M., Phys. Rev., 105, 1415 (1957); Friedman, J.J. and Telegdi, V.V., Phys. Rev., 105, 1681 (1957).

9.

Christenson, J.H., Cronin, J.W., Fitch, V.L., and Turlay, R., Phys. Rev. Letters., 13, 138 (1964).

10. Kramers, H., Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 33, 959 (1930); ñì. òàêæå: Dyson, F.J., J. Math. Phys., 3, 140 (1962). 11. Bargmann, V., Ann. Math., 59, 1 (1954), Theorem 7.1. 12. Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Turnbull, H.W. and Aitken, A.C. An Introduction to the Theory of Canonical Matrices (Dover Publications, New York, 1961), p. 164. 13. Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Flanders, H. Differential Forms (Academic Press, New York, 1963), Section 3.6. 14. Ââåäåíèå â òåîðèþ ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ è ãðóïï ñì., íàïðèìåð, â êíèãàõ: Hocking, J.C. and Young, G.S. Topology (AddisonWesley, Reading, MA, 1961), Chapter 4; Nash, C. and Sen, S. Topology and Geometry for Physicists (Academic Press, London, 1983), Chapters 3 and 5. 15. Wigner, E.P., in: Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, ed. by F. Gürsey (Gordon & Breach, New York, 1964), p. 37.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3 Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ Îáùèå ïðèíöèïû ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, èçëîæåííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ïðèìåíÿëèñü íàìè äî ñèõ ïîð òîëüêî ê ñîñòîÿíèÿì îòäåëüíûõ ñòàáèëüíûõ ÷àñòèö. Òàêèå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñàìè ïî ñåáå íå î÷åíü èíòåðåñíû. ×òî-òî íåòðèâèàëüíîå ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà äâå èëè áîëåå ÷àñòèöû âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì. Îäíàêî ðåàëüíûå ýêñïåðèìåíòû â îáùåì ñëó÷àå íå îïèñûâàþòñÿ ïðîñòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âçàèìîäåéñòâèé ÷àñòèö. Ïîýòîìó (ïî êðàéíåé ìåðå, â ÿäåðíîé ôèçèêå è ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö) ðàññìàòðèâàåòñÿ áàçèñíûé ìîäåëüíûé ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì íåñêîëüêî ÷àñòèö ñáëèæàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ñ ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøèõ ðàññòîÿíèé è âçàèìîäåéñòâóþò â ìèêðîñêîïè÷åñêè ìàëîé îáëàñòè, ïîñëå ÷åãî ïðîäóêòû âçàèìîäåéñòâèÿ âíîâü ðàçëåòàþòñÿ íà ìàêðîñêîïè÷åñêèå ðàññòîÿíèÿ. Ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ äî è ïîñëå ñîóäàðåíèÿ îáðàçîâàíû ÷àñòèöàìè, ñòîëü óäàëåííûìè äðóã îò äðóãà, ÷òî èõ ìîæíî ñ÷èòàòü íåâçàèìîäåéñòâóþùèìè, òàê ÷òî ýòè ñîñòîÿíèÿ ìîæíî îïèñûâàòü ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îáñóæäàâøèõñÿ â ïðåäûäóùåé ãëàâå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé.  òàêîì ýêñïåðèìåíòå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, èëè «ñå÷åíèÿ», äëÿ ïåðåõîäîâ ìåæäó íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿìè óäàëåííûõ äðóã îò äðóãà ôàêòè÷åñêè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.  äàííîé ãëàâå îïèñàí ôîðìàëèçì 1, èñïîëüçóþùèéñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòèõ âåðîÿòíîñòåé è ñå÷åíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

143

3.1. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò

3.1. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò Åñëè ñîñòîÿíèå îáðàçîâàíî íåñêîëüêèìè íåâçàèìîäåéñòâóþùèìè ÷àñòèöàìè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà îíî ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. ×òîáû ïîìåòèòü îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, áóäåì èñïîëüçîâàòü èõ 4-èìïóëüñû pµ è z-êîìïîíåíòû ñïèíà (èëè ñïèðàëüíîñòè äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö) σ. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ íåñêîëüêèìè ñîðòàìè ÷àñòèö, ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ äèñêðåòíóþ ìåòêó n, îòìå÷àþùóþ òèï ÷àñòèöû è âêëþ÷àþùóþ îïèñàíèå åå ìàññû, ñïèíà, çàðÿäà è ò. ä. Îáùèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âèä

U ( Λ, a)Ψp1 ,σ1 , n1 ; p2 ,σ2 , n2 ;... = exp − iaµ (p1µ + p2µ + . . .

e

×

j

( Λp1 )0 ( Λp2 )0 . . . (j ) (j ) Dσ ′1σ ( W( Λ, p1 ))Dσ ′2σ ( W( Λ, p2 )). . . 1 1 2 2 p10p20 . . . (3.1.1) σ ′ σ ′ ...

∑ 1 2

× ΨΛp1 ,σ1′ , n1 ; Λp2 ,σ2′ , n2 ;... , ãäå W(Λ,p) — âèãíåðîâñêîå âðàùåíèå (2.5.10), à Dσ( j′)σ ( W( Λ, p)) — èçâåñòíûå (2j + 1)−ìåðíûå óíèòàðíûå ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõìåðíîé ãðóïïû âðàùåíèé. (Òàêîå ïðàâèëî âåðíî äëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö; äëÿ ëþáîé áåçìàññîâîé ÷àñòèöû ìàòðèöà çàìåíÿåòñÿ íà δ σ ′σ exp iσθ( Λ, p) , ãäå θ — óãîë, îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (2.5.43).) Ñîñòîÿíèÿ íîðìèðîâàíû, êàê â (2.5.19):

a

f

eΨ

p1′ , σ1′ , n1′ ; p2′ , σ 2′ , n2′ ;... , Ψp1 , σ1 , n1 ; p2 , σ2 , n2 ;...

j

= δ 3 (p1′ − p1 )δ σ1′ σ1 δ n1′ n1 δ 3 (p2′ − p2 )δ σ2′ σ2 δ n2′ n2 . . .

(3.1.2)

± ïåðåñòàíîâêè, ïðè÷åì âêëþ÷åíî ñëàãàåìîå «± ïåðåñòàíîâêè», ÷òîáû ó÷åñòü âîçìîæíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíà íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷àñòèö n′1, n′2, ...,ïðèíàäëåæàùèõ òàêîìó æå ñîðòó, ÷òî è ÷àñòèöû n1, n2, ... (Êàê ïîäðîáíåå îáñóæäàåòñÿ â ãë. 4, åñëè ýòà ïåðåñòàíîâêà âêëþ÷àåò íå÷åòíóþ ïåðåñòàíîâêó ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì, ñëåäóåò áðàòü çíàê «ìèíóñ», âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ — çíàê «ïëþñ».  äàííîé ãëàâå âñå ýòî íåñóùåñòâåííî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

144

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Ìû ÷àñòî èñïîëüçóåì ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå, çàìåíÿÿ âåñü íàáîð p1, σ1, n1; p2, σ2, n2, ... êàêîé-íèáóäü îäíîé ãðå÷åñêîé áóêâîé, íàïðèìåð, α. Ïðèíÿâ òàêèå îáîçíà÷åíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü (3.1.2) â âèäå: (Ψα ′ , Ψα ) = δ(α ′ − α), (3.1.3) ãäå δ(α′ − α) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïðîèçâåäåíèé äåëüòà−ôóíêöèé è êðîíåêåðîâñêèõ ñèìâîëîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (3.1.2). Êðîìå òîãî, ïðè ñóììèðîâàíèè ïî ñîñòîÿíèÿì ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî

z

dα . . . ≡

∑

n1σ1n2σ 2 ...

z

d 3p1d 3p2 . . .

(3.1.4)

 ÷àñòíîñòè, ñîîòíîøåíèå ïîëíîòû äëÿ ñîñòîÿíèé, íîðìèðîâàííûõ êàê â (3.1.3), èìååò âèä: Ψ = ∫ dα Ψα (Ψα , Ψ) .

(3.1.5)

Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.1.1) ìîæåò áûòü ñïðàâåäëèâ òîëüêî äëÿ ÷àñòèö, êîòîðûå ïî òåì èëè èíûì ïðè÷èíàì íå âçàèìîäåéñòâóþò. Åñëè ïîëîæèòü Λνµ = δµν è aµ = (0, 0, 0, τ), òî U(Λ,a) = exp(iHτ), è ñðåäè ïðî÷åãî èç (3.1.1) âûòåêàåò, ÷òî Ψα äîëæíî áûòü ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì ýíåðãèè:

HΨα = Eα Ψα ,

(3.1.6)

ïðè÷åì ýíåðãèÿ åñòü ïðîñòî ñóììà ýíåðãèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö:

Eα = p10 + p20 + . . . ,

(3.1.7)

áåç êàêèõ-ëèáî ÷ëåíîâ âçàèìîäåéñòâèÿ, ò. å. ñëàãàåìûõ, êîòîðûå îïðåäåëÿëè áû ñâÿçü ìåæäó íåñêîëüêèìè ÷àñòèöàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.1.1) ïðèìåíèì äëÿ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ â ìîìåíòû âðåìåíè t → ±∞. Êàê ïîÿñíÿëîñü â íà÷àëå ýòîé ãëàâû, â òèïè÷íîì îïûòå ïî ðàññåÿíèþ íà÷àëüíûå ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè t → −∞ íàõîäÿòñÿ òàê äàëåêî äðóã îò äðóãà, ÷òî èõ ìîæíî ñ÷èòàòü åùå íå âçàèìîäåéñòâóþùèìè, à â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ïðè t → +∞ îíè ðàçëåòàþòñÿ òàê äàëåêî, ÷òî óæå íå âçàèìîäåéñòâóþò. Ïîýòîìó èìååòñÿ íå îäèí, à äâà íàáîðà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.1. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò

145

ñîñòîÿíèé, ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïî çàêîíó (3.1.1): èí-ñîñòîÿíèÿ Ψα+ è àóò-ñîñòîÿíèÿ Ψα− — ýòî òàêèå ñîñòîÿíèÿ, ÷òî åñëè íàä íèìè ïðîèçâåñòè íàáëþäåíèÿ ïðè t → –∞ è t → ∞, ñîîòâåòñòâåííî *, òî áóäóò îáíàðóæåíû ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå ìåòêîé α.. Ïîÿñíèì ýòî îïðåäåëåíèå.  òîì ôîðìàëèçìå, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ çäåñü, äëÿ ñîõðàíåíèÿ ñòðîãîé ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè âåêòîðû ñîñòîÿíèé íå ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, ò. å. âåêòîð ñîñòîÿíèÿ Ψ îïèñûâàåò âñþ ïðîñòðàíñòâåííî−âðåìåííóþ èñòîðèþ ñèñòåìû ÷àñòèö. (Òàêîå îïèñàíèå èçâåñòíî êàê ãåéçåíáåðãîâñêàÿ êàðòèíà, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü øðåäèíãåðîâñêîé êàðòèíå, â êîòîðîé îïåðàòîðû ïîñòîÿííû, à ñîñòîÿíèÿ ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì.) Òàêèì îáðàçîì, ìû íå óòâåðæäàåì, ÷òî Ψα± ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëàìè çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ Ψ(t) ïðè t → å∞. Îäíàêî â îïðåäåëåíèè ñîñòîÿíèé íåÿâíî ïðèñóòñòâóåò âûáîð èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, èç êîòîðîé íàáëþäàåòñÿ ñèñòåìà; ðàçíûå íàáëþäàòåëè âèäÿò ýêâèâàëåíòíûå âåêòîðû ñîñòîÿíèé, íî íå îäèí è òîò æå âåêòîð.  ÷àñòíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòàíäàðòíûé íàáëþäàòåëü Î óñòàíàâëèâàåò ñâîè ÷àñû òàê, ÷òî çíà÷åíèå t = 0 ñîîòâåòñòâóåò êàêîìó-òî ìîìåíòó âðåìåíè, êîãäà ïðîèñõîäèò ïðîöåññ ñîóäàðåíèÿ. Äðóãîé íàáëþäàòåëü Î′, ïîêîÿùèéñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî, óñòàíàâëèâàåò ÷àñû òàê, ÷òî t′ = 0 ñîîòâåòñòâóåò t = τ, èíûìè ñëîâàìè, âðåìåííûå êîîðäèíàòû äâóõ íàáëþäàòåëåé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì t′ = t − τ. Òîãäà, åñëè íàáëþäàòåëü Î âèäèò ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè Ψ, òî íàáëþäàòåëü Î ′ âèäèò ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè U(1,−τ)Ψ = exp(−iHτ)Ψ. Òàêèì îáðàçîì, òî, êàê âûãëÿäèò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè çàäîëãî äî èëè íàìíîãî ïîçæå ñîóäàðåíèÿ (êàêîé áû áàçèñ íå èñïîëüçîâàë áû íàáëþäàòåëü Î) îïðåäåëÿåòñÿ ïðèìåíåíèåì îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè âî âðåìåíè exp(−iHτ), âçÿòîì ïðè t → −∞ èëè ïðè t → +∞, ñîîòâåòñòâåííî. Êîíå÷íî, åñëè ñîñòîÿíèå äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì îïåðàòîðà ýíåðãèè, îíî íå ìîæåò áûòü ëîêàëèçîâàíî âî âðåìåíè — ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà exp(−iHτ) ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íåñóùåñòâåííîãî ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ exp(−iE α τ). Ïîýòîìó ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü âîëíîâûå ïàêåòû, ò. å. ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé, * Èíäåêñû «+» è «–» äëÿ èí- è àóò-ñîñòîÿíèé ìîãóò ïîêàçàòüñÿ ïåðåïóòàííûìè, íî ýòî äàíü òðàäèöèè. Òàêîé âûáîð îïðåäåëÿåòñÿ çíàêàìè â ôîðìóëå (3.1.16).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

146

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ñ íåíóëåâîé àìïëèòóäîé g(α), ìåäëåííî èçìåíÿþùåéñÿ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé ýíåðãèè ∆E. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò îïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ exp( − iHτ) dα g(α)Ψα ± =

z

z

dα e − iE n τ g(α)Ψα ±

ïðè τ > +1 / ∆E èìååò âèä ñîîòâåòñòâóþùåé ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. ×òîáû êîíêðåòèçèðîâàòü ñêàçàííîå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãåíåðàòîð âðåìåííûõ òðàíñëÿöèé Í ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ñëàãàåìûõ — ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíûõ ÷àñòèö Í0 è ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ V:

H = H0 + V ,

(3.1.8)

ïðè÷åì ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ Φα ãàìèëüòîíèàíà Í0 îïèñûâàþòñÿ òàê æå, êàê è ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ Ψα+ è Ψα− ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà: H0 Φ α = Eα Φ α ,

(3.1.9)

(Φ α ′ , Φ α ) = δ(α ′ − α) .

(3.1.10)

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñïåêòð îïåðàòîðà Í0 ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîâïàäàþùèì ñî ñïåêòðîì ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà Í. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ìàññû, âõîäÿùèå â Í0, äîëæíû áûòü ðåàëüíî èçìåðÿåìûìè ôèçè÷åñêèìè ìàññàìè, êîòîðûå íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò ñ «ãîëûìè» ìàññàìè, âõîäÿùèìè â Í. Ðàçíèöà, åñëè îíà ñóùåñòâóåò, äîëæíà áûòü âêëþ÷åíà íå â Í0, à â ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ V. Êðîìå òîãî, âñå âîçìîæíûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ â ñïåêòðå Í äîëæíû áûòü ââåäåíû â Í0 òàê, êàê áóäòî îíè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè *. Òåïåðü èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êàê ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ íå Í0, à Í: *  íåðåëÿòèâèñòñêèõ çàäà÷àõ ìîæíî âêëþ÷èòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñâÿçè â Í0. Ïðèëîæåíèå òàêîãî ìåòîäà ê «ñîóäàðåíèÿì ñ ïåðåñòðîéêîé», êîãäà íåêîòîðîå ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ïðèñóòñòâóåò òîëüêî â íà÷àëüíîì, íî íå â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, èëè íàîáîðîò, òðåáóåò ðàçëè÷íîãî ðàçáèåíèÿ Í íà Í0 è V â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

147

3.1. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò

HΨα ± = Eα Ψα ± ,

(3.1.11)

óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ:

z

dα e − iEα τ g α Ψα ± →

af

z

dα e − iEα τ g α Φ α

af

(3.1.12)

ïðè τ → −∞ èëè τ → +∞, ñîîòâåòñòâåííî. Ôîðìóëó (3.1.12) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê òðåáîâàíèå, ÷òî exp( − iHτ) dα g α Ψα ± → exp( − iH0 τ) dα g α Φ α

z

af

z

af

äëÿ τ → −∞ èëè τ → +∞, ñîîòâåòñòâåííî. Èíîãäà ýòî ñîîòíîøåíèå ïåðåïèñûâàþò êàê ôîðìóëó äëÿ èí- è àóò-ñîñòîÿíèé:

Ψα ± = Ω(m ∞)Φ α ,

(3.1.13)

Ω( τ) ≡ exp(+ iHτ) exp(− iH0 τ) .

(3.1.14)

ãäå

Îäíàêî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî Ω(å∞) â (3.1.13) ïðèâîäèò ê îñìûñëåííûì ðåçóëüòàòàì, òîëüêî äåéñòâóÿ íà ãëàäêóþ ñóïåðïîçèöèþ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà ýíåðãèè. Íåìåäëåííûì ñëåäñòâèåì îïðåäåëåíèÿ (3.1.12) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ íîðìèðîâàíû òî÷íî òàê æå, êàê ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. ×òîáû óâèäåòü ýòî, çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü â (3.1.12) ïîëó÷åíà äåéñòâèåì óíèòàðíîãî îïåðàòîðà exp(−iHτ) íà íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè ñîñòîÿíèå, åãî íîðìà íå çàâèñèò îò âðåìåíè è ïîýòîìó ðàâíà íîðìå ñâîåãî ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè τ → ∞, ò. å. íîðìå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.1.12):

z

dα dβ exp(− i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Ψβ ± , Ψα ± )

=

z

dα dβ exp(− i(Eα − Eβ )τ) g(α) g* (β) (Φ β , Φ α ) .

Òàê êàê ýòî ðàâåíñòâî ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåííûì äëÿ âñåõ ãëàäêèõ ôóíêöèé g(α), òî ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ äîëæíû áûòü ðàâíû äðóã äðóãó:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

148

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

(Ψβ ± , Ψα ± ) = (Φ β , Φ α ) = δ(β − α) .

(3.1.15)

Äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé ïîëåçíî ïîëó÷èòü ÿâíîå, õîòÿ è ôîðìàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1.11) íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (3.1.12). Çàïèøåì óðàâíåíèå (3.1.11) â âèäå

(Eα − H0 )Ψα ± = VΨα ± . Îïåðàòîð Eα − H0 íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì; îí äàåò íóëü ïðè äåéñòâèè íå òîëüêî íà ñâîáîäíîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèö Φα, íî è íà êîíòèíóóì äðóãèõ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö Φβ òîé æå ýíåðãèè. Òàê êàê ïðè V → 0 èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ êàê ðàç ðàâíû Φα, ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì çàïèñàòü ôîðìàëüíîå ðåøåíèå êàê ñóììó Φα è ñëàãàåìîãî, ïðîïîðöèîíàëüíîãî V:

Ψα ± = Φ α + (Eα − H0 ± iε) −1 VΨα ± .

(3.1.16)

Èíà÷å, ïðîèçâîäÿ ðàçëîæåíèå ïî ïîëíîìó íàáîðó ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö:

Ψα

±

Tβα ± Φ β = Φ α + dβ , (Eα − Eβ ± iε)

z

Tβα ± ≡ (Φ β , VΨα ± ) ,

(3.1.17)

(3.1.18)

ãäå ε − ïîëîæèòåëüíàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà, ââåäåííàÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë îïåðàòîðó, îáðàòíîìó ê Eα − H0. Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ íîñÿò íàçâàíèå óðàâíåíèé Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà 1à. Ìû èñïîëüçóåì (3.1.17) â êîíöå ñëåäóþùåãî ðàçäåëà, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåñêîëüêî áîëåå ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî îðòîíîðìèðîâàííîñòè èí- è àóò-ñîñòîÿíèé. Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (3.1.17) ñ äîáàâêàìè +iε è −iε â çíàìåíàòåëå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.1.12) äëÿ èí- è àóòñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèè Ψg ± (t) ≡

z

dα e − iEα t g α Ψα ± ,

af

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.1.19)

149

3.1. Ñîñòîÿíèÿ èí è àóò

Φ g (t) ≡

z

dα e − iEα t g α Φ α .

af

(3.1.20)

Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ïðè t → −∞ è t → +∞ Ψg+(t) è Ψg−(t) ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê Φg(t). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3.1.17) â (3.1.19) ïîëó÷àåì:

Ψg ± (t) = Φ g (t) + dα dβ

z z

e − iEα t g α Tβα ± Φβ . (Eα − Eβ ± iε)

af

(3.1.21)

Íå çàäóìûâàÿñü, ïîìåíÿåì ìåñòàìè ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ðàññìîòðèì ñíà÷àëà èíòåãðàëû

Iβ ± ≡ dα

z

e − iEα t g α Tβα ±

bg

(Eα − Eβ ± iε)

.

Ïðè t → −∞ ìîæíî çàìêíóòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ýíåðãåòè÷åñêîé ïåðåìåííîé Eα áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòüþ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ïðè÷åì âêëàä â èíòåãðàë îò ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè îáðàùàåòñÿ â íóëü áëàãîäàðÿ ìíîæèòåëþ exp(−iEαt), êîòîðûé ýêñïîíåíöèàëüíî ìàë ïðè t → −∞ è ImEα > 0. Ïîýòîìó èíòåãðàë ðàâåí ñóììå âêëàäîâ îò îñîáåííîñòåé ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.  îáùåì ñëó÷àå, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ôóíêöèè g(α) è Tβα± èìåþò îñîáåííîñòè ïðè çíà÷åíèÿõ Eα ñ ïîëîæèòåëüíûìè ìíèìûìè ÷àñòÿìè, íî, òàê æå, êàê è äëÿ áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè, èõ âêëàä ýêñïîíåíöèàëüíî ïîäàâëÿåòñÿ ïðè t → −∞. (Êîíêðåòíî, çíà÷åíèå −t äîëæíî áûòü ìíîãî áîëüøå, ÷åì âðåìåííà1ÿ íåîïðåäåëåííîñòü âîëíîâîãî ïàêåòà g(α) è äëèòåëüíîñòü ñîóäàðåíèÿ; èìåííî ýòè âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëîæåíèå îñîáåííîñòåé g(α) è Tβα± â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè Eα.)  ðåçóëüòàòå îñòàåòñÿ îñîáåííîñòü â (Eα − Eβ ± iε) −1 , êîòîðàÿ ëåæèò â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè äëÿ Iβ−, íî íå äëÿ Iβ+. Îòñþäà ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî Iβ+ îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè t → −∞. Òî÷íî òàê æå, ïðè t → +∞ ñëåäóåò çàìêíóòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, è â ýòîì ïðåäåëå Iβ− îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî Ψg±(t) ñòðåìÿòñÿ ê Φg(t) ïðè t → ±∞, â ñîãëàñèè ñ îñíîâíûì óñëîâèåì (3.1.12). * * *

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

150

 äàëüíåéøåì óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ìíîæèòåëÿ (Eα − Eβ ± iε) −1 â (3.1.17).  îáùåì ñëó÷àå

(E ± iε) −1 =

Pε m iπδ ε (E) , E

Pε E , = 2 E E + ε2

δ ε (E ) ≡

ε . π(E + ε 2 ) 2

(3.1.22) (3.1.23) (3.1.24)

Ïðè |E| . ε ôóíêöèÿ (3.1.23) âåäåò ñåáÿ êàê 1/E, è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè Å → 0, òàê ÷òî ïðè ε → 0 îíà âåäåò ñåáÿ êàê «ãëàâíîå çíà÷åíèå» P/E. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèäàòü ñìûñë èíòåãðàëàì îò ïðîèçâåäåíèÿ 1/E íà ëþáóþ ãëàäêóþ ôóíêöèþ îò Å, èñêëþ÷èâ áåñêîíå÷íî ìàëóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè Å = 0. Ïðè |E| . ε ôóíêöèÿ (3.1.24) ïîðÿäêà ε, è ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî âñåì Å äàåò åäèíèöó, òàê ÷òî â ïðåäåëå ïðè ε → 0 îíà âåäåò ñåáÿ êàê âñåì çíàêîìàÿ δ-ôóíêöèÿ δ(E). Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ìîæíî îïóñòèòü ìåòêó ε â ïðàâîé ÷àñòè (3.1.22) è çàïèñàòü ïðîñòî

(E ± iε) −1 =

P m iπδ(E) . E

(3.1.25)

3.2. S-ìàòðèöà  îáùåì ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòàòîð ïðèãîòîâëÿåò ïðè t → −∞ ñîñòîÿíèå, ñîäåðæàùåå îïðåäåëåííûé íàáîð ÷àñòèö, è çàòåì èçìåðÿåò, âî ÷òî ïðåâðàòèòñÿ ýòî ñîñòîÿíèå ïðè t → +∞. Åñëè ïðè t → −∞ ñîñòîÿíèå ïðèãîòîâëåíî òàê, ÷òî ñîäåðæèò íàáîð ÷àñòèö α, òî îíî åñòü èí-ñîñòîÿíèå Ψα+; åñëè îáíàðóæåíî, ÷òî ïðè t → +∞ ñîñòîÿíèå ñîäåðæèò íàáîð ÷àñòèö β, òî îíî åñòü àóò-ñîñòîÿíèå Ψβ−. Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà α → β äàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì Sβα = (Ψβ − , Ψα + ) .

(3.2.1)

Ýòîò íàáîð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä èçâåñòåí êàê S-ìàòðèöà 2. Åñëè âçàèìîäåéñòâèå îòñóòñòâóåò, èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ ñîâïàäàþò,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.2. S-ìàòðèöà

151

è Sβα = δ(α − β). Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ðåàêöèè α → β ïðîïîðöèîíàëüíà |Sβα − δ(α − β)|2.  ðàçäåëå 3.4 ìû äåòàëüíî ðàññìîòðèì ñâÿçü Sβα ñ èçìåðÿåìûìè âåðîÿòíîñòÿìè è ñå÷åíèÿìè. Âèäèìî, ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ æèâóò â äâóõ ðàçíûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñâîèìè ìåòêàìè, òåì, êàê îíè âûãëÿäÿò ñîîòâåòñòâåííî ïðè t → −∞ è t → +∞. Âñÿêîå èí-ñîñòîÿíèå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî àóòñîñòîÿíèÿì, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ è áóäóò ýëåìåíòû S-ìàòðèöû (3.2.1). Òàê êàê Sβα — ìàòðèöà, ñâÿçûâàþùàÿ äâà íàáîðà îðòîíîðìèðîâàííûõ ñîñòîÿíèé, îíà äîëæíà áûòü óíèòàðíîé. ×òîáû ïîäðîáíåå ïîêàçàòü ýòî, ïðèìåíèì óñëîâèå ïîëíîòû (3.1.5) ê àóò-ñîñòîÿíèÿì è çàïèøåì

z

* dβSβγ Sβα = dβ(Ψγ+ , Ψβ − )(Ψβ− , Ψα + ) = (Ψγ + , Ψα + ).

z

Èñïîëüçóÿ (3.1.15), íàõîäèì:

z

dβS*βγ Sβα = δ( γ − α),

(3.2.2)

èëè êîðî÷å S†S = 1. Àíàëîãè÷íî, èñïîëüçóÿ ïîëíîòó èí- ñîñòîÿíèé, ïîëó÷àåì:

z

* dβSγβSαβ = δ(γ − α)

(3.2.3)

èëè èíà÷å SS† = 1 *. ×àñòî óäîáíî âìåñòî S-ìàòðèöû èìåòü äåëî ñ îïåðàòîðîì S, äëÿ êîòîðîãî ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàì S-ìàòðèöû: (Φ β , SΦ α ) ≡ Sβα .

(3.2.4)

ßâíîå, õîòÿ è êðàéíå ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå (3.1.13) äëÿ èíè àóò-ñîñòîÿíèé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ îïåðàòîðà S: * Àëüòåðíàòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â êîíöå ýòîãî ðàçäåëà. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìàòðèö óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè S†S = 1 è SS†= 1 íå ýêâèâàëåíòíû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

152

S = Ω(∞)† Ω( −∞) = U ( +∞,−∞),

(3.2.5)

ãäå

U(τ, τ0 ) ≡ Ω(τ)† Ω(τ0 ) = exp(iH0 τ) exp(− iH(τ − τ0 )) exp(− iH0 τ0 ). (3.2.6) Ìû èñïîëüçóåì ýòî âûðàæåíèå â ñëåäóþùåì ðàçäåëå äëÿ ïðîâåðêè ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè S-ìàòðèöû, è â ðàçäåëå 3.5 ïðè âûâîäå ôîðìóëû äëÿ S-ìàòðèöû â çàâèñÿùåé îò âðåìåíè òåîðèè âîçìóùåíèé. Ìåòîäû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ âûâîäà ïîëåçíîé àëüòåðíàòèâíîé ôîðìóëû äëÿ S-ìàòðèöû. Îáðàòèìñÿ âíîâü ê ôîðìóëå (3.1.21) äëÿ èí- ñîñòîÿíèÿ Ψ+, ïåðåéäÿ íà ýòîò ðàç ê ïðåäåëó t → +∞. Òåïåðü ñëåäóåò çàìêíóòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî Eα â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè. Õîòÿ, êàê è ðàíåå, îñîáåííîñòè â Tβα+ è g(α) íå äàþò âêëàäà ïðè t → +∞, ñëåäóåò ó÷åñòü âêëàä ñèíãóëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ (Eα − Eβ + iε)−1. Êîíòóð èäåò ïî äåéñòâèòåëüíîé îñè îò Eα = −∞ äî Eα = +∞, è çàìûêàåòñÿ ïî áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòè â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, òàê ÷òî êîíòóð îáõîäèò îñîáåííîñòü â íàïðàâëåíèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé ôîðìóëå òåîðèè âû÷åòîâ âêëàä â èíòåãðàë ïî Eαîïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â òî÷êå Eα = Eβ − iε, óìíîæåííîìó íà (−2πi). Èíûìè ñëîâàìè, â ïðåäåëå ε → 0+ è t → +∞ èíòåãðàë ïî α â (3.1.21) àñèìïòîòè÷åñêè âåäåò ñåáÿ êàê

I β + → −2iπe

− iEβt

z

+ dαδ(Eα − Eβ ) g(α) Tβα

è ïîýòîìó ïðè t → +∞ Ψg + (t) → dβe

z

− iEβ t

+ Φ β g(β) − 2iπ dαδ(Eα − Eβ )g(α)Tβα .

z

Îäíàêî ðàçëîæåíèå âûðàæåíèÿ (3.1.19) äëÿ Ψg+ ïî ïîëíîìó íàáîðó àóò-ñîñòîÿíèé äàåò:

Ψg + (t) = dαe − iEα t g(α) dβΨβ− Sβα .

z

z

Òàê êàê Sβα ñîäåðæèò ìíîæèòåëü δ(Eβ − Eα), ýòî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

Ψg + (t) = dβΨβ− e

z

− iEβ t

z

dαg(α)Sβα ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.2. S-ìàòðèöà

153

ïîñëå ÷åãî, èñïîëüçóÿ îïðåäåëÿþùåå ñâîéñòâî (3.1.12) äëÿ àóò- ñîñòîÿíèé, íàõîäèì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè t → +∞: Ψg + (t) →

z

dβΦ β e

− iEβ t

z

dαg(α)Sβα .

Ñðàâíèâàÿ ñ íàøèì ïðåäûäóùèì ðåçóëüòàòîì, íàõîäèì:

∫ dαg(α)Sβα èëè èíà÷å

+ = g(β) − 2iπ ∫ dαδ(Eα − Eβ ) g(α) Tβα

Sβα = δ(β − α) − 2iπδ(Eα − Eβ )Tβα + .

(3.2.7)

Ýòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ïðîñòîå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ S-ìàòðèöû.  ñëó÷àå ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ V ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ðàçíèöåé ìåæäó èí- ñîñòîÿíèÿìè è ñîñòîÿíèÿìè ñâîáîäíûõ ÷àñòèö â (3.1.18), òàê ÷òî (3.2.7) ïðèíèìàåò âèä: Sβα ≈ δ(β − α) − 2 iπδ(Eα − Eβ )(Φ β , VΦ α ).

(3.2.8)

Ôîðìóëà (3.2.8) èçâåñòíà ïîä íàçâàíèåì áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ 3. Ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà îáñóæäàþòñÿ â ðàçäåëå 3.5. * * * Óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà (3.1.16) äëÿ èí- è àóò- ñîñòîÿíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 4 îðòîíîðìèðîâàííîñòè ýòèõ ñîñòîÿíèé è óíèòàðíîñòè S−ìàòðèöû, à òàêæå äëÿ âûâîäà ôîðìóëû (3.2.7), íå èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ ê t → å∞. Âî-ïåðâûõ, ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (3.1.16) ïî î÷åðåäè ñëåâà è ñïðàâà â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (Ψβ±, VΨα±) è ïðèðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû, íàõîäèì, ÷òî

(Ψβ ±, VΦ α ) + (Ψβ ±, V(Eα − H0 ± iε) −1 VΨα ± ) = (Φ β , VΨα ± ) + (Ψβ ±, V(Eβ − H0 m iε) −1 VΨα ± ). Ñóììèðóÿ ïî ïîëíîìó íàáîðó ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé Φγ, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

154

Tαβ ± − Tβα ± = − dγTγβ ± Tγα ±

z

*

*

FH E

α

− E γ ± iε

−1

− Eβ − E γ m iε

−1

IK .

(3.2.9) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè èí- è àóò- ñîñòîÿíèé, ðàçäåëèì (3.2.9) íà Eα − Eβ ± 2iε. Ïîëó÷èì:

F GH E

β

Tαβ ± − Eα ± 2iε

I JK

*

Tβα ± Tγβ ± + = − dγ Eα − Eβ ± 2iε Eβ − E γ ± i ε

z

F GH

I JK

*

Tγα ± . Eα − E γ ± iε

Ñëàãàåìûå 2ε â çíàìåíàòåëÿõ ëåâîé ÷àñòè ìîæíî çàìåíèòü íà ε, òàê êàê ãëàâíîå â ýòèõ ñëàãàåìûõ − òî, ÷òî îíè ïîëîæèòåëüíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå âåëè÷èíû. Òåïåðü âèäíî, ÷òî âåëè÷èíà

Tβα ± δ(β − α) + (Eα − Eβ ± iε) óíèòàðíà. Ñ ó÷åòîì (3.1.17) ýòî ñîîòâåòñòâóåò óòâåðæäåíèþ, ÷òî Ψα± îáðàçóþò äâà îðòîíîðìèðîâàííûõ íàáîðà âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé. Óíèòàðíîñòü S-ìàòðèöû ìîæíî äîêàçàòü àíàëîãè÷íî, óìíîæèâ (3.2.9) íå íà (Eα − Eβ ± 2iε)-1, à íà δ(Eβ − Eα). 3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû  ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü S-ìàòðèöû ïî îòíîøåíèþ ê ðàçëè÷íûì ñèììåòðèÿì, è, âî-âòîðûõ, êàêîâû óñëîâèÿ, êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ íà ãàìèëüòîíèàí, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ýòè ñâîéñòâà èíâàðèàíòíîñòè. Ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòü Äëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî îðòîõðîííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà x → Λx + a ìîæíî îïðåäåëèòü óíèòàðíûé îïåðàòîð U(Λ,a), çàäàâ ïðàâèëî åãî äåéñòâèÿ íà èí- èëè àóò-ñîñòîÿíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.1.1). Êîãäà ãîâîðèòñÿ, ÷òî òåîðèÿ ëîðåíö−èíâàðèàíòíà, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îäèí è òîò æå îïåðàòîð U(Λ,a) äåéñòâóåò ïî ôîðìóëå (3.1.1) êàê íà èí-, òàê è íà àóò-ñîñòîÿíèÿ. Ïîñêîëüêó îïåðàòîð U(Λ,a) óíèòàðåí, ìîæíî çàïèñàòü:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

155

Sβα = Ψβ− , Ψα+ = U ( Λ, a)Ψβ− , U ( Λ, a)Ψα+ ,

d

i d

i

îòêóäà, èñïîëüçóÿ (3.1.1), ïîëó÷àåì ñâîéñòâî ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè (íà ñàìîì äåëå, êîâàðèàíòíîñòè) S-ìàòðèöû: äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà Λµν è ïðåîáðàçîâàíèÿ òðàíñëÿöèé aµ Sìàòðèöà ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðàâèëó:

Sp1′ ,σ1′ , n1′ ; p2′ ,σ2′ , n2′ ;...,p1 ,σ1 , n1 ; p2 ,σ2 , n2 ;... = exp iaµ Λµ ν (p1µ + p2µ + . . .− p1′ µ − p2′ µ − . . . )

e

× ×

j

( Λp1 )0 ( Λp2 )0 . . . ( Λp1′ )0 ( Λp2′ )0 p10 p20 . . . p1′ 0 p2′ 0 . . .

∑ Dσ11σ1 b W(Λ, p1 )gDσ22σ2 b W(Λ, p2 )g. . . (j )

(j )

σ1σ2 ...

×

∑

σ1′ σ2′ ...

( ′) *

b

g

( ′) *

b

(3.3.1)

g

Dσj′1σ ′ W( Λ, p1′ ) Dσj′2σ ′ W( Λ, p2′ ) . . . 1 1

2 2

× SΛp1′ , σ1′, n1′ ; Λp2′ , σ2′ , n2′ ;..., Λp1 , σ1 , n1 ; Λp2 , σ2 , n2 ;... . (Øòðèõè îòëè÷àþò êîíå÷íûå ÷àñòèöû îò íà÷àëüíûõ; ÷åðòà íàä èíäåêñîì óêàçûâàåò ïåðåìåííûå, ïî êîòîðûì èäåò ñóììèðîâàíèå.)  ÷àñòíîñòè, ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ íå çàâèñèò îò aµ, ýòî æå äîëæíî áûòü âåðíî è äëÿ ïðàâîé ÷àñòè, ïîýòîìó S−ìàòðèöà îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè íå âûïîëíåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ 4-èìïóëüñà. Ñëåäîâàòåëüíî, òà ÷àñòü S−ìàòðèöû, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ðåàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

Sβα − δ(β − α) = −2πiMβα δ 4 (pβ − pα ) .

(3.3.2)

(Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî â ñëåäóþùåé ãëàâå, àìïëèòóäà Mβα ñàìà ñîäåðæèò ñëàãàåìûå, âêëþ÷àþùèå íîâûå ìíîæèòåëè ñ äåëüòà− ôóíêöèÿìè.) Ôîðìóëó (3.3.1) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü íå êàê òåîðåìó, à êàê îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä èíâàðèàíòíîñòüþ S-ìàòðèöû, ò. ê. òîëüêî äëÿ ðÿäà ñïåöèàëüíî âûáðàííûõ ãàìèëüòîíèàíîâ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

156

ñóùåñòâóåò óíèòàðíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà èí- è àóòñîñòîÿíèÿ ïî ôîðìóëå (3.1.1). Ñëåäóåò ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíåí óäîâëåòâîðÿòü ãàìèëüòîíèàí, ÷òîáû îáåñïå÷èòü èíâàðèàíòíîñòü S-ìàòðèöû. Äëÿ ýòîãî óäîáíî áóäåò ðàáîòàòü ñ îïåðàòîðîì S, îïðåäåëåííûì ôîðìóëîé (3.2.4): Sβα = Φ β , SΦ α .

d

i

Ïî îïðåäåëåíèþ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö Φα èç ãë. 2, ýòè ñîñòîÿíèÿ ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå íåîäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà, òàê ÷òî âñåãäà ìîæíî îïðåäåëèòü óíèòàðíûé îïåðàòîð U0(Λ,a), èíäóöèðóþùèé íà ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ ïðåîáðàçîâàíèå (3.1.1): U 0 ( Λ, a)Φ p1 ,σ1 , n1 ; p2 ,σ2 , n2 ;... = exp − iaµ Λµ ν (p1µ + p2µ + . . . )

e

×

( Λp1 )0 ( Λp2 )0 . . . p10p20 . . .

∑

σ1′ σ2′ ...

b

g

b

j g

Dσ ′1σ W( Λ, p1 ) Dσ ′2σ W( Λ, p2 ) . . . (j )

1 1

(j )

2 2

× Φ Λp1 ,σ1 , n1 ; Λp2 ,σ2 , n2 ;... .

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (3.3.1) áóäåò âåðíà, åñëè ýòîò óíèòàðíûé îïåðàòîð êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì S:

U0 (Λ, a) −1 SU0 (Λ, a) = S. Ýòî óñëîâèå ìîæíî âûðàçèòü è ñ ïîìîùüþ èíôèíèòåçèìàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Êàê è â ðàçäåëå 2.4, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü íàáîð ýðìèòîâûõ îïåðàòîðî⠗ èìïóëüñ P0, óãëîâîé ìîìåíò J0 è ãåíåðàòîð áóñòîâ K0 — êîòîðûé, äåéñòâóÿ âìåñòå ñ Í0 íà ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, ïîðîæäàåò áåñêîíå÷íî ìàëûå íåîäíîðîäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Ôîðìóëà (3.3.1) ýêâèâàëåíòíà óòâåðæäåíèþ, ÷òî S-ìàòðèöà ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ íå èçìåíÿåòñÿ, èëè ÷òî îïåðàòîð S êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè:

[H0 , S] = [P0 , S] = [J0 , S] = [K 0 , S] = 0 .

(3.3.3)

Òàê êàê îïåðàòîðû H0, P0, J0 è K0 ïîðîæäàþò èíôèíèòåçèìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ñîñòîÿíèé Φα, îíè àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (2.4.18)−(2.4.24):

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

157

[ J0i , J0j ] = iε ijk J0k ,

(3.3.4)

[ J0i , K 0j ] = iε ijk K 0k ,

(3.3.5)

[K 0i , K 0j ] = − iε ijk J0k ,

(3.3.6)

[ J0i , P0j ] = iε ijk P0k ,

(3.3.7)

[K 0i , P0j ] = − iH 0δ ij ,

(3.3.8)

[ J0i , H0 ] = [P0i , H0 ] = [P0i , P0j ] = 0 ,

(3.3.9)

[K 0i , H0 ] = − iP0i ,

(3.3.10)

ãäå i, j, k è ò. ä. ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, à εijk − ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð, ε123 = +1. Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü íàáîð «òî÷íûõ ãåíåðàòî ðîâ» — îïåðàòîðîâ P, J, K, êîòîðûå âìåñòå ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì Í ïîðîæäàþò ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.1.1) ïðè äåéñòâèè, ñêàæåì, íà èí- ñîñòîÿíèÿ. (Êàê óæå îòìå÷àëîñü, íå î÷åâèäíî, ÷òî òå æå îïåðàòîðû, äåéñòâóÿ íà àóò-ñîñòîÿíèÿ, ïîðîæäàþò òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ.) Èñõîäÿ èç ñòðóêòóðû ãðóïïû, ïîëó÷àåì, ÷òî ýòè òî÷íûå ãåíåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ñàìûì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:

[ J i , J j ] = iε ijk J k ,

(3.3.11)

[ J i , K j ] = iε ijk K k ,

(3.3.12)

[K i , K j ] = − iε ijk J k ,

(3.3.13)

[ J i , P j ] = iε ijk P k ,

(3.3.14)

[K i , P j ] = − iHδ ij ,

(3.3.15)

[ J i , H ] = [ P i , H ] = [P i , P j ] = 0 ,

(3.3.16)

[K i , H ] = − iP i .

(3.3.17)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

158

Ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ èçâåñòíûõ òåîðèÿõ ïîëÿ ýôôåêòû âçàèìîäåéñòâèé ñâîäÿòñÿ ê äîáàâëåíèþ ñëàãàåìîãî V â ãàìèëüòîíèàí, áåç èçìåíåíèÿ èìïóëüñà è óãëîâîãî ìîìåíòà:

H = H0 + V, P = P0 , J = J0 .

(3.3.18)

(Åäèíñòâåííûì èçâåñòíûì èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿþòñÿ òåîðèè ñ òîïîëîãè÷åñêè òâèñòîâàííûìè ïîëÿìè, íàïðèìåð, òåîðèè ñ ìàãíèòíûìè ìîíîïîëÿìè, â êîòîðûõ óãëîâîé ìîìåíò ñîñòîÿíèé çàâèñèò îò âçàèìîäåéñòâèÿ.) Èç ñîîòíîøåíèÿ (3.1.18) âûòåêàåò, ÷òî óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.3.11), (3.314) è (3.3.16), åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð âçàèìîäåéñòâèÿ êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðàìè èìïóëüñà è óãëîâîãî ìîìåíòà ñâîáîäíûõ ÷àñòèö:

[ V, P0 ] = [ V, J0 ] = 0.

(3.3.19)

Òåïåðü èç óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà (3.1.16) èëè, ýêâèâàëåíòíî, èç (3.1.13) ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî îïåðàòîðàìè, ãåíåðèðóþùèìè òðàíñëÿöèè è âðàùåíèÿ ïðè äåéñòâèè íà èí- (è àóò-) ñîñòîÿíèÿ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðû P0 è J0. Êðîìå òîãî, âèäíî, ÷òî P0 è J0 êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì U(t, t0), îïðåäåëåííûì ôîðìóëîé (3.2.6), à ñëåäîâàòåëüíî è ñ S-îïåðàòîðîì U(∞, −∞). Äàëåå, ìû óæå çíàåì, ÷òî S-îïåðàòîð êîììóòèðóåò ñ Í0, òàê êàê â îáîèõ ñëàãàåìûõ â (3.2.7) ñîäåðæàòñÿ äåëüòà-ôóíêöèè, âûðàæàþùèå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ãåíåðàòîð áóñòà K0 êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì S. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåëüçÿ ïðèðàâíÿòü ãåíåðàòîð áóñòà K åãî àíàëîãó äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö K0, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå èç (3.3.15) è (3.3.8) áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî Í = Í0, ÷òî î÷åâèäíî íåâåðíî ïðè íàëè÷èè âçàèìîäåéñòâèé. Òàêèì îáðàçîì, äîáàâëÿÿ âçàèìîäåéñòâèå V ê Í0, ìû äîëæíû äîáàâèòü òàêæå è ïîïðàâêó W ê ãåíåðàòîðó áóñòà K0: K = K 0 + W. (3.3.20) Èç îñòàâøèõñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé îñòàíîâèìñÿ íà (3.3.17), êîòîðîå òåïåðü ïðèíèìàåò âèä

[K 0 , V ] = −[W, H ].

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.3.21)

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

159

Ñàìî ïî ñåáå ñîîòíîøåíèå (3.3.21) áåññîäåðæàòåëüíî, òàê êàê äëÿ ëþáîãî V ìîæíî âñåãäà îïðåäåëèòü W, çàäàâ åãî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Ψα è Ψβ ãàìèëüòîíèàíà H â âèäå −(Ψβ ,[K 0 , V ]Ψα ) / (Eβ − Eα ). . Íàïîìíèì, ÷òî êëþ÷åâûì ìîìåíòîì äëÿ ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè òåîðèè ÿâëÿåòñÿ íå òî, ÷òî îáÿçàòåëüíî äîëæåí ñóùåñòâîâàòü íàáîð òî÷íûõ ãåíåðàòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì (3.3.11)−(3.3.17), à òî, ÷òî ýòè îïåðàòîðû äîëæíû îäèíàêîâî äåéñòâîâàòü íà èí- è àóò- ñîñòîÿíèÿ. Ïðîñòî íàéòè îïåðàòîð K, óäîâëåòâîðÿþùèé (3.3.21), íåäîñòàòî÷íî. Ýòî ñîîòíîøåíèå ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì, åñëè äîáàâèòü òðåáîâàíèå, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû W äîëæíû áûòü ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè ýíåðãèé, â ÷àñòíîñòè, íå äîëæíû èìåòü îñîáåííîñòåé âèäà (Eβ −Eα)–1. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî èç (3.3.21) è ïîäõîäÿùåãî óñëîâèÿ ãëàäêîñòè W äåéñòâèòåëüíî âûòåêàåò îñòàâøååñÿ óñëîâèå ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè [K0,S] = 0. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ðàññìîòðèì êîììóòàòîð K0 ñ îïåðàòîðîì U(t, t0) ïðè êîíå÷íûõ t è t0. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.3.10) è òîò ôàêò, ÷òî P0 êîììóòèðóåò ñ Í, ïîëó÷èì:

[K 0 , exp(iH0t)] = − tP0 exp(iH0 t),  òî æå âðåìÿ èç ïåðåñòàíîâî÷íîãî ñîîòíîøåíèÿ (3.3.21) (èëè, ýêâèâàëåíòíî, èç (3.3.17)) âûòåêàåò:

[K, exp(iHt)] = − tP exp(iHt) = − tP0 exp(iHt). ÷òî

ãäå

 êîììóòàòîðå K0 c U îïåðàòîðû èìïóëüñà ñîêðàùàþòñÿ, òàê

[K 0 , U ( τ, τ 0 )] = − W( τ)U (τ, τ 0 ) + U (τ, τ 0 )W(τ 0 ),

(3.3.22)

W(t) ≡ exp( iH0 t)W exp(− iH0 t).

(3.3.23)

Åñëè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû W ìåæäó ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Í0 ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè ýíåðãèè, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû W(t) ìåæäó ãëàäêèìè ñóïåðïîçèöèÿìè ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ýíåðãèè îáðàùàþòñÿ ïðè t → ±∞ â íóëü, òàê ÷òî èç (3.3.22) â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

160

0 = [K 0 , U (∞,−∞)] = [K 0 , S],

(3.3.24)

÷òî è ñëåäîâàëî äîêàçàòü. Ýòîò ðåçóëüòàò î÷åíü âàæåí: ñîîòíîøåíèå (3.3.21) ñîâìåñòíî ñ óñëîâèåì ãëàäêîñòè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ W, îáåñïå÷èâàþùèõ îáðàùåíèå â íóëü W(t) ïðè t → ±∞, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè S-ìàòðèöû. Óñëîâèå ãëàäêîñòè äîâîëüíî åñòåñòâåííî, òàê êàê îíî âåñüìà íàïîìèíàåò óñëîâèå íà ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû V, íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî, ÷òîáû V(t) îáðàùàëîñü â íóëü ïðè t → ±∞, êàê è òðåáóåòñÿ äëÿ ïîäêðåïëåíèÿ ñàìîé èäåè S−ìàòðèöû. Ôîðìóëó (3.3.22) ïðè t = 0 è t0 = å∞ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî

KΩ( m ∞) = Ω( m ∞)K 0 ,

(3.3.25)

ãäå Ω(±∞) ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.1.13) òåì îïåðàòîðîì, êîòîðûé ïåðåâîäèò ñîñòîÿíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû Φα â ñîîòâåòñòâóþùåå èíèëè àóò-ñîñòîÿíèå Ψα±. Êðîìå òîãî, èç (3.3.18) è (3.3.19) òðèâèàëüíî ñëåäóåò, ÷òî ýòî æå âåðíî äëÿ èìïóëüñà è óãëîâîãî ìîìåíòà: PΩ( m ∞) = Ω(m ∞)P0 ,

(3.3.26)

JΩ( m ∞) = Ω( m ∞)J0 .

(3.3.27)

Íàêîíåö, òàê êàê âñå Φα è Ψα± ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Í0 è Í, ñîîòâåòñòâåííî, ñ îäíèì è òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Eα, òî HΩ(m ∞) = Ω(m ∞)H0 . (3.3.28) Èç ôîðìóë (3.3.25)−(3.3.28) ñëåäóåò, ÷òî â ðàìêàõ íàøèõ ïðåäïîëîæåíèé èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà òàê æå, êàê è ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ýòî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ, ìû âèäèì, ÷òî òî÷íûå ãåíåðàòîðû K, P, J è Í óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è K0, P0, J0 è Í0. Èìåííî ïîýòîìó ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè S−ìàòðèöû íå òðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàòü äðóãèå âêëþ÷àþùèå îïåðàòîð K ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.3.12), (3.3.13) è (3.3.15).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

161

Âíóòðåííèå ñèììåòðèè Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ñèììåòðèè, íàïðèìåð, ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî âçàèìíîé ïåðåñòàíîâêè íåéòðîíîâ è ïðîòîíîâ â ÿäåðíîé ôèçèêå èëè ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè «çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ» äëÿ ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö, íå èìåþùèå íèêàêîãî ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè è, áîëåå òîãî, âûãëÿäÿùèå îäèíàêîâî âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïîäîáíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè Ò äåéñòâóåò â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé êàê íåêîòîðûé óíèòàðíûé îïåðàòîð U(T), êîòîðûé èíäóöèðóåò ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî èíäåêñàì, îòìå÷àþùèì ñîðòà ÷àñòèö:

U (T)Ψp1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... =

∑ Dn n (T)Dn n (T) × Ψp σ n ;p σ n ;... . 1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

(3.3.29)

n1n2 ...

 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé äèñêóññèåé â ãë. 2, îïåðàòîð U(T) äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ãðóïïîâîìó ïðàâèëó óìíîæåíèÿ

U (T )U (T) = U (TT) ,

(3.3.30)

ãäåTT — ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷åííîå ñíà÷àëà äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ò, à çàòåì äðóãîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÒ. Äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì U (T ) íà (3.3.29), âèäèì, ÷òî ìàòðèöû D óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå ïðàâèëó: D(T )D(T) = D(TT) .

(3.3.31)

Êðîìå òîãî, áåðÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé, ïîëó÷åííûõ äåéñòâèåì îïåðàòîðà U(T) íà äâà ðàçíûõ èí- èëè àóòñîñòîÿíèÿ, è èñïîëüçóÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè (3.1.2), íàõîäèì, ÷òî ìàòðèöà D(T) äîëæíà áûòü óíèòàðíîé:

D † (T) = D −1 (T) .

(3.3.32)

Íàêîíåö, âû÷èñëÿÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé, ïîëó÷åííûõ äåéñòâèåì îïåðàòîðà U(T) íà îäíî àóò- è îäíî èíñîñòîÿíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî D(T) êîììóòèðóåò ñ S-ìàòðèöåé â òîì ñìûñëå, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

162

∑ ∑ DN* ′n ′ (T)DN* ′ n ′ (T). . . DN* n (T)DN* n

N1N2 ... N1′N2′ ...

1 1

2 2

1 1

× Sp′ σ ′ N ′ ; p′ σ ′ N ′ ;...; p σ N 1 1 1

2 2

2

1 1

1 ; p2σ 2N2 ;...

2 2

(T). . .

= Sp1′ σ1′ n1′ ; p2′ σ2′ n2′ ;...; p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... .

(3.3.33)

Ýòî åñòü îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîä ñëîâàìè: «òåîðèÿ èíâàðèàíòíà ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì âíóòðåííåé ñèììåòðèè Ò», òàê êàê äëÿ âûâîäà (3.3.33) âñå åùå ñëåäóåò ïîêàçàòü, ÷òî îäèí è òîò æå óíèòàðíûé îïåðàòîð U(T) èíäóöèðóåò ïðåîáðàçîâàíèå (3.3.29) êàê èí-, òàê è àóò-ñîñòîÿíèé. Ýòî áóäåò âûïîëíåíî, åñëè ñóùåñòâóåò «íåâîçìóùåííûé» îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ U0(T), èíäóöèðóþùèé òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö,

U 0 (T)Φ p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... =

∑

DN n (T)DN 1 1

2 n2

(T). . . Φ p σ N

1 1 1 ; p2 σ 2N2 ;...

, (3.3.34)

N1N2 ...

è êîììóòèðóþùèé êàê ñ ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, òàê è ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ:

U0−1 (T)H0U0 (T) = H0 ,

(3.3.35)

U0−1 (T) VU0 (T) = V .

(3.3.36)

Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà (3.1.17) èëè ôîðìóëû (3.1.13) íàõîäèì, ÷òî îïåðàòîð U0(T) èíäóöèðóåò ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.3.29) èí- è àóò-ñîñòîÿíèé, à òàêæå ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, òàê ÷òî ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó (3.3.29), âçÿâ U0(T) âìåñòî îïåðàòîðà U(T). Î÷åíü âàæíûì ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè, îïèñûâàåìîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé Ëè, êîãäà Ò — ôóíêöèÿ îäíîãî ïàðàìåòðà θ, ïðè÷åì

T( θ)T(θ) = T( θ + θ) .

(3.3.37)

Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 2.2, â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äîëæíû èìåòü âèä: U(T(θ)) = exp(iQθ),

(3.3.38)

ãäå Q − ýðìèòîâ îïåðàòîð. Àíàëîãè÷íî, ìàòðèöû D(T) èìåþò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

Dn ′n (T(θ)) = δ n ′n exp( iq n θ) ,

163

(3.3.39)

ãäå qn − íàáîð äåéñòâèòåëüíûõ, çàâèñÿùèõ îò ñîðòà ÷àñòèö ÷èñåë.  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû (3.3.33) ñëåäóåò, ÷òî q ñîõðàíÿþòñÿ: ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû Sβα îáðàùàþòñÿ â íóëü, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà

q n1′ + q n2′ + . . . = q n1 + q n2 + . . .

(3.3.40)

Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì òàêîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Êðîìå òîãî, âî âñåõ èçâåñòíûõ ïðîöåññàõ ñîõðàíÿþòñÿ áàðèîííîå ÷èñëî (÷èñëî áàðèîíîâ, ò. å. ïðîòîíîâ, íåéòðîíîâ è ãèïåðîíîâ, ìèíóñ ÷èñëî èõ àíòè÷àñòèö) è ëåïòîííîå ÷èñëî (÷èñëî ëåïòîíîâ, ò. å. ýëåêòðîíîâ, ìþîíîâ, τ-ëåïòîíîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ íåéòðèíî, ìèíóñ ÷èñëî èõ àíòè÷àñòèö). Ïðàâäà, êàê ìû óâèäèì â ò. II, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýòè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ëèøü ñ î÷åíü õîðîøåé ñòåïåíüþ ïðèáëèæåíèÿ ê ðåàëüíîñòè. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå àíàëîãè÷íûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, îïðåäåëåííî ÿâëÿþùèåñÿ ïðèáëèæåííûìè. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ñîõðàíåíèå âåëè÷èíû, íàçâàííîé ñòðàííîñòüþ, êîòîðàÿ áûëà ââåäåíà äëÿ îáúÿñíåíèÿ îòíîñèòåëüíî áîëüøîãî âðåìåíè æèçíè ðÿäà ÷àñòèö, îòêðûòûõ â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ Ðî÷åñòåðîì è Áàòëåðîì 5 â 1947 ãîäó. Òàê, ìåçîíàì, íàçûâàåìûì ñåé÷àñ K+ è K0, ïðèïèñûâàåòñÿ çíà÷åíèå ñòðàííîñòè +1, à ãèïåðîíàì Λ0, Σ+, Σ0, Σ− − çíà÷åíèå −1, à ó áîëåå ïðèâû÷íûõ ïðîòîíîâ, íåéòðîíîâ è π-ìåçîíîâ (ïèîíîâ) ñòðàííîñòü ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ *. Ñîõðàíåíèå ñòðàííîñòè â ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ñòðàííûå ÷àñòèöû ðîæäàþòñÿ âñåãäà âìåñòå, íàïðèìåð, â ðåàêöèè π+ + n → K+ + Λ0, â òî âðåìÿ, êàê îòíîñèòåëüíî ìåäëåííûå ðàñïàäû ñòðàííûõ ÷àñòèö â íåñòðàííûå, íàïðèìåð, Λ0 → p + π+ è K+ → π++π0 ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî âçàèìîäåéñòâèÿ, íå ñîõðàíÿþùèå ñòðàííîñòü, î÷åíü ñëàáû. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì «íåàáåëåâîé» ñèììåòðèè, ãåíåðàòîðû êîòîðîé íå êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé èçîòîïè÷åñêîãî ñïèíà, ïðåäëîæåííàÿ â * Âåðõíèå èíäåêñû óêàçûâàþò íà ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÷àñòèö â åäèíèöàõ àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ çàðÿäà ýëåêòðîíà. «Ãèïåðîíîì» íàçûâàþò ëþáóþ ÷àñòèöó, îáëàäàþùóþ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì ñòðàííîñòè è áàðèîííûì ÷èñëîì, ðàâíûì åäèíèöå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

164

1937 ãîäó 6 íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòà 7, ïîêàçàâøåãî ñóùåñòâîâàíèå ñèëüíûõ ïðîòîí−ïðîòîííûõ âçàèìîäåéñòâèé, àíàëîãè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèÿì ïðîòîíîâ ñ íåéòðîíàìè. Ìàòåìàòè÷åñêè ãðóïïîé ñèììåòðèè ÿâëÿåòñÿ ãðóïïà SU(2), ñîâïàäàþùàÿ ñ íàêðûâàþùåé ãðóïïîé äëÿ ãðóïïû òðåõìåðíûõ âðàùåíèé. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU(2) îáîçíà÷àþòñÿ ti, i = 1, 2, 3, è óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, àíàëîãè÷íûì (2.4.18): [ti , tj ] = iε ijk tk .

 ñèòóàöèÿõ, êîãäà èìååò ìåñòî ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì èçîòîïè÷åñêîãî ñïèíà, ÷àñòèöû îáðàçóþò âûðîæäåííûå ìóëüòèïëåòû, õàðàêòåðèçóþùèåñÿ öåëûì èëè ïîëóöåëûì ÷èñëîì Ò, ïðè÷åì êàæäàÿ èç (2Ò + 1) êîìïîíåíò òàêîãî ìóëüòèïëåòà îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèåì t3, êàê â ñëó÷àå âûðîæäåííûõ ñïèíîâûõ ìóëüòèïëåòîâ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðûõ òðåáóåòñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Òàêèìè ìóëüòèïëåòàìè ÿâëÿþòñÿ: íóêëîíû p è n ñ Ò = 1/2 è t3 = 1/2, −1/2; ïèîíû π+, π0, π− ñ Ò = 1 è t3 = 1, 0, −1; Λ0-ãèïåðîí ñ Ò = 0 è t3 = 0. Ýòè ïðèìåðû èëëþñòðèðóþò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì Q, òðåòüåé êîìïîíåíòîé èçîòîïè÷åñêîãî ñïèíà t3, áàðèîííûì ÷èñëîì B è ñòðàííîñòüþ S:

Q = t3 +

B+S . 2

Ýòî ñîîòíîøåíèå áûëî ïåðâîíà÷àëüíî âûâåäåíî íà îñíîâàíèè íàáëþäàâøèõñÿ ïðàâèë îòáîðà, îäíàêî Ãåëë-Ìàíí è Íååìàí â 1960 ãîäó ïîêàçàëè, ÷òî îíî åñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî èçîñïèí Ò è «ãèïåðçàðÿä» Y ≡ B + S «ïîãðóæàþòñÿ» â àëãåáðó Ëè áîëåå øèðîêîé, íî è áîëåå ñèëüíî íàðóøåííîé íåàáåëåâîé âíóòðåííåé ñèììåòðèè, îñíîâàííîé íà íåàáåëåâîé ãðóïïå SU(3). Êàê ìû óâèäèì â ò. II, â íàøè äíè â ðàìêàõ ñîâðåìåííîé òåîðèè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé − êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè — èçîñïèíîâàÿ è SU(3) ñèììåòðèÿ âîñïðèíèìàþòñÿ êàê ñëó÷àéíûå ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ìàëûõ çíà÷åíèé ìàññ äâóõ èëè òðåõ ëåã÷àéøèõ êâàðêîâ. Ñëåäñòâèÿ èçîòîïè÷åñêîé ñèììåòðèè äëÿ ðåàêöèé ìåæäó ñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ÷àñòèöàìè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òåìè æå çíàêîìûìè ìåòîäàìè, êîòîðûå áûëè ðàçâèòû äëÿ âûâîäà ñëåäñòâèé èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé.  ÷àñòíîñòè, äëÿ äâóõ÷àñòè÷íîé ðåàêöèè A + B → C + D èç ôîðìóëû (3.3.33) âûòåêàåò, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

165

S-ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå (îïóùåíû âñå èíäåêñû, êðîìå èçîòîïè÷åñêèõ):

StC 3tD3 ,tA3tB3 =

∑ CT T

C D

(Tt3 ; tC3tD3 )CTATB (Tt3 ; tA3tB3 )ST ,

T ,t3

ãäå Cj1j2 ( jσ; σ1σ2 ) — îáû÷íûé êîýôôèöèåíò Êëåáøà−Ãîðäàíà äëÿ îáðàçîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñî ñïèíîì j è òðåòüåé ïðîåêöèåé σ èç ñîñòîÿíèé ñî ñïèíàìè j1 è j2 è òðåòüèìè ïðîåêöèÿìè σ1 è σ2; ST — «ïðèâåäåííàÿ» S-ìàòðèöà, çàâèñÿùàÿ îò Ò è îò âñåõ îïóùåííûõ èìïóëüñíûõ è óãëîâûõ ïåðåìåííûõ, íî íå îò òðåòüèõ ïðîåêöèé èçîñïèíà tA3, tB3, tC3, tD3. Êîíå÷íî, ýòî è âñå äðóãèå ñëåäñòâèÿ èçîòîïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïðèáëèæåííûìè, ò. ê. èçîòîïè÷åñêàÿ ñèììåòðèÿ íå ñîõðàíÿåòñÿ â ýëåêòðîìàãíèòíûõ (è äðóãèõ) âçàèìîäåéñòâèÿõ, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåò òî, ÷òî ðàçëè÷íûå ÷ëåíû îäíîãî èçîñïèíîâîãî ìóëüòèïëåòà, íàïðèìåð, p è n, èìåþò ðàçíûå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû è íåìíîãî îòëè÷àþòñÿ ïî ìàññå. ×åòíîñòü Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ x → −x äåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî, òî äîëæåí ñóùåñòâîâàòü óíèòàðíûé îïåðàòîð P, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîãî êàê èí-, òàê è àóòñîñòîÿíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé: PΨp±1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = η n1 η n2 . . . ΨP±p1σ1n1 ; Pp2σ2 n2 ;... ,

(3. 3. 41)

ãäå ηn − âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòü ÷àñòèö ñîðòà n, à P ìåíÿåò çíàê ó ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò pµ. (Ýòî ïðàâèëî âåðíî äëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö; ìîäèôèêàöèÿ äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö î÷åâèäíà.) Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè äëÿ S-ìàòðèöû ïðèíèìàåò âèä

Sp1′ σ1′ n1′ ; p2′ σ2′ n2′ ;...,p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = η*n1′ η*n2′ . . . ηn1 ηn2 . . . × SPp1′ σ1′ n1′ ; Pp2′ σ2′ n2′ ;..., Pp1σ1n1 ; Pp2σ2 n2 ;... .

(3. 3. 42)

Êàê è â ñëó÷àå âíóòðåííèõ ñèììåòðèé, îïåðàòîð P, óäîâëåòâîðÿþùèé (3.3.41), äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò, åñëè îïåðàòîð P0,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

166

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

êîòîðûé, ïî îïðåäåëåíèþ, òî÷íî òàê æå äåéñòâóåò íà ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, êîììóòèðóåò ñ V è H0. Ôàçû ηn ìîãóò áûòü íàéäåíû ëèáî èç äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, ëèáî èç ýêñïåðèìåíòà, íî ïðè ýòîì èõ íåâîçìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü, òàê êàê âñåãäà ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü îïåðàòîð P, ñêîìáèíèðîâàâ åãî ñ ëþáûì ñîõðàíÿþùèìñÿ îïåðàòîðîì âíóòðåííåé ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, åñëè P ñîõðàíÿåòñÿ, òî ýòî æå âåðíî è äëÿ îïåðàòîðà P′ ≡ P exp(iαB + iβL + iγQ) , ãäå B, L è Q − áàðèîííîå ÷èñëî, ëåïòîííîå ÷èñëî è ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ñîîòâåòñòâåííî, α, β, γ − ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ôàçû; òàêèì îáðàçîì è P, è P′ ìîæíî ñ÷èòàòü îïåðàòîðàìè ÷åòíîñòè. Íåéòðîí, ïðîòîí è ýëåêòðîí îáëàäàþò ðàçíûìè êîìáèíàöèÿìè çíà÷åíèé B, L è Q, òàê ÷òî ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ôàç α, β è γ ìîæíî îïðåäåëèòü âíóòðåííèå ÷åòíîñòè ýòèõ òðåõ ÷àñòèö ðàâíûìè +1. Îäíàêî, êàê òîëüêî ýòî ñäåëàíî, âíóòðåííèå ÷åòíîñòè äðóãèõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, çàðÿæåííîãî ïèîíà (êîòîðûé ìîæåò áûòü èñïóùåí â ïåðåõîäå n → p + π−) óæå íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè. Êðîìå òîãî, âíóòðåííÿÿ ÷åòíîñòü ëþáîé ÷àñòèöû òèïà íåéòðàëüíîãî ïèîíà π0, íå õàðàêòåðèçóþùåéñÿ íèêàêèìè ñîõðàíÿþùèìèñÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, âñåãäà èìååò ñìûñë. Ïðåäûäóùèå çàìå÷àíèÿ ïîçâîëÿþò ïîíÿòü, ïî÷åìó âíóòðåííèå ÷åòíîñòè äîëæíû âñåãäà èìåòü çíà÷åíèÿ ±1. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîð ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè P óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ P2 = 1; îäíàêî ñîõðàíÿþùèéñÿ îïåðàòîð ÷åòíîñòè ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ íèì, à îòëè÷àòüñÿ íåêîòîðûì ôàçîâûì ïðåîáðàçîâàíèåì.  ëþáîì ñëó÷àå, âûïîëíåíî èëè íåò óñëîâèå P2 = 1, îïåðàòîð P2 âåäåò ñåáÿ êàê îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ âíóòðåííåé ñèììåòðèè: P 2 Ψp±1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = η2n1 η2n2 . . . Ψp±1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... .

Åñëè ýòà âíóòðåííÿÿ ñèììåòðèÿ åñòü ÷àñòü íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñèììåòðèè ôàçîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîäîáíûõ ãðóïïå óìíîæåíèÿ íà ôàçó exp(iαB + iβL + iγQ) ñ ïðîèçâîëüíûìè çíà÷åíèÿìè α, β è γ, òî îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå — êâàäðàòíûé êîðåíü IP — òîæå äîëæíî âõîäèòü â ýòó ãðóïïó, ïðè÷åì IP2P2 = 1, [IP, P] = 0. (Íàïðèìåð, åñëè P2 = exp(iαB + ...), òî IP = exp(−1iαB + ...).) Òåïåðü ìîæíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

167

îïðåäåëèòü íîâûé îïåðàòîð ÷åòíîñòè P′ ≡ PIP, äëÿ êîòîðîãî P′2 = 1. Ýòîò îïåðàòîð ñîõðàíÿåòñÿ íå â ìåíüøåé ñòåïåíè, ÷åì P, ïîýòîìó íåò íèêàêèõ ïðè÷èí, ïî êîòîðûì åãî íåëüçÿ íàçâàòü íàñòîÿùèì îïåðàòîðîì ÷åòíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå âíóòðåííèå ÷åòíîñòè ìîãóò èìåòü òîëüêî çíà÷åíèÿ ±1. Åäèíñòâåííûé òèï òåîðèé, â êîòîðûõ íå âñåãäà âîçìîæíî îïðåäåëèòü ÷åòíîñòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âñå âíóòðåííèå ÷åòíîñòè èìåëè çíà÷åíèÿ ±1, ýòî òîò, â êîòîðîì ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ äèñêðåòíàÿ âíóòðåííÿÿ ñèììåòðèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ êàêîé-òî íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñèììåòðèè ôàçîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé 10. Íàïðèìåð, êàê ñëåäñòâèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà, ïîëíîå ÷èñëî F âñåõ ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî íà ÷åòíîå ÷èñëî, òàê ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ îïåðàòîð âíóòðåííåé ñèììåòðèè (−1)F. Ó âñåõ èçâåñòíûõ ÷àñòèö ïîëóöåëîãî ñïèíà ñóììà B + L áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë ïðèíèìàåò íå÷åòíûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó, íàñêîëüêî ìû çíàåì, (−1)F = (−1)B + L. Åñëè ýòî âåðíî, òî (−1)F åñòü ÷àñòü íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñèììåòðèè, ñîñòîÿùåé èç îïåðàòîðîâ exp(iα(B + L)) ñ ïðîèçâîëüíûì äåéñòâèòåëüíûì α, ïðè÷åì îïåðàòîð îáðàòíîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ åñòü exp(−iπ(B + L)/2).  ýòîì ñëó÷àå, åñëè P2 = (−1)F, òî P ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü òàê, ÷òîáû âñå âíóòðåííèå ÷åòíîñòè ðàâíÿëèñü ±1. Îäíàêî, åñëè êîãäà-íèáóäü áóäóò îòêðûòû ÷àñòèöû ïîëóöåëîãî ñïèíà ñ ÷åòíûì çíà÷åíèåì B + L (íàïðèìåð, òàê íàçûâàåìûå ìàéîðàíîâñêèå íåéòðèíî, ó êîòîðûõ j = 1 è B + L = 0), òî ìîæíî áóäåò ïîñòðîèòü îïåðàòîð P2 = (−1)F, íå èìåÿ ïðè ýòîì âîçìîæíîñòè ïåðåîïðåäåëèòü ñàì îïåðàòîð ÷åòíîñòè òàê, ÷òîáû åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàâíÿëèñü òîëüêî ±1. Êîíå÷íî, â ýòîì ñëó÷àå P4 = 1, òàê ÷òî âñå ÷àñòèöû èìåëè áû âíóòðåííèå ÷åòíîñòè ëèáî ±1, ëèáî ±i (êàê ó ìàéîðàíîâñêèõ íåéòðèíî). Èç ôîðìóëû (3.3.42) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðîèçâåäåíèå âíóòðåííèõ ÷åòíîñòåé â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ âíóòðåííèõ ÷åòíîñòåé â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè èëè ýòîìó ïðîèçâåäåíèþ, âçÿòîìó ñî çíàêîì «ìèíóñ», òî S−ìàòðèöà äîëæíà áûòü ñîîòâåòñòâåííî ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé ïî îòíîøåíèþ ê çàìåíå çíàêîâ ó âñåõ 3-èìïóëüñîâ. Íàïðèìåð, â 1951 ãîäó íàáëþäàëîñü11, ÷òî ïèîí ìîæåò ïîãëîùàòüñÿ äåéòðîíîì èç îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ π−d àòîìà ñ l = 0 â ðåàêöèè π− + d → n + n. ( ðàçäåëå 3.7 ìû ïîêàæåì, ÷òî êâàíòîâîå ÷èñëî l îðáèòàëüíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêå òàê æå, êàê è â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

168

ìåõàíèêå.) Ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ j = 1 (ñïèíû ïèîíà è äåéòðîíà ðàâíû íóëþ è åäèíèöå, ñîîòâåòñòâåííî), òàê ÷òî êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå äîëæíî èìåòü îðáèòàëüíûé óãëîâîé ìîìåíò l = 1 è ñóììàðíûé ñïèí íåéòðîíîâ s = 1. (Äðóãèå âîçìîæíîñòè: l = 1, s = 0; l = 0, s = 1; l = 2, s = 1, ðàçðåøåííûå çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà, çàïðåùåíû òðåáîâàíèåì àíòèñèììåòðèè êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè äâóõ íåéòðîíîâ.) Òàê êàê l = 1 â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò íå÷åòåí îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âñåõ 3-èìïóëüñîâ, òàê ÷òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âíóòðåííèå ÷åòíîñòè ÷àñòèö â ýòîé ðåàêöèè äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

ηd ηπ − = − η2n . Èçâåñòíî, ÷òî äåéòðîí ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèåì ïðîòîíà è íåéòðîíà ñ ÷åòíûì óãëîâûì ìîìåíòîì (â îñíîâíîì, l = 0), è, êàê ìû âèäåëè, ïðîòîíó è íåéòðîíó ìîæíî ïðèïèñàòü îäèíàêîâóþ âíóòðåííþþ ÷åòíîñòü, òàê ÷òî ηd = ηn2. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî η π − = −1 , ò. å. ïèîí ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðíîé ÷àñòèöåé. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî π+ è π0 òàêæå èìåþò îòðèöàòåëüíóþ âíóòðåííþþ ÷åòíîñòü, êàê è ñëåäóåò îæèäàòü, èñõîäÿ èç ñèììåòðèè ìåæäó ýòèìè ÷àñòèöàìè (èçîòîïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè). Íàëè÷èå ó ïèîíà îòðèöàòåëüíîé âíóòðåííåé ÷åòíîñòè ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì óäèâèòåëüíûì ñëåäñòâèÿì. ×àñòèöà ñî ñïèíîì íóëü, ðàñïàäàþùàÿñÿ íà òðè ïèîíà, äîëæíà îáëàäàòü âíóòðåííåé ÷åòíîñòüþ ηπ3 = –1, òàê êàê â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå, â êîòîðîé ðàñïàäàþùàÿñÿ ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèÿì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò âçàèìíûõ ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé èìïóëüñîâ ïèîíîâ, êîòîðûå âñå ÷åòíû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà âñåõ èìïóëüñîâ. (Ñìåøàííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå p1⋅(p2 × p3), ïîñòðîåííîå èç òðåõ èìïóëüñîâ ïèîíîâ, îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê êàê p1 + p2 + p3 = 0.) Ïî òîé æå ïðè÷èíå ÷àñòèöà ñî ñïèíîì íóëü, ðàñïàäàþùàÿñÿ íà äâà ïèîíà, äîëæíà èìåòü âíóòðåííþþ ÷åòíîñòü ηπ2 = +1.  ÷àñòíîñòè, ñðåäè ñòðàííûõ ÷àñòèö, îòêðûòûõ â êîíöå 1940 ãîäîâ, êàçàëîñü, îáíàðóæèëèñü äâå ðàçíûå ÷àñòèöû ñ íóëåâûì ñïèíîì (÷òî áûëî óñòàíîâëåíî ïî óãëîâîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðîäóêòîâ èõ ðàñïàäà). Îäíà èç ÷àñòèö, íàçâàííàÿ τ, áûëà èäåíòèôèöèðîâàíà ïî ðàñïàäó íà òðè ïèîíà, è ïîýòîìó åé áûëà ïðèïèñàíà ÷åòíîñòü −1, à äðóãàÿ ÷àñòèöà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

169

θ áûëà îáíàðóæåíà ïî ðàñïàäó íà äâà ïèîíà, è åé áûëà ïðèïèñàíà ÷åòíîñòü +1. Îòêðûòèå ïðåâðàòèëîñü â ïðîáëåìó, òàê êàê áîëåå äåòàëüíîå èçó÷åíèå ñâîéñòâ τ è θ âñå ÿñíåå ïîêàçûâàëî, ÷òî ýòè ÷àñòèöû èìåþò îäèíàêîâûå ìàññû è âðåìåíà æèçíè. Ïîñëå ìíîãèõ ïðåäëàãàâøèõñÿ ðåøåíèé ýòîé çàãàäêè, Ëè è ßíã â 1956 ãîäó ðàçðóáèëè ãîðäèåâ óçåë è ïðåäïîëîæèëè, ÷òî τ è θ ïðåäñòàâëÿþò îäíó è òó æå ÷àñòèöó (èçâåñòíóþ ñåé÷àñ êàê K±), íî â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, îòâåòñòâåííûõ çà ðàñïàä ýòîé ÷àñòèöû, ïðîñòî íå ñîõðàíÿåòñÿ ÷åòíîñòü 12. Êàê ìû äåòàëüíî ïîêàæåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ýòîé ãëàâû, âåðîÿòíîñòü ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà α → β (ãäå α ≠ β) ïðîïîðöèîíàëüíà |Sβα|2, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà âñåõ 3-èìïóëüñîâ. Äî òåõ ïîð, ïîêà ñîñòîÿíèÿ α è β ñîäåðæàò îïðåäåëåííîå ÷èñëî ÷àñòèö êàæäîãî òèïà, ôàçîâûå ìíîæèòåëè â (3.3.42) íåñóùåñòâåííû ïðè âû÷èñëåíèè |S βα| 2, è èç (3.3.42) âûòåêàåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà α → β èíâàðèàíòíà ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ çíàêà âñåõ 3-èìïóëüñîâ. Êàê ìû âèäåëè, äëÿ ðàñïàäîâ K-ìåçîíà íà äâà èëè òðè ïèîíà ýòî ñâîéñòâî — òðèâèàëüíîå ñëåäñòâèå èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèÿì, íî â áîëåå ñëîæíûõ ïðîöåññàõ îíî äàåò íåòðèâèàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòè. Òàê, ñëåäóÿ òåîðåòè÷åñêèì ïðåäëîæåíèÿì Ëè è ßíãà, Âó âìåñòå ñ ãðóïïîé èññëåäîâàòåëåé èç Íàöèîíàëüíîãî Áþðî ñòàíäàðòîâ ÑØÀ èçìåðèëà óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè â β-ðàñïàäå ïîëÿðèçîâàííûõ ÿäåð Co60 → Ni60 + e− +ν 13. (Èìïóëüñû àíòèíåéòðèíî èëè ÿäðà íèêåëÿ â ýòîì ýêñïåðèìåíòå íå èçìåðÿëèñü.) Îáíàðóæèëîñü, ÷òî ýëåêòðîíû ïðåäïî÷òèòåëüíî âûëåòàþò â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ ñïèíà ðàñïàäàþùåãîñÿ ÿäðà, ÷òî áûëî áû íåâîçìîæíî, åñëè áû âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà áûëà èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî çàìåíû âñåõ 3-èìïóëüñîâ íà ïðîòèâîïîëîæíûå. Ïîõîæèé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí ïðè èçó÷åíèè ðàñïàäà ïîëîæèòåëüíîãî ìþîíà (ïîëÿðèçîâàííîãî â ïðîöåññå îáðàçîâàíèÿ â ðåàêöèè π+ → µ+ + ν) íà ïîçèòðîí, íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî 14. Òàêèì îáðàçîì, ñòàëî ÿñíî, ÷òî ÷åòíîñòü äåéñòâèòåëüíî íå ñîõðàíÿåòñÿ â ïðîöåññàõ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, îòâåòñòâåííîãî çà ýòè ðàñïàäû. Òåì íå ìåíåå, ïî ïðè÷èíàì, îáñóæäàåìûì â ðàçäåëå 12.5, ÷åòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ â ñèëüíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ è ïîýòîìó ïðîäîëæàåò èãðàòü âàæíóþ ðîëü â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

170

Îáðàùåíèå âðåìåíè Ìû âèäåëè â ðàçäåëå 2.6, ÷òî îïåðàòîð îáðàùåíèÿ âðåìåíè T, äåéñòâóÿ íà îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå Ψ p,σ,n , äàåò ñîñòîÿíèå ΨPp,−σ,n ñ ïåðåâåðíóòûìè ñïèíîì è èìïóëüñîì, óìíîæåííîå íà ôàçó ζn(−1)j-σ. Ìíîãî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå, êàê îáû÷íî, ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, íå ñ÷èòàÿ òîãî, ÷òî ïîñêîëüêó ðå÷ü èäåò î ïðåîáðàçîâàíèè îáðàùåíèÿ âðåìåíè, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî èí- è àóò- ñîñòîÿíèÿ ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè: TΨp±1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = ζ n1 ( −1) j1 − σ1 ζ n2 ( −1) j2 − σ2 . . . ΨPmp1 − σ1n1 ; Pp2 − σ2 n2 ;... . (3.3.43)

(Îïÿòü æå, ýòî âåðíî äëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö; íåîáõîäèìûå äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ìîäèôèêàöèè î÷åâèäíû.) Äàëåå áóäåò óäîáíî çàïèñûâàòü ýòó ôîðìóëó êðàòêî â âèäå TΨα± = ΨTm α ,

(3.3.44)

ãäå T ñîäåðæèò â ñåáå èçìåíåíèå çíàêà 3-èìïóëüñîâ è ñïèíîâ, à òàêæå óìíîæåíèå íà ôàçîâûå ìíîæèòåëè, âûïèñàííûå â (3.3.43). Òàê êàê T — àíòèóíèòàðíûé îïåðàòîð, òî

(Ψβ− , Ψα+ ) = ( TΨα+ , TΨβ− ) ,

(3.3.45)

è óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè S-ìàòðèöû ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè ïðèíèìàåò âèä Sβ,α = ST α , T β ,

(3.3.46)

èëè, ïîäðîáíåå, Sp1′ σ1′ n1′ ; p2′ σ2′ n2′ ;...,p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = ζ n1′ ( −1) j1′ − σ1′ ζ n2′ ( −1) j2′ − σ2′ . . . ζ * n1 ( −1) j1 − σ1 ζ * n2 ( −1) j2 − σ2 . . .

× SPp1 − σ1n1 ; Pp2 − σ2 n2 ;...; Pp1′ − σ1′ n1′ ; Pp2′ − σ2′ n2′ ;... .

(3.3.47)

Çàìåòèì, ÷òî â äîïîëíåíèå ê îáðàùåíèþ èìïóëüñîâ è ñïèíîâ ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ñîñòîÿíèÿ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ ñèììåòðèè, âêëþ÷àþùåé îáðàùåíèå âðåìåíè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

171

S-ìàòðèöà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè îïåðàòîð T0, èíäóöèðóþùèé ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàùåíèÿ âðåìåíè íà ñîñòîÿíèÿõ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, T0 Φ α ≡ Φ T α

(3.3.48)

êîììóòèðóåò íå òîëüêî ñ ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíûõ ÷àñòèö (÷òî âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè), íî è ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ: (3.3.49) T0−1H0 T0 = H0 ,

T0−1VT0 = V .

(3.3.50)

 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü T = T0 è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (3.1.13) èëè (3.1.16), ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàùåíèÿ âðåìåíè äåéñòâóþò èìåííî òàê, êàê óòâåðæäàåòñÿ â (3.3.44). Íàïðèìåð, äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì T íà óðàâíåíèå Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà (3.1.16) è ïîëüçóÿñü (3.3.48)−(3.3.50), èìååì

TΨα± = Φ Tα + [Eα − H0 m iε ]−1 TΨα± , ãäå èç-çà àíòèóíèòàðíîñòè T èçìåíåí çíàê ó ôàêòîðà ±iε. Ýòî óðàâíåm , ÷òî è ïîäòâåðæäàåò ôîðìóëó íèå Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà äëÿ ΨTα (3.3.44). Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó T − àíòèóíèòàðíûé îïåðàòîð, îí èçìåíÿåò çíàê i â ýêñïîíåíòå â âûðàæåíèè äëÿ Ω(t), òàê ÷òî

TΩ( −∞)Φ α = Ω(∞)Φ Tα , è îïÿòü ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà (3.3.44).  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ñîõðàíåíèþ ÷åòíîñòè, óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè (3.3.46) íå ãîâîðèò íàì â îáùåì ñëó÷àå, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà α → β ñîâïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ ïðîöåññà T α → T β. Îäíàêî íå÷òî ïîäîáíîå èìååò ìåñòî â ñëó÷àÿõ, êîãäà S-ìàòðèöà èìååò âèä (0) (1) + Sβα Sβα = Sβα ,

(3. 3. 51)

ãäå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S(1) ìàëû, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S(0) äëÿ êàêîãî-òî êîíêðåòíîãî ïðîöåññà ðàâíû íóëþ, õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

172

îíè ìíîãî áîëüøå, ÷åì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S(1). (Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðîöåññ ÿäåðíîãî β-ðàñïàäà N → N′ + e− +ν, ïðè÷åì S(0) — òà ÷àñòü S-ìàòðèöû, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñèëüíûì ÿäåðíûì è ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèÿìè, à ñëàãàåìîå S(1) — ïîïðàâêà ê S-ìàòðèöå, öåëèêîì îáóñëîâëåííàÿ ñëàáûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Âðàçäåëå 3.5 ïîêàçûâàåòñÿ, êàê ìîæíî â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ S-ìàòðèöû â âèäå (3.3.51) ñ ïîìîùüþ «áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ èñêàæåííûõ âîëí».  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ S(0) — ïðîñòî åäèíè÷íûé îïåðàòîð.)  ïåðâîì ïîðÿäêå ïî S(1) óñëîâèå óíèòàðíîñòè äëÿ S-îïåðàòîðà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå 1 = S†S = S(0)† S(0) + S(0)† S(1) + S(1)†S(0) .

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî íóëåâîãî ïîðÿäêà S(0)†S(0) = 1, ïîëó÷àåì äëÿ S(1) óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè: S(1) = − S(0) S(1)†S(0) .

(3.3.52)

Åñëè ìàòðèöà S(1), òàê æå, êàê è S(0), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ îáðàùåíèÿ âðåìåíè (3.3.46), ñîîòíîøåíèå (3.3.52) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:

z z

(1) (0) (1)* ( 0) = − dγ dγ ′ Sβγ Sβα ′ STγ ′Tγ Sγα .

(3.3.53)

Ïîñêîëüêó S(0) − óíèòàðíûé îïåðàòîð, âåðîÿòíîñòè ïðîöåññîâ α → β è T α → T β îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè, åñëè ïðîñóììèðîâàòü ïî íàáîðàì I è F íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ïîëíûìè ïî îòíîøåíèþ ê S(0). (Ïîä ñëîâîì «ïîëíûé» çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî åñëè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû Sα(0)′α íå ðàâíû íóëþ è ëèáî α, ëèáî α′ ïðèíàäëåæàò I, òî îáà ñîñòîÿíèÿ ïðèíàäëåæàò I ; àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî è äëÿ F.)  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå «ïîëíûå» íàáîðû I è F ñîäåðæàò êàæäûé îäíî ñîñòîÿíèå; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàê íà÷àëüíîå, òàê è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè 2 iδ âåêòîðàìè S(0) ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè e2 iδ α è e β , ñîîòâåòñòâåííî. (Âåëè÷èíû δα è δβ íàçûâàþòñÿ «ñäâèãàìè ôàç»; îíè äåéñòâèòåëüíû, òàê êàê S(0) óíèòàðíà.)  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (3.3.53) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä (1) = −e Sβα

2 i ( δ α + δ β ) (1)* ST βT α

,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3. 3. 54)

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

173

îòêóäà ÿñíî, ÷òî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà S-ìàòðèöû äëÿ ïðîöåññà α → β òàêàÿ æå, êàê è äëÿ ïðîöåññà T α → T β. Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî â ÿäåðíîì β−ðàñïàäå (â ïðèáëèæåíèè, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñðàâíèòåëüíî ñëàáûì êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ýëåêòðîíîì è ÿäðîì â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè), ïîñêîëüêó è íà÷àëüíîå, è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Sìàòðèöû ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (ñ δα = δβ = 0). Îòñþäà, åñëè ïðèíèìàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè, äèôôåðåíöèàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü β−ðàñïàäà íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ, åñëè èçìåíèòü çíàêè èìïóëüñîâ è z−êîìïîíåíò σ ñïèíîâ âñåõ ÷àñòèö. Ýòî ïðåäñêàçàíèå íå ïðîòèâîðå÷èëî ýêñïåðèìåíòàì, ïðîâåäåííûì â 1956 ãîäó 13,14 , â êîòîðûõ áûëî îáíàðóæåíî íåñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè; òàê, èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè ñîâìåñòèìà ñ íàáëþäåíèåì, ÷òî ýëåêòðîíû îò ðàñïàäà ÿäðà Ñî60 → Ni60 + å− +ν ïðåèìóùåñòâåííî èñïóñêàþòñÿ â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ ñïèíà ÿäðà Ñî60. Êàê îïèñàíî íèæå, â 1964 ãîäó áûëî ïîëó÷åíî êîñâåííîå ïîäòâåðæäåíèå íàðóøåíèÿ èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè, íî îíà îñòàåòñÿ ïîëåçíîé ïðèáëèæåííîé ñèììåòðèåé â ñëàáûõ, à òàêæå â ñèëüíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ.  ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü áàçèñ ñîñòîÿíèé, äëÿ êîòîðûõ T α = α è T β = β è ôîðìóëà (3.3.54) ïðèíèìàåò âèä (1) = −e Sβα

2 i (δ α + δ β ) (1)* Sβα

,

(3. 3. 55)

(1) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî iSβα èìååò ôàçó δα + δβ ïî ìîäóëþ π. Ýòî óòâåðæäåíèå èçâåñòíî êàê òåîðåìà Âàòñîíà 15. Ôàçû, âõîäÿùèå â (3.3.54) è (3.3.55), ìîæíî èçìåðèòü â ïðîöåññàõ, ãäå íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ ìåæäó ðàçíûìè êîíå÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè. Íàïðèìåð, â ðàñïàäå ãèïåðîíà Λ ñî ñïèíîì 1/2 íà íóêëîí è ïèîí êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ìîæåò èìåòü îðáèòàëüíûé óãëîâîé ìîìåíò, ðàâíûé òîëüêî l = 0 èëè l = 1; óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ïèîíà îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ ñïèíà ãèïåðîíà Λ âêëþ÷àåò èíòåðôåðåíöèþ ýòèõ ñîñòîÿíèé, è ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Âàòñîíà çàâèñèò îò ðàçíîñòè ôàç δs − δp.

PT Õîòÿ ýêñïåðèìåíòû 1957 ãîäà ïî íåñîõðàíåíèþ ÷åòíîñòè íå èñêëþ÷èëè èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè, îíè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

174

ÿñíî ïîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå PT íå ñîõðàíÿåòñÿ. Åñëè áû ýòîò îïåðàòîð ñîõðàíÿëñÿ, îí äîëæåí áûë áûòü àíòèóíèòàðíûì ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ÷òî è îïåðàòîð T, òàê ÷òî â ïðîöåññàõ òèïà ÿäåðíîãî β−ðàñïàäà ñëåäñòâèÿ òàêîé èíâàðèàíòíîñòè èìåëè áû âèä ñîîòíîøåíèé, àíàëîãè÷íûõ (3.3.54): (1) = −e Sβα

2 i (δ α + δ β ) (1)* SP T βP T α

,

ãäå ïðåîáðàçîâàíèå PT èçìåíÿåò çíàêè âñåõ z−êîìïîíåíò ñïèíà, íî íå êîìïîíåíò èìïóëüñîâ. Ïðåíåáðåãàÿ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, ïîëó÷èì, ÷òî ýëåêòðîí â β-ðàñïàäå Ñî60 → Ni60 + å− +ν íå ìîæåò èìåòü ïðåèìóùåñòâåííîãî íàïðàâëåíèÿ âûëåòà ïî îòíîøåíèþ ê ñïèíó Co60, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íàáëþäåíèÿì. C, CP è CPT Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå âíóòðåííåé ñèììåòðèè, íàçûâàåìîå çàðÿäîâûì ñîïðÿæåíèåì, êîòîðîå çàìåíÿåò ÷àñòèöû íà àíòè÷àñòèöû è íàîáîðîò. Ôîðìàëüíî ýòî òðåáóåò ñóùåñòâîâàíèÿ óíèòàðíîãî îïåðàòîðà Ñ, êîòîðûé ñëåäóþùèì îáðàçîì äåéñòâóåò íà ìíîãî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ:

CΨp±1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = ξ n1 ξ n2 . . . Ψp± σ n c ; p σ 1 1 1

c 2 2 n2 ;...

(3.3.56)

ãäå nc − àíòè÷àñòèöà ê ÷àñòèöå òèïà n, à ξn − åùå îäíà ôàçà. Åñëè ýòî âåðíî êàê äëÿ èí-, òàê è äëÿ àóò- ñîñòîÿíèé, òî S−ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì èíâàðèàíòíîñòè Sp1′ σ1′ n1′ ; p2′ σ2′ n2′ ;...,p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = ξ *n1′ ξ *n2′ . . . ξ n1 ξ n2 . . . Sp′ σ ′ n ′ c ; p′ σ ′ n ′ c ;...,p σ 1 1 1

2 2 2

1

(3.3.57) c c 1n1 ; p2σ 2 n2 ;...

Êàê è â ñëó÷àå äðóãèõ âíóòðåííèõ ñèììåòðèé, S-ìàòðèöà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ýòèì óñëîâèÿì, åñëè îïåðàòîð Ñ0, äåéñòâóþùèé íà ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö òàê, êàê óêàçàíî â (3.3.56), êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ V è ñî ñâîáîäíûì ãàìèëüòîíèàíîì H0; â ýòîì ñëó÷àå ïîëàãàåì C = C0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.3. Ñèììåòðèè S-ìàòðèöû

175

Ôàçû ξn íàçûâàþòñÿ çàðÿäîâûìè ÷åòíîñòÿìè. Êàê è â ñëó÷àå îáû÷íûõ ÷åòíîñòåé ηn, âåëè÷èíû ξn â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíû íåîäíîçíà÷íî, òàê êàê äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà Ñ, óäîâëåòâîðÿþùåãî (3.3.56), ìîæíî íàéòè äðóãîé òàêîé îïåðàòîð ñ äðóãèìè ξn, óìíîæèâ Ñ íà ëþáîå ôàçîâîå ïðåîáðàçîâàíèå âíóòðåííåé ñèììåòðèè, íàïðèìåð, íà exp(iαB + iβL + iγQ). Çàðÿäîâûå ÷åòíîñòè ìîãóò áûòü èíäèâèäóàëüíî èçìåðåíû òîëüêî äëÿ ïîëíîñòüþ íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö âðîäå ôîòîíà èëè íåéòðàëüíîãî ïèîíà, êîòîðûå íå õàðàêòåðèçóþòñÿ íèêàêèìè ñîõðàíÿþùèìèñÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè è ñîâïàäàþò ñî ñâîèìè àíòè÷àñòèöàìè.  ðåàêöèÿõ, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò òîëüêî ïîëíîñòüþ íåéòðàëüíûå ÷àñòèöû, â ñèëó (3.3.57) ïðîèçâåäåíèÿ çàðÿäîâûõ ÷åòíîñòåé â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ äîëæíû áûòü ðàâíû. Íàïðèìåð, êàê áóäåò äàëåå ïîêàçàíî, â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ôîòîí îáëàäàë çàðÿäîâîé ÷åòíîñòüþ ηγ = −1, òàê ÷òî èç íàáëþäåíèÿ ðàñïàäà íåéòðàëüíîãî ïèîíà π0 → 2γ âûòåêàåò, ÷òî ηπ = +1; îòñþäà æå ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ π0 → 3γ äîëæåí áûòü çàïðåùåí, ÷òî è íàáëþäàåòñÿ íà ñàìîì äåëå. Äëÿ äâóõ ðàññìîòðåííûõ ÷àñòèö çàðÿäîâûå ÷åòíîñòè äåéñòâèòåëüíû è ðàâíû +1 èëè −1. Êàê è â ñëó÷àå îáû÷íîé ÷åòíîñòè, ýòî áóäåò âñåãäà òàê, åñëè âñå âíóòðåííèå ñèììåòðèè ôàçîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿþòñÿ ÷ëåíàìè íåïðåðûâíûõ ãðóïï ôàçîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîòîìó ÷òî òîãäà ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü îïåðàòîð Ñ, óìíîæèâ åãî íà îáðàòíûé êâàäðàòíûé êîðåíü âíóòðåííåé ñèììåòðèè, ðàâíîé Ñ2, òàê ÷òî ïîñëå ýòîãî íîâûé îïåðàòîð Ñ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ Ñ2 = 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðåàêöèé èç ôîðìóëû (3.3.57) âûòåêàåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü íåêîòîðîãî ïðîöåññà ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî æå ïðîöåññà, â êîòîðîì âñå ÷àñòèöû çàìåíåíû íà ñîîòâåòñòâóþùèå àíòè÷àñòèöû. Ýòî óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî íå ïðîòèâîðå÷èëî ýêñïåðèìåíòàì ïî íåñîõðàíåíèþ ÷åòíîñòè, âûïîëíåííûì â 1957 ãîäó (åùå äîëãî ïðèäåòñÿ æäàòü, ïðåæäå ÷åì êòî-íèáóäü ñóìååò íàáëþäàòü β−ðàñïàä ÿäåð àíòèêîáàëüòà), îäíàêî ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî Ñ íå ñîõðàíÿåòñÿ â òåîðèè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, ïðåäëîæåííîé Ëè è ßíãîì 12 äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü íåñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè. (Íèæå áóäåò äîêàçàíî, ÷òî íàáëþäàåìîå íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ TP âëå÷åò íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ Ñ â ëþáîé ïîëåâîé òåîðèè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé, à íå òîëüêî â òîì åå âàðèàíòå, êîòîðûé ðàññìîòðåëè Ëè è ßíã.) Ñåé÷àñ óæå ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî êàê Ñ, òàê è Ð íå ñîõðàíÿþòñÿ â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, îòâåòñòâåííûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

176

çà ïðîöåññû òèïà β−ðàñïàäà èëè ðàñïàäîâ ïèîíà è ìþîíà, îäíàêî è Ñ, è Ð ñîõðàíÿþòñÿ â ñèëüíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ. Õîòÿ ðàííèå ýêñïåðèìåíòû ïî íåñîõðàíåíèþ ÷åòíîñòè ïîêàçàëè, ÷òî íè Ñ, íè Ð íå ñîõðàíÿþòñÿ â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, îñòàâàëàñü âñå æå âîçìîæíîñòü, ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå ÑÐ óíèâåðñàëüíî ñîõðàíÿåòñÿ.  òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåò îæèäàëîñü (õîòÿ è íå ñ ïîëíîé óâåðåííîñòüþ), ÷òî áóäåò ýêñïåðèìåíòàëüíî äîêàçàíî óíèâåðñàëüíîå ñîõðàíåíèå ÑÐ. Òàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïðèâîäèò ê îñîáåííî âàæíûì ñëåäñòâèÿì â îòíîøåíèè ñâîéñòâ íåéòðàëüíûõ Kìåçîíîâ.  1954 ãîäó Ãåëë-Ìàíí è Ïàéñ 16 îòìåòèëè, ÷òî ïîñêîëüêó K0 íå ñîâïàäàåò ñî ñâîåé àíòè÷àñòèöåé (K0 îáëàäàåò íåíóëåâûì çíà÷åíèåì ïðèáëèæåííî ñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû, íàçâàííîé ñòðàííîñòüþ), òî ÷àñòèöàìè ñ îïðåäåëåííûì âðåìåíåì æèçíè áóäóò íå K0 èK0, à èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè K0 ±K0. Ñíà÷àëà ýòî îáúÿñíÿëîñü ñ ïîìîùüþ óòâåðæäåíèÿ î ñîõðàíåíèè Ñ, íî êîãäà îáíàðóæèëîñü, ÷òî çàðÿäîâàÿ ÷åòíîñòü Ñ íå ñîõðàíÿåòñÿ â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, àíàëîãè÷íûå àðãóìåíòû áûëè ïîâòîðåíû íà îñíîâå ñîõðàíåíèÿ ÑÐ. Åñëè ïðîèçâîëüíî îïðåäåëèòü ôàçû îïåðàòîðà ÑÐ òàê, ÷òî â ñîñòîÿíèÿõ K0 èK0 CPΨK 0 = ΨK 0 , CPΨK 0 = ΨK 0 ,

òî ìîæíî îïðåäåëèòü çàðÿäîâî-ñàìîñîïðÿæåííûå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

ΨK 0 ≡ 1

1 2

[ΨK 0 + ΨK 0 ],

ΨK 0 ≡ 2

1 2

[ΨK 0 − ΨK 0 ],

èìåþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÑÐ, ðàâíûå +1 è −1, ñîîòâåòñòâåííî. Íàèìåíüøåå âðåìÿ æèçíè èìåþò ýòè ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî ðàñïàäà íà äâà ïèîíà, îäíàêî ñîõðàíåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ÑÐ ïîçâîëÿåò ýòî òîëüêî* äëÿ ñîñòîÿíèÿ K1, íî íå K2. Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî K2 ðàñïàäàåòñÿ ïî áîëåå ìåäëåííûì ìîäàì â òðè ïèî*Ñïèí íåéòðàëüíûõ K-ìåçîíîâ ðàâåí íóëþ, òàê ÷òî äâóõïèîííîå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå èìååò l = 0, à ñëåäîâàòåëüíî P = +1. Äàëåå, äëÿ äâóõ π0 Ñ = +1, òàê êàê C = +1 ó îòäåëüíîãî π0, è äëÿ ñîñòîÿíèÿ π+π− c l = 0 òàêæå C = +1, òàê êàê Ñ ïåðåñòàâëÿåò äâà ïèîíà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè

177

íà èëè â ïèîí, ìþîí (ýëåêòðîí) è íåéòðèíî. Òåì íå ìåíåå, â 1964 ãîäó Ôèò÷ è Êðîíèí îáíàðóæèëè, ÷òî äîëãîæèâóùèé íåéòðàëüíûé K-ìåçîí ñ ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ âñå æå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ïèîíà 17. Âûâîä çàêëþ÷àëñÿ â òîì, ÷òî â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ÑÐ íå ñîõðàíÿåòñÿ ñòðîãî, õîòÿ ñòåïåíü ñîõðàíåíèÿ ìíîãî áîëüøå, ÷åì ó Ñ è Ð ïî îòäåëüíîñòè. Êàê ìû óâèäèì â ãë. 5, åñòü ñåðüåçíûå îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî, õîòÿ Ñ è ÑP íå ñîõðàíÿþòñÿ ïî îòäåëüíîñòè, ïðîèçâåäåíèå ÑÐÒ ñòðîãî ñîõðàíÿåòñÿ âî âñåõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, ïî êðàéíåé ìåðå. â ëþáîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Èìåííî ÑÐÒ îáåñïå÷èâàåò ñòðîãîå ñîîòâåòñòâèñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè è àíòè÷àñòèöàìè, â ÷àñòíîñòè, èç òîãî ôàêòà, ÷òî ÑÐÒ êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì, âûòåêàåò ñòðîãîå ðàâåíñòâî ìàññ ñòàáèëüíûõ ÷àñòèö è èõ àíòè÷àñòèö. Òàê êàê îïåðàòîð ÑÐÒ àíòèóíèòàðåí, ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ñâÿçûâàåò S-ìàòðèöó ïðîèçâîëüíîãî ïðîöåññà ñ S-ìàòðèöåé îáðàòíîãî ïðîöåññà, â êîòîðîì èçìåíåí çíàê âñåõ òðåòüèõ ïðîåêöèé ñïèíà è ÷àñòèöû çàìåíåíû íà àíòè÷àñòèöû. Îäíàêî â ñëó÷àå, êîãäà S-ìàòðèöà ìîæåò áûòü ðàçäåëåíà íà ìàëîå ñëàãàåìîå S(1), îïðåäåëÿþùåå äàííóþ ðåàêöèþ, è áîëüøîå ñëàãàåìîå S(0), äåéñòâóþùåå â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü òå æå äîâîäû, ÷òî è ïðè ðàññìîòðåíèè ñîõðàíåíèÿ Ò, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü âñÿêîãî ïðîöåññà ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî æå ïðîöåññà, â êîòîðîì ÷àñòèöû çàìåíåíû íà àíòè÷àñòèöû è ïåðåâåðíóòî íàïðàâëåíèå òðåòüåé êîìïîíåíòû ñïèíà, åñëè ïðè ýòîì ïðîâåäåíî ñóììèðîâàíèå ïî íàáîðàì íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïîëíûì ïî îòíîøåíèþ ê S(0).  ÷àñòíîñòè, õîòÿ ïàðöèàëüíûå âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà ÷àñòèöû â äâà êîíå÷íûõ ñîñòîÿ≠ 0 ìîãóò îòëè÷àòüñÿ îò ïàðöèàëüíûõ âåðîÿòíîñíèÿ β1 è β2 c Sβ(0) 1β2 òåé ðàñïàäà àíòè÷àñòèöû â äâà ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèÿ C P T β1 è C P T β2, ìû óâèäèì â ðàçäåëå 3.5, ÷òî (áåç âñÿêèõ ïðèáëèæåíèé) ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ëþáîé ÷àñòèöû ðàâíà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ðàñïàäà åå àíòè÷àñòèöû. Òåïåðü ìîæíî ïîíÿòü, ïî÷åìó îïûòû 1957 ãîäà ïî íåñîõðàíåíèþ ÷åòíîñòè ìîæíî áûëî èíòåðïðåòèðîâàòü â ðàìêàõ ñóùåñòâóþùåé òåîðèè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé êàê ñâèäåòåëüñòâî ñèëüíîãî íàðóøåíèÿ ñîõðàíåíèÿ Ñ è Ð, íî íå ÑÐ. Âñå ðàññìàòðèâàâøèåñÿ òåîðèè áûëè òåîðèÿìè ïîëÿ è ïîýòîìó àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿëè ÑÐÒ. Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî â ÿäåðíîì β−ðàñïàäå ñèëüíî íàðóøàåòñÿ ÐÒ, íî íå Ò, ïîýòîìó ëþáàÿ ñîâìåñòèìàÿ ñ ýòèìè ýêñïåðèìåíòàìè На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

178

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

òåîðèÿ, ñîõðàíÿþùàÿ ÑÐÒ, äîëæíà âêëþ÷àòü íåñîõðàíåíèå Ñ, íî íå ÑÐ. Àíàëîãè÷íîå íàáëþäåíèå â 1964 ãîäó ìàëîãî íàðóøåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÑÐ â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ñîâìåñòíî ñ ïðåäïîëàãàåìîé èíâàðèàíòíîñòüþ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé îòíîñèòåëüíî ÑÐÒ ñðàçó æå ïðèâåëî ê âûâîäó, ÷òî ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ íå ñîõðàíÿþò Ò ñòðîãî. Áîëåå äåòàëüíîå èçó÷åíèå ñèñòåìû K0 −K0 ïîäòâåðäèëî ýòîò âûâîä, íî äî ñèõ ïîð íå óäàëîñü íàéòè äðóãèõ ïðÿìûõ ñâèäåòåëüñòâ íàðóøåíèÿ èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè. 3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè Ýëåìåíò S-ìàòðèöû Sβα ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà α → β. Êàê ñâÿçàíà ýòà âåëè÷èíà ñ òåìè âåðîÿòíîñòÿìè è ñå÷åíèÿìè. êîòîðûå èçìåðÿþò ýêñïåðèìåíòàòîðû?  ÷àñòíîñòè, èç (3.3.2) âèäíî, ÷òî Sβα ñîäåðæèò ìíîæèòåëü δ4(pβ − pα), îáåñïå÷èâàþùèé ñîõðàíåíèå ïîëíûõ ýíåðãèè è èìïóëüñà. ×òî äîëæíû ìû äåëàòü ñ ìíîæèòåëåì [δ4(pβ − pα)]2 â âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà |Sβα|2? Ïðàâèëüíûé ñïîñîá ðàçðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîíÿòü, êàê ðåàëüíî ñòàâÿòñÿ ýêñïåðèìåíòû, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî âîëíîâûå ïàêåòû, îïèñûâàþùèå ëîêàëèçîâàííûå âäàëè äðóã îò äðóãà ÷àñòèöû ïåðåä ñîóäàðåíèåì, à çàòåì ïðîñëåæèâàÿ ýâîëþöèþ âî âðåìåíè òàêèõ ñóïåðïîçèöèé ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Íèæå ìû âìåñòî ýòîãî èñïîëüçóåì áûñòðûé è ïðîñòîé ñïîñîá âûâîäà îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûé ñêîðåå ÿâëÿåòñÿ äàæå íå âûâîäîì, à ìíåìîíè÷åñêèì ïðàâèëîì äëÿ çàïîìèíàíèÿ. Èçâèíåíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî (íàñêîëüêî ÿ çíàþ) ðàçáèðàòåëüñòâî òîíêîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ ýòèìè âîïðîñàìè, íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ðåøåíèÿ íè îäíîé èç èíòåðåñíûõ íåðåøåííûõ ôèçè÷åñêèõ ïðîáëåì. Ïóñòü âñÿ íàøà ñèñòåìà ôèçè÷åñêèõ ÷àñòèö çàêëþ÷åíà â áîëüøîé ÿùèê ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îáúåìà V. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ýòîò îáúåì êàê êóá ñ îòîæäåñòâëåííûìè òî÷êàìè íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ãðàíÿõ, òàê ÷òî èç òðåáîâàíèÿ åäèíñòâåííîñòè ïðîñòðàíñòâåííîé âîëíîâîé ôóíêöèè âûòåêàåò êâàíòîâàííîñòü èìïóëüñà: 2π p= (n , n n ) , (3.4.1) L 1 2 3

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè

179

ãäå ni — öåëûå ÷èñëà, à L3 ≡ V. Òîãäà âñå òðåõìåðíûå äåëüòà−ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

δ 3V (p ′ − p) ≡

1 (2π)3

z

V

d 3 x e i ( p − p ′)⋅x =

V δ p′,p , (2π)3

(3.4.2)

ãäå δp′,p — îáû÷íûé äåëüòà-ñèìâîë Êðîíåêåðà, ðàâíûé åäèíèöå, êîãäà èíäåêñû ñîâïàäàþò, è íóëþ, êîãäà îíè ðàçíûå. Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (3.1.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ èñïîëüçóåìûõ íàìè ñîñòîÿíèé ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â ÿùèêå íå ðàâíû ïðîñòî ñóììàì ïðîèçâåäåíèé êðîíåêåðîâñêèõ äåëüòà-ñèìâîëîâ, à ñîäåðæàò äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü [V/(2π)3]N, ãäå N — ÷èñëî ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè. ×òîáû âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ, íóæíî èñïîëüçîâàòü ñîñòîÿíèÿ ñ åäèíè÷íîé íîðìîé, ïîýòîìó ââåäåì íîðìèðîâàííûå â ÿùèêå ñîñòîÿíèÿ êàê

Ψαÿùèê ≡ [(2π)3 V ]Nα /2 Ψα ,

(3.4.3)

íîðìà êîòîðûõ

eΨ

ÿùèê , Ψαÿùèê β

j=δ

βα

(3.4.4)

,

ãäå δαβ — ïðîèçâåäåíèå êðîíåêåðîâñêèõ äåëüòà-ñèìâîëîâ äëÿ âñåõ 3-èìïóëüñîâ, ñïèíîâ è èíäåêñîâ ñîðòîâ ÷àñòèö ïëþñ ñëàãàåìûå ñ ïåðåñòàâëåííûìè ÷àñòèöàìè. Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî çàïèñàòü S-ìàòðèöó â âèäå ( Nβ + Nα )/2

Sβα = [ V (2π)3 ]

ÿùèê , Sβα

(3.4.5)

ÿùèê âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñîñòîÿíèÿìè (3.4.3). ãäå Sβα Êîíå÷íî, åñëè îñòàâèòü ÷àñòèöû â ÿùèêå íàâñåãäà, òî êàæäûé âîçìîæíûé ïåðåõîä áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ âíîâü è âíîâü. ×òîáû âû÷èñëèòü ðàçóìíóþ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà, ñëåäóåò çàêëþ÷èòü ñèñòåìó è â «ÿùèê ïî âðåìåíè». Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå âêëþ÷àåòñÿ òîëüêî íà âðåìÿ Ò. Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî äåëüòà-ôóíêöèÿ, âûðàæàþùàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, çàìåíÿåòñÿ íà

δ T ( E α − Eβ ) =

1 2π

z

T /2

− T /2

exp i(Eα − Eβ )t dt .

d

i

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.4.6)

180

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìíîãî÷àñòè÷íàÿ ñèñòåìà, íàõîäèâøàÿñÿ äî âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ â ñîñòîÿíèè α, îêàæåòñÿ ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ â ñîñòîÿíèè β, ðàâíà ÿùèê P(α → β) = Sβα

2

= (2π)3 V

( Nα + Nβ )

2

Sβα .

(3.4.7)

Ýòî âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â îäíî êîíêðåòíîå ñîñòîÿíèå β â ÿùèêå. ×èñëî îäíî÷àñòè÷íûõ ÿùè÷íûõ ñîñòîÿíèé â çàäàííîì ýëåìåíòå îáúåìà èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà d3p ðàâíî Vd3p/(2π)3, ò. ê. ýòî åñòü ÷èñëî òåõ òðîåê öåëûõ ÷èñëå n1, n2, n3, äëÿ êîòîðûõ èìïóëüñ (3.4.1) ïîïàäàåò â ýëåìåíò îáúåìà èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà d3p â îêðåñòíîñòè p. Ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåðâàë êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé dβ êàê ïðîèçâåäåíèå d3p äëÿ êàæäîé êîíå÷íîé ÷àñòèöû, òàê ÷òî ïîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé â ýòîì èíòåðâàëå dN β = [ V / (2π)3 ]

Nβ

dβ .

(3.4.8)

Îòñþäà ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà îêàæåòñÿ â èíòåðâàëå dβ êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé, ðàâíà dP(α → β) = P(α → β)dN β = (2π)3 V

Nα

2

Sβα dβ .

(3.4.9)

 ýòîì ðàçäåëå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òàêèõ êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé β, êîòîðûå íå òîëüêî îòëè÷àþòñÿ (õîòÿ è íåìíîãî) îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ α, íî è óäîâëåòâîðÿþò áîëåå æåñòêîìó îãðàíè÷åíèþ, çàêëþ÷àþùåìóñÿ â òîì, ÷òî íè îäíî ïîäìíîæåñòâî ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè β (îòëè÷íîå îò âñåãî ìíîæåñòâà) íå èìååò òî÷íî òîãî æå 4-èìïóëüñà, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùåå ïîäìíîæåñòâî ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè α. (Íà ÿçûêå, êîòîðûé áóäåò ââåäåí â ñëåäóþùåé ãëàâå, ýòî íà ñàìîì äåëå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñâÿçíóþ ÷àñòü S-ìàòðèöû.) Äëÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé ìîæíî îïðåäåëèòü íå ñîäåðæàùèé äåëüòà-ôóíêöèé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Mβα:

Sβα ≡ −2πiδ 3V (pβ − p α )δ T (Eβ − Eα )Mβα .

(3.4.10)

Ââåäåíèå ÿùèêà ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü êâàäðàòû äåëüòà− ôóíêöèé â |Sβα|2 ïðè β ≠ α ñëåäóþùèì îáðàçîì:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè

181

δ 3V (pβ − p α )

2

= δ 3V (pβ − p α )δ 3V (0) = δ 3V (pβ − p α ) V /(2π)3 ,

δ T ( Eβ − E α )

2

= δ T (Eβ − Eα )δ T (0) = δ T (Eβ − Eα )T /(2π) ,

òàê ÷òî èç (3.4.9) èìååì äèôôåðåíöèàëüíóþ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà

dP(α → β) = (2π)2 (2π)3 V

Nα − 1

(T / 2π)| Mβα |2

× δ 3V (pβ − pα )δ T (Eβ − Eα )dβ . Åñëè ñ÷èòàòü V è Ò î÷åíü áîëüøèìè, ïðîèçâåäåíèå äåëüòà− ôóíêöèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáû÷íóþ ÷åòûðåõìåðíóþ äåëüòà− ôóíêöèþ δ4(pβ − pα).  ýòîì ïðåäåëå âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè Ò, â òå÷åíèå êîòîðîãî âêëþ÷åíî âçàèìîäåéñòâèå, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äèôôåðåíöèàëüíóþ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà dΓ(α → β) ≡ dP(α → β) / T 2

= (2π)3Nα − 2 V 1− Nα Mβα δ 4 (pβ − pα )dβ ,

(3.4.11)

ãäå òåïåðü

Sβα ≡ −2πiδ 4 (pβ − pα )Mβα .

(3.4.12)

Ýòî îñíîâíàÿ ôîðìóëà, ïðèìåíÿåìàÿ äëÿ èíòåðïðåòàöèè âû÷èñëåíèé ýëåìåíòîâ S−ìàòðèöû â òåðìèíàõ ïðåäñêàçàíèé äëÿ ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Íèæå â ýòîì ðàçäåëå ìû åùå âåðíåìñÿ ê èíòåðïðåòàöèè ìíîæèòåëÿ δ4(pβ − pα)dβ. Äâà ñëó÷àÿ îñîáåííî âàæíû. Nα = 1.  ýòîì ñëó÷àå îáúåì V â ôîðìóëå (3.4.11) ñîêðàùàåòñÿ, è ïîëó÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ α â ïðîèçâîëüíîå ìíîãî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå β: 2

dΓ(α → β) = (2π) Mβα δ 4 (pβ − pα )dβ .

(3.4.13)

Êîíå÷íî, ýòà ôîðìóëà èìååò ñìûñë òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè âðåìÿ Ò, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò âçàèìîäåéñòâèå, ìíîãî ìåíüøå ñðåäíåãî âðåìåíè æèçíè τα ÷àñòèöû α, ïîýòîìó íåëüçÿ ïåðåéòè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

182

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ê ïðåäåëó Ò → ∞ â δT(Eα − Eβ).  ýòîé äåëüòà−ôóíêöèè îñòàåòñÿ íåóñòðàíèìàÿ øèðèíà ∆E g 1/T l 1/τα, òàê ÷òî ôîðìóëà (3.4.13) ïðèìåíèìà òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ïîëíàÿ øèðèíà ðàñïàäà 1/τα ìíîãî ìåíüøå, ÷åì ëþáàÿ õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ ïðîöåññà. Nα = 2.  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü (3.4.11) ïðîïîðöèîíàëüíà 1/V, èíûìè ñëîâàìè, ïëîòíîñòè êàêîé-òî èç ÷àñòèö â òîì ìåñòå, ãäå íàõîäèòñÿ äðóãàÿ. Ýêñïåðèìåíòàòîðû ïðåäïî÷èòàþò èçìåðÿòü íå âåðîÿòíîñòü, äåëåííóþ íà ïëîòíîñòü, à âåðîÿòíîñòü, îòíåñåííóþ ê ïîòîêó ÷àñòèö, èëè ñå÷åíèå. Ïîòîê êàæäîé ÷àñòèöû â òîì ìåñòå, ãäå íàõîäèòñÿ äðóãàÿ, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ïëîòíîñòè 1/V è îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè uα:

Φ α = uα / V .

(3.4.14)

(Îáùåå îïðåäåëåíèå uα äàíî íèæå; ïîêà ÷òî îãðàíè÷èìñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì: åñëè îäíà èç ÷àñòèö ïîêîèòñÿ, òî uα îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñêîðîñòü äðóãîé ÷àñòèöû.) Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàâíî: 2

dσ(α → β) ≡ dΓ (α → β) / Φ α = (2π) 4 u α−1 Mβα δ 4 (pβ − pα )dβ . (3.4.15)

Õîòÿ íàèáîëåå âàæíû ñëó÷àè Nα = 1 è Nα = 2, â ïðèíöèïå èçìåðèìû è âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ äëÿ Nα ≥ 3, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ èãðàþò âàæíóþ ðîëü â õèìèè, àñòðîôèçèêå è ò. ï. (Íàïðèìåð, â îäíîé èç îñíîâíûõ ðåàêöèé ñ âûñâîáîæäåíèåì ýíåðãèè íà Ñîëíöå äâà ïðîòîíà è ýëåêòðîí ïðåâðàùàþòñÿ â äåéòðîí è íåéòðèíî.)  ðàçäåëå 3.6 ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îñíîâíîé ôîðìóëû äëÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ (3.4.11) â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íà÷àëüíûõ ÷àñòèö Nα. Îáñóäèì òåïåðü âîïðîñ î ñâîéñòâàõ ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé âåðîÿòíîñòåé è ñå÷åíèé. Ýòî ïîìîæåò äàòü áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè u α â (3.4.15). Ïðàâèëî ëîðåíöîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.3.1) äëÿ S−ìàòðèöû óñëîæíåíî íàëè÷èåì çàâèñÿùèõ îò èìïóëüñà ìàòðèö, ñâÿçàííûõ ñî ñïèíîì êàæäîé ÷àñòèöû. ×òîáû îáîéòè ýòî óñëîæíåíèå, ðàññìîòðèì êâàäðàò ìîäóëÿ (3.3.1) (âûäåëèâ ïðåäâàðèòåëüíî ëîðåíö−èíâàðèàíòíóþ äåëüòà−ôóíêöèþ ñîãëàñíî (3.4.12)) è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì ñïèíàì.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè

183

( j) Òîãäà èç óíèòàðíîñòè ìàòðèö Dσσ ( W) (èëè èõ àíàëîãîâ äëÿ ÷àñòèö íóëåâîé ìàññû) ñëåäóåò, ÷òî, åñëè íå ñ÷èòàòü ýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîæèòåëåé â (3.3.1), òàêàÿ ñóììà ëîðåíö-èíâàðèàíòíà. Èíûìè ñëîâàìè, âåëè÷èíà

∑ Mβα ∏ E∏ E ≡ Rβα 2

ñïèíû

β

(3.4.16)

α

ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé 4-èìïóëüñîâ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ α è β. (Ñèìâîëû ïðîèçâåäåíèé ∏αE è ∏βE îçíà÷àþò ïðîèçâåäåíèå ýíåðãèé p0 = p2 + m2 âñåõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ α è β.) Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü ïðîñóììèðîâàííóþ ïî ñïèíàì âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà (3.4.13) â âèäå

∑ dΓ(α → β) = 2πEα−1Rβαδ4(pβ − pα )dβ / ∏β E .

ñïèíû

Ìíîæèòåëü dβ/∏βE ïðåäñòàâëÿåò ïðîèçâåäåíèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíûõ ýëåìåíòîâ îáúåìà (2.5.15) â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîýòîìó îí ñàì ëîðåíö-èíâàðèàíòåí. Òàêæå èíâàðèàíòíûìè ÿâëÿþòñÿ ìíîæèòåëè Rβα è δ4(pβ − pα), è îñòàåòñÿ åäèíñòâåííûé íåèíâàðèàíòíûé ìíîæèòåëü 1/Eα, ãäå Eα — ýíåðãèÿ åäèíñòâåííîé íà÷àëüíîé ÷àñòèöû. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ÷àñòèöû ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 1/E α . Êîíå÷íî, ýòî îáû÷íîå ðåëÿòèâèñòñêîå ñîêðàùåíèå âðåìåíè — ÷åì áûñòðåå ÷àñòèöà, òåì ìåäëåííåå îíà ðàñïàäàåòñÿ (ñ òî÷êè çðåíèÿ íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ). Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëà (3.4.15) äëÿ ïðîñóììèðîâàííîãî ïî ñïèíàì ñå÷åíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

∑

ñïèíû

dσ(α − β) = (2π)4 u α−1E1−1E2−1Rβα δ 4 (pα − pβ )dβ /

∏E, β

ãäå Å1 è Å2 — ýíåðãèè äâóõ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè α. Ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ñå÷åíèå (ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî ñïèíàì) êàê ëîðåíö− èíâàðèàíòíóþ ôóíêöèþ 4-èìïóëüñîâ. Ìíîæèòåëè Rβα, δ4(pβ − pα) è dβ/∏βE óæå ëîðåíö-èíâàðèàíòíû, ïîýòîìó òàêîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî íóæíî òàê îïðåäåëèòü îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü uα, ÷òîáû â ïðîèçâîëüíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ïðîèçâåäåíèå uαE1E2 áûëî ñêàëÿðîì. Ðàíåå îòìå÷àëîñü, ÷òî â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

184

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

îòñ÷åòà, â êîòîðîé îäíà èç ÷àñòèö (íàïðèìåð, ïåðâàÿ) ïîêîèòñÿ, uα åñòü ïðîñòî ñêîðîñòü äðóãîé ÷àñòèöû. Ýòî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò âèä uα â ïðîèçâîëüíûõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà *: uα =

(p1 ⋅ p2 )2 − m12 m22 / E1E2 ,

(3.4.17)

ãäå p1, p2 è m1, m2 − 4-èìïóëüñû è ìàññû äâóõ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè α. Ïîïóòíî çàìåòèì, ÷òî â «ñèñòåìå öåíòðà ìàññ», â êîòîðîé ïîëíûé 3-èìïóëüñ ðàâåí íóëþ, p1 = (p, E1),

p2 = (−p, E2)

èç (3.4.17) ïîëó÷àåì:

uα =

| p| (E1 + E2 ) p p = 1 − 2 , E1E2 E1 E2

(3.4.18)

êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè. Îäíàêî â òàêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà uα íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé ñêîðîñòüþ; â ÷àñòíîñòè, èç (3.4.18) âèäíî, ÷òî äëÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö ýòà âåëè÷èíà ìîæåò äîñòèãàòü çíà÷åíèÿ 2. Îáðàòèìñÿ ê èíòåðïðåòàöèè ìíîæèòåëÿ δ4(pβ − pα)dβ, íàçûâàåìîãî ôàçîâûì îáúåìîì. Îí ïîÿâëÿåòñÿ â îáùåé ôîðìóëå (3.4.11) äëÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ, à òàêæå â ôîðìóëàõ (3.4.13) è (3.4.15) äëÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïàäîâ è ñå÷åíèé. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ëîðåíöîâñêîé ñèñòåìû öåíòðà ìàññ, â êîòîðîé ïîëíûé 3-èìïóëüñ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâåí íóëþ: pα = 0 .

(3.4.19)

(Äëÿ Nα = 1 ýòî îòâå÷àåò ñëó÷àþ ðàñïàäà ïîêîÿùåéñÿ ÷àñòèöû.) Åñëè èìïóëüñû ÷àñòèö â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ðàâíû p′1, p′2, ..., òî *Èç (3.4.17) î÷åâèäíî, ÷òî uαE1E2 − ñêàëÿð. Êðîìå òîãî, êîãäà ÷àñòèöà 1 ïîêîèòñÿ, òî p1 = 0, E1 = m1, è p1⋅p2 = − m1E2, òàê ÷òî èç (3.4.17) ñëåäóåò: u α = E22 − m 22 / E2 =| p 2 |/E2 , ÷òî åñòü ïðîñòî ñêîðîñòü ÷àñòèöû 2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.4. Ñå÷åíèÿ è âåðîÿòíîñòè

δ 4 (pβ − pα )dβ = δ 3 (p1′ + p2′ + . . . )δ(E1′ + E2′ + . . .− E)d 3p1′ d 3 p2′ . . . ,

185

(3.4.20)

ãäå E ≡ Eα − ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ïî p′k, ñêàæåì, ïî p′1, ìîæåò áûòü òðèâèàëüíî âçÿò, åñëè ïðîñòî îïóñòèòü äåëüòà−ôóíêöèþ îò èìïóëüñîâ:

δ 4 (pβ − pα )dβ → δ(E1′ + E2′ +. . .−E)d3p2′ . . .

(3.4.21)

ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî, ãäå áû íå ïîÿâèëñÿ èìïóëüñ p′1 (íàïðèìåð, â E1′ ), åãî ñëåäóåò çàìåíèòü íà p′1 = −p′2 − p′3 − ...

(3.4.22)

Àíàëîãè÷íî ìîæíî èñïîëüçîâàòü îñòàâøóþñÿ äåëüòà−ôóíêöèþ äëÿ âû÷èñëåíèÿ åùå îäíîãî ëþáîãî èç îñòàâøèõñÿ èíòåãðàëîâ.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè íàõîäÿòñÿ äâå ÷àñòèöû, ôîðìóëà (3.4.21) ïðèíèìàåò âèä

δ 4 (pβ − pα )dβ → δ(E1′ + E2′ − E)d 3 p2′ . Ïîäðîáíåå, ðàñïèñûâàÿ d3p'2 â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå è âûðàæàÿ ýíåðãèè ÷àñòèö ÷åðåç ìîäóëè èõ èìïóëüñîâ è ìàññû, ïîëó÷èì:

δ 4 (pβ − pα )dβ → δ( | p1′ |2 + m1′ 2 + | p1′ |2 + m2′ 2 − E)| p1′ |2 d| p1′ | dΩ, (3.4.23) ãäå p′2 = − p′1 è dΩ ≡ sinθ dθ dϕ − äèôôåðåíöèàë òåëåñíîãî óãëà äëÿ p′1. Âûðàæåíèå (3.4.23) ìîæíî óïðîñòèòü, ïîëüçóÿñü ñòàíäàðòíîé ôîðìóëîé

δ( f (x)) = δ(x − x0 )/| f ′ (x0 )| , ãäå f(x) − ïðîèçâîëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ îäíèì ïðîñòûì íóëåì â òî÷êå x = x0.  íàøåì ñëó÷àå àðãóìåíò äåëüòà-ôóíêöèè Å′1+ Å′2 − Å â (3.4.23) èìååò åäèíñòâåííûé íóëü ïðè |p′1| = k′, ãäå k′ =

(E 2 − m1′ 2 − m2′ 2 )2 − 4m1′ 2 m2′ 2 / (2E) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.4.24)

186

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

E1′ =

k ′ 2 + m1′ 2 =

E 2 − m2′ 2 + m1′ 2 , 2E

(3.4.25)

E2′ =

k ′ 2 + m2′ 2 =

E 2 − m1′ 2 + m2′ 2 , 2E

(3.4.26)

à ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà

LM d MN d| p′ | e

| p1′ |2 + m1′ 2 + | p1′ |2 + m2′ 2 − E

1

=

k′ E1′

+

k′ E2′

=

k ′E E1′ E2′

O jPPQ

| p1′ | = k ′

.

(3.4.27)

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî îïóñòèòü äåëüòà-ôóíêöèþ è äèôôåðåíöèàë d|p′1| â (3.4.23), ðàçäåëèâ íà (3.4.27):

δ 4 (pβ − pα )dβ →

k ′E1′E2′ dΩ E

(3.4.28)

è ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî k′, E′1 è E′2 âåçäå äàëåå çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè (3.4.24)−(3.4.26).  ÷àñòíîñòè, äèôôåðåíöèàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü (3.4.13) ðàñïàäà îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñ íóëåâûì èìïóëüñîì è ýíåðãèåé Å íà äâå ÷àñòèöû ðàâíà

dΓ(α → β) 2πk ′E1′ E2′ = | Mβα |2 , dΩ E

(3.4.29)

à äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå äâóõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ 12 → 1′2′ äàåòñÿ ôîðìóëîé (3.4.15) â âèäå dσ(α → β) (2π) 4 k ′E1′ E2′ (2π) 4 k ′E1′ E2′ E1E2 | Mβα |2 = | Mβα |2 , (3.4.30) = dΩ Eu α E 2k

ãäå k ≡ |p1| = |p2|. Ðàññìîòðåííûé ñëó÷àé Nβ = 2 îñîáåííî ïðîñò, íî åñòü è îäèí êðàñèâûé ðåçóëüòàò äëÿ Nβ = 3, êîòîðûé ñòîèò óïîìÿíóòü. Ôîðìóëà (3.4.21) ïðè Nβ = 3 ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.5. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé

187

δ 4 (pβ − pα )dβ → d 3p2′ d 3p3′ × δ( | p1′ |2 + m1′ 2 + | p2′ |2 + m2′ 2 + | p3′ |2 + m3′ 2 − E) . Çàïèøåì ýëåìåíò îáúåìà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå êàê d 3 p2′ d 3 p3′ =| p2′ |2 d| p2′ | | p3′ |2 d| p3′ | dΩ 3 dϕ 23 d cos θ23 ,

ãäå dΩ3 − äèôôåðåíöèàë òåëåñíîãî óãëà äëÿ p′3, à θ23 è ϕ23 − ïîëÿðíûé è àçèìóòàëüíûé óãëû p′2 îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ p′3. Îðèåíòàöèÿ ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû p′2 è p′3, îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì ϕ23 è íàïðàâëåíèåì p′3, à îñòàþùèéñÿ óãîë θ23 ôèêñèðóåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: | p2′ |2 +2| p2′ | | p3′ | cos θ23 +| p3′ |2 + m1′ 2 + | p2′ |2 + m2′ 2 + | p3′ |2 + m3′ 2 = E .

Ïðîèçâîäíàÿ àðãóìåíòà äåëüòà−ôóíêöèè ïî cos θ23 ðàâíà

∂E1′ | p′ | | p′ | = 2 3 , E1′ ∂ cos θ23 òàê ÷òî ìîæíî âçÿòü èíòåãðàë ïî cos θ23, ïðîñòî îïóñòèâ äåëüòà− ôóíêöèþ è ðàçäåëèâ íà ýòó ïðîèçâîäíóþ: δ 4 (pβ − pα )dβ → | p2′ | d| p2′ | | p3′ | d| p3′ | E1′ dΩ 3dϕ 23 .

Çàìåíèâ èìïóëüñû íà ýíåðãèè, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî

δ 4 (pβ − pα )dβ → E1′ E2′ E3′ dE2′ dE3′ dΩ3 dϕ 23 .

(3.4.31)

Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî âåëè÷èíà (3.4.16). ïîëó÷åííàÿ ñóììèðîâàíèåì |Mβα|2 ïî ñïèíàì è óìíîæåíèåì íà ïðîèçâåäåíèå ýíåðãèé, ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé 4-èìïóëüñîâ. Åñëè ïðèáëèæåííî çàìåíèòü ýòîò ñêàëÿð êîíñòàíòîé, òî èç (3.4.31) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàñïðåäåëåíèå ñîáûòèé íà ïëîñêîñòè Å′2, Å′3 îäíîðîäíî. Âñÿêîå îòêëîíåíèå ðåàëüíî íàáëþäàåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáûòèé îò îäíîðîäíîãî — âàæíîå óêàçàíèå íà äèíàìèêó ïðîöåññà ðàñïàäà, âêëþ÷àÿ âîçìîæíûå öåíòðîáåæíûå áàðüåðû èëè ðåçîíàíñíûå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ. Êàðòèíêà ýòîé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

188

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ïëîñêîñòè ñ íàíåñåííûìè íà íåé òî÷êàìè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñîáûòèé íîñèò íàçâàíèå äèàãðàììû Äàëèöà 19 . Èìåííî Äàëèö âïåðâûå èñïîëüçîâàë åå â 1953 ãîäó äëÿ àíàëèçà íåëåïòîííîãî ðàñïàäà K+ → π+ + π+ + π–.. 3.5. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé Èñòîðè÷åñêè íàèáîëåå ïîëåçíîé òåõíèêîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ S−ìàòðèöû îêàçàëàñü òåîðèÿ âîçìóùåíèé, ò. å. ðàçëîæåíèå ïî ñòåïåíÿì âçàèìîäåéñòâèÿ V â ãàìèëüòîíèàíå Í = Í0 + V. Óðàâíåíèÿìè (3.2.7) è (3.1.18) S−ìàòðèöà çàäàåòñÿ â âèäå: + , Sβα = δ(β − α) − 2 iπδ(Eβ − Eα )Tβα + = (Φ β , VΨα+ ), Tβα

ãäå Ψα+ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëèïïìàíà−Øâèíãåðà (3.1.17): + Φγ Tγα + Ψα = Φ α + dγ . Eα − E γ + iε

X YZ

Ïîäåéñòâîâàâ íà ýòî óðàâíåíèå îïåðàòîðîì V è âçÿâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ Φβ, ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ T+: + = Vβα + Tβα

ãäå

X dγ YZ E

+ Vβγ Tγα , α − E γ + iε

(3.5.1)

Vβα ≡ (Φ β , VΦ α ).

(3.5.2)

Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ Tβα+ ïîëó÷àåòñÿ èç (3.5.1) ñ ïîìîùüþ èòåðàöèé: + = Vβα + Tβα

+

X dγ V V YZ E − E + iε

X dγdγ ′ YZ dE

βγ

α

γα

γ

Vβγ Vγγ ′ Vγ ′α α

− E γ + iε Eα − E γ ′ + iε

id

i

+. . .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.5.3)

3.5. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé

189

Ìåòîä ðàñ÷åòà, îñíîâàííûé íà ôîðìóëå (3.5.3) è ïðåîáëàäàâøèé ïðè âû÷èñëåíèÿõ S-ìàòðèöû â 1930-õ ãîäàõ, íàçûâàåòñÿ ñåé÷àñ ñòàðîé òåîðèåé âîçìóùåíèé. Î÷åâèäíûì íåäîñòàòêîì ýòîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêèå çíàìåíàòåëè â (3.5.3) ìàñêèðóþò ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü S-ìàòðèöû. Âñå æå ìåòîä èíîãäà ïðèìåíÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, êàêèì îáðàçîì ðàçëè÷íûå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïîðîæäàþò ñèíãóëÿðíîñòè S-ìàòðèöû.  áîëüøåé ÷àñòè ýòîé êíèãè ìû áóäåì îïèðàòüñÿ íà âèäîèçìåíåííóþ âåðñèþ ôîðìóëû (3.5.3), èçâåñòíóþ êàê çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè òåîðèÿ âîçìóùåíèé è îáëàäàþùóþ òåì ïðåèìóùåñòâîì, ÷òî ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü ñòàíîâèòñÿ áîëåå î÷åâèäíîé, õîòÿ íåñêîëüêî çàòåìíÿåòñÿ âêëàä îòäåëüíûõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá âûâîäà õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîãî ðàçëîæåíèÿ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû (3.2.5), ñîãëàñíî êîòîðîé îïåðàòîð S ðàâåí S = U (∞,−∞ ),

U ( τ, τ 0 ) ≡ exp(iH0 τ) exp(− iH(τ − τ 0 )) exp(− iH0 τ 0 ). Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî τ, ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå d i U (τ, τ 0 ) = V(τ)U (τ, τ 0 ), (3.5.4) dτ

V(t) ≡ exp(iH0 t) V exp(− iH0t).

(3.5.5)

(Ãîâîðÿò, ÷òî îïåðàòîðû ñ òàêîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè îïðåäåëåíû â êàðòèíå âçàèìîäåéñòâèÿ, ÷òîáû îòëè÷èòü èõ âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü îò çàâèñèìîñòè OH(t) = exp(iHt)OHexp(-iHt), ïðåäïèñûâàåìîé ãåéçåíáåðãîâñêîé êàðòèíîé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.) Êàê óðàâíåíèå (3.5.4), òàê è íà÷àëüíîå óñëîâèå U(τ0, τ0) = 1 î÷åâèäíî óäîâëåòâîðÿþòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ

U ( τ, τ 0 ) = 1 − i

z

τ

τ0

dtV(t)U (t, τ 0 ).

(3.5.6)

Èòåðèðóÿ ýòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå U(τ,τ0) ïî ñòåïåíÿì V:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

190

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

U (τ, τ 0 ) = 1 − i + ( − i) 3

τ

τ

z z z z z z τ0 τ

τ0

dt1V(t1 ) + (− i)2

dt1

t1

τ0

t2

dt2

τ0

τ0

dt1

t1

τ0

dt2 V(t1 ) V(t2 )

dt3 V(t1 ) V(t2 ) V(t3 )+ . . .

(3.5.7)

Ïîëàãàÿ τ = ∞ è τ0 = −∞, íàõîäèì ðàçëîæåíèå â ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ îïåðàòîðà S:

S = 1− i

z

∞

−∞

+ ( − i)3

∞

z z z z z

dt1V(t1 ) + (− i)2 ∞

−∞

dt1

t1

−∞

dt2

−∞ t2

−∞

dt1

t1

−∞

dt2 V(t1 ) V(t2 )

dt3 V(t1 ) V(t2 ) V(t3 ) + . . .

(3.5.8)

Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî òàêæå âûâåñòè ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ ïî ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé (3.5.3), åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôóðüåïðåäñòàâëåíèåì ýíåðãåòè÷åñêèõ çíàìåíàòåëåé: ( E α − E γ + iε ) − 1 = − i

z

∞

0

dτ exp i(Eα − E γ ) τ ,

d

i

(3.5.9)

ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî èíòåãðàëû äîëæíû âû÷èñëÿòüñÿ ïóòåì âêëþ÷åíèÿ îáåñïå÷èâàþùåãî ñõîäèìîñòü ìíîæèòåëÿ e−ετ â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñ ïîñëåäóþùèì óñòðåìëåíèåì ε → 0+. Ñóùåñòâóåò ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ (3.5.8) â âèäå, êîòîðûé î÷åíü ïîëåçåí ïðè ïðîâåäåíèè ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíûõ âû÷èñëåíèé. Îïðåäåëèì õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè îïåðàòîðîâ êàê ïðîèçâåäåíèå, â êîòîðîì ìíîæèòåëè ðàñïîëîæåíû â òàêîì ïîðÿäêå, ÷òî òîò, êîòîðûé îòâå÷àåò ñàìîìó ïîçäíåìó ìîìåíòó âðåìåíè, ðàñïîëàãàåòñÿ ëåâåå âñåõ, ñëåäóþùèì ðàñïîëàãàåòñÿ ìíîæèòåëü, îòâå÷àþùèé ñëåäóþùåìó ìîìåíòó âðåìåíè è ò. ä. Íàïðèìåð,

T{V(t)} = V(t), T{V(t1 )V(t2 )} = θ(t1 − t2 )V(t1 )V(t2 ) + θ(t2 − t1 )V(t2 )V(t1 ), è ò. ä., ãäå θ(τ) — ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ +1 ïðè τ > 0 è 0 ïðè τ < 0. Õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîå ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé V åñòü ñóììà ïî âñåì n! ïåðåñòàíîâêàì V, êàæäàÿ èç êîòîðûõ äàåò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.5. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé

191

òîò æå èíòåãðàë ïî âñåì t1,..., tn. Ïîýòîìó ìîæíî ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå (3.5.8) â âèäå ∞ ( − i) n ∞ S = 1+ dt dt . . . dtnT V(t1 ). . . V(tn ) . (3. 5. 10) n ! −∞ 1 2

∑

n =1

z

l

q

Èíîãäà ýòî âûðàæåíèå íàçûâàþò ðÿäîì Äàéñîíà 20. Åñëè âñå V(t) â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè êîììóòèðóþò, ðÿä ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü, è òîãäà

F H

S = exp − i

z

∞

−∞

I K

dtV(t) .

ßñíî, ÷òî îáû÷íî òàê íå áûâàåò; â îáùåì ñëó÷àå (3.5.10) äàæå íå ñõîäèòñÿ è ÿâëÿåòñÿ â ëó÷øåì ñëó÷àå àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ïî ñòåïåíÿì âõîäÿùåé â V êîíñòàíòû ñâÿçè. Îäíàêî èíîãäà (3.5.10) çàïèñûâàþò ôîðìàëüíî â âèäå

F H

S = T exp − i

z

∞

−∞

I K

dtV (t) ,

ãäå ñèìâîë Ò óêàçûâàåò, ÷òî âû÷èñëåíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü, ðàçëîæèâ åãî â ðÿä è õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷èâ êàæäûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ. Òåïåðü ìîæíî ñðàçó æå óêàçàòü îäèí áîëüøîé êëàññ òåîðèé, äëÿ êîòîðûõ S-ìàòðèöà ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíà. Òàê êàê åå ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè îïåðàòîðà S ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñâîáîäíûõ ÷àñòèö Φα, Φβ è ò. ä., âñå, ÷òî òðåáóåòñÿ, ýòî ÷òîáû S-îïåðàòîð êîììóòèðîâàë ñ ãåíåðàòîðàìè U0(Λ,a): H0, P0, J0 è K0. ×òîáû óäîâëåòâîðèòü ýòîìó òðåáîâàíèþ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî V(t) ìîæíî çàïèñàòü êàê èíòåãðàë ïî òðåõìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó: V (t) =

z

d 3 xH (x, t) ,

(3. 5. 11)

ãäå H(x) − ñêàëÿð â òîì ñìûñëå, ÷òî

U0 (Λ, a) H (x)U0−1 (Λ, a) = H (Λx + a).

(3. 5. 12)

(Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè a0 â áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü H(t) îò âðåìåíè ñîâìåñòèìà ñ (3.5.5).)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

192

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü S êàê ñóììó ÷åòûðåõìåðíûõ èíòåãðàëîâ

S = 1+

∞

∑

n =1

( − i) n n!

z

∞

−∞

l

q

dx1 . . . dx nT H (x1 ). . . H (x n ) .

(3. 5. 13)

Âñå âûðàæåíèå ñòàëî ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíûì, åñëè íå ñ÷èòàòü ïðîöåäóðû õðîíîëîãè÷åñêîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ. Õðîíîëîãè÷åñêîå óïîðÿäî÷èâàíèå äâóõ ìèðîâûõ òî÷åê x1, x2 ëîðåíö-èíâàðèàíòíî, åñëè òîëüêî ðàçíîñòü x1 − x2 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîé, ò. å. åñëè (x1 − x2)2 > 0. Òàêèì îáðàçîì, õðîíîëîãè÷åñêîå óïîðÿäî÷èâàíèå â (3.5.13) íå ïðèâîäèò ê âûäåëåíèþ ñïåöèàëüíîé ëîðåíöîâñêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, åñëè (õîòÿ ýòî è íå åäèíñòâåííîå óñëîâèå) âñå H(x) êîììóòèðóþò íà ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûõ èëè ñâåòîïîäîáíûõ ðàññòîÿíèÿõ *:

[ H (x), H (x ′)] = 0 ïðè (x − x ′)2 ≥ 0.

(3.5.14)

Ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 3.3 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìàëüíîå, íå îñíîâàííîå íà òåîðèè âîçìóùåíèé äîêàçàòåëüñòâî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå (3.5.11), óäîâëåòâîðÿþùåå (3.5.12) è (3.5.14), äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê S-ìàòðèöå ñ ïðàâèëüíûìè ñâîéñòâàìè îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëîãî áóñòà èç (3.5.12) èìååì

i[K 0 , H (x, t)] = t ⋅ ∇H (x, t) + x ⋅

∂ H (x, t), ∂t

(3.5.15)

òàê ÷òî, èíòåãðèðóÿ ïî x è ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷àåì:

z z

[K 0 , V ] = K 0 , d 3 xH (x,0) = [H0 , W ],

ãäå W≡

d 3 x x H (x,0).

(3.5.16) (3.5.17)

* Ìû çàïèñûâàåì óñëîâèå íà x è x′ â âèäå (x1 − x2)2 ≥ 0, à íå (x1 − x2)2 > 0, ïîñêîëüêó, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ãë. 6, ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü ìîæåò áûòü íàðóøåíà íåïðèÿòíûìè îñîáåííîñòÿìè ïðè x = x′.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.6. Ñëåäñòâèÿ óíèòàðíîñòè

193

Åñëè (êàê ýòî îáû÷íî èìååò ìåñòî) ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû H(x, 0) ìåæäó ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Í0 ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè, òî ýòî æå âåðíî êàê äëÿ V, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðèè ðàññåÿíèÿ, òàê è äëÿ W, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè. Äðóãèå óñëîâèÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè — ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.3.21) — òàêæå âûïîëíåíû, åñëè è òîëüêî åñëè 0 = [ W, V ] =

z z

d 3 x d 3 y x [ H (x,0), H (y,0)] .

(3. 5. 18)

Ýòî óñëîâèå, êîíå÷íî, ñëåäóåò è èç óñëîâèÿ «ïðè÷èííîñòè» (3.5.14), íî ñàìî ïî ñåáå äàåò ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè S-ìàòðèöû. Òåîðèè òàêîãî êëàññà — íå åäèíñòâåííûå ëîðåíö-èíâàðèàíòíûå òåîðèè. Îäíàêî è ñàìûå îáùèå òåîðèè íå ñëèøêîì îò íèõ îòëè÷àþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, âñåãäà äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ïåðåñòàíîâî÷íîå ñîîòíîøåíèå, ïîõîæåå íà (3.5.14). Îíî íå èìååò àíàëîãà â ñëó÷àå íåðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ õðîíîëîãè÷åñêîå óïîðÿäî÷èâàíèå âñåãäà èíâàðèàíòíî ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ. Èìåííî ýòî óñëîâèå ñòîëü æåñòêî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòü ñîåäèíåíèÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ñ ïðèíöèïàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè.

* * * Ìåòîäû, îïèñàííûå â äàííîì ðàçäåëå, ïîëåçíû ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð âçàèìîäåéñòâèÿ äîñòàòî÷íî ìàë. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ, èçâåñòíàÿ ïîä íàçâàíèåì áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ èñêàæåííûõ âîëí è ïðèìåíèìàÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð âçàèìîäåéñòâèÿ ñîäåðæèò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ

V = Vs + Vw ,

(3.5.19)

ïðè÷åì Vw ìàëî, à Vs âåëèêî. Ìîæíî îïðåäåëèòü Ψsα± êàê òå èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå áûëè áû â ñëó÷àå, åñëè áû âçàèìîäåéñòâèå îïèñûâàëîñü òîëüêî ñëàãàåìûì Vs:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

194

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Ψs±α = Φ α + (Eα − H0 ± iε) −1 Vs Ψs±α .

(3.5.20)

Òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü (3.1.16) â âèäå + = (Φβ , VΨα+ ) = Ψs−β − (Eβ − H0 − iε) −1 Vs Ψs−β ,( Vs + Vw )Ψα+ Tβα

d

= (Ψs−β , Vw Ψα+ ) + Ψs−β , Vs − Vs (Eβ − H0 + iε) −1 ( Vs + Vw )Ψα+

d

òàê ÷òî

+ = (Ψs−β , Vw Ψα+ ) + (Ψs−β , Vs Φ α ) . Tβα

i i, (3.5.21)

Âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè êàê ðàç ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì Tβα+, êîòîðûé äîëæåí áûë áû ïîëó÷èòüñÿ ïðè íàëè÷èè òîëüêî ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé:

Ts+βα ≡ (Φ β , Vs Ψs+α ) = (Ψs−β , Vs Φ α ).

(3. 5. 22)

(Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò ïðè âûâîäå (3.5.21) ïðîñòî îïóñòèòü âåçäå Vw.) Ôîðìóëà (3.5.21) íàèáîëåå ïîëåçíà â ñèòóàöèè, êîãäà ýòî âòîðîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü, ò. å. êîãäà ïðîöåññ α → β íå ìîæåò áûòü îáóñëîâëåí òîëüêî ñèëüíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. (Íàïðèìåð, â β-ðàñïàäå ÿäåð èìåííî ñëàáûå ÿäåðíûå ñèëû ïðåâðàùàþò íåéòðîíû â ïðîòîíû, õîòÿ è íåëüçÿ èãíîðèðîâàòü íàëè÷èå ñèëüíûõ ÿäåðíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ êàê â íà÷àëüíîì, òàê è â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ.) Äëÿ ïîäîáíûõ ïðîöåññîâ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (3.5.22) îáðàùàåòñÿ â íóëü, è óðàâíåíèå (3.5.21) ïðèíèìàåò âèä + = (Ψs−β , Vw Ψα+ ) . Tβα

(3. 5. 23)

Äî ñèõ ïîð âñå äåëàëîñü òî÷íî. Îäíàêî ïîäîáíûé ñïîñîá ïåðåïèñûâàíèÿ Ò−ìàòðèöû ñòàíîâèòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì, êîãäà îïåðàòîð Vw íàñòîëüêî ìàë, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âëèÿíèåì ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íà ñîñòîÿíèå Ψα+ â (3.5.23) è çàìåíèòü Ψα+ íà ñîñòîÿíèå Ψsα+, ó÷èòûâàþùåå òîëüêî ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå Vs.  ýòîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèå (3.5.23) ïðèíèìàåò âèä + Tβα g (Ψs−β , Vw Ψs+α ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3. 5. 24)

3.6. Ñëåäñòâèÿ óíèòàðíîñòè

195

Ýòà ôîðìóëà âåðíà â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî Vw, íî âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî Vs. Òàêîå ïðèáëèæåíèå î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ôèçèêå; íàïðèìåð, ýëåìåíò S-ìàòðèöû äëÿ β- èëè γ-ðàñïàäà ÿäåð âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.5.24), ãäå Vs — ñèëüíîå ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå, Vw — ñëàáîå ÿäåðíîå èëè ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå, ñîîòâåòñòâåííî, à Ψsβ− è Ψsα+ — êîíå÷íîå è íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèÿ ÿäåð. 3.6. Ñëåäñòâèÿ óíèòàðíîñòè Óñëîâèå óíèòàðíîñòè S-ìàòðèöû ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èíòåðåñíîå è ïîëåçíîå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå àìïëèòóäó Mαα ðàññåÿíèÿ âïåðåä äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ α ñ ïîëíîé âåðîÿòíîñòüþ âñåõ ðåàêöèé â ýòîì ñîñòîÿíèè. Íàïîìíèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ñîñòîÿíèÿ β è α ìîãóò êàê ñîâïàäàòü, òàê è íå ñîâïàäàòü, S-ìàòðèöà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå (3.3.2):

Sβα = δ(β − α) − 2πiδ 4 (pβ − pα )Mβα . Òîãäà óñëîâèå óíèòàðíîñòè ïðèíèìàåò âèä

δ( γ − α) =

z

* dβSβγ Sβα = δ( γ − α) − 2πiδ 4 (pγ − pα )M γα

z

* * Mβα . + 2πiδ 4 (pγ − pα )Mαγ + 4π 2 dβδ 4 (pβ − pγ )δ 4 (pβ − pα )Mβγ

Ñîêðàùàÿ δ(γ − α) è ìíîæèòåëü 2πδ4(pγ − pα), íàõîäèì, ÷òî ïðè pγ = pα

z

* * + 2π dβδ 4 (pβ − pα )Mβγ Mβα . 0 = − iM γα + iM αγ

(3.6.1)

Ýòî ñîîòíîøåíèå îñîáåííî ïîëåçíî â ÷àñòíîì ñëó÷àå α = γ, êîãäà îíî ïðèíèìàåò âèä

z

2

Im Mαα = − π dβδ 4 (pβ − pα ) Mβα .

(3.6.2)

Èñïîëüçóÿ (3.4.11), ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ôîðìóëû äëÿ âåðîÿòíîñòè âñåõ ðåàêöèé, âûçûâàåìûõ äàííûì íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì α â îáúåìå V:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

196

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Γα ≡

XY dβ dΓ(α → β) = (2π) dβ Z

=−

3Nα − 2

z

V 1− Nα dβδ 4 (pβ − pα ) Mβα

2

(3.6.3)

1 (2π)3Nα − 2 V 1− Nα Im Mαα . π

 ÷àñòíîñòè, åñëè α −äâóõ÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå, ìîæíî ïåðåïèñàòü ïîñëåäíþþ ôîðìóëó êàê uα σ α , (3.6.4) 16π 3 ãäå uα — îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü (3.4.17) â ñîñòîÿíèè α è σα — ïîëíîå ñå÷åíèå â ýòîì ñîñòîÿíèè, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (3.4.15) êàê Im Mαα = −

σα ≡

z

2

dβdσ(α → β) / dβ = (2π)4 u α−1 dβ Mβα δ 4 (pβ − pα ). (3.6.5)

z

Îáû÷íî ýòà ôîðìóëà çàïèñûâàåòñÿ íåñêîëüêî èíà÷å ñ ïîìîùüþ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ f(α → β). Èç ôîðìóëû (3.4.30) ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå äâóõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ðàâíî 2 dσ(α → β) (2π)4 k ′E1′E2′ E1E2 = Mβα , 2 dΩ kE

(3.6.6)

ãäå k′ è k − âåëè÷èíà èìïóëüñîâ íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé. Ïîýòîìó îïðåäåëèì àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì *:

f (α → β) ≡ −

4π 2 E

k ′E1′E2′ E1E2 Mβα , k

(3.6.7)

òàê ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå çàïèñûâàåòñÿ ïðîñòî êàê

dσ(α → β) 2 = f (α → β) . dΩ

(3.6.8)

* Çàìåòèì, ÷òî ôàçà f óñëîâíà è âûáèðàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èíòåðïðåòàöèåé f â ðàìêàõ âîëíîâîé ìåõàíèêè 21 êàê êîýôôèöèåíòà ïðè ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíå â ðåøåíèè ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Èñïîëüçîâàííàÿ íàìè íîðìèðîâêà f íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò îáùåïðèíÿòîé äëÿ íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ. Îáû÷íî f îïðåäåëÿþò òàê, ÷òî â âûðàæåíèè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå êîíå÷íîé è íà÷àëüíîé ñêîðîñòåé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.6. Ñëåäñòâèÿ óíèòàðíîñòè

197

 ÷àñòíîñòè, äëÿ óïðóãîãî äâóõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ f (α → β) ≡ −

4π 2 E1E2 Mβα . E

(3.6.9)

Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ (3.4.18) äëÿ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè uα ìîæíî ïåðåïèñàòü óñëîâèå óíèòàðíîñòè (3.6.4) â âèäå

Im f (α → α) =

k σ . 4π α

(3.6.10)

Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè (3.6.4) íîñèò íàçâàíèå îïòè÷åñêîé òåîðåìû 22. Ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîïûòíîå ñëåäñòâèå îïòè÷åñêîé òåîðåìû, ãîâîðÿùåå ìíîãîå î êàðòèíå ðàññåÿíèÿ ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ. Ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ f åñòü ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ óãëà, òàê ÷òî äîëæåí ñóùåñòâîâàòü íåêîòîðûé òåëåñíûé óãîë ∆Ω, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî âåëè÷èíà |f|2 ïî÷òè ðàâíà (íàïðèìåð, ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 2) ñâîåìó çíà÷åíèþ ïðè ðàññåÿíèè âïåðåä. Îòñþäà ïîëíîå ñå÷åíèå îãðàíè÷åíî âåëè÷èíîé

σα ≥

z

2

f dΩ ≥

1 1 2 2 f (α → α) ∆Ω ≥ Im f (α → α) ∆Ω. 2 2

Ñ ïîìîùüþ (3.6.10) íàõîäèì âåðõíèé ïðåäåë íà ∆Ω:

∆Ω ≤ 32π2 k2σ α .

(3.6.11)

Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, îáû÷íî ïîëíûå ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ ïîñòîÿííûìè èëè ìåäëåííî ðàñòóò ñ ýíåðãèåé. Ïîýòîìó èç (3.6.11) âûòåêàåò, ÷òî òåëåñíûé óãîë âîêðóã íàïðàâëåíèÿ âïåðåä, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ïðèìåðíî ïîñòîÿííî, ñóæàåòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå êàê 1/k2 ïðè k → ∞. Ýòîò âñå áîëåå óçêèé ïèê â íàïðàâëåíèè âïåðåä ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííûì ïèêîì. Âîçâðàùàÿñü ê îáùåìó ñëó÷àþ ðåàêöèé ñ ó÷àñòèåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö, ìîæíî èñïîëüçîâàòü (3.6.2) ñîâìåñòíî ñ CPT èíâàðèàíòíîñòüþ, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñâÿçü ïîëíûõ âåðîÿòíîñòåé âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö. Òàê êàê îïåðàòîð CPT

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

198

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

àíòèóíèòàðåí, åãî ñîõðàíåíèå íå ïðèâîäèò â îáùåì ñëó÷àå ê êàêèì-òî ïðîñòûì ñîîòíîøåíèÿì ìåæäó ïðîöåññîì α → β è ïðîöåññîì, â êîòîðîì âñå ÷àñòèöû çàìåíåíû íà ñâîè àíòè÷àñòèöû. Îäíàêî èç ýòîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò ñâÿçü ìåæäó ïðîöåññîì è îáðàòíûì ïðîöåññîì ñ ó÷àñòèåì àíòè÷àñòèö. Èñïîëüçóÿ òå æå àðãóìåíòû, ÷òî è ïðè âûâîäå ôîðìóëû (3.3.46) èç óñëîâèÿ èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî CPT èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû S-ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ: Sβ,α = SC P Tα ,C P T β ,

(3.6.12)

ãäå CPT îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ïåðåâåðíóòü âñå z-êîìïîíåíòû ñïèíîâ, çàìåíèòü âñå ÷àñòèöû íà ñîîòâåòñòâóþùèå àíòè÷àñòèöû è óìíîæèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò íà ðàçíûå ôàçîâûå ìíîæèòåëè äëÿ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè è íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ìíîæèòåëè äëÿ ÷àñòèö â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè. Òàê êàê èç CPT èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ìàññû ÷àñòèö è ñîîòâåòñòâóþùèõ àíòè÷àñòèö ðàâíû, ýòî æå ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ êîýôôèöèåíòà, ñòîÿùåãî ïðè δ4(pα − pβ) â Sβα: M β,α = M C P T α , C P T β .

(3.6.13)

 ÷àñòíîñòè, êîãäà íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ îäèíàêîâû, âñå ôàçîâûå ìíîæèòåëè ñîêðàùàþòñÿ è (3.6.13) ïðèíèìàåò âèä

Mp1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;...; p1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = Mp

c c c c 1 − σ1n1 ; p2 − σ 2 n2 ;...; p1 − σ1n1 ; p2 − σ 2 n2 ;...

,

(3.6.14)

ãäå âåðõíèé èíäåêñ ñ ó n îçíà÷àåò àíòè÷àñòèöó äëÿ n. Òåïåðü èç îáîáùåííîé îïòè÷åñêîé òåîðåìû (3.6.2) ñëåäóåò, ÷òî ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà èç äàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîäåðæàùåãî îïðåäåëåííûé íàáîð ÷àñòèö, ðàâíà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà, â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå àíòè÷àñòèöû ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíà÷åíèÿìè ïðîåêöèé ñïèíîâ:

Γp1σ1n1 ; p2σ2 n2 ;... = Γp

c c 1 − σ1n1 ; p2 − σ 2 n2 ;...

.

(3.6.15)

Ïðèìåíÿÿ ýòî óòâåðæäåíèå ê îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèÿì, âèäèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ëþáîé ÷àñòèöû ðàâíà âåðîÿòíîñòè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3.6. Ñëåäñòâèÿ óíèòàðíîñòè

199

ðàñïàäà àíòè÷àñòèöû ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ïðîåêöèåé ñïèíà. Èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèÿì íå ïîçâîëÿåò âåðîÿòíîñòÿì ðàñïàäà çàâèñåòü îò z−êîìïîíåíòû ñïèíà ðàñïàäàþùåéñÿ ÷àñòèöû, ïîýòîìó ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåé ôîðìóëû (3.6.15) ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî íåñòàáèëüíûå ÷àñòèöû è èõ àíòè÷àñòèöû èìåþò ñòðîãî ðàâíûå âðåìåíà æèçíè. * * * Òå æå ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå îò óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè S†S = 1 ïðèâåëè ê ôîðìóëå (3.6.2), ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü äðóãîå óñëîâèå óíèòàðíîñòè SS† = 1, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå 2

z

Im Mαα = − π dβδ 4 (pβ − pα ) Mαβ .

(3.6.16)

Îáúåäèíÿÿ åãî ñ (3.6.2), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ îáðàòèìîñòè

z

dβδ 4 (pβ − pα ) Mβα

2

=

z

2

dβδ 4 (pβ − pα ) Mαβ .

(3.6.17)

èëè èíà÷å

XY dβc Z

α

dΓ(α → β) = dβ

XY dβc Z

β

dΓ(β → α) , dα

(3.6.18)

3 N ãäå cα ≡ [V / (2π) ] α . Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè âûâîäå íàèáîëåå âàæíûõ ñîîòíîøåíèé êèíåòè÷åñêîé òåîðèè 23. Åñëè Pαdα — âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ñèñòåìó â îáúåìå dα ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé Φα, òî ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ Pα çà ñ÷åò ïåðåõîäîâ âî âñå äðóãèå ñîñòîÿíèÿ ðàâíà Pα dβPβ dΓ(β → α) / dα , à ñêîðîñòü óâåëè÷åíèÿ Pα â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäîâ èç âñåõ äðóãèõ ñîñòîÿíèé ðàâíà èíòåãðàëó dβPβ dΓ(β → α) / dα ; ïîýòîìó ïîëíàÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ Pα

z

z

dPα = dt

XY dβP Z

β

dΓ (β → α) − Pα dα

XY dβ dΓ(α → β) . dβ Z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.6.19)

200

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Îòñþäà íåìåäëåííî âûòåêàåò, ÷òî ∫Pαdα íå çàâèñèò îò âðåìåíè. (Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïåðåîáîçíà÷èòü ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì (3.6.19).) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè − dαPα ln(Pα / cα ) ðàâíà

z

−

d dt

X dαP lnFG P IJ = −X dαX dβ lnFG P + 1IJ YZ H c K YZ YZ H c K L dΓ(β → α) − P dΓ(α → β) OP . × MP dβ N dα Q α

α

α

α

α

β

α

Ìåíÿÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì, ìîæíî çàïèñàòü ýòî âûðàæåíèå êàê

−

X dαP lnF P I = XY dαXY dβP lnF P c I dΓ(β → α) . Y GH P c JK dα GH c JK YZ YZ dt Z d

α

α

β α

β

α

α β

Äàëåå, äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé x è y ôóíêöèÿ yln(y/x) yäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó *

y ln

FG y IJ ≥ y − x. H xK

Ïîýòîìó ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè îãðàíè÷åíà: −

d dt

X dαP lnFG P IJ ≥ XY dαXY dβLM P YZ H c K YZ YZ MN c α

α

β

α

β

−

OP PQ

Pα dΓ(β → α) cβ . cα dα

Ìåíÿÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì, íàõîäèì

−

d dt

X dαP lnFG P IJ ≥ XY dαX dβ P Lc YZ H c K Z YZ c MN α

α

β

α

β

β

OP Q

dΓ(β → α) dΓ(α → β) . − cα dα dβ

* Ðàçíîñòü ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ïðè x → y ñòðåìèòñÿ ê ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíå (x − y)2/2y è èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî x, êîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíà èëè îòðèöàòåëüíà ïðè âñåõ x > y èëè x < y, ñîîòâåòñòâåííî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3. 7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì

201

Íî èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè (3.6.18) (â êîòîðîì ïåðåñòàâëåíû α è β) ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë ïî α â ïðàâîé ÷àñòè îáðàùàåòñÿ â íóëü, ïîýòîìó ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ýíòðîïèÿ âñåãäà âîçðàñòàåò: −

d dt

X dαP lnFG P IJ ≥ 0. YZ Hc K α

α

α

(3.6.20)

Ýòî ñîîòíîøåíèå íîñèò íàçâàíèå «Í−òåîðåìû» Áîëüöìàíà.  ó÷åáíèêàõ ïî ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå åå ÷àñòî âûâîäÿò, ëèáî èñïîëüçóÿ áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå, â êîòîðîì |Mβα|2 ñèììåòðè÷íî ïî α è β, òàê ÷òî ñβdΓ(β → α)/dα = cαdΓ(α → β)/dβ, ëèáî ïðåäïîëàãàÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî |Mβα|2 íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè α è β, îäíîâðåìåííî îáðàòèâ íàïðàâëåíèÿ âñåõ èìïóëüñîâ è ñïèíîâ. Êîíå÷íî, íè áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå, íè èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè íå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè , ïîýòîìó òîò ôàêò, ÷òî äëÿ âûâîäà Í-òåîðåìû íóæíî òîëüêî óñëîâèå óíèòàðíîñòè (3.6.18), ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé íîâîñòüþ. Ðîñò ýíòðîïèè ïðåêðàùàåòñÿ, åñëè âåðîÿòíîñòü Pα ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí, òàêèõ, êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ è çàðÿä, óìíîæåííûå íà cα.  ýòîì ñëó÷àå èç çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ dΓ(β → α)/dα îáðàùàåòñÿ â íóëü âñåãäà, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Pα/cα = = Pβ/cβ, òàê ÷òî â ïåðâîì ñëàãàåìîì (3.6.19) ìîæíî çàìåíèòü Pβ íà Pαcβ/cα. Âíîâü èñïîëüçóÿ (3.6.18), âèäèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå Pα íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Îïÿòü æå, äëÿ ýòîãî âûâîäà íàì ïîíàäîáèëîñü íå áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå èëè èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè, à òîëüêî óñëîâèå óíèòàðíîñòè (3.6.18). 3.7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì * ×àñòî óäîáíî ðàáîòàòü ñ S-ìàòðèöåé â áàçèñå ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, ãäå âñå ïåðåìåííûå, êðîìå ïîëíîãî èìïóëüñà è ïîëíîé ýíåðãèè, äèñêðåòíû. Òàêîå îïèñàíèå âîçìîæíî, ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû èìïóëüñîâ p1, ..., pn n-÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûìè * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

202

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ïîëíûì èìïóëüñîì p è ýíåðãèåé Å çàïîëíÿþò (3n − 4)-ìåðíîå êîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî. Òàê, â ñëó÷àå n = 2 â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ p = 0 ýòèì êîìïàêòíûì ïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ñôåðû. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ íà òàêîì êîìïàêòíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä ïî îáîáùåííûì «ïàðöèàëüíûì âîëíàì» òèïà ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê, îáû÷íî èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé íà 2−ñôåðå. Ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü áàçèñ òàêèõ n−÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûé äèñêðåòåí, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíûõ ïåðåìåííûõ ð è Å. Çàïèøåì ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö â ýòîì áàçèñå êàê ΦEpN, ïðè÷åì èíäåêñ N âêëþ÷àåò âñå ñïèíîâûå ïåðåìåííûå è ìåòêè ñîðòîâ ÷àñòèö, à òàêæå òå èíäåêñû, êîòîðûå îòìå÷àþò îáîáùåííûå ïàðöèàëüíûå âîëíû. Óäîáíî âûáðàòü ñîñòîÿíèÿ íîðìèðîâàííûìè òàê, ÷òî èõ ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíû

(Φ E ′p′N ′ , Φ EpN ) = δ(E ′ − E)δ 3 (p ′ − p)δ N ′N .

(3.7.1)

Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà S â ýòîì áàçèñå èìåþò âèä

(Φ E ′p′N ′ , SΦ EpN ) = δ(E ′ − E)δ 3 (p ′ − p)SN ′,N (E, p),

(3.7.2)

ãäå SN′,N − óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð Ò, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðîãî (Φ β, TΦ α) ñîâïàäàþò ñ âåëè÷èíàìè T βα+ , îïðåäåëåííûìè ôîðìóëîé (3.1.18), ìîæåò áûòü ñîãëàñíî (3.4.12) çàïèñàí â íîâîì áàçèñå â âèäå

(Φ E ′p′N ′ , TΦ EpN ) = δ 3 (p ′ − p)MN ′,N (E, p),

(3.7.3)

òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (3.2.7) ñòàíîâèòñÿ îáû÷íûì ìàòðè÷íûì âûðàæåíèåì: SN ′,N (E, p) = δ N ′,N − 2πiM N ′,N (E, p). (3.7.4)  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû èñïîëüçóåì ýòîò îáùèé ôîðìàëèçì, íî ïîêà ÷òî ðàññìîòðèì ðåàêöèè ñ äâóìÿ ÷àñòèöàìè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ñîñòîÿíèå èç äâóõ íåòîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñîðòîâ n1 è n2 ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ ìàññàìè Ì1 è Ì2 è ïðîèçâîëüíûìè ñïèíàìè s1, s2.  ýòîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïîìåòèòü

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3. 7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì

203

èõ ïîëíûì èìïóëüñîì ð = ð1 + ð2, ýíåðãèåé Å, ìåòêàìè ñîðîòîâ ÷àñòèö n1, n2, z-êîìïîíåíòàìè ñïèíîâ σ1, σ2, è ïàðîé öåëûõ ÷èñåë l è m (ãäå |m| ≤ l), êîòîðûå çàäàþò çàâèñèìîñòü ñîñòîÿíèÿ îò íàïðàâëåíèÿ, ñêàæåì, âåêòîðà p1.  êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû ìîæíî ïîñòðîèòü óäîáíûé äèñêðåòíûé áàçèñ, îáúåäèíèâ äâà ñïèíà â ïîëíûé ñïèí s ñ z−êîìïîíåíòîé µ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà−Ãîðäàíà9, à çàòåì, âíîâü èñïîëüçóÿ ýòè êîýôôèöèåíòû, ñëîæèòü ñïèí ñ îðáèòàëüíûì óãëîâûì ìîìåíòîì l ñ òðåòüåé ïðîåêöèåé m, ïîëó÷èâ ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò j ñ òðåòüåé ïðîåêöèåé σ. Òàê ìû ïðèõîäèì ê áàçèñó ñîñòîÿíèé ΦEpjσlsn («èíäåêñ êàíàëà» n îòìå÷àåò ñîðòà äâóõ ÷àñòèö nl è n2), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èõ ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè ñ ñîñòîÿíèÿìè, èìåþùèìè îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ èìïóëüñîâ è òðåòüèõ ïðîåêöèé ñïèíà îòäåëüíûõ ÷àñòèö: (Φ p1σ1p2σ2 n ′ , Φ Epjσlsn ) ≡ (| p1 | E1E2 / E) −1/2 δ 3 (p − p1 − p2 )

e

j

× δ E − p12 + M12 − p22 + M22 δ n ′, n ×

∑ Cs s (s, µ; σ1, σ2 )Cls (j, σ; m, µ)Ylm (p$ 1).

m,µ

(3.7.5)

1 2

ãäå Ylm — îáû÷íûå ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè 24. Äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü (|p1|E1E2/E)-1/2 âêëþ÷åí äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòè ñîñòîÿíèÿ áûëè ïðàâèëüíî íîðìèðîâàíû â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ:

(Φ E ′p′j ′σ ′l ′s′n ′ , Φ E 0 jσlsn ) = δ 3 (p ′)δ 3 (E ′ − E)δ j ′, j δ σ ′,σ δ s′,sδ n ′, n .

(3.7.6)

×òîáû èçáåæàòü äâîéíîãî ñ÷åòà äëÿ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ñëåäóåò áðàòü èíòåãðàë òîëüêî ïî ïîëîâèíå äâóõ÷àñòè÷íîãî ôàçîâîãî îáúåìà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, òàê ÷òî â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè (3.7.6) ñëåäóåò ïîäåëèòü íà ìíîæèòåëü 2 .  ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ëþáîãî ñîõðàíÿþùåãî èìïóëüñ èíâàðèàíòíîãî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé îïåðàòîðà Î äîëæíû èìåòü âèä

(Φ E ′p′j ′σ ′l ′s′n ′ , OΦ E0 jσlsn ) = δ 3 (p ′)Olj′s′n ′,lsn (E)δ j ′, j δ σ ′,σ .

(3.7.7)

(Äèàãîíàëüíîñòü ïî j è σ ñëåäóåò èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé Î ñ J2 è J3, à òîò ôàêò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè δσσ′ íå çàâèñèò îò σ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

204

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà íóëþ êîììóòàòîðà îïåðàòîðà Î ñ J1 ± iJ2. Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, èçâåñòíîãî â ëèòåðàòóðå êàê òåîðåìà Âèãíåðà−Ýêêàðòà 25.) Ïðèìåíÿÿ ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ê îïåðàòîðó Ì, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðîãî ðàâíû Mβα, ïîëó÷àåì:

f(kσ1 ,− kσ 2 , n → k ′σ1′ ,− k ′σ 2′ , n ′) ≡ −4π 2 =−

4π 2 k

k ′E1′ E2′ E1E2 Mk ′σ1′ − k ′σ2′ n ′,kσ1 − kσ2 n E 2k

∑

jσl ′m ′s′µ ′lmsµ

Cs1s2 (s, µ; σ1 , σ 2 )Cls ( j, σ; m, µ)

(3. 7. 8)

j m* $ ′ $ × Cs1′ s2′ (s′, µ ′; σ1′ , σ 2′ )Cl ′s′ ( j, σ; m ′, µ ′) Ylm ′ (k ′) Yl (k)Ml ′s′n ′,lsn (E).

Äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ðàâíî |f|2. Âûáåðåì íàïðàâëåíèå íà÷àëüíîãî èìïóëüñà k âäîëü òðåòüåé îñè, òîãäà 2l + 1 Ylm (k$ ) = δ m0 . 4π

(3.7.9)

Èíòåãðèðóÿ |f|2 ïî íàïðàâëåíèþ êîíå÷íîãî èìïóëüñà k′, à òàêæå ñóììèðóÿ è óñðåäíÿÿ ïî êîíå÷íûì è íà÷àëüíûì ïðîåêöèÿì ñïèíà, ïîëó÷àåì ïîëíîå ñå÷åíèå* ïåðåõîäà èç êàíàëà n â êàíàë n′:

*Ïðè âûâîäå ýòîé ôîðìóëû ìû èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíûå ïðàâèëà ñóììèðîâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà−Ãîðäàíà 9: âî-ïåðâûõ,

∑ Cs s (s, µ; σ1, σ2 )Cs ,s (s, µ; σ1, σ2 ) = δ ss δ µµ

σ 1 ,σ 2

1 2

1

2

è òî æå ñàìîå ñî øòðèõîâàííûìè âåëè÷èíàìè;

∑~ Cls (j, σ; m, σ~)Cls (j , σ; m, σ~) = δ jj δ σσ~ ,

m ,σ

è íàêîíåö

2j + 1

∑ Cls (j, σ; 0, µ)Cls (j, σ; 0, µ) = 2l + 1 δ ll . σ,µ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3. 7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì

σ( n → n ′; E) =

205

π (2j + 1) k (2s1 + 1)(2s2 + 1) jlsl ′s′

∑

2

(3.7.10)

2

× δ l ′l δ s′sδ n ′n − Slj′s′n ′,lsn (E) .

Ñóììèðîâàíèå (3.7.10) ïî âñåì äâóõ÷àñòè÷íûì êàíàëàì äàåò ïîëíîå ñå÷åíèå âñåõ óïðóãèõ èëè íåóïðóãèõ äâóõ÷àcòè÷íûõ ðåàêöèé:

π

∑ σ(n → n ′; E) = k2 (2s1 + 1)(2s2 + 1) ∑ (2j + 1) n′

jls

× (1 − S j (E))† (1 − S j (E))

lsn,lsn

.

(3.7.11)

Äëÿ ñðàâíåíèÿ, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (3.7.8), (3.7.9), (3.7.4) è ïðàâèë ñóìì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà−Ãîðäàíà ïîëó÷àåì óñðåäíåííóþ ïî ñïèíàì àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ âïåðåä: f ( n; E) =

i 2k(2s1 + 1)(2s2 + 1)

j ∑ (2j + 1)[1 − Slsn ,lsn ]. jls

Òîãäà ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîé òåîðåìû (3.7.10) íàõîäèì ïîëíîå ñå÷åíèå: σ total ( n; E) =

2π k (2s1 + 1)(2s2 + 1) 2

∑ (2j + 1) Re[1 − S j (E)]lsn,lsn . jls

(3.7.12)

Åñëè âî âõîäíîì êàíàëå n ïðè ýíåðãèè Å îòêðûòû òîëüêî äâóõ÷àñòè÷íûå êàíàëû, òî ìàòðèöà Sj(E) (èëè ïî êðàéíåé ìåðå åå ïîäìàòðèöà, âêëþ÷àþùàÿ êàíàë n) óíèòàðíà, è ïîýòîìó (1 − S j (E))† (1 − S j (E))

lsn ,lsn

= 2 Re[1 − S j (E)]lsn ,lsn ,

(3.7.13)

òàê ÷òî âûðàæåíèÿ (3.7.12) è (3.7.11) ñîâïàäàþò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îòêðûòû êàíàëû, âêëþ÷àþùèå òðè è áîëåå ÷àñòèö, òî ðàçíîñòü âûðàæåíèé (3.7.12) è (3.7.11) îïðåäåëÿåò ïîëíîå ñå÷åíèå ðîæäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ÷àñòèö:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

206

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

σ îáðàçîâàíèÿ ( n; E) =

π k (2s1 + 1)(2s2 + 1) 2

∑ (2j + 1) jls

× [1 − S j (E)† S j (E)]lsn,lsn ,

(3.7.14)

êîòîðîå äîëæíî áûòü ïîëîæèòåëüíî. Ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì îñîáåííî ïîëåçíî äëÿ ïðîöåññîâ, ó êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòü S-ìàòðèöû äèàãîíàëüíà. Ýòî èìååò ìåñòî, åñëè, íàïðèìåð, âõîäíîé êàíàë n ñîäåðæèò ðîâíî äâå áåññïèíîâûå ÷àñòèöû, à âñå ïðî÷èå êàíàëû ïðè äàííîé ýíåðãèè çàêðûòû, êàê â ïðîöåññàõ π+π+ èëè π+π0 ðàññåÿíèÿ ïðè ýíåðãèÿõ íèæå ïîðîãà ðîæäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïèîíîâ (ýëåêòðîìàãíèòíûìè è ñëàáûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè ïðåíåáðåãàåì). Äëÿ ïàðû áåññïèíîâûõ ÷àñòèö j = l, è áëàãîäàðÿ ñîõðàíåíèþ óãëîâîãî ìîìåíòà Sìàòðèöà äèàãîíàëüíà. Ìîæåò áûòü è òàê, ÷òî S-ìàòðèöà äèàãîíàëüíà â îïðåäåëåííûõ ïðîöåññàõ ñ ó÷àñòèåì ÷àñòèö ñî ñïèíîì. Òàê, â ïèîííóêëîííîì ðàññåÿíèè ïîëíûé ìîìåíò ñèñòåìû ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ j = l + 1/2 è j = l − 1/2, íî ïðè çàäàííîì j ýòè äâà ñîñòîÿíèÿ èìåþò ïðîòèâîïîëîæíóþ ÷åòíîñòü è íå ìîãóò áûòü ñâÿçàíû íåíóëåâûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè S−ìàòðèöû.  ëþáîì ñëó÷àå, åñëè äëÿ íåêîòîðûõ n è E âñå ýëåìåíòû S−ìàòðèöû SN′,jlsn(E, 0) îáðàùàþòñÿ â íóëü, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà N′ − ýòî äâóõ÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå j, l, s, n, òî èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè ñëåäóåò, ÷òî

Slj′s′n ′,lsn (E) = exp[2iδ jlsn (E)]δ l ′l δ s′sδ n ′n ,

(3.7.15)

ãäå δjlsn(E) − äåéñòâèòåëüíàÿ ôàçà, îáû÷íî èìåíóåìàÿ ôàçîâûì ñäâèãîì. Ýòà ôîðìóëà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà äâóõ÷àñòè÷íàÿ ÷àñòü S−ìàòðèöû äèàãîíàëüíà, íî îòêðûòû êàíàëû, ñîäåðæàùèå òðè è áîëåå ÷àñòèö.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ôàçîâûé ñäâèã äîëæåí èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ ìíèìóþ ÷àñòü, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ïîëîæèòåëüíîñòü (3.7.14).  ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíûõ ôàçîâûõ ñäâèãîâ óïðóãîå è ïîëíîå ñå÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç (3.7.10) è (3.7.12) â âèäå σ( n → n; E) = σ total ( n; E) =

4π k (2s1 + 1)(2s2 + 1) 2

∑ (2j + 1) sin 2 δ jlsn (E). jls

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.7.16)

3. 7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì

207

Ýòîò èçâåñòíûé ðåçóëüòàò îáû÷íî âûâîäèòñÿ â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïóòåì èññëåäîâàíèÿ â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå ïîâåäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ÷àñòèöû â çàäàííîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå. Ïðåäñòàâëåííîå çäåñü äîêàçàòåëüñòâî èìååò öåëüþ, âî-ïåðâûõ, ïîêàçàòü, ÷òî ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì ïðèìåíèìî äëÿ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ è ïðè ðåëÿòèâèñòñêèõ ñêîðîñòÿõ, è, âî-âòîðûõ, ïîä÷åðêíóòü, ÷òî îíî íå çàâèñèò îò êîíêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðåäïîëîæåíèé, à âûòåêàåò èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè è ïðèíöèïîâ èíâàðèàíòíîñòè. ×àñòî ïîëåçíî ââåñòè ôàçîâûå ñäâèãè è â çàäà÷àõ, êîãäà íåñêîëüêî îòêðûòûõ êàíàëîâ îáðàçóþò íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ êàêîé-òî âíóòðåííåé ãðóïïû ñèììåòðèè. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ èçîòîïè÷åñêàÿ ñèììåòðèÿ, ïðè íàëè÷èè êîòîðîé èíäåêñ êàíàëà n âêëþ÷àåò çíà÷åíèÿ èçîñïèíîâ Ò1, Ò2 äâóõ ÷àñòèö è òðåòüèõ ïðîåêöèé èçîñïèíà t1, t2. Ñîñòîÿíèÿ â êàíàëå n ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñî çíà÷åíèåì ïîëíîãî èçîñïèíà Ò è òðåòüèõ ïðîåêöèé t,ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ çíàêîìûìè êîýôôèöèåíòàìè Êëåáøà−Ãîðäàíà CT1T2 (T, t; t1, t2 ) . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ êàíàëîâ ïðè çàäàííîé ýíåðãèè S-ìàòðèöà äèàãîíàëüíà ïî l, s, j, T, t. Óñëîâèå óíèòàðíîñòè è òðåáîâàíèå èçîòîïè÷åñêîé ñèììåòðèè ïîçâîëÿþò çàïèñàòü S-ìàòðèöó â âèäå: Sl ′s'T ′t′,lsTt = exp[2 iδ jlsT (E)]δ l ′l δ s′s δ T ′T δ t′t ,

(3. 7. 17)

ãäå δj l sT(E) − äåéñòâèòåëüíûé ôàçîâûé ñäâèã, êîòîðûé â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Âèãíåðà−Ýêêàðòà íå çàâèñèò îò t. Ñ ïîìîùüþ (3.7.10) ìîæíî âû÷èñëèòü ïàðöèàëüíûå ñå÷åíèÿ, à èç (3.7.12) ñëåäóåò, ÷òî ïîëíîå ñå÷åíèå σ total (t1 , t2 ; E) = ×

4π k (2s1 + 1)(2s2 + 1) 2

∑ (2j + 1)CT T (T, t; t1, t2 )2 sin 2 δ jlsT (E).

(3.7.18)

1 2

jlsTt

Íàïðèìåð, â ïèîí−ïèîííîì ðàññåÿíèè îòëè÷íû îò íóëÿ ôàçîâûå ñäâèãè δl l 0T(E) ïðè Ò = 0 è Ò = 2 äëÿ êàæäîãî ÷åòíîãî l è ïðè Ò = 1 äëÿ íå÷åòíîãî l, à â ïèîí−íóêëîííîì ðàññåÿíèè — ôàçîâûå ñäâèãè δ 1 1 ñ Ò = 1/2 èëè Ò = 3/2. jj ± 2 2 T

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

208

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

Ðÿä ïîëåçíûõ ñâåäåíèé î ïîðîãîâîì ïîâåäåíèè àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ è ôàçîâûõ ñäâèãîâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ èõ àíàëèòè÷åñêèõ ñâîéñòâ, êîòîðûå ïî÷òè íå çàâèñÿò îò ëþáûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðåäïîëîæåíèé. Åñëè îòñóòñòâóþò îñîáûå îáñòîÿòåëüñòâà, ïîðîæäàþùèå ñèíãóëÿðíîñòè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Mk ′σ1′ − k ′σ2′ n ′,kσ1 − kσ2n ïðîöåññà äîëæåí áûòü àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé * 3-èìïóëüñîâ k è k′ â îêðåñòíîñòè k = 0 èëè k′ = 0 (ïðè óïðóãîì ðàññåÿíèè k = k′ = 0). Îáðàùàÿñü ê ðàçëîæåíèþ (3.7.8) àìïëèòóäû Ì ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì, çàìåòèì, ÷òî êîìáèíàöèÿ k l Ylm (k$ ) åñòü ïðîñòàÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ ôóíêöèÿ 3-âåêòîðà k. Ïîýòîìó, äëÿ òîãî, ÷òîáû àìïëèòóäà Mk ′σ1′ − k ′σ2′ n ′,kσ1 − kσ2n áûëà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé 3-èìj ïóëüñîâ k è k′ â îêðåñòíîñòè k = 0 èëè k′ = 0, êîýôôèöèåíòû Ml ′s′n ′,lsn j èëè ýêâèâàëåíòíî δ l ′l δ s′sδ n ′n − Sl ′s′n ′,lsn äîëæíû âåñòè ñåáÿ êàê k l +1 2 k ′ l + 1 2 ïðè k èëè k′, ñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ. Îòñþäà, äëÿ ìàëûõ k è/èëè k′ ñóùåñòâåííûé âêëàä â àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ äàåò òîëüêî íèçøàÿ ïàðöèàëüíàÿ àìïëèòóäà â íà÷àëüíîì è/èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ. Ýêçîòåðìè÷åñêèå ðåàêöèè  ýòîì ñëó÷àå k′ ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ ïðè k → 0, j è â òàêîì ïðåäåëå δ l ′l δ s′sδ n ′n − Sl ′s′n ′,lsn âåäåò ñåáÿ êàê kl+1. Ñå÷åíèå (3.7.11) âåäåò ñåáÿ êàê k2l−1, ãäå l − íàèìåíüøèé îðáèòàëüíûé óãëîâîé ìîìåíò, ïðè êîòîðîì èäåò ðåàêöèÿ. ×àùå âñåãî l = 0, òàê ÷òî ñå÷åíèå ðåàêöèè âåäåò ñåáÿ êàê 1/k. (Èìåííî òàê âåäåò ñåáÿ, íàïðèìåð, ñå÷åíèå ïîãëîùåíèÿ ìåäëåííûõ íåéòðîíîâ ñëîæíûìè ÿäðàìè èëè ñå÷åíèå àííèãèëÿöèè ýëåêòðîííî−ïîçèòðîííûõ ïàð â ôîòîíû ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ, åñëè îòáðîñèòü ýôôåêòû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ñâÿçàííûå ñ êóëîíîâñêèìè ñèëàìè.) Âåðîÿòíîñòü ðåàêöèè ðàâíà ñå÷åíèþ, óìíîæåííîìó íà ïîòîê, ïðîïîðöèîíàëüíûé k, òàê *Íàïðèìåð, â áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè (3.2.8) àìïëèòóäà Ì ïðîïîðöèîíàëüíà ôóðüå-îáðàçó ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå è ïîýòîìó àíàëèòè÷íà ïðè íóëåâîì èìïóëüñå, åñëè òîëüêî ýòè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Ãëàâíûì èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ðàññåÿíèå, îáóñëîâëåííîå äàëüíîäåéñòâóþùèìè ñèëàìè òèïà êóëîíîâñêèõ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

3. 7. Ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì

209

÷òî ïðè k → 0 âåðîÿòíîñòü ýêçîòåðìè÷åñêîé ðåàêöèè âåäåò ñåáÿ êàê êîíñòàíòà. Îäíàêî âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ïó÷êà ÷åðåç ìèøåíü çàäàííîé òîëùèíû îïðåäåëÿåòñÿ èìåííî ñå÷åíèåì, à íå âåðîÿòíîñòüþ ðåàêöèè, òàê ÷òî äëÿ ðÿäà âåùåñòâ òèïà áîðà íàëè÷èå ìíîæèòåëÿ 1/k â ñå÷åíèè ïðèâîäèò ê î÷åíü áîëüøîé âåðîÿòíîñòè ïîãëîùåíèÿ ìåäëåííûõ íåéòðîíîâ. Ýíäîòåðìè÷åñêèå ðåàêöèè  ýòîì ñëó÷àå ðåàêöèÿ çàïðåùåíà, ïîêà k íå äîñòèãíåò îïðåäåëåííîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì k′ = 0.  îáëàñòè ÷óòü j âûøå ïîðîãà δ l ′l δ s′sδ n ′n − Sl ′s′n ′,lsn âåäåò ñåáÿ êàê (k′)l+1. Ñå÷åíèå (3.7.11) â ýòîì ñëó÷àå âåäåò ñåáÿ êàê (k′)2l′+1, ãäå l′ − íàèìåíüøèé óãëîâîé ìîìåíò ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå ìîæåò âîçíèêíóòü íà ïîðîãå. ×àùå âñåãî l′ = 0, òàê ÷òî ñå÷åíèå ðåàêöèè ðàñòåò íàä ïîðîãîì êàê k′, ò. å. êàê E − E ïîðîã . (Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî â ðåàêöèÿõ àññîöèàòèâíîãî ðîæäåíèÿ ñòðàííûõ ÷àñòèö èëè îáðàçîâàíèÿ ýëåêòðîííî-ïîçèòðîííûõ ïàð ïðè ðàññåÿíèè ôîòîíîâ.) Óïðóãèå ðåàêöèè  ýòîì ñëó÷àå k = k′, òàê ÷òî îáå ýòè âåëè÷èíû ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. (Òàê áûâàåò â ñëó÷àå n′ = n, èëè â ñëó÷àå, êîãäà ñîñòîÿíèå n′ ñîäåðæèò ÷àñòèöû èç òîãî æå èçîñïèíîâîãî ìóëüòèïëåòà, ÷òî è n.)  óïðóãîì ðàññåÿíèè âñåãäà ó÷àñòâóþò ïàðöèàëüíûå âîëíû ñ l = l′ = = 0, òàê ÷òî â ïðåäåëå k → 0 àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ (3.7.8) ñòðåìèòñÿ ê êîíñòàíòå: f (k, σ1 ,− k, σ 2 , n → k ′, σ1′ ,− k ′, σ 2′ , n ′) →

∑ Cs s (s, σ; σ1, σ2 )Cs′s′ (s, σ; σ1′ , σ2′ )as (n → n ′), sσ

1 2

1 2

(3.7.19)

ãäå a — ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, èçâåñòíàÿ êàê äëèíà ðàññåÿíèÿ è îïðåäåëÿåìàÿ êàê ïðåäåë

S0ssn ′,0sn → δ n ′, n + 2ikas ( n → n ′) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.7.20)

210

Ãëàâà 3. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ

ïðè k = k′ = 0. Ñóììèðóÿ 4π|f|2 ïî ñïèíàì êîíå÷íûõ ÷àñòèö è óñðåäíÿÿ ïî ñïèíàì íà÷àëüíûõ ÷àñòèö, íàõîäèì ïîëíîå ñå÷åíèå ïåðåõîäà n → n′ ïðè k = k′ = 0: 4π σ( n → n ′; k = 0) = (2s + 1)as2 ( n → n ′). (3.7.21) (2s1 + 1)(2s2 + 1)

∑ s

Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé ôîðìóëû ÿâëÿåòñÿ íåéòðîí-ïðîòîííîå ðàññåÿíèå, êîãäà ñóùåñòâóþò äâå äëèíû ðàññåÿíèÿ, ïðè÷åì ñèíãëåòíàÿ ïî ñïèíó äëèíà ðàññåÿíèÿ a0 ñóùåñòâåííî áîëüøå òðèïëåòíîé ïî ñïèíó äëèíû a1. Ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ ãðóáîé îöåíêè ïîâåäåíèÿ ñå÷åíèÿ ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì äëèí âîëí ðàññåÿíèå âñå áîëåå äîëæíî îïèñûâàòüñÿ íà êëàññè÷åñêîì ÿçûêå: ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì k è îðáèòàëüíûì óãëîâûì ìîìåíòîì l äîëæåí ðàâíÿòüñÿ l/k, òàê ÷òî ïðè ðàññåÿíèè ÷àñòèöà ïîïàäàåò â äèñê ðàäèóñîì R, åñëè l ≤ kR. Ýòî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê óòâåðæäåíèå, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S-ìàòðèöû j Slsn ,lsn →

{10,,

l > kRn

(3.7.22)

ãäå Rn — íå÷òî âðîäå ðàäèóñà âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ êàíàëà n. Ïðè çàäàííîì l >> s ñóùåñòâóþò 2s + 1 çíà÷åíèé j, ïðè÷åì âñå ýòè çíà÷åíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçêè ê l, òàê ÷òî ïðèáëèæåííî 2j + 1 g 2l + 1, è ñóììà ïî j è s â (3.7.12) ñâîäèòñÿ ê ìíîæèòåëþ ïîðÿäêà

∑ (2j + 1) = (2l + 1)∑ (2s + 1) = (2l + 1)(2s1 + 1)(2s2 + 1). js

s

Ïîýòîìó ïîëíîå ñå÷åíèå ïðè k . 1/Rn îïðåäåëÿåòñÿ èç (3.7.12) êàê σ total ( n; E) →

2π (2l + 1) → 2πR 2n . k 2 l ≤ kR

∑

(3.7.23)

n

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî èç ñîîòíîøåíèÿ (3.7.10) íàõîäèì óïðóãîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ σ( n → n; E) → πR 2n .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(3.7.24)

3.8. Ðåçîíàíñû

211

Ðàçíèöà ìåæäó (3.7.23) è (3.7.24) ðàâíà íåóïðóãîìó ñå÷åíèþ ÷òî è ñëåäîâàëî îæèäàòü ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ ñ íåïðîçðà÷íûì äèñêîì ðàäèóñà Rn. (Íåñêîëüêî óäèâèòåëüíîå ïîÿâëåíèå óïðóãîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ πRn2 ñâÿçàíî ñ äèôðàêöèåé íà äèñêå.) Ñ äðóãîé j ñòîðîíû, åñëè ïðåäïîëîæèòü â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7.22), ÷òî Slsn ,lsn êîìïëåêñíû òîëüêî äëÿ çíà÷åíèé ïðèöåëüíûõ ïàðàìåòðîâ l/k â ìàëîé îáëàñòè øèðèíîé ∆n t B > ..., ìîæíî âñòàâèòü Î-îïåðàòîðû ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîñòîÿíèÿìè â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.1.28) è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (9.1.35). Íàïðèìåð, åñëè ìîìåíò âðåìåíè tA ïîïàäàåò ìåæäó τk è τk+1, íóæíî âñòàâèòü O A(P(tA),Q(tA)) ìåæäó 〈qk+1;τk+1| è |q k;τk〉. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ ïîñëåäóþùàÿ ñóììà ïî ñîñòîÿíèÿì â ôîðìóëå (9.1.28) áåðåòñÿ â áîëåå ïîçäíèé ìîìåíò âðåìåíè, ïîýòîìó óêàçàííàÿ âñòàâêà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíîé â ñèëó íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî tA > tB > ... . * Çäåñü ñëó÷àéíûì îáðàçîì îäíîé è òîé æå áóêâîé t îáîçíà÷åíû âðåìåííûå àãðóìåíòû îïåðàòîðîâ P(t), Q(t), ñîñòàâëÿþùèõ îïåðàòîð O, è ñîñòîÿíèÿ |q; t〉. Âîîáùå ãîâîðÿ, îíè íå ñîâïàäàþò. Íàïðîòèâ, â íèæåñëåäóþùåé ôîðìóëå (9.1.35) íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü t = τ, êàê â ôîðìóëå (9.1.24), âåäóùåé ê ôîðìóëå (9.1.26). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

514

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Äåéñòâóÿ êàê è âûøå, ïîëó÷àåì îáùóþ ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà:

q ′; t ′ O A P(tA ), Q(tA ) O B P(tB ), Q(tB ) . . . q ; t

b

=

g b

g

X dq (τ) dp (τ)O bp(t YZ ∏ ∏ 2π b

a

A

τ,a q a ( t) = q a q a ( t ′ ) = q a′

A ), q (tA )

gO bp(t B

B ), q (tB )

g. . .

τ,b

t′

LM X R OP U | | × exp M i Y dτ S∑ q& (τ)p (τ) − H(q ( τ), p(τ))VP . |WP MN YZ |T Q a

(9.1.36)

a

a

t

Ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå ìîìåíòû âðåìåíè óïîðÿäî÷åíû è t′ > tA > tB > ... > t .

(9.1.37)

Îäíàêî íè÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.1.36) íå óêàçûâàåò íà ïîðÿäîê âðåìåííûõ àðãóìåíòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íàì çàäàí ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë òîãî æå âèäà, ÷òî è ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (9.1.36), íî ñ tA, tB, ..., âçÿòûìè â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå (îäíàêî ëåæàùèìè ìåæäó t è t′, t < t′), òî òàêîé ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë áóäåò ðàâåí ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó òèïà òîãî, êîòîðûé ñòîèò â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.1.36), ñ îïåðàòîðàìè, ðàñïîëîæåííûìè â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè ñëåâà íàïðàâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ðàñïîëîæåíèè tA, tB, ... â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå,

q ′; t ′ T{O A P(tA ), Q(tA ) O B P(tB ), Q(tB ) , . . . } q ; t

b

=

g b

g

X dq (τ) dp (τ)O bp(t YZ ∏ ∏ 2π b

a

q a ( t) = q a q a ( t ′ ) = q a′

A

τ,a

A ), q (t A )

gO bp(t B

B ), q (tB )

g. . .

τ,b

t′

LM X R OP U | | × exp M i Y dτ S∑ q& ( τ)p ( τ) − H (q (τ), p( τ))VP . |WP MN YZ |T Q a

a

a

t

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.1.38)

9.1. Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà

515

ãäå Ò îçíà÷àåò îáû÷íîå õðîíîëîãè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå. Âîçìîæíî, ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ñ-÷èñëîâûå ôóíêöèè qa(τ), pa(τ) â (9.1.38) ÿâëÿþòñÿ âñåãî ëèøü ïåðåìåííûìè èíòåãðèðîâàíèÿ è, â ÷àñòíîñòè, íå ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ãàìèëüòîíîâîé äèíàìèêè

q& a (τ) −

∂H (q ( τ), p( τ)) = 0, ∂pa (τ)

(9.1.39)

p& a (τ) +

∂H (q ( τ), p( τ)) = 0. ∂q a (τ)

(9.1.40)

(Ïî ýòîé ïðè÷èíå ãàìèëüòîíèàí H(q(τ),p(τ)) â (9.1.38) íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé ïî τ.) Òåì íå ìåíåå, â íåêîòîðîì îãðàíè÷åííîì ñìûñëå ôóíêöèîíàëüíàå èíòåãðàëû «óâàæàþò» ýòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíà èç ôóíêöèé â (9.1.38), íàïðèìåð, OA(P(tA),Q(tA)), ñîâïàäàåò ñ ëåâîé ÷àñòüþ ðàâåíñòâ (9.1.39) èëè (9.1.40). Çàìåòèì, ÷òî (ïðè t < tA < t′)

F q& (t ) − ∂H(q(t ), p(t )) I expbiI[q, p]g = − i δ GH JK ∂p (t ) δp (t F p& (t ) + ∂H(q(t ), p(t )) I expbiI[q, p]g = − i δ GH JK ∂q (t ) δq (t A

a

A

A

a

A

A

a

a

A)

a

A)

A

A

a

A

b

g

b

g

exp iI[q , p] , exp iI[q , p] ,

ãäå iI − àðãóìåíò ýêñïîíåíòû â (9.1.38):

X I [q , p] ≡ Y YZ

t′

t

dτ

|RS∑ q& (τ)p (τ) − Haq(τ), p(τ)f|UV. |T |W a

a

a

Äî òåõ ïîð, ïîêà tA íå äîñòèãàåò t èëè t′, èíòåãðèðîâàíèÿ ïî qa(tA) è pa(tA) íè÷åì íå îãðàíè÷åíû, è ïðè ðàçóìíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñõîäèìîñòè èíòåãðàëû îò òàêèõ âàðèàöèîííûõ ïðîèçâîäíûõ äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë (9.1.38) ðàâåí íóëþ, åñëè OA(p,q) âçÿò ðàâíûì ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (9.1.39) èëè (9.1.40). Ýòî ïðîñòîå ïðàâèëî ïðèìåíèìî òîëüêî åñëè ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ qa(tA), pa(tA) íå çàâèñÿò îò ëþáîé èç ïåðåìåííûõ qa(tB),

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

516

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

pa(tB) è ò. ä., îò êîòîðûõ çàâèñÿò îñòàëüíûå ôóíêöèè OB, OC è ò. ä. â ôîðìóëå (9.1.38), è, ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî åñëè ìû çàïðåòèì tA äîñòèãàòü çíà÷åíèé tB, tC, ..., à òàêæå t è t′. Êîãäà tA äîñòèãàåò, ñêàæåì, tB, â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå âîçíèêàåò íåíóëåâîå ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå δ(tA − tB) èëè åå ïðîèçâîäíûì. Ýòè äåëüòà-ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò òåì äåëüòà-ôóíêöèÿì, êîòîðûå âîçíèêàþò â ðàìêàõ îïåðàòîðíîãî ôîðìàëèçìà îò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, ïðèñóòñòâóþùèõ â îïðåäåëåíèè õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ (9.1.34) è (9.1.38), íåîáõîäèìî çíàòü òîëüêî êëàññè÷åñêóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà, ò. å. ñ-÷èñëîâóþ ôóíêöèþ H(q, p). Åñëè ìû õîòèì ñôîðìóëèðîâàòü òåîðèþ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ, åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêàÿ èç ìíîãèõ âîçìîæíûõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ôóíêöèé Ãàìèëüòîíà H(Q, P) (îòëè÷àþùèõñÿ ïîðÿäêîì Q è P) îïèñûâàåò êâàíòîâóþ òåîðèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòèì èíòåãðàëàì. Ïðåäëîæåííûé âûâîä äàåò îòâåò íà ýòîò âîïðîñ: â êâàíòîâîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà âñå Q äîëæíû áûòü ñëåâà, âñå Ð — ñïðàâà. Îäíàêî áûëî áû îøèáêîé ïðèäàâàòü ýòîìó ðåöåïòó ñëèøêîì áîëüøîå çíà÷åíèå. Èìååòñÿ ìíîæåñòâî ñïîñîáîâ èíòåðïðåòèðîâàòü ìåðó ∏dqa(t)∏dpa(t) â èíòåãðàëàõ òèïà (9.1.34) èëè (9.1.38). Íàø ðåöåïò ðàñïîëîæåíèÿ âñåõ Q ñëåâà îò âñåõ Ð ãîäèòñÿ òîëüêî, åñëè ìåðà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëàì (9.1.31)−(9.1.33). Äðóãèå ìåðû ïðèâîäÿò ê äðóãèì ïðåäïèñàíèÿì ïî óïîðÿäî÷èâàíèþ îïåðàòîðîâ. Âîïðîñ â öåëîì íå î÷åíü ñóùåñòâåí, òàê êàê ðàçíûå ðåöåïòû óïîðÿäî÷èâàíèÿ îïåðàòîðîâ â ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ñîîòâåòñòâóþò âñåãî ëèøü ðàçíîìó âûáîðó êîíñòàíò, âõîäÿùèõ êàê êîýôôèöèåíòû ïðè ðàçíûõ ñëàãàåìûõ â ýòîé ôóíêöèè, à ìû âñåãäà ôîðìóëèðóåì òåîðèè òàê, ÷òî ýòè êîíñòàíòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû. Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë îáùåãî âèäà (9.1.38) òðóäíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ èëè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñòðîãèõ òåîðåì. Äëÿ ýòèõ öåëåé ëó÷øå ïðèìåíÿòü ôóíêöèîíàëüíûé ìåòîä äëÿ âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóä â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå t çàìåíåíî íà ìíèìóþ âåëè÷èíó −ix4, è ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â ôîðìóëå (9.1.38) — äåéñòâèòåëüíàÿ îòðèöàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Òîãäà âìåñòî áûñòðûõ îñöèëëÿöèé ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ðåçóëüòàòå ìàëîãî äðîæàíèÿ ïóòåé âñå áûñòðûå äðîæàíèÿ îêàçûâàþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ïîäàâëåíû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.2. Ïåðåõîä ê S-ìàòðèöå

517

Õîòÿ ìû íå áóäåì óãëóáëÿòüñÿ â ýòîò âîïðîñ, íî êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ìîæåò áûòü ñ ñàìîãî íà÷àëà ñôîðìóëèðîâàíà â òåðìèíàõ ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå−âðåìåíè 8à. Ïðè îïðåäåëåííûõ ðàçóìíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âîçìîæíî ðåêîíñòðóèðîâàòü ôåéíìàíîâñêèå àìïëèòóäû â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, çíàÿ èõ åâêëèäîâû àíàëîãè 8á. Îäíàêî åñëè èñïîëüçîâàòü ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä ïî òåîðèè âîçìóùåíèé, òî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ èõ ôîðìóëèðîâêîé â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. 9.2. Ïåðåõîä ê S-ìàòðèöå Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìîæíî áåç òðóäà ïåðåïèñàòü îáùèå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 9.1 â îáîçíà÷åíèÿõ, ïðèãîäíûõ äëÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî èíäåêñ a ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå òî÷êàì x ïðîñòðàíñòâà è èíäåêñàì m ñïèíà è ñîðòà ÷àñòèö m, è çàìåíèòü Qa(t) è Pa(t) íà Qm(x, t) è Pm(x, t). Òîãäà ôîðìóëà (9.1.38) ïðèíèìàåò âèä *:

q ′, t ′ T{O A [P(tA ), Q(tA )], O B [P(tB ), Q(tB )], . . . q , t =

X YZ

∏ dq m (x, τ) ∏

τ,x,m q m ( x , t) = q m ( x ) ′ (x) q m (x,t′) = q m

dpm (x, τ) 2π

τ , x ,. m

(9.2.1)

× O A [p(tA ), q (tA )]O B [p(tB ), q (tB )]. . .

LM N

× exp i

z {z t′

t

dτ

}OPQ

d 3 x q& m (x, τ)pm (x, τ) − H [q ( τ), p( τ)] .

Îäíàêî ôîðìóëà (9.2.1) íå ñîâñåì ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî õîòåëîñü áû èìåòü â òåîðèè ïîëÿ. Ýêñïåðèìåíòàòîðû èçìåðÿþò íå àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòåé äëÿ ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîáñòâåííûìè

* Ìû çàïèñûâàåì òåïåðü àðãóìåíòû îïåðàòîðîâ H è O â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ÷òîáû íàïîìíèòü, ÷òî H[q(t), p(t)] è O [p(t), q(t)] ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëàìè îò qm(x,t) è pm(x,t) â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

518

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ñîñòîÿíèÿìè 〈q′,t′| è |q,t〉, à ýëåìåíòû S-ìàòðèöû, ò. å. àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòåé äëÿ ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, êîòîðûå ïðè t → −∞ èëè t → +∞ ñîäåðæàò îïðåäåëåííîå ÷èñëî ÷àñòèö ðàçíûõ ñîðòîâ. Ýòî òàê íàçûâàåìûå «èí» è «àóò» ñîñòîÿíèÿ |α,in〉 è |β,out〉, ãäå α è β îáîçíà÷àþò íàáîðû ÷àñòèö îïðåäåëåííûõ ñîðòîâ ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè èìïóëüñîâ, z-êîìïîíåíò ñïèíà (èëè ñïèðàëüíîñòåé). ×òîáû âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ (âîçìîæíî, è îòñóòñòâóþùåãî) ìåæäó òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè, ñëåäóåò óìíîæèòü (9.2.1) íà «âîëíîâûå ôóíêöèè» 〈β, out|q′, t′〉 è 〈q, t|α, in〉 â ëþáûå ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè t è t′, êîòîðûå äëÿ óäîáñòâà âçÿòû çäåñü ðàâíûìè −∞ è +∞, ñîîòâåòñòâåííî, à çàòåì ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïî «àðãóìåíòàì» qm(x) è q′m(x) ýòèõ âîëíîâûõ ôóíêöèé. Îäíàêî âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñíà÷àëà âûïèñàòü ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî qm(x,t) ñ óñëîâèÿìè ′ (x), q m (x,−∞) = q m (x) , q m (x,+∞) = q m

(9.2.2)

à çàòåì èíòåãðèðîâàòü ïî q′m(x) è qm(x), ìîæíî ñ òåì æå óñïåõîì èíòåãðèðîâàòü ïî qm(x,t) áåç âñÿêèõ óñëîâèé (êàê è ïî pm(x,t)), ïîëàãàÿ àðãóìåíòû âîëíîâûõ ôóíêöèé ðàâíûìè òåì çíà÷åíèÿì, êîòîðûå äàþòñÿ ôîðìóëîé (9.2.2):

β, out T{O A [P(tA ), Q(tA )], O B [P(tB ), Q(tB )], . . . α, in =

XY ∏ dq Z

m ( x, τ)

τ,x,m

∏ (dpm (x, τ)) 2π

τ , x ,. m

× O A [p(tA ), q (tA )]O B [p(tB ), q (tB )]. . .

LM N

× exp i

z z ∞

−∞

dτ

{

}OPQ

d 3 x q& m (x, τ)pm (x, τ) − H [q ( τ), p( τ)]

(9.2.3)

× β, out q(+∞);+∞ q ( −∞);−∞ α, in . Êñòàòè, ýòîò ðåçóëüòàò íåìåäëåííî ïðèâîäèò ê ôîðìóëå (6.4.3), ò. å. ê òåîðåìå, êîòîðóþ ìû íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàëè äëÿ òîãî, ÷òîáû ñâÿçàòü ñóììû ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè îïåðàòîðîâ â ãåéçåíáåðãîâñêîì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.2. Ïåðåõîä ê S-ìàòðèöå

519

ïðåäñòàâëåíèè ìåæäó ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé. * Òåïåðü íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü, êàê âû÷èñëÿòü âîëíîâûå ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîñëåäíèìè äâóìÿ ìíîæèòåëÿìè ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.2.3). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé è íàèáîëåå âàæíûé ñëó÷àé — âàêóóì. ( ðàçäåëå 6.4 ìû âèäåëè, ÷òî ýëåìåíòû S-ìàòðèöû ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ ÷åðåç ñðåäíèå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé.) Ïðåäïîëîæèì, êàê îáû÷íî, ÷òî ïðè t → ±∞ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû âû÷èñëÿþòñÿ òàê, êàê áóäòî íåò íèêàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.Òàêèì îáðàçîì, «èí»- è «àóò»-âàêóóìû ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû óñëîâèÿìè

a in (p, σ, n) VAC, in = 0 , aout (p, σ, n) VAC, out = 0 ,

(9.2.4)

ãäå îïåðàòîðû ain è aout ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè ýêñïîíåíòå exp(ip⋅x − iEt) â ðàçëîæåíèè îïåðàòîðà Qm(x,t) ïî ïëîñêèì âîëíàì ïðè t → −∞ è t → +∞, ñîîòâåòñòâåííî. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, îòâå÷àþùåãî íåéòðàëüíîé áåññïèíîâîé ÷àñòèöå, èìååì

* Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìî ëèøü çàìåòèòü, ÷òî åñëè ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä H [ P(t), Q(t)] + ∑ A d3x ε A ( x, t)OA (x, t) , òî S-ìàòðèöà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (9.2.3) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

z

β, out|α, in ε =

XY ∏ dqm (x, τ) ∏ (dpm (x, τ)) 2π Z τ, x , m τ, x, . m

LM ∞z dτRSz d x q& N −∞ |T 3

× exp i

m ( x , τ )p m ( x , τ )

− ∑ d 3 x ε A ( x , t )OA ( x , t )

z

A

− H [ q ( τ ), p( τ )]

UVOP WQ

× β, out q(+∞ );+∞ q ( −∞ );−∞ α, in .

Ëåâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (6.4.3) ðàâíà ïðîèçâîäíîé ýòîãî âûðàæåíèÿ ïî εa, εb è ò. ä. ïðè ε = 0, ÷òî äàåò ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (9.2.3). Âíîâü èñïîëüçóÿ (9.2.3), ïðèõîäèì ê ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (6.4.3).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

520

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

t→ m ∞

LM MN

OP PQ

Φ(x, t)  →(2π) −3/2 d 3p(2E) −1/2 a in (p)e ip⋅x + ý. ñ. , (9.2.5)

z

out

t→ m ∞ & (x, t) Π(x, t)  → Φ t→ m ∞

LM MN

OP PQ

 → − i(2π) −3/2 d 3 p(E 2)1/2 a in (p)e ip⋅x − ý. ñ. ,

z

out

(9.2.6)

ãäå p0 ≡ E ≡ p2 + m 2 ; çäåñü âìåñòî Q è Ð ìû èñïîëüçóåì îáùåïðèíÿòûå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ îáîçíà÷åíèÿ Φ è Π è îïóñêàåì íåíóæíûå èíäåêñû m, σ, n. Îáðàùàÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è áåðÿ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ïîëó÷èâøèõñÿ âûðàæåíèé, ïîëó÷àåì, ÷òî

a in (p) = lim out

t→ m ∞

×

LM MN

e iEt (2π )

3 /2

E 2

z

d 3 xe − ip⋅x

Φ(x, t) + i

1 2E

OP PQ

(9.2.7)

Π(x, t) .

Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 9.1, «èìïóëüñ» Π(x,t) äåéñòâóåò íà âîëíîâûå ôóíêöèè â ϕ-áàçèñå * êàê âàðèàöèîííàÿ ïðîèçâîäíàÿ −iδ/δϕ(x,t), òàê ÷òî óñëîâèÿ (9.2.4) â ýòîì áàçèñå ïðèíèìàþò âèä:

0=

XY d xe LM δ + E(p)ϕ(x)OP ϕ(x);m∞ VAC, in out Z N δϕ(x) Q 3

− ip ⋅x

.

(9.2.8)

Àíàëîãè÷íîå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò õîðîøî èçâåñòíîå ãàóññîâî ðåøåíèå, òàê ÷òî ïîïðîáóåì è çäåñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ãàóññîâñêîé ïîäñòàíîâêîé:

* Äîñëîâíûé ïåðåâîä àíãëîÿçû÷íîãî òåðìèíà wave functions in ϕ-basis.  ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå áîëåå óïîòðåáèòåëåí òåðìèí âîëíîâûå ôóíêöèîíàëû â ϕ-ïðåäñòàâëåíèè (ãäå îïåðàòîð Φ(x) äåéñòâóåò êàê îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ ϕ(x)). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.2. Ïåðåõîä ê S-ìàòðèöå

ϕ(x);m∞ VAC,

in out

521

FG H

= N exp −

IJ K

1 d 3 xd 3 yE (x, y)ϕ(x)ϕ(y) , (9.2.9) 2

z

â êîòîðîé ïðåäñòîèò îïðåäåëèòü ÿäðî E è êîíñòàíòó N . Ïîäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (9.2.9) â ôîðìóëó (9.2.8), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âàêóóìíîãî âîëíîâîãî ôóíêöèîíàëà óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè ïðè âñåõ ϕ

0=

z

d 3 xe − ip⋅x

z

d 3 yE(x, y)ϕ(y) − E(p)ϕ(x)

(9.2.10)

èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè

z

d 3 xe − ip⋅xE(x, y) = E(p)e − ip⋅y .

(9.2.11)

Ðåøåíèå ëåãêî íàõîäèòñÿ îáðàùåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:

E(x, y) = (2π) −3 d 3pe ip⋅(x − y) E(p) .

z

(9.2.12)

(Íàïîìíèì, ÷òî E(p) = p2 + m 2 .) Íà ñàìîì äåëå, ýòî ñàìîå ïîëåçíîå ïðåäñòàâëåíèå ÿäðà E, íî çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ïðè x ≠ y ìîæíî çàïèñàòü E ÷åðåç ôóíêöèþ Ãàíêåëÿ îòðèöàòåëüíîãî ïîðÿäêà:

FG H

IJ K

m d 1 K −1 (mr) . 2π 2 r dr r

E(x, y) =

(9.2.13)

ãäå r ≡ |x − y|. Êîíñòàíòà N ôîðìàëüíî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè âàêóóìíîãî ñîñòîÿíèÿ, íî ýòîò ðåçóëüòàò íàì íå ïîíàäîáèòñÿ. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.2.9), ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ ïî âàêóóìó â òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñëåäíèõ ìíîæèòåëåé â ôîðìóëå (9.2.3) ðàâíî

VAC, out ϕ(∞);+∞ ϕ(−∞);−∞ VAC, in

FG H F expG − 1 ε H 2

IJ K

=| N |2 exp − 1 d 3 xd 3 yE (x, y)[ϕ(x,+∞)ϕ(y,+∞) + ϕ(x,−∞)ϕ(y,−∞)] 2

z

=| N | 2

z

d 3 xd 3 y

z

∞

−∞

IJ K

dτE (x, y)ϕ(x, τ)ϕ(y, τ)e − ε | τ| ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.2.14)

522

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ãäå ε − áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ïðè ïîëó÷åíèè îêîí÷àòåëüíîãî âûðàæåíèÿ, ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì ôàêòîì, ÷òî äëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè f(τ) ∞

f (+∞) + f ( −∞) = lim ε dτ f ( τ) e − ε | τ| .

z

(9.2.15)

ε → 0 + −∞

Ïîäñòàâëÿÿ ïðåäñòàâëåíèå (9.2.14) â ôîðìóëó (9.2.3), ïîëó÷àåì:

VAC, out T{O A Π(tA ), Φ(tA ) , O B Π(tB ), Φ(tB ) , . . . VAC, in =| N | 2

XY ∏ dϕ(x, τ)∏ (dπ(x, τ) 2π)T{O π(t ), ϕ(t ) Z L dτRS d x ϕ& (x, τ)π(x, τ) π(t ), ϕ(t ) , . . . exp M i T N A

τ,x

× OB

A

A

τ,x

∞

B

z z

B

3

(9.2.16)

−∞

− H [ϕ( τ), π(τ)] + 1 iε d 3 xd 3 yE (x, y)e − ε| τ| ϕ(x, τ)ϕ(y, τ) 2

z

UVOP . WQ

 ðàçäåëå 9.4 ìû óâèäèì, ÷òî ñîâîêóïíûé ýôôåêò îò ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.2.16) çàêëþ÷àåòñÿ â ïîÿâëåíèè äîáàâêè −iε â çíàìåíàòåëå ïðîïàãàòîðà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå: [p2 + m2 − iε]−1. Ìû íå áóäåì âäàâàòüñÿ â äåòàëè ñîîòâåòñòâóþùèõ âû÷èñëåíèé äëÿ ïîëåé ïðîèçâîëüíîãî ñïèíà, à ïðîñòî óêàæåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå

VAC, out T{O A PA (tA ), Q(tA ) , O B PB (tB ), Q(tB ) , . . . VAC, in

OP LM O (dp (x, τ) 2π)P O p(t ), q (t ) ∏ PQ MN PQ L X |R × O p(t ), q (t ) , . . . × exp M i Y dτ S d x ∑ q& (x, τ)p (x, τ) MN YZ T| UO − H [q (τ), p(τ)] + iε − ñëàãàåìûåVP . WQ =| N | 2

X LM YY M∏ dq ZN τ,x

m ( x, τ)

m

A

A

A

τ,x

∞

B

B

z

B

−∞

3

m

m

m

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.2.17)

9.3. Ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà

523

Çäåñü «iε-ñëàãàåìûå» ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ ïðàâèëüíîé äîáàâêè −iε â çíàìåíàòåëÿõ âñåõ ïðîïàãàòîðîâ. Ñåé÷àñ óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî íå çàâèñÿùèå îò ïîëåé ìíîæèòåëè â (9.2.17), òèïà êîíñòàíòû |N  |2, íåñóùåñòâåííû. Äåëî â òîì, ÷òî îíè äàþò âêëàä è â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà 〈VAC, out|VAC, in〉. Ïðè âû÷èñëåíèè ñâÿçíîé ÷àñòè ñðåäíèõ ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé (èëè S-ìàòðèöû) ìû èçáàâëÿåìñÿ îò âêëàäà íåñâÿçíûõ ïîääèàãðàìì âàêóóìíûõ ôëóêòóàöèé ïóòåì äåëåíèÿ íà 〈VAC, out|VAC, in〉, òàê ÷òî âñå ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè â âàêóóìíûõ ñðåäíèõ ñîêðàùàþòñÿ. Ìîæíî ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå è âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìåæäó ìíîãî÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè, ïîäñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå «âîëíîâûå ôóíêöèîíàëû» â ôîðìóëó (9.2.3). Ïîñëåäíèå ìîæíî âû÷èñëèòü, ïîäåéñòâîâàâ íà âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå ñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè ê îïåðàòîðàì óíè÷òîæåíèÿ âèäà (9.2.7). Êàê è äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, òàêèå âîëíîâûå ôóíêöèîíàëû îêàçûâàþòñÿ ïîëèíîìàìè Ýðìèòà ïî ïîëÿì, óìíîæåííûìè íà âàêóóìíûé ãàóññèàí. Ìû íå áóäåì ðàçâèâàòü äàëåå ýòè âû÷èñëåíèÿ, ïîñêîëüêó, êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 6.4, âñå, ÷òî íóæíî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ S-ìàòðèöû, ýòî çíàíèå ñðåäíèõ ïî âàêóóìó (9.2.17). 9.3. Ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàë Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â ôîðìóëàõ (9.1.38) èëè (9.2.17) ïîõîæå íà ëàãðàíæèàí L äëÿ ãàìèëüòîíèàíà Í. Ýòî ñõîäñòâî äî íåêîòîðîé ñòåïåíè ââîäèò â çàáëóæäåíèå, òàê êàê «èìïóëüñû» pa(t) èëè pn(x,t) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè, åùå íå ñâÿçàííûìè ñ qa(t) èëè qn(x,t) èëè èõ ïðîèçâîäíûìè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò áîëüøîé è âàæíûé êëàññ òåîðèé, â êîòîðûõ èíòåãðàë ïî «èìïóëüñàì» ìîæåò áûòü âçÿò ïóòåì ïðîñòîé çàìåíû èõ íà òå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå äèêòóþòñÿ êàíîíè÷åñêèì ôîðìàëèçìîì.  ýòîì ñëó÷àå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â èíòåãðàëàõ ïî ïóòÿì äåéñòâèòåëüíî ñîâïàäàåò ñ ëàãðàíæèàíîì. Ãàìèëüòîíèàí òàêèõ òåîðèé êâàäðàòè÷åí ïî «èìïóëüñàì», ò. å. íà ÿçûêå òåîðèè ïîëÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

524

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

H [Q, P] = 1 2 +

∑

z ∑z

d 3 xd 3 y Axn ,ym [Q]Pn (x)Pm (y)

nm

(9.3.1)

d 3xBxn [Q]Pn (x) + C[Q],

n

ãäå «ìàòðèöà» À — äåéñòâèòåëüíàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ, ïîëîæèòåëüíàÿ è íåñèíãóëÿðíàÿ.Òîãäà ïîêàçàòåëü â ýêñïîíåíòå â ôîðìóëå (9.2.17) êâàäðàòè÷åí ïî ð:

X dτR|XY d x p (x, t)q& YY S|Z ∑ Z T 3

n

n (x, t)

− H q ( τ), p( τ)

n

=−

1

∑

2 nm

z

U| V| W

d 3xd 3 ydτdτ ′Àτxn , τ ′ym [q ]pn (x, τ)pm (y, τ ′)

(9.3.2)

− ∑ d x dτ B τxn [q ]pn (x, τ) − C[q ],

z z 3

n

ãäå

Àτxn , τ ′ym [q ] ≡ Axn ,ym [q ( τ)]δ(τ − τ ′) ,

(9.3.3)

Bτxn [q ] ≡ Bxn [q (τ)] − q& n (x, τ) ,

(9.3.4)

C [q ] ≡

z

dτ C[q (τ)] .

(9.3.5)

 îáùåì ñëó÷àå èíòåãðàë îò ýêñïîíåíòû, â ïîêàçàòåëå êîòîðîé ñòîèò êâàäðàòè÷íîå âûðàæåíèå òèïà (9.3.2), ïðîïîðöèîíàëåí ýêñïîíåíòå, âû÷èñëåííîé â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå åå ïîêàçàòåëÿ.  ñëó÷àå êîíå÷íîãî ÷èñëà äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ ξ s ýòà ôîðìóëà èìååò âèä ∞

X F dξ I expR|− YZ GH ∏ JK S| T s

s

1 2

U| V| W

i ∑ Àsr ξ s ξ r − i ∑ B s ξ s − iC sr

s

−∞

|R = cDet iÀ 2π h exp S− |T −1/ 2

1 2

i ∑ Àsr ξs ξ r − i ∑ B s ξs sr

s

|U − iCV , |W

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.3.6)

9.3. Ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà

525

ãäå ξ − ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà,

ξs = −

∑ (À −1)sr Br .

(9.3.7)

r

(Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû äàíî â Ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå.) Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè OA, OB è ò. ä. â (9.2.17) íå çàâèñÿò îò ð, ìîæíî âû÷èñëèòü ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî èìïóëüñàì ð â ôîðìóëå (9.2.17) â ñëó÷àå òàêîãî ãàìèëüòîíèàíà, âçÿâ ýòè ïåðåìåííûå â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå êâàäðàòè÷íîãî âûðàæåíèÿ â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû. Îäíàêî âàðèàöèîííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîãî êâàäðàòè÷íîãî âûðàæåíèÿ ðàâíà

δ δpn (x, τ)

∞

z {z dτ

}

d 3xq& n (x, τ)pn (x, τ) − H q (τ), p( τ) + iε − ñëàãàåìûå

−∞

= q& n (x, τ) −

δ H q ( τ), p( τ) . δpn (x, τ)

(Ñëàãàåìûå ñ iε çàâèñÿò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ q.) Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíàÿ «òî÷êà» pn (x, t) , â êîòîðîé ýòà ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñòü ïðîñòî çíà÷åíèå pn(x,t), çàäàâàåìîå êàíîíè÷åñêîé ôîðìóëîé

q& n (x, τ) =

LM δH q(τ), p(τ) OP N δp (x, τ) Q n

.

(9.3.8)

p=p

Åñëè ïîëîæèòü pn(x,t) ðàâíûì ýòîìó çíà÷åíèþ, ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â (9.2.17) ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íûé ëàãðàíæèàí *

L q (τ), q& ( τ) ≡

X d xF q& YY GH ∑ Z 3

n ( x, τ) p n ( x , τ)

− H q (τ), p (τ)

n

I JK ,

è ôîðìóëó (9.2.17) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

* Òî÷íåå, â ëàãðàíæåâî äåéñòâèå. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.3.9)

526

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

l

q X O [q (t = | N | Y ∏ dq (x, τ)bDet 2iπÀ [q ] g Z L O × exp M i dτkL[q ( τ), q& ( τ)] + iε - ñëàãàåìûåpP . MN PQ VAC, out T O A [Q(tA )], O B [Q(tB )], . . . VAC, in −1/2

2

n

A

A )], O B [q (tB )], . . .

τ,x, n

∞

z

(9.3.10)

−∞

(Ìû îáúåäèíèëè ìíîæèòåëè 1/2π â èíòåãðàëàõ ïî ð ñ äåòåðìèíàíòîì èç ôîðìóëû (9.3.6).) Ýòî è åñòü æåëàåìàÿ ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà. Ïðè âûâîäå (9.3.10) áûëî íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îïåðàòîðû OA, OB, ... íå çàâèñÿò îò êàíîíè÷åñêèõ «èìïóëüñîâ». Ýòî óñëîâèå íå òàêîå æåñòêîå, êàê ìîæåò ïîêàçàòüñÿ. Íàïðèìåð, â ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ, â êîòîðîé êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûé ïîëþ Φ èìïóëüñ & , âîçìîæíî âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò õðîíîëîãè÷ååñòü Π = Φ ñêè óïîðÿäî÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ åñòü & (t) , âçÿâ ðàçíîñòü ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, â êîòîðûõ ýòîò îïåðàòîð Φ çàìåíåí íà Φ(τ + dτ) è Φ(τ), ïîäåëèâ åå íà dτ è âçÿâ ïðåäåë dτ → 0. Ýêâèâàëåíòíî, äî òåõ ïîð, ïîêà t íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èç îñòàëüíûõ âðåìåííû1õ àðãóìåíòîâ îïåðàòîðà â ôîðìóëå (9.3.10), ìîæíî ïðîñòî äèôôåðåíöèðîâàòü (9.3.10) ïî âðåìåíè t. Åäèíñòâåííîå îñòàâøååñÿ ñåðüåçíîå îñëîæíåíèå â ôîðìóëå (9.3.10) ñâÿçàíî ñ äåòåðìèíàíòîì À [q]. Åñëè À [q] íå çàâèñèò îò ïîëåé, òî íå âîçíèêàåò íèêàêèõ ïðîáëåì. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî îáùèå êîíñòàíòû íå äàþò âêëàäà â ñâÿçíûå ÷àñòè âàêêóìíûõ ñðåäíèõ, òàê êàê ïðè èõ âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäèòñÿ äåëåíèå íà àìïëèòóäó ïåðåõîäà âàêóóì−âàêóóì, ïðîïîðöèîíàëüíóþ òîé æå êîíñòàíòå. Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî â òåîðèè íåñêîëüêèõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì ñêàëÿðíûõ ïîëåé Φn áåç ïðîèçâîäíûõ è/èëè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ïðîèçâîäíûìè, íî ñ âíåøíèìè òîêàìè Jn. Ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä:

L =−

∑ LMN 21 ∂ λ Φ n ∂ λ Φ n + Jn λ ∂ λ Φ n OPQ − V(Φ) . n

Î÷åâèäíîå îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 7.5, êàñàþùèõñÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïðîèçâîäíûìè îäíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, íà ñëó÷àé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.3. Ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà

527

íåñêîëüêèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé ïðèâîäèò ê ãàìèëüòîíèàíó

H=

X d x∑ L YZ MN 3

1 2

Π 2n + 21 (∇Φ n )2

n

OP XY d xV(Φ) . Q Z

+ J n ⋅ ∇Φ n + J n 0 Π n + 21 ( J n 0 )2 +

3

(Çäåñü ñêàëÿðíûå ïîëÿ Φn âûáðàíû äåéñòâèòåëüíûìè ñêàëÿðàìè, îäíàêî ìîæíî âêëþ÷èòü â ðàññìîòðåíèå è êîìïëåêñíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ, ðàçäåëèâ èõ íà äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè.)  îáùåì ñëó÷àå âîçíèêàåò íåòðèâèàëüíîå ñëàãàåìîå, ëèíåéíîå ïî Πn, íî êîýôôèöèåíò â êâàäðàòè÷íîì ñëàãàåìîì åñòü êîíñòàíòà, ðàâíàÿ ïðîñòî åäèíè÷íîé «ìàòðèöå»

Àxn,x ′n ′ = δ 4 (x − x ′)δ nn ′ . −1 / 2

 äàííîì ñëó÷àå ìíîæèòåëü Det 2iπA [q ] â (9.3.10) åñòü íåçàâèñÿùàÿ îò ïîëåé êîíñòàíòà, íå âëèÿþùàÿ íà ðåçóëüòàòû. Îäíàêî íå âñåãäà âñå òàê ïðîñòî.  êà÷åñòâå âòîðîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìóþ íåëèíåéíóþ σ-ìîäåëü, ëàãðàíæèàí êîòîðîé

c

L = − 21

h

∑ ∂ λ Φ n ∂ λ Φ m δ nm + U nm (Φ)

− V ( Φ) .

nm

Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïðèâîäèò ê ãàìèëüòîíèàíó

H=

XY d x LM Z N 3

1 2

Π n 1 + U (Φ)

a

f

−1 Π nm m

+ 21 ∇Φ n ⋅ ∇Φ m 1 + U (Φ)

a

f

nm

OP Q

+ V(Φ) .

Çäåñü À − çàâèñÿùàÿ îò ïîëåé âåëè÷èíà

À nx,my = 1 + U (Φ(x))

−1 4 δ (x nm

− y) .

 ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ äåòåðìèíàíò ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå âêëàäà â ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì Det À = exp Tr lnÀ. Çàìåíÿÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé êîíòèíóóì äèñêðåòíîé ðåøåòêîé òî÷åê ïîñåðåäèíå îòäåëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòåé î÷åíü ìàëîãî îáúåìà Ω, ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü äåëüòà-ôóíêöèþ â Ànx,my ñëåäóþùèì îáðàçîì: δ4(x − y) = Ω−1δx,y, òàê ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

528

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

( lnÀ ) nx,my = δ x, y ln(1 + U (Φ(x))) − 1 ⋅ ln Ω

nm

,

ãäå ëîãàðèôì ìàòðèöû îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ðàçëîæåíèåì â ðÿä

ln(1 + U ) = U −

U2 U3 + −... 2 3

×òîáû âû÷èñëèòü ñëåä, çàìåòèì, ÷òî ∑x ... = Ω−1∫d4x ... . Òîãäà äåòåðìèíàíò ðàâåí

DetÀ ∝ exp − Ω −1 d 4 x tr ln 1 + U (Φ(x)) ,

z

ãäå ñèìâîë «tr» îçíà÷àåò ñëåä â îáû÷íîì ìàòðè÷íîì ñìûñëå. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (âîçíèêàþùèé èç ñëàãàåìîãî −ln Ω) íå çàâèñèò îò ïîëÿ è ïîýòîìó íå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñà. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ýòîò äåòåðìèíàíò êàê ïîïðàâêó ê ýôôåêòèâíîìó ëàãðàíæèàíó

∆L = − 21 iΩ −1tr ln 1 + U (Φ(x)) . Ìíîæèòåëü Ω−1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå óëüòðàôèîëåòîâî ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà

Ω −1 = δ 4 (x − x) = (2π) −4 d 4 p ⋅ 1 .

z

Ìû íå áóäåì ýòîãî ïîêàçûâàòü, íî äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå â ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàììàõ äëÿ òàêîé òåîðèè, ñâÿçàííûå ñ ïîïðàâêîé ∆L, ìîæíî âûâåñòè è â ðàìêàõ êàíîíè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà, ó÷èòûâàÿ ñëàãàåìûå îò îäíîâðåìåííûõ êîììóòàòîðîâ â ïðîïàãàòîðå ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 7. Ïðåíåáðåæåíèå ýòîé ïîïðàâêîé ïðèâîäèò ê ëîæíîé çàâèñèìîñòè S-ìàòðèöû îò ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, è, êðîìå òîãî, íåñîâìåñòèìî ñ ëþáîé ñèììåòðèåé ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Äàæå â ñëó÷àå, êîãäà ìíîæèòåëü (Det À)−1/2 â ôîðìóëå (9.3.10) äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò ïîëåé, ëàãðàíæèàí â ýòîé ôîðìóëå ìîæåò îòëè÷àòüñÿ èñõîäíîãî. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì òåîðèþ íåñêîëüêèõ äåéñòâèòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ñ ïëîòíîñòüþ ëàãðàíæèàíà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.3. Ëàãðàíæåâà ôîðìà ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà

529

∑ LMN 14 (∂µ Anλ − ∂ λ Anµ )(∂µ An λ − ∂ λ An µ )

OP Q

L =−

+ 21 m 2n Anλ An λ + J n λ Anλ ,

n

ãäå òîêè Jnµ ÿâëÿþòñÿ ëèáî âíåøíèìè ñ-÷èñëîâûìè èñòî÷íèêàìè, ëèáî çàâèñÿò îò äðóãèõ ïîëåé (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå â ëàãðàíæèàí ñëåäóåò äîáàâèòü âêëàä äðóãèõ ïîëåé). Ïðîñòîå îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 7.5 ïðèâîäèò ê ãàìèëüòîíèàíó

H=

X d x∑ L 1 Π YZ MN 2 3

2 n

+

n

+

1 1 (∇ × A n )2 + m 2n A 2n 2 2

OP Q

1 1 1 (∇ ⋅ Πn )2 + J n ⋅ A n − 2 J 0n ∇ ⋅ Πn + ( J 0n )2 , 2 2 mn 2m n 2m n

 ïðàâóþ ÷àñòü ñëåäóåò òàêæå äîáàâèòü ñëàãàåìûå îò ëþáûõ äðóãèõ ïîëåé, âõîäÿùèõ â Jnµ . Êîýôôèöèåíò ïðè êâàäðàòè÷íîì ñëàãàåìîì çäåñü íåñêîëüêî ñëîæíåå, ÷åì â ïåðâîì ïðèìåðå, è ðàâåí

LM N

À nix,mjy = δ nm δ ij δ 4 (x − y) −

OP Q

1 ∇ i ∇ j δ 4 (x − y) , 2m2n

íî îí íå çàâèñèò îò ïîëåé, òàê ÷òî ìíîæèòåëü (Det À)−1/2 íåñóùåñòâåí. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëàãðàíæèàí (9.3.9) îòëè÷àåòñÿ îò èñõîäíîãî: îí âûðàæàåòñÿ òîëüêî ÷åðåç ïîëÿ A è èõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè, íî íå ñîäåðæèò âîâñå âðåìåííûõ êîìïîíåíò A0 *. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü âûðàæåíèÿ (9.3.10) äàëåêî íå î÷åâèäíà. ×òîáû èñïðàâèòü ýòî ïîëîæåíèå, ìîæíî âíîâü ââåñòè âñïîìîãàòåëüíîå ïîëå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äîáàâèëè ê ãàìèëüòîíèàíó ñëàãàåìîå ∆H = −

1 2

∑ m2n

z

d 3x A 0n − m n−2∇ ⋅ Πn + m n−2 J 0n

2

n

* Ýòî è íåóäèâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ìû èìååì äåëî ñ òåîðèåé ñî ñâÿçÿìè (âòîðîãî ðîäà), è ïðèâåäåííûé ãàìèëüòîíèàí ïîëó÷åí â ðåçóëüòàòå ðàçðåøåíèÿ ýòèõ ñâÿçåé, âûðàæàþùèõ À0 ÷åðåç íåçàâèñèìûå ïîëÿ À è ñîïðÿæåííûå èì êàíîíè÷åñêèå èìïóëüñû. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

530

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

è ïðîèíòåãðèðîâàëè ïî An0, à òàêæå ïî Àn è Πn. Ðåçóëüòàòîì ýòîãî ìîæåò áûòü òîëüêî ïîÿâëåíèå íå çàâèñÿùåãî îò ïîëåé îáùåãî ìíîæèòåëÿ, ïîñêîëüêó ∆H êâàäðàòè÷íî ïî À0 (ñ íåçàâèñÿùèì îò ïîëåé êîýôôèöèåíòîì â ñëàãàåìîì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî À0) è åãî ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Îäíàêî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èíòåãðèðóåì ïî Πn äî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî An0. Ãàìèëüòîíèàí â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå (9.2.17) çàìåíÿåòñÿ íà H + ∆H =

X d x∑ L 1 Π YZ MN 2 3

2 n

n

−

+

1 1 (∇ × A n )2 + m 2n A 2n 2 2

OP Q

1 2 0 2 m ( A ) + J n ⋅ A n − J 0n A0n + A0n ∇ ⋅ Πn . 2 n n

Îí âñå åùå êâàäðàòè÷åí ïî Πn ñ íå çàâèñÿùèì îò ïîëÿ (è äàæå áîëåå ïðîñòûì) êîýôôèöèåíòîì ïðè êâàäðàòè÷íîì ñëàãàåìîì, òàê ÷òî èíòåãðàë ïî âñåì Πn ìîæíî âçÿòü, ïðîñòî çàìåíèâ Πn íà åãî & − H − ∆H: çíà÷åíèå â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ôóíêöèîíàëà ∑n∫d3x Π ⋅ A n

& + ∇A0 . Πn = A n n & − H − ∆H Åñëè Πn èñêëþ÷èòü èìåííî òàêèì ñïîñîáîì, òî ∑n∫d3x Π ⋅ A n åñòü â òî÷íîñòè èñõîäíûé ëîðåíö-èíâàðèàíòíûé ëàãðàíæèàí. ×òîáû ó÷åñòü âîçìîæíóþ íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ïîëåé òèïà Àn0, áóäåì ñ ýòîãî ìîìåíòà çàïèñûâàòü ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ èìïóëüñîâ â òåðìèíàõ ïîëåé ψl, âêëþ÷àþùèõ êàê êàíîíè÷åñêèå ïîëÿ qn, òàê è âñïîìîãàòåëüíûå ïîëÿ cr: VAC, out T O A [ΨA (tA )], O B [ΨB (tB )], . . . VAC, in

l

q

XY ∏ dψ (x, τ) O [ψ(t )] O [ψ(t )] . . . Z L O & (τ)] + iε - ñëàãàåìûåpP , × exp M i dτkL[ψ (τ), ψ MN PQ

∝

n

A

A

B

B

τ,x , n

∞

(9.3.11)

z

−∞

èìåÿ ïðè ýòîì â âèäó, ÷òî ëàãðàíæèàí L ìîæåò ñîäåðæàòü ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò çàâèñÿùèõ îò ïîëåé ìíîæèòåëåé âèäà (Det À)−1/2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.4. Âûâîä ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë

531

9.4. Âûâîä ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ Òåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìàëèçìîì ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ äëÿ âûâîäà ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë äëÿ øèðîêîãî êëàññà òåîðèé. Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñðåäíèå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ (è ñîïðÿæåííûõ èì îïåðàòîðîâ)

MlAlB ... (x A x B . . . ) =

VAC, out T ΨlA (x A ), ΨlB (x B ). . . VAC, in

n

s

. (9.4.1)

VAC, out VAC, in

èç êîòîðûõ (êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 6.4) ìîæíî ïîëó÷èòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S-ìàòðèöû, îòáðàñûâàÿ ïðîïàãàòîðû âíåøíèõ ëèíèé, ñâÿçàííûå ñ êàæäûì èç ýòèõ ïîëåé, çàìåíÿÿ èõ íà êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè, ñòîÿùèå â êà÷åñòâå ìíîæèòåëåé ïåðåä îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ ñâîáîäíûõ ïîëåé, è ñóììèðóÿ ïî âñåì èíäåêñàì ýòèõ êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé. Äëÿ ïðîñòåéøèõ òåîðèé, ãàìèëüòîíèàí êîòîðûõ êâàäðàòè÷åí ïî Π, íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (9.3.11):

X LM O YY M∏ dψ (x)PPψ (x )ψ Q ...) = Z N XY ∏ dψ (x) e Z l

MlAlB ... (x A x B

lA

A

l B (x B ). . . e

iI [ ψ ]

x ,l

l

,

iI [ ψ ]

(9.4.2)

x ,l

ãäå I[ψ] − äåéñòâèå âèäà I[ ψ ] =

z

∞

−∞

& ( τ) + iε − ñëàãàåìûå , dτ L ψ ( τ), ψ

l

q

(9.4.3)

ïðè÷åì L âêëþ÷àåò òåïåðü ëþáûå âîçìîæíûå ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò çàâèñÿùåãî îò ïîëÿ äåòåðìèíàíòà â ôîðìóëå (9.3.10). Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ëàãðàíæèàí ðàâåí èíòåãðàëó îò ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà, ñîäåðæàùåé êâàäðàòè÷íîå ñëàãàåìîå L0,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

532

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

îñòàþùååñÿ è â îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé, è ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ L1:

& ( τ) = L ψ ( τ), ψ

z

d 3x L0 ψ (x, τ), ∂ µ ψ (x, τ) + L1 ψ (x, τ), ∂ µ ψ (x, τ) . (9.4.4)

d

i

d

i

Èíûìè ñëîâàìè, äåéñòâèå (9.4.3) ðàâíî

I[ψ } = I0 [ψ ] + I1 [ψ ], I0 [ ψ ] =

z

(9.4.5)

d 4 xL0 (ψ (x), ∂ µ ψ (x)) + iε − ñëàãàåìûå , I1 [ψ ] =

z

d 4xL1 (ψ (x), ∂ µ ψ (x)) .

(9.4.6) (9.4.7)

Òàê êàê L0 è «iε-ñëàãàåìûå» êâàäðàòè÷íû ïî ïîëÿì, ìîæíî âñåãäà çàïèñàòü I0 êàê îáîáùåííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó

I0 [ ψ ] = −

XY d xd x′∑ D 2Z 1

4

4

l ,l ′

lx ,l ′x ′ ψ l (x) ψ l ′ (x ′) .

(9.4.8)

Íàïðèìåð, äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ìàññîé m íåâîçìóùåííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä

L0 = − 21 ∂ µ ϕ∂ µ ϕ − 21 m 2ϕ 2

,

(9.4.9)

à iε-ñëàãàåìûå â I0 îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.2.16) â âèäå 1 2

zz

iε dt d 3 xd 3x ′E(x, x ′)ϕ(x, t)ϕ(x ′, t) ,

(9.4.10)

òàê ÷òî

Dx,x ′ =

∂

∂ µ

∂x ∂xµ′

δ 4 (x − x ′) + m 2δ 4 (x − x ′) − iεE (x, x ′)δ(t − t ′) . (9.4.11)

(Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû îïóñêàåì ìíîæèòåëü e−ε|τ| â iε-ñëàãàåìîì, òàê êàê îò íåãî âîçíèêàþò ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ε.) Âçàèìîäåéñòâèÿ ìû áóäåì ó÷èòûâàòü ïî òåîðèè âîçìóùåíèé, ðàçëàãàÿ ýêñïîíåíòó ïî ñòåïåíÿì I1,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.4. Âûâîä ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë

533

exp( iI[ψ ]) = exp( iI0 [ψ ])

∞

∑

N =0

iN I [ψ ] N! 1

b

g

N

(9.4.12)

à çàòåì ðàçëàãàÿ I1 ïî ñòåïåíÿì ïîëåé. Èíòåãðàëû, ïîëó÷àþùèåñÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (9.4.2), èìåþò ñëåäóþùèé îáùèé âèä:

Il1l2 ... (x1x2 . . . ) ≡

XF I YY G ∏ dψ (x)J e K ZH l

iI0 [ ψ ]

ψ l1 (x1 )ψ l2 (x2 ). . . ,

(9.4.13)

l,x

ãäå ìíîæèòåëè, ñîäåðæàùèå ïîëÿ ψ l1 (x1 )ψ l2 (x2 ) , è ò. ä. âîçíèêàþò èç I1[ψ] è/èëè èç ïîëåâûõ ìíîæèòåëåé ψ lA (x A ) , èçíà÷àëüíî ïðèñóòñòâóþùèõ â ÷èñëèòåëå (9.4.2). Åñëè I0[ψ] èìååò âèä (9.4.8), èíòåãðàë (9.4.13) îòíîñèòñÿ ê òîìó æå òèïó, ÷òî è èíòåãðàë, âû÷èñëåííûé â Ïðèëîæåíèè ê äàííîé ãëàâå, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî äèñêðåòíûé èíäåêñ s çàìåíåí ïàðîé èíäåêñîâ l, x. Ïîýòîìó ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (9.À.12) è (9.À.15), ÷òî äàåò

Il1l2 ...

L F iD I O (x x . . . ) = MDetG J P N H 2π K Q 1 2

−1/ 2

∑

∏

− iD −1

ñïàðåííûå ïîëÿ

ïî ïî ñïàðèâàíèÿì ïàðàì ïîëåé

.

(9.4.14)

Ýòî è åñòü êîâàðèàíòíûå ïðàâèëà Ôåéíìàíà â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëèòåëÿ â ôîðìóëå (9.4.2). Ìû ïðîâîäèì ðàçëîæåíèå ïî âçàèìîäåéñòâèþ I1, çàòåì ñóììèðóåì ïî âñåâîçìîæíûì ñïàðèâàíèÿì ïîëåé â ìíîæèòåëÿõ I1 äðóã ñ äðóãîì è ñ ïîëÿìè ψ lA (x A ) è ò. ä., ïðè÷åì êàæäîå ñïàðèâàíèå äàåò âêëàä â âèäå èíòåãðàëà ïî ïðîñòðàíñòâó−âðåìåíè îò ïðîèçâåäåíèÿ êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé ïîëåé â I1[ψ] è ïðîèçâåäåíèÿ «ïðîïàãàòîðîâ» −i∆, ãäå

∆ l1l2 (x1 , x2 ) = (D −1 )l1x1 ,l2x2 .

(9.4.15)

(Ìíîæèòåëü [Det(iD/2π)]−1/2 â ôîðìóëå (9.4.14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âêëàä äèàãðàìì ñ íåîãðàíè÷åííûì ÷èñëîì îäèíî÷íûõ ïåòåëü, íå ñâÿçàííûõ ñ äðóãèìè ëèíèÿìè, íî â ëþáîì ñëó÷àå ýòîò ìíîæèòåëü ñîêðàùàåòñÿ â îòíîøåíèè (9.4.2).) Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ñàìè ïðîïàãàòîðû (9.4.15). Ìû ðàññìàòðèâàåì ôîðìóëó (9.4.15) êàê èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

534

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

∑

z

d 4 x2Dl1x1 ,l2x2 ∆ l2 ,l3 (x2 , x3 ) = δ 4 (x1 − x3 )δ l1l3 .

(9.4.16)

l2

 îòñóòñòâèå âíåøíèõ ïîëåé â ñèëó òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè âåëè÷èíà D ñ íåîáõîäèìîñòüþ åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî ðàçíîñòè x1 − x2 è ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå: Dl1x1 ,l2x2 ≡ (2π) −4 d 4 p e ip⋅( x1 − x2 )Dl1 ,l2 (p) .

z

(9.4.17)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.4.16) èìååò òîãäà âèä

∆ l1 ,l2 (x2 , x3 ) = (2π) −4 d 4p e ip⋅(x1 − x2 )Dl−,1l (p) .

z

(9.4.18)

1 2

ãäå D–1 — ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå D. Êàê áóäåò ïîêàçàíî, iεñëàãàåìûå ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî òàêàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà õîðîøî îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé ð. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïðîïàãàòîðà ñâåäåíà ê îáðàùåíèþ êîíå÷íîìåðíîé ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìàññèâíîå ñêàëÿðíîå ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå D èìååò âèä (9.4.11). Ìîæíî çàïèñàòü åãî â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå

z

Dx, y = (2π) −4 d 4p e ip⋅(x − y) p2 + m 2 − iεE(p) ,

c

h

òàê ÷òî ïðîïàãàòîð ðàâåí

z

∆ x, y = (2π) −4 d 4 p e ip⋅( x − y) p2 + m 2 − iεE(p)

c

h

−1

.

Âèäíî, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñî ñêàëÿðíûì ïðîïàãàòîðîì, ïîëó÷åííûì ðàíåå îïåðàòîðíûìè ìåòîäàìè. (Ðàçíèöà ìåæäó ε è εE(p) íåñóùåñòâåííà, òàê êàê îáå âåëè÷èíû ïîëîæèòåëüíû è áåñêîíå÷íî ìàëû.)  êà÷åñòâå âòîðîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì äåéñòâèòåëüíîå ìàññèâíîå âåêòîðíîå ïîëå. Íåâîçìóùåííûé ëàãðàíæèàí ðàâåí 1 1 L 0 = − (∂ µ A ν − ∂ ν Aµ )(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) − m 2 Aµ A µ . 4 2 На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

535

Âíîâü ìîæíî çàïèñàòü I0[ψ] â ôîðìå (9.4.8) ñ ÿäðîì

LM MN

Dρx,σy = ηρσ

OP PQ

∂2 ∂2 − + m 2 ηρσ δ 4 (x − y) + iε − ñëàãàåìûå µ σ ρ ∂x ∂yµ ∂x ∂y

= (2π) −4 d 4p e ip⋅(x − y) [ ηρσ p2 − pρpσ + m 2 ηρσ + iε − ñëàãàåìûå] .

z

Ìû íå áóäåì òðàòèòü çäåñü âðåìÿ íà òî, ÷òîáû ïîêàçûâàòü, ÷òî «+iε-ñëàãàåìûå» ïðèíèìàþò ïðîñòîé âèä −iεE(p)ηρσ. Òîãäà ïðîïàãàòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòûì îáðàùåíèåì ìàòðèöû 4×4 â ïîñëåäíåì ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè:

∆ ρσ (x, y) = (2π) −4

ip ⋅( x − y)

L X d pe YZ p + m − iεE(p) MNη 4

2

ρσ

2

+

pρpσ m

2

OP . Q

(Ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå ε, â ÷èñëèòåëå îïóùåíû. Îíè âàæíû â çíàìåíàòåëå, òàê êàê îïðåäåëÿþò, êàê ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå âáëèçè ìàññîâîé îáîëî÷êè p2 = − m2.) Ïðèâåäåííîå âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì îïåðàòîðíûìè ìåòîäàìè, åñëè íå ñ÷èòàòü òîãî, ÷òî îòñóòñòâóþò íåêîâàðàíòíûå ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå δ(x0 − y0). Ðàíåå ýòè íåêîâàðèàíòíûå ñëàãàåìûå áûëè íóæíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîêðàòèòü íåêîâàðèàíòíûå äîáàâêè â ãàìèëüòîíèàíå âçàèìîäåéñòâèÿ. Òåïåðü æå âêëàäû âåðøèí â ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèëàõ ïîëó÷àþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç êîâàðèàíòíîãî ëàãðàíæèàíà, òàê ÷òî íèêàêîãî ñîêðàùåíèÿ íå òðåáóåòñÿ. Ñòîëü æå ïðîñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ òåîðèè ñ âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïðîèçâîäíûìè. Ìíîæèòåëü, âîçíèêàþùèé îò ñïàðèâàíèÿ ïðîèçâîäíîé ïîëÿ ∂µψl(x) ñ ëþáûì äðóãèì ïîëåì ψm(y) (êîòîðîå ñàìî ìîæåò áûòü ïðîèçâîäíîé), èìååò âèä

X LM O YY M∏ dψ (x)PP∂ ψ (x)ψ Q = ZN X LM O YY M∏ dψ (x)PP e ZN Q µ

l

∂ µ ψ l (x)ψ m ( y)

l

m ( y) e

iI [ ψ ]

x ,l

l

iI [ ψ ]

x ,l

=

∂ ψ l (x)ψ m ( y) . ∂x µ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.4.19)

536

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Ó òàêèõ ïðîïàãàòîðîâ îòñóòñòâóþò íåêîâàðèàíòíûå ÷àñòè. Íàïðèìåð, äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñïàðèâàíèå ∂µϕ ñ ∂νϕ ïðèâîäèò â ðåçóëüòàòå ê ïðîïàãàòîðó â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè kµkν/(k2 + m2 − iε). Êðîìå òîãî, êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, âåðøèíû â òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðîãî ñ äðóãèìè ïîëÿìè ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå, ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî èçâëå÷ü èç ëàãðàíæèàíà, ïðè÷åì îíè ïî îòäåëüíîñòè êîâàðèàíòíû. 9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ Çàéìåìñÿ òåïåðü îáîáùåíèåì ôîðìàëèçìà ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ íà òåîðèè, ñîäåðæàùèå êàê áîçîíû, òàê è ôåðìèîíû.  ïðèíöèïå, íåòðóäíî äåéñòâîâàòü ÷èñòî ôîðìàëüíî ïî àíàëîãèè ñ áîçîííûì ñëó÷àåì, è çàòåì óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîëó÷èëèñü «ïðàâèëüíûå» ôåéíìàíîâñêèå ïðàâèëà. Ìû ïðåäïî÷èòàåì âûâåñòè ôîðìàëèçì ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ äëÿ ôåðìèîíîâ íåïîñðåäñòâåííî èç ïðèíöèïîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êàê ýòî óæå áûëî ñäåëàíî äëÿ áîçîíîâ 9. Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ïðîèçâîëüíîé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé «êîîðäèíàòàìè» Qa è êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè «èìïóëüñàìè» Pa, êîòîðûå òåïåðü óäîâëåòâîðÿþò íå êîììóòàöèîííûì, à àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì

lQ , P q = iδ a

b

ab ,

lQ , Q q = lP , P q = 0. a

b

a

b

(9.5.1) (9.5.2)

(Ýòè îïåðàòîðû áåðóòñÿ â øðåäèíãåðîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0.) Ïîçäíåå ìû çàìåíèì äèñêðåòíûé èíäåêñ a íà ïðîñòðàíñòâåííóþ êîîðäèíàòó x è ïîëåâîé èíäåêñ m. Ïðåæäå âñåãî, ïîñòðîèì ïîëíûé áàçèñ ñîñòîÿíèé, íà êîòîðûå äåéñòâóþò îïåðàòîðû Q è P. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì çàäàííîì a

Qa2 = Pa2 = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.5.3)

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

537

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò «êåò»-ñîñòîÿíèå | 0〉, êîòîðîå àííèãèëèðóåòñÿ âñåìè îïåðàòîðàìè Qa:

Qa 0 = 0 ,

(9.5.4)

è «áðà»-ñîñòîÿíèå 〈0|, êîòîðîå àííèãèëèðóåòñÿ (ñïðàâà) âñåìè îïåðàòîðàìè Pa:

0 Pa = 0 .

(9.5.5)

Íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü

0 ∝

F QI GH ∏ JK a

f , 0 ∝ g

a

F P I, GH ∏ JK a

a

ãäå |f〉 è 〈g| — ëþáûå êåò- è áðà-âåêòîðû, äëÿ êîòîðûõ ýòè âûðàæåíèÿ íå îáðàùàþòñÿ â íóëü. (Ïîñòðîåííûå ñîñòîÿíèÿ íå ìîãóò îáðàùàòüñÿ â íóëü äëÿ âñåõ |f〉 è 〈g|, åñëè òîëüêî íå ðàâíû íóëþ îïåðàòîðû ∏aQa è ∏aPa, ÷òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ íå èìååò ìåñòà.)  ñèëó ðàâåíñòâ (9.5.3) ýòè ñîñòîÿíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (9.5.4) è (9.5.5).  îáùåì ñëó÷àå îíè íå åäèíñòâåííû, ïîñêîëüêó ìîãóò áûòü äîïîëíèòåëüíûå áîçîííûå ñòåïåíè ñâîáîäû, îòëè÷àþùèå ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ | 0〉 è 〈0 |. Äëÿ ïðîñòîòû, îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà åäèíñòâåííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ÿâëÿþòñÿ òå, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ôåðìèîííûìè îïåðàòîðàìè Qa è Pa, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì (9.5.4), (9.5.5), åäèíñòâåííû ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ, êîòîðûé ìû âûáåðåì òàê, ÷òîáû

0 0 = 1.

(9.5.6)

(Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ýòî óñëîâèå íîðìèðîâêè íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî, åñëè îïðåäåëèòü 〈0 | êàê ëåâîå ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå Qa ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì íóëü, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå 〈0 |{Qa,Pa}| 0〉 òàêæå îáðàùàëîñü áû â íóëü, îòêóäà ñ ó÷åòîì (9.5.1) ñëåäîâàëî áû, ÷òî 〈0 | 0〉 = 0.) Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 7.5, â äèðàêîâñêîé òåîðèè Qa íåýðìèòîâû, íî èìåþò ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû −iPa, è â ýòîì ñëó÷àå 〈0| ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîñòî êàê ñîïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ê |0〉.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

538

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Îäíàêî, ñóùåñòâóþò ôåðìèîííûå îïåðàòîðû (íàïðèìåð, ïîëÿ «äóõîâ», êîòîðûå ìû ââåäåì â ò. II), äëÿ êîòîðûõ Pa íèêàê íå ñâÿçàíû ñ ñîïðÿæåííûìè ê Qa îïåðàòîðàìè.  ïîñëåäóþùåì íàì íå ïîòðåáóþòñÿ íèêàêèå îñîáûå ïðåäïîëîæåíèÿ îá îïåðàòîðàõ, ñîïðÿæåííûõ ê Qa èëè Pa, à òàêæå î ñâÿçè ìåæäó 〈0| è |0〉. Ïîëíûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ýòîé ñèñòåìû ñîñòîèò èç |0〉 è (àíòèñèììåòðè÷íûõ ïî a, b, ...) ñîñòîÿíèé

a, b, . . . ≡ Pa Pb . . . 0

(9.5.7)

ñ ëþáûì ÷èñëîì ðàçëè÷íûõ Ð, äåéñòâóþùèõ íà |0〉. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íà ýòè ñîñòîÿíèÿ ëþáîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè P è Q ìîæíî çàïèñàòü êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ òîãî æå íàáîðà ñîñòîÿíèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè èíäåêñ a íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èç èíäåêñîâ â |b, c, ...〉, òî

Qa b, c, . . . = 0 ,

(9.5.8)

Pa b, c, . . . = a, b, c, . . . .

(9.5.9)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè a ðàâíî îäíîìó èç èíäåêñîâ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b, c, ..., òî âñåãäà ìîæíî ïåðåïèñàòü ýòî ñîñòîÿíèå (âîçìîæíî, èçìåíèâ åãî çíàê) òàê, ÷òî a ñòàíåò ïåðâûì èç ýòèõ èíäåêñîâ, è òîãäà èìååì:

Qa a, b, c, . . . = i b, c, . . . ,

(9.5.10)

Pa a, b, c, . . . = 0 .

(9.5.11)

Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëíûé äóàëüíûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç 〈0 | è (àíòèñèììåòðè÷íûõ ïî èíäåêñàì) ñîñòîÿíèé a, b,... ≡ 0 ...( − iQb )( − iQa ).

(9.5.12)

Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9.5.4)−(9.5.6) è àíòèêîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (9.5.1), âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé ðàâíû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

539

c, d, . . . a, b, . . . = 0 . . . ( − iQd )(− iQc )Pa Pb . . . 0 =

RS0, åñëè {c, d, . . . } ≠ {a, b, . . . }, T1, åñëè c = a, d = b, è ò. ä. ,

(9.5.13)

ãäå {...} îçíà÷àåò íàáîð èíäåêñîâ âíóòðè ñêîáîê íåçàâèñèìî îò èõ ïîðÿäêà. Ïðè âûâîäå ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë õîòåëîñü áû ïåðåïèñàòü ñóììû ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì òèïà (9.5.7) êàê èíòåãðàëû ïî ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì Qa èëè Pa. Îäíàêî òàêèå îïåðàòîðû íå ìîãóò èìåòü (îòëè÷íûå îò íóëÿ) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå. Äîïóñòèì, ìû ïûòàåìñÿ íàéòè ñîñòîÿíèå |q〉, óäîâëåòâîðÿþùåå (äëÿ âñåõ à) óðàâíåíèþ

Qa q = q a q .

(9.5.14)

qaqb + qbqa = 0 ,

(9.5.15)

Èç (9.5.2) ñëåäóåò, ÷òî

÷òî íåâîçìîæíî äëÿ îáû÷íûõ ÷èñåë. Îäíàêî íè÷òî íå ìîæåò ïîìåøàòü íàì ââåñòè â ðàññìîòðåíèå àëãåáðó «ïåðåìåííûõ» qa (èõ íàçûâàþò ãðàññìàíîâûìè ïåðåìåííûìè), êîòîðûå äåéñòâóþò êàê ñ-÷èñëà, åñëè ðå÷ü èäåò î ôèçè÷åñêîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, íî êîòîðûå âñå æå óäîâëåòâîðÿþò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (9.5.15). Ïîòðåáóåì äàëåå, ÷òîáû

{qa , qb′ } = {qa , Qb } = {qa , Pb } = 0 ,

(9.5.16)

ãäå q è q′ îáîçíà÷àþò ëþáûå äâà «çíà÷åíèÿ» ýòèõ ïåðåìåííûõ. Òåïåðü ìîæíî ïîñòðîèòü ñîñòîÿíèÿ |q〉, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (9.5.14):

F GH

q = exp − i ∑ Pa q a a

I 0, JK

(9.5.17)

ãäå ýêñïîíåíòà îïðåäåëåíà êàê îáû÷íî ñâîèì ðàçëîæåíèåì â ðÿä. (×òîáû ïðîâåðèòü , ÷òî óðàâíåíèå (9.5.14) óäîâëåòâîðÿåòñÿ, âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî âñå Paqa êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì è èìåþò íóëåâîé êâàäðàò, òàê ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

540

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

F GH

I JK

[Qa − q a ] q = [Qa − q a ] exp(− iPa q a ) exp − i ∑ Pb q b 0 b≠a

F I0 GH JK F I − q ] expG − i ∑ P q J 0 = 0 , H K

= [Qa − q a ][1 − iPa q a ] exp − i ∑ Pb q b b≠a

= [− i{Qa , Pa }q a

a

b b

b≠a

÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.) Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ëåâûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ 〈q | (íå ñîïðÿæåííûå ê | q〉) êàê

q ≡ 0

F Q I expF − i q P I = 0 F Q I expF + i P q I , GH ∏ JK GH ∑ JK GH ∏ JK GH ∑ JK (9.5.18) a

a a

a

a

a a

a

a

a

ãäå ∏à — ñèìâîë ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ â òîì ïîðÿäêå, êîòîðûé ïðèíÿò çà ñòàíäàðòíûé. Ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è äëÿ óðàâíåíèÿ (9.5.14), âèäèì, ÷òî

q Qa = q q a .

(9.5.19)

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òàêèõ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé èìååò âèä

F Q I expF i P (q ′ − q )I 0 JK GH ∏ JK GH ∑ F IF I 0 G ∏ Q J G ∏ (1 + iP (q ′ − q )J 0 . H KH K

q′ q = 0

a

a

=

b

b

b

b

b

b

b

a

a

b

Ïåðåñòàâëÿÿ òåïåðü êàæäûé îïåðàòîð Qa íàïðàâî (íà÷èíàÿ ñ ñàìîãî êðàéíåãî ñïðàâà), ïîëó÷àåì ìíîæèòåëè i2(q′a − qa), êîòîðûå ìû âûíîñèì íàïðàâî èç-ïîä çíàêà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:

q′ q =

∏ (q a − q a′ ) . a

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.5.20)

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

541

Ìû óâèäèì, ÷òî âûðàæåíèå (9.5.20) èãðàåò ðîëü äåëüòà-ôóíêöèè â èíòåãðàëàõ ïî q. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñòðîèòü ïðàâûå è ëåâûå ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ îïåðàòîðîâ Pa:

Pa p = pa p ,

(9.5.21)

p Pa = p pa ,

(9.5.22)

ãäå pa ÿâëÿþòñÿ, êàê è qa, àíòèêîììóòèðóþùèìè ñ-÷èñëàìè (äëÿ óäîáñòâà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îíè àíòèêîììóòèðóþò íå òîëüêî äðóã ñ äðóãîì, íî è ñ qa è ñî âñåìè ôåðìèîííûìè îïåðàòîðàìè):

F Q p IF P I 0 , GH ∑ JK GH ∏ JK F I = 0 expG − i ∑ p Q J , H K

p = exp − i

a a

p

(9.5.23)

b

b

a

a

(9.5.24)

a

a

ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé âñåõ Ð íàëåâî)

p′ p =

∏ (pa′ − pa ) .

(9.5.25)

a

Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ðàçíûõ òèïîâ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé äðóã ñ äðóãîì èìåþò âèä

F GH

IF PI 0 = JK GH ∏ JK F I F I = G ∏ exp(− iq p )J q G ∏ P J 0 H K H K F I F IF I = G ∏ exp(− iq p )J 0 G ∏ Q J G ∏ P J 0 , H K H KH K

q p = q exp − i ∑ Qa pa

a

a

a

a a

a

a

a

a a

a

a

a

a

a

òàê ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

542

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

F q p I=χ GH ∑ JK

q p = χ N exp − i

a a

N

F p q I, GH ∑ JK

exp i

a

a a

(9.5.26)

a

ãäå χN — ôàçà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ÷èñëà N îïåðàòîðîâ Qa:

χN ≡ 0

F Q IF PI 0 GH ∏ JK GH ∏ JK a

= i N ( −1)N ( N −1)/ 2 .

a

a

a

Åùå ïðîùå ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà p q =

∏ exp(− ipa q a ) . a

(9.5.27)

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ |q〉 (êàê è ñîñòîÿíèÿ |p〉) îáðàçóþò â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé. Èç îïðåäåëåíèé (9.5.17) ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîÿíèå |a, b, ...〉 èç îáùåãî áàçèñà åñòü (ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçû) êîýôôèöèåíò ïðè ïðîèçâåäåíèè qaqb... â ðàçëîæåíèè ñîñòîÿíèÿ |q〉 â ñóììó ïðîèçâåäåíèé ãðàññìàíîâñêèõ ÷èñåë q. Ïîýòîìó âñÿêîå ñîñòîÿíèå |f〉 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

f = f0 q

0

+

∑ fa q a + ∑ fab q ab + . . . , a

a≠b

ãäå f — ÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû, à íèæíèå èíäåêñû ab ... ïðè ñèìâîëå |q〉 îáîçíà÷àþò êîýôôèöèåíòû ïðè ïðîèçâåäåíèè qaqb... â ðàçëîæåíèè ñîñòîÿíèÿ |q〉. Ïðè ñóììèðîâàíèè ïî ñîñòîÿíèÿì î÷åíü óäîáíî ââåñòè îïðåäåëåííûé ñïîñîá èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåðìèîííûì ïåðåìåííûì, èçâåñòíûé êàê èíòåãðèðîâàíèå ïî Áåðåçèíó, 10 êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü êîýôôèöèåíòû ïðè òàêèõ ïðîèçâåäåíèÿõ àíòèêîììóòèðóþùèõ ñ-÷èñåë. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýòèõ ïåðåìåííûõ ξn (ñîñòîÿùåãî èç âåëè÷èí p, q èëè è òåõ è äðóãèõ) ñàìàÿ îáùàÿ ôóíêöèÿ f(ξ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

f (ξ) =

F ξ Ic GH ∏ JK n

n

+ ñëàãàåìûå, â êîòîðûõ ìíîæèòåëåé ξ ìåíüøå , à èíòåãðàë ïî ïåðåìåííûì ξ îïðåäåëÿåòñÿ êàê

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.5.28)

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

X F dξ I f(ξ) ≡ c , YY GH ∏ JK Z

543

f

n

(9.5.29)

n

ãäå òèëüäà â ôîðìóëå (9.5.29) ñîîòâåòñòâóåò óäîáíîìó ñîãëàøåíèþ, ÷òî äèôôåðåíöèàëû çàïèñûâàþòñÿ â ïîðÿäêå, ïðîòèâîïîëîæíîì ïîðÿäêó ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ â (9.5.28). Òàê êàê ýòî ïðîèçâåäåíèå àíòèñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáûõ äâóõ ξ, òî èíòåãðàë àíòèñèììåòðè÷åí òàêæå îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáûõ äâóõ dξ, òàê ÷òî «äèôôåðåíöèàëû» ýôôåêòèâíî àíòèêîììóòèðóþò: dξ n dξ m + dξ m dξ n = 0 .

(9.5.30)

Êðîìå òîãî, êîýôôèöèåíò ñ ìîæåò çàâèñåòü îò äðóãèõ ñ-÷èñëîâûõ ïåðåìåííûõ, ïî êîòîðûì íå ïðîâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, è êîòîðûå àíòèêîììóòðèóþò ñ òåìè ξ, ïî êîòîðûì ìû èíòåãðèðóåì.  ýòîì ñëó÷àå âàæíî ñòàíäàðòèçîâàòü îïðåäåëåíèå ñ, ïåðåìåñòèâ âñå ξ íàëåâî îò ñ ïåðåä èíòåãðèðîâàíèåì ïî íèì, êàê ýòî è ñäåëàíî â ôîðìóëå (9.5.28). Íàïðèìåð, ñàìàÿ îáùàÿ ôóíêöèÿ îò ïàðû àíòèêîììóòèðóþùèõ ñ-÷èñåë ξ1 è ξ2 èìååò âèä f (ξ1 , ξ 2 ) = ξ1ξ 2 c12 + ξ1c1 + ξ 2c2 + d ,

ïîñêîëüêó êâàäðàòû è âñå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ξ1 è ξ2 îáðàùàþòñÿ â íóëü. Èíòåãðàëû îò ýòîé ôóíêöèè ðàâíû

z

dξ1 f (ξ1 , ξ 2 ) = ξ 2 c12 + c1 ,

z

z

dξ 2 f (ξ1 , ξ 2 ) = − ξ1c12 + c2 ,

dξ 2dξ1 f (ξ1 , ξ 2 ) = c12 .

Çàìåòèì, ÷òî ìíîãîêðàòíûé èíòåãðàë ñîâïàäàåò ñ ïîâòîðíûì:

z

dξ 2 dξ1 f (ξ1 , ξ 2 ) =

z z

dξ 2 [ dξ1 f (ξ1 , ξ 2 )] .

Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà èíòåãðàëû ïî ëþáîìó ÷èñëó ôåðìèîííûõ ïåðåìåííûõ. (Èìåííî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü óêàçàííóþ ôîðìóëó áåç äîïîëíèòåëüíûõ çíàêîâûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

544

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ìíîæèòåëåé, ìû âçÿëè ïðîèçâåäåíèå äèôôåðåíöèàëîâ â (9.5.29) â ïîðÿäêå, ïðîòèâîïîëîæíîì ïðîèçâåäåíèþ ïåðåìåííûõ â (9.5.28).) Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî áûëî áû ñíà÷àëà îïðåäåëèòü èíòåãðàë ïî åäèíñòâåííîìó àíòèêîììóòèðóþùåìó ñ-÷èñëó ξ1, à çàòåì îáû÷íûì ñïîñîáîì îïðåäåëèòü êðàòíûå èíòåãðàëû ïóòåì èòåðàöèè. Íàèáîëåå îáùàÿ ôóíêöèÿ àíòèêîììóòèðóþùèõ ñ-÷èñåë ëèíåéíà ïî ëþáîìó èç íèõ: f (ξ1 , ξ 2 , . . . ) = b(ξ 2 . . . ) + ξ1c(ξ 2 . . . )

(òàê êàê ξ12 = 0), è åå èíòåãðàë ïî ξ1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê

z

dξ1 f (ξ1 , ξ 2 , . . . ) = c(ξ 2 , . . . ) .

Ïîâòîðåíèå ýòîãî ïðîöåññà ïðèâîäèò ê êðàòíîìó èíòåãðàëó, ñîâïàäàþùåìó ñ èíòåãðàëîì, îïðåäåëåííûì ôîðìóëàìè (9.5.28) è (9.5.29). Òàê îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îáëàäàåò åùå ðÿäîì ñâîéñòâ, àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâàì ìíîãîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ (îò − ∞ äî + ∞) ïî îáû÷íûì äåéñòâèòåëüíûì ïåðåìåííûì. Îäíàêî åñòü è ñóùåñòâåííûå îòëè÷èÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïî Áåðåçèíó ëèíåéíî â òîì ñìûñëå, ÷òî

X F dξ I [ f(ξ) + g(ξ)] = X F dξ I f(ξ) + X F dξ I g(ξ) , YY GH ∏ JK YY GH ∏ JK YY GH ∏ JK Z Z Z f

f

n

f

n

n

n

n

(9.5.31)

n

è, êðîìå òîãî,

X F dξ I [ f(ξ)a(ξ′)] = LMX F dξ I f(ξ)OPa(ξ′) , YY GH ∏ JK MNYYZ GH ∏ JK PQ Z f

f

n

n

n

(9.5.32)

n

ãäå a(ξ′) — ëþáàÿ ôóíêöèÿ (â òîì ÷èñëå, êîíñòàíòà) îò ëþáûõ àíòèêîììóòèðóþùèõ ñ-÷èñåë ξ′m, ïî êîòîðûì íå ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå. Îäíàêî ëèíåéíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ëåâîìó óìíîæåíèþ íå ñòîëü î÷åâèäíà. Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ξ′m àíòèêîììóòðèóåò ñî âñåìè ξn, òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ν ïåðåìåííûì èìååì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

a ( −) ν ξ ′

c

545

hFGH ∏ ξ IJK = FGH ∏ ξ IJK a(ξ′) , n

n

n

n

òàê ÷òî

X F dξ YY GH ∏ Z

n

n

I ac(−) ξ′hf(ξ) JK ν

= a(ξ ′)

X F dξ I f(ξ) . YY GH ∏ JK Z n

(9.5.33)

n

Ïîýòîìó î÷åíü óäîáíî (õîòÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ, è íå îáÿçàòåëüíî) ñ÷èòàòü, ÷òî äèôôåðåíöèàëû dξn àíòèêîììóòèðóþò ñî âñåìè àíòèêîììóòèðóþùèìè ïåðåìåííûìè (âêëþ÷àÿ ξn): (dξ n )ξ ′m + ξ ′m (dξ n ) = 0 ,

(9.5.34)

 ýòîì ñëó÷àå (9.5.33) ïðèíèìàåò áîëåå ïðîñòîé âèä

X a(ξ′)F dξ I f(ξ) = a(ξ′)X F dξ I f(ξ) . YY GH ∏ JK YY GH ∏ JK Z Z n

n

n

(9.5.35)

n

Äðóãîå ñõîäñòâî ñ îáû÷íûì èíòåãðèðîâàíèåì çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî àíòèêîììóòðèóþùåãî ñ-÷èñëà ξ′, íå çàâèñÿùåãî îò ξ, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

X F dξ I f(ξ + ξ′) = X F dξ I f(ξ) , YY GH ∏ JK YY GH ∏ JK Z Z n

n

n

(9.5.36)

n

òàê êàê ñäâèã ξ íà êîíñòàíòó âëèÿåò òîëüêî íà ñëàãàåìûå â f ñ ÷èñëîì ïåðåìåííûõ ξ, ìåíüøèì, ÷åì èõ ïîëíîå ÷èñëî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðèì çàìåíó ïåðåìåííûõ

ξ n → ξ ′n =

∑ S nm ξ m ,

(9.5.37)

m

ãäå S — ïðîèçâîëüíàÿ íåñèíãóëÿðíàÿ ìàòðèöà èç îáû÷íûõ ÷èñåë. Ïðîèçâåäåíèå íîâûõ ïåðåìåííûõ ðàâíî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

546

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

F

∏ ξ ′n = ∑ GH ∏ S nm m1m2 ...

n

I JK

ξ . n mn

n

∏

∏

ξ ξ (âçÿòûì â Îäíàêî ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâåäåíèåì n mn n n ïåðâîíà÷àëüíîì ïîðÿäêå), åñëè íå ñ÷èòàòü çíàêîâîãî ìíîæèòåëÿ ε[m], ðàâíîãî +1 èëè −1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ïåðåñòàíîâêà n → mn ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé ïåðåñòàíîâêîé ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé:

∏ n

ξ ′n =

LM F I ε[m]OP ξ S MN ∑ GH ∏ JK PQ∏ nm n

m1m2 ...

n

n

= (Det S )

n

∏ ξn . n

Ýòà ôîðìóëà ïðèìåíèìà ïðè ëþáîì ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ξn, åñëè òîëüêî ìû âîçüìåì ξ′n â òîì æå ïîðÿäêå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ïðîèçâåäåíèè ∏nξ′n â ðàçëîæåíèè ëþáîé ôóíêöèè f(ξ) ïî ξ′ ðàâåí â òî÷íîñòè êîýôôèöèåíòó ïðè ïðîèçâåäåíèè ∏nξn, óìíîæåííîìó íà (Det S )–1. Ìû çàïèñûâàåì ýòî óòâåðæäåíèå êàê

X F dξ′ I f = (Det S ) YY GH ∏ JK Z f

n

n

−1

X F dξ I f . YY GH ∏ JK Z f

n

(9.5.38)

n

Ýòî îáû÷íîå ïðàâèëî çàìåíû ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî (Det S ) âõîäèò â ñòåïåíè −1, à íå +1. Äàëåå ìû èñïîëüçóåì ïðàâèëî (9.5.38) è ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè (9.5.31), (9.5.32) è (9.5.35) äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, âñòðå÷àþùèõñÿ ïðè âûâîäå ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë äëÿ òåîðèé ñ ôåðìèîíàìè. Èñïîëüçóÿ ýòî îïðåäåëåíèå èíòåãðèðîâàíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü óñëîâèå ïîëíîòû êàê ôîðìóëó äëÿ èíòåãðàëà ïî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ëþáîå ñîñòîÿíèå |f〉 ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî ñîñòîÿíèÿì |0〉, |a〉, |a,b〉, è ò. ä., à ñàìè ýòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíû (ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçû) êîýôôèöèåíòàì ïðè ïðîèçâåäåíèÿõ 1, qa, qaqb, è ò. ä. â ðàçëîæåíèè ñîáñòâåííîãî ñîñòîÿíÿè |q〉 îïåðàòîðîâ Q. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èíòåãðèðîâàíèÿ, ìîæíî èçâëå÷ü êîýôôèöèåíò ïðè ëþáîì ïðîèçâåäåíèè qbqcqd... â ðàçëîæåíèè ñîñòîÿíèÿ |q〉, èíòåãðèðóÿ ïðîèçâåäåíèå |q〉 ñî âñåìè qa, ãäå a íå ðàâíî b, c, d, ... Òàêèì îáðàçîì, âûáèðàÿ ôóíêöèþ f(q) êàê ïîäõîäÿùóþ ñóììó

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

547

òàêèõ ïðîèçâåäåíèé ðàçíûõ q, ìîæíî çàïèñàòü ëþáîå ñîñòîÿíèå |f〉 â âèäå èíòåãðàëà

f =

X F dq I YY GH ∏ JK Z f

a

q f (q ) =

a

X q F dq I f(q) . YY GH ∏ JK Z f

a

(9.5.39)

a

(Ìîæíî ïåðåñòàâèòü |q〉 íàëåâî îò äèôôåðåíöèàëîâ áåç âñÿêèõ èçìåíåíèé çíàêîâ, ïîñêîëüêó â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû â ôîðìóëå (9.5.17), îïðåäåëÿþùåé |q〉, ñîäåðæèòñÿ òîëüêî ÷åòíîå ÷èñëî ôåðìèîííûõ ïåðåìåííûõ.) ×òîáû íàéòè ôóíêöèþ f(q) äëÿ çàäàííîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ |f〉, âîçüìåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà (9.5.39) ñ íåêîòîðûì áðà-âåêòîðîì 〈q′| (ãäå q ′ — ëþáîå ôèêñèðîâàííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðîâ Q).  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (9.5.35) è (9.5.20) îíî ðàâíî

q′ f =

X F (q YY GH ∏ Z

a

I F dq I f(q) . JK GH ∏ JK f

− q a′ )

a

b

b

Ïåðåñòàâëÿÿ êàæäûé ìíîæèòåëü (qa − q′a) íàïðàâî îò êàæäîãî äèô2 ôåðåíöèàëà dqb, ïîëó÷àåì çíàêîâûé ìíîæèòåëü ( −) N ≡ (−)N, ãäå òåïåðü N ðàâíî ïîëíîìó ÷èñëó ïåðåìåííûõ qa, òàê ÷òî

q ′ f = ( −) N

X F dq I F (q YY GH ∏ JK GH ∏ Z f

b

b

a

I JK

− q a′ ) f (q ) .

a

Ìîæíî ïåðåïèñàòü ôóíêöèþ f(q) êàê f(q′ +(q − q′)) è ðàçëîæèòü åå ïî ñòåïåíÿì q − q′. Âñå ñëàãàåìûå, êðîìå ñëàãàåìîãî íèçøåãî ïîðÿäêà, îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè óìíîæåíèè íà ïðîèçâåäåíèå ∏(qa − q′a), è

F (q GH ∏ a

a

I JK

− q a′ ) f (q ) =

F (q GH ∏ a

a

I JK

− q a′ ) f (q ′) ,

(9.5.40)

÷òî ÷àñòè÷íî ïîäòâåðæäàåò íàøå ïðåäûäóùåå çàìå÷àíèå, ÷òî äëÿ èíòåãðàëîâ ïî q âûðàæåíèå (9.5.20) èãðàåò ðîëü äåëüòà-ôóíêöèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

548

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Ñ ïîìîùüþ (9.5.32) èìååì

q ′ f = ( −) N

LMX F dq I F (q MNYYZ GH ∏ JK GH ∏ f

b

b

a

I JK

OP PQ

− q a′ ) f (q ′) .

a

Êîýôôèöèåíò ïðè ñëàãàåìîì â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè, ïðîïîðöèîíàëüíîì ∏qa, ðàâåí f(q′), òàê ÷òî â ñîãëàñèè ñ íàøèì îïðåäåëåíèåì èíòåãðèðîâàíèÿ 〈q′|f〉 = (−)Nf(q′). Âíîâü ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (9.5.39), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå ïîëíîòû â âèäå

f = ( −)

X q F dq I YY GH ∏ JK Z f

N

b

q f ,

b

èëè â âèäå îïåðàòîðíîãî ðàâåíñòâà

1=

X q F −dq I YY GH ∏ JK Z f

a

q .

(9.5.41)

a

Òî÷íî òåì æå ñïîñîáîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

1=

X p F dp I YY GH ∏ JK Z f

a

p .

(9.5.42)

a

Íàêîíåö-òî ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïåðåõîäîâ. Êàê è ðàíåå, îïðåäåëÿåì çàâèñÿùèå îò âðåìåíè îïåðàòîðû Qa (t) ≡ exp( iHt)Qa exp( − iHt) ,

(9.5.43)

Pa (t) ≡ exp( iHt)Pa exp( − iHt) ,

(9.5.44)

è èõ ïðàâûå è ëåâûå ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ q ; t ≡ exp(iHt) q , p; t ≡ exp(iHt) p ,

(9.5.45)

q ; t ≡ q exp(− iHt) , p; t ≡ p exp(− iHt) .

(9.5.46)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

549

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîáñòâåííûõ q-ñîñòîÿíèé, îïðåäåëåííûõ â áåñêîíå÷íî áëèçêèå ìîìåíòû âðåìåíè, ðàâíî

q ′; τ + dτ q ; τ = q ′ exp(− iHdτ) q . Âñòàâèì òåïåðü åäèíèöó â ôîðìå (9.5.42) ñëåâà îò îïåðàòîðà exp(−iHdτ). Óäîáíî ïðåäñòàâèòü ãàìèëüòîíèàí H(P,Q) â ôîðìå, êîãäà âñå îïåðàòîðû Ð ñòîÿò ñëåâà îò âñåõ îïåðàòîðîâ Q, òàê ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ dτ p exp( − iH(P, Q)dτ) q = p q exp( − iH( p, q)dτ).

(Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå ñîäåðæèò ÷åòíîå ÷èñëî ôåðìèîííûõ îïåðàòîðîâ, è ïîýòîìó ìîæíî ñòàâèòü ñ-÷èñëî H(p,q) ñ ëþáîé ñòîðîíû ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà áåç êàêîãî-ëèáî èçìåíåíèÿ çíàêà.) Èìååì

X F I q ′; τ + dτ q ; τ = Y q ′ p G ∏ dp J p exp(− iHdτ) q YZ H K X F I = Y q ′ p G ∏ dp J p q exp(− iH(p, q )dτ) . YZ H K f

a

a

f

a

a

Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (9.5.26) è (9.5.27) è çàìå÷àÿ, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ paqa è paq′a êîììóòèðóþò ñî âñåìè àíòèêîììóòèðóþùèìè ñ-÷èñëàìè, íàõîäèì

q ′; τ + dτ q ; τ

O XF I L = Y G ∏ idp J exp M i ∑ p (q ′ − q ) − iH (p, q )dτ P . (9.5.47) YZ H K MN PQ f

a

a

a

a

a

a

Äàëüíåéøèé âûâîä ïðîèçâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è â ðàçäåëå 9.1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà 〈q; t′|OA(P(tA),Q(tA))OB(P(tB),Q(tB))...|q; t〉 îò ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ (ãäå t′ > tA > tB > ... > t), ðàçäåëèì âðåìåííîé èíòåðâàë îò t äî t′ íà áîëüøîå ÷èñëî î÷åíü ìàëûõ øàãîâ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

550

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ïî âðåìåíè; íà êàæäîì øàãå èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèå ïîëíîòû (9.5.41); èñïîëüçóåì ôîðìóëó (9.5.47), ÷òîáû âû÷èñëèòü ïîëó÷èâøèåñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû (ãäå ýòî íåîáõîäèìî, âñòàâëÿÿ OA, OB è ò. ï.); ïåðåäâèíåì âñå äèôôåðåíöèàëû íàëåâî (ýòî íå âíîñèò äîïîëíèòåëüíûõ çíàêîâ, ïîñêîëüêó íà êàæäîì øàãå èìååòñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äèôôåðåíöèàëîâ dp è dq); ââåäåì ôóíêöèè qa(t) è pa(t), èíòåðïîëèðóþùèå íà êàæäîì øàãå çíà÷åíèÿ qa è pa.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì

q ′; t ′ T O A P(tA ), Q(tA ) , O B P(tB ), Q(tB ) , . . . q ; t

l b

g b g q X F dq (τ)dp (τ)I = ( −) χ YY GH ∏ JK Z × O bp(t ), q (t )g, O bp(t ), q (t )g, . . . LM X R OP U | | × exp M i Y dτ S∑ p (τ)q& ( τ) − H ap( τ), q (τ)fVP . Y |WP MN Z |T Q f

N

N

a

q a ( t) = q a , q a ( t ′ ) = q a′

A

A

A

B

a

a

B

B

t′

a

(9.5.48)

a

a

t

Çäåñü ñèìâîë Ò îçíà÷àåò îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå, åñëè ìîìåíòû âðåìåíè ðàñïîëîæåíû â ïåðâîíà÷àëüíî ïðåäïîëàãàâøåìñÿ ïîðÿäêå: tA > tB > ... Îäíàêî ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íà ïî OA, OB, ... (åñëè íå ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíûõ çíàêîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè ïåðåñòàíîâêå àíòèêîììóòèðóþùèõ ñ-÷èñåë), òàê ÷òî ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà âûïîëíÿåòñÿ â ïðîèçâîëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè (ìåæäó t è t′), ïðè óñëîâèè, ÷òî Ò ïîíèìàåòñÿ êàê îïåðàöèÿ õðîíîëîãè÷åñêîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñ âîçìîæíûì îáùèì îòðèöàòåëüíûì çíàêîì, åñëè ïðè òàêîì óïîðÿäî÷èâàíèè ïðèõîäèòñÿ ñîâåðøàòü íå÷åòíîå ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê ôåðìèîííûõ îïåðàòîðîâ. Äî ýòîãî ìîìåíòà ìû óäåðæèâàëè îáùèé ôàçîâûé ìíîæèòåëü (−i)NχN. Îäíàêî â äåéñòâèòåëüíîñòè ýòè ôàçû äàþò âêëàä òîëüêî â àìïëèòóäû ïåðåõîäîâ âàêóóì-âàêóóì è íå ïðåäñòàâëÿþò äëÿ íàñ èíòåðåñà. Ïåðåõîä ê êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, êàê è äëÿ áîçîííûõ ïîëåé (ñì. ðàçäåë 9.2). Ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ äàåòñÿ ôîðìóëîé, ïîõîæåé íà (9.2.17):

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

l b

g b

551

g q

VAC, out T O A P(tA ), Q(tA ) , O B P(tB ), Q(tB ) , . . . VAC, in

X LM YY M ∏ dq ZN

OP LM O dp (x, τ)P O p(t ), q (t ) ∏ PQ MN PQ L X |R × O p(t ), q (t ) . . . exp M i Y dτ SX MN YZ T|YZ d x∑ p (x, t)q& UO − H q (τ), p( τ) + iε - ñëàãàåìûå VP . WQ

∝

m ( x, τ)

τ,x,m

m

A

A

A

τ,x ,m

∞

B

B

3

B

−∞

m

m (x, τ)

m

(9.5.49)

ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè îäèíàêîâ äëÿ âñåõ îïåðàòîðîâ OA, OB, è ò. ä., à iε-ñëàãàåìûå âîçíèêàþò èç âîëíîâîé ôóíêöèè âàêóóìà. Êàê è ðàíåå, ìû çàìåíèëè êàæäûé äèñêðåòíûé èíäåêñ òèïà a íà ïðîñòðàíñòâåííóþ êîîðäèíàòó x è èíäåêñ ïîëÿ m. Ìû îïóñòèëè òàêæå òèëüäó íàä çíàêîì ïðîèçâåäåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ, òàê êàê ýòî âëèÿåò òîëüêî íà îáùóþ ôàçó â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå. Ãëàâíîå îòëè÷èå ôåðìèîííîãî ñëó÷àÿ îò áîçîííîãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çäåñü íå íóæíî èíòåãðèðîâàòü ïî ð ïåðåä èíòåãðèðîâàíèåì ïî q. Äåéñòâèòåëüíî, â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ýëåêòðîñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé (è â äðóãèõ òåîðèÿõ, âðîäå ñòàðîé òåîðèè Ôåðìè β-ðàñïàäà) êàíîíè÷åñêèå èìïóëüñû pm ÿâëÿþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûìè ïîëÿìè, íå ñâÿçàííûìè ñ q& m , à ëàãðàíæèàí ëèíååí ïî q& m , òàê ÷òî âåëè÷èíà ∫d3x∑mpm q& m − H â ôîðìóëå (9.5.49) è åñòü ëàãðàíæèàí L. Êàæäîå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå äëÿ ôåðìèîííîãî ïîëÿ ñ íåíóëåâûì êâàíòîâûì ÷èñëîì (íàïðèìåð, ïîëÿ ýëåêòðîíîâ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå) â îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæèò ðàâíîå ÷èñëî ïåðåìåííûõ ð (ïðîïîðöèîíàëüíûõ q†) è q.  ÷àñòíîñòè, ñëàãàåìîå Í0 â ïîëíîì ãàìèëüòîíèàíå, îòâå÷àþùåå ñâîáîäíûì ÷àñòèöàì, áèëèíåéíî ïî ð è q, òàê ÷òî

X YY Z

∞

|RSXY d x∑ p (x, t)q& T|Z X p = − ∑ Y d xd y D Z dτ

3

−∞

m

m ( x, τ )

m

4

4

mx, ny

|UV W|

− H 0 q ( τ ), p( τ ) + iε - ñëàãàåìûå

m ( x )q n ( y) ,

mn

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.5.50)

552

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ãäå D — íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ «ìàòðèöà». Ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ V ≡ Í − Í0 åñòü ñóììà ïðîèçâåäåíèé ðàâíîãî ÷èñëà ôåðìèîííûõ ïîëåé q è p (ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå ìîãóò çàâèñåòü îò áîçîííûõ ïîëåé). Ïîýòîìó ïðè ðàçëîæåíèè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà (9.5.49) ïî ñòåïåíÿì V âîçíèêàåò ñóììà ôåðìèîííûõ èíòåãðàëîâ âèäà

J n1m1n2m2 ... nN mN (x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xN , yN ) ≡

LM OP dp x τ ( , ) MN ∏ PQ q (x ) p F X × expG − i ∑ Y d xd y D H Z ×

m

m1

τ,x,m

4

4

1

X LM YY M ∏ dq ZN

m ( x , τ)

τ,x,m

OP PQ

n1 ( y1 ) q m2 (x 2) p n2 ( y2 ). . . q mN (x N ) p nN ( yN )

mx, nypm (x)q n ( y)

mn

I, JK

(9.5.51)

ïðè÷åì êàæäîå òàêîå ñëàãàåìîå ïðèõîäèòñÿ íà êàæäóþ âîçìîæíóþ ñîâîêóïíîñòü âåðøèí â ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììå, è êàæäàÿ âåðøèíà äàåò âêëàä â îáùèé êîýôôèöèåíò ïðè êàæäîì òàêîì ñëàãàåìîì â âèäå ìíîæèòåëÿ, êîòîðûé ðàâåí êîýôôèöèåíòó ïðè ïðîèçâåäåíèè ïîëåé â ñîîòâåòñòâóþùåì ñëàãàåìîì â îïåðàòîðå âçàèìîäåéñòâèÿ, óìíîæåííîìó íà ìíèìóþ åäèíèöó i *. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîäîáíîãî èíòåãðàëà ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ âñåõ òàêèõ èíòåãðàëîâ

X LM dq (x, τ)dp (x, τ)OP YY M ∏ PQ ZN F X p (x ) q ( y) × expG − i ∑ Yd x d y D H Z X X − i ∑ Y d x p (x ) f (x ) − i ∑ Y d y g ( y) q Z Z

J ( f , g) ≡

τ, x, m

m

m

4

4

mx, ny m

n

(9.5.52)

mn

4

m

m

4

m

n

n

n ( y)

I, JK

* Íåîáõîäèìî òàêæå èìåòü â âèäó âåðøèíû îò ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ O, îòâå÷àþùèå èì êîýôôèöèåíòû íå ñîäåðæàò ìíîæèòåëÿ i. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.5. Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû äëÿ ôåðìèîíîâ

553

ãäå fm(x) è gn(y) − ïðîèçâîëüíûå àíòèêîììóòèðóþùèå ñ-÷èñëîâûå ôóíêöèè. Ñäåëàåì ñäâèã â ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ: pm ′ (x ) = pm (x ) + ∑ d 4 ygn ( y)(D −1 ) ny, mx ,

z

n

q n′ ( y) = q n( y) + ∑ d 4 x(D −1 ) ny, mx fm (x ) .

z

m

Ïîëüçóÿñü óñëîâèåì òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè (9.5.36), íàõîäèì

F X GH YZ

J ( f , g) = exp i ∑ d4 xd 4 y (D −1 ) ny, mx gn ( y) fm (x) mn

X F dq (x, τ)dp (x, τ)I YY G ∏ ′ ′ JK H Z F X × expG − i ∑ Yd xd y D H Z ×

x, τ, m

m

I JK

n

4

4

mx , ny

(9.5.53)

I JK

pm ′ (x )q n′ ( y) .

mn

Èíòåãðàë åñòü êîíñòàíòà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ Det D (ò. å. íå çàâèñèò îò ôóíêöèé f è g), ÷òî ìîæíî ïîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (9.5.38). Äëÿ íàñ áîëåå âàæåí ïåðâûé ñîìíîæèòåëü. Ðàçëàãàÿ åãî ïî ñòåïåíÿì ïðîèçâåäåíèÿ gf è ñðàâíèâàÿ ñ ïðÿìûì ðàçëîæåíèåì âûðàæåíèÿ (9.5.52), âèäèì, ÷òî

J n1m1n2m2 ... nN mN (x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xN , yN ) ∝

∑

δ ñïàðèâàíèÿ

ïî ñïàðèâàíèÿì

∏ (− iD −1)ñïàðåííûå mx,ny

(9.5.54)

ïî ïàðàì

ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, íå çàâèñÿùèì îò x, y, m èëè n, à òàêæå îò ÷èñëà ýòèõ ïåðåìåííûõ. Ñóììà â âûðàæåíèè (9.5.54) áåðåòñÿ ïî âñåì ñïîñîáàì ñïàðèâàíèÿ p ñ q, ïðè ýòîì ñïàðèâàíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ïàð, íå ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè. Èíûìè ñëîâàìè, ìû ñóììèðóåì ïî N! ïåðåñòàíîâêàì ëèáî ð, ëèáî q. Çíàêîâûé ìíîæèòåëü δñïàðèâàíèÿ ðàâåí +1 èëè −1 â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè êàæäîé ïåðåñòàíîâêè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

554

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Çíàêîâûé ìíîæèòåëü è ñóììà ïî ñïàðèâàíèÿì ñîâïàäàþò ñ òåìè, êîòðûå áûëè ïîëó÷åíû ðàíåå ïðè âûâîäå ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë, ïðè÷åì ñóììà ïî ñïàðèâàíèÿì ñîîòâåòñòâóåò ñóììå ïî ñïîñîáàì ñîåäèíåíèÿ ëèíèé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèí â äèàãðàììàõ Ôåéíìàíà, à ìíîæèòåëè (D–1)mx,ny èãðàþò ðîëü ïðîïàãàòîðîâ ïðè ñïàðèâàíèè qm(x) ñ pn(y).  äèðàêîâñêîì ôîðìàëèçìå äëÿ ÷àñòèö ñïèíà 1/2 äåéñòâèå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö èìååò âèä

X YY Z

∞

−∞

=−

dτ

R|X d x p S|YZ ∑ T 3

m ( x , τ) q m ( x, τ)

&

− H0 q (τ), p( τ)

m

X d x ψ(x)[γ YZ 4

µ

U| V| W (9.5.55)

∂ µ + m]ψ (x) ,

â äàííîì ñëó÷àå êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå â îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

q m (x) = ψ m (x) , pm (x) = −[ψ (x) γ 0 ]m = iψ †m (x) ,

(9.5.56)

ãäå m − äèðàêîâñêèé èíäåêñ, ïðèíèìàþùèé ÷åòûðå çíà÷åíèÿ. Ñðàâíèâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ ñ ôîðìóëîé (9.5.50), ïîëó÷àåì

LM FG ∂ + m − iεIJ OP δ (x − y) KQ N H ∂x X d k dγ [iγ k + m − iε]i e =Y Z (2π)

Dmx, ny = γ 0 γ µ

4

µ

4

0

mn

µ

4

µ

ik ⋅( x − y)

mn

.

(9.5.57)

(Õîòÿ ìû è îïóñêàåì äåòàëè, íî ñëàãàåìîå ñ iε âîçíèêàåò çäåñü âî ìíîãîì àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ðàçäåëå 9.2.) Òîãäà ïðîïàãàòîð èìååò âèä (D −1 ) mx, ny =

XY d k d[iγ Z (2π) 4

4

µ

kµ + m − iε ]−1 [− γ 0 ]

i

mn

e ik ⋅(x − y) . (9.5.58)

ñîâïàäàþùèé ñ òåì, ÷òî áûë íàéäåí â ðàìêàõ îïåðàòîðíîãî ôîðìàëèçìà. Äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü −γ 0 âîçíèêàåò çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ýòîò ïðîïàãàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàêóóìíîå ñðåäíåå îò T ψ m (x),−[ψ ( y) γ 0 ]n , à íå îò T ψ m (x), ψ n ( y) .

n

s

l

q

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

×òîáû ïðèâåñòè õîòÿ áû îäèí ïðèìåð òîãî, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ìåòîä èíîãäà áûñòðåå ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ÷åì îïåðàòîðíûé ìåòîä, âû÷èñëèì çàâèñèìîñòü îò ïîëÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà âàêóóì→âàêóóì â ñëó÷àå äèðàêîâñêîãî ïîëÿ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî òîëüêî ñ âíåøíèì ïîëåì. Âîçüìåì ëàãðàíæèàí â âèäå

L = − ψ [ γ µ ∂ µ + m + Γ ]ψ ,

(9.5.59)

ãäå Γ(x) − çàâèñÿùàÿ îò x ìàòðèöà, îïèñûâàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèå ôåðìèîíà ñ âíåøíèì ïîëåì. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.5.49), àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âàêóóì îñòàíåòñÿ âàêóóìîì â ïðèñóòñòâèè ýòîãî âíåøíåãî ïîëÿ, åñòü

VAC, out VAC, in

Γ

T 0

4

OP LM PQ MN ∏ dp U + m + Γ − iε ] q V , W m ( x, τ)

m ( x, τ)

τ,x,m

RS X d x p γ [γ T YZ

× exp − i

X LM YY M ∏ dq ZN

∝ µ

∂µ

τ,x,m

OP PQ (9.5.60)

ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íå çàâèñèò îò Γ(x). Çàïèøåì ýòó àìïëèòóäó â âèäå VAC, out VAC, in

R| S| T

× exp − i ∑ mn

Γ

∝

τ, x, m

X d xd y p YZ 4

4

X LM dq YY M ∏ ZN

m ( x, τ )

OPLM dp PQMN ∏ U| , V| W τ, x, m

m ( x, τ )

m ( x )q n ( y) K [ Γ ] mx , ny

OP PQ (9.5.61)

ãäå

FG L H MN

K [ Γ ]mx , ny = γ 0 γ µ

∂ ∂x

µ

+ m + Γ ( x ) − iε

OPIJ QK

δ 4 (x − y). (9.5.62) mn

×òîáû âû÷èñëèòü ïîñëåäíåå âûðàæåíèå, çàìåíèì ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ qn(x) íà

qm ′ (x) ≡

X d y K [Γ ] Z

∑Y n

4

mx , ny q n ( y).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.5.63)

556

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Ïîëó÷èâøèéñÿ èíòåãðàë íå çàâèñèò îò Γ, òàê ÷òî âñÿ çàâèñèìîñòü îò Γ àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòè âàêóóìó îñòàòüñÿ âàêóóìîì ñîäåðæèòñÿ â äåòåðìèíàíòå, âîçíèêàþùåì îò çàìåíû ïåðåìåííûõ ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.5.38):

VAC, out VAC, in

Γ

∝ Det K [ Γ ].

(9.5.64)

×òîáû âîñïðîèçâåñòè ðåçóëüòàòû òåîðèè âîçìóùåíèé, ïðåäñòàâèì K(Γ) â âèäå

K [Γ ] ≡ D + G [Γ ] , G[Γ ]mx, ny = γ 0 Γ(x)

c

h

mn

(9.5.65)

δ 4 (x − y) ,

(9.5.66)

è ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (9.5.64) â ðÿä ïî ñòåïåíÿì G [Γ]:

VAC, out VAC, in = [Det D ] exp

∞

Γ

F (−1) GH ∑ n n =1

∝ Det D[1 + D −1G [Γ ]]

n +1

c

Tr (D −1G [Γ ]) n

h

I. JK

(9.5.67)

Ýòî èìåííî òî, ÷òî ñëåäîâàëî îæèäàòü ñîãëàñíî ôåéíìàíîâñêèì ïðàâèëàì: âêëàäû îò âíóòðåííèõ ëèíèé è âåðøèí â ýòîé òåîðèè ðàâíû −iD–1 è −iG [Γ]; ñëåä îò ïðîèçâåäåíèÿ n ìíîæèòåëåé −D– 1 G [Γ] ñîîòâåòñòâóåò ïåòëå ñ n âåðøèíàìè, ñîåäèíåííûìè n âíóòðåííèìè ëèíèÿìè; 1/n − îáû÷íûé êîìáèíàòîðíûé ìíîæèòåëü, ñâÿçàííûé ñ òàêèìè ïåòëÿìè (ñì ðàçäåë 6.1); çíàêîâûé ìíèæèòåëü ðàâåí (−1)n+1, à íå (−1)n, òàê êàê äîïîëíèòåëüíûé çíàê «ìèíóñ» ñâÿçàí ñ ôåðìèîííûìè ïåòëÿìè; íàêîíåö, ñóììà ïî n â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû âîçíèêàåò ïîòîìó, ÷òî â àìïëèòóäó âåðîÿòíîñòè âàêóóìó îñòàòüñÿ âàêóóìîì âíîñÿò âêëàä äèàãðàììû ñ ëþáûì ÷èñëîì íåñâÿçíûõ ïåòåëü. Íå çàâèñÿùèé îò Γ ìíîæèòåëü Det D ìåíåå óäîáíî âûâîäèòü èç ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë; îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âêëàä ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ôåðìèîííûõ ïåòåëü áåç âåðøèí. Äîáàâèì, ÷òî ôîðìóëà òèïà (9.5.64) ïîçâîëèò ïîëó÷èòü íåïåðòóðáàòèâíûå ðåçóëüòàòû, èñïîëüçóÿ òîïîëîãè÷åñêèå òåîðåìû î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ÿäåð òèïà K [Γ]. Ïîäðîáíåå ýòîò âîïðîñ áóäåò ðàññìîòðåí â ò. II.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà ÊÝÄ

557

9.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè Ïðåèìóùåñòâà ôóíêöèîíàëüíîãî ïîäõîäà ê êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ðàñêðûâàþòñÿ â ïîëíîé ìåðå ïðè åãî ïðèìåíåíèè ê êàëèáðîâî÷íûì òåîðèÿì áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñïèíà åäèíèöà, ïîäîáíûõ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïðîäåëàííûé â ïðåäûäóùåé ãëàâå âûâîä ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñîäåðæàë íåìàëî àðãóìåíòîâ íà óðîâíå «ðàçìàõèâàíèÿ ðóêàìè» ïðè äîêàçàòåëüñòâå òîãî, ÷òî ñëàãàåìûå â ôîòîííîì ïðîïàãàòîðå ∆µν(q), ïðîïîðöèîíàëüíûå qµ èëè qν, ìîãóò áûòü îòáðîøåíû, à ÷èñòî âðåìåíèïîäîáíûå ñëàãàåìûå â òî÷íîñòè ñîêðàùàþò êóëîíîâñêîå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå, òàê ÷òî ýôôåêòèâíûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ìîæíî âçÿòü â âèäå ηµν/q2. ×òîáû äàòü ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà ìåòîäàìè ãë. 8, íàì ïîòðåáîâàëñÿ áû ñëîæíûé àíàëèç ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Îäíàêî, êàê ìû ñåé÷àñ ïîêàæåì, ôóíêöèîíàëüíûé ïîäõîä ïðèâîäèò ê æåëàåìîé ôîðìå ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà àâòîìàòè÷åñêè, áåç êàêîãî-ëèáî îáðàùåíèÿ ê äåòàëÿì ïîâåäåíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì.  ãëàâå 8 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â êóëîíîâñêîé êàëèáðîâêå ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ôîòîíîâ ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èìååò âèä

H [ A, Π⊥ , . . . ] = H M +

XY d x LM Z N 3

1 2

OP Q

Π⊥ 2 + 21 (∇ × A)2 − A ⋅ J + VÊóë . (9.6.1)

Çäåñü À — âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, ïîä÷èíÿþùèéñÿ óñëîâèþ êóëîíîâñêîé êàëèáðîâêè ∇ ⋅ À = 0, (9.6.2) à Π⊥ — âèõðåâàÿ ÷àñòü îòâå÷àþùåãî åìó êàíîíè÷åñêîãî èìïóëüñà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òàêîìó æå îãðàíè÷åíèþ ∇ × Π⊥ = 0 .

(9.6.3)

Êðîìå òîãî, ÍÌ — ãàìèëüòîíèàí ìàòåðèè *, à VÊóë — êóëîíîâñêàÿ ýíåðãèÿ * Ìàòåðèåé ïðèíÿòî íàçûâàòü âñå ïîëÿ, íå ÿâëÿþùèåñÿ êàëèáðîâî÷íûìè ïîëÿìè. Ïîñëåäíèå ÿâëÿþòñÿ «ïåðåíîñ÷èêàìè âçàèìîäåéñòâèÿ. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

558

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

VÊóë (t) =

1 2

0

0

X d xd y J (x, t)J (y, t) . YZ 4π| x − y| 3

3

(9. 6. 4)

Êàê è äëÿ ëþáîé äðóãîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, ñðåäíèå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííûõ ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ ìîæíî âû÷èñëÿòü êàê ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû *:

X LM O YY M∏ da (x)∏ dπ (x)∏ dψ (x)PP O O . . . ZN Q RX L U O X × exp Si Y d x M π ⋅ a& − π − (∇ ⋅ a) + a ⋅ J + L P − i Y d t V V Q Z TZ N W L OL O (9. 6. 5) × M∏ δa∇ ⋅ a(x)fP M∏ δa∇ ⋅ π (x)fP , MN PQ MN PQ l

q

T O AO B . . .

VAC

=

i

i

x, i 1 2

4

x

x, i

2

1 2

l

A B

x ,l

2

M

Êóë

x

ãäå ψl(x) — èñõîäíûå ïîëÿ ìàòåðèè. Ïðè çàïèñè ôîðìóëû (9.6.5) â òåðìèîíàõ ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà ìàòåðèè ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÍÌ — ëîêàëüíûé îïåðàòîð, ëèáî ëèíåéíûé ïî êàíîíè÷åñêèì èìïóëüñàì ìàòåðèè (êàê â ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêå), ëèáî êâàäðàòè÷íûé ïî íèì ñ íåçàâèñÿùèìè îò ïîëåé êîýôôèöèåíòàìè (êàê â ñêàëÿðíîé ýëåêòðîäèíàìèêå).  ôîðìóëó (9.6.5) âêëþ÷åíû äåëüòàôóíêöèè **, ÷òîáû ó÷åñòü ñâÿçè (9.6.2) è (9.6.3). * Çàìåòèì, ÷òî π(x) åñòü èíòåðïîëèðóþùåå ñ-÷èñëîâîå ïîëå äëÿ êâàíòîâîãî îïåðàòîðà Π⊥, êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ êîìïîíåíò êîòîðîãî äðóã ñ äðóãîì è ñ À òå æå, ÷òî è äëÿ Π, íî â îòëè÷èå îò Π, ýòîò îïåðàòîð êîììóòèðóåò ñî âñåìè êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè ìàòåðèè. ** Ýòî íå áåçóïðå÷íî ñòðîãîå óòâåðæäåíèå. Åñëè ïðèíÿòü çà êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå a1, a2 è π1, π2, è ðàññìàòðèâàòü a3 è π3 êàê ôóíêöèîíàëû îò ýòèõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè (9.6.2) è (9.6.3), òî ñëåäóåò âñòàâèòü äåëüòà-ôóíêöèþ

∏ δca3 (x) + ∂3−1 a∂1a1 (x) + ∂2a2 (x)fhδcπ3 (x) + ∂3−1 a∂1π1 (x) + ∂2 π2 (x)fh . x

Îäíàêî îíà îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäåíèÿ äåëüòà-ôóíêöèé â ôîðìóëå (9.6.5) ëèøü íà ìíîæèòåëü Det ∂32, êîòîðûé, õîòÿ è áåñêîíå÷åí, íî íå çàâèñèò îò ïîëåé è ïîýòîìó ñîêðàùàåòñÿ â îòíîøåíèÿõ òèïà (9.4.1).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà ÊÝÄ

559

Ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â (9.6.5) î÷åâèäíî êâàäðàòè÷åí ïî íåçàâèñèìûì êîìïîíåíòàì π (íàïðèìåð, π1 è π2) ñ íåçàâèñèìûìè îò ïîëåé êîýôôèöèåíòàìè â ñëàãàåìûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî π. Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (9.À.9), ìîæíî âçÿòü èíòåãðàë ïî π, ïîëîæèâ π ðàâíûì çíà÷åíèþ â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ïîêàçàòåëÿ ýêñïîíåíòû π = a& :

X LM da (x) dψ (x)OP O O . . . YY M ∏ i ∏ l P A B Z Nx, i x, l Q RX L O × exp Si Y d x M a& − (∇ × a) + a ⋅ j + L P Q TZ N O UL X −i Y d t V + iε − ñëàãàåìûåVM∏ δa∇ ⋅ a(x)fP . Z PQ WMN = T O AO B . . . VAC

n

s

1 2

4

2

1 2

2

M

(9.6.6)

Êóë

x

×òîáû âûÿâèòü ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî êîâàðèàíòíîñòè ýòîãî ðåçóëüòàòà, èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé ïðèåì. Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ a0(x) è çàìåíèì êóëîíîâñêîå ñëàãàåìîå â äåéñòâèè −∫dt VÊóë íà

X d x L − a ( x ) j ( x) + YZ MN 4

0

0

1 (∇a 0 (x))2 2

OP . Q

(9.6.7)

Òàê êàê (9.6.7) êâàäðàòè÷íî ïî à0, ìîæíî âçÿòü èíòåãðàë ïî à0 (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ), ïîëîæèâ a0(x) ðàâíûì çíà÷åíèþ â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå (9.6.7), ò. å. â òî÷êå, îòâå÷àþùåé ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ − j 0 (x) − ∇2 a 0 (x) = 0 , èëè, èíûìè ñëîâàìè, â òî÷êå a 0 (x, t) =

0

XY d y j (y, t) . Z 4π| x − y| 3

(9.6.8)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå à0 â ôîðìóëó (9.6.7), ïîëó÷àåì êàê ðàç êóëîíîâñêîå äåéñòâèå −∫dt VÊóë. Ñëåäîâàòåëüíî, â ôîðìóëå (9.6.6) ìîæíî ïåðåïèñàòü ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

560

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

1 2

a& 2 − 21 (∇ × a)2 + a ⋅ j + LM − a 0 j 0 + 21 (∇a 0 )2

= − 14 fµν f µν + aµ j µ + LM + ïîëíûå ïðîèçâîäíûå , ãäå fµν = ∂µaν − ∂νaµ, è èíòåãðèðîâàòü ïî à0, ïî à è ïî ïîëÿì ìàòåðèè. Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë (9.6.6) ïðèìåò òîãäà âèä

O X LM YY M ∏ daµ (x) ∏ dψl (x)PP OAOB . . . x, l Z Nx, µ Q × expa iI[a, ψ ]f∏ δa∇ ⋅ a(x)f ,

= T O AO B . . . VAC

n

s

(9.6.9)

x

ãäå I — èñõîäíîå äåéñòâèå:

I[a, ψ ] =

XY d x LM− Z N 4

1 f f µν 4 µν

OP Q

+ aµ j µ + LM + iε − ñëàãàåìûå . (9.6.10)

Òåïåðü âñå âûðàæåíèÿ ñòàëè ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíû è êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû, åñëè íå ñ÷èòàòü ïîñëåäíåãî ïðîèçâåäåíèÿ äåëüòà-ôóíêöèé, îáåñïå÷èâàþùåãî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ êóëîíîâñêîé êàëèáðîâêè *. ×òîáû ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå, ïðèìåíèì ïðîñòîé âàðèàíò òîãî ïðèåìà 4,5, êîòîðûé â ò. II áóäåò èñïîëüçîâàí â áîëåå ñëîæíîì ñëó÷àå íåàáåëåâûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèþ, êîãäà îïåðàòîðû OA[A,Ψ], OB[A,Ψ], ..., à òàêæå äåéñòâèå I[a,ψ] è ìåðà [∏da][∏dψ] êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû. Âî-ïåðâûõ, çàìåíèì âåçäå â ôîðìóëå (9.6.9) ïîëåâûå ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ aµ(x) è ψ(x) íà íîâûå ïåðåìåííûå

aµΛ (x) ≡ aµ (x) + ∂ µ Λ(x) ,

(9.6.11)

* Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü a0(x) íå ðàâíî çíà÷åíèþ (9.6.8), à ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìû íå áóäåì ñðàçó æå èíòåãðèðîâàòü ïî a0(x), ÷òî âåðíåò íàñ íàçàä ê (9.6.6), à ðàññìîòðèì ýòó ïåðåìåííóþ â òàíäåìå ñ a(x).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà ÊÝÄ

561

ψ lΛ (x) ≡ exp iq l Λ(x) ψ l (x)

b

(9.6.12)

g

ñ ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîé ôóíêöèåé Λ(x). Ýòîò øàã − òàêàÿ æå ìàòå∞ ìàòè÷åñêàÿ òðèâèàëüíîñòü, êàê è çàïèñü èíòåãðàëà −∞ f (x)dx â âè∞ äå −∞ f ( y)dy , è íå òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ ïîñòóëèðîâàííîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè òåîðèè. Äàëåå, ñ ó÷åòîì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè çàìåíèì aµΛ(x) è ψlΛ(x) â äåéñòâèè, ìåðå è ôóíêöèÿõ O íà ïåðâîíà÷àëüíûå ïîëÿ aµ(x) è ψl(x), ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ôîðìóëà (9.6.9) ïðèìåò âèä

z

z

T O A A, Ψ , O B A, Ψ , . . .

l q XL OL O ∝ Y M∏ da (x)P M∏ dψ (x)P O [a, ψ ], O YZ MN PQ MN PQ × expa iI[a, ψ ]f∏ δc∇ ⋅ a(x) + ∇ Λ(x)h . µ

VAC

l

x,µ

A

B [a, ψ ], . . .

x ,l

(9.6.13)

2

x

Äàëåå, ôóíêöèÿ Λ(x) áûëà âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Λ(x) ÿâíî âõîäèò â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (9.6.13), ïîñëåäíÿÿ íå ìîæåò çàâèñåòü îò ýòîé ôóíêöèè. Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ôàêòîì, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë â çíà÷èòåëüíî áîëåå óäîáíîé ôîðìå. Äîìíîæèì (9.6.13) íà ôóíêöèîíàë

FG H

B[ Λ, a] = exp − 21 iα

X d x c∂ a YZ 4

0

0

− ∇2 Λ

h IJK 2

(9.6.14)

(ãäå α − ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà), è ïðîèíòåãðèðóåì ïî Λ(x). Ñäâèãàÿ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ Λ(x) è èìåÿ â âèäó ðåàëüíóþ íåçàâèñèìîñòü âûðàæåíèÿ (9.6.13) îò Λ, âèäèì, ÷òî âñå ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ ýòîãî âûðàæåíèÿ íà íåçàâèñÿùóþ îò ïîëåé êîíñòàíòó

X LM dΛ(x)OP expF − YY M∏ P GH ZN Q x

1 2

iα

X d x c∇ Λh IJ . YZ K 4

2

2

(9.6.15)

Ýòîò ìíîæèòåëü ñîêðàùàåòñÿ â ñâÿçíîé ÷àñòè ñðåäíåãî ïî âàêóóìó è ïîýòîìó íå ïðèâîäèò ê ôèçè÷åñêèì ñëåäñòâèÿì. Îäíàêî (9.6.13) íå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

562

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

çàâèñèò îò Λ òîëüêî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî aµ(x) è ψ(x). Ñ òåì æå óñïåõîì ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî Λ(x) ïåðåä èíòåãðèðîâàíèåì ïî aµ(x) è ψ(x).  ýòîì ñëó÷àå ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.6.13) ìíîæèòåëü ∏x δ ∇ ⋅ a(x) + ∇2 Λ(x) çàìåíÿåòñÿ íà

c

h

X LM dΛ(x)OP expF − iα X d x c∂ a − ∇ Λh I δc∇ ⋅ a(x) + ∇ Λ(x)h YY M∏ P GH YZ JK ∏ ZN Q F X I ∝ expG − iα Y d x d∂ a i J , (9.6.16) H Z K 1 2

4

0

2

2

2

0

x

x

1 2

4

µ

µ 2

ãäå çíàê ∝ âíîâü îçíà÷àåò ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî íåçàâèñÿùåãî îò ïîëåé ìíîæèòåëÿ. Îïóñêàÿ ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè, ïðèâîäèì ïðåäñòàâëåíèå (9.6.9) ê âèäó

l

q

T O AO B . . .

VAC

∝

X LM YY M∏ da ZN

µ ( x)

x, µ

OP LM O dψ (x)P O ∏ PQ MN PQ l

A O B . . . exp( iI ýôô [a, ψ ]) ,

x,l

ãäå Iýôô [a, ψ ] = I[a, ψ ] − 21 α

(9.6.17)

X d∂ a i d x . YZ µ 2 4

µ

(9.6.18)

Ýòî âûðàæåíèå ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíî. Ìû ðàññìàòðèâàåì íîâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.6.18) êàê âêëàä â íåâîçìóùåííóþ ÷àñòü äåéñòâèÿ, ôîòîííàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ïðèíèìàåò òåïåðü ñëåäóþùèé âèä:

I0 [ a ] =

XY d x LM− Z N 4

1 4

(∂ µ a ν − ∂ ν aµ )(∂ µ a ν − ∂ ν a µ )

− 21 α(∂ µ a µ )2 + iε − ñëàãàåìûå = − 21

X d xd y a (x)a (y)D YZ 4

4

µ

ν

µx , νy

OP Q

,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9.6.19)

9.6. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà ÊÝÄ

LM MN

Dµx, νy = ηµν

∂2 ρ

∂x ∂yρ

− (1 − α)

563

∂2 µ

∂x ∂y

ν

OP δ (x − y) + iε − ñëàãàåìûå PQ (9.6.20) 4

= (2π) −4 d 4 q ηµν q 2 − (1 − α)q µ q ν − iεηµν e iq ⋅(x − y) .

z

Òåïåðü ìîæíî ñðàçó æå íàéòè ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, îáðàùàÿ 4×4 ìàòðèöó â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû :

∆ µx, νy = (2π) −4

X d q LM η + (1 − α) q q OP e YZ N q − iε α (q − iε) Q µ ν

µν

4

2

2

iq ⋅( x − y)

2

. (9.6.21)

Ìû âïðàâå âûáèðàòü âåëè÷èíó α èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà. Äâà íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ âûáîðà — ýòî α = 1, ÷òî ïðèâîäèò ê ïðîïàãàòîðó â êàëèáðîâêå Ôåéíìàíà

∆Ôåéíìàí = (2π) −4 µx , νy

X d q LM η OP e YZ N q − iε Q µν

4

iq ⋅( x − y)

2

.

(9.6.22)

èëè α = ∞, òîãäà ìíîæèòåëü (9.6.14) äåéñòâóåò êàê äåëüòà-ôóíêöèÿ, è ïîëó÷àåòñÿ ïðîïàãàòîð â êàëèáðîâêå Ëàíäàó (÷àñòî íàçûâàåìîé òàêæå êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà) −4 ∆Ëàíäàó µx, νy = (2π)

X d q LM η − q q OP e YZ N q − iε (q − iε) Q µ ν

µν

4

2

2

2

iq ⋅( x − y)

.

(9.6.23)

Ïðè ðàáîòå ñ òàêèìè ÿâíî ëîðåíö-èíâàðèàíòíûìè îïåðàòîðàìè âçàèìîäåéñòâèÿ è ïðîïàãàòîðàìè ïðàêòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ íàìíîãî óäîáíåå. 9.7 Ðàçíûå ñòàòèñòèêè * Òåïåðü ìîæíî âåðíóòüñÿ ê âîïðîñó, ïîñòàâëåííîìó â ãë. 4: êàêèå ñóùåñòâóþò âîçìîæíîñòè äëÿ èçìåíåíèÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

564

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

ïðè ïåðåñòàíîâêå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö? Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îòâåòà ðàññìîòðèì ïðèãîòîâëåíèå íà÷àëüíîãî èëè êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ â íåêîòîðîì ïðîöåññå ðàññåÿíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ êàêèõ-òî ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ âíåøíèõ ïîëåé ñîâîêóïíîñòü íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö â êàæäîì èç ýòèõ ñîñòîÿíèé ïåðåâîäèòñÿ èç ñòàíäàðòíîé êîíôèãóðàöèè ñ èìïóëüñàìè k1, k2 è ò. ä. â êîíêðåòíóþ êîíôèãóðàöèþ ñ èìïóëüñàìè p1, p2 è ò. ä., ïðè÷åì ÷àñòèöû îñòàþòñÿ â ýòîì ïðîöåññå íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü íåðåëÿòèâèñòñêóþ êâàíòîâóþ ìåõàíèêó. (Ñïèíîâûå èíäåêñû ÿâíî íå âûïèñàíû; ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îíè âêëþ÷åíû â ñèìâîëû èìïóëüñîâ.) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóäû òàêîãî ïðîöåññà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôóíêöèîíàëüíûé ìåòîä *, ñ÷èòàÿ, ÷òî q è ð èç ðàçäåëà 9.1. ÿâëÿþòñÿ íå ïîëÿìè è èì ñîïðÿæåííûìè èìïóëüñàìè, à êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñàìè ÷àñòèö. Ýòè âåëè÷èíû âñåãäà óäîâëåòâîðÿþò êàíîíè÷åñêèì ñîîòíîøåíèÿì êîììóòàöèè, à íå àíòèêîììóòàöèè, íåçàâèñèìî îò òîãî, ÿâëÿþòñÿ ëè ÷àñòèöû áîçîíàìè, ôåðìèîíàìè èëè ÷åì-òî åùå. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü ìû íå ñâÿçûâàåì ñåáÿ êàêèì-òî îïðåäåëåííûì òèïîì ñòàòèñòèêè. Ïî ôîðìóëå (9.1.34) äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà àìïëèòóäà 〈p1, p2, ...| k1, k2, ...〉Ð çàïèñûâàåòñÿ êàê èíòåãðàë ïî òðàåêòîðèÿì (ïóòÿì), âäîëü êîòîðûõ èìïóëüñ îäíîé ÷àñòèöû íåïðåðûâíûì îáðàçîì ìåíÿåòñÿ îò çíà÷åíèÿ k1 äî çíà÷åíèÿ ð1, èìïóëüñ äðóãîé òîæäåñòâåííîé ÷àñòèöû íåïðåðûâíûì îáðàçîì ìåíÿåòñÿ îò çíà÷åíèÿ k2 äî çíà÷åíèÿ ð2 è ò. ä. Èíäåêñ Ð óêàçûâàåò, ÷òî ìû âû÷èñëÿåì àìïëèòóäó äëÿ ðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè, òàêàÿ àìïëèòóäà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê èìïóëüñîâ ð è îäíîâðåìåííûõ ïåðåñòàíîâîê èìïóëüñîâ k, íî íå îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê ð è k ïî îòäåëüíîñòè. Îäíàêî åñëè ÷àñòèöû äåéñòâèòåëüíî íåðàçëè÷èìû, òî ñóùåñòâóþò äðóãèå òîïîëîãè÷åñêè äîïóñòè* Çäåñü ÿ ñëåäóþ ðàññóæäåíèÿì Ëàäëîó è Ñ. äå Âèòò11, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî îíè ïðèìåíèëè ôóíêöèîíàëüíûé ìåòîä êî âñåìó ïðîöåññó ðàññåÿíèÿ, à íå òîëüêî ê ïðèãîòîâëåíèþ íà÷àëüíîãî èëè êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ.  ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè âîçìîæíîñòü ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ÷àñòèö äåëàåò íåîáõîäèìûì ïðèìåíåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ê ïîëÿì, à íå ê òðàåêòîðèÿì ÷àñòèö. Äëÿ íàñ ýòî íå ñîñòàâëÿåò ïðîáëåìû, òàê êàê ìû îãðàíè÷èëèñü âû÷èñëåíèÿìè â äîñòàòî÷íî ðàííèå èëè äîñòàòî÷íî ïîçäíèå ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ó÷àñòâóþùèå â ðàññåÿíèè ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî äðóã îò äðóãà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.7. Ðàçíûå ñòàòèñòèêè

565

ìûå ïóòè, ïðèâîäÿùèå ê òîé æå êîíå÷íîé êîíôèãóðàöèè.  ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòüþ d ≥ 3 åäèíñòâåííûìè òàêèìè ïóòÿìè ÿâëÿþòñÿ òå, êîòîðûå ïåðåâîäÿò èìïóëüñû k1, k2, ... â íåêîòîðóþ íåòðèâèàëüíóþ ïåðåñòàíîâêó P èìïóëüñîâ ð1, ð2, ... *. Ñëåäîâàòåëüíî èñòèííàÿ àìïëèòóäà ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê p1 , p2 , . . . k 1 , k 2 , . . . =

∑ CP

p P 1, p P 2 , . . . k1, k 2 , . . .

P

D

,

(9.7.1)

ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì N! ïåðåñòàíîâêàì N íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè, à CP − ñîâîêóïíîñòü êîìïëåêñíûõ êîíñòàíò. Ýòè àìïëèòóäû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùåìó ïðàâèëó êîìïîçèöèè, ñïðàâåäëèâîìó äëÿ íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö:

1 d 3 q1d 3q 2 . . . p1 , p2 , . . . q1 , q 2 , . . . N! × q1 , q 2 , . . . k 1 , k 2 , . . . .

p1 , p 2 , . . . k 1 , k 2 , . . . =

z

(9.7.2)

Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (9.7.1), ýòî òðåáîâàíèå ïðèíèìàåò âèä

∑ CP P

1

∑ CP ′ CP ′′ d3q1d3q2 . . . N ! P ′P ′′ × p P ′1 , p P ′2 , . . . q1 , q 2 , . . . D q P ′′1 , q P ′′2 , . . . k1 , k 2 , . . . D . p P 1, p P 2 , . . . k1 , k 2 , . . .

D

=

z

Ïðèìåíÿÿ ïåðåñòàíîâêó P  ′′ îäíîâðåìåííî ê íà÷àëüíîìó è êîíå÷íîìó ñîñòîÿíèÿì â ïåðâîé àìïëèòóäå ñïðàâà, ïîëó÷èì

* Ôîðìàëüíî ýòî âûðàæàåòñÿ óòâåðæäåíèåì, ÷òî ïåðâàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà â ñëó÷àå d ≥ 3 åñòü ãðóïïà ïåðåñòàíîâîê 12. Ïîä «êîíôèãóðàöèîííûì ïðîñòðàíñòâîì» äëÿ N íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî, òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ N d-ìåðíûõ âåêòîðîâ, ïðè ýòîì èñêëþ÷àþòñÿ êîíôèãóðàöèè, êîãäà íåêîòîðûå d-âåêòîðû ñîâïàäàþò (èëè íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè, íå ïðåâûøàþùåì íåêîòîðîãî çàäàííîãî), à êîíôèãóðàöèè, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïåðåñòàíîâêîé âåêòîðîâ, îòîæäåñòâëÿþòñÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

566

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

∑ CP P

1

∑ CP ′ CP ′′ d3q1d3q2 . . . N ! P ′P ′′ × p P ′′P ′1 , p P ′′P ′2 , . . . q P ′′1 , q P ′′2 , . . . P q P ′′1 , q P ′′2 , . . . k1 , k 2 , . . . p P 1, p P 2 , . . . k1, k 2 , . . .

D

=

z

D

.

Îäíàêî àìïëèòóäû 〈p1, p2, ...| k1, k2, ...〉D óäîâëåòâîðÿþò ïðàâèëó êîìïîçèöèè äëÿ ðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö p1 , p 2 , . . . k 1 , k 2 , . . .

D

z

= d 3 q1d 3 q 2 . . . p1 , p2 , . . . q1 , q 2 , . . .

× q1 , q 2 , . . . k 1 , k 2 , . . .

D

, D

(9. 7. 3)

òàê ÷òî ïðàâèëî êîìïîçèöèè äëÿ ôèçè÷åñêèõ àìïëèòóä ìîæíî çàïèñàòü êàê

∑ CP P

p P 1 , p P 2 , . . . k1 , k 2 , . . .

Ð

1

∑ CP ′ CP ′′ N ! P ′P ′′ × p P ′′P ′1 , p P ′′P ′2 , . . . k1 , k 2 , . . . =

D

,

÷òî áóäåò âûïîëíåíî òîëüêî è åñëè òîëüêî

CP ′ P ′′ = CP ′ CP ′′ .

(9. 7. 4)

Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû CP äîëæíû îáðàçîâûâàòü îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê. Îäíàêî ýòà ãðóïïà èìååò òîëüêî äâà òàêèõ ïðåäñòàâëåíèÿ: òîæäåñòâåííîå ñ CP = +1 äëÿ âñåõ ïåðåñòàíîâîê, è çíàêîïåðåìåííîå ïðåäñòàâëåíèå ñ CP = +1 èëè CP = −1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè Ð ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé ïåðåñòàíîâêîé. Ýòè äâå âîçìîæíîñòè ñîîòâåòñòâóþò ñòàòèñòèêàì Áîçå è Ôåðìè *. *  ëèòåðàòóðå ìíîãîêðàòíî îáñóæäàëèñü âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàòèñòèê, îòëè÷àþùèõñÿ îò ñòàòèñòèê Áîçå è Ôåðìè è îáúåäèíÿåìûõ òåðìèíîì ïàðàñòàòèñòèêè. Áûëî ïîêàçàíî 11, ÷òî òåîðèè ïàðàñòàòèñòèê â ñëó÷àå d ≥ 3 ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé ýêâèâàëåíòíû òåîðèÿì, â êîòîðûõ âñå ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûìè ôåðìèîíàìè èëè áîçîíàìè, íî íåñóùèìè äîïîëíèòåëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî, òàê ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè ìîãóò èìåòü íåîáû÷íûå ñâîéñòâà ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåñòàíîâêàì èìïóëüñîâ è ñïèíîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

9.7. Ðàçíûå ñòàòèñòèêè

567

Ïðèÿòíûì ñâîéñòâîì ýòîãî ðàññóæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ñëó÷àé äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèé ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì.  ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàçëè÷íûõ òîïîëîãè÷åñêè äîïóñòèìûõ ïóòåé *. Íàïðèìåð, ïóòü, ïðè êîòîðîì îäíà ÷àñòèöà êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç îêðóæàåò äðóãóþ, íå ìîæåò áûòü äåôîðìèðîâàí â ïóòü, ãäå ýòîãî íå ïðîèñõîäèò. Êàê ñëåäñòâèå, â äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ èçìåðåíèÿõ âîçìîæíû àíèîíû 15 — ÷àñòèöû ñ áîëåå îáùèìè ñâîéñòâàìè ïåðåñòàíîâîê, ÷åì â ñòàòèñòèêàõ Áîçå èëè Ôåðìè. Ïðèëîæåíèå: Ìíîãîêðàòíûå ãàóññîâû èíòåãðàëû Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ìíîãîêðàòíûé èíòåãðàë ïî êîíå÷íîìó ÷èñëó äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ ξr îò ýêñïîíåíòû, ïîêàçàòåëü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ξr:

J ≡ Q(ξ) =

∞

XY ∏ dξ Z −∞ r

1 2

r

exp − Q(ξ) ,

k

p

∑ K rsξ r ξ s + ∑ L r ξ r + M, rs

(9.À.1) (9.À.2)

r

ãäå Krs, Lr è M − ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, ïðè÷åì ìàòðèöà K ïðåäïîëàãàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé è íåñèíãóëÿðíîé. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà Krs, Lr è M âñå äåéñòâèòåëüíû, êðîìå òîãî, ìàòðèöà K ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Îáùèé ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åí àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì. Âñÿêàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü äèàãîíàëèçîâàíà ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàòðèöà S , òàêàÿ, ÷òî åå òðàíñïîíèðîâàííàÿ ñîâïàäàåò ñ îáðàòíîé, S T = S −1 , è òàêàÿ, ÷òî

dS

T KS

i

rs

= δ rsκ r .

(9.À.3)

* Ýòîò ôàêò âûðàæàåòñÿ óòâåðæäåíèåì, ÷òî ïåðâàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà â äâóõ èçìåðåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ íå ãðóïïîé ïåðåñòàíîâîê, à áîëåå øèðîêîé ãðóïïîé, èçâåñòíîé êàê ãðóïïà êîñ 14.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

568

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî K ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è íåîñîáåííàÿ, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ κr ïîëîæèòåëüíû. Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû S ìîæíî ñîâåðøèòü çàìåíó ïåðåìåííûõ

ξr =

∑ S rsξ ′s .

(9.À.4)

s

ßêîáèàí |Det S  | ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí åäèíèöå, òàê ÷òî ìíîãîêðàòíûé èíòåãðàë (9.À.1) ïåðåõîäèò â ïðîèçâåäåíèå îäíîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ:

J = e−M

X ∏ YZ r

= e−M

∏ r

∞

RS T

dξ ′ exp −

−∞

κr 2 ξ ′ − ( S T L) r ξ ′ 2

UV W (9.À.5)

2π 1 exp ( S T L)2r . 2κ r κr

RS T

UV W

Íî èç ôîðìóëû (9.À.3) ñëåäóåò:

Det K =

∏ κr ,

−1 K rs =

r

∑ S nl S ml κ l−1 , l

òàê ÷òî ôîðìóëó (9.À.5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

FG FG K IJ IJ H H 2π K K

J = Det

−1/ 2

exp

R| L L K S| ∑ T 1 2

r

rs

s

−1 rs

U| V| W

−M .

(9.À.6)

Ôîðìóëà (9.À.1) îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ ïåðåìåííûõ Krs, Lr è M, àíàëèòè÷åñêóþ ïî Krs â êîíå÷íîé îáëàñòè âîêðóã ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé ìàòðèöà Krs äåéñòâèòåëüíà è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è äëÿ êîòîðîé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ. Äëÿ òàêèõ Krs ýòà ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà âñþäó ïî Lr è Ì. Ïîñêîëüêó âûðàæåíèå (9.À.6) ðàâíî âûðàæåíèþ (9.À.1) äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ Krs, Lr è M, ãäå ìàòðèöà K ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (9.À.6) äàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå âûðàæåíèÿ (9.À.1) íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì, îïðåäåëÿåìûì êâàäðàòíûì êîðíåì. Çíàê êâàäðàòíîãî êîðíÿ ôèêñèðóåòñÿ ýòèì àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì.  òåîðèè ïîëÿ ìàòðèöà Krs íà ñàìîì äåëå ìíèìà, íå ñ÷èòàÿ ìàëîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè, îáÿçàííîé «iε-ñëàãàåìîìó».

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

569

Ïðèëîæåíèå

Ïîëåçíî çàïèñàòü âûðàæåíèå (9.À.6) ÷åðåç ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó −1L ξ r = − ∑ K rs s

(9.À.7)

∂Q(ξ) ∂ξ r = 0 ïðè ξ = ξ ,

(9.À.8)

s

ôóíêöèè (9.À.2), â âèäå

FG FG K IJ IJ H H 2π K K

−1/ 2

J = Det

o

t

exp − Q( ξ) .

(9.À.9)

Ýòîò ðåçóëüòàò ñòîèò çàïîìíèòü: ãàóññîâñêèå èíòåãðàëû ìîæíî âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ, ñîäåðæàùåãî äåòåðìèíàíò, ïîëîæèâ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíîé çíà÷åíèþ â òî÷êå, ãäå ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ñòàöèîíàðåí. Äàëåå, ìû õîòèì èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ

I r1 ... r2 N ≡

X F dξ I ξ YY GH ∏ JK Z r

R| K S| ∑ T

1 r1 ξ r2 . . . ξ r2 N exp − 2

r

rs ξ r ξ s

rs

U| . V| W

(9.À.10)

(Ïîäîáíûå èíòåãðàëû ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ìíîæèòåëåé ξ î÷åâèäíûì îáðàçîì ðàâíû íóëþ.) Ðàçëîæèâ â ðÿä exp(−∑rLrξr) â âûðàæåíèè (9.À.1), ïîëó÷àåì ïðàâèëî ñóìì ∞

1

∑ ∑

N = 0 r1r2 ... r2 N

I r r ... r L r L r ... L r2N (2N )! 1 2 2N 1 2

X F dξ I expR|− L ξ − 1 K ξ ξ U| V| YZ GH ∏ JK S| ∑ ∑ 2 T W L F K I O exp|RS1 ∑ L L K |UV = MDet G J P N H 2π K Q T|2 W| L F K IO ∑ 1 F∑ L L K I . = MDet G J P G JK N !2 H N H 2π K Q =

r

r r

r

rs r s

r

rs

−1 / 2

r

−1 rs

s

rs

−1 / 2 ∞

N=0

N

r

N

s

−1 rs

rs

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(9. À. 11)

570

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè L r1 L r2 . . . L r2 N ñ îáåèõ ñòîðîí ðàâåíñòâà, âèäèì, ÷òî I r1r2 ... r2 N äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû K−1, âèä êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ òðåáîâàíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ r1, r2, ..., r2N: I r1r2 ... r2 N = cN

∑

∏ (K −1)ñïàðåííûå èíäåêñû .

ïî ñïàðèâàíèÿì ïî ïàðàì r1 ... r2 N

(9.À.12)

Çäåñü ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ñïîñîáàì ñïàðèâàíèÿ èíäåêñîâ r1...r2N, ïðè÷åì äâà ñïàðèâàíèÿ ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ïàð èëè ïîðÿäêîì èíäåêñîâ âíóòðè ïàðû. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ cN çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî νN ñëàãàåìûõ â ñóììå ïî ñïàðèâàíèÿì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9.À.12) ðàâíî ÷èñëó (2N)! ïåðåñòàíîâîê èíäåêñîâ, äåëåííîìó íà ÷èñëî N! ñïîñîáîâ ïåðåñòàíîâêè ïàð è íà ÷èñëî 2N ïåðåñòàíîâîê âíóòðè êàæäîé ïàðû :

νN =

(2N)! . N ! 2N

(9.À.13)

Ïîýòîìó èç ôîðìóëû (9.À.12) ñëåäóåò, ÷òî

∑

L r1 L r2 . . . L r2 N I r1r2 ... r2 N = ν N cN

r1r2 ... r2 N

F LLK I GH ∑ JK r

s

−1 rs

N

.

(9.À.14)

rs

Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé (9.À.11), âèäèì, ÷òî ìíîæèòåëè (2N)! è N!2N ñîêðàùàþòñÿ ñ νN, è â ðåçóëüòàòå îñòàåòñÿ

LM FG K IJ OP N H 2π K Q

−1/2

cN = Det Íàïðèìåð,

.

I r1r2 = I0 (K −1 ) r1r2 ,

(9.À.15)

(9.À.16)

I r1r2 r3 r4 = I0 (K −1 ) r1r2 (K −1 ) r3 r4 + (K −1 ) r1r3 (K −1 ) r2 r4 + (K −1 ) r1r4 (K −1 ) r2 r3 , (9. À. 17)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

571

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

è òàê äàëåå, ãäå I0 − èíòåãðàë áåç èíäåêñîâ:

I0

XF I R| ≡ Y G ∏ dξ J exp S− ∑ K YZ H K |T r

r

1 2

rs

U| L F K I O ξ ξ V = MDetG J P |W N H 2π K Q

rs r s

−1/ 2

. (9. À. 18)

Çàäà÷è 1.

2.

3.

4.

Ðàññìîòðèòå íåðåëÿòèâèñòñêóþ ÷àñòèöó ìàññîé M, äâèæóùóþñÿ âäîëü îñè x â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå V(x) = Mω2x2/2. Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòèöà, íàõîäÿùàÿñÿ â òî÷êå x1 â ìîìåíò âðåìåíè t1, îêàæåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t ìåæäó x è x + dx. Íàéäèòå âîëíîâîé ôóíêöèîíàë (ò. å. âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ϕáàçèñå) ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ, ñîòâå÷àþùåãî îäíîé áåññïèíîâîé ÷àñòèöå ìàññû m ≠ 0. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, âûâåäèòå ôåéíìàíîâñêèå ïðàâèëà äëÿ èñïóñêàíèÿ è ïîãëîùåíèÿ òàêîé ÷àñòèöû. Íàéäèòå âàêóóìíûé âîëíîâîé ôóíêöèîíàë â òåîðèè íåéòðàëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ìàññû m ≠ 0. Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, íàéäèòå âèä iε-ñëàãàåìûõ â ïðîïàãàòîðå òàêîãî ïîëÿ. Ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà ñâîáîäíîãî ïîëÿ Ðàðèòû−Øâèíãåðà ψµ ñïèíà 3/2 ðàâíà:

L = − ψ µ ( γ ν ∂ ν + m)ψ µ − 21 ψ µ ( γ µ ∂ ν + γ ν ∂ µ )ψ ν + 31 ψ µ γ µ ( γ σ ∂ σ − m) γ ν ψ ν . Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà íàéäèòå ïðîïàãàòîð ýòîãî ïîëÿ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Feynman, R.P. The Princi ple of Least Action in Quantum Mechanics (Princeton University, 1942; University Microfilms Publication No. 2948, Ann Arbor). Ñì. òàêæå: Feynman, R.P. and Hibbs, A.R. Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

572

Ãëàâà 9. Ìåòîäû ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

1965) (åñòü ðóñ. ïåð.: Ôåéíìàí Ð., Õèáñ, À. Êâàíòîâàÿ ìåçàíèêà è èíòåãðàëû ïî òðàåêòîðèÿì. — Ì., Ìèð, 1968.) Îáùèå ññûëêè ñì.: Glimm, J. and Jaffe, A. Functional Integral Point of View, 2-nd edn (Springer-Verlag, New York, 1987). 2.

Dirac, P.A.M., Phys. Zeits. Sowjetunion, 3, 62 (1933).

3. 4.

Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); 76, 749, 769 (1949); 80, 440 (1950). Faddeev, L.D. and Popov, V.N., Phys. Lett., B25, 29 (1967). Ñì. òàêæå: Feynman, R.P., Acta Phys. Pol., 24, 697 (1963); Mandelstam, S., Phys. Rev., 175, 1580, 1604 (1968).

5.

De Witt, B., Phys. Rev. Lett., 12, 742 (1964).

6.

't Hooft, G., Nucl. Phys., B35, 167 (1971).

7.

Gerstein, I.S., Jackiw, R., Lee, B.W. and Weinberg, S., Phys. Rev., D3, 2486 (1971).

8.

Ôàääååâ, Ë.Ä., Òåîð. Ìàò. Ôèçèêà, 1, 3 (1969).

8a. Schwinger, J., Proc. Nat. Acad. Sci., 44, 956 (1958). 8b. Osterwalder, K. and Schrader, R., Phys. Rev. Lett., 29, 1423 (1972); Commun. Math. Phys., 31, 83 (1973); 42, 281 (1975). Àêñèîìû Îñòåðâàëüäåðà–Øðàäåðà âêëþ÷àþò òðåáîâàíèÿ ãëàäêîñòè, åâêëèäîâîé êîâàðèàíòíîñòè, «ïîëîæèòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèé», ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê è êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ. 9.

Ñîäåðæàíèå ýòîãî ðàçäåëà âî ìíîãîì îïðåäåëèëè äèñêóññèè ñ Äæ. Ïîëü÷èíñêèì.

10. Áåðåçèí, Ô.À. Ìåòîä âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ. Ì., Íàóêà, 1965. 11. Laidlaw, M.G.G. and de Witt, C.M., Phys. Rev., D3, 1375 (1970). 12. Lein aas, J.M. and Myrheim, J., Nuovo Cimento, 37B, 1 (1977).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

573

13. Ohnuki, Y. and Kamefuchi, S., Phys. Rev., 170, 1279 (1968); Ann. Phys., 51, 337 (1969); Druhl, K., Haag, R., and Roberts, J.E., Commun. Math. Phys., 18, 204 (1970). 14. Ãðóïïà êîñ áûëà ââåäåíà Ý. Àðòèíîì. Ñì. â ñáîðíèêå: The Collected Papers of E. Artin. Ed. by S. Lang and J.E. Tate (Addison– Wesley, Reading, MA, 1965). 15. Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 49, 957 (1982); Fredenhagen, K., Gaberdiel, R., and Ruger, S.M., Cambridge Preprint DAMPT94-90 (1994). Ñì. òàêæå [12].

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10 Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû Ìû íàìåðåíû òåïåðü ïðèñòóïèòü ê èçó÷åíèþ âêëàäîâ âûñøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé â ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, âêëàäîâ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ôåéíìàíîâñêèìè äèàãðàììàìè ñ îäíîé èëè íåñêîëüêèìè ïåòëÿìè. Ïðè ýòîì áûëî áû î÷åíü ïîëåçíî èìåòü â ðàñïîðÿæåíèè ìåòîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû, ñïðàâåäëèâûå âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé (à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ è âíå ðàìêîê òåîðèè âîçìóùåíèé). Äëÿ ýòîé öåëè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàííîé ãëàâå óðàâíåíèÿ ïîëÿ è êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé â êàðòèíå Ãåéçåíáåðãà. Ñâÿçü ìåæäó ãåéçåíáåðãîâñêîé êàðòèíîé è ôåéíìàíîâñêèìè äèàãðàììàìè òåîðèè âîçìóùåíèé óñòàíàâëèâàåòñÿ òåîðåìîé, äîêàçàííîé â ðàçäåëå 6.4: ñóììà âñåõ äèàãðàìì ïðîöåññà α → β ñ äîïîëíèòåëüíûìè âñòàâêàìè, îòâå÷àþùèìè îïåðàòîðàì oa(x), ob(y) è ò. ä., åñòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãåéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ − β

+ α

dΨ , Tl− iO (x),− iO (y). . .qΨ i . a

b

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîðû Oa(x), Ob(x) è ò. ä. ÿâëÿþòñÿ ïîëÿìè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ýòîò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàâåí ñóììå âêëàäîâ âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñ âõîäÿùèìè ëèíèÿìè íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèìè ñîñòîÿíèþ α, è âûõîäÿùèìè ëèíèÿìè íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèìè ñîñòîÿíèþ β, ñîîòâåòñòâåííî, è ëèíèÿìè âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè (âêëþ÷àÿ ïðîïàãàòîðû), îòâå÷àþùèìè îïåðàòîðàì Oa(x), Ob(x) è ò. ä. Èçó÷èâ íåêîòîðûå ïîëó÷àþùèåñÿ òàêèì îáðàçîì íåïåðòóðáàòèâíûå ðåçóëüòàòû, ìû ñìîæåì ïðèñòóïèòü ê âû÷èñëåíèÿì ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

575

10. 1. Ñèììåòðèè

10.1. Ñèììåòðèè Îäíèì î÷åâèäíûì, íî âàæíûì ñëåäñòâèåì óïîìÿíóòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðèíöèïîâ ñèììåòðèè íå òîëüêî ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðè÷íûì ýëåìåíòàì S-ìàòðèöû, êîãäà 4-èìïóëüñû âñåõ âíåøíèõ ëèíèé ëåæàò íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, íî è ê ôåéíìàíîâñêèì äèàãðàììàì, ó êîòîðûõ íåêîòîðûå èëè âñå âíåøíèå ëèíèè íàõîäÿòñÿ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ òðàíñëÿöèé *. Ñëåäñòâèåì òàêîé ñèììåòðèè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ýðìèòîâà 4-âåêòîðíîãî îïåðàòîðà Pµ, îáëàäàþùåãî òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé ëîêàëüíîé ôóíêöèè O(x) îïåðàòîðîâ ïîëÿ è êàíîíè÷åñêèõ èìïóëüñîâ Pµ , O(x) = i

∂

(10.1.1)

O(x) .

∂x µ

(Ñì. ôîðìóëû (7.3.28) è (7.3.29).) Êðîìå òîãî, ñîñòîÿíèÿ α è β îáû÷íî âûáèðàþòñÿ êàê ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ 4-èìïóëüñà:

P µ Ψα+ = pαµ Ψα+ , P µ Ψβ− = pβµ Ψβ− .

(10.1.2)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà ëîêàëüíûõ ôóíêöèé Oa(x), Ob(x), ... ïîëåé è/èëè èõ ïðîèçâîäíûõ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

(pβµ − pαµ ) Ψβ− , T Oa (x1 ), Ob (x2 ), . . . Ψα+

l q i = d Ψ , P , TlO (x ), O (x ), . . .q Ψ i F ∂ + ∂ +. . .I dΨ , TlO (x ), O (x ), . . .qΨ i . = iG H ∂x ∂x JK d

− β

µ 1

µ

a

b

1

− β

µ 2

+ α

2

a

1

2

b

+ α

(10.1.3)

Ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå: − β

+ α

dΨ , TlO (x ), O (x ), . . .qΨ i = expd i(p − p ) ⋅ x iF (x − x , . . . ) , a

β

b

1

α

2

ab ...

1

(10.1.4)

2

* Íàçûâàåìóþ òàêæå òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòüþ. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

576

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ãäå x — ëþáîå ñðåäíåå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàò

x µ = c1x1µ + c2 x2µ + . . . , c1 + c2 + . . . = 1 ,

(10.1.5)

à F çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòåé êîîðäèíàò. ( ÷àñòíîñòè, âàêóóìíîå ñðåäíåå ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò ðàçíîñòåé êîîðäèíàò.) Èíòåãðèðóÿ îòäåëüíî ïî xµ è ðàçíîñòÿì êîîðäèíàò, ìîæíî íàéòè ôóðüåîáðàç âûðàæåíèÿ (10.1.4):

z

d 4 x1d 4x2 . . . Ψβ− , T Oa (x1 ), Ob (x2 ), . . . Ψα+

d

l

q i

× exp(− ik1 ⋅ x1 − ik2 ⋅ x2 − . . .) ∝ δ 4 (pβ − pα − k1 − k2 − . . . ) .

(10.1.6)

 ðàçäåëå 6.4 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îáû÷íûìè ïðàâèëàìè Ôåéíìàíà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ïðèìåíèòåëüíî ê ñóììå âñåõ äèàãðàìì ñ âõîäÿùèìè ÷àñòèöàìè â ñîñòîÿíèè α, âûõîäÿùèìè ÷àñòèöàìè â ñîñòîÿíèè β, è âíåøíèìè ëèíèÿìè, êîòîðûå îêàí÷èâàþòñÿ â âåðøèíàõ ñ êîîðäèíàòàìè x1, x2, … . Ñîîòâåòñòâåííî, ôóðüå-îáðàç (10.1.6) îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëàìè Ôåéíìàíà â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ òîé æå ñóììû äèàãðàìì, ó êîòîðûõ âíåøíèå ëèíèè âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè èìåþò 4-èìïóëüñû k1, k2, … , íàïðàâëåííûå â äèàãðàììó. Ôîðìóëà (10.1.6) óòâåðæäàåò òîãäà, ÷òî ýòà ñóììà ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñîõðàíÿåò 4-èìïóëüñ. Òàêîé ðåçóëüòàò î÷åâèäåí â òåîðèè âîçìóùåíèé, ò. ê. 4-èìïóëüñ ñîõðàíÿåòñÿ â êàæäîé âåðøèíå, ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, è íå îïèðàÿñü íà òåîðèþ âîçìóùåíèé. Çàòðàòèâ íåñêîëüêî áîëüøå óñèëèé, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè ãåéçåíáåðãîâñêèõ ïîëåé è èí- è àóò-ñîñòîÿíèé (9.6.16) ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà âñåõ äèàãðàìì ñ äàííûì íàáîðîì ëèíèé, íàõîäÿùèõñÿ êàê íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, òàê è âíå åå, îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî è ñëàãàåìûå íèçøåãî ïîðÿäêà. Àíàëîãè÷íûå àðãóìåíòû ïðèìåíèìû ê ñîõðàíåíèþ âíóòðåííèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë, òàêèõ êàê ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 7.3, ïîëå èëè äðóãîé îïåðàòîð Oa(x), óíè÷òîæàþùèé çàðÿä qa (èëè ðîæäàþùèé çàðÿä −qa), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

577

10. 1. Ñèììåòðèè

[Q, Oa (x)] = − q a Oa (x)

êàê â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè, òàê è â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Êðîìå òîãî, åñëè ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö α è β èìåþò çàðÿäû qα è qβ, òî òàêèå æå çàðÿäû èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèå èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ. Òîãäà

(q β − q α ) Ψβ− , T Oa (x), Ob ( y), . . . Ψα+

l

q i = d Ψ , Q, TlO (x), O ( y), . . .q Ψ i = −(q + q + . . . )d Ψ , TlO (x), O ( y), . . .qΨ i . Ñëåäîâàòåëüíî, àìïëèòóäà d Ψ , TlO (x), O ( y), . . .qΨ i îáðàùàåòñÿ â d

− β

a

a

+ α

b

− β

b

− β

a

+ α

b

a

b

+ α

íóëü, åñëè òîëüêî íå âûïîëíåíî óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà

qβ = q α − q a − q b − . . .

(10.1.7)

Íåñêîëüêî ìåíåå òðèâèàëüíûé ïðèìåð — èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ. Êàê ïîêàçàíî â ãë. 5, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð C, ïðåîáðàçóþùèé ýëåêòðîííûå îïåðàòîðû â ïîçèòðîííûå è îáðàòíî: Ca(p, σ, e − )C −1 = ξ * a(p, σ, e + ) ,

Ca(p, σ, e + )C −1 = ξa(p, σ, e − ) , ãäå ξ — ôàçîâûé ìíîæèòåëü. Äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîííîãî ïîëÿ ψ(x) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî C ψ ( x) C − 1 = ξ *β C ψ ( x ) * , ãäå βC — ìàòðèöà 4×4, èìåþùàÿ (â èñïîëüçóåìîì íàìè ïðåäñòàâëåíèè äèðàêîâñêèõ ìàòðèö, ãäå äèàãîíàëüíà ìàòðèöà γ5) âèä

LM0 0 βC = MM MM0 N1

0

0

0

−1

−1

0

0

0

OP 0P , 0P P 0PQ 1

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

578

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó ñâîáîäíûõ ÷àñòèö â ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýòî îçíà÷àåò:

C(ψγ µ ψ )C −1 = − ψCγ µT Cψ = − ψγ µ ψ . Åñëè ïîòðåáîâàòü ñîõðàíåíèÿ îïåðàòîðà Ñ â ýëåêòðîäèíàìèêå, òî ýòîò îïåðàòîð äîëæåí àíòèêîììóòèðîâàòü ñ ïîëåì ñâîáîäíûõ ôîòîíîâ:

C(a µ )C −1 = − a µ .  òåîðèÿõ òèïà ýëåêòðîäèíàìèêè, ãäå Ñ êîììóòèðóåò êàê ñ Í0, òàê è ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ, îí êîììóòèðóåò òàêæå è ñ îïåðàòîðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ Ω(t), ñâÿçûâàþùèì ãåéçåíáåðãîâñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñ ïðåäñòàâëåíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîýòîìó C àíòèêîììóòèðóåò ñ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé,

C( Ψγ µ Ψ)C −1 = − Ψγ µ Ψ ,

(10.1.8)

è ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè,

C( A µ )C −1 = − A µ .

(10.1.9)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà ýëåêòðîìàãíèòíûõ òîêîâ è/èëè ïîëåé îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ïîýòîìó ðàâíà íóëþ ñóììà âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì òîëüêî ôîòîííûõ âíåøíèõ ëèíèé (âíå èëè íà ìàññîâîé îáîëî÷êå). Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí êàê òåîðåìà Ôàððè.1 Åå ìîæíî äîêàçàòü â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, çàìåòèâ, ÷òî â äèàãðàììå, ñîñòîÿùåé èç l ýëåêòðîííûõ ïåòåëü, ê êàæäîé èç êîòîðûõ ïîäñîåäèíÿåòñÿ nl ôîòîííûõ ëèíèé, âûïîëíÿåòñÿ ñâÿçü ìåæäó ÷èñëîì I âíóòðåííèõ è ÷èñëîì Å âíåøíèõ ôîòîííûõ ëèíèé, àíàëîãè÷íàÿ ñîîòíîøåíèþ (6.3.11):

2I + E =

∑ nl . l

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè Å íå÷åòíî, òî ïî êðàéíåé ìåðå ê îäíîé èç ïåòåëü äîëæíî áûòü ïîäñîåäèíåíî íå÷åòíîå ÷èñëî ôîòîííûõ ëèíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

579

10.2. Ïîëîëîãèÿ

Äëÿ êàæäîé òàêîé ïåòëè ïðîèñõîäèò ñîêðàùåíèå äèàãðàìì, îòëè÷àþùèõñÿ íàïðàâëåíèåì îáõîäà ïåòëè ïî ñòðåëêàì. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ôàððè ïðåäñòàâëÿåò íåñêîëüêî ìåíåå òðèâèàëüíîå ñëåäñòâèå ïðèíöèïà ñèììåòðèè, ÷åì òðàíñëÿöèîííàÿ èëè ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü: òåîðåìà âåðíà íå äëÿ îòäåëüíûõ äèàãðàìì, à äëÿ îïðåäåëåííîé èõ ñîâîêóïíîñòè. Ðèñ. 10.1 èëëþñòðèðóåò ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ôàððè, êîòîðîå îêàçàëîñü èñòîðè÷åñêè íàèáîëåå âàæíûì: äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ïðè ðàññåÿíèè ôîòîíà âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì îòñóòñòâóþò âêëàäû ïåðâîãî (èëè ëþáîãî íå÷åòíîãî) ïîðÿäêà ïî âíåøíåìó ïîëþ.

Ðèñ. 10.1. Äèàãðàììû íèçøåãî ïîðÿäêà äëÿ ðàññåÿíèÿ ôîòîíà ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ïðÿìûå ëèíèè îòâå÷àþò âèðòóàëüíûì ýëåêòðîíàì, âîëíèñòûå ëèíèè — ðåàëüíûì èëè âèðòóàëüíûì ôîòîíàì, æèðíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò òÿæåëîé ÷àñòèöå òèïà àòîìíîãî ÿäðà, êîòîðàÿ ñëóæèò èñòî÷íèêîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âêëàäû óêàçàííûõ äâóõ äèàãðàìì ñîêðàùàþòñÿ, êàê è òðåáóåòñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ

10.2. Ïîëîëîãèÿ Îäíèì èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðèìåíåíèé íåïåðòóðáàòèâíûõ ìåòîäîâ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â ýòîé ãëàâå, ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå ïîëþñíîé ñòðóêòóðû ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä êàê ôóíêöèé èìïóëüñîâ âíåøíèõ ëèíèé. ×àñòî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà ìîãóò áûòü õîðîøî àïïðîêñèìèðîâàíû âêëàäîì îäíîãî ïîëþñà. Êðîìå òîãî, ïîíèìàíèå ïîëþñíîé ñòðóêòóðû ïîìîæåò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

580

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

â äàëüíåéøåì ðàçîáðàòüñÿ ñ ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè ê ïðîïàãàòîðàì ÷àñòèö. Ðàññìîòðèì àìïëèòóäó â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè:

z

d 4 x1 . . . d 4 x n e − iq1 ⋅x1 . . . e − iq n ⋅xn T{ A1 (x1 ). . . An (x n )}

0

≡ G (q 1 . . . q n ) .

(10.2.1) Çäåñü À — ãåéçåíáåðãîâñêèå îïåðàòîðû ïðîèçâîëüíîãî ëîðåíöîâñêîãî òèïà, à 〈...〉0 îçíà÷àåò ñðåäíåå ïî èñòèííîìó âàêóóìó Ψ0+= Ψ0– ≡ Ψ0. Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 6.4, åñëè A1, ..., An — îáû÷íûå ïîëÿ, âõîäÿùèå â ëàãðàíæèàí, òî (10.2.1) åñòü ñóììà âû÷èñëåííûõ ïî îáû÷íûì ôåéíìàíîâñêèì ïðàâèëàì ñëàãàåìûõ, îòâå÷àþùèõ âñåì äèàãðàììàì ñ âíåøíèìè ëèíèÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëÿì A1, ..., An, ñ 4-èìïóëüñàìè q1, ..., qn âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëåííûìè â äèàãðàììó. Îäíàêî ìû íå áóäåì îãðàíè÷èâàòüñÿ ýòèì ñëó÷àåì è äîïóñòèì, ÷òî Ai ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè ëîêàëüíûìè ôóíêöèÿìè ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Íàñ èíòåðåñóþò ïîëþñû äèàãðàììû G ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ èíâàðèàíòíûõ êâàäðàòîâ ñóììàðíûõ 4-èìïóëüñîâ, îòâå÷àþùèõ ðàçíûì ïîäìíîæåñòâàì âíåøíèõ ëèíèé. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì G êàê ôóíêöèþ q2, ãäå q ≡ q1 + . . . + q r = − q r + 1 − . . . − q n ,

(10.2.2)

è 1 ≤ r ≤ n − 1. Ìû ïîêàæåì, ÷òî G èìååò ïîëþñ ïðè q2 = −m2, ãäå m − ìàññà ëþáîãî îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, èìåþùåãî íåíóëåâûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñ ñîñòîÿíèÿìè A1† ... Ar†Ψ0 è Ar+1 ... AnΨ0, ñ îïðåäåëåííûì âû÷åòîì:

G→

−2i q 2 + m 2 (2π)7 δ 4 (q1 + . . . q n ) q 2 + m 2 − iε ×

∑ M0| q,σ (q2 . . . q r )Mq,σ|0 (q r +2 . . . q n ) ,

(10.2.3)

σ

ãäå âåëè÷èíû Ì îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì *: *Íàïîìíèì, ÷òî â îòñóòñòâèå çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè âíåøíèõ ïîëåé íåò ðàçíèöû ìåæäó îäíî÷àñòè÷íûìè èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿìè, òàê ÷òî Ψp,σ+ = Ψp,σ− = Ψp,σ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

581

10.2. Ïîëîëîãèÿ

z z

d 4 x1 . . . d 4x r e − iq1 ⋅x1 . . . e − iq r ⋅x r Ψ0 , T{ A1 (x1 ). . . Ar (x r )}Ψp,σ

c

h (10.2.4)

= (2π) 4 δ 4 (q1 + . . . + q r − p)M0| p,σ (q 2 . . . q r ) ,

d 4 x r +1 . . . d 4x n e − iq r +1 ⋅x r +1 . . . e − iq n ⋅xn Ψp,σ , T{ Ar +1 (x r +1 ). . . An (x n )}Ψ0

c

= (2π) 4 δ 4 (q r +1 + . . . + q n + p)Mp,σ|0 (q r + 2 . . . q n )

h

(10.2.5)

( p0 ≡ p2 + m 2 ), à ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ñïèíîâûì (è äðóãèì) ñîñòîÿíèÿì ÷àñòèöû ìàññîé m. Ïðåæäå, ÷åì ïåðåõîäèòü ê äîêàçàòåëüñòâó, ïîëåçíî çàïèñàòü âûðàæåíèå (10.2.3) â áîëåå ðàçâåðíóòîé ôîðìå, ïîçâîëÿþùåé ëó÷øå ïîíÿòü åãî âàæíîñòü

z

G(q1... q n ) → d4k

LM N L −i 1 ×M N(2π) k + m L × M(2π) δ (k + q N

e

× (2π)4 δ4 (q1 + ... + q r − k)(2π)3 / 2 2 k2 + m2 4

4 4

2

2

OP − iε Q

r +1

1/ 2

j

OP Q

M0| k, σ (q2... q r )

(10.2.6)

e

+ ... + q n ) 2 k2 + m2

1/ 2

j

O ... q )P . Q

Mk, σ| 0 (q r + 2

n

Ýòî âûðàæåíèå êàê ðàç ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ìû îæèäàåì îò âêëàäà ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììû ñ åäèíñòâåííîé âíóòðåííåé ëèíèåé, îòâå÷àþùåé ÷àñòèöå ìàññîé m è ñîåäèíÿþùåé äâà áëîêà äèàãðàììû (äâå ïîääèàãðàììû) ñ ïåðâûìè r âíåøíèìè ëèíèÿìè è ïîñëåäíèìè n − r âíåøíèìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî *. Îäíàêî íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, ÷òîáû ÷àñòèöà ìàññîé m ñîîòâåòñòâîâàëà ïîëþ, âõîäÿùåìó â ëàãðàíæèàí òåîðèè. Ôîðìóëû (10.2.3) è (10.2.6) 3 2 2 2 12 * Ñì. ðèñ. 10.2. Ìíîæèòåëè (2π ) [2( k + m )] ñëóæàò äëÿ óñòðàíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ìíîæèòåëåé, ñâÿçàííûõ ñ âíåøíåé ëèíèåé, îòâå÷àþùåé ÷àñòèöå ìàññîé m, â àìïëèòóäàõ M0|k,σ è Mk,σ|0, à ñóììà ïî σ ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ äâóõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ïðèâîäèò ê ÷èñëèòåëþ ïðîïàãàòîðà, îòâå÷àþùåãî âíóòðåííåé ëèíèè íà ðèñ. 10.2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

582

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ïðèìåíèìû äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòà ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèåì òàê íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ïîëÿ, äåéñòâèòåëüíî âõîäÿùèå â ëàãðàíæèàí.  ýòîì ñëó÷àå ïîëþñ âîçíèêàåò íå îò îäíîé äèàãðàììû, êàê íà ðèñ. 10.2, à îò áåñêîíå÷íîé ñóììû äèàãðàìì òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 10.3. Çäåñü ìû âïåðâûå ñòàëêèâàåìñÿ ñ ñèòóàöèåé, êîãäà ìåòîäû äàííîé ãëàâû ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòàì, âûõîäÿùèì çà ðàìêè òåõ, êîòîðûå ìîãóò áûòü âûâåäåíû êàê ñâîéñòâà êàæäîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé.

Ðèñ. 10.2. Ôåéíìàíîâñêàÿ äèàãðàììà ñ ïîëþñíîé ñòðóêòóðîé (10.2.6). Çäåñü ëèíèÿ ñ èìïóëüñîì k ïðåäñòàâëÿåò ýëåìåíòàðíóþ ÷àñòèöó, ïîëå êîòîðîé âõîäèò â ëàãðàíæèàí

Ðèñ. 10.3. Îäíà èç ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, ñóììà êîòîðûõ èìååò ïîëþñíóþ ñòðóêòóðó (10.2.6). Çäåñü ïîëþñ îáóñëîâëåí ñîñòàâíîé ÷àñòèöåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèåì äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû, èçîáðàæåííûå ïðÿìûìè ëèíèÿìè, âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì îáìåíà ÷àñòèöàìè, èçîáðàæåííûìè âîëíèñòûìè ëèíèÿìè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

583

10.2. Ïîëîëîãèÿ

Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó. Ñðåäè n! âîçìîæíûõ óïîðÿäî÷èâàíèé ìîìåíòîâ âðåìåíè x10, ..., xn0 â ôîðìóëå (10.2.1) ñóùåñòâóþò n!/r!(n−r)! òàêèõ, äëÿ êîòîðûõ âñå ïåðâûå r ìîìåíòîâ âðåìåíè xi0 áîëüøå, ÷åì ïîñëåäíèå (n−r). Âûäåëÿÿ âêëàä ýòîé ÷àñòè îáúåìà èíòåãðèðîâàíèÿ â (10.2.1), ïîëó÷èì

z

G (q 1 . . . q n ) =

d 4x1 . . . d 4 x n e − iq1 ⋅x1 . . . e − iq n ⋅x n

× θ min[x10 . . . x 0r ] − max[x 0r +1 . . . x 0n ]

c

h

(10.2.7)

× Ψ0 , T{ A1 (x1 ). . . Ar (x r )}T{ Ar +1 (x r +1 ). . . An (x n )}Ψ0 + ÄÑ ,

b

g

ãäå «ÄÑ» îçíà÷àåò «äðóãèå ñëàãàåìûå», îòâå÷àþùèå äðóãèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì âðåìåí â àðãóìåíòàõ îïåðàòîðîâ ïîëåé. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû â ýòîì âûðàæåíèè âû÷èñëÿþòñÿ ïóòåì âñòàâêè ìåæäó õðîíîëîãè÷åñêèìè ïðîèçâåäåíèÿìè ïîëíîãî íàáîðà ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñðåäè ýòèõ ñîñòîÿíèé ìîãóò áûòü îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ Ψp,s îïðåäåëåííîãî ñîðòà ÷àñòèö ìàññîé m. Âûäåëÿÿ âêëàä ýòèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, èìååì

G (q 1 . . . q n ) =

z

d 4 x1 . . . d 4 x n e − iq1 ⋅x1 . . . e − iq n ⋅xn

h∑

× θ min[x10 . . . x 0r ] − max[x 0r +1 . . . x 0n ]

c

σ

z

d3p

(10.2.8)

× Ψ0 , T{ A1 (x1 ). . . Ar (x r )}Ψp,σ )(Ψp,σ , T{ Ar +1 (x r +1 ). . . An (x n )}Ψ0 + ÄÑ ,

c

h

ãäå òåïåðü óæå «ÄÑ» îçíà÷àåò äðóãèå ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå íå òîëüêî îò äðóãèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìîìåíòîâ âðåìåíè, íî è îò äðóãèõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé. Óäîáíî îñóùåñòâèòü ñäâèã ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ x i = x1 + yi ,

i = 2,3, . . . , r,

x i = x r +1 + yi , i = r + 2, . . . , n ,

Òîãäà, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ïîëó÷èì:

cΨ , T{A (x ). . . A (x )}Ψ h =e cΨ , T{A (0)A (y ). . . A (y )}Ψ h , 0

ip⋅ x1

1

1

0

r

1

r

2

p, σ

2

r

r

p, σ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.2.9)

584

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

cΨ

p, σ , T{ Ar + 1 (x r + 1 ). . . A n (x n )}Ψ0

h (10.2.10)

= e − ip⋅xr +1 Ψp,σ , T{ Ar +1 (0). . . An ( yn )}Ψ0 .

c

h

Êðîìå òîãî, àðãóìåíò òåòà-ôóíêöèè ïðèíèìàåò âèä:

min[x10 . . . x 0r ] − max[x 0r +1 . . . x 0n ] = x10 − x 0r +1 + min[0y20 . . . y0r ] − max[0y0r +1 . . . y0n ] . Ïîäñòàâèì òàêæå ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå (6.2.15) ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè: θ( τ) =

1 2πi

∞

dωe − iωτ . −∞ ω + iε

XY Z

Ïîñëå ýòîãî èíòåãðàëû ïî x1 è xr+1 ïðèâîäÿò ê äåëüòà-ôóíêöèÿì:

G (q 1 . . . q n ) =

z

d 4 y2 . . . d 4 yr d 4 yr + 2 . . . d 4 yn

× e − iq2 ⋅ y2 . . . e − iq r ⋅ yr e − iq r +2 ⋅ yr +2 . . . e − iq n ⋅ yn ×− ×

1 2πi

∑ σ

z

∞

dω exp − iω min[0 y20 . . . y0r ] − max[0y0r +1 . . . y0n ] −∞ ω + iε

XY Z

d

c

i

hc

d 3p Ψ0 , T{ A1 (0). . . Ar ( yr )}Ψp,σ Ψp,σ , T{ Ar +1 (0). . . An ( yn )}Ψ0

h

(10.2.11)

× (2π) 4 δ 3 (p − q1 − . . . − q r )δ( p2 + m 2 + ω − q10 − . . . − q 0r )

× (2π) 4 δ 3 (q r +1 + . . . + q n + p)δ(q 0r +1 + . . . q 0n + p2 + m 2 + ω) + ÄÑ . Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïîëþñ, âîçíèêàþùèé â ðåçóëüòàòå îáðàùåíèÿ â íóëü çíàìåíàòåëÿ ω + iε, òàê ÷òî ìîæíî ïîëîæèòü ìíîæèòåëü exp(−iω(ìèí − ìàêñ)) ðàâíûì åäèíèöå. Èíòåãðàëû ïî ð è ω ñòàíîâÿòñÿ òðèâèàëüíûìè è äàþò:

G(q1 . . . q n ) → i(2π)7 δ 4 (q1 + . . . + q n ) q 0 − q 2 + m 2 + iε ×

−1

∑ M0| − q,σ (q2 . . . q r )Mq,σ|0 (q r +2 . . . q n ) + . . . , σ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.2.12)

585

10.2. Ïîëîëîãèÿ

ãäå òåïåðü

q ≡ q1 + ... qr = −qr +1 − ... − qn , M0| − q ,σ (q 2 . . . q r ) ≡

z

(10.2.13)

d 4 y2 . . . d 4 yr e − iq2 ⋅ y2 . . . e − iq r ⋅ yr

× Ψ0 , T A1 (0) A2 ( y2 ). . . Ar ( yr ) Ψq,σ ,

l

c

M q , σ | 0 (q r + 2 . . . q n ) ≡

q h

z

d 4 yr + 2 . . . d 4 yn e − iq r +2 ⋅ yr +2 . . . e − iq n ⋅ yn

× Ψp,σ , T Ar +1 (0) Ar + 2 ( yr + 2 ). . . An ( yn ) Ψ0 ,

c

l

q h

(10.2.14)

è çàêëþ÷èòåëüíîå ìíîãîòî÷èå â (10.2.12) îáîçíà÷àåò ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå äàííîãî ïîëþñà. («Äðóãèå ñëàãàåìûå», âîçíèêàþùèå îò äðóãèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïðèâîäÿò ê ïîëþñàì ïî q â äðóãèõ òî÷êàõ, à ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ òî÷åê âåòâëåíèÿ ïî q. Íàêîíåö, ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò äðóãèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìîìåíòîâ âðåìåíè, ïðèâîäÿò ê ïîëþñàì è òî÷êàì âåòâëåíèÿ ïî äðóãèì ïåðåìåííûì.) Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (10.2.9) è (10.2.10) ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííûå M â òî÷íîñòè òå æå, ÷òî è îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (10.2.4) è (10.2.5). Êðîìå òîãî, âáëèçè ïîëþñà 1 q 0 − q 2 + m2 + iε

=

− q 0 − q 2 + m2 + iε −(q 0 )2 + ( q 2 + m2 − iε)2

→

−2 q 2 + m2 q2 + m2 − iε

.

(Ìû âíîâü ïåðåîïðåäåëèëè ε, äîìíîæèâ íà ïîëîæèòåëüíóþ âåëè÷èíó 2 q 2 + m2 , ÷òî äîïóñòèìî, òàê êàê ε − ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà.) Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (10.2.12) òîæäåñòâåííî æåëàåìîìó âûðàæåíèþ (10.2.3). Ýòîò ðåçóëüòàò èìååò êëàññè÷åñêîå ïðèìåíåíèå â òåîðèè ÿäåðíûõ ñèë. Ïóñòü Φa(x) — ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ïîëå èëè êîìáèíàöèÿ ïîëåé (íàïðèìåð, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êâàðê-àíòèêâàðêîâîìó áèëèíåéíîìó êîâàðèàíòó q γ 5 τ a q ), èìåþùèå íåèñ÷åçàþùèé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìåæäó îäíîïèîííûì ñîñòîÿíèåì ñ èçîñïèíîì à è âàêóóìîì, íîðìèðîâàííûé óñëîâèåì:

VAC| Φ a (0) π b , p = (2π) −3/2 (2p0 ) −1/2 δ ab .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.2.15)

586

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Òîãäà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Φa ìåæäó îäíîíóêëîííûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ 4-èìïóëüñàìè ð è ð′ èìååò ïîëþñ ïðè (ð − ð′)2 → −mπ2 ñ âû÷åòîì, âèä êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ èçîñïèíîâîé è ëîðåíöîâñêîé èíâàðèàíòíîñòüþ (âêëþ÷àÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííûõ îòðàæåíèé) *:

N ′, σ ′, p ′| Φ a (0)| N, σ, p → i(2π) −3 G π ×

( u ′γ 5 τ a u) , (10.2.16) (p − p ′)2 + m 2π

ãäå u è u′ — íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå íóêëîííûå ñïèíîðíûå êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè, çàâèñÿùèå òàêæå îò èçîñïèíîâûõ ïåðåìåí-íûõ íóêëîíîâ, à τa (a = 1, 2, 3) − 2×2 èçîñïèíîâûå ìàòðèöû Ïàóëè. Ïîñòîÿííàÿ Gπ íîñèò íàçâàíèå ïèîí−íóêëîííîé êîíñòàíòû ñâÿçè. Óêàçàííûé ïîëþñ íàõîäèòñÿ âíå ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà (10.2.16), â êîòîðîé (p − p′)2 ≥ 0, íî åãî ìîæíî äîñòè÷ü ñ ïîìîùüþ àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ýòîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, ðàññìàòðèâàÿ, íàïðèìåð, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè

z

d 4 x d 4 x ′ e − ip⋅x e ip′⋅x ′ T Φ a (0)N (x)N(x ′)

m

r

VAC

,

ãäå N è N′ − ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû îïåðàòîðà ïîëÿ èëè ïðîèçâåäåíèÿ ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ ñ íåèñ÷åçàþùèìè ìàòðè÷íûìè *Ëîðåíöîâñêàÿ è èçîñïèíîâàÿ èíâàðèàíòíîñòè òðåáóþò, ÷òîáû ýòîò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èìåë âèä (u′Γτau), ãäå Γ — ìàòðèöà 4×4, äëÿ êîòîðîé áèëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (ψ′ Γψ) ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïñåâäîñêàëÿð. Êàê âñÿêàÿ ìàòðèöà 4×4, Γ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà íà ñóììó ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ äèðàêîâñêèì ìàòðèöàì 1, γµ, [γµ,γν], γ5γµ è γ5. Êîýôôèöèåíòû ïðè íèõ äîëæíû áûòü ñîîòâåòñòâåííî ïñåâäîñêàëÿðîì, ïñåâäîâåêòîðîì, ïñåâäîòåíçîðîì, âåêòîðîì è ñêàëÿðîì. Èç äâóõ èìïóëüñîâ ð è ð′ íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ïñåâäîñêàëÿðû èëè ïñåâäîâåêòîðû.  òî æå âðåìÿ, ìîæíî ïîñòðîèòü îäèí ïñåâäîòåíçîð, ïðîïîðöèîíàëüíûé εµνρσpρp′σ, äâà íåçàâèñèìûõ âåêòîðà, ïðîïîðöèîíàëüíûõ pµ èëè p′ν, è ñêàëÿð, ïðîïîðöèîíàëüíûé åäèíèöå, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ïðè âñåõ ýòèõ ñòðóêòóðàõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè åäèíñòâåííîé íåçàâèñèìîé ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé (p − p′)2. Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ u è u′, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî òåíçîðíàÿ è ïñåâäîâåêòîðíàÿ ìàòðèöû â Γ äàþò âêëàä, ïðîïîðöèîíàëüíûé γ5.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

587

10.2. Ïîëîëîãèÿ

ýëåìåíòàìè ìåæäó îäíîíóêëîííûìè ñîñòîÿíèÿìè è âàêóóìîì. Ñîãëàñíî âñå òîé æå òåîðåìå îáìåí ïèîíîì ïðè ðàññåÿíèè äâóõ íóêëîíîâ ñ íà÷àëüíûìè 4-èìïóëüñàìè ð1 è ð2 è êîíå÷íûìè 4èìïóëüñàìè ð′1 è ð′2 ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â ñîîòâåòñòâóþùåì ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå ïîëþñà ïðè (p1 − p′1)2 = (p2 − p′2)2 → −mπ2:

SN1′N2′ ,N1N2 → − i(2π) 4 δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 )

G π2 (p1 − p1′ )2 + m 2π

× (2π) −3 ( u1′ γ 5 τ a u1 ) × (2π) −3 ( u2′ γ 5 τ a u2 ) .

(10.2.17)

(Ïðîñòåéøèé ñïîñîá îïðåäåëèòü ôàçû è ÷èñëåííûå ìíîæèòåëè â ïîäîáíûõ ôîðìóëàõ çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Íàøà òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ïîëþñíàÿ ñòðóêòóðà àìïëèòóäû ñîâïàäàåò ñ òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷èëàñü áû â òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì, âêëþ÷àþùèì ýëåìåíòàðíîå ïèîííîå ïîëå.) Îïÿòü æå, ýòîò ïèîííûé ïîëþñ íàõîäèòñÿ âíå ôèçè÷åñêîé îáëàñòè äëÿ ðàññåÿíèÿ íóêëîíîâ íà ìàññîâîé îáîëî÷êå, â êîòîðîé (ð − ð′)2 ≥ 0, íî äîñòè÷ü åãî ìîæíî ïóòåì àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà S-ìàòðèöû, ðàññìàòðèâàÿ, íàïðèìåð, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âíå ìàññîâîé îáîëî÷êè

z

d 4 x1d 4x2d 4 x1′ d 4x2′ e − ip1 ⋅x1 e − ip2 ⋅x2 e ip1′ ⋅x1′ e ip2′ ⋅x2′

× T N1 (x1 ), N2 (x2 ), N1′ (x1′ ), N2′ (x2′ )

m

r

VAC

.

Õîòÿ ïèîííûé ïîëþñ è íå ïîïàäàåò â ôèçè÷åñêóþ îáëàñòü íóêëîí− íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ, íî ìàññà ïèîíà äîñòàòî÷íî ìàëà, òàê ÷òî ïîëþñ ëåæèò î÷åíü áëèçêî ê ôèçè÷åñêîé îáëàñòè. Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ, íàïðèìåð, ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ l â ðàçëîæåíèè ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì, ýòîò ïîëþñ ìîæåò äîìèíèðîâàòü. Ñ òî÷êè çðåíèÿ êîîðäèíàòíîãî ïðîñòðàíñòâà ïîëþñ óêàçàííîãî òèïà ïðè (p1 − p′1)2 = (p2 − p′2)2 → −mπ2 îçíà÷àåò íàëè÷èå ñèëû ðàäèóñîì äåéñòâèÿ ïîðÿäêà 1/mπ. Íàïðèìåð, â ïåðâîíà÷àëüíîé òåîðèè ÿäåðíûõ ñèë Þêàâû 2 îáìåí ìåçîíàìè (â òå âðåìåíà ñ÷èòàëîñü, ÷òî îíè ñêàëÿðû, à íå ïñåâäîñêàëÿðû) ïîðîæäàë ëîêàëüíûé ïîòåíöèàë âèäà exp(−mπr)/(4πr), è åãî ôóðüå îáðàç îïðåäåëÿë S-ìàòðèöó íåðåëÿòèâèñòñêîãî íóêëîí−íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ â ïåðâîì áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

588

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

z

d 3 x1d 3 x2d 3x1′ d 3 x2′ e − ip1 ⋅x1 e − ip2 ⋅x2 e ip1′ ⋅x1′ e ip2′ ⋅x2′

×

exp − m π | x1 − x 2 | 3 δ (x1 − x1′ ) δ 3 (x 2 − x 2′ ) 4 π| x 1 − x 2 |

b

g

= − (2π)3 δ 3 (p1 + p2 − p1′ − p2′ )

1 . (p1 − p1′ )2 + m 2

Ìíîæèòåëü 1/[(p1 − p1′)2 + mπ2] ïðåäñòàâëÿåò êàê ðàç íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë ïðîïàãàòîðà 1/[(p1 − p1′)2 + mπ2] â ôîðìóëå (10.2.17). ( ýòîì âûðàæåíèè ïåðåäàâàåìàÿ ýíåðãèÿ ð10 − p′10 ïðè |p1| n mN è |p1′| n mN ðàâíà [p12 − p1′2]/2mN, ÷òî ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîé ïåðåäàâàåìîãî èìïóëüñà |p1 − p1′|. Êîãäà òîëüêî ïîÿâèëàñü òåîðèÿ Þêàâû, ñ÷èòàëîñü îáùåïðèíÿòûì, ÷òî ïîäîáíûé òèï çàâèñèìîñòè íóêëîí-íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ îò èìïóëüñîâ âîçíèêàåò â òåîðèè èç-çà íàëè÷èÿ ìåçîííîãî ïîëÿ. Ëèøü â 1950-å ãîäû ñòàëî ïîíÿòíûì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïîëþñà ïðè (p1 − p′1)2 → −mπ2 âûòåêàåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ ÷àñòèöû — ïèîíà — è íå èìååò íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê âîïðîñó î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòà ÷àñòèöà ýëåìåíòàðíîé, ò. å. åé îòâå÷àåò îòäåëüíîå ïîëå â ëàãðàíæèàíå. 10.3. Ïåðåíîðìèðîâêà ïîëÿ è ìàññû Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåçóëüòàòà ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ÷òîáû ñäåëàòü áîëåå ÿñíîé èíòåðïðåòàöèþ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê âíóòðåííèì è âíåøíèì ëèíèÿì ïðîèçâîëüíîãî ïðîöåññà. Èíòåðåñóþùèé íàñ ÷àñòíûé ñëó÷àé — ýòî ñëó÷àé, êîãäà èç âñåõ 4-èìïóëüñîâ âíåøíèõ ëèíèé òîëüêî îäèí ïðèáëèæàåòñÿ ê ìàññîâîé îáîëî÷êå. ( îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ýòî ñîîòâåòñòâóåò r = 1.) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ:

Gl (q1q 2 . . . ) =

z

d 4x1 d 4 x2 . . . e − iq1 ⋅x1 e − iq2 ⋅x2 . . .

× Ψ0 , T Ol (x1 ), A2 (x2 ), . . . Ψ0 ,

b

l

q g

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.3.1)

589

10.3. Ïåðåíîðìèðîâêà ïîëÿ è ìàññû

ãäå O l(x) — ãåéçåíáåðãîâñêèé îïåðàòîð, èìåþùèé òå æå òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî è íåêîòîðîå ñâîáîäíîå ïîëå ψl, ïðèíàäëåæàùåå íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ îäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà (äëÿ òåîðèé, ñîõðàíÿþùèõ ÷åòíîñòü,— ãðóïïû Ëîðåíöà, âêëþ÷àþùåé îòðàæåíèÿ), î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåò èíäåêñ l, à A2, A3, è ò. ä. — ïðîèçâîëüíûå ãåéçåíáåðãîâñêèå îïåðàòîðû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå Ψq1 ,σ , èìåþùåå íåèñ÷åçàþùèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñ ñîñòîÿíèÿìè O l†Ψ0 è À2À3...Ψ0. Òîãäà ñîãëàñíî äîêàçàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå òåîðåìå Gl èìååò ïîëþñ ïðè q12 = −m2, ïðè÷åì

Gl (q1q 2 . . . ) →

z

−2i q12 + m 2 q12

× d x2 . . . e 4

+ m − iε 2

− iq2 ⋅x2

(2π)3

∑ dΨ0 , Ol (0)Ψq ,σ i 1

σ

l

q i

. . . Ψq1 ,σT A2 (x2 ). . . Ψ0 .

d

(10.3.2)

Èç ëîðåíöîâñêîé èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò:

dΨ , O (0)Ψ i = (2π) 0

q1 , σ

l

−3/ 2

Nul (q1 , σ) ,

(10.3.3)

ãäå ul(q,σ) ðàâíà (åñëè íå ñ÷èòàòü ìíîæèòåëÿ (2π)−3/2) êîýôôèöèåíòíîé ôóíêöèè * ñâîáîäíîãî ïîëÿ ψl ñ òåìè æå òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî è îïåðàòîð Îl, à N — êîíñòàíòà. (Èìåííî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó (10.3.3) ñ åäèíñòâåííîé ñâîáîäíîé êîíñòàíòîé N, íàì ïðèøëîñü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Îl ïðåîáðàçóåòñÿ íåïðèâîäèìî.) Îïðåäåëèì òàêæå «óñå÷åííûé» ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Ml ôîðìóëîé

z

d 4 x2 . . . e − iq2 ⋅x2 . . . Ψq1 ,σT A2 (x2 ). . . Ψ0

l

d

≡ N −1 (2π) −3/2

q i

∑ ul* (q1, σ)Ml (q2 . . . ) .

(10.3.4)

l

* Íàïðèìåð, äëÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì íîðìèðîâàííîãî ñâîáîäíîãî

FH

2 2 ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u l (q1 , σ) = 2 q1 + m

IK

−1/ 2

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

590

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Òîãäà ôîðìóëà (10.3.2) ïðè q12 → −m2 ïðèíèìàåò âèä

Gl →

−2i q12 + m 2 q12 + m 2 − iε

∑ ul (q1, σ)ul*′ (q1, σ)Ml′ . σ ,l ′

(10.3.5)

Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (6.2.2) è (6.2.18), âåëè÷èíà, âõîäÿùàÿ â ôîðìóëó (10.3.5) â âèäå ìíîæèòåëÿ ïåðåä Ml′, ðàâíà ìàòðè÷íîìó ïðîïàãàòîðó â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå −i∆ll′(q1) äëÿ ñâîáîäíîãî ïîëÿ, èìåþùåãî òå æå òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà îòíîñèòåëüíî ëîðåíöîâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî è Îl (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, òàêèìè ñâîéñòâàìè äîëæåí îáëàäàòü ïðåäåë ïðè q12 → −m2). Ïîýòîìó ôîðìóëà (10.3.5) ïîçâîëÿåò îòîæäåñòâèòü Ml ñ ñóììîé âñåõ äèàãðàìì, âíåøíèå ëèíèè êîòîðûõ ñ èìïóëüñàìè q1, q2, ... îòâå÷àþò îïåðàòîðàì Ol, A2, ..., ïðè÷åì ïðîïàãàòîðû, îòâå÷àþùèå ëèíèè Ol, îòáðîøåíû. Òîãäà ôîðìóëà (10.3.4) ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì ïðåäïèñàíèåì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà èñïóñêàíèÿ ÷àñòèöû â âèäå ñóììû ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì: íóæíî îòáðîñèòü ïðîïàãàòîð ÷àñòèöû, çàìåíèâ åãî ñâåðòêîé ñ îáû÷íûì ìíîæèòåëåì (2π)−3/2ul* äëÿ âíåøíåé ëèíèè. Åäèíñòâåííûì îòëè÷èåì îò îáû÷íûõ ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë ÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü N. Ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíàìåíèòûé ðåçóëüòàò Ëåìàíà, Ñèìàí÷èêà è Öèììåðìàíà3, èçâåñòíûé êàê ðåäóêöèîííàÿ ôîðìóëà. Ìû äîêàçàëè åå çäåñü íåñêîëüêî èíûì ñïîñîáîì, ïîçâîëÿþùèì ëåãêî îáîáùèòü ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ñïèíà. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïðèìåíèì ê ëþáûì îïåðàòîðàì; îïåðàòîð Îl íå îáÿçàí áûòü êàêèì-òî ïîëåì, ðåàëüíî âõîäÿùèì â ëàãðàíæèàí, à ÷àñòèöà, ðîæäàåìàÿ ýòèì ïîëåì, ìîæåò áûòü ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèåì òåõ ÷àñòèö, ïîëÿ êîòîðûõ äåéñòâèòåëüíî âõîäÿò â ëàãðàíæèàí. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò èçâëå÷ü âàæíûé óðîê è â òîì ñëó÷àå, êîãäà Ol ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïîëåé Ψl èç ëàãðàíæèàíà: åñëè ìû íàìåðåíû èñïîëüçîâàòü îáû÷íûå ôåéíìàíîâñêèå ïðàâèëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ S-ìàòðèöû, íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ïåðåîïðåäåëèòü íîðìèðîâêó ïîëåé ìíîæèòåëåì 1/N, òàê ÷òî (ñ èçâèíåíèÿìè çà ìíîãîêðàòíîå èñïîëüçîâàíèå ñèìâîëà Ψ â ðàçíûõ ñìûñëàõ)

cΨ , Ψ (0)Ψ h = (2π) 0

l

q,σ

−3/ 2

u l ( q, σ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.3.6)

591

10.3. Ïåðåíîðìèðîâêà ïîëÿ è ìàññû

Ïîëå, íîðìèðîâàííîå òàê, êàê óêàçàíî â ôîðìóëå (10.3.6), íîñèò íàçâàíèå ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿ. Êîíñòàíòà ïåðåíîðìèðîâêè ïîëÿ N âîçíèêàåò è â äðóãîì ìåñòå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ôîðìóëå (10.3.1) íà ìåñòå îïåðàòîðîâ À2, À3, ... ñòîèò òîëüêî îäèí îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ÷ëåíó òîãî æå ïîëåâîãî ìóëüòèïëåòà, ÷òî è Îl. Òîãäà ôîðìóëà (10.3.2) ïðèíèìàåò âèä

z z

d 4 x1 d 4x2 e − iq1 ⋅x1 e − iq2 ⋅x2 Ψ0 , T Ol (x1 )Ol†′ (x2 ) Ψ0

e

   → 2 2

n

−2i q12 + m 2 (2π)3 q12 + m 2 − iε

q1 → − m

z

s j

∑ dΨ0 , Ol (0)Ψq ,σ i σ

1

× d 4x2 e − iq2 ⋅x2 e − iq1 ⋅x2 Ψq1 ,σ , Ol†′ (0)Ψ0 =

−2i| N|2 q12 + m 2 q12 + m 2 − iε

d

i

∑ ul (q1, σ)ul*′ (q1, σ)(2π)4 δ 4 (q1 + q2 ) . σ

Ìû ïîëó÷àåì îáû÷íîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðà (ñóììû âñåõ äèàãðàìì ñ äâóìÿ âíåøíèìè ëèíèÿìè) â îêðåñòíîñòè åãî ïîëþñà, åñëè íå ñ÷èòàòü ìíîæèòåëÿ |N|2. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (10.3.6), ýòîò ìíîæèòåëü èñ÷åçàåò â ïðîïàãàòîðå ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿ Ψl. Èòàê, ïåðåíîðìèðîâàííîå ïîëå − ýòî òàêîå ïîëå, ïðîïàãàòîð êîòîðîãî èìååò òàêîå æå ïîâåäåíèå â îêðåñòíîñòè ïîëþñà, êàê è äëÿ ñâîáîäíîãî ïîëÿ, à ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ìàññà îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ïîëþñà. ×òîáû óâèäåòü, êàê ýòî «ðàáîòàåò» íà ïðàêòèêå, ðàññìîòðèì òåîðèþ äåéñòâèòåëüíîãî ñàìîäåéñòâóþùåãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ΦB (èíäåêñ  äîáàâëåí çäåñü, ÷òîáû íàïîìèíàòü, ÷òî ïîêà ÷òî ýòî «ãîëîå» * (ò. å. íåïåðåíîðìèðîâàííîå) ïîëå. Ëàãðàíæèàí, êàê îáû÷íî, èìååò âèä 2 2 L = − 21 ∂ µ Φ B ∂ µ Φ B − 21 mB Φ B − VB (Φ B ) .

(10.3.7)

* Àíãëèéñêèé òåðìèí bare â äàííîì êîíòåêñòå îáû÷íî ïåðåâîäèòñÿ êàê ãîëûé èëè çàòðàâî÷íûé. — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

592

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

 îáùåì ñëó÷àå íåò îñíîâàíèé ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå ΦB áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (10.3.6), èëè ÷òî ïîëþñ ïî q2 áóäåò íàõîäèòüñÿ â òî÷êå −mB2, ïîýòîìó ââåäåì ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëå è ìàññó:

Φ ≡ Z −1/2 Φ B ,

(10.3.8)

m 2 ≡ m 2B + δm 2 ,

(10.3.9)

ãäå Z âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òî Φ óäîâëåòâîðÿåò (10.3.6), à δm2 ïîäáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ïîëþñ ïðîïàãàòîðà íàõîäèòñÿ â òî÷êå q2 = − m2. (Èñïîëüçîâàíèå ñèìâîëà Z â ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ñòàëî òðàäèöèåé; êàæäîìó ïîëþ â ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñîîòâåòñòâóåò ñâîå Z.) Òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü ëàãðàíæèàí (10.3.7) â âèäå

L = L0 + L1 ,

(10.3.10)

L0 = − 21 ∂ µ Φ∂ µ Φ − 21 m 2 Φ2 ,

(10.3.11)

L1 = − 21 (Z − 1) ∂ µ Φ∂ µ Φ + m 2 Φ2 + 21 Zδm 2 Φ 2 − V(Φ) , (10.3.12) ãäå

V(Φ) ≡ VB ( Z Φ) . Ïðè âû÷èñëåíèè ïîïðàâîê ê òî÷íîìó * ïðîïàãàòîðó â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, îáû÷íî îáîçíà÷àåìîìó ∆′(q), óäîáíî ðàññìîòðåòü îòäåëüíî îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûå (1PI) äèàãðàììû, ò. å. òàêèå ñâÿçíûå äèàãðàììû (èñêëþ÷àÿ äèàãðàììó, ñîñòîÿùóþ èç îäíîé ñêàëÿðíîé ëèíèè), êîòîðûå íåëüçÿ ñäåëàòü íåñâÿçíûìè ïóòåì ðàçðåçàíèÿ ëþáîé îäíîé âíóòðåííåé ñêàëÿðíîé ëèíèè. Ïðèìåð ïîêàçàí íà ðèñ. 10.4. Ïðèíÿòî, îïóñêàÿ ïðîïàãàòîðíûå ìíîæèòåëè −i(2π)−4(q2 + m2 − iε)−1 îò äâóõ * Àíãëîÿçû÷íîìó òåðìèíó complete propagator îòâå÷àþò ðóññêîÿçû÷íûå òåðìèíû ïîëíûé ïðîïàãàòîð èëè òî÷íûé ïðîïàãàòîð. Ìû îòäàåì ïðåäïî÷òåíèå ïîñëåäíåìó. Âñòðå÷àþùèéñÿ íèæå òåðìèí bare propagator, òàê æå êàê è àâòîðñêèé òåðìèí uncorrected propagator ìû ïåðåâîäèì êàê ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð. – Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

593

10.3. Ïåðåíîðìèðîâêà ïîëÿ è ìàññû

âíåøíèõ ëèíèé, îáîçíà÷àòü ñóììó âñåõ òàêèõ äèàãðàìì ÷åðåç i(2π)4∏*(q2), çâåçäî÷êà íàïîìèíàåò, ÷òî â ýòî âûðàæåíèå âõîäÿò îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûå äèàãðàììû. Òîãäà ïîïðàâêè ê òî÷íîìó ïðîïàãàòîðó äàþòñÿ ñóììîé öåïî÷åê èç îäíîé, äâóõ, òðåõ è áîëåå ýòèõ îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûõ ïîääèàãðàìì, ñîåäèíåííûõ îáû÷íûìè ñâîáîäíûìè ïðîïàãàòîðíûìè ìíîæèòåëÿìè

−i (2π )

4

∆ ′( q ) =

LM − i N (2π) L −i +M N (2π) +

−i

1

(2π ) q + m 2 − iε 4

2

OP i(2π) ∏ (q ) LM − i q + m − iε Q N (2π) q OP i(2π) ∏ (q ) LM − i 1 q + m − iε Q N (2π) q L −i OP + ... 1 × i(2π ) ∏ (q ) M N (2π) q + m − iε Q 1

4

4

2

2

4

2

2

*

4

4

*

*

1

2

4

2

4

2

+ m2 1

2

+ m2

OP − iε Q OP − iε Q

(10.3.13)

2

4

2

2

èëè, â áîëåå ïðîñòîé çàïèñè,

∆ ′(q ) = [q 2 + m 2 − iε ]−1 + [q 2 + m 2 − iε ]−1 ∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 + [q 2 + m 2 − iε ]−1 ∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 ∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 + . . . (10.3.14) Ñóììèðóÿ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, ïîëó÷àåì ∆ ′ ( q ) = q 2 + m 2 − ∏ * ( q 2 ) − iε

−1

.

(10.3.15)

Ïðè âû÷èñëåíèè ∏* ìû ó÷èòûâàåì äðåâåñíûå äèàãðàììû, âîçíèêàþùèå îò îäíîêðàòíîé âñòàâêè âåðøèí, îòâå÷àþùèõ ñëàãàåìûì âèäà ∂µΦ∂µΦ è Φ2 â (10.3.12) , à òàêæå ñëàãàåìîå ∏*LOOP, âîçíèêàþùåå îò ïåòëåâûõ äèàãðàìì òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 10.4à: ∏ * (q 2 ) = −(Z − 1)[q 2 + m 2 ] + Zδm 2 + ∏ *LOOP (q 2 ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.3.16)

594

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Óñëîâèå, ÷òî m2 ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé ìàññîé ÷àñòèöû, ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ, ÷òî ïîëþñ ïðîïàãàòîðà äîëæåí íàõîäèòüñÿ ïðè q2= −m2, òàê ÷òî

∏* (− m2 ) = 0 .

(10.3.17)

Êðîìå òîãî, óñëîâèå, ÷òî ïîëþñ ïðîïàãàòîðà ïðè q2 = −m2 äîëæåí èìåòü åäèíè÷íûé âû÷åò (êàê ó ñâîáîäíîãî ïðîïàãàòîðà), ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ

LM d N dq

2

∏ * (q 2 )

OP Q

= 0.

(10.3.18)

q 2 = − m2

Ïðèâåäåííûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü Z è δm2: Zδm 2 = − ∏ *LOOP (0) ,

Z = 1+

LM d N dq

2

∏ *LOOP (q 2 )

OP Q

(10.3.19) .

q = −m 2

2

(10.3.20)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî Zδm2 è Z − 1 çàäàþòñÿ ðÿäàìè ïî ñòåïåíÿì êîíñòàíòû ñâÿçè áåç íóëåâûõ ÷ëåíîâ, ÷òî îïðàâäûâàåò ðàññìîòðåíèå äâóõ ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â ôîðìóëå (10.3.12) êàê ÷àñòè ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ L1. à

b

Ðèñ. 10-4. Îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìàÿ äèàãðàììà (à) è îäíî÷àñòè÷íî ïðèâîäèìàÿ äèàãðàììà (b) â òåîðèè ñ ÷åòâåðòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ïðèìåðîì òàêîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ñ âçàèìîäåéñòâèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ϕ4

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

595

10.3. Ïåðåíîðìèðîâêà ïîëÿ è ìàññû

Ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé ñàìîå ïðîñòîå – ýòî ñêàçàòü, ÷òî èç ïåòëåâûõ ñëàãàåìûõ ∏*LOOP(q2) ìû äîëæíû âû÷åñòü ïîëèíîì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî q2 ñ êîýôôèöèåíòàìè, ïîäîáðàííûìè òàê, ÷òîáû ðàçíîñòü óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèÿì (10.3.17) è (10.3.18). Êàê áóäåò âèäíî äàëåå, ýòà âû÷èòàòåëüíàÿ ïðîöåäóðà ïîïóòíî ñîêðàùàåò áåñêîíå÷íîñòè, âîçíèêàþùèå îò èíòåãðàëîâ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îïðåäåëÿþùèõ ∏*LOOP. Îäíàêî, êàê äîëæíî áûòü ÿñíî, ïåðåíîðìèðîâêà ìàññ è ïîëåé íåïîñðåäñòâåííî íå èìååò íè÷åãî îáùåãî ñ ñóùåñòâîâàíèåì áåñêîíå÷íîñòåé è íåîáõîäèìà äàæå â òåîðèè, â êîòîðîé âñå èíòåãðàëû â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñõîäÿòñÿ. Âàæíûì ñëåäñòâèåì óñëîâèé (10.3.17) è (10.3.18) ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî íå íóæíî âêëþ÷àòü ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âî âíåøíèå ëèíèè íà ìàññîâîé îáîëî÷êå, ïîñêîëüêó

∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 + ∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 × ∏ * (q 2 )[q 2 + m 2 − iε ]−1 + . . .

q 2 → − m2

= 0.

(10.3.21)

Àíàëîãè÷íûå çàìå÷àíèÿ ïðèìåíèìû ê ÷àñòèöàì ïðîèçâîëüíîãî ñïèíà. Íàïðèìåð, ëàãðàíæèàí «ãîëîãî» äèðàêîâñêîãî ïîëÿ èìååò âèä

L = − ΨB [∂/ + m B ]ΨB − VB (ΨB ) .

(10.3.22)

Ââîäèì ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ è ìàññû:

Ψ ≡ Z2−1/2 ΨB ,

(10.3.23)

m = m B + δm .

(10.3.24)

(Èíäåêñ 2 ó Z ïî òðàäèöèè èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè ôåðìèîííîãî ïîëÿ.) Òîãäà ëàãðàíæèàí ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: L = L0 + L1 ,

(10.3.25)

L0 = − Ψ[ ∂/ + m]Ψ ,

(10.3.26)

L1 = −(Z2 − 1)[ Ψ[∂/ + m B ]Ψ ] + Z2δmΨΨ − VB (Z2 ΨΨ) . (10.3.27)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

596

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ïóñòü i(2π) 4 ∑ * (k/ ) − ñóììà âñåõ ñâÿçíûõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé ôåðìèîííîé ëèíèåé ñ 4-èìïóëüñîì k, è îäíîé âûõîäÿùåé ëèíèåé ñ òåì æå 4-èìïóëüñîì, êîòîðûå íåëüçÿ ñäåëàòü íåñâÿçíûìè, ðàç-ðåçàâ ëþáóþ âíóòðåííþþ ôåðìèîííóþ ëèíèþ, ïðè÷åì ïðîïà-ãàòîðíîå ìíîæèòåëè −i(2p)4 è [ ik/ + m − iε ]−1 äëÿ âíåøíèõ ëèíèé îïóùåíû. (Çäåñü èñïîëüçîâàíà ëîðåíöîâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ñîãëàñíî êîòîðîé ∑* åñòü îáû÷íàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîé ìàòðèöû k/ ≡ kµ γ µ .) Òîãäà ïîëíûé ôåðìèîííûé ïðîïàãàòîð èìååò âèä

S ′(k) = [ ik/ + m − iε ]−1 + [ ik/ + m − iε ]−1 ∑ * (k/ )[ ik/ + m − iε ]−1 + [ ik/ + m − iε ]−1 ∑ * (k/ )[ ik/ + m − iε ]−1 ∑ * (k/ )[ ik/ + m − iε ]−1 + . . . = [ ik/ + m − ∑ * (k/ ) − iε ]−1 .

(10.3.28)

Ïðè âû÷èñëåíèè ∑ * (k/ ) ìû ó÷èòûâàåì äðåâåñíûå äèàãðàììû îò ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè (10.3.27), ïðîïîðöèîíàëüíûõ Ψ∂/ Ψ è ΨΨ , à òàêæå âêëàä ïåòåëü: ∑ * (k/ ) = −(Z2 − 1)[ ik/ + m ] + Z2δm + ∑ *LOOP (k/ ) .

(10.3.29)

Óñëîâèå, ÷òîáû ïîëíûé ïðîïàãàòîð èìåë ïîëþñ ïðè k2 = −m2 ñ òåì æå âû÷åòîì, ÷òî è ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð, èìååò âèä:

∑ * (im) = 0 ,

(10.3.30)

∂ ∑ * (k/ ) | k/ = im = 0 , ∂k/

(10.3.31)

Z2δm = − ∑ *LOOP (k/ ) ,

(10.3.32)

è ïîýòîìó

Z2 = 1 − i

∂ ∑ *LOOP (k/ ) ∂k/

| k/ = im .

(10.3.33)

Êàê è äëÿ ñêàëÿðíûõ ÷àñòèö, îáðàùåíèå â íóëü [ ik/ + m]−1 ∑ * (k/ ) â ïðåäåëå k/ → im ïîêàçûâàåò, ÷òî íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè ê âíåøíèì ôåðìèîííûì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.4. Ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä è òîæäåñòâà Óîðäà

597

ëèíèÿì. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû äëÿ ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà áóäóò ïîëó÷åíû â ðàçäåëå 10.5. 10.4. Ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä è òîæäåñòâà Óîðäà Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé êîììóòàöèè è çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ãåéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó çàðÿäàìè (èëè àíàëîãè÷íûìè âåëè÷èíàìè) â ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà è ñâîéñòâàìè ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. Íàïîìíèì, ÷òî èíâàðèàíòíîñòü ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ãëîáàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ψl → exp(iqlα)Ψl (ñ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé ôàçîé α) âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå òîêà Jµ = −i

∂L

∑ ∂(∂µ Ψl ) ql Ψl ,

(10.4.1)

l

óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ ñîõðàíåíèÿ

∂µ J µ = 0 .

(10.4.2)

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííûé èíòåãðàë îò âðåìåííîé êîìïîíåíòû Jµ íå çàâèñèò îò âðåìåíè:

i

d Q = [Q, H ] = 0 , dt

(10.4.3)

ãäå

Q≡

z

d3x J 0 .

(10.4.4)

(Î÷åíü âàæíîå âîçìîæíîå èñêëþ÷åíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èíòåãðàë (10.4.4) ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü, åñëè â ñèñòåìå èìåþòñÿ äàëüíîäåéñòâóþùèå ñèëû, îáÿçàííûå áåçìàññîâûì ñêàëÿðàì. Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó ïðè ðàññìîòðåíèè íàðóøåííûõ ñèììåòðèé â ò. II.) Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó Q ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî ïðîñòðàíñòâó, ýòà âåëè÷èíà ÿâíî òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíòíà:

[P, Q] = 0,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.4.5)

598

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

à òàê êàê Jµ — 4-âåêòîð, Q èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê îäíîðîäíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà:

[ J µν , Q] = 0 .

(10.4.6)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð Q, äåéñòâóÿ íà èñòèííûé âàêóóì Ψ0, äàåò äðóãîå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîå ñîñòîÿíèå íóëåâîé ýíåðãèè è èìïóëüñà, êîòîðîå (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âàêóóì íåâûðîæäåí) äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî ñàìîìó Ψ0. Íî êîíñòàíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü, òàê êàê èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî (Ψ0, JµΨ0) = 0. Îòñþäà ïîëó÷àåì:

QΨ0 = 0 .

(10.4.7)

Êðîìå òîãî, îïåðàòîð Q, äåéñòâóÿ íà ëþáîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå Ψp,σ,n, äîëæåí ïåðåâîäèòü åãî â äðóãîå ñîñòîÿíèå ñ òåìè æå ýíåðãèåé, èìïóëüñîì è òåìè æå òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, è ñëåäîâàòåëüíî (ïðåäïîëàãàÿ îòñóòñòâèå âûðîæäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé), â ñîñòîÿíèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå òîìó æå îäíî÷àñòè÷íîìó ñîñòîÿíèþ:

QΨp,σ, n = q ( n ) Ψp,σ, n .

(10.4.8)

Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü Q ãàðàíòèðóåò, ÷òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå q(n) íå çàâèñèò îò ð è s, à çàâèñèò òîëüêî îò ñîðòà ÷àñòèö. Ýòî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èçâåñòíî êàê ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä (èëè êàêîå-òî äðóãîå êâàíòîâîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî Jµ ìîæåò áûòü òîêîì) îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ. ×òîáû ñâÿçàòü åãî ñ ïàðàìåòðàìè ql â ëàãðàíæèàíå, çàìåòèì, ÷òî èç êàíîíè÷åñêèõ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò

J 0 (x, t), Ψl (y, t) = − q l Ψl (y, t)δ 3 (x − y) ,

(10.4.9)

èëè, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî x,

Q, Ψl ( y) = − q l Ψl ( y) .

(10.4.10)

Òî æå âåðíî è äëÿ ëþáîé ëîêàëüíîé ôóíêöèè F(y) çàäàííîãî ÷èñëà ïîëåé, èõ ïðîèçâîäíûõ è ñîïðÿæåííûõ èì âåëè÷èí:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.4. Ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä è òîæäåñòâà Óîðäà

Q, F( y) = − q F F( y) ,

599

(10.4.11)

ãäå qF − ñóììà ql äëÿ âñåõ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ â F(y) ìèíóñ ñóììà ql äëÿ âñåõ ñîïðÿæåííûõ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Áåðÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèåì è âàêóóìîì è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (10.4.7) è (10.4.8), ïîëó÷àåì

cΨ , F(y)Ψ h (q p, σ , n

0

F

− q( n) ) = 0 .

(10.4.12)

Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî áûòü

åñëè òîëüêî

q( n) = q F ,

(10.4.13)

cΨ , F(y)Ψ h ≠ 0 .

(10.4.14)

0

p, σ , n

Êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïðè óñëîâèè (10.4.14) ôóíêöèè Ãðèíà, âêëþ÷àþùèå F, â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå èìåþò ïîëþñû, îòâå÷àþùèå îäíî÷àñòè÷íîìó ñîñòîÿíèþ Ψp,σ,n. Äëÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîìó èç ïîëåé â ëàãðàíæèàíå, ìû ìîãëè áû âçÿòü F = Ψl, è â ýòîì ñëó÷àå qF = ql, îäíàêî íàøè ðåçóëüòàòû ïðèìåíèìû è ê ïðîèçâîëüíûì îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèÿì, íåçàâèñèìî îò òîãî, âõîäÿò ëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîëÿ â ëàãðàíæèàí èëè íåò. Ýòî ïî÷òè ïîëíîñòüþ óáåæäàåò íàñ â òîì, ÷òî íåñìîòðÿ íà âñå ìûñëèìûå äèàãðàììû âûñøåãî ïîðÿäêà, äàþùèå âêëàä â àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ôîòîíîâ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, ôèçè÷åñêèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ñòðîãî ðàâåí ïàðàìåòðó ql â ôóíêöèè Ëàãðàíæà (èëè ñóììå òàêèõ ïàðàìåòðîâ òèïà qF). Óòî÷íåíèå, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñäåëàòü, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òðåáîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ψl → exp(iqlα)Ψl íèêàê íå ôèêñèðóåò îáùèé ìàñøòàá âåëè÷èí ql. Ôèçè÷åñêèå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû îïðåäåëÿþò îòêëèê ïîëåé ìàòåðèè íà çàäàííîå ïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå Aµ. Èíûìè ñëîâàìè, ìàñøòàá âåëè÷èí ql ôèêñèðóåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âõîäèëî â ëàãðàíæèàí ìàòåðèè LM â ëèíåéíûõ êîìáèíàöèÿõ [∂µ − iqlAµ]Ψl, òàê ÷òî òîê Jµ èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

600

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Jµ =

δLM . δAµ

(10.4.15)

Îäíàêî Aµ è ql — íå òå æå ñàìûå âåëè÷èíû, ÷òî «ãîëîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå» ABµ è «ãîëûå çàðÿäû» qBl, âõîäÿùèå â ëàãðàíæèàí, çàïèñàííûé â ïðîñòåéøåé ôîðìå *

L = − 21 (∂ µ ABν − ∂ ν ABµ ) (∂ µ ABν − ∂ ν ABµ ) + LM (Ψl , [∂ µ − iq Bl ABµ ]Ψl ) . (10.4.16) Ïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå (îïðåäåëåííîå òàê, ÷òîáû åãî òî÷íûé ïðîïàãàòîð èìåë ïîëþñ ïðè ð2 = 0 ñ åäèíè÷íûì âû÷åòîì) ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â òåðìèíàõ ïîëÿ ABµ â âèäå

A µ = Z3−1/2 ABµ ,

(10.4.17)

ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû çàðÿä ql õàðàêòåðèçîâàë îòêëèê çàðÿæåííûõ ÷àñòèö íà äàííîå ïåðåíîðìèðîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, íóæíî îïðåäåëèòü ïåðåíîðìèðîâàííûå çàðÿäû ñîîòíîøåíèåì

ql =

Z3 q Bl .

(10.4.18)

Ìû âèäèì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q ëþáîé ÷àñòèöû ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëåí íåêîòîðîìó ïàðàìåòðó qB, ñâÿçàííîìó ñ òåìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå âõîäÿò â ëàãðàíæèàí, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè Z3–1/2 îäèíàêîâ äëÿ âñåõ ÷àñòèö. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîíÿòü, êàêèì îáðàçîì ÷àñòèöà âðîäå ïðîòîíà, îêðóæåííàÿ îáëàêîì âèðòóàëüíûõ ìåçîíîâ è äðóãèõ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ìîæåò èìåòü òîò æå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ÷òî è ïîçèòðîí, âñå âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðîãî ìíîãî ñëàáåå. Íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïî êàêèì-òî ïðè÷èíàì çàðÿäû qBl â ëàãðàíæèàíå ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó äëÿ ýëåêòðîíà è ñîâîêóïíîñòè òåõ ÷àñòèö (äâóõ u-êâàðêîâ è îäíîãî d-êâàðêà), èç êîòîðûõ ñîñòàâëåí ïðîòîí. Ýôôåêò ïîïðàâîê âûñøåãî ïîðÿäêà ïðîÿâèòñÿ ïðè ýòîì òîëüêî â ïîÿâëåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ Z3–1/2. * Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî àâòîð íå âûïèñûâàåò ñëàãàåìûå, ôèêñèðóþùèå êàëèáðîâêó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

601

10.4. Ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä è òîæäåñòâà Óîðäà

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåíîðìèðîâêà çàðÿäà âîçíèêàëà òîëüêî îò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ôîòîííîìó ïðîïàãàòîðó, äîëæíû ïðîèñõîäèòü ñîêðàùåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà äðóãèõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ïðîïàãàòîðàì è ýëåêòðîìàãíèòíûì âåðøèíàì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ìîæíî ÷óòü ãëóáæå ïðîíèêíóòü â ïðèðîäó ýòèõ ñîêðàùåíèé, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ çíàìåíèòûìè ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó ïðîïàãàòîðàìè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è âåðøèíàìè, èçâåñòíûìè êàê òîæäåñòâà Óîðäà. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ôóíêöèþ Ãðèíà ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà Jµ(x) ñîâìåñòíî ñ ãåéçåíáåðãîâñêèì äèðàêîâñêèì ïîëåì Ψn(y), èìåþùèì çàðÿä q, è êîâàðèàíòíî ñîïðÿæåííûì åìó ïîëåì Ψm(z). Îïðåäåëèì ýëåêòðîìàãíèòíóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ Γµ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ôîðìóëîé

z

d 4 xd 4 yd 4ze − ip⋅x e − ik ⋅ ye + il ⋅z Ψ0 , T J µ (x)Ψn ( y) Ψm (z) Ψ0

d

s i

n

′ ′ (k)Γnµ′m ′ (k, l)Sm ′ ′m (l)δ 4 (p + k − l) , ≡ − iqSnn

(10.4.19)

ãäå

′ (k)δ 4 (k − l) ≡ − iSnm

z

d 4 yd 4z Ψ0 , T Ψn ( y) Ψm (z) Ψ0 e − ik ⋅ ye + il ⋅z . (10.4.20)

d

n

s i

Ñîãëàñíî òåîðåìå ðàçäåëà 6.4, ôîðìóëà (10.4.20) îïðåäåëÿåò ñóììó âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé ôåðìèîííîé ëèíèÿìè,ò. å. òî÷íûé äèðàêîâñêèé ïðîïàãàòîð. Êðîìå òîãî, ôîðìóëà (10.4.19) îïðåäåëÿåò ñóììó âñåõ òàêèõ äèàãðàìì, íî ñ äîïîëíèòåëüíîé âíåøíåé ôîòîííîé ëèíèåé, òàê ÷òî Γµ ðàâíà ñóììå «âåðøèííûõ» äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé äèðàêîâñêèìè ëèíèÿìè è îäíîé ôîòîííîé ëèíèåé, íî ñ îòáðîøåííûìè òî÷íûìè ïðîïàãàòîðàìè äèðàêîâñêèõ âíåøíèõ ëèíèé è ñâîáîäíûì ïðîïàãàòîðîì âíåøíåé ôîòîííîé ëèíèè. ×òîáû îêîí÷àòåëüíî âûÿñíèòü íîðìèðîâêó S′ è Γµ, çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëå îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèé ýòè ôóíêöèè ïðèíèìàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: S ′(k) → [ iγ λ k λ + m − iε ]−1 , Γ µ (k, l) → γ µ .

Îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû, äàþùèå ïîïðàâêè ê óêàçàííûì ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì, ïîêàçàíû íà ðèñ. 10.5.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

602

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ðèñ. 10.5. Äèàãðàììû ïåðâûõ ïîïðàâîê ê ýëåêòðîííîìó ïðîïàãàòîðó è âåðøèííîé ôóíêöèè â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïðÿìûå ëèíèè îòâå÷àþò ýëåêòðîíàì, âîëíèñòûå — ôîòîíàì

Ìîæíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó Γµ è S′, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî

∂ T J µ (x)Ψn ( y) Ψm (z) = T ∂ µ J µ (x)Ψn ( y) Ψm (z) ∂x µ

n

s n

s

+ δ(x 0 − y0 )T J 0 (x)Ψn ( y) Ψm (z) + δ(x 0

n s − z )TnΨ ( y) J (x), Ψ (z) s , 0

(10.4.21)

0

n

m

ãäå äåëüòà-ôóíêöèè âîçíèêàþò îò äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé.  ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (10.4.2) ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (10.4.9), êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå èìåþò âèä

J 0 (x, t), Ψn (y, t) = − qΨn (y, t)δ 3 (x − y) ,

(10.4.22)

à äëÿ ñîïðÿæåííîãî êîììóòàòîðà èìååì: J 0 (x, t), Ψn (y, t) = qΨn (y, t)δ 3 (x − y) .

(10.4.23)

Òîãäà ôîðìóëà (10.4.21) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ∂ T J µ (x)Ψn ( y) Ψm (z) = − qδ 4 (x − y)T Ψn ( y) Ψm (z) ∂x µ

n

s n + qδ (x − z)TnΨ ( y) Ψ (z)s .

s

4

n

m

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.4.24)

603

10.5. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü

Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (10.4.19)

(l − k) µ S ′(k)Γ µ (k, l)S ′(l) = iS ′(l) − iS ′(k) , èëè, èíûìè ñëîâàìè,

(l − k) µ Γ µ (k, l) = iS ′ −1 (k) − iS ′ −1 (l) .

(10.4.25)

Ýòî ñîîòíîøåíèå èçâåñòíî êàê îáîáùåííîå òîæäåñòâî Óîðäà, è âïåðâûå ïîëó÷åíî (îïèñàííûì ìåòîäîì) Òàêàõàøè 4. Ïåðâîíà÷àëüíîå òîæäåñòâî, âûâåäåííîå ðàíåå Óîðäîì 5 ïðè àíàëèçå ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü èç (10.4.25), óñòðåìèâ l ê k.  ýòîì ïðåäåëå íàõîäèì

Γ µ ( k, k) = − i

∂ S ′ −1 (k) . ∂kµ

(10.4.26)

Ôåðìèîííûé ïðîïàãàòîð ñâÿçàí ôîðìóëîé (10.3.28) ñ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêîé âñòàâêîé * ∑ * (k/ ) â ñîáñòâåííóþ ýíåðãèþ:

S ′ −1 (k) = ik/ + m − ∑ * (k/ ) , òàê ÷òî ôîðìóëó (10.4.26) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Γ µ ( k, k) = γ µ + i

∂ ∑ * (k/ ) . ∂k µ

(10.4.27)

Äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ïîëó÷àåì èç ôîðìóë (10.3.31) è (10.4.27), ÷òî íà ìàññîâîé îáîëî÷êå

u k′ Γ µ (k, k) u k = u k′ γ µ u k ,

(10.4.28)

ãäå [iγµkµ + m]uk = [iγµkµ + m]u′k = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâêà ôåðìèîííîãî ïîëÿ îáåñïå÷èâàåò ñîêðàùåíèå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê âåðøèííîé ôóíêöèè Γµ, êîãäà ôåðìèîí íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè *  ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí ìàññîâûé îïåðàòîð. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

604

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

âçàèìîäåéñòâóåò ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ñ íóëåâîé ïåðåäà÷åé èìïóëüñà, êàê ýòî è èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà ìû èçìåðÿåì ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ôåðìèîíà. Åñëè áû ìû èñïîëüçîâàëè íåïåðåíîðìèðîâàííîå ôåðìèîííîå ïîëå, òî ïîïðàâêè ê âåðøèííîé ôóíêöèè âñå ðàâíî ñîêðàòèëèñü áû ñ ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè ê âíåøíèì ôåðìèîííûì ëèíèÿì, îñòàâèâ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåèçìåííûì. 10.5. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü Ñîõðàíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëåçíûõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò âåëè÷èíû

z z

µµ ′... (q , q ′,... ) ≡ d 4 x d 4 x ′... e − iq ⋅x e − iq ′ ⋅x ′ ... Mβα

× Ψβ− , T J µ (x ), J µ ′ (x ′ )... Ψα+ .

e

o

t j

(10.5.1)

 òåîðèÿõ òèïà ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêè, ãäå ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå ëèíåéíî ïî ïîëþ Aµ, ýòî åñòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðîèçâîëüíîãî ïåðåõîäà α → β ñ èñïóñêàíèåì (è/èëè ïîãëîùåíèåì) ôîòîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà èëè âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ñ 4-èìïóëüñàìè q, q′ è ò. ä. (è/èëè −q, −q′ è ò. ä.), ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè èëè ïðîïàãàòîðû âíåøíèõ ôîòîííûõ ëèíèé îïóùåíû *. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî âûðàæåíèå (10.5.1) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ñâåðòêå ñ 4-èìïóëüñîì ëþáîãî èç ôîòîíîâ: µµ ′ ... µµ ′ ... q µ Mβα (q , q ′, . . . ) = q µ′ ′ Mβα ( q , q ′, . . . ) = . . . = 0 .

(10.5.2)

Òàê êàê àìïëèòóäà Ì îïðåäåëåíà ñèììåòðè÷íî ïî îòíîøåíèþ ê ôîòîííûì ëèíèÿì, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü îáðàùåíèå â íóëü ïåðâîé èç ýòèõ ñâåðòîê. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì

* Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà íóæíî îòáðîñèòü âñå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê âíåøíèì ëèíèÿì, ëèáî âçÿòü êîððåêòíîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

605

10.5. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü

z z

µµ ′... (q , q ′,... ) = − i d 4 x d 4 x ′... e − iq ⋅x e − iq ′ ⋅x ′ ... q µ Mβα

FG H

× Ψβ− ,

∂ ∂x

µ

t IJK

T J µ (x ), J µ ′ (x ′ )... Ψα+ .

o

(10.5.3)

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê Jµ(x) ñîõðàíÿåòñÿ, íî îòñþäà ñðàçó æå íå ñëåäóåò, ÷òî (10.5.3) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê êàê ñëåäóåò ó÷èòûâàòü åùå çàâèñèìîñòü îò x0, ñîäåðæàùóþñÿ â òåòà-ôóíêöèÿõ, êîòîðûå âõîäÿò â îïðåäåëåíèå õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, îãðàíè÷èâàÿñü äâóìÿ òîêàìè, èìååì:

T J µ (x) J ν ( y) = θ(x 0 − y0 ) J µ (x) J ν ( y) + θ( y0 − x 0 ) J ν ( y) J µ (x) ,

n

s

òàê ÷òî, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîõðàíåíèå Jµ(x), ïîëó÷àåì * ∂ T J µ (x) J ν ( y) = δ(x 0 − y0 ) J 0 (x) J ν ( y) − δ( y0 − x 0 ) J ν ( y) J 0 (x) ∂x µ

n

s

= δ(x 0 − y0 ) J 0 (x), J ν ( y) .

(10.5.4)

Åñëè òîêîâ áîëåå äâóõ, ìû ïîëó÷àåì ïîõîæèé îäíîâðåìåííîé êîììóòàòîð (âíóòðè õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ) äëÿ êàæäîãî òîêà, êðîìå ñàìîãî Jµ(x). ×òîáû âû÷èñëèòü òàêîé êîììóòàòîð, íàïîìíèì, ÷òî (êàê ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå), äëÿ ëþáîãî ïðîèçâåäåíèÿ F îïåðàòîðîâ ïîëÿ è ñîïðÿæåííûõ èì âåëè÷èí è/èëè èõ ïðîèçâîäíûõ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

J 0 (x, t), F(y, t) = − q F F(x, t)δ 3 (x − y) , ãäå qF − ñóììà çàðÿäîâ ql äëÿ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ, âõîäÿùèõ â F, ìèíóñ ñóììà çàðÿäîâ ql äëÿ ñîïðÿæåííûõ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà qJ ðàâíî íóëþ; Jν(y) ñàì åñòü ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûé îïåðàòîð. Îòñþäà * Ïðèâîäèìûå çäåñü è íèæå ðàññóæäåíèÿ íîñÿò íàâîäÿùèé õàðàêòåð èç-çà ñèíãóëÿðíîãî ïîâåäåíèÿ ïðîèçâåäåíèé ãåéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðîçíà÷íûìè îáîáùåííûìè ôóíêöèÿìè ïî âðåìåíè (îá ýòîì íèæå óïîìèíàåò è àâòîð).  ÷àñòíîñòè, îäíîâðåìåííûå êîììóòàòîðû òîêîâ, è äàæå ïîëåé, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå ñóùåñòâóþò. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

606

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

J 0 (x, t), J ν (y, t) = 0

(10.5.5)

è ïîýòîìó âûðàæåíèå (10.5.4) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî èç (10.5.3) íàõîäèì µµ′ ... q µ Mβα ( q , q ′, . . . ) = 0 ,

(10.5.6)

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.  ýòîì ìåñòå íåîáõîäèìî ñäåëàòü âàæíóþ îãîâîðêó. Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèÿ (10.5.5) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ïîëåé, âçÿòûõ â îäíîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå y, òèïà îïåðàòîðà òîêà Jν(y), ìîæíî ïðàâèëüíî îïðåäåëèòü òîëüêî ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè ñîäåðæàùèõñÿ â òàêèõ ïðîèçâåäåíèÿõ áåñêîíå÷íîñòåé. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóþò íåèñ÷åçàþùèå âêëàäû â êîììóòàòîð J0(x,t) ñ ðåãóëÿðèçîâàííûì òîêîì Ji(y,t), èçâåñòíûå ïîä íàçâàíèåì øâèíãåðîâñêèõ ÷ëåíîâ 6.  ñëó÷àå, êîãäà â òîêå ñîäåðæàòñÿ ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò çàðÿæåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ Φ, èìåþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå íå çàâèñÿùèå îò ðåãóëÿðèçàöèè øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå Φ†Φ. Îäíàêî â ìíîãîôîòîííûõ àìïëèòóäàõ âñå ïîäîáíûå øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû ñîêðàùàþòñÿ ñî âêëàäàìè êâàäðàòè÷íûõ ïî ýëåêòðîìàãíèòíîìó ïîëþ äîïîëíèòåëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå âîçíèêàþò ëèáî èç ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè (ïðè óñëîâèè êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè), ëèáî, åñëè ðå÷ü èäåò î çàðÿæåííûõ ñêàëÿðàõ, ñîäåðæàòñÿ â ëàãðàíæèàíå. Ìû áóäåì ãëàâíûì îáðàçîì èìåòü äåëî ñ çàðÿæåííûìè ñïèíîðíûìè ïîëÿìè è èñïîëüçîâàòü ïðîöåäóðó ðåãóëÿðèçàöèè (ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ), êîòîðàÿ íå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ øâèíãåðîâñêèõ ÷ëåíîâ, òàê ÷òî â ïîñëåäóþùåì èçëîæåíèè ìû áóäåì èãíîðèðîâàòü ýòî ÿâëåíèå è ïðîäîëæàòü ïîëüçîâàòüñÿ íàèâíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèåì (10.5.5). Òå æå ñàìûå àðãóìåíòû ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòó (10.5.2), êîãäà è äðóãèå ÷àñòèöû, ïîìèìî ôîòîíîâ, íàõîäÿòñÿ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, íî ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû áåðóòñÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ò. å. âõîäÿò â ñîñòîÿíèÿõ Ψβ− è Ψα+.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëåâàÿ ÷àñòü (10.5.2) ñîäåðæèò íåíóëåâûå âêëàäû îò îäíîâðåìåííûõ êîììóòàòîðîâ, ïîäîáíûå òåì, ñ êîòîðûìè ìû âñòðåòèëèñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðè âûâîäå òîæäåñòâà Óîðäà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.5. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü

607

Îäíèì èç ñëåäñòâèé ôîðìóëû (10.5.2) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû S-ìàòðèöû íå èçìåíÿþòñÿ, åñëè çàìåíèòü ëþáîé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ∆µν(q) íà

∆ µν (q ) → ∆ µν (q ) + α µ q ν + q µ β ν ,

(10.5.7)

èëè åñëè çàìåíèòü ëþáîé âåêòîð ïîëÿðèçàöèè íà

eρ (k, λ) → eρ (k, λ) + ckρ ,

(10.5.8)

ãäå k0 ≡ |k|, à αµ, βν è ñ − ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíûå âåëè÷èíû (íå îáÿçàòåëüíî ïîñòîÿííûå è íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâûå äëÿ âñåõ ïðîïàãàòîðîâ èëè âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè). Âñå ýòî (íåñêîëüêî âîëüíî) íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ S-ìàòðèöû. ×òîáû äîêàçàòü ñäåëàííîå óòâåðæäåíèå, íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü ÿâíî âûïèñàòü çàâèñèìîñòü S-ìàòðèöû îò âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè ôîòîíîâ è îò ïðîïàãàòîðîâ:

z

Sβα ∝ d 4q1d 4 q 2 . . . ∆ µ1ν1 ∆ µ2 ν2 × eρ* 1 (k 1′ λ1′ )eρ* 2 (k 2′ λ 2′ ). . . eσ1 (k 1λ 1 )eσ2 (k 2 λ 2 ). . .

(10.5.9)

µ µ ... ν ν ... ρ ρ ... σ σ ... × Mba1 2 1 2 1 2 1 2 ( − q1 ,− q 2 , . . . , q1 , q 2 , . . . ,− k1′ ,− k2′ , . . . k1 , k2 . . . ) ,

ãäå Mρσ... — ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (10.5.1), âû÷èñëåííûé â îòñóòñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé *. Èíâàðèàíòíîñòü (10.5.9) îòíîñèòåëüíî «êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé» (10.5.7) è (10.5.8) íåìåäëåííî ñëåäóåò èç óñëîâèé ñîõðàíåíèÿ (10.5.2). ( ðàçäåëå 9.6 ìû èñïîëüçîâàëè ôîðìàëèçì ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ýòîé òåîðåìû, èìåííî, ÷òî ñðåäíèå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûõ îïåðàòîðîâ íå çàâèñÿò îò êîíñòàíòû α â ïðîïàãàòîðå (9.6.21).)

* Ñîñòîÿíèÿ a è b ñîâïàäàþò ñ α è β, åñëè óáðàòü âñå ôîòîíû. Çàìåòèì, ÷òî âñå àðãóìåíòû Ì ñîîòâåòñòâóþò âõîäÿùèì 4-èìïóëüñàì. Èìåííî ïîýòîìó ìû âûíóæäåíû ââîäèòü ðàçíûå çíàêè â íåêîòîðûå àðãóìåíòû Ì â âûðàæåíèå (10.5.9).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

608

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ýòîò ðåçóëüòàò íå òàê òðèâèàëåí, êàê êàæåòñÿ, òàê êàê îí ïðèìåíèì íå ê îòäåëüíûì äèàãðàììàì, à òîëüêî ê ñóììàì äèàãðàìì, â êîòîðûõ âåðøèíû òîêîâ âñòàâëåíû âî âñå âîçìîæíûå ìåñòà. Îñîáåííî âàæíîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëà (10.5.2) íàõîäèò ïðè âû÷èñëåíèè ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà. Òî÷íûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, îáîçíà÷àåìûé îáû÷íî ∆′µν(q), èìååò âèä

∆ ′µν (q ) = ∆ µν (q ) + ∆ µρ (q )M ρσ (q ) ∆ σν (q ) ,

(10.5.10)

ãäå Mρσ ïðîïîðöèîíàëåí ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó (10.5.1) ñ äâóìÿ òîêàìè *, α è β − âàêóóìíûå ñîñòîÿíèÿ, è ∆µν − ñâîáîäíûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, êîòîðûé â îáùåé ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé êàëèáðîâêå èìååò âèä

∆ µν (q ) ≡

ηµν − ξ(q 2 )q µ q ν / q 2 q 2 − iε

.

(10.5.11)

Èç (10.5.2) èìååì qµMµν = 0, òàê ÷òî q µ ∆ ′µν (q ) = q µ ∆ µν (q ) =

q ν (1 − ξ(q 2 )) . q 2 − iε

(10.5.12)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî àíàëîãèè ñ òåì, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ ñêàëÿðíîãî è ñïèíîðíîãî ïîëåé â ðàçäåëå 10.3, ìîæíî âûðàçèòü òî÷íûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ÷åðåç ñóììó ∏*(q) äèàãðàìì ñ äâóìÿ âíåøíèìè ôîòîííûìè ëèíèÿìè, êîòîðûå (â ïðîòèâîïîëîæíîñòü Ì) îäíîôîòîííî íåïðèâîäèìû:

∆ ′( q ) = ∆ (q ) + ∆ ( q ) ∏ * (q ) ∆ ( q ) + ∆ ( q ) ∏ * ( q ) ∆ ( q ) ∏ * (q ) ∆ ( q ) + . . . = ∆(q ) −1 − ∏ * (q )

−1

,

(10.5.13)

èëè, èíûìè ñëîâàìè,

* Íàïîìíèì (ñì. íà÷àëî ðàçäåëà), ÷òî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âåðíî òîëüêî äëÿ òåîðèé òèïà ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêè, ãäå âçàèìîäåéñòâèå ëèíåéíî ïî Aµ. Îäíàêî âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãî óñëîâèå ïîïåðå÷íîñòè (10.5.2) äëÿ M ρσ(q) âåðíî äëÿ ëþáîé òåîðèè. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò

∆ ′µν (q ) = ∆ µν (q ) + ∆ µρ (q ) ∏ *ρσ (q ) ∆ ′σν (q ) .

609

(10.5.14)

Äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü (10.5.2), íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà

q ρ ∏ *ρσ (q ) = 0 .

(10.5.15)

Îòñþäà, ñîâìåñòíî ñ ëîðåíöîâñêîé èíâàðèàíòíîñòüþ, âûòåêàåò, ÷òî ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð ∏*(q) äîëæåí èìåòü âèä

∏ *ρσ (q ) = q 2 ηρσ − q ρq σ π(q 2 ) .

c

h

(10.5.16)

Òîãäà èç ïðåäñòàâëåíèÿ (10.5.13) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé âèä òî÷íîãî ïðîïàãàòîðà: ~ ηµν − ξ(q 2 )q µ q ν / q 2 ∆ ′µν (q ) = , (10.5.17) [q 2 − iε ][1 − π(q 2 )] ãäå

~ 2 ξ(q ) = ξ(q 2 )[1 − π(q 2 )] + π(q 2 ) .

(10.5.18)

Äàëåå, ïîñêîëüêó ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð ∏*(q) ñîäåðæèò âêëàäû òîëüêî îò îäíîôîòîííî íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà íå èìååò ïîëþñà ïðè q2 = 0. (Âàæíûì èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé íàðóøåííîé êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè, îáñóæäàåìûé â òîìå II.)  ÷àñòíîñòè, èç îòñóòñòâèÿ ïîëþñà ïðè q2 = 0 â ñëàãàåìîì, ïðîïîðöèîíàëüíîì qµqν â ∏*(q) âûòåêàåò, ÷òî ó ôóíêöèè π(q2) òàêæå íåò òàêîãî ïîëþñà, è â ðåçóëüòàòå ïîëþñ â òî÷íîì ïðîïàãàòîðå (10.5.17) îñòàåòñÿ â òî÷êå q2 = 0. Ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ôîòîí íå ïðèîáðåòàåò ìàññû çà ñ÷åò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Äëÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè òàêæå íå èçìåíÿþò êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíóþ ÷àñòü âû÷åòà â ôîòîííîì ïîëþñå â (10.5.17), òàê ÷òî

π(0) = 0 .

(10.5.19)

Ýòî óñëîâèå ïðèâîäèò ê îïðåäåëåíèþ êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Z3. Íàïîìíèì, ÷òî ëàãðàíæèàí ýëåêòðîäè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

610

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

íàìèêè, âûðàæåííûé ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííîå ïîëå (10.4.17), èìååò âèä

L = − 14 Z3 (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )(∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) + LM Ψl ,[∂ µ − iZ3 q l Aµ ]Ψl .

d

i

Òîãäà ôóíêöèÿ π(q2) â îäíîôîòîííî íåïðèâîäèìîé àìïëèòóäå èìååò âèä π(q 2 ) = 1 − Z3 + π LOOP (q 2 ) ,

(10.5.20)

ãäå πLOOP îïðåäåëÿåò âêëàä ïåòëåâûõ äèàãðàìì. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî (10.5.21) Z3 = 1 + π LOOP (0) . Íà ïðàêòèêå, ÷òîáû ñäåëàòü π(0) ðàâíûì íóëþ, íóæíî ïðîñòî âû÷èñëèòü âêëàä ïåòåëü è âû÷åñòü êîíñòàíòó. Íàêîíåö, ôîðìóëà (10.5.18) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè q2 ≠ 0 êàëèáðîâî÷íîå ñëàãàåìîå â ôîòîííîì ïðîïàãàòîðå èçìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé êàëèáðîâêè ~ Ëàíäàó, êîãäà ξ = ξ = 1 äëÿ âñåõ q2. 10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò Ïóñòü ìû õîòèì âû÷èñëèòü ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû íà âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå (èëè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå äðóãîé ÷àñòèöû) â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïî ýòîìó ïîëþ, íî âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî âñåì äðóãèì âçàèìîäåéñòâèÿì äàííîé ÷àñòèöû (âêëþ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî çíàòü ñóììó âêëàäîâ âñåõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé ëèíèåé ÷àñòèöû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, è îäíîé ôîòîííîé ëèíèåé, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü è íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, è âíå íåå. Ñîãëàñíî òåîðåìå ðàçäåëà 6.4, òàêàÿ ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ îäíî÷àñòè÷íûì ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà Jµ(x). Ïîñìîòðèì, ÷òî îïðåäåëÿåò îáùèé âèä ýòîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà.  ñèëó òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè îäíî÷àñòè÷íûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

611

10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò

dΨ

p ′,σ ′ , J

µ

(x)Ψp,σ = exp(i(p − p ′) ⋅ x) Ψp′,σ ′ , J µ (0)Ψp,σ . (10.6.1)

i

d

i

Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ òîêà ∂µJµ = 0 â ýòîì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî

(p ′ − p) µ Ψp′,σ ′ , J µ (0)Ψp,σ = 0 .

d

i

(10.6.2)

Êðîìå òîãî, ïîëàãàÿ µ = 0 è èíòåãðèðóÿ ïî âñåì x, íàõîäèì

dΨ

p′, σ ′ , QΨp, σ

i = (2π) δ (p − p′)dΨ 3 3

p′, σ ′ , J

0 ( 0 )Ψ p, σ

i.

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (10.4.8), ïîëó÷àåì

dΨ

p, σ ′ , J

0

( 0 )Ψp, σ = (2π) −3 qδ σσ ′ ,

i

(10.6.3)

ãäå q − çàðÿä ÷àñòèöû.  íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü è îãðàíè÷åíèÿ íà ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû òîêîâ, íàêëàäûâàåìûå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòüþ. ×òîáû ïîëó÷èòü èõ, ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèå ñëó÷àè: ñïèí 0 è ñïèí 1/2. Ïðåäñòàâëåííûé íèæå àíàëèç ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ïîëåçíîé òåõíèêè âû÷èñëåíèé, èñïîëüçóåìîé è äëÿ äðóãèõ òîêîâ, íàïðèìåð, äëÿ òîêîâ ïîëóëåïòîííûõ ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé. Ñïèí íóëü  ñëó÷àå ñïèíà íóëü òðåáîâàíèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îáùåìó âèäó îäíî÷àñòè÷íîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà òîêà:

dΨ

p′ , J

µ

(0)Ψp = q (2π) −3 (2p ′ 0 ) −1/2 (2p0 ) −1/2 J µ (p ′, p) ,

i

(10.6.4)

ãäå ð0 è ð′0 ýíåðãèè íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ( p0 = p2 + m 2 ), à Jµ(p′,p) — 4-âåêòîð, ÿâëÿþùèéñÿ ôóíêöèåé äâóõ 4-âåêòîðîâ p′µ è pµ. (Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ âûêëàäîê ìû âûäåëèëè èç J ìíîæèòåëü, ðàâíûé çàðÿäó ÷àñòèöû q.) Î÷åâèäíî, ÷òî ñàìûé îáùèé âèä òàêîé ôóíêöèè − ýòî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ p′µ è pµ èëè, ýêâèâàëåíòíî, p′µ + pµ è p′µ − pµ, ñî ñêàëÿðíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îäíàêî çíà÷åíèÿ ñêàëÿðîâ ð2 è ð′2 ôèêñèðîâàíû: ð2 = ð′2 = −m2, òàê ÷òî ñêàëÿðíûå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ìîæíî ïîñòðîèòü èç p′µ è pµ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

612

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè åäèíñòâåííîé âåëè÷èíû ð⋅ð′ èëè, ýêâèâàëåíòíî, âåëè÷èíû k2 ≡ (p − p′)2 = −2m2 − 2 p⋅p′ . (10.6.5) Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ J µ(p′,p) äîëæíà èìåòü âèä

J µ (p, p ′) = (p ′ + p) µ F(k 2 ) + i(p ′ − p) µ H (k 2 ) .

(10.6.6)

Èç òîãî, ÷òî îïåðàòîð Jµ ýðìèòîâ , âûòåêàåò, ÷òî J µ(p′,p)* = J µ(p,p′), òàê ÷òî F(k2) è H(k2) äåéñòâèòåëüíû. Äàëåå, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (ð′ − ð)⋅(ð′ + ð) îáðàùàåòñÿ â íóëü, à (ð′ − ð)2 = k2 â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâíî íóëþ, òàê ÷òî óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ òîêà ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä H(k2) = 0.

(10.6.7)

Êðîìå òîãî, ïîëàãàÿ â ôîðìóëå (10.6.4) ð′ = ð è µ = 0 è ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (10.6.3), íàõîäèì, ÷òî F(0) = 1.

(10.6.8)

Ôóíêöèÿ F(k2) íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûì ôîðìôàêòîðîì ÷àñòèöû. Ñïèí 1/2  ñëó÷àå ñïèíà 1/2 òðåáîâàíèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îáùåìó âèäó îäíî÷àñòè÷íîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà òîêà:

dΨ

p ′,σ ′ , J

µ

(0)Ψp,σ = iq (2π) −3 u (p ′, σ ′)Γ µ (p ′, p) u(p, σ) ,

i

(10.6.9)

ãäå Γµ — 4-âåêòîðíàÿ 4 × 4 ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ âåëè÷èí pν, p′ν è γν, à u − îáû÷íàÿ äèðàêîâñêàÿ êîýôôèöèåíòíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû âûäåëèëè ìíîæèòåëü iq, ÷òîáû íîðìèðîâêà Γµ ñîâïàäàëà ñ ïðèâåäåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

613

10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò

Êàê è ëþáóþ äðóãóþ ìàòðèöó 4×4, ìîæíî ðàçëîæèòü Γµ â ñóïåðïîçèöèþ 16 êîâàðèàíòíûõ ìàòðèö 1, γρ, [γρ,γσ], γ5γρ è γ5. Ïîýòîìó íàèáîëåå îáùèé 4-âåêòîð Γµ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñëåäóþùèõ âåëè÷èí:

1: pµ , p′ µ , γ ρ: γ µ , p µ p/ , p ′ µ p/ , p µ p/ ′, p ′ µ p/ ′, [ γ ρ , γ σ ]: [ γ µ , p/ ], [ γ µ , p/ ′ ], [p/ , p/ ′]p µ , [p/ , p/ ′]p ′ µ , γ 5γ ρ : γ 5 γ ρ ε ρµνσ p ν pσ′ , γ 5: îòñóòñòâóåò, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ïðè êàæäîì ñëàãàåìîì áóäóò ôóíêöèÿìè åäèíñòâåííîé ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû (10.6.5). Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ñèëüíî óïðîùåíî, åñëè èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå Äèðàêà, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò u èu:

*Ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî äëÿ ñëàãàåìûõ p µ p/ , p′ µ p/ , p µ p/ ′ è p′ µ p/ ′, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàìåíåíû, ñîîòâåòñòâåííî, íà ñëàãàåìûå impµ , imp ′ µ , impµ , imp ′ µ , ñîâïàäàþùèå ñ óæå èìåþùèìèñÿ â íàøåì ñïèñêå. Êðîìå òîãî,

[ γ µ , p/ ] = 2γ µ p/ − {γ µ , p/ } = 2γ µ p/ − 2p µ , ÷òî ìîæíî çàìåíèòü íà 2impµ − 2pµ, ò. å. ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ óæå èìåþùèõñÿ ñëàãàåìûõ. Ýòî æå îòíîñèòñÿ ê [ γ µ , p/ ′] . Äàëåå,

[p/ , p/ ′] = −2p/ ′p/ + {p/ , p/ ′} = −2p/ ′p/ + 2p ⋅ p ′, ÷òî ìîæíî çàìåíèòü íà 2m2 + 2p⋅p′ = −k2. Òàêèì îáðàçîì, ñëàãàåìûå [p/ , p/ ′]p µ è [p/ , p/ ′]p ′ µ òàêæå íå äàþò íè÷åãî íîâîãî. Íàêîíåö, ÷òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì γ 5 γ ρ ε ρµνσ =

1 6

i γ µ γ νγ σ + γ σ γ µ γ ν + γ νγ σ γ µ − γ νγ µ γ σ − γ µ γ σ γ ν − γ σ γ νγ µ .

d

i

Ñâîðà÷èâàÿ åãî ñ pν è p′σ è ïåðåñòàâëÿÿ âñå ìíîæèòåëè p/ íàïðàâî, à âñå p/ ′ íàëåâî, âèäèì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå îïÿòü ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîé êîìáèíàöèè pµ, p′µ è γµ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

614

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

u (p ′, σ ′)( ip/ ′ + m) = 0 ,

( ip/ + m) u(p, σ) = 0 .

Òîãäà ìîæíî îòáðîñèòü* âñå ñëàãàåìûå êðîìå òðåõ ïåðâûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ pµ, p′µ è γµ. Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî íà ìàññîâîé îáîëî÷êå äëÿ ôåðìèîíîâ ôóíêöèþ Γµ ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè γµ, pµ è p′µ. Âûáåðåì åå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

LM N

u (p ′, σ ′)Γ µ (p ′, p)u(p, σ ) = u (p ′, σ ′) γ µ F(k 2 ) − +

i (p + p ′ )µ G(k 2 ) 2m

(p − p ′ )µ H (k 2 ) u(p, σ ). 2m

OP Q

(10.6.10)

Èç ýðìèòîâîñòè Jµ(0) ñëåäóåò, ÷òî

βΓ µ † (p ′, p)β = − Γ µ (p ′, p) ,

(10.6.11)

òàê ÷òî F(k2), G(k2) è H(k2) äîëæíû áûòü äåéñòâèòåëüíûìè ôóíêöèÿìè k2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ (10.6.2) àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåòñÿ äëÿ ïåðâûõ äâóõ ñëàãàåìûõ â (10.6.10), òàê êàê

(p ′ − p)µ γ µ = − i ( ip/ ′ + m) − ( ip/ + m) è ( p ′ − p ) ⋅ ( p ′ + p) = p ′ 2 − p 2 .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, (ð′ – p)2 â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó ñîõðàíåíèå òîêà òðåáóåò, ÷òîáû òðåòüå ñëàãàåìîå îòñóòñòâîâàëî: H(k2) = 0.

(10.6.12)

Êðîìå òîãî, óñòðåìëÿÿ ð′ → ð â ôîðìóëàõ (10.6.9) è (10.6.10), íàõîäèì: i µ p G( 0 ) u(p, σ ). Ψp, σ ′ J µ ( 0 )Ψp, σ = iq(2π ) −3 u (p, σ ′) γ µ F( 0 ) − m

d

i

LM N

OP Q

Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî {γ µ , ip/ + m} = 2mγ µ + 2ip µ , ïîëó÷àåì òàêæå, ÷òî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò

u (p, σ ′)γ µ u(p, σ) = −

615

ipµ u (p, σ ′)u(p, σ). m

Íàïîìíèì, ÷òî u (p, σ ′ )u(p, σ ) = δ σσ ′ m p 0 1

è ïîýòîìó

dΨ

p, σ ′ J

µ ( 0 )Ψ p, σ

i = q(2π)

−3 (p µ

p 0 )δ σσ ′ F( 0 ) + G( 0 ) .

Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (10.6.3), ïðèõîäèì ê óñëîâèþ íîðìèðîâêè

F(0) + G(0) = 1 .

(10.6.14)

Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ìàòðèöà Γµ îáû÷íî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâå äðóãèå ìàòðèöû â âèäå

u (p ′, σ ′)Γ µ (p ′, p) u(p, σ) = u (p ′, σ ′) γ µ F1 (k 2 ) +

1 2

i[ γ µ , γ ν ](p ′ − p) ν F2 (k 2 ) u(p, σ) .

(10.6.15)

Ìîæíî ïåðåïèñàòü ìàòðèöó, ñîäåðæàùóþñÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì, ÷åðåç òå ìàòðèöû, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü ïðè îïðåäåëåíèè F(k2) è G(k2):

u (p ′, σ ′) 21 i[ γ µ , γ ν ](p ′ − p) ν u(p, σ) = u (p ′, σ ′) − ip/ ′γ µ +

1 2

i{ γ µ , p/ ′} − iγ µ p/ +

1 2

i{ γ µ , p/ } u(p, σ) . (10.6.16)

= u (p ′, σ ′) i(p ′ µ + p µ ) + 2mγ µ u(p, σ) . Ñðàâíèâàÿ (10.6.15) ñ (10.6.10), íàõîäèì:

F(k 2 ) = F1 (k 2 ) + 2mF2 (k 2 ) , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.6.17)

616

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

G(k 2 ) = −2mF2 (k 2 ) .

(10.6.18)

Óñëîâèå íîðìèðîâêè (10.6.14) ïðèíèìàåò òåïåðü âèä F1(0) = 1. ×òîáû âûðàçèòü ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèöû ÷åðåç åå ôîðìôàêòîðû, ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü âåðøèííîé ôóíêöèè â ñëó÷àå ìàëûõ èìïóëüñîâ |p|, |p′| n m. Äëÿ ýòîãî óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (10.6.16) è ïåðåïèñàòü ïðåäñòàâëåíèå (10.6.10) (ñ Í = 0) åùå â îäíîì âèäå: −i u (p ′, σ ′)Γ µ (p ′, p) u(p, σ) = u (p ′, σ ′) (p + p ′) µ {F(k 2 ) + G(k 2 )} 2m (10.6.19) − 21 [ γ µ , γ ν ](p ′ − p) ν F(k 2 ) u(p, σ) . Ïðè íóëåâûõ èìïóëüñàõ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîììóòàòîðîâ äèðàêîâñêèõ ìàòðèö îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (5.4.19) è (5.4.20):

F I GH JK ( 21 )

u (0, σ ′) γ i , γ j u(0, σ) = 4iε ijk Jk

,

u (0, σ ′) γ i , γ 0 u(0, σ) = 0,

σ ′,σ

ãäå J(1) = 1σ − ìàòðèöà óãëîâîãî ìîìåíòà äëÿ ñïèíà 1/2. Îòñþäà â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëûì èìïóëüñàì ïîëó÷àåì

u (p ′, σ ′)Γ (p ′, p) u(p, σ) →

1 ( 1) [(p − p ′) × J 2 ]σ ′σ F(0) . m

(10.6.20)

Ïîýòîìó â ñëó÷àå î÷åíü ñëàáîãî, íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè âíåøíåãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà À(x) ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ H ′ = − z d 3xJ(x) ⋅ A(x) ìåæäó îäíî÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè ñ ìàëûì èìïóëüñîì ðàâåí p ′, σ ′ , H ′Ψp, σ

dΨ

(0) i = −miqF (2π) 3

=−

qF(0) m(2π)3

z z

d 3x e i(p − p′)⋅x A(x) ⋅ [(p − p ′) × J d 3 x e i ( p − p ′ ) ⋅ x (J

( 21 )

( 21 )

]σ ′σ

) σ ′σ ⋅ B(x) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.6.21)

617

10.6. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ôîðìôàêòîðû è ìàãíèòíûé ìîìåíò

ãäå B = ∇ × A − ìàãíèòíîå ïîëå.  ïðåäåëå ìåäëåííî ìåíÿþùåãîñÿ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèíèìàåò âèä p ′, σ ′ , H ′Ψp, σ = −

dΨ

i

qF(0) ( 21 ) (J ) σ ′σ ⋅ Bδ 3 (p − p ′) . m

(10.6.22)

Ìàãíèòíûé ìîìåíò µ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòèöû ñî ñïèíîì j îïðåäåëÿåòñÿ óòâåðæäåíèåì, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñî ñëàáûì ñòàòè÷åñêèì ìåäëåííî ìåíÿþùèìñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì èìååò âèä p ′, σ ′ , H ′Ψp, σ

dΨ

i = − µj (J

( 21 )

) σ ′σ ⋅ Bδ 3 (p − p ′) .

(10.6.23)

Ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëà (10.6.22) äàåò ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû ñ çàðÿäîì q, ìàññîé m è ñïèíîì 1/2:

µ=

qF(0) . 2m

(10.6.24)

Ýòî âûðàæåíèå ñîäåðæèò êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé çíàìåíèòûé ðåçóëüòàò Äèðàêà 7: äëÿ ÷àñòèöû ñïèíà 1/2 µ = q/2m áåç ó÷åòà ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ôîðìôàêòîðû F(k2) è G(k2) ïðîòîíà ìîæíî èçìåðèòü ïðè k2 > 0 ïóòåì ñðàâíåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà ïðîòîíàõ ñ ôîðìóëîé Ðîçåíáëþòà 8 äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå:

2E dσ e4 cos2 (θ 2) = 1 + 0 sin 2 (θ 2) dΩ 4(4π)2 E02 sin 4 (θ 2) m

LM N

×

RScF(k ) + G(k )h T 2

2

2

+

OP Q

−1

hUVW

k2 2F 2 (k 2 )tg2 (θ 2) + G(k 2 ) , 4m 2

c

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

618

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ãäå Å0 − ýíåðãèÿ íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî Å0 . må), θ − óãîë ðàññåÿíèÿ, m – ìàññà ïðîòîíà è

k2 =

4E02 sin 2 (θ 2) . 1 + (2E0 m) sin 2 (θ 2)

10.7. Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà−Ëåìàíà *  ðàçäåëå 10.2 ìû âèäåëè, ÷òî íàëè÷èå îäíî÷àñòè÷íûõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðèâîäèò ê ïîëþñàì â ôóðüå-îáðàçàõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ õðîíîëîãè÷åñêèõ ïðîèçâåäåíèé òèïà (10.2.1). Ìíîãî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïðèâîäÿò ê áîëåå ñëîæíûì îñîáåííîñòÿì, êîòîðûå òðóäíî îïèñàòü â îáùåì ñëó÷àå. Îäíàêî â ÷àñòíîì ñëó÷àå ñðåäíèõ ïî âàêóóìó, ñîäåðæàùèõ òîëüêî äâà îïåðàòîðà, èìååòñÿ óäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå, ÿâíî äåìîíñòðèðóþùåå àíàëèòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ôóðüå-îáðàçîâ. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñóùåñòâóåò, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðîïàãàòîðîâ, êîãäà äâóìÿ îïåðàòîðàìè ÿâëÿþòñÿ ïîëÿ, îòâå÷àþùèå ýëåìåíòàðíûì ÷àñòèöàì.  ñîåäèíåíèè ñ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèìè òðåáîâàíèÿìè ïîëîæèòåëüíîñòè ** òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ïðèâîäèò ê èíòåðåñíûì îãðàíè÷åíèÿì íà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðîâ è âåëè÷èíó êîíñòàíò ïåðåíîðìèðîâêè. Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíûé ñêàëÿðíûé ãåéçåíáåðãîâñêèé îïåðàòîð Φ(x), êîòîðûé ìîæåò êàê áûòü, òàê è íå áûòü ïîëåì, îòâå÷àþùèì ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöå. Ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò ïðîèçâåäåíèÿ Φ(x)Φ†(y) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Φ( x )Φ † ( y)

0

=

∑ 〈 0| Φ(x)| n 〉〈 n| Φ † ( y)| 0 〉 ,

(10.7.1)

n

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè. ** Èìååòñÿ â âèäó òðåáîâàíèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìåòðèêè ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

10.7. Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà–Ëåìàíà

619

ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî ëþáîìó ïîëíîìó íàáîðó ñîñòîÿíèé. (Ñóììà ïî n âêëþ÷àåò èíòåãðàëû ïî íåïðåðûâíûì è ñóììû ïî äèñêðåòíûì ïåðåìåííûì.) Âûáèðàÿ ýòè ñîñòîÿíèÿ êàê ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ 4-âåêòîðà èìïóëüñà Pµ, íà îñíîâàíèè òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî

〈 0| Φ(x )| n 〉 = exp( ipn ⋅ x )〈 0| Φ( 0 )| n 〉, 〈 n| Φ † ( y)| 0 〉 = exp( − ipn ⋅ y)〈 n| Φ † ( 0 )| 0 〉 ,

(10.7.2)

è ïîýòîìó Φ(x )Φ † ( y)

0

=

∑ expb ipn ⋅ (x − y)g| 〈 0| Φ(x)| n 〉|2 . n

(10.7.3)

Óäîáíî ïåðåïèñàòü ýòî âûðàæåíèå, ââåäÿ ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ. Çàìåòèì, ÷òî ñóììà ∑ n δ 4 (p − pn )| 〈0| Φ(x)| n 〉|2 åñòü ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ 4-âåêòîðà pµ è ïîýòîìó ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò ð2 è (ïðè p2 ≤ 0) îò çíàêà p0. Íà ñàìîì äåëå, äëÿ âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé â (10.7.3) p2 ≤ 0 è ð0 > 0, òàê ÷òî ñóììà ïðèíèìàåò âèä

∑ δ4 (p − pn )| 〈 0| Φ( 0)| n 〉|2 = (2π)−3 θ(p 0 )ρ(−p2 ),

(10.7.4)

n

ãäå ρ(−p2) = 0 äëÿ p2 > 0. (Ìíîæèòåëü (2π)–3 âûäåëåí èç ρ äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ âûêëàäîê.) Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ρ(−p2) î÷åâèäíî äåéñòâèòåëüíà è ïîëîæèòåëüíà. Ñ ó÷åòîì äàííîãî îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèå (10.7.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

z

= (2π) −3 d 4 p exp[ip ⋅ (x − y)]θ(p0 )ρ(− p2 )

cΦ(x)Φ (y)h †

0

= (2π)

−3

∞

d p dµ 2 exp[ip ⋅ (x − y)]θ(p0 )ρ(µ 2 )δ(p2 + µ 2 ) . (10.7.5)

z z 4

0

Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ ïî pµ è µ2, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

620

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Φ(x )Φ † ( y)

=

0

∞

z

dµ 2ρ(µ 2 )∆ + (x − y; µ 2 ) ,

(10.7.6)

0

ãäå ∆+ — çíàêîìàÿ íàì ôóíêöèÿ

∆ + (x − y; µ 2 ) ≡ (2π) −3 d 4 p exp[ip ⋅ (x − y)]θ(p0 )δ(p2 + µ 2 ) . (10.7.7)

z

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî †

Φ ( y)Φ(x )

0

=

∞

z

dµ 2 ρ ( µ 2 ) ∆ + ( y − x ; µ 2 ) ,

(10.7.8)

0

ãäå âòîðàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ñîîòíîøåíèåì

∑ δ4 (p − pn )| 〈 0| Φ † ( 0)| n 〉|2 = (2π)−3 θ(p 0 )ρ( −p2 ).

(10.7.9)

n

Èñïîëüçóåì òåïåðü òðåáîâàíèå ïðè÷èííîñòè, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî êîììóòàòîð [Φ(x),Φ†(y)] îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè òî÷êè x è y ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì. Ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò êîììóòàòîðà èìååò âèä [ Φ(x )Φ † ( y)]

0

=

∞

z

dµ 2 ρ(µ 2 )∆ + (x − y; µ 2 ) − ρ(µ 2 )∆ + ( y − x; µ 2 ) . (10.7.10)

d

i

0

Êàê óêàçûâàëîñü â ðàçäåëå 5.2, åñëè èíòåðâàë ìåæäó x è y ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáåí, ôóíêöèÿ ∆+(x − y) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, íî ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàæåíèå (10.7.10) îáðàòèëîñü â íóëü ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûõ èíòåðâàëàõ, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ

ρ(µ 2 ) = ρ(µ 2 ) .

(10.7.11)

Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ÑÐÒ-òåîðåìû, äîêàçàííîé çäåñü áåç îáðàùåíèÿ ê òåîðèè âîçìóùåíèé: äëÿ ëþáûõ ñîñòîÿíèé ñ p2 = −µ2, èìåþùèõ êâàíòîâûå ÷èñëà îïåðàòîðà Φ, äîëæíû íàéòèñü ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿ ñ p2 = −µ2, èìåþùèå êâàíòîâûå ÷èñëà îïåðàòîðà Φ†. На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

621

10.7. Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà–Ëåìàíà

Ñ ïîìîùüþ (10.7.11) ñðåäíåå ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå ∞

z

〈T Φ(x)Φ † ( y) 〉 0 = − i dµ 2ρ(µ 2 ) ∆ F (x − y; µ 2 ) ,

n

s

(10.7.12)

0

ãäå ∆F(x − y; µ2) åñòü ôåéíìàíîâñêèé ïðîïàãàòîð äëÿ áåññïèíîâîé ÷àñòèöû ìàññîé µ:

− i∆ F (x − y; µ 2 ) ≡ θ(x 0 − y0 ) ∆ + (x − y; µ 2 ) − θ( y0 − x 0 ) ∆ + ( y − x; µ 2 ) . (10.7.13) Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â ðàçäåëå 10.3 äëÿ òî÷íûõ ïðîïàãàòîðîâ, ââîäèì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèþ

− i∆ ′(p) ≡

z

d 4 x exp − ip ⋅ (x − y) 〈T Φ(x)Φ† ( y) 〉0 .

n

s

(10.7.14)

Íàïîìíèì, ÷òî

z

d 4 x exp − ip ⋅ (x − y) ∆ F (x − y; µ 2 ) =

1 . p + µ 2 − iε 2

(10.7.15)

Ýòî ïðèâîäèò ê èñêîìîìó ñïåêòðàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ 9: *Íà ñàìîì äåëå, íåò äàæå óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî ∆′(p) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |p2| → ∞, õîòÿ, êàçàëîñü áû, ýòî ñëåäóåò èç ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïðîáëåìà ñâÿçàíà ñ èçìåíåíèåì ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî pµ è µ2. Îïðåäåëåííî ìîæíî óòâåðæäàòü (ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ñëåäóþùåãî ðàçäåëà), ÷òî ∆′(p) åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ −ð2 ñî ñêà÷êîì âäîëü ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè −ð2 = µ2, ðàâíûì πρ(µ2). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ∆′(p) ìîæíî çàïèñàòü äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ñî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèåé ρ(µ2) è âîçìîæíûìè âû÷èòàíèÿìè: n ∆ ′(p) = P(p2 ) + ( − p2 + µ 2 0)

2 X ∞ ρ(µ2 ) YZ (µ2 + µ20 ) n p2 +dµµ2 − iε . 0

ãäå n − ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, µ02 − ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà, à P(p2) − çàâèñÿùèé îò µ02 ïîëèíîì ïî ð2 ïîðÿäêà n−1, îòñóòñòâóþùèé ïðè n = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

622

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû ∞

X ∆ ′(p) = Y ρ(µ ) Z p 2

2

dµ 2 . + µ 2 − iε

(10.7.16)

0

Ïåðâûì íåìåäëåííûì ñëåäñòâèåì ýòîãî ðåçóëüòàòà â ñî÷åòàíèè ñ ïîëîæèòåëüíîñòüþ ρ(µ2) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ∆′(p) íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè |p2| → ∞ áûñòðåå, ÷åì ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð 1/(p2+ m2 − iε) *. Âðåìÿ îò âðåìåíè ïðåäëàãàþò âêëþ÷èòü â íåâîçìóùåííûé ëàãðàíæèàí ñëàãàåìûå ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, ÷òî ïðèâåëî áû ê óáûâàíèþ ïðîïàãàòîðà áûñòðåå ÷åì 1/p2 ïðè |p2| → ∞. Îäíàêî ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî îáÿçàòåëüíî âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèì ïîñòóëàòîì ïîëîæèòåëüíîñòè. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âìåñòå ñ îäíîâðåìåííû1ìè êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âûâîäà èíòåðåñíîãî ïðàâèëà ñóìì äëÿ ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè. Åñëè Φ(x) − îáû÷íûì îáðàçîì íîðìèðîâàííûé (íî íå ïåðåíîðìèðîâàííûé) êàíîíè÷åñêèé îïåðàòîð ïîëÿ, òî

LM ∂Φ(x, t) , Φ (y, t)OP = − iδ (x − y) . N ∂t Q †

3

(10.7.17)

Çàìåòèì, ÷òî

∂ ∆ + (x − y)| x0 = y0 = − iδ 3 (x − y) , ∂x 0 òàê ÷òî èç ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (10.7.10) âìåñòå ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè (10.7.17) âûòåêàåò, ÷òî

z

∞

0

ρ(µ 2 )dµ 2 = 1 .

(10.7.18)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè |p2| → ∞ ïðîïàãàòîð (10.7.16) íåïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, îòâå÷àþùåå ñâîáîäíîìó ïîëþ:

∆ ′(p) →

1 . p2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

623

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

Òàêîé ðåçóëüòàò èìååò ñìûñë òîëüêî â ðàìêàõ ïîäõîäÿùåé ñõåìû ðåãóëÿðèçàöèè óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé.  ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé íåïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ èìåþò ðàñõîäÿùèåñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû, òàê ÷òî èõ ïðîïàãàòîðû ïëîõî îïðåäåëåíû. Ðàññìîòðèì òåïåðü âîçìîæíîñòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå |k〉 ìàññîé m, èìåþùåå íåíóëåâîé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ñ ñîñòîÿíèåì 〈0|Φ(0). Èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè âûòåêàåò, ÷òî ýòîò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èìååò âèä

0| Φ(0)| k = (2π) −3/2 2 k 2 + m 2

e

j

−1/2

N,

(10.7.19)

ãäå N — êîíñòàíòà. Ñîãëàñíî îáùèì ðåçóëüòàòàì ðàçäåëà 10.3 ïðîïàãàòîð ∆′(p) íåïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé äîëæåí èìåòü ïîëþñ ïðè p2 → −m2 ñ âû÷åòîì Z ≡ |N|2 > 0. Îòñþäà

ρ(µ 2 ) = Zδ(µ 2 − m 2 ) + σ(µ 2 ) ,

(10.7.20)

ãäå σ(µ2) ≥ 0 — âêëàä ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (10.7.18) ïîëó÷àåì 1= Z+

òàê ÷òî

z

∞

0

σ(µ 2 )dµ 2 ,

Z ≤ 1,

(10.7.21)

(10.7.22)

ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðîé ñîñòîÿíèå 〈0|Φ(x) íå èìååò íåíóëåâûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ñ ìíîãî÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ïîñêîëüêó êîíñòàíòà Z ïîëîæèòåëüíà, ôîðìóëó (10.7.21) ìîæíî ðàñìàòðèâàòü êàê óñòàíàâëèâàþùóþ âåðõíþþ ãðàíèöó íà ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëÿ Φ ñ ìíîãî÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè:

z

∞

0

σ(µ 2 )dµ 2 ≤ 1 ,

(10.7.23)

*  ôèçèêå êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä ýòîò ïðèåì èçâåñòåí êàê «ïðåîáðàçîâàíèå Õàááàðäà−Ñòðàòîíîâè÷à» 11. Îíî áóäåò èñïîëüçîâàíî äëÿ ââåäåíèÿ ïîëåé ñïàðåííûõ ýëåêòðîíîâ ïðè îáñóæäåíèè ñâåðõïðîâîäèìîñòè â ò. II.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

624

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè Z = 0. Ïðåäåë Z = 0 èìååò èíòåðåñíóþ èíòåðïðåòàöèþ êàê óñëîâèå òîãî, ÷òî ÷àñòèöà íå ýëåìåíòàðíà, à ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé 10.  äàííîì êîíòåêñòå «ñîñòàâíàÿ» ÷àñòèöà ïîíèìàåòñÿ êàê òàêàÿ ÷àñòèöà, ÷üå ïîëå íå âõîäèò â ëàãðàíæèàí. Ðàññìîòðèì òàêóþ ÷àñòèöó, íàïðèìåð, íåéòðàëüíóþ ÷àñòèöó ñïèíà íóëü, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà óíè÷òîæàåòñÿ îïåðàòîðîì F(Ψ) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ïîñòðîåííûì èç äðóãèõ ïîëåé. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ââåñòè ïîëå Φ, îòâå÷àþùåå òàêîé ÷àñòèöå, äîáàâèâ â ëàãðàíæèàí ñëàãàåìîå âèäà* ∆L = (Φ − F(Ψ))2, ïîñêîëüêó ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî Φ ìîæíî âçÿòü, ïîëîæèâ Φ ðàâíûì çíà÷åíèþ â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå Φ = F(Ψ), â êîòîðîé ∆L = 0. Íî ïðåäïîëîæèì, ÷òî âìåñòî ýòîãî ìû íàïèøåì ∆L =∆L0 + ∆L1, ãäå ∆L0 ≡ −1∂ µ Φ∂ µ Φ − 1m 2 Φ2 — îáû÷íûé ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîãî ïîëÿ, è ðàññìîòðèì ∆L1  ≡ ∆L −∆L0 êàê âçàèìîäåéñòâèå. Ñëàãàåìîå 1∂µΦ∂µΦ âî âçàèìîäåéñòâèè íå ñîäåðæèò íè÷åãî íîâîãî. Ìû ïîëó÷àëè òàêîå ñëàãàåìîå, óìíîæåííîå íà (1 − Z), â ôîðìóëå (10.3.12). Åäèíñòâåííàÿ íîâîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òåïåðü Z = 0. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïîäáèðàòü êîíñòàíòó Z òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ ïåðåíîðìèðîâêè ïîëÿ â âèäå ∏*′(0) = 0, ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü óñëîâèå Z = 0 êàê óñëîâèå íà êîíñòàíòû ñâÿçè ñîñòàâíîé ÷àñòèöû. Ê ñîæàëåíèþ, ïðèìåíèòü òàêóþ ïðîöåäóðó â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ íå óäàåòñÿ, ïîñêîëüêó, êàê ìû âèäåëè, óñëîâèå Z = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà âçàèìîäåéñòâóåò ìàêñèìàëüíî ñèëüíî ñî ñâîèìè êîíñòèòóåíòàìè *, à ýòî èñêëþ÷àåò ïðèìåíåíèå òåîðèè âîçìóùåíèé. Óñëîâèå Z = 0 îêàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíî ïîëåçíûì â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íàïðèìåð, îíî ôèêñèðóåò êîíñòàíòó ñâÿçè äåéòðîíà ñ íåéòðîíîì è ïðîòîíîì 12. Õîòÿ ìû âûâåëè ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå òîëüêî äëÿ áåññïèíîâûõ ïîëåé, ðåçóëüòàòû ëåãêî îáîáùàþòñÿ íà äðóãèå ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ìû óâèäèì â ñëåäóþùåé ãëàâå, ÷òî â ïîðÿäêå å2 ìíîæèòåëü Z äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (îáû÷íî îáîçíà÷àåìûé Z3) äàåòñÿ ôîðìóëîé

*  ðóññêîì ÿçûêå çàêðåïèëàñü òðàíñëèòåðàöèÿ àíãëèéñêîãî òåðìèíà constituents, îáîçíà÷àþùåãî ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû, ñîñòàâëÿþùèå äàííóþ ñîñòàâíóþ ÷àñòèöó. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

625

10.7. Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà–Ëåìàíà

Z3 = 1 −

e2 Λ2 ln , me2 12π 2

FG IJ H K

(ãäå Λ . me — óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå) â ñîãëàñèè ñ îãðàíè÷åíèåì (10.7.22).

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ * Ïðîâàë ïåðâûõ ïîïûòîê ïðèìåíèòü ôîðìàëèçì òåîðèè âîçìóùåíèé â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ê ñëàáûì è ñèëüíûì ÿäåðíûì âçàèìîäåéñòâèÿì ïðèâåë òåîðåòèêîâ â êîíöå 1950-õ ãîäîâ ê èäåå îá èñïîëüçîâàíèè àíàëèòè÷íîñòè è óíèòàðíîñòè àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ äëÿ âûâîäà îáùèõ íåïåðòóðáàòèâíûõ ðåçóëüòàòîâ, íå çàâèñÿùèõ îò êîíêðåòíîé òåîðèè ïîëÿ. Ýòî íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé íà÷àëîñü ñ âîçðîæäåíèÿ èíòåðåñà ê äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèÿì.  ñâîåì ïåðâîíà÷àëüíîì âèäå 13 äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿëî ñîáîé ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ â âèäå èíòåãðàëà îò åãî ìíèìîé ÷àñòè. Ôîðìóëà áûëà ïîëó÷åíà êàê ñëåäñòâèå ñâîéñòâà àíàëèòè÷íîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ êàê ôóíêöèè ÷àñòîòû, êîòîðîå âûòåêàëî èç óñëîâèÿ, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèãíàëû â ñðåäå íå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ áûñòðåå, ÷åì â âàêóóìå. Åñëè âûðàçèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ÷åðåç àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ ôîòîíà âïåðåä, òî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âïåðåä ñ èíòåãðàëîì îò åå ìíèìîé ÷àñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè, ñ èíòåãðàëîì îò ïîëíîãî ñå÷åíèÿ. Îäíèì èç âäîõíîâëÿþùèõ ñâîéñòâ òàêîãî ñîîòíîøåíèÿ áûëî òî, ÷òî îíî ïðåäñòàâëÿëî àëüòåðíàòèâó îáû÷íîé òåîðèè âîçìóùåíèé: çàäàâàÿ àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ â ïîðÿäêå å2, ìîæíî áûëî âû÷èñëèòü ñå÷åíèå è ìíèìóþ ÷àñòü àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ â ïîðÿäêå å4, à çàòåì ñ ïîìîùüþ äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ íàéòè äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âïåðåä â ýòîì æå ïîðÿäêå, íå âû÷èñëÿÿ ïðè ýòîì íèêàêèõ ïåòëåâûõ äèàãðàìì.

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

626

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ðàçâèòèå ñîâðåìåííîãî ïîäõîäà ê äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèÿì íà÷àëîñü â 1954 ãîäó ðàáîòîé Ãåëë-Ìàííà, Ãîëüäáåðãåðà è Òèððèíãà 14. Âìåñòî ðàññìîòðåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ñðåäå, îíè âûâåëè ñâîéñòâî àíàëèòè÷íîñòè àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ íåïîñðåäñòâåííî èç óñëîâèÿ ìèêðîïðè÷èííîñòè, óòâåðæäàþùåãî, ÷òî êîììóòàòîðû îïåðàòîðîâ ïîëÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü, êîãäà òî÷êè, â êîòîðûõ ýòè îïåðàòîðû çàäàíû, ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì. Âñêîðå òàêîé ïîäõîä ïîçâîëèë Ãîëüäáåðãåðó 15 âûâåñòè î÷åíü ïîëåçíîå äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ïèîí− íóêëîííîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âïåðåä. ×òîáû óâèäåòü, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ìèêðîïðè÷èííîñòè, ðàññìîòðèì â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ðàññåÿíèå íà óãîë íóëü áåçìàññîâîãî áîçîíà ëþáîãî ñïèíà íà ïðîèçâîëüíîé ìèøåíè α ìàññîé mα > 0 è èìïóëüñîì pα = 0. (Êàê îáñóæäàåòñÿ â ò. II, ýòîò ïðèìåð èìååò âàæíûå ïðèëîæåíèÿ äëÿ ðàññåÿíèÿ íå òîëüêî ôîòîíîâ, íî è ïèîíîâ â ïðåäåëå mπ = 0.) Äâóêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû (10.3.4) èëè òåîðåìû Ëåìàíà−Ñèìàí÷èêà-Öèììåðìàíà 3 ìàòðè÷íûé ýëåìåíò S-ìàòðèöû â ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå: 1 S= lim k2 → 0 lim k ′2 → 0 3 (2π) 4ωω ′ | N|2 (10.8.1) × d 4 x d 4 y e − ik ′⋅ ye ik ⋅x ( i9 y )(i9 x )〈α| T{ A† ( y), A(x)}| α 〉 .

z z

Çäåñü k è k′ − íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé 4-èìïóëüñû áîçîíà, ïðè÷åì ω = k0, ω′ = k′0; A(x) − ïðîèçâîëüíûé ãåéçåíáåðãîâñêèé îïåðàòîð ñ íåèñ÷åçàþùèì ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì

〈VAC|A(x)|k〉 = (2π)−3/2(2ω)−1/2Neik⋅x ìåæäó îäíîáîçîííûì ñîñòîÿíèåì |k〉 è âàêóóìîì, à N − êîíñòàíòà. Ïðè ðàññåÿíèè ôîòîíà îïåðàòîð A(x) ìîæåò áûòü îäíîé èç ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à â ñëó÷àå ðàññåÿíèÿ áåçìàññîâûõ ïèîíîâ − ïñåâäîñêàëÿðíîé ôóíêöèåé àäðîííûõ ïîëåé. Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû −i9x è −i9y âñòàâëåíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîÿâèëèñü ìíîæèòåëè ik′2 è ik2, íåîáõîäèìûå äëÿ ñîêðàùåíèÿ áîçîííûõ ïðîïàãàòîðîâ, îòâå÷àþùèõ âíåøíèì ëèíèÿì. Ïîäåéñòâîâàâ ýòèìè îïåðàòîðàìè íà A†(y) è A(x), ïîëó÷àåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

627

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

S=

−1 (2π )

3

4ωω ′ | N|2

lim k2 → 0 lim k ′2 → 0

× d 4 x d 4 y e − ik ′ ⋅ ye ik ⋅x 〈α| T{ J † ( y), J(x )}| α 〉 + ÎÂÊ ,

z z

(10.8.2)

ãäå J(x) ≡ 9xA(x), à «ÎÂÊ» îçíà÷àåò ôóðüå-îáðàç ñëàãàåìûõ îò îäíîâðåìåííûõ êîììóòàòîðîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè äåéñòâèè ïðîèçâîäíîé íà ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ â õðîíîëîãè÷åñêîì ïðîèçâåäåíèè. Êîììóòàòîðû îïåðàòîðîâ òèïà A(x) è A†(y) (èëè èõ ïðîèçâîäíûõ) ïðè x0 = y0 îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè x  ≠ y, òàê ÷òî ñëàãàåìîå «ÎÂÊ» åñòü ôóðüå-îáðàç äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî íà δ4(x − y), è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîé ôóíêöèåé 4-èìïóëüñîâ áîçîíîâ. Íàñ èíòåðåñóþò àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà S-ìàòðèöû, òàê ÷òî äåòàëüíûé âèä ýòîãî ïîëèíîìà íåñóùåñòâåí.  ñèëó òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (10.8.2) S-ìàòðèöû ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå S = –2πiδ4(k′ − k)M(ω), ãäå

M(ω) =

−i F(ω) , 2ω| N|2

F(ω ) ≡ d 4 x e iωl ⋅x 〈α| T{J † ( 0 ), J(x)}| α 〉 + ÎÂÊ ,

z

(10.8.3) (10.8.4)

ïðè ñîãëàøåíèè, ÷òî kµ = ωlµ, ãäå l − ôèêñèðîâàííûé 4-âåêòîð, òàêîé, ÷òî lµlµ = 0 è l0 = 1. Õðîíîëîãè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè ïåðåïèñàòü ÷åðåç êîììóòàòîðû:

T{ J † (0), J(x)} = θ(− x 0 )[ J † (0), J(x)] + J(x) J † (0) = −θ(x 0 )[ J † (0), J(x)] + J † (0) J(x) .

(10.8.5)

Ñîîòâåòñòâåííî,

F(ω ) = FA (ω ) + F+ (ω ) = FR (ω ) + F− (ω ) , ãäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(10.8.6)

628

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

FA (ω ) ≡ d 4 x θ( − x 0 )〈α| [ J † ( 0 ), J(x)]| α 〉e iωl ⋅x + ÎÂÊ ,

(10.8.7)

FR (ω ) ≡ − d 4 x θ(x 0 )〈α| [ J † ( 0 ), J(x)]| α 〉e iωl ⋅x + ÎÂÊ ,

(10.8.8)

z

z

F+ (ω) ≡ F− (ω) ≡

z z

d 4 x 〈α| J(x) J † (0)| α 〉e iωl ⋅x ,

(10.8.9)

d 4x 〈α| J † (0) J(x)| α 〉e iωl ⋅x .

(10.8.10)

Óñëîâèå ìèêðîïðè÷èííîñòè óòâåðæäàåò, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëàõ (10.8.7) è (10.8.8) îáðàùàþòñÿ â íóëü, åñëè òîëüêî xµ íå íàõîäèòñÿ âíóòðè ñâåòîâîãî êîíóñà. Òîãäà íàëè÷èå ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî xµ â ôîðìóëå (10.8.7) íàõîäèòñÿ â ñâåòîâîì êîíóñå ïðîøëîãî, è x⋅l > 0, à â ôîðìóëå (10.8.8) — â ïåðåäíåì ñâåòîâîì êîíóñå, è x⋅l < 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî FA(ω) àíàëèòè÷íà ïðè Im ω > 0, à FR(ω) àíàëèòè÷íà ïðè Im ω < 0, òàê êàê â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìíîæèòåëü eiωl⋅x îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ïî xµ. (Íàïîìíèì, ÷òî ñëàãàåìîå «ÎÂÊ» ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì è ïîýòîìó àíàëèòè÷íî âî âñåõ êîíå÷íûõ òî÷êàõ.) Ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ

F (ω ) ≡

RSF (ω) , TF (ω) , A

Im ω > 0,

R

Im ω < 0,

(10.8.11)

àíàëèòè÷íóþ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ω, çà èñêëþ÷åíèåì ðàçðåçà âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè. Âûâåäåì òåïåðü äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (10.8.6) ñêà÷îê F (ω) íà ðàçðåçå ïðè ëþáîì äåéñòâèòåëüíîì Å ðàâåí F (E + iε) − F (E − iε) = FA (E) − FR (E) = F− (E) − F+ (E) . (10.8.12)

Åñëè F (ω)/ωn îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |ω| → ∞ êàê â âåðõíåé, òàê è â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, òî ïîäåëèâ ýòó ôóíêöèþ íà ëþáîé ïîëèíîì P(ω) ïîðÿäêà n, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |ω| → ∞ è àíàëèòè÷íà âåçäå, çà èñêëþ÷åíèåì ðàçðåçà âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè è ïîëþñîâ â íóëÿõ ωn ïîëèíîìà P(ω). (Åñëè ñàìà F (ω) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |ω| → ∞, ìîæíî âçÿòü P(ω) = 1.) Ñîãëàñíî òåîðåìå î âû÷åòàõ, èìååì òîãäà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

629

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

F (ω) + P(ω)

F (ω )

∑ (ω ν − ω)Pν ′(ω ν ) = 2πi XYZ (z − ω)P(z) , 1

F (z)dz

ν

(10.8.13)

ãäå ω — ëþáàÿ òî÷êà âíå äåéñòâèòåëüíîé îñè, à Ñ − êîíòóð, ñîñòîÿùèé èõ äâóõ êóñêîâ: îäèí ïðîõîäèò íàä äåéñòâèòåëüíîé îñüþ îò −∞ + iε äî +∞ + iε è çàìûêàåòñÿ ïî áîëüøîìó ïîëóêðóãó â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè íàçàä ê −∞ + iε, à äðóãîé ïðîõîäèò ïîä äåéñòâèòåëüíîé îñüþ îò +∞ − iε äî −∞ − iε è çàìûêàåòñÿ ïî áîëüøîìó ïîëóêðóãó â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè íàçàä ê +∞ − iε. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F(z)/P(z) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè |z| → ∞, âêëàäîì îò áîëüøèõ ïîëóêðóãîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ñ ó÷åòîì (10.8.12) ôîðìóëà (10.8.13) ïðèíèìàåò âèä: F (ω) = Q(ω) +

P( ω ) 2πi

+∞

F− (E) − F+ (E) dE , −∞ (E − ω)P(E)

XY Z

(10.8.14)

ãäå Q(ω) — ïîëèíîì (n − 1)-îé ñòåïåíè: Q(ω) ≡ − P(ω)

F (ω )

∑ (ω ν − ω)Pν ′(ω ν ) . ν

Ãîâîðÿò, ÷òî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå òàêîãî âèäà, ãäå P(ω) è Q(ω) èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ïîðÿäîê n è n − 1, èìååò n âû÷èòàíèé. Åñëè ìîæíî ïîëîæèòü Ð = 1, òî Q = 0, è äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ áåçâû÷èòàòåëüíûì. Åñëè òåïåðü óñòðåìèòü ω ê äåéñòâèòåëüíîé îñè ñâåðõó, òî èç (10.8.14) ïîëó÷àåì: FA (ω) = Q(ω) +

P(ω) 2πi

+∞

F− (E) − F+ (E) dE . −∞ (E − ω − iε)P(E)

XY Z

(10.8.15)

Âñïîìèíàÿ ôîðìóëû (10.8.6) è (3.1.25), íàõîäèì: F(ω) = Q(ω) +

P(ω) 1 1 F− (ω) + F+ (ω) + 2 2 2πi

+∞

F− (E) − F+ (E) dE , (10.8.16) −∞ (E − ω)P(E)

XY Z

ãäå 1/(E − ω) ïîíèìàåòñÿ òåïåðü â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ P/(E − ω).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

630

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëåçåí, ïîñêîëüêó ôóíêöèè F±(E) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç èçìåðÿåìûå ñå÷åíèÿ. Ñóììèðóÿ â ôîðìóëàõ (10.8.9) è (10.8.10) ïî ïîëíîìó íàáîðó ìíîãî÷àñòè÷íûõ ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé β (âêëþ÷àÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ β) è âíîâü èñïîëüçóÿ òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü, èìååì:

F+ (E) = (2π) 4

∑ | 〈β| J(0)† | α 〉|2 δ 4 (−pα + El + pβ ) ,

(10.8.17)

∑ | 〈β| J(0)| α 〉|2 δ 4 (pα + El − pβ ) .

(10.8.18)

β

F− (E) = (2π) 4

β

Îäíàêî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïîãëîùåíèÿ áåçìàññîâîãî ñêàëÿðíîãî áîçîíà  â ðåàêöèè B + α → β èëè åãî àíòè÷àñòèöû Âñ â ðåàêöèè Bc + α → β èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä (2π) 4 −2iπM Bc + α → β = 〈β| J(0)† | α 〉 , (10.8.19) 3/2 (2π) 2E Bc N −2iπM B + α → β =

(2π) 4 (2π)3/2 2E B N

〈β| J(0)| α 〉 .

(10.8.20)

Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (3.4.15), âèäèì, ÷òî ôóíêöèè F±(E) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîëíûå ñå÷åíèÿ * ïðè ýíåðãèÿõ åE:

F+ (E) = θ( − E)

2| E| | N|2 σ α + Bc (| E| ) , (2π)3

(10.8.21)

2E| N|2 σ α + B (E) . (2π)3

(10.8.22)

F− (E) = θ(E)

*  ðÿäå ñëó÷àåâ, êîãäà ïðàâèëà îòáîðà ðàçðåøàþò ïåðåõîäû α → α + B è α → α + Bc, ôóíêöèè F±(E) ñîäåðæàò òàêæå ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå δ(E), âîçíèêàþùèå îò âêëàäà îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ α â ñóììå ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì β. Äëÿ ïîïåðå÷íî ïîëÿðèçîâàííûõ ôîòîíîâ èëè ïñåâäîñêàëÿðíûõ ïèîíîâ â ïðåäåëå mπ → 0 ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ íå âîçíèêàåò.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

631

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

Òåïåðü ïðè äåéñòâèòåëüíûõ ω > 0 àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ

M(ω) = −

i − iQ(ω) − σ α + B (ω ) 2 2ω| N| 2(2π)3 P(ω) ω(2π) 4

∞

X LM σ (E) + σ (E) OP EdE . YZ N (E − ω)P(E) (E + ω)P(−E) Q α+B

α + Bc

(10.8.23)

0

Îáû÷íî ïðèíÿòî çàïèñûâàòü ýòî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå ÷åðåç àìïëèòóäó f(ω) ðàññåÿíèÿ âïåðåä â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå, êîòîðàÿ îïðåäåëåíà òàê, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ âïåðåä â ýòîé ñèñòåìå ðàâíî |f(ω)|2. Ýòà àìïëèòóäà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç M(ω) ñëåäóþùèì îáðàçîì: f(ω) = −4π2ωM(ω) = 2π2iF(ω)/|N|2, òàê ÷òî (10.8.23) ïðèíèìàåò âèä:

f (ω) = R(ω) + +

P(ω) 4π 2

iω (ω ) σ 4π α + B ∞

X LM σ (E) + σ (E) OP EdE , YZ N (E − ω)P(E) (E + ω)P(−E) Q α+B

α + Bc

0

ãäå R(ω) ≡ 2iπ2Q(ω)/|N|2. Îïòè÷åñêàÿ òåîðåìà (3.6.4) óòâåðæäàåò, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ðàâíî iImf(ω), òàê ÷òî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå óïîòðåáèòåëüíîé ôîðìå:

P(ω) Re f (ω) = R(ω) + 4π 2

∞

X LM σ (E) + σ (E) OP EdE . (10.8.24) YZ N (E − ω)P(E) (E + ω)P(−E) Q α+B

α + Bc

0

 ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòü ïîëèíîì P(ω) äåéñòâèòåëüíûì, òî ïîëèíîì R(ω) òàêæå äåéñòâèòåëåí. Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ âïåðåä óäîâëåòâîðÿåò òàêæå âàæíîìó óñëîâèþ ñèììåòðèè. Ìåíÿÿ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ x â ôîðìóëàõ (10.8.7) è (10.8.8) íà −x è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè

〈α| [ J † (0), J( − x)]| α 〉 = 〈α| [ J † (x), J(0)]| α 〉 ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

632

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

âèäèì, ÷òî ïðè Im ω ≤ 0 ôóíêöèÿ FA(−ω) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé FR(ω), åñëè íå ñ÷èòàòü ïåðåìåíû ìåñòàìè J è J†. Èíûìè ñëîâàìè,

FA ( − ω) = FRc (ω) ïðè Im ω ≤ 0 , ãäå âåðõíèé èíäåêñ c óêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà îïèñûâàåò ðàññåÿíèå àíòè÷àñòèöû Bc íà ìèøåíè α. (Îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñîîòíîøåíèå íå íàðóøàåòñÿ ïðè ó÷åòå ñëàãàåìûõ îò îäíîâðåìåííû1õ êîììóòàòîðîâ â (10.8.7) è (10.8.8).) Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî

FR ( − ω) = FAc (ω) ïðè Im ω ≥ 0 , è ÷òî äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ω F± ( − ω ) = Fmc (ω ).

Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ôîðìóëå (10.8.6) è âñïîìèíàÿ, ÷òî f(ω) ïðîïîðöèîíàëüíà F(ω), íàõîäèì ñîîòíîøåíèå êðîññ-ñèììåòðèè: äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ω

f (− ω) = f c (ω) .

(10.8.25)

Ìû ñâîáîäíû â âûáîðå P(ω) â âèäå ëþáîãî ïîëèíîìà äîñòàòî÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà, íî òîãäà R(ω) çàâèñèò íå òîëüêî îò P(ω), íî è îò çíà÷åíèé F (ω) â íóëÿõ P(ω). Åñëè P(ω) − äåéñòâèòåëüíûé ïîëèíîì n-îãî ïîðÿäêà, åäèíñòâåííûìè ñâîáîäíûìè ïàðàìåòðàìè â (10.8.16) ÿâëÿþòñÿ n äåéñòâèòåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ â äåéñòâèòåëüíîì ïîëèíîìå (n − 1)-îãî ïîðÿäêà R(ω). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (10.8.16) ñîäåðæèò ðîâíî n íåèçâåñòíûõ äåéñòâèòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ êîíñòàíò, ÿâëÿþùèõñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïîëèíîìà R(ω) ïðè çàäàííîì P(ω). Ïî ýòîé ïðè÷èíå æåëàòåëüíî âûáèðàòü ïîðÿäîê n ïðîèçâîëüíîãî âî âñåì îñòàëüíîì ïîëèíîìà P(ω) êàê ìîæíî ìåíüøèì . Ìîæíî ïîïðîáîâàòü âçÿòü P(ω) = 1, íî ýòî íå ñðàáîòàåò. Àíàëèç, ïðîâåäåííûé â ðàçäåëå 3.7, ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ âïåðåä äîëæíà ðàñòè êàê ω èëè, âîçìîæíî, êàê ω ln2ω.  ýòîì ñëó÷àå, äëÿ òîãî, ÷òîáû f(ω)/P(ω) îáðàùàëàñü â íóëü ïðè ω → 0, äîñòàòî÷íî âçÿòü P(ω) â âèäå ïîëèíîìà âòîðîãî ïîðÿäêà, На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

633

10.8. Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ

òàê ÷òî R(ω) ëèíååí ïî ω. Âûáèðàÿ äëÿ óäîáñòâà P(E) = E2, ïðåäñòàâèì ñîîòíîøåíèå (10.8.24) â âèäå

Re f (ω) = a + bω +

ω2 4π 2

∞

X LM σ (E) + σ (E) OP dE , YZ N (E − ω) (E + ω) Q E α+B

α + Bc

(10.8.26)

0

ãäå a è b − íåèçâåñòíûå äåéñòâèòåëüíûå êîíñòàíòû. Èç óñëîâèÿ êðîññ-ñèììåòðèè (10.8.25) âûòåêàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå êîíñòàíòû â äèñïåðñèîííîì ñîîòíîøåíèè äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ àíòè÷àñòèö fc(ω) ðàâíû a c = a , bc = −b .

(10.8.27)

Åñëè ïðåäïîëîæèòü, íàïðèìåð, ÷òî ñå÷åíèÿ σα+B(E) è σ α + Bc (E) âåäóò ñåáÿ ïðè Å → ∞ êàê ðàçíûå êîíñòàíòû, óìíîæåííûå íà (ln E)r, òî èç (10.8.26) áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî

Re f (ω) f [σ α + B (ω) − σ α + Bc (ω)] ln ω f ω(ln ω) r +1 ,

(10.8.28)

òàê ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ áóäåò ðàñòè â ln ω ðàç áûñòðåå ìíèìîé ÷àñòè. Ýòî íåïðèåìëåìî: ìû âèäåëè â ðàçäåëå 3.7, ÷òî ïðè ω → ∞ ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âïåðåä ìíîãî ìåíüøå ìíèìîé ÷àñòè, è ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ ýêñïåðèìåíòîì. Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî åñëè σα+B(E) è σ α + Bc (E) äåéñòâèòåëüíî âåäóò ñåáÿ ïðè Å → ∞ êàê êîíñòàíòû, óìíîæåííûå íà (ln E)r, òî ýòè êîíñòàíòû äîëæíû áûòü ðàâíû. Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì ïðåäåë âûñîêèõ ýíåðãèé, ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî  − áåçìàññîâûé áîçîí, òàê ÷òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî îòíîøåíèå ñå÷åíèé ðàññåÿíèÿ ëþáîé ÷àñòèöû è åå àíòè÷àñòèöû íà ôèêñèðîâàííîé ìèøåíè äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ ê åäèíèöå. Ýòîò ðåçóëüòàò åñòü íåñêîëüêî îáîáùåííûé âàðèàíò òàê íàçûâàåìîé òåîðåìû Ïîìåðàí÷óêà 16. (Ïîìåðàí÷óê ðàññìàòðèâàë òîëüêî ñëó÷àé r = 0, õîòÿ èç ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 3.7 è èç íàáëþäàåìîãî ïîâåäåíèÿ ñå÷åíèé ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå r = 2 áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíî.) Õîòÿ Ïîìåðàí÷óê ïîëó÷àë ñâîè îöåíêè àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ íà îñíîâàíèè àðãóìåíòîâ, áëèçêèõ ê èçëîæåííûì â ðàçäåëå 3.7, â íàøè äíè ïîâåäåíèå ïðè âûñîêèõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

634

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

ýíåðãèÿõ îáû÷íî ïîëó÷àþò èç òåîðèè ïîëþñîâ Ðåäæå 17. Ðàññìîòðåíèå äåòàëåé ýòîãî âîïðîñà óâåëî áû íàñ ñëèøêîì äàëåêî â ñòîðîíó. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ àäðîííûõ ïðîöåññîâ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå f(ω) ïðè ω → ∞ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ω α( 0 ) , ãäå αn(t) — ìíîæåñòâî «ðåäæåâñêèõ òðàåêòîðèé», êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò îáìåíó áåñêîíå÷íûì ñåìåéñòâîì ðàçëè÷íûõ îäíîàäðîííûõ ñîñòîÿíèé â ïðîöåññå ðàññåÿíèÿ. Âåäóùåé òðàåêòîðèåé (íà ñàìîì äåëå, êîìïëåêñîì èç ìíîãèõ òðàåêòîðèé) ÿâëÿåòñÿ «ïîìåðîí», äëÿ êîòîðîãî α(0) áëèçêî ê åäèíèöå. Èìåííî ýòà òðàåêòîðèÿ äàåò ñå÷åíèÿ, ïðèìåðíî ïîñòîÿííûå ïðè Å → ∞. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ïîìåðàí÷óêà, ïîìåðîí îäèíàêîâî ñâÿçàí ñ ëþáûì àäðîíîì è åãî àíòè÷àñòèöåé. Äëÿ íèçøèõ ðåäæåâñêèõ òðàåêòîðèé ìîæíî îöåíèòü çíà÷åíèÿ αn(0), ðàññìàòðèâàÿ ñïåêòð àäðîííûõ ñîñòîÿíèé. Íåîáõîäèìûì, õîòÿ è íåäîñòàòî÷íûì óñëîâèåì 18 òîãî, ÷òî ïðè çíà÷åíèè ìàññû m âîçíèêíåò ìåçîííûé ðåçîíàíñ ñî ñïèíîì j, ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî m2 òîìó çíà÷åíèþ t, ïðè êîòîðîì îäíà èç òðàåêòîðèé αn(t) ðàâíà j. Êðîìå ïîìåðîíà, âåäóùåé òðàåêòîðèåé â ïèîí− íóêëîííîì ðàññåÿíèè ÿâëÿåòñÿ òà, íà êîòîðîé ìû íàõîäèì ïðè ìàññå m = 770 Ìý ρ-ìåçîí ñ j = 1, ïðè ìàññå m = 1690 Ìý — g-ìåçîí ñ j = 3, è ïðè ìàññå m = 2350 Ìý — ìåçîí ñ j = 5. Ýêñòðàïîëèðóÿ ýòè çíà÷åíèÿ α(t) ê t = 0, ìîæíî îöåíèòü, ÷òî äëÿ ýòîé òðàåêòîðèè α(0) ≈ 0,5. Ñâÿçü òàêîé òðàåêòîðèè ñ π+ è π− èìååò ðàçíûå çíàêè, òàê ÷òî äëÿ ïèîí−íóêëîííîãî ðàññåÿíèÿ ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî f(ω) − fc(ω) âåäåò ñåáÿ, ãðóáî ãîâîðÿ, êàê ω1/2.  ñëó÷àå ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ íåò ðàçíèöû ìåæäó  è Âñ, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû (10.8.27) ñëåäóåò b = 0, è ñîîòíîøåíèå (10.8.26) ïðèíèìàåò âèä:

f (ω) = a +

ω2 2π 2

XY Z

∞

0

σ( E ) dE . E − ω2 2

(10.8.29)

Ýòî è åñòü ïî-ñóùåñòâó ïåðâîíà÷àëüíîå ñîîòíîøåíèå Êðàìåðñà− Êðîíèãà 13. Êàê ìû óâèäèì â ðàçäåëå 13.5, äëÿ ìèøåíè ñ çàðÿäîì å è ìàññîé m êîíñòàíòà a èìååò èçâåñòíîå çíà÷åíèå Re f(0) = −e2/m.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

635

Çàäà÷è

Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå íåéòðàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå vµ(x). Êàêèå óñëîâèÿ ñëåäóåò íàëîæèòü íà ñóììó ∏∗µν(k) âêëàäîâ îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì ñ äâóìÿ âíåøíèìè ëèíèÿìè âåêòîðíîãî ïîëÿ, ÷òîáû ïîëå áûëî ïðàâèëüíî ïåðåíîðìèðîâàíî è îïèñûâàëî ÷àñòèöó ñ ïåðåíîðìèðîâàííîé ìàññîé m? Êàê ñëåäóåò äëÿ ýòîãî ðàçäåëèòü â ëàãðàíæèàíå ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå ñâîáîäíîìó ïîëþ è âçàèìîäåéñòâèþ?

2.

Âûâåäèòå îáîáùåííîå òîæäåñòâî Óîðäà, êîòîðîìó ïîä÷èíÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ çàðÿæåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.

3.

Êàêîé âèä èìååò íàèáîëåå îáùàÿ ôîðìà ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà 〈p2σ2|Jµ(x)|p1σ2〉 ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà Jµ(x) ìåæäó äâóìÿ îäíî÷àñòè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè ñïèíà 1/2, îäèíàêîâîé ÷åòíîñòè è ðàçíûõ ìàññ m1 è m2? Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò, åñëè ÷åòíîñòè ðàçíûå? (Ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè.) Âûâåäèòå ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà−Ëåìàíà äëÿ ñðåäíåãî ïî âàêóóìó 〈T{Jµ(x) Jν(y)}〉0, ãäå Jµ(x) − êîìïëåêñíûé ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê.

4.

5.

Âûâåäèòå ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà−Ëåìàíà äëÿ ñðåäíåãî ïî âàêóóìó 〈T{ψn(x)ψm(y)}〉0, ãäå ψ(x) − äèðàêîâñêîå ïîëå.

6.

Íå äåëàÿ íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ èëè ñå÷åíèÿ, ïîêàæèòå, ÷òî àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà óãîë íóëü íå ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü äèñïåðñèîííîìó ñîîòíîøåíèþ áåç âû÷èòàíèé.

7.

Âûâåäèòå ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà−Ëåìàíà äëÿ êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, èñïîëüçóÿ ìåòîäû òåîðèè äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé.

8.

Ñ ïîìîùüþ òåîðèè äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé è ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 8.7 âû÷èñëèòå â ïîðÿäêå å4 àìïëèòóäó ðàññåÿíèÿ âïåðåä ôîòîíîâ íà ýëåêòðîíàõ â ñèñòåìå ïîêîÿ ýëåêòðîíà.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

636

Ãëàâà 10. Íåïåðòóðáàòèâíûå ìåòîäû

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Furry, W.H., Phys. Rev., 51, 125 (1937).

2.

Yukawa, H., Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 17, 48 (1935).

3.

Lehmann, H., Symanzik, K., and Zimmerman, W., Nuovo Cimento, 1, 205 (1955).

4.

Takahashi, Y., Nuovo Ñimento, Ser. 10, 6, 370 (1957).

5.

Ward, J.C., Phys. Rev., 78, 182 (1950).

6.

Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1950).

7.

Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

8.

Rosenbluth, M.N., Phys. Rev., 79, 615 (1950).

9.

Källen, G., Helv. Phys. Acta, 25, 417 (1952); Quantum Electrodynamics (Springer-Verlag, Berlin, 1972); Lehmann, H., Nuovo Cimento, 11, 342 (1954).

10. Howard, J.C. and Jouvet, B., Nuovo Cimento, 18, 466 (1960); Vaughan, M.J., Aaron, R., and Amado, R.D., Phys. Rev., 125, 1258 (1961); Weinberg, S., in: Proceedings of the 1962 HighEnergy Conference at CERN (CERN, Geneva, 1962), p. 683. 11. Stratonovich, R.I., Sov. Phys. Dokl., 2, 416 (1957); Hubbard, J., Phys. Rev. Lett., 3, 77 (1959). 12. Weinberg, S., Phys. Rev., 137, B672 (1965). 13. Kramers, H.A., Atti Congr. Intern. Fisici, Como (Nicolo Zanichelli, Bologn a, 1927); reprinted in: Kramers, H.A., Collected Scientific Papers (North-Holland, Amsterdam, 1956); Kronig, R., Ned. Tyd. Nat. Kunde, 9, 402 (1942); Physica, 12, 543 (1946); Toll, J.S., The Dispersion Relation for Light and its Application to Problems Involving Electron Pairs (Princeton University Ph. D.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

637

Thesis, 1952). Èñòîðè÷åñêèå îáçîðû ñì. â ðàáîòàõ: Jackson, J.D., in Dispersion Relations, ed. by G.R.Screaton (Oliver and Boyd, Edinburgh, 1961); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles, ed. by C. de Witt and R. Omnes (Hermann, Paris, 1960). 14. Gell-Mann, M., Goldberger, M.L., and Thirring, W., Phys. Rev., 95, 1612 (1954). Íåïåðòóðáàòèâíîå ïðîèñõîæäåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå: Goldberger, M.L., Phys. Rev., 97, 508 (1955). 15. Goldberger, M.L., Phys. Rev., 99, 979 (1955). 16. Pomeranchuk, I.Ya., J. Expt. Theor. Phys. (USSR), 34, 725 (1958). Îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ ýòîé ðàáîòû ñì. â ñòàòüå: Weinberg, S., Phys. Rev., 124, 2049 (1961). 17. Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Collins, P.D.B., An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1977) (åñòü ðóñ. ïåð.: Äæ. Êîëëèíç. Ââåäåíèå â òåîðèþ ïîëþñîâ Ðåäæå. Ì.: Ìèð, 1980). Îðèãèíàëüíûå ðàáîòû: Regge, T., Nuovo Cimento, 14, 951 (1959); 18, 947 (1960). 18. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñïèíà îò êâàäðàòà ìàññû íàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé ×ó–Ôðàó÷è. Ñì. ðàáîòó: Chew, G.F. and Frautschi, S.C., Phys. Rev. Lett., 8, 41 (1962).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11 Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå  ýòîé ãëàâå ìû çàéìåìñÿ íåêîòîðûìè, ñòàâøèìè óæå êëàññè÷åñêèìè, îäíîïåòëåâûìè âû÷èñëåíèÿìè â òåîðèè âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ ëåïòîíî⠗ ìàññèâíûõ ÷àñòèö ñïèíà 1/2 — ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Èçâåñòíû òðè ñîðòà ëåïòîíîâ, îòëè÷àþùèõñÿ ñâîèì «àðîìàòîì»: ýëåêòðîí, ìþîí è ñàìûé òÿæåëûé ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî îòêðûòûé òàóîí. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì âñå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû â íàøèõ ðàñ÷åòàõ íàçûâàòü ýëåêòðîíàìè, õîòÿ áîëüøàÿ ÷àñòü âû÷èñëåíèé â ðàâíîé ñòåïåíè ïðèìåíèìà ê ìþîíàì è òàóîíàì. Ïîñëå ðÿäà îáùèõ ñîîáðàæåíèé â ðàçäåëå 11.1, ìû ïåðåéäåì ê âû÷èñëåíèþ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà â ðàçäåëå 11.2, àíîìàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà â ðàçäåëå 11.3 è ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ðàçäåëå 11.4. Ïîïóòíî ìû ââåäåì ðÿä ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðèåìîâ, îêàçûâàþùèõñÿ ïîëåçíûìè ïðè òàêèõ âû÷èñëåíèÿõ, â òîì ÷èñëå ôåéíìàíîâñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, âèêîâñêèé ïîâîðîò, à òàêæå ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ ′ò Õîôòà–Âåëüòìàíà è áîëåå ðàííèé ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè Ïàóëè–Âèëëàðñà. Õîòÿ ïðè ðàñ÷åòàõ è ïîÿâÿòñÿ áåñêîíå÷íîñòè, ìû óâèäèì, ÷òî îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû êîíå÷íû, åñëè èõ âûðàçèòü ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííûå ìàññó è çàðÿä.  ñëåäóþùåé ãëàâå ìû ðàñïðîñòðàíèì ïîëó÷åííûå çäåñü ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ïåðåíîðìèðîâêè, íà ñëó÷àé îáùèõ òåîðèé â ïðîèçâîëüíûõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.1. Êîíòð÷ëåíû

639

11.1. Êîíòð÷ëåíû Âîçüìåì ëàãðàíæèàí ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ â âèäå *:

L = − 14 FBµνFB µν − ψ B γ µ (∂ µ + ieB ABµ ) + mB ψ B ,

(11.1.1)

ãäå ABµ , ψ B è ψB — ãîëûå (ò. å. íåïåðåíîðìèðîâàííûå) ïîëÿ ôîòîíà è ýëåêòðîíà, à −å è mB — ãîëûå çàðÿä è ìàññà ýëåêòðîíà. Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé ãëàâå, ìîæíî ââåñòè ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ, ìàññó è çàðÿä ñîîòíîøåíèÿìè

ψ ≡ Z2−1/2 ψ B ,

(11.1.2)

A µ ≡ Z3−1/2 ABµ ,

(11.1.3)

e ≡ Z3+1/2eB ,

(11.1.4)

m ≡ m B + δm ,

(11.1.5)

ãäå êîíñòàíòû Z2, Z3 è δm ïîäáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû ïðîïàãàòîðû ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé èìåëè ïîëþñû â òåõ æå òî÷êàõ è ñ òåìè æå âû÷åòàìè, ÷òî è ïðîïàãàòîðû ñâîáîäíûõ ïîëåé â îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé. Òîãäà ëàãðàíæèàí ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííûå âåëè÷èíû â âèäå

L = L0 + L1 + L2 ,

(11.1.6)

L0 = − 14 F µνFµν − ψ γ µ ∂ µ + m ψ ,

(11.1.7)

L1 = −ieAµ ψγ µ ψ ,

(11.1.8)

ãäå

*  ýòîé ãëàâå íàì íå ïîòðåáóåòñÿ ïåðåõîäèòü îò ãåéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ ê îïåðàòîðàì â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîýòîìó ìû âåðíåìñÿ ê îáùåïðèíÿòûì îáîçíà÷åíèÿì, êîãäà çàãëàâíàÿ áóêâà À è ñòðî÷íàÿ áóêâà ψ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ïîëåé ôîòîíà è çàðÿæåííîé ÷àñòèöû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

640

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

à L2 åñòü ñóììà «êîíòð÷ëåíîâ»: L2 = −

1

(Z3 − 1)F µν Fµν − (Z2 − 1) ψ γ µ ∂ µ + m ψ 4 + Z2δmψψ − ie(Z2 − 1) Aµ ψ γ µ ψ .

(11.1.9)

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ñëàãàåìûå â L2 − âòîðîãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïî å, è èõ êàê ðàç õâàòàåò äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîêðàòèòü óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå îò ïåòëåâûõ äèàãðàìì. 11.2 Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà Íà÷íåì íàøè âû÷èñëåíèÿ ïåòëåâûõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ñ òàê íàçûâàåìîãî ýôôåêòà ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà, ò. å. ñ ïîïðàâîê ê ïðîïàãàòîðó, îòâå÷àþùåìó âíóòðåííåé ôîòîííîé ëèíèè. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà ïðèâîäèò ê èçìåðÿåìûì ñäâèãàì ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà è äàåò âàæíûé âêëàä â çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè ìþîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà îðáèòàõ âîêðóã òÿæåëûõ ÿäåð. Êðîìå òîãî, êàê ìû óâèäèì â ò. II, âû÷èñëåíèå ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîâåäåíèÿ ýëåêòðîäèíàìèêè è äðóãèõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé ïðè âûñîêèõ ýíåðãèÿõ. Êàê è â ðàçäåëå 10.5, îïðåäåëèì i(2π)4∏*ρσ(q) êàê ñóììó âñåõ ñâÿçíûõ äèàãðàìì ñ äâóìÿ âíåøíèìè ôîòîííûìè ëèíèÿìè, íåñóùèìè èíäåêñû ïîëÿðèçàöèé µ è ν è 4-èìïóëüñ q.  ýòî âûðàæåíèå íå âõîäÿò ôîòîííûå ïðîïàãàòîðû îò äâóõ âíåøíèõ ôîòîííûõ ëèíèé, à çâåçäî÷êà îçíà÷àåò, ÷òî èñêëþ÷àþòñÿ äèàãðàììû, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ íåñâÿçíûìè ïîñëå ðàçðåçàíèÿ íåêîòîðîé âíóòðåííåé ôîòîííîé ëèíèè. Òî÷íûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð ∆′µν(q) äàåòñÿ ôîðìóëîé (10.5.3):

∆ ′ = ∆[1 − ∏ * ∆ ]−1 ,

(11.2.1)

ãäå ∆µν(q) — ïðîïàãàòîð ôîòîíà áåç ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Íàøà çàäà÷à — âû÷èñëèòü ãëàâíûå âêëàäû â ∏*ρσ(q).  íèçøåì ïîðÿäêå èìååòñÿ îäíîïåòëåâîé âêëàä â ∏*, îòâå÷àþùèé äèàãðàììå ðèñ. 11.1:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

641

X YY Z

× (2π)4 e γ ρ

LM − i N (2π)

R|L − i S|MN (2π) T

OP p + m − iε Q U| − i(p/ − q/ ) + m O (2π) e γ V , P (p − q ) + m − iε Q |W

4 i(2π) 4 Π1*ρσ LOOP (q ) = − d p Tr

− ip/ + m

4

2

2

4

4

2

(11.2.2)

σ

2

ãäå ïåðâûé çíàê ìèíóñ ñïðàâà îòâå÷àåò íàëè÷èþ ôåðìèîííîé ïåòëè.  áîëåå ïðîñòîé çàïèñè:

Π1*ρσ LOOP (q ) =

− ie2

X d p Tr{[− ip/ + m]γ [− i(p/ − q/ ) + m]γ } . YZ (p + m − iε)d(p − q) + m − iεi (11.2.3) ρ

4

(2π)4

2

σ

2

2

2

Ïåðâûé øàã ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ïðèåìà, ïðåäëîæåííîãî Ôåéíìàíîì 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ýëåìåíòàðíîé ôîðìóëîé

X =Y AB Z 1

1

0

dx (1 − x) A + xB

2

,

(11.2.4)

è çàïèøåì ïðîèçâåäåíèå ñêàëÿðíûõ ïðîïàãàòîðîâ â (11.2.3) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ðèñ. 11.1. Îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Âîëíèñòûå ëèíèè îòâå÷àþò ôîòîíàì, ëèíèè ñî ñòðåëêàìè — ýëåêòðîíàì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

642

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

1 (p2

+

XY Z =X YZ =X YZ

1

=

m2

0 1 0 1

− iε ) (p − q )2 + m 2 − iε

d

i

=

(p2 + m 2 − iε )(1 − x) + (p − q )2 + m 2 − iε x

d

p2 + m 2 − iε − 2p ⋅ qx + q 2x

i

−2

−2

dx

dx

(p − qx)2 + m 2 − iε + q 2x(1 − x)

−2

dx .

0

(Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé áîëåå îáùåãî êëàññà èíòåãðàëîâ, ðàññìîòðåííûõ â Ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå.) Òåïåðü ìîæíî ñäâèíóòü ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå *:

p → p + qx , òàê ÷òî âûðàæåíèå (11.2.3) ïðèíèìàåò âèä Π1*ρσ LOOP (q ) =

− ie2 (2π) 4

X YZ

1

0

dx

XY Z

d 4p (p − qx)2 + m 2 − iε + q 2 x(1 − x)

−2

ρ σ × Tr{[ − i(p/ + qx / ) + m ] γ [ − i(p/ − q/ (1 − x)) + m ] γ } .

(11.2.5) Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû Ïðèëîæåíèÿ ê ãë. 8, ìîæíî áåç òðóäà âû÷èñëèòü ñëåä â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè: ρ σ Tr{[ − i(p/ + qx / ) + m ] γ [− i(p/ − q/ (1 − x)) + m ] γ }

= 4 −(p + qx)ρ (p − q (1 − x)) σ + (p + qx) ⋅ (p − q (1 − x)) ηρσ − (p + qx) σ (p − q (1 − x))ρ + m 2 ηρσ .

(11.2.6)

Ñëåäóþùèé øàã íîñèò íàçâàíèå âèêîâñêîãî ïîâîðîòà 2. Äî òåõ ïîð, ïîêà −q2 < 4m2, âåëè÷èíà m2 + q2x(1 − x) ïîëîæèòåëüíà ïðè âñåõ x * Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòîò øàã âåðåí òîëüêî äëÿ ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ.  ïðèíöèïå, ÷òîáû îáîñíîâàòü ñäâèã ïåðåìåííûõ, ñëåäóåò ââåñòè êàêóþ-òî ñõåìó ðåãóëÿðèçàöèè, äåëàþùóþ âñå èíòåãðàëû ñõîäÿùèìèñÿ. Òàêîé ñõåìîé ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, ñõåìà ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

643

ìåæäó 0 è 1, òàê ÷òî ïîëþñû ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â (11.2.5) íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ p0 = ± p2 + m 2 + q 2x(1 − x) − iε , ò. å. ÷óòü âûøå îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè è ÷óòü íèæå ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè (ñì. ðèñ. 11.2). Ìîæíî ïîâåðíóòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ð0 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, íå ïåðåñåêàÿ ïðè ýòîì íè îäíîãî èç ïîëþñîâ, òàê ÷òî âìåñòî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ð0 âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè îò −∞ äî +∞, ìû èíòåãðèðóåì âäîëü ìíèìîé îñè îò − i∞ äî +i∞. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî íàïèñàòü p0 = i p4, è òåïåðü èíòåãðèðîâàòü ïî äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèÿì ð4 îò −∞ äî +∞. (Åñëè áû â çíàìåíàòåëå ïðîïàãàòîðà âõîäèëî iε âìåñòî −iε, ñëåäîâàëî áû ïîëîæèòü p0 = −i p4, ïðè÷åì p4 îïÿòü ïðîáåãàëî áû âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ îò −∞ äî +∞.  ðåçóëüòàòå ïðîñòî èçìåíèëñÿ áû çíàê *ρσ (q ) .) Òåïåðü ôîðìóëà (11.2.5) ïðèíèìàåò âèä: Π1LOOP Π1*ρσ LOOP (q )

=

4e2 (2π)

4

X YZ

1

0

dx

XY Z

(d 4 p ) E p2 + m 2 + q 2 x(1 − x)

−2

× −(p + qx)ρ (p − q (1 − x)) σ + (p + qx) ⋅ (p − q (1 − x)) ηρσ − (p + qx) σ (p − q (1 − x))ρ + m 2 ηρσ .

(11.2.7)

ãäå

(d 4p) E = dp1dp2dp3 dp4 ,

Im p0

Re p0

Ðèñ. 11.2. Âèêîâñêèé ïîâîðîò êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ð0. Ìàëåíüêèå êðåñòèêè óêàçûâàþò ïîëîæåíèå ïîëþñîâ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ð0, ñòðåëêè ïîêàçûâàþò íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ îò äåéñòâèòåëüíîé ê ìíèìîé îñè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

644

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

è âñå ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì åâêëèäîâîé íîðìû

a ⋅ b = a1b1 + a 2b2 + a 3 b3 + a 4 b 4 , ïðè ñîãëàøåíèè, ÷òî q4 ≡ −iq0. Êðîìå òîãî, ηρσ ìîæíî ñ÷èòàòü ëèáî êðîíåêåðîâñêèì äåëüòà-ñèìâîëîì ñ èíäåêñàìè, ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, 4, ëèáî îáû÷íûì òåíçîðîì Ìèíêîâñêîãî ñ èíäåêñàìè, ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ 1, 2, 3, 0 *. Èíòåãðàë (11.2.7) ñèëüíî ðàñõîäèòñÿ.  êîíöå êîíöîâ âñå áåñêîíå÷íîñòè ñîêðàòÿòñÿ, íî ÷òîáû óâèäåòü ýòî, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íà ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàäèÿõ âû÷èñëåíèÿ êàêîé-òî ñïîñîá ðåãóëÿðèçàöèè, äåëàþùèé èíòåãðàëû ñõîäÿùèìèñÿ. Íå ãîäèòñÿ ïðîñòî îáðåçàòü èíòåãðàëû íà íåêîòîðîì ìàêñèìàëüíîì èìïóëüñå Λ, èíòåãðèðóÿ ïî pµ òîëüêî ïðè p2 < Λ2, ïîñêîëüêó ýòî ýêâèâàëåíòíî ââåäåíèþ â ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè θ(Λ2 − p2), à òîæäåñòâî Óîðäà (10.4.25) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ëþáàÿ ìîäèôèêàöèÿ ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà äîëæíà ñîïðîâîæäàòüñÿ ìîäèôèêàöèåé ýëåêòðîí-ôîòîííîé âåðøèíû. Íà ñàìîì äåëå, ïðè îáû÷íîì Λ−îáðåçàíèè ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè áóäóò èíäóöèðîâàòü ìàññó ôîòîíà, ÷òî ÿâíî íàðóøàåò êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü **. Ïðàêòèêà ïîêàçàëà, ÷òî ñàìûì óäîáíûì ñïîñîáîì ðåãóëÿðèçàöèè ðàñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ, íå íàðóøàþùèì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè, ÿâëÿåòñÿ òåõíèêà ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè, ïðåäëîæåííàÿ â 1972 ãîäó ′ò Õîôòîì è Âåëüòìàíîì 3 è îñíîâàííàÿ íà àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà–âðåìåíè îò ÷åòûðåõ ê ïðîèçâîëüíîìó ÷èñëó d. Îíà ñîñòîèò â óñðåäíåíèè ïî * Ïåðâîå ñîãëàøåíèå îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîìó åâêëèäîâîìó ðàçâîðîòó (àíàëîã âèêîâñêîãî ïîâîðîòà). Èìåííî, Π*1ÏÅÒË äîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ïî q0 â åâêëèäîâó îáëàñòü q0 = iq4. Ïî ìîäóëþ êèíåìàòè÷åñêèõ ìíîæèòåëåé (ñì. íèæå ôîðìóëó (11.2.16)) Π*1ÏÅÒË (òî÷íåå ôóíêöèÿ π) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé −q2 â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ðàçðåçîì âäîëü ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè −q2 ≥ 4m2.  òåêñòå ðàññìàòðè-âàåòñÿ îáëàñòü −q2 > 4m2. Ïðè −q2 > 4m2 ôèçè÷åñêîìó çíà÷åíèþ ôóíêöèè π îòâå÷àåò åå ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ñâåðõó íà ýòîé ïîëóîñè. — Ïðèì. ðåä. ** Èìåííî, ïîïåðå÷íîñòü Π*µν, èìåÿ â âèäó, ÷òî Πµν íå èìååò ïîëþñîâ ïðè q2 = 0 (ñì. ãë. 10, ðàçäåë 5). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

645

óãëîâûì ïåðåìåííûì â èíòåãðàëàõ òèïà (11.2.7), ÷òî ñâîäèòñÿ ê îòáðàñûâàíèþ âñåõ ñëàãàåìûõ, íå÷åòíûõ ïî ð, è çàìåíå ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ ÷åòíîå ÷èñëî ìíîæèòåëåé ð, ïî ïðàâèëó *

p µ p ν → p2 ηµν / d ,

(11.2.8)

p µ p ν pρp σ → (p2 )2 [ ηµν ηρσ + ηµρ η νσ + ηµσ η νρ ] / d(d + 2) . (11.2.9) Äàëåå, ïîñëå òîãî êàê ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñ ïîìîùüþ óêàçàííîé ïðîöåäóðû çàïèøåòñÿ êàê ôóíêöèÿ òîëüêî ð2, ñëåäóåò çàìåíèòü ýëåìåíò îáúåìà d4pE íà Ωdκd-1dκ, ãäå κ ≡ p2 , à Ωd — ïëîùàäü ñôåðû åäèíè÷íîãî ðàäèóñà â d èçìåðåíèÿõ:

Ω d = 2π d /2 / Γ(d / 2) .

(11.2.10)

Ïîñëå ýòîãî èíòåãðàë (11.2.7) ñòàíîâèòñÿ ñõîäÿùèìñÿ â ñëó÷àå êîìïëåêñíîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè d. Ìîæíî ïðîäîëæèòü èíòåãðàë îò êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé d ê d = 4, è òîãäà áåñêîíå÷íîñòè ïðîÿâÿòñÿ êàê ìíîæèòåëè (d − 4)-1. Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè ê èíòåãðàëó (11.2.7), ïîëó÷àåì: Π1*ρσ LOOP (q ) = ×

4e2Ω d (2π) 4

LM −2κ N d

2

XY Z

1

0

dx

XY Z

∞

κ d −1dκ κ 2 + m 2 + q 2x(1 − x)

−2

0

OP Q

ηρσ + 2q ρq σ x(1 − x) + κ 2 − q 2x(1 − x) ηρσ + m 2 ηρσ .

d

i

Èíòåãðàëû ïî κ ìîæíî âû÷èñëèòü äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî d (èëè äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî d, íå ðàâíîãî öåëîìó ÷åòíîìó ÷èñëó) **. * Ïðîùå âñåãî âûâåñòè ýòè ôîðìóëû, çàìåòèâ, ÷òî èõ âèä äèêòóåòñÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòüþ è ñèììåòðèåé ïî èíäåêñàì µ, ν, ρ è ò. ä. Êîýôôèöèåíòû ìîæíî íàéòè, òðåáóÿ, ÷òîáû ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè äàâàëè îäèíàêîâûé ðåçóëüòàò ïîñëå ñâåðòêè ñ η. ** Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòîò èíòåãðàë îïðåäåëåí ïðè 1 < Red < 4, à ïðè ïðî÷èõ d îí îïðåäåëåí àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

646

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Âîñïîëüçóåìñÿ õîðîøî èçâåñòíûìè ôîðìóëàìè (â áîëåå îáùåì âèäå îíè äàíû â Ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå):

XY Z

∞

κ d − 1 κ 2 + ν2

−2

dκ =

0

XY Z

∞

κ d + 1 κ 2 + ν2

−2

d −2 1 ( ν 2 ) 2 Γ (d 2 d

dκ =

0

1 2

( ν2 ) 2

−2

2) Γ(2 − d 2) ,

(11.2.11)

Γ(1 + d / 2) Γ(1 − d 2) , (11.2.12)

òîãäà

Π1*ρσ LOOP (q ) =

2e2 Ω d (2π) 4

1

X L × Y dx M(1 − 2 / d) η dm + q x(1 − x)i Γ (1 + d 2)Γ(1 − d 2) YZ MN + d2q q x(1 − x) − q η x(1 − x) + m η idm + q x(1 − x)i O × Γ(d 2)Γ(2 − d 2)P . Q d

ρσ

2

2

2

−1

0

ρ σ

2 ρσ

2 ρσ

d

2

2

2

−2

Äâà ñëàãàåìûõ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ìîæíî îáúåäèíèòü, åñëè ó÷åñòü ñîîòíîøåíèå

(1 − 2 d)Γ(1 + d 2)Γ(1 − d 2) = − Γ(d / 2)Γ(2 − d 2) . Â ðåçóëüòàòå

Π1*ρσ LOOP (q ) =

4e2Ω d (2π) 4 ×

XY Z

1

Γ(d 2)Γ(2 − d 2)(q ρq σ − q 2 ηρσ )

dx x(1 − x) (m 2 + q 2 x(1 − x))d 2 − 2 .

(11.2.13)

0

Î÷åíü âàæíî òî, ÷òî íàéäåííûé âêëàä â ∏∗ρσ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

647

q ρ Π1*ρσ LOOP (q ) = 0 ,

(11.2.14)

ïîëó÷åííîìó â ðàçäåëå 10.5 íà îñíîâàíèè ñîõðàíåíèÿ è íåéòðàëüíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Èìåííî ðàäè äîñòèæåíèÿ ýòîãî ðåçóëüòàòà ìû è ïðèìåíèëè ñõåìó ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè. Ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ïðèâîäèò ê òàêîìó ðåçóëüòàòó, çàêëþ÷àåòñÿ â íåçàâèñèìîñòè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òîêà îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà−âðåìåíè. Ãàììà-ôóíêöèÿ Γ(2 − d/2) â (11.2.13) íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò ïðè d → 4. Ê ñ÷àñòüþ, êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 11.1, ñóùåñòâóåò äðóãîå ñëàãàåìîå, âîçíèêàþùåå îò ñëàãàåìîãî − 14 (Z3 − 1)FµνF µν â ëàãðàíæèàíå âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðîå íåîáõîäèìî äîáàâèòü ê ∏∗ρσ(q). Ñòðóêòóðà ýòîãî ñëàãàåìîãî àíàëîãè÷íà (11.2.13):

Π *Lρσ (q ) = −(Z3 − 1)(q 2 ηρσ − q ρ q σ ) , 2

(11.2.15)

òàê ÷òî â ïîðÿäêå å2 ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà ∏* èìååò âèä

Π *ρσ (q ) = (q 2 ηρσ − q ρq σ )π(q 2 ) ,

(11.2.16)

ãäå

4e2Ω d

π( q 2 ) = − ×

(2π) 4

XY Z

1

0

Γ(d 2)Γ(2 − d 2)

dx x(1 − x) (m 2 + q 2x(1 − x)) d 2 − 2 − (Z3 − 1) .

(11.2.17)

Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 10.5, îïðåäåëåíèå ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ òðåáóåò, ÷òîáû π(0) = 0 (äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷åò â ïîëþñå òî÷íîãî ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà ïðè q2 = 0 áûë áû òàêèì æå, êàê è äëÿ ãîëîãî ïðîïàãàòîðà, åñëè íå ñ÷èòàòü ñëàãàåìûõ, çàâèñÿùèõ îò êàëèáðîâêè). Ïîýòîìó â ïîðÿäêå å2

Z3 = 1 −

4e2Ω d (2π)4

Γ(d / 2)Γ(2 − d

d −2 1 2 2 / 2)(m ) 0

z

x(1 − x) dx , (11.2.18)

òàê ÷òî â ýòîì æå ïîðÿäêå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

648

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

π( q 2 ) = − ×

4e2 Ω d (2π) 4

LMdm N

2

Γ(d 2)Γ(2 − d 2)

+ q 2 x(1 − x)

i

d 2−2

z

1

0

x(1 − x) dx

OP Q

− (m 2 ) d 2 − 2 .

(11.2.19)

Òåïåðü ìîæíî ñíÿòü ðåãóëÿðèçàöèþ, ðàçðåøèâ d ïðèíÿòü åãî ôèçè÷åñêîå çíà÷åíèå d = 4. Âûøå îòìå÷åíî, ÷òî îäíîïåòëåâîé âêëàä ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîñòü, âîçíèêàþùóþ èç-çà ïîâåäåíèÿ ãàììàôóíêöèè â ýòîì ïðåäåëå: 1 Γ(2 − d / 2) → −γ, (2 − d 2) ãäå γ = 0,5772157 — ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü Z3 − 1 ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàìåíèòü Γ(2 − d/2) íà 1/(2 − d/2) è âî âñåõ îñòàëüíûõ ìåñòàõ ïîëîæèòü d = 4:

(Z3 − 1) ∞ = −

4e2 ⋅ 2π 2

1

6(2π)

2−d 2

4

=

e2

1

6π d − 4 2

.

(11.2.20)

 ò. II ìû óâèäèì, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà â óðàâíåíèè ðåíîðìãðóïïû äëÿ çàðÿäà ýëåêòðîíà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëþñû ïðè d = 4 â π(q2) ñîêðàùàþòñÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèÿ [m2 + q2x(1−x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 èìåþò îäèíàêîâûé ïðåäåë, ðàâíûé åäèíèöå. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ñëàãàåìîå −γ â Γ(2−d/2) ñîêðàùàåòñÿ â ïîëíîì âûðàæåíèè äëÿ π(q2), õîòÿ îíî è âíîñèò êîíå÷íûé âêëàä â Z3 − 1. Åñòü è äðóãèå êîíå÷íûå âêëàäû â Z3 − 1, âîçíèêàþùèå îò ïðîèçâåäåíèÿ ïîëþñà â Γ(2−d/2) è ëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè ΩdΓ(d/2) â îêðåñòíîñòè d = 4, íî è îíè ñîêðàùàþòñÿ â ïîëíîì π(q2).  äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðîâîäÿ ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ, ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü (2π)–4 íà (2π)–d, à Tr 1 = 4 — íà ðàçìåðíîñòü 2d/2 ãàììà-ìàòðèö â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ñ ïðîèçâîëüíîé ÷åòíîé ðàçìåðíîñòüþ d. Îäíàêî âñå ýòî äàëî áû âêëàä òîëüêî â êîíå÷íóþ ÷àñòü Z3 − 1, íî íå â π(q2). Äàëåå, íåëüçÿ ñ÷èòàòü å2 íåçàâèñÿùèì îò d, ïîñêîëüêó èç ôîðìóëû (11.2.13) âûòåêàåò, ÷òî êâàäðàò çàðÿäà èìååò çàâèñÿùóþ îò d ðàçìåðíîñòü [ìàññà]4−d. Åñëè ïîëîæèòü e2 ∝ µ4−d, ãäå µ — íåêàÿ âåëè÷èíà ðàçìåðíîñòè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

649

ìàññû, òî â Z3 − 1 ïîÿâÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå êîíå÷íûå ñëàãàåìûå, âîçíèêàþùèå îò ïðîèçâåäåíèÿ ïîëþñà â Γ(2 − d/2) è ñëàãàåìîãî (4− d) ln µ â ðàçëîæåíèè µ4−d ïî ñòåïåíÿì (4 − d). Îäíàêî è îíè ñîêðàùàþòñÿ ñ àíàëîãè÷íûìè ñëàãàåìûìè â îäíîïåòëåâîì âêëàäå â π(q2). Åäèíñòâåííûå ñëàãàåìûå, ðåàëüíî äàþùèå âêëàä â π(q2) â ïðåäåëå d → 4, âîçíèêàþò îò ïðîèçâåäåíèÿ ïîëþñà â Γ(2−d/2) è ëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè [m2 + q2x(1−x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 ïî ñòåïåíÿì d − 4: d 2−2 q 2x(1 − x) − (m 2 ) d 2 − 2 → d 2 − 2 ln 1 + . m 2 + q 2 x(1 − x) m2

d

g FGH

b

i

I JK

(11.2.21) Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ

π( q 2 ) =

e2 2π 2

XY x(1 − x) lnFG1 + q x(1 − x) IJ dx . Z m H K 1

0

2

2

(11.2.22)

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà ðàñêðûâàåòñÿ, åñëè ðàññìîòðåòü âëèÿíèå ýòîãî ýôôåêòà íà ðàññåÿíèå äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñïèíà 1/2. Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû íà ðèñ. 11.3 äàþò ñëåäóþùèå âêëàäû â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàññåÿíèÿ:

Sa (1,2 → 1′,2′) = (2π) −12 / 2 δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 ) e1 (2π)4 u1′ γ µ u1

LM N

× − i(2π) −4

1 ⋅ e1 (2π)4 u2′ γ µ u2 , q2

OP Q

Sb (1,2 → 1′,2′) = (2π) −12 / 2 δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 ) e2 (2π)4 u1′ γ µ u1

LM N

× − i(2π) −4

1 q2

OP Q

2

⋅ i(2π)4 (q 2 ηµν − q µ q ν )π(q 2 ) e2 (2π)4 u2′ γ ν u2 ,

ãäå å1 è å2 — çàðÿäû ðàññåèâàþùèõñÿ ÷àñòèö, π(q2) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (11.2.22), ïðè÷åì â êà÷åñòâå å ñëåäóåò âçÿòü çàðÿä ÷àñòèöû, êîòîðîé îòâå÷àþò ëèíèè, îáðàçóþùèå ïåòëþ íà ðèñ. 11.3, qµ — ïåðåäàâàåìûé èìïóëüñ, q ≡ p1 − p1′ = p2′ − p2. Ñ ó÷åòîì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ q µ u1′ γ µ u1 = 0 îáå äèàãðàììû ñîâìåñòíî ïðèâîäÿò ê âûðàæåíèþ äëÿ ýëåìåíòà S-ìàòðèöû:

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

650

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

à

á

Ðèñ. 11.3. Äâå äèàãðàììû ðàññåÿíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ëèíèè ñî ñòðåëêàìè îòâå÷àþò çàðÿæåííûì ÷àñòèöàì, âîëíèñòûå ëèíèè — ôîòîíàì. Äèàãðàììà á ÿâëÿåòñÿ ïîïðàâêîé íèçøåãî ïîðÿäêà, ó÷èòûâàþùåé ýôôåêò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà, ê äðåâåñíîé äèàãðàììå à

Sa + b (1,2 → 1′,2′) =

− ie1e2 [1 + π(q 2 )]δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 ) 2 2 4π q

× u1′ γ µ u1 ⋅ u2′ γ µ u2 .

(11.2.23)

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå u1γ 0 u1 g − i δ σ1′ σ1 , à u1 γ i u1 g 0 (àíàëîãè÷íî äëÿ ÷àñòèöû 2). Êðîìå òîãî, â ýòîì ïðåäåëå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü q0 ïî ñðàâíåíèþ ñ |q|. Òîãäà ôîðìóëà (11.2.23) ïðèíèìàåò âèä

Sa + b (1,2 → 1′,2′) =

− ie1e2 [1 + π(q 2 )]δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 )δ σ1′ σ1 δ σ2′ σ2 . 4π 2 q 2 (11.2.24)

Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ñðàâíèòü ñ áîðíîâñêèì ïðèáëèæåíèåì äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ðàññåÿíèÿ íà ëîêàëüíîì, íå çàâèñÿùåì îò ñïèíà öåíòðàëüíîì ïîòåíöèàëå V(r):

SÁîðí (1,2 → 1′,2′) = −2πiδ(E1′ + E2′ − E1 − E2 )TÁîðí (1,2 → 1′,2′) . (11.2.25)

z z

TÁîðí (1,2 → 1′,2′) = δ σ1′ σ1 δ σ2′ σ2 d 3x1 d 3 x2 V | x1 − x 2 |

b

g

× (2π) −12/2 e − ip1′ ⋅x1 e − ip2' ⋅x2 e ip1 ⋅x1 e ip2 ⋅x2 .

(11.2.26)

Ïîëàãàÿ x1 = x2 + r, ïîëó÷àåì

SÁîðí =

−i 4 δ (p1′ + p2′ − p1 − p2 )δ σ1′ σ1 δ σ2′ σ2 d 3 r V( r)e − iq ⋅r . (11.2.27) 4π 2

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

651

Ñðàâíåíèå ýòîé ôîðìóëû ñ ôîðìóëîé (11.2.23) ïîêàçûâàåò, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå äèàãðàììû ðèñ. 11.3 ïðèâîäÿò ê òàêîìó æå ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó ðàññåÿíèÿ, ÷òî è ïîòåíöèàë V(r), òàêîé, ÷òî 1 + π(q 2 ) d 3 r V( r)e − iq ⋅r = e1e2 q2

z

èëè, îáðàùàÿ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå,

V( r) = e1e2

XY d q e LM1 + π(q ) OP . Z N q Q 2

iq ⋅r

3

2

(11.2.28)

 ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ðàäèàöèîííûì ïîïðàâêàì * âûðàæåíèå (11.2.28) îïðåäåëÿåò òó æå ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, ÷òî è ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàñïðåäåëåíèé çàðÿäîâ e1η(x) è e2η(y) íà ðàññòîÿíèè r:

V(| r| ) = e1e2

XY Z

d 3x

XY d y η(x)η(y) , Z 4π| x − y + r| 3

(11.2.29)

ãäå

η(r) = δ 3 (r) +

1 2(2π)3

z

d 3 q π ( q 2 ) e iq ⋅ r .

(11.2.30)

Çàìåòèì, ÷òî

z

d 3 r η(r) = 1 + 21 π(0) = 1 ,

(11.2.31)

òàê ÷òî ïîëíûå çàðÿäû ÷àñòèö 1 è 2, îïðåäåëÿåìûå ïî (êóëîíîâñêîé) àñèìïòîòèêå ïîòåíöèàëà V(r) íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, — ýòî òå æå êîíñòàíòû å1 è å2, êîòîðûå îïðåäåëÿþò âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåíîðìèðîâàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïðè |r| ≠ 0 èíòåãðàë (11.2.30) ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ êîíòóðíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ: * Ò. å. ïî ïàðàìåòðó å2. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

652

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

η(r) = −

1

X x(1 − x)dxLM1 + YZ N

e2 8π 3 r 3

0

OP expFG H x(1 − x) Q mr

IJ . x(1 − x) K − mr

Ýòî âûðàæåíèå âåçäå îòðèöàòåëüíî. Îäíàêî ìû âèäåëè, ÷òî èíòåãðàë îò η(r) ïî âñåì r ðàâåí +1. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ η(r) äîëæíà ñîäåðæàòü ñëàãàåìîå (1+L)δ3(r), êîòîðîå ñèíãóëÿðíî ïðè r = 0, à L âûáðàíî òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ñîîòíîøåíèþ (11.2.31):

e2 L= 8π 3

1

XY d r XY x(1 − x)dxLM1 + Zr Z N 3

3

0

OP expFG H x(1 − x) Q mr

IJ . (11.2.32) x(1 − x) K − mr

Ñîîòâåòñòâåííî ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà èìååò âèä:

η(r) = (1 + L)δ 3 (r) −

e2 8π 3 r 3

1

X x(1 − x)dxLM1 + YZ N 0

OP expFG H x(1 − x) Q mr

IJ . x(1 − x) K − mr

(11.2.33) Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî ðåçóëüòàòà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ãîëûé òî÷å÷íûé çàðÿä ïðèòÿãèâàåò èç âàêóóìà ÷àñòèöû ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çàðÿäîì è îòòàëêèâàåò íà áåñêîíå÷íîñòü ñîîòâåòñòâóþùèå àíòè÷àñòèöû, òàê ÷òî ãîëûé çàðÿä ÷àñòè÷íî ýêðàíèðóåòñÿ.  ðåçóëüòàòå ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä ñòàíîâèòñÿ â 1/(1+L) ðàç ìåíüøå.  êà÷åñòâå ïðîâåðêè çàìåòèì, ÷òî åñëè îáðåçàòü ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë (11.2.32), ïîëàãàÿ, ÷òî îí áåðåòñÿ òîëüêî ïî îáëàñòè r ≥ a, òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ïðè a → 0 ÷àñòü èíòåãðàëà ðàâíà

L∞ =

e2 ln a −1 . 2 12π

(11.2.34)

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè îòîæäåñòâèòü îáðåçàíèå Λ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå * ñ à−1, òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü â L îêàæåòñÿ ñâÿçàííîé ñ ðàñõîäÿùåéñÿ ÷àñòüþ Z3 − 1 ñîîòíîøåíèåì * Êîðîòêî åãî íàçûâàþò èìïóëüñîì îáðåçàíèÿ. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.2. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà

653

(Z3 − 1) ∞ = −2L ∞ ,

(11.2.35)

ïîñêîëüêó â ïîðÿäêå å2 ïåðåíîðìèðîâàííûé çàðÿä (10.4.18) äàåòñÿ âûðàæåíèåì

FG H

IJ K

el = Z31/2 eBl ≅ 1 + 21 (Z3 − 1) eBl ≅ (1 + L) −1 eBl .

(11.2.36)

Ôîðìóëà (11.2.35) ïîäòâåðæäàåòñÿ íèæå. Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà îêàçûâàåò çàìåòíîå âëèÿíèå íà ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ìþîííûõ àòîìîâ. Êàê áóäåò ïîêàçàíî â ãë. 14, äèàãðàììà ðèñ. 11.3, á ïðèâîäèò ê ñäâèãó ýíåðãèè àòîìíîãî ñîñòîÿíèÿ ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(r) íà âåëè÷èíó

∆E =

z

d 3 r ∆V(r) | ψ (r)|2 ,

(11.2.37)

ãäå ∆V(r) — äîáàâî÷íîå ê êóëîíîâñêîìó ñëàãàåìîå â ïîòåíöèàëå (11.2.28): ee π(q 2 ) . ∆V(r) = 1 23 d 3q e iq ⋅r (11.2.38) q2 (2π)

X YZ

LM N

OP Q

Ïðè r . m−1 ýòà äîáàâêà ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàåòñÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíîâ â îáû÷íûõ àòîìàõ â îáùåì ñëó÷àå ñîñðåäîòî÷åíà â çíà÷èòåëüíî áîëüøåé îáëàñòè ðàäèóñîì à . m−1. Íàïðèìåð, äëÿ îðáèò ýëåêòðîíîâ âîêðóã ÿäðà çàðÿäîì Ze â âîäîðîäîïîäîáíîì àòîìå a = 137/(Zm) (çäåñü m = me). Ïîýòîìó ñäâèã ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò ïîâåäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè â îáëàñòè r n a. Åñëè îðáèòàëüíûé ìîìåíò ðàâåí l, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âåäåò ñåáÿ êàê rl ïðè r n a, òàê ÷òî èç (11.2.37) íàõîäèì, ÷òî ∆E ïðîïîðöèîíàëüíî ìíîæèòåëþ (ma)–(2l+3). Îòñþäà ýôôåêò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà äëÿ ñëó÷àÿ l = 0 ìíîãî áîëüøå, ÷åì äëÿ áîëåå âûñîêèõ óãëîâûõ ìîìåíòîâ. Ïðè l = 0 âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïðèáëèçèòåëüíî ïîñòîÿííà è ðàâíà ψ(0) äëÿ r, ìåíüøèõ èëè ïîðÿäêà m−1, òàê ÷òî ôîðìóëà (11.2.37) ïðèíèìàåò âèä

z

∆E =| ψ (0)|2 d 3 r ∆V(r) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(11.2.39)

654

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (11.2.38) è (11.2.22) èíòåãðàë îò äîáàâêè ê ïîòåíöèàëó (ïðè e1e2 = −Ze2) èìååò âèä:

z

d 3 r ∆V(r) = − Ze2 π ′(0) = −

4Zα 2 . 15m 2

(11.2.40)

Êðîìå òîãî, äëÿ ñîñòîÿíèé âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà ñ l = 0 è ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì n âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 3/2 Zαm 2 . ψ (0) = (11.2.41) n 4π

FG H

IJ K

Ïîýòîìó ýíåðãåòè÷åñêèé ñäâèã (11.2.39) îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì

∆E = −

4Z 4α 5 m . 15πn 3

(11.2.42)

Íàïðèìåð, äëÿ 2s ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà ýòîò ñäâèã ðàâåí –1,222 ⋅ 10–7 ýÂ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñäâèãó ÷àñòîòû ∆E/2π$, ðàâíîìó –37,13 ÌÃö. Èíîãäà ýòîò ýôôåêò íàçûâàþò ýôôåêòîì Þëèíãà 4. Êàê îáñóæäàëîñü â ãë. 1, ýòè íè÷òîæíûå ñäâèãè ýíåðãèè îêàçàëîñü âîçìîæíûì èçìåðèòü, ïîñêîëüêó â îòñóòñòâèå ðàçíûõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ÷èñòî äèðàêîâñêàÿ òåîðèÿ ïðåäñêàçûâàåò ïîëíîå âûðîæäåíèå 2s è 2p ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà.  ãë. 14 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî îñíîâíàÿ ÷àñòü «ëýìáîâñêîãî ñäâèãà» ìåæäó 2s è 2p ñîñòîÿíèÿìè, ðàâíàÿ +1058 ÌÃö, îáóñëîâëåíà äðóãèìè ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè, íî ñîãëàñèå ìåæäó òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â íàëè÷èè ñäâèãà –37,13 ÌÃö, îáÿçàííîãî ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà. Õîòÿ â îáû÷íûõ àòîìàõ ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà îïðåäåëÿåò ëèøü ìàëóþ ÷àñòü ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê, îíà ñòàíîâèòñÿ îïðåäåëÿþùåé â ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâêàõ äëÿ ìþîííûõ àòîìîâ, â êîòîðûõ âìåñòî ýëåêòðîíà íà îðáèòå íàõîäèòñÿ ìþîí. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ïî ðàçìåðíûì ñîîáðàæåíèÿì áîëüøèíñòâî ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ïðèâîäèò ê ýíåðãåòè÷åñêèì ñäâèãàì óðîâíåé ìþîííûõ àòîìîâ, êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû mµ, â òî âðåìÿ êàê ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà ∫d3r ∆V çà ñ÷åò ýëåêòðîííîé ïåòëè îñòàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé me−2, êàê â ôîðìóëå (11.2.40), ÷òî ïðèâîНа правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

655

äèò ê ñäâèãó ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà âåëè÷èíó mµ3me−2 =(210)2mµ. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ðàäèóñ ìþîííîé îðáèòû íåíàìíîãî áîëüøå êîìïòîíîâñêîé äëèíû âîëíû ýëåêòðîíà, òàê ÷òî ïðèáëèæåííûé ðåçóëüòàò (11.2.39) äàåò ëèøü ïîðÿäîê âåëè÷èíû ñäâèãà ýíåðãèè çà ñ÷åò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà. *** Èìåÿ â âèäó ñðàâíåíèå ñ ïîñëåäóþùèìè âû÷èñëåíèÿìè, çàìåòèì, ÷òî åñëè îáðåçàòü èíòåãðàë (11.2.7) íà κ = Λ, òî âìåñòî (11.2.20) ìû ïðèäåì ê èíòåãðàëó âèäà (Z3 − 1) ∞ = −

e2 6π 2

XY Z

Λ

µ

κ d − 5 dκ =

e2 µ d − 4 − Λd − 4 . d−4 6π 2

ãäå µ − ýôôåêòèâíîå èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå ïîðÿäêà ìàññû çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ïåòëå íà ðèñ. 11.1. (Ïðîñòåéøèé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ â ýòîì âûðàæåíèè ñîñòîèò â òðåáîâàíèè, ÷òîáû åãî ïðåäåë ïðè d < 3 è Λ → ∞ ñîâïàäàë ñ (11.2.20).) Ââåäÿ òàêîå îáðåçàíèå, ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó d → 4, ïîëó÷àÿ ïðè ýòîì

(Z3 − 1) ∞ = −

e2 ln Λ µ . 6π 2

a f

(11.2.43)

11.3 Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû è çàðÿäîâûå ðàäèóñû  êà÷åñòâå ñëåäóþùåãî ïðèìåðà âû÷èñëèì èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà è çàðÿäîâîãî ðàäèóñà ýëåêòðîíà èëè ìþîíà çà ñ÷åò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê íèçøåãî ïîðÿäêà. Îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû è äèàãðàììà ïåðåíîðìèðîâêè ôîòîí-ëåïòîííîé âåðøèíû ïîêàçàíû íà ðèñ. 11.4. Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 10.3, òå èç ýòèõ äèàãðàìì, êîòîðûå ñîäåðæàò âñòàâêè âî âíåøíèå âõîäÿùèå èëè âûõîäÿùèå ëåïòîííûå ëèíèè, îáðàùàþòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó ëåïòîí íàõîäèòñÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè. Äèàãðàììà, ñîäåðæàùàÿ âñòàâêó âî âíåøíþþ ôîòîííóþ ëèíèþ, îïèñûâàåò îáñóæäàâøèéñÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

656

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ýôôåêò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà. Òàêèì îáðàçîì, íàäëåæèò âû÷èñëèòü åäèíñòâåííóþ îäíîïåòëåâóþ äèàãðàììó (ïîñëåäíþþ íà ðèñ. 11.4): Γ1µLOOP (p ′, p) = ×

LM − i N (2π)

LM − i − i(p/ ′ − k/ ) + m OP γ N (2π) (p′ − k) + m − iε Q L − i 1 OP , − i(p/ − k/ ) + m O eγ (2π) M P (p − k) + m − iε Q N (2π) k − iε Q

XY d k Z

eγ ρ (2π) 4

4

2

4

2

µ

4

2

ρ

2

4

4

(11.3.1)

2

ãäå ð′ è ð — 4-èìïóëüñû êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ëåïòîíîâ, ñîîòâåòñòâåííî. (Âêëàä îò âåðøèíû, ñâÿçûâàþùåé âíåøíþþ ôîòîííóþ ëèíèþ ñ âíóòðåííèìè ýëåêòðîííûìè ëèíèÿìè, áåðåòñÿ ðàâíûì γµ, ò. ê. ìíîæèòåëü å(2π)4 áûë âêëþ÷åí â îïðåäåëåíèå Γµ.) Âûïèñàííûé èíòåãðàë î÷åâèäíî ñîäåðæèò óëüòðàôèîëåòîâóþ ðàñõîäèìîñòü òèïà ∫d4k/(k2)2.  îòëè÷èå îò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà, çäåñü íå íóæíî ïðèáåãàòü ê ñïåöèàëüíûì ïðîöåäóðàì òèïà ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè, ÷òîáû ñîõðàíèòü òðåáóåìóþ êàëèáðîâî÷-

à

á

â

ã

Ðèñ. 11.4. Îäíîïåòëåâûå äèàãðàììû äëÿ ôîòîí-ëåïòîííîé âåðøèííîé ôóíêöèè Γµ. Âîëíèñòûå ëèíèè èçîáðàæàþò ôîòîíû, îñòàëüíûå ëèíèè — ýëåêòðîíû èëè ìþîíû. Äèàãðàììû à è á ñîêðàùàþòñÿ âêëàäîì êîíòð÷ëåíîâ ïåðåíîðìèðîâêè ëåïòîííîãî ïîëÿ, äèàãðàììà â ïðîèñõîäèò îò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà, âû÷èñëåííîãî â ðàçäåëå 11.2, âêëàä äèàãðàììû ä âû÷èñëÿåòñÿ â ðàçäåëå 11.3

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

657

íîé èíâàðèàíòíîñòüþ ñòðóêòóðó, ïîñêîëüêó ôîòîí − íåéòðàëüíàÿ ÷àñòèöà. Ïîýòîìó èíòåãðàë ìîæíî ñäåëàòü êîíå÷íûì ïîäõîäÿùåé ìîäèôèêàöèåé ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà (íàïðèìåð, ïóòåì âêëþ÷åíèÿ ìíîæèòåëÿ M2/(k2 + M2) ñ áîëüøîé ðåãóëÿðè-çóþùåé ìàññîé Ì), íå ââîäÿ äëÿ ñîõðàíåíèÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè íèêàêèõ äðóãèõ èçìåíåíèé. Áîëåå òîãî, ìû óâèäèì, ÷òî àíîìàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò è çàðÿäîâûå ðàäèóñû ìîæíî âû÷èñëèòü, âîîáùå íå ó÷èòûâàÿ óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè.  ïîñëåäóþùåì èçëîæåíèè îñòàâèì âñå èíòåãðàëû äëÿ âåðøèííîé ôóíêöèè â èõ ðàñõîäÿùåéñÿ ôîðìå, ïîíèìàÿ ïðè ýòîì, ÷òî ïðè íåîáõîäèìîñòè ëþáîé ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ðåãóëÿðèçóþùóþ ìàññó Ì. Íà÷íåì ñ îáúåäèíåíèÿ çíàìåíàòåëåé, èñïîëüçóÿ îïèñàííóþ â Ïðèëîæåíèè ê ýòîé ãëàâå ðàñøèðåííóþ âåðñèþ ôîðìóëû Ôåéíìàíà:

1 =2 ABC

1

z z 0

x

dx dy Ay + B(x − y) + C(1 − x)

−3

0

.

(11.3.2)

Ïðèìåíÿÿ åå ê çíàìåíàòåëÿì â ôîðìóëå (11.3.1), íàõîäèì:

1 1 1 2 2 2 2 ( p ′ − k ) + m − iε ( p − k ) + m − iε k − iε 2

XY Z

1

XY Z

x

c(p′ − k) + m − iεhy + c(p − k) + m − iεh(x − y) + ck − iε h(1 − x) = 2X YZ dx XYZ dy ak − p′y − p(x − y)f + m x + q y(x − y) − iε , =2

dx

0

2

dy

2

0

2

0

−3

2

1

2

x

2

2 2

2

−3

0

(11.3.3) ãäå q = p − p′ — ïåðåäàííûé ôîòîíó èìïóëüñ. Ïîñëå ñäâèãà ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ k → k + p ′y + p(x − y)

èíòåãðàë (11.3.1) ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

658

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Γ1µLOOP (p ′, p)

=

2ie2 (2π) 4

X YZ

1

dx

0

X YZ

x

dy

0

X YY Z

d 4k k 2 + m 2 x 2 + q 2 y(x − y) − iε

× γ ρ − i p/ ′(1 − y) − k/ − p/ (x − y) + m γ µ × − i p/ (1 − x + y) − k/ − p/ ′y + m γ ρ .

b

3

g

b

(11.3.4)

g

Ñëåäóþùèé øà㠗 âèêîâñêèé ïîâîðîò. Êàê îáúÿñíåíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, äîáàâêà −iε â çíàìåíàòåëå äèêòóåò íåîáõîäèìîñòü ïîâîðîòà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî k0 â ñòîðîíó ìíèìîé îñè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òàê ÷òî èíòåãðàë ïî k0 îò −∞ äî +∞ çàìåíÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî ìíèìûì çíà÷åíèÿì îò −i∞ äî +i∞, èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïî äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèÿì âåëè÷èíû k4 ≡ −ik0 îò −∞ äî +∞. Âîñïîëüçóåìñÿ òàêæå âðàùàòåëüíîé ñèììåòðèåé çíàìåíàòåëÿ â (11.3.4), ÷òî ïîçâîëÿåò îòáðîñèòü â ÷èñëèòåëå ñëàãàåìûå íå÷åòíîé ñòåïåíè ïî k, çàìåíèòü kλkσ íà ηλσk2/4 è çàìåíèòü ýëåìåíò îáúåìà d4k = idk1dk2dk3dk4 íà 2iπ2κ3dκ, ãäå κ — åâêëèäîâà äëèíà 4-âåêòîðà k. Ïîñëå âñåõ ýòèõ äåéñòâèé ôîðìóëà (11.3.4) ïðèíèìàåò âèä Γ1µLOOP (p ′, p) =

−4π 2e2 (2π) 4

XY Z

1

0

dx

XY Z

x

dy

0

b

XY Z

∞

2 ρ σ µ

{ −κ γ γ

κ 3 dκ

0

g

b

γ γ σγ ρ / 4

g

+ γ ρ − i p/ ′(1 − y) − p/ (x − y) + m γ µ − i p/ (1 − x + y) − p/ ′y + m γ ρ × κ 2 + m 2 x 2 + q 2 y(x − y)

−3

.

}

(11.3.5)

Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ìàòðè÷íûé ýëåìåíòu′Γµu âåðøèííîé ôóíêöèè ìåæäó äèðàêîâñêèìè ñïèíîðàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿì

u ′ [ip/ ′ + m] = 0 ,

[ip/ + m]u = 0 .

Ïîýòîìó ìîæíî óïðîñòèòü âûðàæåíèå (11.3.5), ïåðåìåñòèâ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé àíòèêîììóòàöèè äèðàêîâñêèõ ìàòðèö âñå ìíîæèòåëè p/ ′ íàëåâî è âñå ìíîæèòåëè p/ íàïðàâî, è çàìåíèâ èõ ïîñëå ýòîãî íà im. Ïîñëå ïðÿìîãî, íî óòîìèòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè âûðàæåíèå (11.3.5) ê âèäó

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

u ′Γ1µLOOP (p ′, p) u =

o

u′ γ

µ

−4 π 2 e 2 (2π) 4

XY Z

659

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

XY Z

∞

κ 3 dκ

0

− κ + 2m (x − 4x + 2) + 2q ( y(x − y) + 1 − x) 2

2

2

2

+4 imp ′ µ ( y − x + xy) + 4 imp µ (x 2 − xy − y) u

s

× κ 2 + m 2x 2 + q 2 y(x − y)

−3

(11.3.6)

.

Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ñèììåòðèåé ïîñëåäíåãî ìíîæèòåëÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèÿ y → x − y. Â ðåçóëüòàòå òàêîãî îòðàæåíèÿ ôóíêöèè y − x + xy è x2 − xy − y, íà êîòîðûå óìíîæàþòñÿ p′µ è pµ ñîîòâåòñòâåííî, ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, ïîýòîìó èõ ìîæíî çàìåíèòü íà ñðåäíåå 1 2

( y − x + xy) + 21 (x 2 − xy − y) = − 21 x(1 − x) .

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

u ′Γ1µLOOP (p ′, p) u =

−4π 2e2 (2π) 4

XY Z

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

XY Z

∞

κ 3dκ

0

× u ′ γ µ − κ 2 + 2m 2 (x 2 − 4x + 2) + 2q 2 ( y(x − y) + 1 − x)

o

µ

µ

s

−2im(p ′ + p )x(1 − x) u κ + m x + q y(x − y) 2

2 2

2

−3

(11.3.7)

.

Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü pµ è p′µ âõîäÿò òîëüêî â êîìáèíàöèè pµ + p′µ, êàê è òðåáóåòñÿ ñîõðàíåíèåì òîêà. Íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå è äðóãèå äèàãðàììû. Êîíå÷íî, â Γµ åñòü âêëàä íóëåâîãî ïîðÿäêà γµ . Ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå (Z2 − 1), â êîíòð÷ëåíàõ (11.1.9) äàåò â Γµ âêëàä

ΓLµ = (Z2 − 1) γ µ . 2

(11.3.8)

Êðîìå òîãî, ïîïðàâêà âî âíåøíèé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð äàåò ñëàãàåìîå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

660

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ µ Γïîëÿðèç.

âàê. (p ′, p)

=

1 Π µν (p ′ − p) γ ν . (p ′ − p)2 − iε

(11.3.9)

Ôîðìà êàæäîãî èç ýòèõ ñëàãàåìûõ íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ îáùèì ðåçóëüòàòîì (10.6.10) (ñ H(q2) = 0):

LM N

u ′Γ µ (p ′, p) u = u ′ γ µ F(q 2 ) −

OP Q

i ( p + p ′) µ G ( q 2 ) u . 2m

(11.3.10)

 ïîðÿäêå å2 ôîðì-ôàêòîðû èìåþò âèä:

4π 2 e2 (2π) 4

F(q 2 ) = Z2 + π(q 2 ) + ×

G (q 2 ) =

XY Z

1

XY Z

dx

0

x

dy

0

XY Z

∞

κ 3dκ

0

κ 2 − 2m 2 (x 2 − 4x + 2) − 2q 2 ( y(x − y) + 1 − x)

−4π 2e2 (2π) 4

κ + m x + q y(x − y) 2

XY Z

1

dx

0

XY Z

2 2

x

dy

0

XY Z

2

∞

3

4m 2x(1 − x) κ 3dκ κ 2 + m 2x 2 + q 2 y(x − y)

0

(11.3.11)

,

3

,

(11.3.12)

ãäå π(q2) − ôóíêöèÿ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà (11.2.22). Èíòåãðàë, îïðåäåëÿþùèé ôîðì-ôàêòîð G(q2), êîíå÷åí è ðàâåí G (q 2 ) =

− e2 m 2 4π 2

XY Z

1

0

dx

XY Z

x

0

dy

x(1 − x) . m x + q 2 y(x − y) 2 2

(11.3.13)

Ýòî ïîçâîëÿåò ñðàçó âû÷èñëèòü àíîìàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò. Êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 10.6, â ìàãíèòíûé ìîìåíò äàåò âêëàä òîëüêî ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå γµ, òàê ÷òî ðåçóëüòàòîì ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ÿâëÿåòñÿ óìíîæåíèå äèðàêîâñêîãî çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà e/2m íà F(0). Îäíàêî îïðåäåëåíèå å êàê èñòèííîãî çàðÿäà ëåïòîíà òðåáóåò, ÷òîáû

F(0) + G(0) = 1 , òàê ÷òî ìàãíèòíûé ìîìåíò ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(11.3.14)

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

µ=

661

e 1 − G(0) . 2m

a

(11.3.15)

f

Èç (11.3.13) íàõîäèì, ÷òî

− G(0) =

e2 = 0,001161 . 8π 2

(11.3.16)

Ýòî çíàìåíèòàÿ ïîïðàâêà α/2π, âïåðâûå âû÷èñëåííàÿ Øâèíãåðîì 5. Êîíå÷íî, ýòî ëèøü ïåðâàÿ íèçøàÿ ðàäèàöèîííàÿ ïîïðàâêà ê ìàãíèòíîìó ìîìåíòó. Óæå â ñëåäóþùåì, ÷åòâåðòîì ïîðÿäêå ïî å êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ ñòîëü âåëèêî, ÷òî âû÷èñëåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûìè. Îäíàêî èç-çà áîëüøîé âåëè÷èíû îòíîøåíèÿ ìàññ ìþîíà è ýëåêòðîíà, ñóùåñòâóåò îäíà ïîïðàâêà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ê ìàãíèòíîìó ìîìåíòó ìþîíà, êîòîðàÿ íåñêîëüêî áîëüøå âñåõ îñòàëüíûõ. Îíà âîçíèêàåò îò âêëþ÷åíèÿ ýëåêòðîííîé ïåòëè â ëèíèþ âèðòóàëüíîãî ôîòîíà â äèàãðàììå âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ðèñ. 11.5). Âêëþ÷åíèå ýòîé ïåòëè ïðèâîäèò ê çàìåíå ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà 1/k2 â (11.3.1) íà (1 + πe(k2))/k2, ãäå πe(k2) äàåòñÿ ôîðìóëîé (11.2.22), à ìàññà m ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé ìàññå ýëåêòðîíà:

π e (k 2 ) =

e2 2π 2

1

X x(1 − x) lnFG1 + k x(1 − x) IJ dx . YZ m H K 0

2

2 e

Ðèñ. 11.5. Äâóõïåòëåâàÿ äèàãðàììà äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìþîíà. Æèðíàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåò ìþîí, òîíêàÿ âîëíèñòàÿ — ôîòîí, îñòàëüíûå òîíêèå ëèíèè — ýëåêòðîíû. Ýòà äèàãðàììà äàåò îòíîñèòåëüíî áîëüøîé âêëàä â ÷åòâåðòîì ïîðÿäêå â ãèðîìàãíèòíîå îòíîøåíèå äëÿ ìþîíà, ïðîïîðöèîíàëüíûé ln(mµ/me).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

662

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Àíàëèç âûðàæåíèÿ (11.3.12) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ìþîííîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýôôåêòèâíîå îáðåçàíèå èìïóëüñà âèðòóàëüíîãî ôîòîíà k ðàâíî mµ. Îòíîøåíèå mµ/me ñòîëü âåëèêî, ÷òî ïðè k2 ïîðÿäêà mµ2 ìîæíî ïðèáëèæåííî çàïèñàòü

e2 π e (k 2 ) ≅ 2π 2

1

X x(1 − x)dx lnF m I = e lnF m I , YY GH m JK 12π GH m JK Z 2 µ 2 e

0

2 µ 2 e

2

2

(11.3.17)

ãäå îòáðîøåííûå ñëàãàåìûå ñîäåðæàò âìåñòî ln(mµ2/me2) êîýôôèöèåíòû ïîðÿäêà åäèíèöû. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå åñòü êîíñòàíòà, ïîýòîìó èçìåíåíèå â − G(0), îáóñëîâëåííîå äîáàâëåíèåì ýëåêòðîííîé ïåòëè â âèðòóàëüíóþ ôîòîííóþ ëèíèþ, îïðåäåëÿåòñÿ óìíîæåíèåì ïðåäûäóùåãî ðåçóëüòàòà (11.3.16) äëÿ − G(0) íà ôàêòîð (11.3.17), òàê ÷òî

µµ =

F GH

LM MN

mµ2 e e2 e4 ln + + O(1) 2mµ 8π 2 96π 2 me2

OPI . PQJK

(11.3.18)

( ò. II ìû óâèäèì, ÷òî ýòî ðàññóæäåíèå åñòü óïðîùåííàÿ âåðñèÿ ìåòîäà ðåíîðìðóïïû.) Ôîðìóëó (11.3.18) ìîæíî ñðàâíèòü ñ òî÷íûì ðåçóëüòàòîì ðàñ÷åòà äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî 6:

µµ =

LM MN

mµ2 e e2 e4 + ln 2mµ 8π 2 96π 2 me2

FG H

−

FG IJ OPI . H K QJK

25 197 π 2 9ζ(3) me + + + − 3π 2 ln 2 + O 6 24 2 2 mµ

(11.3.19)

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñëàãàåìûå ïîðÿäêà Î(1) âíîñÿò âåëè÷èíó −6,137 â êîýôôèöèåíò ïðè e4/96π2, ÷òî íåìíîãèì ìåíüøå, ÷åì ln(mµ2/me2) = 10,663, òàê ÷òî ïðèáëèæåíèå (11.3.18) îïðåäåëÿåò âêëàä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ïîðÿäêà 2. Òî÷íûé ðåçóëüòàò ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà (11.3.19) ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ µµ = 1,00116546(e/2mµ), ÷òî ìîæíî ñðàâíèòü ñ ðåçóëüòàòîì ðàñ÷åòà äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî µµ = 1,001161(e/2mµ) è ïîñëåäíèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì ðåçóëüòàòîì 7 µµ = 1,001165923(e/2mµ). На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

663

Îáðàòèìñÿ ê äðóãîìó ôîðì-ôàêòîðó. Èíòåãðàë â âûðàæåíèè (11.3.11) äëÿ F(q2) ñîäåðæèò óëüòðàôèîëåòîâóþ ðàñõîäèìîñòü. Îäíàêî äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ íåïåðåíîðìèðîâêè çàðÿäà (11.3.14), íåîáõîäèìî, ÷òîáû êîíñòàíòà Z2 èìåëà çíà÷åíèå

Z2 = 1 +

e2 4 π 2 e2 − 8π 2 (2π) 4 ×

XY Z

1

XY Z

dx

0

x

XY Z

dy

0

∞

κ 3 dκ

0

κ 2 − 2m 2 (x 2 − 4x + 2) 2 2 3

κ2 + m x

(11.3.20)

.

(Íàïîìíèì, ÷òî π(0) = 0.) Ýòî âûðàæåíèå òàêæå ðàñõîäèòñÿ, ïðè÷åì ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü èìååò âèä (Z2 − 1) ∞ = −

e2 8π 2

XY Z

∞

dκ . κ

(11.3.21)

Ïîäñòàâëÿÿ (11.3.20) îáðàòíî â (11.3.11), ïîëó÷àåì

F (q 2 ) = 1 + ×

−

e2 4π 2 e2 2 ( q ) + π + 8π 2 (2π) 4

R| κ S| T κ

2

XY Z

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

XY Z

∞

κ 3dκ

0

− 2m 2 (x 2 − 4x + 2) − 2q 2 ( y(x − y) + 1 − x)

2

κ 2 + m 2 x 2 + q 2 y(x − y)

3

− 2m (x − 4x + 2) U| V| . κ +m x W 2

2

(11.3.22)

2

2 2 3

Òåïåðü èíòåãðàë ïî κ ñõîäèòñÿ:

F (q 2 ) = 1 +

e2 2π 2 e2 2 + π + ( q ) 8π 2 (2π) 4

RS −m (x T Lm x − ln M N

×

2

2

2 2

XY Z

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

− 4x + 2) − q 2 [ y(x − y) + 1 − x ] x 2 − 4x + 2 + m 2 x 2 + q 2 y(x − y) x2 + q 2 y(x − y) m2x2

OPUV . QW

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(11.3.23)

664

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Îäíàêî èíòåãðàë ïî x è y ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäèòñÿ ïðè x = 0 è y = 0, ò. ê. çíàìåíàòåëè ñîäåðæàò òîëüêî ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî x è/èëè y, à â ÷èñëèòåëå åñòü ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå òîëüêî äèôôåðåíöèàëû dx è dy. Ìîæíî ïðîñëåäèòü, ÷òî ýòà ðàñõîäèìîñòü íà ñàìîì äåëå âîçíèêàåò îò îáðàùåíèÿ â íóëü çíàìåíàòåëÿ [κ2 + m2x2 + q2y(x−y)]3 â (11.3.11) ïðè x = 0, y = 0 è κ = 0. Ïîñêîëüêó îíà ïðîèñõîäèò îò îáëàñòè ìàëûõ, à íå áîëüøèõ κ, åå íàçûâàþò íå óëüòðàôèîëåòîâîé, à èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòüþ *. Ïîäðîáíî èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè áóäóò ðàññìîòðåíû â ãë. 13. Òàì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè â ñå÷åíèè ïðîöåññîâ òèïà ýëåêòðîí−ýëåêòðîííîãî ðàññåÿíèÿ, âðîäå òåõ, êîòîðûå âîçíèêàþò èç-çà èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòè â ýëåêòðîííîì ôîðì-ôàêòîðå F(q2), ñîêðàùàþòñÿ, åñëè íàðÿäó ñ óïðóãèì ðàññåÿíèåì ðàññìàòðèâàòü è èñïóñêàíèå ôîòîíîâ íèçêîé ýíåðãèè. Êðîìå òîãî, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ãë. 14, ïðè ðàñ÷åòå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíÿì àòîìîâ èíôðàêðàñíàÿ ðàñõîäèìîñòü â F(q2) îáðåçàåòñÿ çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ñâÿçàííûé ýëåêòðîí íå íàõîäèòñÿ ñòðîãî íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.  äàííûé ìîìåíò ïðîäîëæèì âû÷èñëåíèÿ, ïðîñòî ââåäÿ íåêîòîðóþ ôèêòèâíóþ ìàññó ôîòîíà µ äëÿ òîãî, ÷òîáû îáðåçàòü èíôðàêðàñíóþ ðàñõîäèìîñòü â F(q2), è îñòàâèì äî ãë. 14 îáñóæäåíèå âîïðîñà î òîì, êàê èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Åñëè ìàññà ôîòîíà ðàâíà µ, òî çíàìåíàòåëü k2 − iε â ôîðìóëå (11.3.1) ñëåäóåò çàìåíèòü íà k2 + µ2 − iε.  ðåçóëüòàòå â âûðàæåíèÿõ, ñòîÿùèõ â çíàìåíàòåëÿõ ôîðìóë (11.3.3)−(11.3.7), (11.3.11), (11.3.20) è (11.3.22) ïîä çíàêîì òðåòüåé ñòåïåíè, äîáàâèòñÿ ñëàãàåìîå µ2(1−x). Òîãäà ôîðìóëà (11.3.23) çàìåíèòñÿ íà

F (q 2 ) = 1 +

e2 2π 2 e2 2 + π + ( q ) 8π 2 (2π) 4

XY Z

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

RS −m (x − 4x + 2) − q [y(x − y) + 1 − x] + m [x − 4x + 2] m x + µ (1 − x) T m x + q y(x − y) + µ (1 − x) L m x + q y(x − y) + µ (1 − x) OPUV . − ln M (11.3.24) N m x + µ (1 − x) QW

×

2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

*  îòëè÷èå îò óëüòðàôèîëåòîâîé ðàñõîäèìîñòè ýòà ðàñõîäèìîñòü åñòü ïðîÿâëåíèå îñîáåííîñòè Γµ(p, p′) êàê ôóíêöèè ð è ð′ íà ìàññîâîé îáîëî÷êå ð2 = m2, p′2 = m2. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.3. Àíîìàëüíûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû

665

Òåïåðü èíòåãðàë ïîëíîñòüþ ñõîäèòñÿ. Åãî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ôóíêöèè Ñïåíñà, íî ïîëó÷àþùèéñÿ ðåçóëüòàò íå ñëèøêîì ïðîçðà÷åí. Äëÿ öåëåé ãë. 14 áóäåò äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ïîâåäåíèå F(q2) ïðè ìàëûõ q2. Êàê óæå èçâåñòíî, èç òîæäåñòâà Óîðäà ñëåäóåò, ÷òî F(0) = = 1 − G(0) = 1 + e2/8π2, òàê ÷òî ðàññìîòðèì ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ F′(q2) â òî÷êå q2 = 0. Êàê ñëåäóåò èç (11.3.24), ýòà ïðîèçâîäíàÿ èìååò âèä

F ′(0) = π ′(0) +

RS T

× −

2π 2 e2 (2π) 4

XY Z

1

dx

0

XY Z

x

dy

0

UV W

(11.3.25) 2y(x − y) + 1 − x m 2 [x 2 − 4x + 2]y(x − y) . + 2 2 2 2 2 2 2 m x + µ (1 − x) [m x + µ (1 − x)]

Âêëàä ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà äàåòñÿ ôîðìóëîé (11.2.22) è ðàâåí

π ′(0) =

e2 . 60π 2m 2

(11.3.26)

Îïóñêàÿ â (11.3.25) âñå ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòåïåíÿì µ/m, ïîëó÷àåì *

F ′(0) =

LM F I N GH JK

OP Q

e2 2 1 µ2 ln , + + 2 2 2 5 4 24π m m

(11.3.27)

ãäå ñëàãàåìîå 2/5 îòâå÷àåò âêëàäó ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ôîðìóëû (11.3.13) ñëåäóåò, ÷òî G(q2) èìååò êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ ïðè q2 = 0

G ′(0) =

e2 . 48π 2m 2

(11.3.28)

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû óäîáíåå âñåãî âûðàçèòü ÷åðåç çàðÿäîâûé ôîðì-ôàêòîð F1(q2), îïðåäåëåííûé â àëüòåðíàòèâíîì ïðåäñòàâëåíèè (10.6.15) âåðøèííîé ôóíêöèè: * Èíòåãðàë ïî y òðèâèàëåí. Èíòåãðàë ïî x ïðîùå âñåãî âû÷èñëÿåòñÿ â ïðåäåëå µ n m ïóòåì ðàçäåëåíèÿ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ íà äâå ÷àñòè: îò 0 äî s, ãäå µ/m n s n 1, è îò s äî 1.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

666

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

u (p ′, σ ′)Γ µ (p ′, p) u(p, σ)

LM N

= u (p ′, σ ′) γ µ F1 (q 2 ) +

1 2

OP Q

i[ γ µ , γ ν ](p ′ − p) ν F2 (q 2 ) u(p, σ) . (11.3.29)

Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1.6.17) è (10.6.18)

F1 (q 2 ) = F(q 2 ) + G(q 2 ) .

(11.3.30)

Ïðè |q2| n m2 ýòîò ôîðì-ôàêòîð ïðèáëèæåííî ðàâåí

F1 (q 2 ) g 1 +

FG IJ LMlnFG µ IJ + 2 + 3 OP . H K N H m K 5 4Q

e2 q2 24π 2 m 2

2

2

(11.3.31)

Åãî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç çàðÿäîâûé ðàäèóñ a, îïðåäåëåííûé ïîâåäåíèåì çàðÿäîâîãî ôîðì-ôàêòîðà â ïðåäåëå q2 → 0:

F1 (q2 ) → 1 − q2a2 6 .

(11.3.32)

(Òàêîå îïðåäåëåíèå ìîòèâèðóåòñÿ òåì, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå exp(iq⋅x) ïî ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êå ðàäèóñà à âåäåò ñåáÿ ïðè q2a2 n 1 êàê 1 − q2a2/6.) Çàðÿäîâûé ðàäèóñ ýëåêòðîíà ðàâåí

a2 = −

LM F I N GH JK

OP Q

e2 2 3 µ2 + + ln . 2 2 2 5 4 m 4π m

(11.3.33)

 ãë. 14 ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ ðîëü ìàññû ôîòîíà èãðàåò ýôôåêòèâíîå èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå, ìíîãî ìåíüøåå m, òàê ÷òî ëîãàðèôì â ôîðìóëå (11.3.33) áîëüøîé ïî âåëè÷èíå è îòðèöàòåëüíûé, è çíà÷åíèå à2 ïîëîæèòåëüíî. 11.4. Ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà Çàâåðøèì ýòó ãëàâó âû÷èñëåíèåì ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà. Ñàìî ïî ñåáå ýòî âû÷èñëåíèå íå èìååò ïðÿìûõ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.4. Ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà

667

ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïðèëîæåíèé, îäíàêî íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè â ãë. 14 è ò. II *. Êàê è â ðàçäåëå 10.3, îïðåäåëèì i(2π)2[∑*(p)]β,α êàê ñóììó âñåõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé ýëåêòðîííîé ëèíèåé, íåñóùèìè èìïóëüñû ð è äèðàêîâñêèå èíäåêñû α è β, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì çâåçäî÷êà óêàçûâàåò, ÷òî èñêëþ÷àþòñÿ äèàãðàììû, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ íåñâÿçíûìè ïîñëå ðàçðåçàíèÿ êàêîé-òî îäíîé âíóòðåííåé ýëåêòðîííîé ëèíèè, è îòáðîøåíû ïðîïàãàòîðû, îòâå÷àþùèå äâóì âíåøíèì ëèíèÿì. Òîãäà òî÷íûé ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð äàåòñÿ ñóììîé

− i(2π) −4 S ′(p) = − i(2π) −4 S(p) (11.4.1)

+ − i(2π) −4 S(p) i(2π) 4 ∑ * (p) − i(2π) −4 S(p) + . . . , ãäå

S(p) ≡

− ip/ + me . p + me2 − iε

(11.4.2)

2

Ñóììà òðèâèàëüíî âû÷èñëÿåòñÿ, è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:

S′(p) = ip/ + me − ∑* (p) − iε

−1

(11.4.3)

.

 íèçøåì ïîðÿäêå â ∑*  äàåò âêëàä îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 11.6. Ýòîò âêëàä ðàâåí

X d k LM − i η OP YZ N (2π) k − iε Q L − i − ip/ + ik/ + m OP (2π) eγ × (2π) eγ M MN (2π) (p − k) + m − iε PQ

i(2π) 4 ∑1* LOOP (p) =

ρσ

4

4

4

2

ρ

e

4

2

4

σ

2 e

èëè â áîëåå ïðîñòîé çàïèñè

* Çàìåòèì, ÷òî ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò òàêæå ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîé ÷àñòüþ èëè ìàññîâûì îïåðàòîðîì ýëåêòðîíà. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

668

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Ðèñ. 11.6. Îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà äëÿ ýëåêòðîííîé ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèè. Êàê îáû÷íî, ñïëîøíàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåò ýëåêòðîí, âîëíèñòàÿ — ôîòîí.

∑1* LOOP (p)

=

ie2 (2π)

XY d k LM Z Nk

4

ρ

OP LM γ (− ip/ + ik/ + m )γ OP . − iε Q MN (p − k) + m − iε PQ

1

4

2

e

2

ρ

2 e

(11.4.4)

(Ýòî âûðàæåíèå çàïèñàíî â ôåéíìàíîâñêîé êàëèáðîâêå; àìïëèòóäû ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, íàõîäÿùèìèñÿ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, êàëèáðîâî÷íî íåèíâàðèàíòíû.) Äëÿ ïîñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèé ëýìáîâñêîãî ñäâèãà óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ðåãóëÿðèçàöèè, ïðåäëîæåííûì Ïàóëè è Âèëëàðñîì 8. Çàìåíèì ôîòîííûé ïðîïàãàòîð (k2 − iε)−1 íà

1 1 − 2 , k − iε k + µ 2 − iε 2

òàê ÷òî ýëåêòðîííàÿ ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñòàíåò ðàâíîé ∑1* LOOP (p) =

ie2 (2π) ×

X d k LM YZ N k

1

4

4

2

− iε

ρ

−

1 k +µ 2

2

OP − iε Q

LM γ (− ip/ + ik/ + m )γ OP . MN (p − k) + m − iε PQ e

2

ρ

(11.4.5)

2 e

Ïîçäíåå ìîæíî áóäåò îòáðîñèòü ðåãóëÿðèçóþùåå ñëàãàåìîå, óñòðåìèâ ðåãóëÿðèçóþùóþ ìàññó µ ê áåñêîíå÷íîñòè.  ãë. 14 íàñ áóäåò òàêæå èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé µ n me. Èñïîëüçóåì ïðèåì Ôåéíìàíà äëÿ îáúåäèíåíèÿ çíàìåíàòåëåé è âñïîìíèì, ÷òî γργκγρ = −2γκ, à γργρ = 4. Òîãäà На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

11.4. Ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà

∑1* LOOP (p) =

ie2

XY d k Z

2 i(p/ − k/ ) + 4me

4

(2π) 4

669

1

X L × Y dx M Z MN ((k − px)

1 + p2 (1 − x) + me2x + µ 2 (1 − x) − iε)2

2

0

−

1 ((k − px) + p x(1 − x) + me2x + µ 2 (1 − x) − iε)2 2

2

OP . PQ

(11.4.6)

Ñîâåðøàÿ ñäâèã ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ k → k + px è ïîâîðà÷èâàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì ∞ −2π 2e2 1 dx i x p m dκ κ 3 ∑1* LOOP (p) = − + [ 2 ( 1 ) 4 ] / e 4 (2π) 0 0

XY Z

×

LM MN (κ

XY Z

1 2

+ p x(1 − x) + 2

me2x)2

−

1 (κ + p x(1 − x) + 2

2

me2x

+ µ (1 − x)) 2

OP . PQ

(11.4.7)

Èíòåãðàë ïî κ òðèâèàëåí:

∑1* LOOP (p) =

2

− π 2 e2 (2π)4

XY Z

1

0

× ln

dx [2i(1 − x)p/ + 4me ]

F p x(1 − x) + m x + µ (1 − x) I . GH p x(1 − x) + m x JK 2

2 e

2

2

(11.4.8)

2 e

Êîíòð÷ëåíû (11.1.9) òàêæå âíîñÿò âêëàä â ∑* â âèäå ïåðåíîðìèðóþùèõ ñëàãàåìûõ −(Z2 − 1)( ip/ + me ) + Z2δm e , ãäå Z2 è δme îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì, ÷òî òî÷íûé ïðîïàãàòîð S′(p), ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóíêöèÿ ip/ , äîëæåí èìåòü ïîëþñ ïðè ip/ = − me ñ åäèíè÷íûì âû÷åòîì. ( ñëåäóþùåé ãëàâå ìû óâèäèì, ÷òî ýòî óñëîâèå äåëàåò ∑* êîíå÷íûìïðè µ → ∞ âî âñåõ ïîðÿäêàõ ïî å.)  íèçøåì ïîðÿäêå íàõîäèì:

δme = − ∑1* LOOP | ip/ = − me =

2me π 2 e2 (2π) 4

XY Z

1

0

dx (1 + x) ln

F m x + µ (1 − x) I , GH m x JK 2 e

2

2 e

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(11.4.9)

670

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

Z2 − 1 = − i =−

2π 2 e2 (2π) 4

∂ ∑1* LOOP ∂p/

XY Z

1

0

| ip/ = − me

R| S| T

dx (1 − x) ln

F m x + µ (1 − x) I − 2µ (1 − x) (1 + x) U|V . GH m x JK x(m x + µ (1 − x)) W| 2 e

2

2

2 e

2

2 e

2

(11.4.10) ( ýòîì ïîðÿäêå íåò ðàçíèöû ìåæäó δme è Z2δme.) Îïóñêàÿ ñëàãàåìûå, îáðàùàþùèåñÿ â íóëü ïðè µ2 → ∞, ïîëó÷àåì èç (11.4.8)−(11.4.10): ∑1* LOOP (p)

=

− π 2 e2 (2π) 4

X YZ

1

dx [2 i(1 − x)p/ + 4me ] ln

0

F µ (1 − x) I , GH p x(1 − x) + m x JK 2

2

2 e

(11.4.11)

δme =

Z2 − 1 = −

2me π 2 e2 (2π) 4

2 π 2 e2 (2π) 4

XY Z

1

0

XY Z

1

dx (1 + x) ln

0

RS T

dx (1 − x) ln

FG µ (1 − x) IJ , H mx K 2

(11.4.12)

2 2 e

FG µ (1 − x) IJ − 2(1 − x ) UV . (11.4.13) H mx K x W 2

2

2 2 e

Âèäíî, ÷òî â òî÷íîé ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëàãàåìûå ñ ln µ2 ñîêðàùàþòñÿ, è ìû ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ

∑ *ïîðÿäîê e2 (p) = ∑1* LOOP (p) − (Z2 − 1)( ip/ + me ) + Z2δme

X YY Z

1

R|[i(1 − x)p + 2m ] lnF m (1 − x) I S| / GH p x(1 − x) + m x JK (2π) T (11.4.14) L 1 − xI 1 − x I 2(1 − x ) O |U F F − m (1 + x) ln G H x JK − (ip/ + m )MN(1 − x) lnGH x JK − x PQVW| . =

−2π 2e2 4

2 e

dx

e

2

2 e

0

2

e

2

e

2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ïðèëîæåíèå

671

Âñå åùå îñòàåòñÿ ðàñõîäèìîñòü â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì ïðè x → 0. Ìîæíî ïðîñëåäèòü, ÷òî îíà ñâÿçàíà ñ ñèíãóëÿðíûì ïîâåäåíèåì èíòåãðàëà (11.4.5) ïî ôîòîííîìó èìïóëüñó k ïðè k2 = 0, êîãäà ïðè âû÷èñëåíèè Z2 − 1 ìû áåðåì ð2 â òî÷êå p2 = −me2. Äåòàëüíîå îáñóæäåíèå òàêèõ èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé äàíî â ãë. 13. Ñåé÷àñ äëÿ íàñ ñàìîå ãëàâíîå, ÷òî ñîêðàòèëèñü óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè. *** Ðåçóëüòàò (11.4.9) äëÿ δme èíòåðåñåí ñàì ïî ñåáå. Çàìåòèì, ÷òî δme/ me > 0, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè, îáÿçàííîé ñâîèì ïðîèñõîæäåíèåì âçàèìîäåéñòâèþ çàðÿäà ñ ñîáñòâåííûì ïîëåì. Îäíàêî, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü êëàññè÷åñêèì îöåíêàì ýëåêòðîìàãíèòíîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè, âûïîëíåííûì Ïóàíêàðå, Àáðàãàìîì è äð. 9, â ôîðìóëå (11.4.9) ñîäåðæèòñÿ òîëüêî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàñõîäèìîñòü â ïðåäåëå µ → ∞, êîãäà ñíèìàåòñÿ îáðåçàíèå.  ýòîì ïðåäåëå

δme →

µ 6me π 2e2 ln . 4 me (2π)

FG IJ H K

(11.4.15)

Ïðè âû÷èñëåíèè ëýìáîâñêîãî ñäâèãà â ðàçäåëå 14.3 íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ïðîòèâîïîëîæíûé ïðåäåë µ n me.  ýòîì ñëó÷àå èç (11.4.9) ïîëó÷àåì

δme →

µ e2 µ + ... . 1− 8π 2πme

LM N

OP Q

(11.4.16)

Ïðèëîæåíèå. Íåêîòîðûå èíåãðàëû ×òîáû îáúåäèíèòü çíàìåíàòåëè N ïðîïàãàòîðîâ, íåîáõîäèìî çàìåíèòü ïðîèçâåäåíèå òèïà D1−1 D2−1... DN−1 íà èíòåãðàë îò ôóíêöèè, ñîäåðæàùåé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ D1, D2, ..., DN. Ñ ýòîé öåëüþ ÷àñòî óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

672

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

1 = (N − 1)! D1D2 . . . DN

1

1

z z z 0

dx1

0

dx2 . . .

1

0

dxN −1

× D1xN −1 + D2 (xN − 2 − xN −1 )+ . . .+ DN (1 − x1 )

−N

(11.À.1)

.

 ýòîé ãëàâå ìû èñïîëüçîâàëè ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîé ôîðìóëû ïðè N = 2 è N = 3. Ïîñëå îáúåäèíåíèÿ çíàìåíàòåëåé, ñäâèãà ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ, âèêîâñêîãî ïîâîðîòà è ó÷åòà èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ÷åòûðåõìåðíûõ âðàùåíèé, ìû îáû÷íî ïðèõîäèì ê èíòåãðàëàì âèäà

XY d k (k ) Z (k + ν ) 2 n

4

2

2 m

,

ãäå (k2 + ν2)m âîçíèêàåò îò îáúåäèíåíèÿ çíàìåíàòåëåé, à (k2)n − îò ÷èñëèòåëåé ïðîïàãàòîðîâ è èìïóëüñíûõ ìíîæèòåëåé â âåðøèíàõ. Òàêèå èíòåãðàëû ðàñõîäÿòñÿ ïðè 2n+4 ≥ 2m, íî èõ ìîæíî ñäåëàòü êîíå÷íûìè, àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàÿ ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè îò 4 ê êîìïëåêñíîìó çíà÷åíèþ d. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷àþùåãîñÿ èíòåãðàëà èñïîëüçóåì õîðîøî èçâåñòíóþ ôîðìóëó

XY Z

∞

0

dκ

κ l −1 Γ(l / 2)Γ(m − l / 2) = νl − 2 m , 2 2 m 2 Γ ( m) (κ + ν )

(11.À.2)

ãäå l = d + 2n.  ðàçäåëå 11.2 èñïîëüçîâàëèñü ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîé ôîðìóëû ïðè n = 0, m = 2 è n = 1, m = 2. Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè ïðîÿâëÿþòñÿ â (11.À.2) êàê ïîëþñû â ìíîæèòåëå Γ(m−l/2) = Γ(m−n−d/2) ïðè d → 4 è ôèêñèðîâàííîì öåëîì n.  ñëó÷àå 2 + n = m ýòîò ìíîæèòåëü âåäåò ñåáÿ êàê

Γ

FG 4 − d IJ → 2 + γ , H 2 K d−4

(11.À.3)

ãäå γ = 0,5772157... − ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå äëÿ ñëó÷àÿ 2 + n > m ìîæíî íàéòè èç (11.À.3) è ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ãàììà-ôóíêöèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

673

Çàäà÷è 1.

Âû÷èñëèòå âêëàäû â ôóíêöèþ ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà π(q2) è â Z3 îäíîïåòëåâûõ äèàãðàìì, ñîäåðæàùèõ çàðÿæåííûå áåññïèíîâûå ÷àñòèöû ìàññîé ms. Êàêîå âëèÿíèå îêàæóò ýòè ïîïðàâêè íà ñäâèã óðîâíåé 2s ñîñòîÿíèÿ â àòîìå âîäîðîäà, åñëè ms . Zαme?

2.

Ïóñòü âçàèìîäåéñòâèå íåéòðàëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ìàññîé mϕ ñ ïîëåì ýëåêòðîíîâ èìååò âèä gϕψψ. Êàêîå âëèÿíèå îêàæåò ýòî âçàèìîäåéñòâèå â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè íà ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà è âåëè÷èíó Z2?

3.

Ðàññìîòðèòå íåéòðàëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå ϕ ìàññîé mϕ è ñàìîäåéñòâèåì gϕ3/6. Ðàññ÷èòàéòå ìàòðè÷íûé ýëåìåíò S-ìàòðèöû äëÿ ñêàëÿð−ñêàëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè.

4.

Ðàññ÷èòàéòå â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âëèÿíèå íåéòðàëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ èç çàäà÷è 2 íà ïîïðàâêó δme ê ìàññå ýëåêòðîíà. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Feynman, R.P., Phys. Rev., 76, 769 (1949).

2.

Wick, G.C., Phys., Rev., 80, 268 (1950).

3.

′t Hooft, G. and Veltman, M., Nucl. Phys., B44, 189 (1972). Phys. Lett., 20, 682 (1966); 21, 720 (1966); Erickson, G.W. and Liu, H.H.T., UCD-CNL-81 report (1968).

4.

Uehling, E.A., Phys. Rev., 48, 55 (1935). Îäíîïåòëåâàÿ ôóíêöèÿ π(q2) âïåðâûå áûëà âû÷èñëåíà ïðè q2 ≠ 0 â ðàáîòå: Schwinger, J., Phys. Rev., 75, 651 (1949).

5.

Schwinger, J., Phys. Rev., 73, 416 (1948).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

674

Ãëàâà 11. Îäíîïåòëåâûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè â ÊÝÄ

6.

Ýòîò ðàñ÷åò (âêëþ÷àÿ ñëàãàåìûå, èñ÷åçàþùèå â ïðåäåëå me n mµ) âûïîëíåí â ðàáîòàõ: Suura, H. and Wichmann, E., Phys. Rev., 105, 1930 (1957); Petermann, A., Phys. Rev., 105, 1931 (1957); Elend, H.H., Phys. Lett., 20, 682 (1966); 21, 720 (1966); Erickson, G.W. and Liu, H.H.T., UCD-CNL-81 report (1968).

7.

Bailey, J. et al. (CERN-Mainz-Daresbury Collaboration), Nucl. Phys., B150, 1 (1979). Ýòè ýêñïåðèìåíòû áûëè âûïîëíåíû ïóòåì íàáëþäåíèÿ ïðåöåññèè ñïèíà ìþîíà â íàêîïèòåëüíîì êîëüöå.

8.

Pauli, W. and Villars, F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 (1949). Ñì. òàêæå: Rayski, J., Phys. Rev., 75, 1961 (1949).

9.

Ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Miller, A.I., Theory of Relativity — Emergence (1905) and Early Interpretation (1905-1911) (Addison Wesley, Reading, MA, 1981), Chapter 1.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12 Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê  ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âû÷èñëåíèÿ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, îòíîñÿùèåñÿ ê îäíîïåòëåâûì äèàãðàììàì, ïðèâîäÿò ê ðàñõîäÿùèìñÿ èíòåãðàëàì â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îäíàêî âñå ðàñõîäèìîñòè ñîêðàùàþòñÿ, åñëè âûðàçèòü ïàðàìåòðû òåîðèè ÷åðåç «ïåðåíîðìèðîâàííûå» âåëè÷èíû âðîäå ðåàëüíî èçìåðÿåìûõ íà îïûòå ìàññ è çàðÿäîâ.  1949 ãîäó Äàéñîí 1 îáðèñîâàë äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñîêðàùåíèå áóäåò èìåò ìåñòî âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ñðàçó æå áûëî î÷åâèäíî (è ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå â ðàçäåëàõ 12.1 è 12.2), ÷òî àðãóìåíòû Äàéñîíà ïðèìåíèìû ê çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîìó êëàññó òåîðèé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ âçàèìîäåéñòâèé — ê òàê íàçûâàåìûì ïåðåíîðìèðóåìûì òåîðèÿì. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ïîäîáíûõ òåîðèé.  òå÷åíèå ðÿäà ëåò îáùåïðèíÿòîé áûëà òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî ëþáàÿ ðàçóìíàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîëæíà èìåòü ôîðìó ïåðåíîðìèðóåìîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Òðåáîâàíèå ïåðåíîðìèðóåìîñòè èãðàëî ðåøàþùóþ ðîëü ïðè ïîñòðîåíèè ñîâðåìåííîé «ñòàíäàðòíîé ìîäåëè» ñëàáûõ, ýëåêòðîìàãíèòíûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Îäíàêî, êàê ìû óâèäèì íèæå, ñîêðàùåíèå óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé ðåàëüíî íå çàâèñèò îò ïåðåíîðìèðóåìîñòè: äî òåõ ïîð, ïîêà ìû âêëþ÷àåì â òåîðèþ êàæäîå èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâèé, ðàçðåøåííûõ ñèììåòðèÿìè, òàê íàçûâàåìûå íåïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè ñòàíîâÿòñÿ ñòîëü æå ïåðåíîðìèðóåìûìè, êàê è ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ îáùåïðèçíàíî, ÷òî ðåàëèñòè÷åñêèå òåîðèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ôèçèêè ïðè äîñòóïíûõ ýíåðãèÿõ, îòíî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

676

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

ñÿòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì «ýôôåêòèâíûì òåîðèÿì ïîëÿ». Ïîä ýòèì ïîíèìàþò íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ ê áîëåå ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðèè, êîòîðàÿ ìîæåò âîîáùå íå áûòü òåîðèåé ïîëÿ (ñì. ðàçäåë 12.3). Ëþáàÿ ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ âêëþ÷àåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé. Òåì íå ìåíåå, êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëàõ 12.3. è 12.4, ìû ïîëàãàåì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ ýíåðãèÿõ âñå íåïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ýòèõ òåîðèÿõ ñèëüíî ïîäàâëåíû. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè òèïà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè èëè ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñîõðàíÿþò ñâîé îñîáûé ñòàòóñ â ôèçèêå, õîòÿ è ïî ïðè÷èíàì, íåñêîëüêî îòëè÷àþùèìñÿ îò òåõ, êîòîðûå ïåðâîíà÷àëüíî ïðèâåëè ê ïðåäïîëîæåíèþ î ïåðåíîðìèðóåìîñòè ýòèõ òåîðèé. 12.1. Èíäåêñû ðàñõîäèìîñòè Ðàññìîòðèì òåîðèþ âåñüìà îáùåãî âèäà, ñîäåðæàùóþ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçíûõ òèïîâ, ïîìå÷åííûå èíäåêñîì i. Êàæäîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ÷èñëîì nif ïîëåé êàæäîãî òèïà f è ÷èñëîì di ïðîèçâîäíûõ, äåéñòâóþùèõ íà ýòè ïîëÿ. Íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè * D ïðîèçâîëüíîé ñâÿçíîé îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìîé äèàãðàììû Ôåéíìàíà â òàêîé òåîðèè. Îí ðàâåí ÷èñëó èìïóëüñíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå ìèíóñ ÷èñëî òàêèõ ìíîæèòåëåé â çíàìåíàòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïëþñ ÷åòûðå ñòåïåíè íà êàæäûé íåçàâèñèìûé 4èìïóëüñ, ïî êîòîðîìó ïðîâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå. Èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè ðàâåí ôàêòè÷åñêîé ñòåïåíè ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî îáëàñòè èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé èìïóëüñû âñåõ âíóòðåííèõ ëèíèé îäíîâðåìåííî óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Èìåííî, ïîäâåðãíåì âñå âíóòðåííèå èìïóëüñû îäíîðîäíîìó ðàñòÿæåíèþ îäíèì ìàñøòàáíûì ôàêòîðîì κ; òîãäà * Àâòîð èñïîëüçóåò ïðèíÿòûé â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå òåðìèí superficial degree of divergence.  ïåðåâîäå ýòîãî òåðìèíà â îïóáëèêîâàííûõ êíèãàõ ñóùåñòâóåò ïîëíûé ðàçíîáîé (óñëîâíàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè, êàæóùàÿñÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè, ïîâåðõíîñòíàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè è ò. ï.). Ìû ðåøèëè èñïîëüçîâàòü ââåäåííûé â êíèãå Í. Í. Áîãîëþáîâà è Ä. Â. Øèðêîâà «Ââåäåíèå â òåîðèþ êâàíòîâàííûõ ïîëåé» òåðìèí èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12.1. Èíäåêñû ðàñõîäèìîñòè

677

âêëàä â àìïëèòóäó îò îáëàñòè áîëüøèõ èìïóëüñîâ, îòâå÷àþùèé κ → ∞, ðàñõîäèòñÿ ïðè D > 0 êàê

XY Z

∞

κ D −1dκ .

(12.4.1)

Òî÷íî òàê æå, ïðè èíäåêñå ðàñõîäèìîñòè D = 0 èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè, à ïðè D < 0 èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà *. Ïîçäíåå ìû âåðíåìñÿ ê ïðîáëåìå, êîãäà ïîäèíòåãðèðîâàíèÿ ** âåäóò ñåáÿ õóæå, ÷åì èíòåãðàë ïî âñåé îáëàñòè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ D ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿ èíôîðìàöèÿ î äèàãðàììå: If ≡ ÷èñëî âíóòðåííèõ ëèíèé ïîëÿ òèïà f; Ef ≡ ÷èñëî âíåøíèõ ëèíèé ïîëÿ òèïà f; Ni ≡ ÷èñëî âåðøèí âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà i. Çàïèøåì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðà ∆f(k) ïîëÿ òèïà f â âèäå (12.1.2) ∆ f (k) ~ k −2 + 2sf . Çàãëÿíóâ â ãë. 6, âèäèì, ÷òî sf = 0 äëÿ ñêàëÿðíûõ, sf = 1/2 äëÿ äèðàêîâñêèõ è sf = 1 äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìàññèâíûõ ïîëåé òèïà (À,Â) ïî îòíîøåíèþ ê ëîðåíöîâñêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì sf = À + Â. Íå î÷åíü òî÷íî ìîæíî íàçûâàòü sf «ñïèíîì». Îäíàêî, åñëè îòáðîñèòü òå ñëàãàåìûå, êîòîðûå íå äàþò âêëàäà â ñèëó êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè, òî äëÿ ýôôåêòèâíîãî ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà ηµν/k2 ïîëó÷àåì sf = 0. Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ äëÿ ìàññèâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ ñîõðàíÿþùèìñÿ òîêîì, ïðè óñëîâèè, ÷òî òîê íå çàâèñèò îò âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â òîì æå ñìûñëå è äëÿ ãðàâèòîííîãî ïîëÿ gµν ïðîïàãàòîð èìååò sf = 0. * Ôàêòè÷åñêàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå åå èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè. Êîíêðåòíûå ïðèìåðû ïðèâåäåíû íèæå, â ðàçäåëå 12.2. — Ïðèì. ðåä. ** Òåðìèí «ïîäèíòåãðèðîâàíèå» îçíà÷àåò èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòè âíóòðåííèõ èìïóëüñîâ, òåõ, êîòîðûå îòâå÷àþò íåêîòîðîé ïîääèàãðàììå äàííîé äèàãðàììû (ñì. íèæå). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

678

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Ñîãëàñíî (12.1.2) ïîëíûé âêëàä âñåõ ïðîïàãàòîðîâ â D ðàâåí:

∑ I f (2sf − 2) .

(12.1.3)

f

Êðîìå òîãî, ïðîèçâîäíûå â êàæäîì âçàèìîäåéñòâèè òèïà i âíîñÿò di èìïóëüñíûõ ìíîæèòåëåé ïîä èíòåãðàëîì, ÷òî äàåò îáùèé âêëàä â D, ðàâíûé

∑ N i di .

(12.1.4)

i

Íàêîíåö, ñëåäóåò ïîäñ÷èòàòü ïîëíîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ èìïóëüñíûõ ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ ëèíèÿ íåñåò 4-èìïóëüñ, íî íå âñå îíè íåçàâèñèìû, ò. ê. äåëüòàôóíêöèè, ñâÿçàííûå ñ êàæäîé âåðøèíîé, íàêëàäûâàþò ëèíåéíûå ñâÿçè íà âíóòðåííèå èìïóëüñû, çà âû÷åòîì îäíîé îáùåé äåëüòàôóíêöèè, âûðàæàþùåé çàêîí ñîõðàíåíèÿ âíåøíèõ èìïóëüñîâ. Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòû îáúåìà èíòåãðèðîâàíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå âíîñÿò â D ñëàãàåìîå

4

LM F N − 1I OP , I − MN∑ GH ∑ JK PQ f

f

i

(12.1.5)

i

÷òî, êîíå÷íî, åñòü ó÷åòâåðåííîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåòåëü â äèàãðàììå. Ñêëàäûâàÿ âûðàæåíèÿ (12.1.3), (12.1.4) è (12.1.5), íàõîäèì, ÷òî

D=

∑ I f (2sf + 2) + ∑ Ni (di − 4) + 4 . f

i

(12.1.6)

 ïðèâåäåííîì âèäå ôîðìóëà (12.1.6) íå î÷åíü óäîáíà, òàê êàê çíà÷åíèå D êàæåòñÿ çàâèñÿùèì îò âíóòðåííèõ äåòàëåé äàííîé äèàãðàììû. Ê ñ÷àñòüþ, ôîðìóëó ìîæíî óïðîñòèòü, âîñïîëüçîâàâøèñü òîïîëîãè÷åñêèìè òîæäåñòâàìè

2I f + E f =

∑ N i n if .

(12.1.7)

i

(Êàæäàÿ âíóòðåííÿÿ ëèíèÿ ñîåäèíåíà ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, à êàæäàÿ âíåøíÿÿ − òîëüêî ñ îäíîé.) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12.1.7) äëÿ èñêëþ÷åíèÿ If, âèäèì, ÷òî (12.1.6) ïåðåõîäèò â âûðàæåíèå âèäà

D= 4−

∑ E f (sf + 1) − ∑ N i ∆ i , f

i

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(12.1.8)

12.1. Èíäåêñû ðàñõîäèìîñòè

679

ãäå ∆i − ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé âçàèìîäåéñòâèÿ i-îãî òèïà:

∆ i ≡ 4 − di −

∑ n if (sf + 1) .

(12.1.9)

f

Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü ïóòåì ïðîñòîãî ðàçìåðíîãî àíàëèçà, íå ïðèáåãàÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñòðóêòóðû ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì. Ïðîïàãàòîð ïîëÿ åñòü ÷åòûðåõìåðíûé ôóðüåîáðàç ñðåäíåãî ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïàðû ñâîáîäíûõ ïîëåé, òàê ÷òî îáû÷íûì îáðàçîì íîðìèðîâàííîå ïîëå f, (ìàññîâàÿ) ðàçìåðíîñòü * êîòîðîãî ðàâíà Df, èìååò ïðîïàãàòîð ðàç−2 + 2 s f , ìåðíîñòè −4 + 2Df . Ïîýòîìó, åñëè ïðîïàãàòîð âåäåò ñåáÿ êàê k ïðè k ìíîãî áîëüøåì ìàññû, òî ïîëå äîëæíî èìåòü ðàçìåðíîñòü −4 + 2Df = −2 + 2sf, èëè Df = 1 + sf. Âàèìîäåéñòâèå òèïà i, âêëþ÷àþùåå nif òàêèõ ïîëåé è di ïðîèçâîäíûõ, áóäåò èìåòü ðàçìåðíîñòü di + ∑fnif(1 + sf). Íî äåéñòâèå äîëæíî áûòü áåçðàçìåðíî, ïîýòîìó êàæäîå ñëàãàåìîå â ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà äîëæíî èìåòü ðàçìåðíîñòü +4, ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàçìåðíîñòü − 4 ýëåìåíòà îáúåìà d4x. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîíñòàíòà ñâÿçè äàííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äîëæíà èìåòü ðàçìåðíîñòü 4 − di − ∑fnif(1 + sf), ÷òî êàê ðàç ðàâíî ïàðàìåòðó ∆i. Àìïëèòóäà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, îòâå÷àþùàÿ ñâÿçíîé äèàãðàììå Ôåéíìàíà ñ Ef âíåøíèìè ëèíèÿìè òèïà f åñòü ôóðüåïðåîáðàçîâàíèå ïî 4∑fEf êîîðäèíàòàì ñðåäíåãî ïî âàêóóìó îò õðîíîëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëåé ñ ïîëíîé ðàçìåðíîñòüþ ∑fEf(1 + sf), òàê ÷òî îíà èìååò ðàçìåðíîñòü ∑fEf(−3 + sf).  ýòîì âûðàæåíèè −4 ïðèõîäèòñÿ íà ðàçìåðíîñòè äåëüòà-ôóíêöèè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, à ∑fEf(−2 + 2sf) — íà ðàçìåðíîñòü ïðîïàãàòîðîâ âíåøíèõ ëèíèé, òàê ÷òî ñóììàðíàÿ ðàçìåðíîñòü èíòåãðàëà ïî èìïóëüñíîìó ïðîñòðàíñòâó âìåñòå ñî âñåìè êîíñòàíòàìè ñâÿçè ðàâíà *  ýòîé ãëàâå ïîä ñëîâîì «ðàçìåðíîñòü» âñåãäà ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìàññîâàÿ èëè èìïóëüñíàÿ ðàçìåðíîñòü ** â ñòåïåíÿõ ìàññû èëè èìïóëüñà â ñèñòåìå åäèíèö, ãäå $ = ñ = 1. Ìû èñïîëüçóåì îáùåïðèíÿòóþ íîðìèðîâêó ïîëåé, â òîì ñìûñëå, ÷òî ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå ñâîáîäíîãî ïîëÿ ñ íàèáîëüøèì ÷èñëîì ïðîèçâîäíûõ (îïðåäåëÿþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîïàãàòîðà) èìååò áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò. ** Ò. å. ðàçìåðíîñòü òàêîé æå ñòåïåíè ìàññû èëè èìïóëüñà. Àíãëîÿçû÷íûé òåðìèí dimensionality in powers of momentum èìååò óñòîé÷èâûé ðóññêîÿçû÷íûé ýêâèâàëåíò ìàññîâàÿ, èëè èìïóëüñíàÿ, ðàçìåðíîñòü. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

680

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

∑ E f (−3 + sf ) − (−4) − ∑ E f (−2 + 2sf ) = 4 − ∑ E f (sf + 1) . f

f

f

Ïîëíàÿ ðàçìåðíîñòü âñåõ êîíñòàíò ñâÿçè äëÿ çàäàííîé ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììû ðàâíà ∑iNi∆i, òàê ÷òî ðàçìåðíîñòü ñîáñòâåííî èíòåãðàëà ïî èìïóëüñíîìó ïðîñòðàíñòâó åñòü 4 − ∑fEf(sf + 1) − ∑iNi∆i. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ, â êîòîðîé âñå èìïóëüñû ñîâìåñòíî ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ïî èìïóëüñàì ðàâåí åãî ðàçìåðíîñòè. Ýòî è ïîäòâåðæäàåò ôîðìóëó (12.1.8). Åñëè äëÿ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé ïàðàìåòðû ∆i ≥ 0, ôîðìóëà (12.1.8) äàåò âåðõíþþ ãðàíèöó D, çàâèñÿùóþ òîëüêî îò ÷èñëà âíåøíèõ ëèíèé êàæäîãî òèïà, ò. å. îò ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, àìïëèòóäà êîòîðîãî âû÷èñëÿåòñÿ:

D≤ 4−

∑ E f (sf + 1) .

(12.1.10)

f

Íàïðèìåð, äëÿ ïðîñòîãî âàðèàíòà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, ðàññìîòðåííîãî â ïðåäûäóùåé ãëàâå, â òàáë. 12.1 ïðèâåäåíû òèïû ñëàãàåìûõ â ëàãðàíæèàíå. Äëÿ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé çäåñü ∆i ≥ 0, è ïîýòîìó ôåéíìàíîâñêàÿ äèàãðàììà ñ Eγ âíåøíèìè ôîòîííûìè ëèíèÿìè è Ee âíåøíèìè äèðàêîâñêèìè ëèíèÿìè áóäåò èìåòü èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè, îãðàíè÷åííûé óñëîâèåì (12.1.10):

D≤ 4−

3 2

Ee − E γ .

(12.1.11)

Òàêèì îáðàçîì, òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òèïîâ äèàãðàìì ñ îïðåäåëåííûìè íàáîðàìè âíåøíèõ ëèíèé ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Âñå îíè áóäóò ïåðå÷èñëåíû â ðàçäåëå 12.2. Ìû ñîáèðàåìñÿ ïîêàçàòü, ÷òî â òåîðèÿõ, ãäå ðàçìåðíîñòè êîíñòàíò ñâÿçè ∆i ≥ 0 äëÿ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé è ãäå ÷èñëî òèïîâ ðàñõîäÿùèõñÿ äèàãðàìì îãðàíè÷åíî, âñå ðàñõîäèìîñòè àâòîìàòè÷åñêè óñòðàíÿþòñÿ ïåðåîïðåäåëåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà ôèçè÷åñêèõ êîíñòàíò è ïåðåíîðìèðîâêîé ïîëåé. Ïî ýòîé ïðè÷èíå òàêèå òåîðèè íàçûâàþò ïåðåíîðìèðóåìûìè.  ðàçäåëå 12.3 ìû ïåðå÷èñëèì âñå ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè è îáñóäèì çíà÷åíèå ïåðåíîðìèðóåìîñòè êàê êðèòåðèÿ îòáîðà ôèçè÷åñêèõ òåîðèé. Òåðìèí «ïåðåíîðìèðóåìîå» ïðèìåíèì òàêæå ê îòäåëüíûì âçàèìîäåéñòâèÿì. Ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ — ýòî òå,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12.1. Èíäåêñû ðàñõîäèìîñòè

681

ó êîòîðûõ ïàðàìåòð ∆i ≥ 0, ò. å. âçàèìîäåéñòâèÿ, êîíñòàíòû ñâÿçè êîòîðûõ èìåþò íåîòðèöàòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü. Èíîãäà ðàçëè÷àþò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ∆i = 0, êîòîðûå íàçûâàþò ïðîñòî ïåðåíîðìèðóåìûìè, è ñ ∆i > 0, êîòîðûå íàçûâàþò ñóïåðïåðåíîðìèðóåìûìè. Ïîñêîëüêó äîáàâëåíèå âî âçàèìîäåéñòâèå äîïîëíèòåëüíûõ ïîëåé èëè ïðîèçâîäíûõ âñåãäà óìåíüøàåò ïàðàìåòð ∆i, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ëèøü îãðàíè÷åííîå ÷èñëî ïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé, ñîäåðæàùèõ ïîëÿ ëþáîãî äàííîãî òèïà. Ìû âèäåëè, ÷òî â ïðîñòåéøåì âàðèàíòå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåíîðìèðóåìû, à ñëàãàåìûå ñψψ ñóïåðïåðåíîðìèðóåìû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè äëÿ êàêîãî-òî âçàèìîäåéñòâèÿ ∆i < 0, èíäåêñ äèàãðàììû (12.1.8) íåîãðàíè÷åíííî âîçðàñòàåò ïî ìåðå äîáàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèí. Íåçàâèñèìî îò òîãî, ñêîëü áîëüøèìè ìû âûáåðåì ðàçíûå Ef, â êîíöå êîíöîâ ïðè äîñòàòî÷íîì êîëè÷åñòâå âåðøèí òèïà i, äëÿ êîòîðûõ ∆i < 0, âûðàæåíèå (12.1.8) ñòàíåò ïîëîæèòåëüíûì (èëè íóëåì), è èíòåãðàë ðàçîéäåòñÿ. Ïîäîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, êîíñòàíòû ñâÿçè êîòîðûõ èìåþò Òàáëèöà 12.1

∆i

Âçàèìîäåéñòâèå

di

niγ

nie

−ieψ ∂/ ψ

0

1

2

4 −1 − 3 = 0

−(Z3−1)FµνFµν/4

2

2

0

4−2−2=0

−(Z2−1)ψ ∂/ ψ

1

0

2

4−1−3=0

[−(Z2−1)m + Z2δm]ψψ

0

0

2

4−3=1

Òàáë. 12.1. Ñëàãàåìûå ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Çäåñü di, niγ è nie — ÷èñëà ïðîèçâîäíûõ, ïîëåé ôîòîíîâ è ïîëåé ýëåêòðîíîâ, ñîîòâåòñòâåííî â äàííîì ÷ëåíå âçàèìîäåéñòâèÿ, à ∆i — ðàçìåðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà (íàïîìíèì, ÷òî sγ = 0 è se = 1/2).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

682

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

îòðèöàòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü, íàçûâàþòñÿ íåïåðåíîðìèðóåìûìè,* òàê æå, êàê è òåîðèè, âêëþ÷àþùèå ëþáûå íåïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî òàêèå òåîðèè áåçíàäåæíû; ìû óâèäèì, ÷òî áåñêîíå÷íîñòè â íèõ òàêæå ìîæíî ïîãëîòèòü ïåðåîïðåäåëåíèåì ïàðàìåòðîâ òåîðèè, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî íåîáõîäèìî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîíñòàíò ñâÿçè. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî âû÷èñëåííûé íàìè èíäåêñ äèàãðàììû îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó ðàñõîäèìîñòè ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ïðè èíòåãðèðîâàíèè òîëüêî ïî òåì îáëàñòÿì èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ âñå âíóòðåííèå 4-èìïóëüñû ñîâìåñòíî ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Îäíàêî ðàñõîäèìîñòè ìîãóò âîçíèêàòü è îò îáëàñòåé, â êîòîðûõ ê áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìÿòñÿ òîëüêî 4-èìïóëüñû ëèíèé, ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîé ïîääèàãðàììå. Íàïðèìåð, äëÿ êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå (Ee = 2, Eγ = 2) èç ôîðìóëû (12.1.11) ñëåäóåò, ÷òî èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè D ≤ −1, è, äåéñòâèòåëüíî, äèàãðàììû òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 12.1, à ñõîäÿòñÿ. Îäíàêî äèàãðàììû ðèñ. 12.1, á èëè 12.1, â ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿòñÿ, ò. ê. îíè ñîäåðæàò ïîääèàãðàììû (âûäåëåííûå ïóíêòèðíûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè) ñ D ≥ 0. Ðàñõîäèìîñòè ýòèõ äèàãðàìì îáúÿñíÿþòñÿ àíîìàëüíî ïëîõèì àñèìïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé â ñïåöèàëüíûõ (ïîä)îáëàñòÿõ èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà.  ýòèõ îáëàñòÿõ âîñåìü êîìïîíåíò äâóõ íåçàâèñèìûõ âíóòðåííèõ 4-èìïóëüñîâ ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè ê áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ òîëüêîò îäèí 4-èìïóëüñ — òîò, êîòîðûé öèðêóëèðóåò â ïåòëÿõ, âñòàâëåííûõ ëèáî âî âíóòðåííèå ëèíèè, ëèáî â ýëåêòðîí-ôîòîííóþ âåðøèíó *. Áûëî ïîêàçàíî 2, ÷òî òðåáîâàíèå ôàêòè÷åñêîé ñõîäèìîñòè àìïëèòóäû, ñîîòâåòñòâóþùåé ëþáîé äèàãðàììå, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîäñ÷åò ñòåïåíåé ïðèâîäèë ê çíà÷åíèþ èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè D < 0 íå òîëüêî äëÿ âñåãî ìíîãîêðàòíîãî èíòåãðàëà äëÿ ïîëíîé àìïëèòóäû, *  ïåðòóðáàòèâíîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå íåïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ íîñÿò íàçâàíèå íåñóùåñòâåííûõ, òàê êàê îíè ñòàíîâÿòñÿ ìåíåå âàæíûìè â ïðåäåëå íèçêèõ ýíåðãèé. Ïåðåíîðìèðóåìûå èëè ñóïåðïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìàðãèíàëüíûìè è ñóùåñòâåííûìè. ** Ýòîò èìïóëüñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîãî âíóòðåííåãî èìïóëüñà. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12.1. Èíäåêñû ðàñõîäèìîñòè

à

683

á

â

Ðèñ. 12.1. Íåêîòîðûå äâóõïåòëåâûå äèàãðàììû êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ. Çäåñü ñïëîøíûå ëèíèè îòâå÷àþò ýëåêòðîíàì, à âîëíèñòûå — ôîòîíàì. Èíòåãðàë ïî èìïóëüñíîìó ïðîñòðàíñòâó äëÿ äèàãðàììû à ñõîäèòñÿ, à äëÿ äèàãðàìì á è â ðàñõîäèòñÿ èç-çà ïîäèíòåãðèðîâàíèÿ, îòâå÷àþùåãî ïîääèàãðàììàì â ïóíêòèðíûõ ðàìêàõ

íî è äëÿ ëþáîãî èíòåãðàëà ìåíüøåé êðàòíîñòè, îïðåäåëÿåìîãî ôèêñàöèåé ëþáûõ îäíîé èëè áîëåå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé èìïóëüñîâ â ïåòëÿõ. (Äèàãðàììû, ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 12.1, á è 12.1, â, íå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ, ïîñêîëüêó äëÿ ïîäèíòåãðèðîâàíèé ïî èìïóëüñàì â ïåòëÿõ âíóòðè ïóíêòèðíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ D ≥ 0.) Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü çäåñü äîâîëüíî äëèííîå äîêàçàòåëüñòâî, ïîñêîëüêó îíî õîðîøî èçëîæåíî â èìåþùèõñÿ êíèãàõ 3, äà è ñàì ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà èìååò ìàëî îòíîøåíèÿ ê òîìó, êàê ðåàëüíî äåëàþòñÿ âû÷èñëåíèÿ.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû îïèøåì, êàê âûïîëíÿåòñÿ ñôîðìóëèðîâàííîå òðåáîâàíèå. 12.2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé Ðàññìîòðèì ôåéíìàíîâñêóþ äèàãðàììó èëè åå ÷àñòü ñ ïîëîæèòåëüíûì èíäåêñîì äèàãðàììû D ≥ 0. Òà ÷àñòü èíòåãðàëà ïî èìïóëüñíîìó ïðîñòðàíñòâó, ãäå âñå âíóòðåííèå èìïóëüñû ñîâìåñòíî ∞ D −1 óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, áóäåò ðàñõîäèòüñÿ êàê k dk . Åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü D + 1 ðàç ïî ëþáîìó âíåøíåìó èìïóëüñó, òî ïîêàçàòåëü ñòåïåííîé àñèìïòîòèêè ïîäûíòåãðàëüíîãî

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

684

âûðàæåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà D + 1 *, ÷òî ñäåëàåò èíòåãðàë ïî ýòîé ÷àñòè èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà ñõîäÿùèìñÿ **. Ïðàâäà, åùå ìîãóò îñòàâàòüñÿ ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå îò ïîääèàãðàìì òèïà ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 12.1, á è 12.1, â, íî íà íåêîòîðîå âðåìÿ çàáóäåì îá ýòîé âîçìîæíîñòè (ìû âåðíåìñÿ ê åå îáñóæäåíèþ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå). Ïîñêîëüêó (D + 1)-êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå äåëàåò èíòåãðàë êîíå÷íûì, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âêëàä òàêîé äèàãðàììû èëè ïîääèàãðàììû ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê ïîëèíîì ïîðÿäêà D ïî âíåøíèì èìïóëüñàì ñ ðàñõîäÿùèìèñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïëþñ êîíå÷íûé îñòàòîê. ×òîáû ïîíÿòü áåç ëèøíèõ óñëîæíåíèé, êàê âñå ýòî ðàáîòàåò, ðàññìîòðèì ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùèéñÿ îäíîìåðíûé èíòåãðàë ∞ dk J (q ) ≡ , 0 k+q

XY Z

ñ D = 1 − 1 = 0. Ïîñëå îäíîêðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

J ′(q ) ≡ −

XY Z

∞

0

òàê ÷òî

dk 1 =− , 2 q (k + q )

J (q ) = − ln q + c .

Ïîñòîÿííàÿ c î÷åâèäíî ðàñõîäèòñÿ, íî îñòàëüíàÿ ÷àñòü èíòåãðàëà êîíå÷íà. Òî÷íî òàê æå ìîæíî îöåíèòü èíòåãðàë ñ D = 1 ∞ kdk = a + bq + q ln q 0 k+q

XY Z

ñ ðàñõîäÿùèìèñÿ êîíñòàíòàìè a è b. Äàëåå, ïîëèíîì ïî âíåøíèì èìïóëüñàì — ýòî êàê ðàç òî, ÷òî âîçíèêàåò îò äîáàâëåíèÿ ïîäõîäÿùèõ ñëàãàåìûõ â ëàãðàíæèàí: * Íàïðèìåð, åñëè âíóòðåííÿÿ ñêàëÿðíàÿ ëèíèÿ íåñåò èìïóëüñ k + p, ãäå ð − ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âíåøíèõ 4-èìïóëüñîâ, à k − 4-èìïóëüñ, ïî êîòîðîìó ïðîâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, òî ïðîèçâîäíàÿ ïðîïàãàòîðà [(k + p)2 + m2]−1 ïî pµ äàåò −2(kµ + pµ) [(k + p)2 + m2]−2, è ýòîò ìíîæèòåëü âåäåò ñåáÿ ïðè k → ∞ êàê k–3, à íå êàê k−2. ** Ãîâîðÿò, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âíåøíèì èìïóëüñàì óìåíüøàåò èíäåêñ äèàãðàììû (íà åäèíèöó ïðè îäíîêðàòíîì äèôôåðåíöèðîâàíèè). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

685

åñëè äèàãðàììà ñ Ef âíåøíèìè ëèíèÿìè òèïà f èìååò èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè D ≥ 0, òî óëüòðàôèîëåòîâî ðàñõîäÿùèéñÿ ïîëèíîì ñîâïàäàåò ñ òåì, êîòîðûé âîçíèê áû ïðè äîáàâëåíèè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé òèïà i, âêëþ÷àþùèìè nif = Ef ïîëåé òèïà f è di ≤ D ïðîèçâîäíûõ. Åñëè â ëàãðàíæèàíå óæå èìåþòñÿ òàêèå âçàèìîäåéñòâèÿ, òî óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè ïðîñòî âíîñÿò ïîïðàâêè ê êîíñòàíòàì ñâÿçè ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé. Ñëåäîâàòåëüíî ïîäîáíûå áåñêîíå÷íîñòè ìîãóò áûòü ñîêðàùåíû ïóòåì âêëþ÷åíèÿ â êîíñòàíòû ñâÿçè ïîäõîäÿùèõ áåñêîíå÷íûõ ñëàãàåìûõ. Âñå, ÷òî ìû êîãäà-ëèáî ìîæåì èçìåðèòü, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ãîëîé êîíñòàíòû ñâÿçè è ñîîòâåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà îäíîãî èç ðàñõîäÿùèõñÿ ïîëèíîìîâ, òàê ÷òî åñëè ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòà ñóììà ðàâíÿëàñü èçìåðÿåìîìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ êîíå÷íûì, ãîëàÿ êîíñòàíòà äîëæíà àâòîìàòè÷åñêè ñîäåðæàòü áåñêîíå÷íîñòü, êîòîðàÿ ñîêðàùàåò áåñêîíå÷íîñòü îò ðàñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà ïî âíóòðåííèì èìïóëüñàì. (Îäíî óòî÷íåíèå: êîãäà ðàñõîäèìîñòü âîçíèêàåò â äèàãðàììå èëè ïîääèàãðàììå ðîâíî ñ äâóìÿ âíåøíèìè ëèíèÿìè, âîçíèêàþùåé êàê ðàäèàöèîííàÿ ïîïðàâêà ê ïðîïàãàòîðó ÷àñòèöû, ìû äîëæíû òðåáîâàòü íå ðàâåíñòâà íåêîòîðîé ýôôåêòèâíîé êîíñòàíòû ñâÿçè åå èçìåðÿåìîìó çíà÷åíèþ, à òîãî, ÷òîáû òî÷íûé ïðîïàãàòîð èìåë ïîëþñ â òîì æå ìåñòå è ñ òåì æå âû÷åòîì, ÷òî è ó ïðîïàãàòîðà ñâîáîäíûõ ÷àñòèö.) Òàêèì îáðàçîì, âñå áåñêîíå÷íîñòè ïîãëîùàþòñÿ ïåðåîïðåäåëåíèåì êîíñòàíò ñâÿçè, ìàññ è ïîëåé. ×òîáû òàêàÿ ïðîãðàììà ïåðåíîðìèðîâîê ðàáîòàëà, ñóùåñòâåííî, ÷òîáû ëàãðàíæèàí âêëþ÷àë âñå âçàèìîäåéñòâèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå óëüòðàôèîëåòîâî ðàñõîäÿùèìñÿ ÷àñòÿì ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä. (Èñêëþ÷åíèÿ èç ýòîãî ïðàâèëà âñòðå÷àþòñÿ â ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèÿõ 4.) Êîíå÷íî, âçàèìîäåéñòâèÿ â ëàãðàíæèàíå îãðàíè÷åíû ðàçëè÷íûìè ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè âðîäå ëîðåíöèíâàðèàíòíîñòè, êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè è ò. ï., íî òî÷íî òàê æå îãðàíè÷åíû ýòèìè òðåáîâàíèÿìè è óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè. (Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî íåàáåëåâûå êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè îãðàíè÷èâàþò áåñêîíå÷íîñòè òàê æå, êàê è âçàèìîäåéñòâèÿ, òðåáóåò îïðåäåëåííûõ óñèëèé. Ìû ïîêàæåì ýòî â ò. II.)  îáùåì ñëó÷àå, íåò íèêàêèõ èíûõ îãðàíè÷åíèé íà óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè, òàê ÷òî ëàãðàíæèàí äîëæåí ñîäåðæàòü âñå âîçìîæíûå ñëàãàåìûå, ñîâìåñòèìûå ñ ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò âàæíûé êëàññ òåîðèé âñåãî ëèøü ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âçàèìîäåéñòâèé, äëÿ êîòîðûõ òàêæå ïðèìåíèìà

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

686

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

ïðîãðàììà ïåðåíîðìèðîâêè. Ýòî òàê íàçûâàåìûå ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè, ó êîòîðûõ äëÿ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé ðàçìåðíîñòè êîíñòàíò ñâÿçè ∆i ≥ 0. Èç ôîðìóëû (12.1.8) èìååì:

D≤ 4−

∑ E f (sf + 1) , f

ïîýòîìó ðàñõîäÿùèåñÿ ïîëèíîìû âîçíèêàþò òîëüêî â îãðàíè÷åííîì ÷èñëå òèïîâ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì èëè ïîääèàãðàìì ñ äîñòàòî÷íî íåáîëüøèì ÷èñëîì âíåøíèõ ëèíèé, òàê ÷òî D ≥ 0. Âêëàä òàêèõ ðàñõîäÿùèõñÿ ïîëèíîìîâ òî÷íî òàêîé æå, êàêîé âîçíèê áû ïîñëå çàìåíû ðàñõîäÿùåéñÿ äèàãðàììû èëè ïîääèàãðàììû åäèíñòâåííîé âåðøèíîé, âîçíèêàþùåé îò ñëàãàåìîãî â ëàãðàíæèàíå ñ Ef ïîëÿìè òèïà f è 0,1,...,D ïðîèçâîäíûìè. Îäíàêî, ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (12.1.9), âèäèì, ÷òî ýòî â òî÷íîñòè òî æå ñàìîå, ÷òî è âçàèìîäåéñòâèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå òðåáîâàíèþ ïåðåíîðìèðóåìîñòè ∆i ≥ 0, èëè, èíûìè ñëîâàìè,

0 ≤ di ≤ 4 −

∑ n if (sf + 1) . f

Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ïåðåíîðìèðóåìîé òåîðèè ñîêðàòèëèñü âñå ðàñõîäèìîñòè, îáû÷íî íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ëàãðàíæèàíå ñîäåðæàëèñü âñå ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ðàçðåøåííûå òðåáîâàíèÿìè ñèììåòðèè *. Íàïðèìåð, åñëè åñòü ñêàëÿðíîå (èëè ïñåâäîñêàëÿðíîå) ïîëå ϕ è ôåðìèîííîå ïîëå ψ ñî âçàèìîäåéñòâèÿìèψψϕ (èëèψγ5ψϕ), ìû íå ìîæåì èñêëþ÷èòü âçàèìîäåéñòâèå ϕ4, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íå íàøëîñü áû êîíòð÷ëåíà äëÿ ñîêðàùåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ðàñõîäèìîñòè îò ôåðìèîííûõ ïåòåëü ñ ÷åòûðüìÿ ïðèêðåïëåííûìè ñêàëÿðíûìè èëè ïñåâäîñêàëÿðíûìè ëèíèÿìè. * Êðîìå òîãî, â ëàãðàíæèàí ìîãóò âõîäèòü âçàèìîäåéñòâèÿ è ìàññîâûå ñëàãàåìûå, íå ðàçðåøåííûå ãëîáàëüíûìè ñèììåòðèÿìè, ïðè óñëîâèè, ÷òî îíè ñóïåðïåðåíîðìèðóåìû, ò. å. èìåþò ∆i > 0. Äåëî â òîì, ÷òî íàëè÷èå ñóïåðïåðåíîðìèðóåìîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîíèæàåò ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè, òàê ÷òî íàðóøåíèå ñèììåòðèè íå çàòðàãèâàåò òå ðàñõîäèìîñòè, êîòîðûå ñîêðàùàþòñÿ ñòðîãî ïåðåíîðìèðóåìûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè ñ ∆i = 0. Îòìåòèì, ÷òî èìåííî ãîëûå ñòðîãî ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèÿì äàííîé ñèììåòðèè; â ïåðåíîðìèðîâàííûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, îïðåäåëÿåìûõ ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ýôôåêò íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè â îáùåì ñëó÷àå ïðîÿâëÿåòñÿ ÿâíî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

687

Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî, êàêèì îáðàçîì ïðîèñõîäèò ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé â ïðîñòåéøåé âåðñèè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Èç ôîðìóëû (12.1.11) ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííûìè äèàãðàììàìè èëè ïîääèàãðàììàìè, êîòîðûå ìîãóò ïðèâîäèòü ê ðàñõîäÿùèìñÿ èíòåãðàëàì, ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå. Ee = 2, Eg = 1 Ýòî ýëåêòðîí−ôîòîííàÿ âåðøèíà Γµ(l) (p ′, p) . (Âåðõíèé èíäåêñ l óêàçûâàåò, ÷òî âåðøèíà âêëþ÷àåò òîëüêî âêëàäû îò äèàãðàìì ñ ïåòëÿìè.) Äëÿ íåå èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè D = 0, òàê ÷òî åå ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü íå çàâèñèò îò èìïóëüñà.  ñèëó ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè ðàñõîäÿùàÿñÿ êîíñòàíòà ìîæåò áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà òîëüêî γµ, ïîýòîìó

Γµ(l) = Lγ µ + Γµ( f ) ,

(12.2.1)

ãäå L — ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùàÿñÿ êîíñòàíòà, à Γµ( f ) êîíå÷íà. Ýòî åùå íå îïðåäåëÿåò êîíñòàíòó L îäíîçíà÷íî, òàê êàê âñåãäà ìîæíî ïåðåíåñòè êîíå÷íîå ñëàãàåìîå δLγµ èç Γµ( f ) â Lγµ. ×òîáû çàâåðøèòü îïðåäåëåíèå, çàìåòèì, ÷òî, êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 9.7, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà Γµ(p,p), à ñëåäîâàòåëüíî è Γµ( f ) (ð,ð), íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ìåæäó äèðàêîâñêèìè ñïèíîðàìè ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ïðîïîðöèîíàëåí òàêîìó æå ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó îïåðàòîðà γ µ, ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü L èç òðåáîâàíèÿ

u (p, σ ′)Γµ( f ) u(p, σ) = 0 .

(12.2.2)

ïðè p2 + me2 = 0. Ee = 2, Eg = 0 Ýòî ýëåêòðîííàÿ ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêàÿ âñòàâêà ∑*(ð). Äëÿ íåå D = 1, òàê ÷òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü ëèíåéíà ïî èìïóëüñó pµ, êîòîðûé íåñóò âõîäÿùèé èëè âûõîäÿùèé ôåðìèîíû. Èç ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòè (âêëþ÷àÿ ñîõðàíåíèå ÷åòíîñòè) ñëåäóåò, ÷òî îíà ìîæåò áûòü ôóíêöèåé òîëüêî p/ , òàê ÷òî âêëàä ïåòëè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

∑ (l) (p) = A − ( ip/ + m) B + ∑ ( f ) (p/ ) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(12.2.3)

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

688

ãäå À è  — ðàñõîäÿùèåñÿ êîíñòàíòû, à ∑(f) êîíå÷íà. Êîíñòàíòû À è  îïÿòü îïðåäåëåíû íåîäíîçíà÷íî, ò. ê. âñåãäà ìîæíî ñäâèíóòü ∑(f) íà êîíå÷íûé ïîëèíîì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî p/ . Îïðåäåëèì À è  ïðåäïèñàíèåì

∑( f ) =

∂ ∑( f ) ∂p/

= 0 ï ðè ip/ = −m .

(12.2.4)

Íà ñàìîì äåëå, Â íå ÿâëÿåòñÿ íîâîé ðàñõîäÿùåéñÿ êîíñòàíòîé. Äî òåõ ïîð, ïîêà ìû èñïîëüçóåì ïðîöåäóðó ðåãóëÿðèçàöèè, ñîâìåñòíóþ ñ ñîõðàíåíèåì òîêà, Γµ è ∑ áóäóò ñâÿçàíû òîæäåñòâîì Óîðäà (10.4.27): ∂ Γ µ (p, p) = γ µ + i ∑(p) ∂pµ è ïîýòîìó Lγ µ + Γµ( f ) (p, p) = Bγ µ + i

∂ ∑ ( f ) (p) . ∂p µ

(12.2.5)

Áåðÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýòîãî ðàâåíñòâà ìåæäóu(p,σ′) è u(p,σ) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (12.2.2) è (12.2.4), íàõîäèì: L = B.

(12.2.6)

Eg = 2, Ee = 0 Ýòî ôîòîííàÿ ñîáñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêàÿ âñòàâêà Π*µν(q). Äëÿ íåå D = 2, òàê ÷òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü åñòü ïîëèíîì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî q. Èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî Π*µν èìååò âèä ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ηµν è qµqν ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò q2, òàê ÷òî âêëàäû ïåòåëü èìåþò âèä l) Π (µν (q ) = C1ηµν + C2 ηµνq 2 + C3q µ q ν + ðàñõîäÿùèåñÿ ñëàãàåìûå,

ãäå Ñ1, Ñ2 è Ñ3 − ðàñõîäÿùèåñÿ êîíñòàíòû. Ïîñêîëüêó ìû èñïîëüçóåì ðåãóëÿðèçàöèþ, íå íàðóøàþùóþ ñîõðàíåíèå òîêà, äîëæíî âûïîíÿòüñÿ ðàâåíñòâî l) q µ Π (µν (q ) = 0 .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

689

Ýòî æå äîëæíî áûòü âåðíî è äëÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ñëàãàåìûõ, òàê ÷òî C1qν + (C2 + C3)q2qν äîëæíî áûòü êîíå÷íûìè äëÿ âñåõ q. Îòñþäà C1 è Ñ2 + Ñ3 äîëæíû áûòü êîíå÷íûìè, òàê ÷òî èõ ìîæíî l) âíåñòè â êîíå÷íóþ ÷àñòü Π (µν (q ) . Ñëåäîâàòåëüíî l) Π (µν (q ) = ( ηµνq 2 − q µ q ν ) C + π(q 2 ) ,

c

h

(12.2.7)

ãäå π(q2) êîíå÷íî, à Ñ — åäèíñòâåííàÿ îñòàâøàÿñÿ ðàñõîäèìîñòü â Πµν. ×òîáû çàôèêñèðîâàòü îïðåäåëåíèå Ñ, ìîæíî âêëþ÷èòü â íåå ëþáóþ êîíå÷íóþ êîíñòàíòó π(0) *, òàê ÷òîáû π(0) = 0 .

(12.2.8)

Eg = 4, Ee = 0 Ýòî àìïëèòóäà Mµνρσ ðàññåÿíèÿ ñâåòà íà ñâåòå. Äëÿ íåå D = 0, òàê ÷òî, èñïîëüçóÿ ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòü è òðåáîâàíèÿ áîçåñòàòèñòèêè, ìîæíî çàïèñàòü ýòó àìïëèòóäó (â íåå íå äàþò âêëàäà äèàãðàììû áåç ïåòåëü) â âèäå

M µνρσ = K ( ηµν ηρσ + ηµρ η νσ + ηµσ η νρ ) + êîíå÷íûå ñëàãàåìûå, ãäå K — ïîòåíöèàëüíî ðàñõîäÿùàÿñÿ êîíñòàíòà. Îäíàêî â ñèëó ñîõðàíåíèÿ òîêà

q µ M µνρσ = 0 , òàê ÷òî êîìáèíàöèÿ K(qνηρσ + qρηνσ + qσηνρ) êîíå÷íà. ×òîáû ýòî ðàâåíñòâî áûëî âåðíî ïðè q ≠ 0, êîíñòàíòà K ñàìà äîëæíà áûòü êîíå÷íîé. Ýòî õîðîøèé ïðèìåð ðîëè ïðèíöèïîâ ñèììåòðèè â ïðîãðàììå ïåðåíîðìèðîâîê. Åñëè áû K îêàçàëàñü áåñêîíå÷íîé, åå íåëüçÿ áûëî áû óñòðàíèòü ïåðåíîðìèðîâêîé êîíñòàíòû ñâÿçè âçàèìîäåéñòâèÿ (AµAµ)2, ïîñêîëüêó òàêîå âçàèìîäåéñòâèå íå äîïóñêàåòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Íî êîíñòàíòà K íà ñàìîì äåëå êîíå÷íà áëàãîäàðÿ óñëîâèÿì, âûòåêàþùèì èç ñîõðàíåíèÿ òîêà, êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ.

* Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ýòîãî π(q2) êàê ôóíêöèÿ q2 íå äîëæíà èìåòü îñîáåííîñòè (òèïà ïîëþñà) ïðè q2 = 0. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

690

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Eg = 1, Ee = 0 è Ee = 1, Eg = 0, 1, 2  ýòèõ ñëó÷àÿõ D = 3 è D = 5/2, 3/2, 1/2, ñîîòâåòñòâåííî, îäíàêî âñå òàêèå äèàãðàììû îáðàùàþòñÿ â íóëü â ñèëó ëîðåíö− èíâàðèàíòíîñòè *. Eγ = 3, Ee = 0  ýòîì ñëó÷àå D = 1, íî òàêèå äèàãðàììû îáðàùàþòñÿ â íóëü â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ. ×èòàòåëü, âîçìîæíî, óæå îáðàòèë âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåçàâèñèìûå ðàñõîäÿùèåñÿ êîíñòàíòû À, Â, Ñ íàõîäÿòñÿ â îäíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè Z2, Z3 è δm êîíòð÷ëåíîâ (11.1.9) â ëàãðàíæèàíå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, êîòîðàÿ ñîäåðæèò êîíòð÷ëåíû. Ýòè êîíòð÷ëåíû âíîñÿò íåïîñðåäñòâåííûé âêëàä Z2δm − (Z2 − 1)( ip/ + m) â ∑*(ð). Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîëîæåíèå è âû÷åò îäíî÷àñòè÷íîãî ïîëþñà áûëè áû òàêèìè æå, êàê ó ñâîáîäíîãî ïðîïàãàòîðà, îçíà÷àåò, ÷òî íóæíî âûáðàòü Z2 è δm òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ∑* óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ (12.2.4), ò. å. Z2δm = − A ,

(12.2.9)

Z2 − 1 = − B ,

(12.2.10)

è ïîëíàÿ ýëåêòðîííàÿ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêàÿ âñòàâêà áûëà áû êîíå÷íîé ôóíêöèåé ∑(f)(p):

Σ(p) = Σ ( f ) (p) .

(12.2.11)

Êðîìå òîãî, êîíòð÷ëåíû L2 âíîñÿò âêëàä â Γµ, ðàâíûé (Z2 − 1)γµ. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12.2.6), âèäèì, ÷òî ïîëíàÿ âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà

Γµ = γ µ + (Z2 − 1) γ µ + Γµ(l) = γ µ + Γµ( f ) .

(12.2.12)

* Òî÷íåå, îáðàùàþòñÿ â íóëü ôóíêöèè Ãðèíà.  òðåõ ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî áûëî áû ñîñëàòüñÿ òàêæå íà ãëîáàëüíóþ êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü (ñîõðàíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà). Íî â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïî óêàçàííîé ïðè÷èíå íå ñóùåñòâóåò è ñàìèõ äèàãðàìì — èõ íåâîçìîæíî íàðèñîâàòü. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

691

Îíà íå òîëüêî êîíå÷íà, íî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

u (p, σ ′)Γµ (p, p) u(p, σ) = u (p, σ ′) γ µ u(p, σ) ,

(12.2.13)

÷òî ìîæíî èíà÷å óâèäåòü òàêæå èç (10.6.13) è (10.6.14). Íàêîíåö, L2 âíîñèò âêëàä − (Z3 − 1)(q2ηµν − qµqν) â Π*µν(q). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôîòîííûé ïðîïàãàòîð èìåë ïîëþñ ñ òåì æå âû÷åòîì, ÷òî è äëÿ ñâîáîäíûõ ïîëåé, íåîáõîäèìî, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè (q2ηµν − qµqν) â ïîëíîì âûðàæåíèè äëÿ Πµν(q) îáðàùàëñÿ â íóëü, òàê ÷òî Z3 = 1 + C ,

12.2.14)

è òîãäà ôîòîííûé ïðîïàãàòîð êîíå÷åí:

Π µν (q ) = ( ηµνq 2 − q µ q ν ) π(q 2 ) .

(12.2.15)

Äî ñèõ ïîð ìû ïðîâåðèëè, ÷òî ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå îò èíòåãðèðîâàíèé ïî îáëàñòè èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé âñå âíóòðåííèå èìóëüñû âåëèêè (è èìåþò îáùèå îòíîøåíèÿ), ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ïî âíåøíèì èìïóëüñàì, êîòîðûå ñîêðàùàþòñÿ ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå êîíòð÷ëåíîâ. Òàêèå äèàãðàììû áóäåì íàçûâàòü ðàñõîäÿùèìèñÿ ïî èíäåêñó *. Ïðåæäå ÷åì çàêëþ÷èòü, ÷òî âñå óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè äåéñòâèòåëüíî ìîæíî óñòðàíèòü ïåðåíîðìèðîâêîé, ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå â äèàãðàììàõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî îáëàñòÿì èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå íå âñå ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, à ëèøü èõ íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî óñòðåìëÿåòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Íàïðèìåð, â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ðàñõîäèìîñòè âîçíèêàþò îò ïîäèíòåãðèðîâàíèé, îòâå÷àþùèõ ðàñõîäÿùèìñÿ * Ïîÿâëÿþùèåñÿ çäåñü è íèæå êëþ÷åâûå àâòîðñêèå òåðìèíû superficially divergent (convergent) diagrams (subdiagrams) è superficial divergence (convergence) íå èìåþò óñòîé÷èâîãî ðóññêîãî ýêâèâàëåíòà. Ìû ïåðåâîäèì èõ çäåñü êàê «äèàãðàììû (ïîääèàãðàììû), ðàñõîäÿùèñÿ (ñõîäÿùèåñÿ) ïî èíäåêñó». Ðàñõîäèìîñòü (ñõîäèìîñòü) äèàãðàììû (ïîääèàãðàììû) ïî èíäåêñó îçíà÷àåò, ÷òî åå èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè íåîòðèöàòåëåí (ñòðîãî îòðèöàòåëåí) è îïðåäåëÿþùèé åå èíòåãðàë ïî âíóòðåííèì èìïóëüñàì ðàñõîäèòñÿ (ñõîäèòñÿ) â îáëàñòè, ãäå âñå âíóòðåííèå èìïóëüñû îäíîðîäíûì îáðàçîì óñòðåìëÿþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

692

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

ïî èíäåêñàì ïîääèàãðàììàì, ÿâëÿþùèìñÿ ëèáî ôîòîííûìè ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèìè ÷àñòÿìè Π*, ëèáî ýëåêòðîííûìè ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèìè ÷àñòÿìè ∑*, ëèáî ýëåêòðîí−ýëåêòðîí−ôîòîííûìè âåðøèíàìè Γµ. Òðóäíîñòè ðàññìîòðåíèÿ ýòèõ ðàñõîäèìîñòåé ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî èõ íåëüçÿ óñòðàíèòü ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âíåøíèì èìïóëüñàì: èìåþòñÿ ñëàãàåìûå, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíûå äåéñòâóþò òîëüêî íà âíóòðåííèå ëèíèè â òåõ ÷àñòÿõ äèàãðàììû, êîòîðûå íå âõîäÿò â ðàñõîäÿùèåñÿ ïîääèàãðàììû, è òåì ñàìûì íå óìåíüøàþò ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè òàêèõ ïîääèàãðàìì. Êàê îòìå÷àëîñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, äèàãðàììà èëè ñóììà äèàãðàìì äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàê îíà ñàìà, òàê è âñå åå ïîääèàãðàììû ñõîäÿòñÿ ïî èíäåêñó. Íî ãäå áû íè âîçíèêëà òàêàÿ ðàñõîäÿùàÿñÿ ïîääèàãðàììà, îíà âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ áåñêîíå÷íûì êîíòð÷ëåíîì.  ýëåêòðîäèíàìèêå òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ ñëàãàåìûå â (11.1.9): −(Z3 − 1)(q 2ηµν − q µq ν) äëÿ êàæäîãî Π*µν(q), Z2δm − (Z2 − 1)( ip/ + m) äëÿ êàæäîãî ∑* è ñëàãàåìîå (Z2 − 1)γµ äëÿ êàæäîé âåðøèíû Γµ. Êàê è äëÿ äèàãðàììû â öåëîì, ýòè êîíòð÷ëåíû ñîêðàùàþò áåñêîíå÷íîñòè â ðàñõîäÿùèõñÿ ïîääèàãðàììàõ 1. Ê ñîæàëåíèþ, â òàêîé ïðîñòîé àðãóìåíòàöèè åñòü ïðîáåë, ñâÿçàííûé ñ ïåðåêðûâàþùèìèñÿ ðàñõîäèìîñòÿìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà äâå ðàñõîäÿùèåñÿ ïîääèàãðàììû èìåþò îáùóþ âíóòðåííþþ ëèíèþ, òàê ÷òî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñõîäÿùèåñÿ èíòåãðàëû êàê íåçàâèñèìûå.  êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýòî ñëó÷àåòñÿ òîëüêî, åñëè äâå ýëåêòðîí−ýëåêòðîí−ôîòîííûå âåðøèíû ïåðåêðûâàþòñÿ âíóòðè ôîòîííîé èëè ýëåêòðîííîé ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêîé âñòàâêè * (ñì. ðèñ. 12.2 è 12.3). Ïîëíîå ðàññìîòðåíèå ïðîáëåìû ïåðåíîðìèðîâêè ñ ó÷åòîì ïåðåêðûâàþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé äîëæíî âêëþ÷àòü ðåöåïò óñò* Åñëè äâå ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèå âñòàâêè èëè òàêàÿ âñòàâêà è âåðøèííàÿ ÷àñòü áóäóò èìåòü îáùóþ ëèíèþ, òî íå õâàòèò âíåøíèõ ëèíèé, ÷òîáû ïðèêðåïèòü òàêóþ ïîääèàãðàììó ê îñòàëüíîé ÷àñòè äèàãðàììû. Èñòîðè÷åñêè òîæäåñòâî Óîðäà (10.4.26) èñïîëüçîâàëîñü äëÿ òîãî, ÷òîáû îáîéòè ïðîáëåìó ïåðåêðûâàþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé â ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà, âûðàçèâ ýòó ýíåðãèþ ÷åðåç âåðøèííóþ ôóíêöèþ, â êîòîðîé ïåðåêðûâàþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé íå âîçíèêàåò. Ìû íå áóäåì ñëåäîâàòü òàêèì ïóòåì, ïîñêîëüêó â ýòîì íåò íåîáõîäèìîñòè, êðîìå òîãî, ýòîò ïîäõîä âñå ðàâíî íå ðåøàåò ïðîáëåìû ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ôîòîíà èëè äðóãèõ íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

693

Ðèñ. 12.2 Íåêîòîðûå äèàãðàììû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äëÿ ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ôîòîíà â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, ñîäåðæàùèå ïåðåêðûâàþùèåñÿ ðàñõîäèìîñòè. Ëèíèè ñî ñòðåëêàìè îòâå÷àþò ýëåêòðîíàì, âîëíèñòûå ëèíèè − ôîòîíàì. Êðåñòèêàìè îòìå÷åíû âêëàäû êîíòð÷ëåíîâ

Ðèñ. 12.3. Íåêîòîðûå äèàãðàììû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äëÿ ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, ñîäåðæàùèå ïåðåêðûâàþùèåñÿ ðàñõîäèìîñòè. Âîëíèñòûå ëèíèè — ôîòîíû, îñòàëüíûå ëèíèè — ýëåêòðîíû. Êðåñòèêàìè îòìå÷åíû âêëàäû êîíòð÷ëåíîâ

ðàíåíèÿ óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé ïî èíäåêñó íå òîëüêî äëÿ ïîëíîé äèàãðàììû, íî è äëÿ âñåõ åå ïîääèàãðàìì, à òàêæå äîêàçàòåëüñòâî, ÷òî òàêîé ðåöåïò (ïî êðàéíåé ìåðå ôîðìàëüíî) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì ïåðåíîðìèðîâêè ìàññ, ïîëåé è êîíñòàíò ñâÿçè. Òîãäà òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî âñå ôóíêöèè Ãðèíà ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé, âûðàæåííûå ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííûå ìàññû è êîíñòàíòû ñâÿçè, ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè. Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ïåðåíîðìèðîâêà ïîëåé, ìàññ è êîíñòàíò ñâÿçè äåëàåò êàê ïîëíóþ äèàãðàììó, òàê è âñå åå ïîääèàãðàììû ñõîäÿùèìèñÿ ïî èíäåêñó, áûëî äàíî Ñàëàìîì 5. Áîëåå äåòàëüíûé ðåöåïò óñòðàíåíèÿ óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé áûë ïðåäëîæåí Áîãîëþáîâûì è Ïàðàñþêîì 6 è ïîäïðàâëåí Õåïïîì 7, ïðè÷åì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

694

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

îíè ïîêàçàëè ýêâèâàëåíòíîñòü ñâîåãî ðåöåïòà ïåðåíîðìèðîâêå ïîëåé, ìàññ è êîíñòàíò ñâÿçè. Íàêîíåö, Öèììåðìàí 8 äîêàçàë, ÷òî ýòîò ðåöåïò äåéñòâèòåëüíî óñòðàíÿåò âñå ðàñõîäèìîñòè ïî èíäåêñó êàê â ïîëíîé äèàãðàììå, òàê è âî âñåõ åå ïîääèàãðàììàõ, è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû, äîêàçàííîé â 2, ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî ïåðåíîðìèðîâàííûå ôåéíìàíîâñêèå èíòåãðàëû â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñõîäÿòñÿ. Êîðîòêî ðåöåïò ÁÏÕÖ äëÿ óñòðàíåíèÿ ðàñõîäèìîñòåé ïî èíäåêñó òðåáóåò, ÷òîáû ìû ðàññìîòðåëè âñå âîçìîæíûå ñïîñîáû (èõ íàçûâàþò ëåñàìè) ïîìåñòèòü ïîëíóþ äèàãðàììó è/èëè åå ïîääèàãðàììû â ÿùèêè, êîòîðûå ìîãóò íàõîäèòüñÿ îäèí âíóòðè äðóãîãî, íî íå ïåðåêðûâàòüñÿ. (Íèæå ïðèâåäåí ïðèìåð.) Äëÿ êàæäîãî ëåñà ìû îïðåäåëÿåì âû÷èòàòåëüíîå ñëàãàåìîå, çàìåíÿÿ ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå äëÿ êàæäîé ïîääèàãðàììû âíóòðè ÿùèêà, èìåþùåé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè D, (íà÷èíàÿ ñ ñàìûõ âíóòðåííèõ ÿùèêîâ è äâèãàÿñü íàðóæó) íà ïåðâûå D + 1 ñëàãàåìûõ åãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ïî èìïóëüñàì, âõîäÿùèì èëè âûõîäÿùèì èç ýòîãî ÿùèêà *. Ôåéíìàíîâñêàÿ àìïëèòóäà ñ âû÷èòàíèÿìè îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäíûìè äèàãðàììàìè ìèíóñ âñå âû÷èòàòåëüíûå ñëàãàåìûå, â òîì ÷èñëå, è ñëàãàåìîå äëÿ ëåñà, ñîñòîÿùåãî èç åäèíñòâåííîãî ÿùèêà, îêðóæàþùåãî âñþ äèàãðàììó. Äîâîëüíî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âû÷èñëåííàÿ òàêèì îáðàçîì ôåéíìàíîâñêàÿ àìïëèòóäà ñ âû÷èòàíèÿìè ñîâïàäàåò ñ òîé, êîòîðóþ ìû ïîëó÷èëè áû, çàìåíèâ âñå ïîëÿ, ìàññû è êîíñòàíòû ñâÿçè â èñõîäíîì ëàãðàíæèàíå íà èõ ïåðåíîðìèðîâàííûå àíàëîãè. Ðàçíèöà ìåæäó ýòîé ïðîöåäóðîé è òåì ñïîñîáîì ïåðåíîðìèðîâêè, êîòîðûé áûë èñïîëüçîâàí â ãë. 11, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ, êîíñòàíòû ñâÿçè è ìàññû îïðåäåëåíû ÷åðåç àìïëèòóäû, âçÿòûå â íåîáû÷íîé òî÷êå íîðìèðîâêè **, â êîòîðîé âñå 4-èìïóëüñû îáðàùàþòñÿ â íóëü. ( ýòîì ñìûñëå îáñóæäàâøèåñÿ *  óêàçàííîì âèäå ðåöåïò ïðèìåíèì êàê ê íåïåðåíîðìèðóåìûì, òàê è ê ïåðåíîðìèðóåìûì òåîðèÿì. Äëÿ ïîñëåäíèõ ýòîò ðåöåïò îçíà÷àåò, ÷òî íå ñëåäóåò äåëàòü íèêàêèõ âû÷èòàíèé, åñëè òîëüêî ÿùèê íå ñîäåðæèò îäíó èç êîíå÷íîãî ÷èñëà äèàãðàìì, îòâå÷àþùèõ ïåðåíîðìèðóåìûì ñëàãàåìûì â ëàãðàíæèàíå. ** Àíãëîÿçû÷íûé òåðìèí renormalization point ñòàíäàðòíî ïåðåâîäèòñÿ êàê òî÷êà íîðìèðîâêè (â ýòîé òî÷êå ïåðåíîðìèðîâàííàÿ àìïëèòóäà ïðèíèìàåò çàäàííûå çíà÷åíèÿ). — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

695

â íà÷àëå äàííîãî ðàçäåëà îäíîìåðíûå ðàñõîäÿùèåñÿ èíòåãðàëû ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì âûäåëåíèÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ñëàãàåìûõ ìåòîäîì ÁÏÕÖ.) Îäíàêî â âûáîðå òàêîé òî÷êè íîðìèðîâêè íåò íè÷åãî îñîáåííîãî; åñëè ôåéíìàíîâñêàÿ àìïëèòóäà ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé, áóäó÷è çàïèñàííîé â òåðìèíàõ íåîáû÷íûì îáðàçîì ïåðåíîðìèðîâàííûõ âåëè÷èí, òî åå ìîæíî çàïèñàòü è â òåðìèíàõ îáû÷íûì îáðàçîì ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé, êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññ, íå ââîäÿ ïðè ýòîì íîâûõ áåñêîíå÷íîñòåé. Íà ïðàêòèêå íåò íåîáõîäèìîñòè ïîëüçîâàòüñÿ âû÷èòàòåëüíîé ïðîöåäóðîé ÁÏÕÖ. Çàìåíà ïîëåé, ìàññ è êîíñòàíò ñâÿçè èõ ïåðåíîðìèðîâàííûìè àíàëîãàìè (îïðåäåëåííûìè â ëþáîé óäîáíîé òî÷êå íîðìèðîâêè) àâòîìàòè÷åñêè ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ êîíòð÷ëåíîâ, ñîêðàùàþùèõ âñå áåñêîíå÷íîñòè. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû äîêàçûâàòü, ÷òî âû÷èòàòåëüíàÿ ïðîöåäóðà ÁÏÕÖ äåéñòâèòåëüíî äåëàåò âñå èíòåãðàëû ñõîäÿùèìèñÿ, ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, êàê ðàáîòàåò ñõåìà ïåðåíîðìèðîâîê äàæå ïðè íàëè÷èè ïåðåêðûâàþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé. Ðàññìîòðèì âêëàä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà â ôîòîííóþ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ âñòàâêó Π*µν(q), ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 12.2. ( ýòîì ñëó÷àå ëåñà ñîñòîÿò èç äèàãðàìì, êîòîðûì îòâå÷àþò ïîëíûé èíòåãðàë ïî ð è ð′, ïîäèíòåãðàë òîëüêî ïî ð è ïîäèíòåãðàë òîëüêî ïî ð′ *.) Ñ ó÷åòîì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíòð÷ëåíîâ äëÿ âåðøèííûõ ÷àñòåé è ïåðåíîðìèðîâêè ïîëÿ ôîòîíà ýòîò âêëàä èìååò âèä:

[Π *µν (q )]ïåðåêð. = −

e4 (2π)8

XY d pXY d p′ 1 Z Z ( p − p ′) 4

4

2

− iε

× Tr S(p ′) γ ν S(p ′ + q ) γ ρS(p + q ) γ µ S(p) γ ρ

n

− 2(Z2 − 1)2

ie2 (2π) 4

XY d p Trnγ S(p + q)γ Z 4

ν

µ

s S(p)s (12.2.16)

− (Z3 − 1) ïåðåêð. (q 2 ηµν − q µ q ν ), ãäå S(p) ≡ [− ip/ + m] / [p2 + m2 − iε ] , (Z2−1)2 − ñëàãàåìîå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî å â (Z2 − 1), (Z3 − 1)ïåðåêð. − ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùàÿñÿ êîíñòàíòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî å, ñîêðàùàþùàÿ ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà ïî qλ â [Π*µν(q)]ïåðåêð.. Ìíîæèòåëü 2 âî âòîðîì *  äàííîì ñëó÷àå èìååòñÿ ïÿòü ëåñîâ, íî òîëüêî òðè êðåñòèêà. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

696

ñëàãàåìîì âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî êàæäîé èç äâóõ âåðøèí â äèàãðàììå âòîðîãî ïîðÿäêà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ôîòîíà ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíîðìèðîâî÷íûé êîíòð÷ëåí Z2 − 1. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå ìîæíî ïîíèìàòü ëèáî êàê ðåçóëüòàò âñòàâêè â ôîòîííóþ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü, äàâàåìóþ èíòåãðàëîì ïî ð, âìåñòî ëåâîé âåðøèíû ïîïðàâêè ê íåé, ò. å. âåðøèííîé ÷àñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà, êîòîðàÿ äàåòñÿ èíòåãðàëîì ïî ð′, ëèáî êàê ðåçóëüòàò âñòàâêè â ôîòîííóþ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü, äàâàåìóþ èíòåãðàëîì ïî ð′, âìåñòî ïðàâîé âåðøèíû ïîïðàâêè ê íåé, äàâàåìîé èíòåãðàëîì ïî ð. Îäíàêî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü ïåðâîå ñëàãàåìîå êàê âñòàâêó äâóõ íåçàâèñèìûõ ïîïðàâîê ê âåðøèíàì, ò. ê. â äèàãðàììå åñòü òîëüêî îäèí ôîòîííûé ïðîïàãàòîð. ×òîáû ïîíÿòü, êàê îáðàùàòüñÿ ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè â (12.2.16), çàìåòèì, ÷òî ie2 d 4p′ (12.2.17) [(Z2 − 1)2 + R2 ]γ µ = γ ρS(p ′) γ µ S(p ′) γ ρ , (2π) 4 p ′ 2 − iε

X YZ

ãäå R2 − êîíå÷íûé îñòàòîê. ( ñèëó ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè èíòåãðàë ñïðàâà ïðîïîðöèîíàëåí γµ. Ðàçíîñòü ìåæäó ýòèì èíòåãðàëîì è (Z2 − 1)2γµ ðàâíà ïîëíîé ïåðåíîðìèðîâàííîé ýëåêòðîí−ýëåêòðîí− ôîòîííîé âåðøèíå âî âòîðîì ïîðÿäêå ïî å ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ èìïóëüñîâ ýëåêòðîíà è ôîòîíà, è ïîýòîìó êîíå÷íà.) Ýòî ïîâîëÿå ïåðåïèñàòü (12.16) â âèäå: e4 [Π *µν (q )]ïåðåêð. = − d 4p d 4p′ (2π)8

XY XY Z Z

×

LM 1 N (p − p)

2

− iε

Tr S(p ′) γ ν S(p ′ + q ) γ ρS(p + q ) γ µ S(p) γ ρ

n

−

1 Tr S(p ′) γ ν S(p ′) γ ρ S(p + q ) γ µ S(p) γ ρ p − iε

−

1 Tr S(p ′) γ ν S(p ′ + q ) γ ρ S(p) γ µ S(p) γ ρ p − iε

n

′2

2

− 2R2

ie2 (2π) 4

n XY d p Trnγ S(p + q)γ Z 4

ν

s

s sOPQ

s

µ S(p)

− (Z3 − 1) ïåðåêð. (q 2 ηµν − q µ q ν ) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(12.2.18)

12. 2. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

697

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà èíòåãðèðîâàíèå òîëüêî ïî ð′. Êàæäîå èç ïåðâûõ äâóõ ñëàãàåìûõ ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäèòñÿ, îäíàêî èõ ðàçíîñòü êîíå÷íà. Òðåòüå ñëàãàåìîå òàêæå ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäèòñÿ (ïðè êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíîé ðåãóëÿðèçàöèè), íî ðàñõîäèìîñòü â ýòîì ñëàãàåìîì (â ïðîòèâîïîëîæíîñòü äâóì ïåðâûì) èìååò âèä ïîëèíîìà âòîðîãî ïîðÿäêà ïî q ñ êîíå÷íûì îñòàòêîì. Ýòà îñòàþùàÿñÿ ðàñõîäèìîñòü ñîêðàùàåòñÿ ñî ñëàãàåìûì −(Z3 − 1)(q2ηµν − qµqν), êîòîðîå óíè÷òîæàåò âñå ñëàãàåìûå âòîðîãî ïîðÿäêà â ðàçëîæåíèè Π*µν(q). Òàêèì îáðàçîì, ïîäèíòåãðèðîâàíèå ïî ð′ ïðèâîäèò ê êîíå÷íîìó ðåçóëüòàòó. Èç ñèììåòðèè âûðàæåíèÿ (12.2.16) ñëåäóåò, ÷òîòî÷íî òàêèì æå îáðàçîì äàåò êîíå÷íûé ðåçóëüòàò ïîäèíòåãðèðîâàíèå ïî ð. Îáùåãî âèäà ïîäèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ð è ð′ ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ap + bp′ (a è b − ïðîèçâîëüíûå íåíóëåâûå êîíñòàíòû) ÿâíî ñõîäÿòñÿ, à ðåçóëüòàò ñîâìåñòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ð è ð′ ïðèâîäèòñÿ ê êîíå÷íîìó îòâåòó ñ ïîìîùüþ âêëþ÷åíèÿ êîíòð÷ëåíà −(Z3 − 1)(q2ηµν − qµqν). Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (12.2.18) è ëþáîé åãî ïîäèíòåãðàë óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì ñõîäèìîñòè ïî èíäåêñó, è ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 2, ñôîðìóëèðîâàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, âñå âûðàæåíèå äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ. ***  ýëåêòðîäèíàìèêå ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè, ìàññ è ïîëåé. Îäíàêî òàê áûâàåò íå âñåãäà. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì òåîðèþ îäíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ(x) ñ ëàãðàíæèàíîì

L = − 21 ∂ λ ϕ ∂ λ ϕ − 21 m 2ϕ 2 −

1 24

gϕ 4 .

(12.2.19)

 îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ñêàëÿð− ñêàëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ ñîãëàñíî ôåéíìàíîâñêèì ïðàâèëàì èìååò âèä S(q1q 2 → q1′ q 2′ ) =

− i(2π) 4 δ 4 (p1′ + p2′ − p1 − p2 ) F(q1q 2 → q1′ q 2′ ) , (2π)6 (16E1′ E2′ E1E2 )1/2

(12.2.20) ãäå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

698

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

− i(2π) 4 F(q1q 2 → q1′ q 2′ ) = − i(2π) 4 g + ×

X d k LM YY M (q Z N

1 − i(2π) 4 g 2

2

LM − i OP N (2π) Q 4

1

4

1

+ k)2 + m 2 − iε (q 2 − k)2 + m 2 − iε (12.2.21)

OP Q

+(q 2 → − q1′ ) + (q 2 → − q 2′ ) ,

è q1, q2, q′1, q′2 − âõîäÿùèå è âûõîäÿùèå 4-èìïóëüñû. Îáúåäèíÿÿ çíàìåíàòåëè è îáû÷íûì ñïîñîáîì ïîâîðà÷èâàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ïî k0, ïîëó÷àåì:

F = g−

g2 16π 2

XY Z

∞

k 3 dk

XY Z

1

dx

0

0

+ k 2 + m 2 − tx(1 − x)

−2

{k

2

−2

+ m 2 − sx(1 − x)

+ k 2 + m 2 − ux(1 − x)

−2

},

(12.2.22)

ãäå s, t è u − ìàíäåëüñòàìîâñêèå ïåðåìåííûå

s = −(p1 + p2 )2 , t = −(p1 − p1′ )2 , u = −(p1 − p2′ )2 ,

(12.2.23)

ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì s + t + u = 4m2, à x − ôåéíìàíîâñêèé ïàðàìåòð, ââîäèìûé ïðè îáúåäèíåíèè çíàìåíàòåëåé. Ñîâåðøàÿ óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå ïðè k = Λ, ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ (ïðè Λ . m) 1

X dxRSlnF Λ YZ T GH m − sx(1 − x) IJK F Λ IJ + lnFG Λ IJ − 3UV . + ln G H m − tx(1 − x) K H m − ux(1 − x) K W

g2 F = g− 32π 2

2

2

0

2

2

2

2

(12.2.24)

Ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó gR êàê çíà÷åíèå F â ëþáîé òî÷êå s, t, u, ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû îñòàåìñÿ â îáëàñòè, ãäå F äåéñòâèòåëüíà. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñ öåëüþ ñîõðàíèòü ñèììåòðèþ ìåæäó ñêàëÿðàìè, ìû âûáèðàåì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

699

òî÷êó íîðìèðîâêè p12 = p22 = p1′ 2 = p2′ 2 = µ 2 , s = t = u = −4µ 2 / 3 âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè *. Îïðåäåëÿÿ ïåðåíîðìèðîâàííóþ êîíñòàíòó gR êàê çíà÷åíèå F â ýòîé òî÷êå, èìååì

LM F I MN GH JK

3g2 Λ2 g = gR + ln −1− 32π 2 µ2

X dx lnFG 4x(1 − x) + m IJ OP + . . . YZ H 3 µ KP Q 1

2

2

(12.2.25)

0

Çàâèñèìîñòü îò îáðåçàíèÿ â (12.2.24) ñîêðàùàåòñÿ â ïîðÿäêå gR2, è â ðåçóëüòàòå îñòàåòñÿ êîíå÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ F, âûðàæåííàÿ ÷åðåç gR: 1

X dxRSlnF m + 4x(1 − x)µ / 3 I YZ T GH m − sx(1 − x) JK F m + 4x(1 − x)µ / 3 IJ + lnFG m + 4x(1 − x)µ / 3 IJ UV + . . . + ln G H m − tx(1 − x) K H m − ux(1 − x) K W

g2 F = gR − R 2 32π

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

(12.2.26) Çäåñü µ2 ìîæíî ñ÷èòàòü ëþáîé äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé, áîëüøåé −3m2, è â ýòîé îáëàñòè gR äåéñòâèòåëüíà. ßâíàÿ çàâèñèìîñòü (12.2.26) îò µ, êîíå÷íî, ñîêðàùàåòñÿ ñ çàâèñèìîñòüþ îò µ ïåðåíîðìèðîâàííîé êîíñòàíòû. Ýòà ñâîáîäà èçìåíÿòü ðåöåïò ïåðåíîðìèðîâêè (êîòîðàÿ, êîíå÷íî, ñóùåñòâóåò è â ýëåêòðîäèíàìèêå, è â äðóãèõ ðåàëèñòè÷íûõ òåîðèÿõ) áóäåò èìåòü áîëüøîå çíà÷åíèå, êîãäà ìû ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ â ò. II ìåòîäà ðåíîðìãðóïïû. 12.3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû îáíàðóæèëè ñïåöèàëüíûé êëàññ òåîðèé, â ëàãðàíæèàíå êîòîðûõ èìååòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, è ê êîòîðûì òåì íå ìåíåå ïðèìåíèìà ïðîãðàììà * Ïðîñëåäèâ åùå ðàç âûâîä ôîðìóëû (12.2.25), ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â íåì íå èñïîëüçîâàëèñü óñëîâèÿ p12 = p22 = p1′ 2 = p2′ 2 = − m 2 , òàê ÷òî ôîðìóëà (12.2.24) âåðíà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ìàññ âíåøíèõ ëèíèé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

700

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

ïåðåíîðìèðîâîê. Ýòî òåîðèè, â êîòîðûõ âñå âçàèìîäåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïåðåíîðìèðóåìîñòè

∆ i ≡ 4 − di −

∑ n if (sf + 1) ≥ 0 , f

ãäå di è nif − ÷èñëà ïðîèçâîäíûõ è ïîëåé òèïà f âî âçàèìîäåéñòâèÿõ òèïà i, à sf åñòü (ñ íåêîòîðûìè óòî÷íåíèÿìè) ñïèí ïîëåé òèïà f. ×òîáû â òàêèõ òåîðèÿõ áûëà îñóùåñòâèìà ïåðåíîðìèðîâêà, îáû÷íî åùå íåîáõîäèìî, ÷òîáû âñå ðàçðåøåííûå ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ äåéñòâèòåëüíî ñîäåðæàëèñü â ëàãðàíæèàíå. Âàæíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèøü îãðàíè÷åííîå ÷èñëî âçàèìîäåéñòâèé òàêîãî òèïà. Âåëè÷èíà ∆i ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé, åñëè ó íàñ ñëèøêîì ìíîãî ïîëåé èëè ïðîèçâîäíûõ, èëè ïîëåé ñî ñëèøêîì áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè ñïèíà. Åñëè íåò ñïåöèàëüíûõ ñîêðàùåíèé, âîîáùå íå ñóùåñòâóåò ïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé, âêëþ÷àþùèõ ïîëÿ ñïèíà sf ≥ 1, ïîñêîëüêó åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå ñ ∆i ≥ 0, âêëþ÷àþùåå òàêîå ïîëå âìåñòå ñ äâóìÿ èëè áîëåå äðóãèìè ïîëÿìè, äîëæíî ñîäåðæàòü îäíî ïîëå ñ sf = 1 è äâà ñêàëÿðà áåç âñÿêèõ ïðîèçâîäíûõ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè.  ò. II ìû óâèäèì, ÷òî ïðîèçâîëüíûå áåçìàññîâûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ ñïèíà 1 â ñîîòâåòñòâóþùåé êàëèáðîâêå ýôôåêòèâíî èìåþò sf= 0 êàê ó ôîòîíà. êðîìå òîãî, â ò. II áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äàæå ìàññèâíûå êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ ìîãóò ýôôåêòèâíî èìåòü sf = 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì îáðàçîì îíè ïðèîáðåëè ìàññó. Åñëè íå ñ÷èòàòü ýòèõ îñîáûõ ñëó÷àåâ, â òàáë. 12.2 ïðèâåäåí ñïèñîê âñåõ ïåðåíîðìèðóåìûõ ñëàãàåìûõ â ëàãðàíæèàíå, ðàçðåøåííûõ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòüþ è êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ è âêëþ÷àþùèõ ñêàëÿðû (s = 0), ôîòîíû (s = 0) è ôåðìèîíû ñïèíà 1/2 (s = 1/2). Ìû âèäèì, ÷òî òðåáîâàíèå ïåðåíîðìèðóåìîñòè íàêëàäûâàåò æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûå ôèçè÷åñêèå òåîðèè. Ïîäîáíûå îãðàíè÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ öåííûì êëþ÷îì ê ïîíèìàíèþ ñòðóêòóðû ýòèõ òåîðèé. Íàïðèìåð, ëîðåíöîâñêàÿ è êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòè ñàìè ïî ñåáå ðàçðåøàþò ââåäåíèå «ïàóëèåâñêîãî» ñëàãàåìîãî, ïðîïîðöèîíàëüíîãîψ[γµ,γν]ψFµν â ëàãðàíæèàí êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, ÷òî ñäåëàëî áû ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà íàñòðàèâàåìûì ïàðàìåòðîì, íî ìû èñêëþ÷àåì ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ïîñêîëüêó îíè íåïåðåíîðìèðóåìû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

701 Òàáëèöà 12.2

nif Cêàëÿðû 1 2 2 3 4 2 2 1 0 0 0 0

Ôîòîíû 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 0 1

di

∆i

Hi

Ñïèí 1/2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2

0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0

3 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

ϕ ϕ2 ∂ µϕ∂ µ ϕ ϕ3 ϕ4 ϕ∂ µϕA µ ϕ 2 A µA µ ϕψψ FµνFµν ψψ ψγµ∂µψ ψγµAµψ

Òàáë. 12.2. Äîïóñòèìûå ïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå â ëàãðàíæèàíå, ñîäåðæàùèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ ϕ, äèðàêîâñêèå ïîëÿ ψ è ïîëÿ ôîòîíîâ Aµ. Âåëè÷èíû n if è d i — ÷èñëî ïîëåé òèïà f è ÷èñëî ïðîèçâîäíûõ âî âçàèìîäåéñòâèè òèïà i, ∆i — ðàçìåðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà

Óñïåøíûå ïðåäñêàçàíèÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè âðîäå îïèñàííîãî â ðàçäåëå 11.3 âû÷èñëåíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäòâåðæäåíèÿ ïðèíöèïà ïåðåíîðìèðóåìîñòè. Ýòî æå îòíîñèòñÿ è ê ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñëàáûõ, ýëåêòðîìàãíèòíûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îáñóæäàåìîé â ò. II. Åñòü ìíîæåñòâî ñëàãàåìûõ, êîòîðûå ìîæíî áûëî áû äîáàâèòü â ëàãðàíæèàí ýòîé òåîðèè, íàïðèìåð, ÷åòûðåõôåðìèîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó êâàðêàìè è ëåïòîíàìè, è êîòîðûå ïîëíîñòüþ èñêàçèëè áû âñå ïðåäñêàçàíèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íî òàêèå ñëàãàåìûå èñêëþ÷àþòñÿ òîëüêî íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî îíè íåïåðåíîðìèðóåìû. Äîëæíû ëè ìû âåðèòü óòâåðæäåíèþ, ÷òî ëàãðàíæèàí ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ? Êàê ìû âè-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

702

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

äåëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, åñëè âêëþ÷èòü â ëàãðàíæèàí âñå áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî âçàèìîäåéñòâèé, ðàçðåøåííûõ ñèììåòðèÿìè, òî äëÿ ñîêðàùåíèÿ êàæäîé óëüòðàôèîëåòîâîé ðàñõîäèìîñòè íàéäåòñÿ ñîîòâåòñâóþùèé êîíòð÷ëåí.  ýòîì ñìûñëå, êàê è óòâåðæäàëîñü ðàíåå, íåïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè òàê æå ïåðåíîðìèðóåìû, êàê è ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè, åñëè òîëüêî â ëàãðàíæèàí âêëþ÷åíû âñå âîçìîæíûå ñëàãàåìûå.  ïîñëåäíèå ãîäû óñèëèâàåòñÿ îùóùåíèå, ÷òî ïåðåíîðìèðóåìîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ôèçè÷åñêèì òðåáîâàíèåì, è ÷òî íà ñàìîì äåëå ëþáàÿ ðåàëèñòè÷íàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ äîëæíà ñîäåðæàòü êàê ïåðåíîðìèðóåìûå, òàê è íåïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå. Òàêîå èçìåíåíèå òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî îò÷àñòè ïðîñëåäèòü â ïðîäîëæàþùèõñÿ íåóäà÷íûõ ïîïûòêàõ ïîñòðîèòü ïåðåíîðìèðóåìóþ òåîðèþ ãðàâèòàöèè.  îáùåì êëàññå ìåòðè÷åñêèõ òåîðèé òÿãîòåíèÿ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ ýéíøòåéíîâñêîìó ïðèíöèïó ýêâèâàëåíòíîñòè, âîîáùå íåò ïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé: îáùåêîâàðèàíòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ äîëæíû ñòðîèòüñÿ èç òåíçîðà êðèâèçíû è åãî îáùåêîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ, è ïîýòîìó äàæå â «êàëèáðîâêå», â êîòîðîé ïðîïàãàòîð ãðàâèòîíà âåäåò ñåáÿ êàê k−2, ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ ñîäåðæàò ñëèøêîì ìíîãî ïðîèçâîäíûõ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà äëÿ òîãî, ÷òîáû áûòü ïåðåíîðìèðóåìûìè.  ÷àñòíîñòè, íåïåðåíîðìèðóåìîñòü îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ñëåäóåò èç òîãî èçâåñòíîãî ôàêòà, ÷òî êîíñòàíòà ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ 8πGN = (2,43 ⋅ 1018 ÃýÂ)−2 èìååò îòðèöàòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü. Äàæå åñëè ñî âñåì îñòàëüíûì âñå â ïîðÿäêå, ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé èç-çà âèðòóàëüíûõ ãðàâèòîíîâ áóäåò òðåáîâàòü íàëè÷èÿ â ëàãðàíæèàíå âñåõ ðàçðåøåííûõ ñèììåòðèÿìè âçàèìîäåéñòâèé, âêëþ÷àþùèõ íå òîëüêî ãðàâèòîíû, íî è ëþáûå ÷àñòèöû. Íî åñëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ôèçè÷åñêèì ïðèíöèïîì, òî êàê æå îáúÿñíèòü óñïåõ ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèé âðîäå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè è ñòàíäàðòíîé ìîäåëè? Îòâåò ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî ðàçìåðíîãî àíàëèçà. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî êîíñòàíòà ñâÿçè âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà i èìååò ðàçìåðíîñòü

[gi ] f [ìàññà]∆ i ,

(12.3.1)

ãäå ïîêàçàòåëü ∆i äàåòñÿ ôîðìóëîé (12.1.9). Ê íåïåðåíîðìèðóåìûì îòíîñÿòñÿ òå âçàèìîäåéñòâèÿ, ó êîòîðûõ êîíñòàíòû ñâÿçè èìåþò îòðèöàòåëüíóþ ìàññîâóþ ðàçìåðíîñòü. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóì-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

703

íûì ïðåäïîëîæèòü íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (12.3.1), ÷òî êîíñòàíòû ñâÿçè íå òîëüêî èìåþò ðàçìåðíîñòè, îïðåäåëÿåìûå çíà÷åíèåì ∆i, íî èìåþò âåëè÷èíó ïîðÿäêà (12.3.2) gi ≈ M ∆ i , ãäå Ì − íåêîòîðàÿ îáùàÿ ìàññà. (Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ýôôåêòèâíûõ òåîðèé ïîëÿ, êîòîðûå ðàññìîòðåíû íèæå è, áîëåå ïîäðîáíî, â ò. II.) Ïðè ðàñ÷åòå ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ íà õàðàêòåðíûõ ìàñøòàáàõ k n M, âêëþ÷åíèå íåïåðåíîðìèðóåìîãî âçàèìîäåéñòâèÿ òèïà i ñ ∆i < 0 ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ìíîæèòåëÿ gi ≈ M ∆ i , êîòîðûé ïî ðàçìåðíûì ñîîáðàæåíèÿì äîëæåí ñîïðîâîæäàòüñÿ ìíîæèòåëåì k −∆ i , òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ïîäàâëÿåòñÿ * ïðè k n M ìíîæèòåëåì (k / M) −∆ i n1. (Ýòîò àðãóìåíò áîëåå àêêóðàòíî áóäåò ðàññìîòðåí â ò. II ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ðåíîðìãðóïïû.) Óñïåõ ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèé ýëåêòðîñëàáûõ è ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé âñåãî ëèøü ïîêàçûâàåò, ÷òî Ì íàìíîãî áîëüøå, ÷åì òîò ìàñøòàá ýíåðãèé, íà êîòîðîì ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîâåðåíû. Íàïðèìåð, âåäóùèìè íåïåðåíîðìèðóåìûìè ïîïðàâêàìè ê îáû÷íîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýëåêòðîíîâ èëè ìþîíîâ áûëè áû òå âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçìåðíîñòüþ 5, êîòîðûå ïîäàâëÿþòñÿ òîëüêî îäíèì ìíîæèòåëåì 1/Ì. Ëîðåíöîâñêàÿ, êàëèáðîâî÷íàÿ è ÑÐ−èíâàðèàíòíîñòü äîïóñêàþò åäèíñòâåííîå òàêîå âçàèìîäåéñòâèå − ïàóëèåâñêîå ñëàãàåìîå âèäà (ie/M)ψ[γµ,γν]ψFµν. Ñîãëàñíî (10.6.24), (10.6.17) è (10.6.19), òàêîå ñëàãàåìîå âíîñèò â ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà *  ýòîì ìåñòå ñóùåñòâåííî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè áûëè óñòðàíåíû ñ ïîìîùüþ ïåðåíîðìèðîâêè, òàê ÷òî îòñóòñòâóþò ìíîæèòåëè, ñîäåðæàùèå óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå Λ, êîòîðûå ìîãóò ïîìåøàòü ðàçìåðíîìó àíàëèçó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, èç ýòîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî ïðè Λ → ∞ êàæäàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ íåïåðåíîðìèðîâàííàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè gi ñ ∆i < 0 ñîïðîâîæäàëàñü áû ðàñòóùèì ìíîæèòåëåì Λ− ∆ i . Óæå î÷åíü äàâíî àðãóìåíòû, îñíîâàííûå íà ðàçìåðíûõ ñîîáðàæåíèÿõ, ïðèâåëè Ãåéçåíáåðãà ê êëàññèôèêàöèè âçàèìîäåéñòâèé â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçìåðíîñòüþ èõ êîíñòàíò ñâÿçè è ê ïðåäïîëîæåíèþ10, ÷òî ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà g1i ∆ i äîëæíû âîçíèêàòü íîâûå ÿâëåíèÿ, íàïðèìåð, ïðè ýíåðãèè G F−1 2 d 300 ÃýÂ, ãäå GF − ÷åòûðåõôåðìèîííàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè â ôåðìèåâñêîé òåîðèè áåòà-ðàñïàäà. Ïîñëå ðàçâèòèÿ òåîðèè ïåðåíîðìèðîâîê Ñàêàòà è äð. îòìåòèëè11, ÷òî íåïåðåíîðìèðóåìûìè ÿâëÿþòñÿ òåîðèè, â êîòîðûõ êîíñòàíòû ñâÿçè èìåþò îòðèöàòåëüíóþ ðàçìåðíîñòü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

704

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

èëè ìþîíà âêëàä ïîðÿäêà 4å/Ì. Ðàññ÷èòàííîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà 10−10(å/2me), òàê ÷òî Ì äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì 8 ⋅ 1010me = 4 ⋅ 107 ÃýÂ. Ýòîò ïðåäåë ìîæåò áûòü îñëàáëåí, åñëè ôîðìó íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé îãðàíè÷èâàþò äðóãèå ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, îáû÷íûé ëàãðàíæèàí êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êèðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ψ → γ5ψ, åñëè íå ñ÷èòàòü èçìåíåíèÿ çíàêà ó ôåðìèîííîãî ìàññîâîãî ÷ëåíà −mψψ. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîëíûé ëàãðàíæèàí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ôîðìàëüíîé ñèììåòðèè ψ → γ5ψ, m → −m, òî ïàóëèåâñêîå ñëàãàåìîå â ëàãðàíæèàíå äîëæíî áûëî áû âõîäèòü ñ äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì m/M, òàê ÷òî åãî âêëàä â ìàãíèòíûé ìîìåíò áûë áû òîëüêî ïîðÿäêà 4em/M2. Èç-çà ïîÿâëåíèÿ ëèøíåãî ìíîæèòåëÿ m, ñàìàÿ çíà÷èìàÿ îöåíêà íà Ì èçâëåêàåòñÿ èç ôîðìóë äëÿ ìþîíà, à íå äëÿ ýëåêòðîíà. Ðàññ÷èòàííîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ìþîíà ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà 10−8(e/2me), òàê ÷òî Ì äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì 8 ⋅ 108 mµ d 3 ⋅ 103 ÃýÂ.  ëþáîì ñëó÷àå, åñëè Ì ëåæèò ãäå-òî â îáëàñòè çíà÷åíèé 1018 ÃýÂ, ìû ñ óâåðåííîñòüþ ïðåíåáðåãàåì ëþáûìè íåïåðåíîðìèðóåìûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêàòü â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò ðàçîáðàòüñÿ ñ íåêîòîðûìè ïðîáëåìàìè, ñâÿçàííûìè ñî ñëàãàåìûìè ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè â ëàãðàíæèàíå. Íàïðèìåð, â îáùåé òåîðèè äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ â ëàãðàíæèàíå ñëàãàåìûõ âèäà ϕ9nϕ. Ëþáîå ïîäîáíîå ñëàãàåìîå áóäåò äàâàòü ïðÿìîé âêëàä â ñêàëÿðíóþ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ Π*(q2), ïðîïîðöèîíàëüíûé (q2)n. Åñëè áû ìû âêëþ÷èëè òàêîé âêëàä âî âñåõ ïîðÿäêàõ, íî ïðåíåáðåãëè áû âñåìè äðóãèìè ýôôåêòàìè íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé, òî ïðîïàãàòîð ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ∆ ′(q 2 ) = 1 / (q 2 + m 2 − Π * (q 2 )) èìåë áû íå îäèí ïðîñòîé ïîëþñ ïî q2 ïðè îòðèöàòåëüíûõ q2, êîòîðûé ìîæíî îæèäàòü íà îñíîâàíèè îáùèõ ñîîáðàæåíèé ðàçäåëà 10.7, à n òàêèõ ïîëþñîâ (íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò ñîâïàäàòü), âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèÿõ q2. Íî åñëè íåïåðåíîðìèðóåìîå ñëàãàåìîå ϕ9nϕ ñîäåðæèò êîýôôèöèåíò ïîðÿäêà M−2(n−1), ãäå M . m, òîãäà äîïîëíèòåëüíûå ïîëþñû íàõîäÿòñÿ ïðè çíà÷åíèÿõ q2 ïîðÿäêà Ì2, ò. å. â îáëàñòè, ãäå íåïðàâîìåðíî èãíîðèðîâàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî äðóãèõ íåïåНа правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

705

ðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå òàêæå äîëæíû ïîÿâèòüñÿ â ëàãðàíæèàíå. Èòàê, ïîÿâëåíèå ñëàãàåìûõ ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè â îáùåì íåïåðåíîðìèðóåìîì ëàãðàíæèàíå íå ïðîòèâîðå÷èò îáùèì ïðèíöèïàì êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, èñïîëüçîâàííûì â ðàçäåëå 10.7. Îäíàêî ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ñëàãàåìûå ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, ÷òîáû èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ óëüòðàôèîëåòîâûõ ðàñõîäèìîñòåé, êàê ýòî íåîäíîêðàòíî ïðåäëàãàëîñü. Ñëàãàåìîå M−2(n−1)ϕ9nϕ â ëàãðàíæèàíå îáåñïå÷èâàåò îáðåçàíèå ïðè èìïóëüñàõ q2 d M2, íî ïðè òàêèõ èìïóëüñàõ íåëüçÿ èãíîðèðîâàòü âñå äðóãèå íåïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðûå îáÿçàòåëüíî äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü. Âêëàä íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ñèëüíî ïîäàâëåí, îäíàêî ìîæåò áûòü îáíàðóæåí, åñëè îíè ïðèâîäÿò ê ýôôåêòàì, çàïðåùåííûì ïðè îòñóòñòâèè òàêèõ âçàèìîäåéñòâèé. Íàïðèìåð, ìû óâèäèì â ðàçäåëå 12.5, ÷òî ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè ÿâëÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ñòðóêòóðû ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îïðåäåëÿåìîé òðåáîâàíèÿìè êàëèáðîâî÷íîé è ëîðåíöîâñêîé èíâàðèàíòíîñòè è ïåðåíîðìèðóåìîñòè. Îäíàêî ìîæíî ëåãêî âîîáðàçèòü íåïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå, íàðóøàþùèå ýòè ñèììåòðèè, íàïðèìåð, ñëàãàåìîå ñ ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì ýëåêòðîíà âèäàψγ5[γµ,γν]ψFµν èëè ôåðìèåâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ψγ5γµψψγµψ. Ñåé÷àñ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíà òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî ñîõðàíåíèå áàðèîííîãî è ëåïòîííîãî ÷èñåë íàðóøàåòñÿ î÷åíü ñëàáûìè ýôôåêòàìè ñèëüíî ïîäàâëåííûõ íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé. Äðóãèì ïðèìåðîì äåòåêòèðóåìûõ íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ ãðàâèòàöèÿ. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ó ãðàâèòîíîâ âîîáùå íåò ïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé. Íî, åñòåñòâåííî, ìû íàáëþäàåì ãðàâèòàöèþ, ïîòîìó ÷òî îíà îáëàäàåò îñîáûì ñâîéñòâîì: ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ âñåõ ÷àñòèö â ìàêðîñêîïè÷åñêîì òåëå êîãåðåíòíî ñêëàäûâàþòñÿ. Õîòÿ íåïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè ñîäåðæàò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ, îíè, òåì íå ìåíåå, ñîõðàíÿþò çíà÷èòåëüíóþ ïðåäñêàçàòåëüíóþ ñèëó 12: ýòè òåîðèè ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü íåàíàëèòè÷åñêèå ÷àñòè ôåéíìàíîâñêèõ àìïëèòóä, òèïà ñëàãàåìûõ ln q è q ln q â ðàññìîòðåííûõ â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà îäíîìåðíûõ ïðèìåðàõ. Òàêèå âû÷èñëåíèÿ âîñïðîèçâîäÿò ðåçóëüòàòû, âûòåêàþùèå èç àêñèîì òåîðèè S-ìàòðèöû, à èìåííî, ÷òî S-ìàòðèöà îáëàäàåò ëèøü òåìè ñèíãóëÿðíîñòÿìè, êîòîðûå òðåáóþòñÿ óñëîâèåì óíèòàðíîñòè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

706

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Ïàðàäîêñàëüíûì îáðàçîì íåïåðåíîðìèðóåìûå êâàíòîâûå òåîðèè ïîëÿ îêàçûâàþòñÿ íàèáîëåå ïîëåçíûìè â ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðèíöèïû ñèììåòðèè çàïðåùàþò ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ðàçâèòü ïîëåçíóþ òåîðèþ âîçìóùåíèé, ðàçëàãàÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì k/M. Òàêîé ïîäõîä áûë äåòàëüíî ðàçðàáîòàí äëÿ òåîðèè ïèîíîâ íèçêèõ ýíåðãèé 12,13, êîòîðàÿ áóäåò ïîäðîáíî îáñóæäàòüñÿ â ò. II, è â òåîðèè ãðàâèòîíîâ íèçêèõ ýíåðãèé 14. ×òîáû ïðèâåñòè ïðèìåð ïîïðîùå, ðàññìîòðèì òåîðèþ äåéñòâèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþùóþ ïðèíöèïó èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé ïîëÿ ϕ ( x) → ϕ ( x ) + ε ,

ãäå ε — ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ýòà ñèììåòðèÿ çàïðåùàåò ëþáîå ïåðåíîðìèðóåìîå âçàèìîäåéñòâèå èëè ìàññó ñêàëÿðà, íî äîïóñêàåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé ñ ïðîèçâîäíûìè 1 g L = − ∂ µ ϕ∂ µ ϕ − (∂ µ ϕ∂ µ ϕ)2 − . . . , 2 4 ãäå g d M−4, à «...» îçíà÷àåò ñëàãàåìûå ñ áî1ëüøèì ÷èñëîì ïðîèçâîäíûõ èëè ïîëåé. (Äëÿ ïðîñòîòû çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òåîðèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèÿ ϕ → −ϕ.) Ñîãëàñíî ïðîäåëàííîìó âûøå ðàçìåðíîìó àíàëèçó, äèàãðàììà ïðîèçâîëüíîé ðåàêöèè, â êîòîðîé âñå ýíåðãèè è èìïóëüñû ïîðÿäêà k n M, ïîäàâëåíà ôàêòîðîì (k/M)ν, ãäå

ν=−

∑ Vi ∆ i = ∑ Vi (di + n i − 4) , i

i

è ni, di — ÷èñëà ñêàëÿðíûõ ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ âî âçàèìîäåéñòâèè òèïà i, à Vi − ÷èñëî âåðøèí òàêèõ âçàèìîäåéñòâèé â äèàãðàììå. Ïðè k n M ãëàâíûé âêëàä â ëþáîé ïðîöåññ ñîîòâåòñòâóåò íàèìåíüøåìó çíà÷åíèþ ν. Ôîðìóëó äëÿ ν ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áîëåå óäîáíîì âèäå, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå òîïîëîãè÷åñêèå òîæäåñòâà äëÿ ñâÿçíûõ äèàãðàìì:

∑ Vi = I − L + 1 , i

∑ Vi n i = 2I + E , i

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

707

ãäå I, E è L − ÷èñëà âíóòðåííèõ ëèíèé, âíåøíèõ ëèíèé è ïåòåëü â íàøåé äèàãðàììå. Êîìáèíèðóÿ ýòè âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì

ν = 2E − 4 + 4L +

∑ Vi (di − n i ) . i

Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé ïîëåé òðåáóåò, ÷òîáû êàæäîå ïîëå ñîïðîâîæäàëîñü ïî ìåíüøåé ìåðå îäíîé ïðîèçâîäíîé, òàê ÷òî âåëè÷èíà di − ni, à òàêæå L íåîòðèöàòåëüíû äëÿ âñåõ âçàèìîäåéñòâèé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äàííîãî ïðîöåññà (ò. å. ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå âíåøíèõ ëèíèé Å) ãëàâíûìè áóäóò âêëàäû îò äðåâåñíûõ äèàãðàìì (ñ L = 0), îòâå÷àþùèì âçàèìîäåéñòâèÿì ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì di = ni ïðîèçâîäíûõ. Èíûìè ñëîâàìè, â âåäóùåì ïîðÿäêå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ëàãðàíæèàí çàâèñèò òîëüêî îò ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ. Ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìîãóò ñîäåðæàòü ïåòëè è/èëè âçàèìîäåéñòâèÿ ñ áîëüøèì ÷èñëîì ïðîèçâîäíûõ îò íåêîòîðûõ ïîëåé. Íî â ëþáîì äàííîì ïîðÿäêå ν ïî (k/M) íóæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî äèàãðàìì, äëÿ êîòîðûõ L ≤ (4 − 2E + ν)/4, è òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé. Íàïðèìåð, ñêàëÿð−ñêàëÿðíîå ðàññåÿíèå â âåäóùåì ïîðÿäêå îïðåäåëÿåòñÿ äðåâåñíîé äèàãðàììîé ñ îäíîé âåðøèíîé, âêëàä êîòîðîé ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ âçàèìîäåéñòâèå −g(∂µϕ∂µϕ)2 â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. Ñîãëàñíî íàøåé ôîðìóëå äëÿ ν, ãëàâíàÿ ïîïðàâêà, ïîäàâëåííàÿ ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ìíîæèòåëåì (k/M)2, âîçíèêàåò îò äðóãîé äðåâåñíîé äèàãðàììû ñ îäíîé âåðøèíîé, ïîðîæäàåìîé âçàèìîäåéñòâèåì ñ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ïðîèçâîäíûìè âèäà * ∂µ∂νϕ∂µ∂νϕ∂λϕ∂λϕ. Ñëåäóþùèå ïîïðàâêè, ïîäàâëåííûå ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè k/M, âîçíèêàþò êàê îò îäíîïåòëåâîé äèàãðàììû ðèñ. 12.4 (ñ ó÷åòîì ïåðåñòàíîâêè âíåøíèõ ëèíèé), âû÷èñëåííîé òîëüêî ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ −g(∂µϕ∂µϕ)2, òàê è îò äðåâåñíûõ äèàãðàìì ñ åäèíñòâåííîé âåðøèíîé, âîçíèêàþùåé îò ÷åòâåðòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âîñåìüþ ïðîèçâîäíûìè, êîíñòàíòû êîòî*  ñîãëàñèè ñ çàìå÷àíèåì â ðàçäåëå 7.7, ìû èñêëþ÷àåì âçàèìîäåéñòâèÿ, ñîäåðæàùèå 9ϕ, ïîñêîëüêó ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ïîëÿ äëÿ ϕ ìîæíî âûðàçèòü òàêèå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åðåç äðóãèå.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

708

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Ðèñ. 12.4. Îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà ñêàëÿð-ñêàëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ â òåîðèè ñ ÷åòâåðòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïðîèçâîäíûìè

ðîãî ñîäåðæàò áåñêîíå÷íûå âêëàäû, ñîêðàùàþùèå óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè ïåòëåâîé äèàãðàììû *. Ïåòëåâàÿ äèàãðàììà ïðèâîäèò òàêæå ê êîíå÷íûì ñëàãàåìûì â àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíûì âûðàæåíèÿì òèïà s4 ln s + t4 ln t + u4 ln u, s2t2 ln u + t2u2 ln s + u2s2 ln t è ò. ä. ñ âû÷èñëÿåìûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè g2. Óêàçàííûå êîíå÷íûå ñëàãàåìûå ïðåäñòàâëÿþò ïîïðàâêè ê àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ â íèçøåì ïîðÿäêå, íåîáõîäèìûå äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óíèòàðíîñòè S-ìàòðèöû, îäíàêî ïîêà ÷òî ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá èõ ðàñ÷åòà — ïåðòóðáàòèâíàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Õîòÿ íåïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ïîëåçíûå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ýíåðãèè, îíè íåèçáåæíî òåðÿþò âñÿêóþ ïðåäñêàçàòåëüíóþ ñèëó ïðè ýíåðãèÿõ ïîðÿäêà õàðàêòåðíîé äëÿ âñåõ êîíñòàíò îáùåé øêàëû ìàññ Ì. Åñëè áóêâàëüíî âîñïðèíèìàòü òàêèå ðàçëîæåíèÿ, òî ïîëó÷åííûå äëÿ ýëåìåíòîâ S-ìàòðèöû ðåçóëüòàòû áóäóò ïðîòèâîðå÷èòü ïðè E . M îãðàíè÷åíèÿì, íàêëàäûâàåìûì óñëîâèåì óíèòàðíîñòè. Ïîõîæå, ÷òî â îòíîøåíèè ïðîèñõîäÿùåãî ïðè òàêèõ ýíåðãèÿõ ñóùåñòâóþò òîëüêî äâå âîçìîæíîñòè. Îäíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàñòóùèé âêëàä ýôôåêòîâ íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé êàê-òî íàñûùàåòñÿ, òàê ÷òî íèêàêèõ ïðîòèâîðå÷èé ñ óíèòàðíîñòüþ íå âîçíèêàåò 15. Äðóãàÿ ñâÿçàíà ñ ïîÿâëåíèåì íà ìàñøòàáàõ ïîðÿäêà Ì êàêîé-òî íîâîé ôèçèêè.  ýòîì ñëó÷àå íåïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè, îïèñûâàþùèå * Åñëè èñïîëüçîâàòü ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ, òî ýòî åäèíñòâåííûå óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè, âîçíèêàþùèå â îäíîïåòëåâûõ äèàãðàììàõ.  äðóãèõ ìåòîäàõ ðåãóëÿðèçàöèè âîçíèêàþò òàêæå ÷åòâåðòè÷íûå è êâàäðàòè÷íûå ðàñõîäèìîñòè, êîòîðûå ñîêðàùàþòñÿ êîíòð÷ëåíàìè â ÷åòûðåõñêàëÿðíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ñ ÷åòûðüìÿ èëè øåñòüþ ïðîèçâîäíûìè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 3. Íóæíà ëè ïåðåíîðìèðóåìîñòü?

709

ïðèðîäó ïðè ýíåðãèÿõ Å n Ì, ÿâëÿþòñÿ íå èñòèííî ôóíäàìåíòàëüíûìè, à ïðîñòî ýôôåêòèâíûìè òåîðèÿìè ïîëÿ. Âåðîÿòíî, ñàìûì ïåðâûì ïðèìåðîì ýôôåêòèâíîé òåîðèè ïîëÿ áûëà ïîñòðîåííàÿ â 1930-õ ãîäàõ Ýéëåðîì è äð.16 òåîðèÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ ôîòîí-ôîòîííûõ âçàèìîäåéñòâèé (ñì. ðàçäåë 1.3). Ïî ñóùåñòâó îíè âû÷èñëèëè âêëàä â ôîòîí-ôîòîííîå ðàññåÿíèå ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 12.5, è îáíàðóæèëè, ÷òî ïðè ýíåðãèÿõ ìíîãî ìåíüøèõ me ðàññåÿíèå ñâåòà íà ñâåòà îêàçûâàåòñÿ òàêèì æå, êàê åñëè áû îíî áûëî âû÷èñëåíî ñ ïîìîùüþ ýôôåêòèâíîãî ëàãðàíæèàíà

Lýôô =

2α 2 (E2 − B 2 )2 + 7(E ⋅ B)2 4 45me + áîëåå âûñîêèå ïîðÿäêè ïî

eE eB è . me2 me2

Ýéëåð è äð. èñïîëüçîâàëè ýòîò ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí òîëüêî â äðåâåñíîì ïðèáëèæåíèè, è âû÷èñëèëè âåäóùèå ñëàãàåìûå â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ôîòîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ëèøü íàìíîãî ïîçäíåå òàêèå ëàãðàíæèàíû, íåñìîòðÿ íà èõ íåïåðåíîðìèðóåìîñòü, ñòàëè èñïîëüçîâàòü âíå ðàìîê äðåâåñíîãî ïðèáëèæåíèÿ 12,17.

Ðèñ. 12.5. Äèàãðàììà ôîòîí-ôîòîííîãî ðàññåÿíèÿ. Åå âêëàä ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ìîæíî âû÷èñëèòü, èñõîäÿ èç ýôôåêòèâíîãî ëàãðàíæèàíà Ýéëåðà è äð. 16. Ïðÿìûå ëèíèè îòâå÷àþò ýëåêòðîíàì, âîëíèñòûå — ôîòîíàì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

710

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Íà ñîâðåìåííîì æàðãîíå ìû ãîâîðèì, ÷òî ïðè ïîëó÷åíèè òàêîãî ëàãðàíæèàíà «ïî ýëåêòðîíàì áûëî ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå», ïîñêîëüêó â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè

FH XY L Z

exp i

ýôô (E, B)

IK

d 4x =

X LM dψ (x)OP expF iXY YY M∏ PQ H Z ZN e

IK

L ÊÝÄ (ψ e , A) d 4x .

x

Áîëåå îáùàÿ ïðîöåäóðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû âûïèñàòü ñàìûé îáùèé íåïåðåíîðìèðóåìûé ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí, ñ åãî ïîìîùüþ ðàññ÷èòàòü ðàçëè÷íûå àìïëèòóäû â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿä ïî ýíåðãèÿì è èìïóëüñàì, à çàòåì âûáðàòü êîíñòàíòû â ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå, ñðàâíèâ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òåìè, êîòîðûå âûâîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè. Ìû åùå âåðíåìñÿ ê ýôôåêòèâíûì òåîðèÿì ïîëÿ, îñîáåííî ïðè ðàññìîòðåíèè íàðóøåííûõ ñèììåòðèé â ò. II. Êàê áóäåò ïîêàçàíî, ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ ïîëåçíû, äàæå åñëè èõ íåëüçÿ âûâåñòè èç ëåæàùåé â îñíîâå òåîðèè, ëèáî ïîòîìó, ÷òî ýòà òåîðèÿ íåèçâåñòíà, ëèáî ïîòîìó, ÷òî âçàèìîäåéñòâèÿ â íåé ñëèøêîì ñèëüíû, ÷òîáû ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äàæå åñëè ìû íè÷åãî íå çíàåì î ñâîéñòâàõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ðàññåÿíèå ôîòîíîâ ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ ýíåðãèÿõ äîëæíî áóäåò îïèñûâàòüñÿ ýôôåêòèâíûì ëàãðàíæèàíîì, ñîäåðæàùèì ñëàãàåìûå (Å2 − Â2)2 è (Å⋅Â)2, ïîñêîëüêó ýòî åäèíñòâåííûå ÷åòâåðòè÷íûå êàëèáðîâî÷íî è ëîðåíö-èíâàðèàíòíûå ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíûõ îò Å è Â. Ñëàãàåìûå ñ òàêèìè ïðîèçâîäíûìè äîëæíû áûòü ïîäàâëåíû ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ ôîòîíîâ Å äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè Å/Ì, ãäå Ì — íåêîòîðàÿ òèïè÷íàÿ ìàññà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ïî êîòîðûì áûëî ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå. Ìîæíî ïðîäâèíóòüñÿ åùå äàëüøå: áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ ïîëåçíû äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïèñûâàåìûå èìè ëåãêèå ÷àñòèöû âîîáùå íå ïðèñóòñòâóþò â èñõîäíîé òåîðèè, à ñîñòîÿò èç òÿæåëûõ ÷àñòèö, ïî êîòîðûì ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå. Ëåæàùàÿ â îñíîâå òåîðèÿ ìîæåò âîîáùå íå áûòü òåîðèåé ïîëÿ — òðóäíîñòè ñ âêëþ÷åíèåì ãðàâèòàöèè ïðèâåëè ìíîãèõ òåîðåòèêîâ ê óáåæäåíèþ, ÷òî òàêàÿ òåîðèÿ åñòü íà ñàìîì äåëå òåîðèÿ ñòðóí. Íî îòêóäà áû íè âîçíèêàëà ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ, îíà íåèçáåæíî äîëæíà áûòü íåïåðåíîðìèðóåìîé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 4. Ïëàâàþùåå îáðåçàíèå

711

12.4. Ïëàâàþùåå îáðåçàíèå * Ïðåæäå ÷åì çàâåðøèòü ýòó ãëàâó, ïîëåçíî ñäåëàòü íåñêîëüêî çàìå÷àíèé î ñâÿçè îáùåïðèíÿòîé òåîðèè ïåðåíîðìèðîâîê ñ ïîäõîäîì, âïåðâûå ðàçâèòûì Âèëüñîíîì 18.  ìåòîäå Âèëüñîíà ââîäèòñÿ «ïëàâàþùåå» êîíå÷íîå óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå (ëèáî ðåçêîå, ëèáî ñãëàæåííîå) ïðè èìïóëüñàõ ñ êîìïîíåíòàìè ïîðÿäêà Λ, à çàòåì âìåñòî óñòðåìëåíèÿ Λ → ∞ òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ãîëûå êîíñòàíòû òåîðèè ** (âõîäÿùèå â ëàãðàíæèàí) çàâèñåëè îò Λ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âñå íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû íå çàâèñåëè îò Λ. Óäîáíî ðàáîòàòü ñ áåçðàçìåðíûìè ïàðàìåòðàìè. Åñëè ãîëàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè èëè ìàññîâûé ïàðàìåòð gi(Λ) èìåþò ðàçìåðíîñòü [ìàññà]∆ i , ìîæíî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð Gi ôîðìóëîé

Gi ( Λ) ≡ Λ− ∆ i gi ( Λ) .

(12.4.1)

Íà îñíîâàíèè îáû÷íîãî ðàçìåðíîãî àíàëèçà ïîëó÷àåì, ÷òî çíà÷åíèå Gi ïðè êàêîì-òî çíà÷åíèè Λ′ ïàðàìåòðà îáðåçàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü êàê ôóíêöèþ çíà÷åíèÿ Gi ïðè äðóãîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà Λ è îòíîøåíèÿ Λ′/Λ:

Gi ( Λ ′) = Fi G ( Λ), Λ ′ / Λ) .

b

g

(12.4.2)

 ôóíêöèè F íå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ íèêàêèå äðóãèå ïàðàìåòðû, êðîìå Λ′ è Λ, ïîñêîëüêó â íåé íå ìîæåò áûòü óëüòðàôèîëåòîâûõ èëè èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçíèöà ìåæäó êîíñòàíòàìè ïðè çíà÷åíèÿõ Λ è Λ′ âîçíèêàåò îò äèàãðàìì, ó êîòîðûõ èìïóëüñû âíóòðåííèõ ëèíèé èìåþò çíà÷åíèÿ ìåæäó Λ è Λ′. Äèôôåðåíöèðóÿ (12.4.2) ïî Λ′ è ïîëàãàÿ çàòåì Λ′ ðàâíûì Λ, ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ Gi: * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè. ** Èìåþòñÿ â âèäó ïàðàìåòðû òåîðèè — êàê ñîáñòâåííî êîíñòàíòû ñâÿçè, òàê è ìàññîâûå ïàðàìåòðû. Íèæå ÷àñòî îíè âñå, äëÿ êðàòêîñòè, íàçûâàþòñÿ êîíñòàíòàìè ñâÿçè (couplings). — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

712

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Λ

d

Gi ( Λ ) = β i G ( Λ ) , (12.4.3) dΛ ãäå βi(G) ≡ [∂/∂z(Fi(G,z))]z=1. Ïðè ìàëûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè ôóíêöèè βi(G) ìîæíî âû÷èñëèòü ïî òåîðèè âîçìóùåíèé. Ýòî âèëüñîíîâñêèé âàðèàíò óðàâíåíèÿ «ðåíîðìãðóïïû», êîòîðîå ìû â íåñêîëüêî èíîé ôîðìå îáñóäèì â ò. II. Ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè îáðåçàíèÿ ëàãðàíæèàí îïðåäåëÿåò ýôôåêòèâíóþ òåîðèþ ïîëÿ, â êîòîðîé âìåñòî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî «òÿæåëûì» ÷àñòèöàì âðîäå ýëåêòðîíà â ðàáîòå Ýéëåðà è äð. (èëè â äîáàâëåíèå ê ýòîìó èíòåãðèðîâàíèþ) ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî âñåì ÷àñòèöàì ñ èìïóëüñàìè áîëüøå Λ. Äàæå åñëè â èñõîäíîé òåîðèè åñòü êîíå÷íîå ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ñâÿçè Gi0 ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè îáðåçàíèÿ Λ0, ïðè ëþáîì äðóãîì çíà÷åíèè îáðåçàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (12.4.3) ïðèâåäåò â îáùåì ñëó÷àå ê íåíóëåâûì çíà÷åíèÿì âñåõ êîíñòàíò ñâÿçè, ðàçðåøåííûõ ïðèíöèïàìè ñèììåòðèè *. Áóäåì ðàçëè÷àòü ïåðåíîìèðóåìûå è íåïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû ñâÿçè, îáîçíà÷èâ èõ, ñîîòâåòñòâåííî, Ga è Gn, ãäå a íóìåðóåò êîíå÷íîå ÷èñëî N êîíñòàíò ñâÿçè (âêëþ÷àÿ ìàññû), äëÿ êîòîðûõ ∆a ≥ 0, à n íóìåðóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîíñòàíò ñâÿçè ñ ðàçìåðíîñòÿìè ∆n < 0. Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî åñëè êîíñòàíòû ñâÿçè Ga(Λ0) è Gn(Λ0) ïðè íåêîòîðîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè îáðåçàíèÿ Λ0 íàõîäÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíîé N-ìåðíîé íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè S0, òîãäà (ñ íåêîòîðûìè óòî÷íåíèÿìè) ïðè Λ n Λ0 îíè ïîïàäàþò íà ôèêñèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü S, íå çàâèñÿùóþ êàê îò Λ0, òàê è îò íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè **. Ýòà ôèêñèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü ñòàáèëüíà â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîðîæäàåìàÿ óðàâíåíèåì (12.4.3) òðàåêòîðèÿ, íà÷èíàþùàÿñÿ èç ëþáîé òî÷êè ïîâåðõíîñòè, îñòàåòñÿ íà íåé. Òàêàÿ ñòàáèëüíàÿ ïîâåðõíîñòü îïðåäåëÿåò ìíî-

b

g

* Åäèíñòâåííûìè èçâåñòíûìè èñêëþ÷åíèÿìè èç ýòîãî ïðàâèëà ÿâëÿþòñÿ òåîðèè, îñíîâàííûå íà ñóïåðñèììåòðèè 4. ** Ýòà òåîðåìà ïðèíàäëåæèò Ïîëü÷èíñêîìó 19. Íèæå ìû ïðèâîäèì ñîêðàùåííîå è ìåíåå ñòðîãîå åå äîêàçàòåëüñòâî. ( äîêàçàòåëüñòâå Ïîëü÷èíñêîãî íà÷àëüíàÿ ïîâåðõíîñòü áåðåòñÿ òàêîé, ÷òî âñå íåïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû ñâÿçè ðàâíû íóëþ. Êàê ìû óâèäèì, êîíñòàíòû ñâÿçè äîñòèãàþò îäíîé è òîé æå ôèêñèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè ïðè ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè.)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 4. Ïëàâàþùåå îáðåçàíèå

713

æåñòâî òåîðèé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ïàðàìåòðîâ, ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå êîòîðûõ íå çàâèñèò îò îáðåçàíèÿ. Êàê ïîÿñíÿëîñü â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ýòî åñòü ñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèé. Äàëåå, òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî èñõîäíàÿ òåîðèÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðè îáðåçàíèè Λ0, áóäåò ïðè Λ n Λ0 âûãëÿäåòü êàê ïåðåíîðìèðóåìàÿ *. ×òîáû äîêàçàòü ïðèâåäåííûå óòâåðæäåíèÿ, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìàëîå âîçìóùåíèå δGi(Λ) çíà÷åíèé Gi(Λ), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (12.4.3). Îíî óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ d (12.4.4) M ij (G ( Λ))δGj ( Λ) , Λ δG (λ) = dΛ i

∑ j

ãäå

M ij (G ) ≡

∂ β (G ) . ∂Gj i

(12.4.5)

Ýòî óðàâíåíèå ñâÿçûâàåò ïåðåíîðìèðóåìûå è íåïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû ñâÿçè, òàê ÷òî òðóäíî óâèäåòü ðàçíèöó â èõ ïîâåäåíèè. ×òîáû ðàñöåïèòü ýòó ñâÿçü, ââåäåì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

ξ n ≡ δGn −

∑ ab

∂Gn ∂G ∂Ga0 ∂G 0

FG H

IJ K

−1

δGb ,

(12.4.6)

ab

ãäå Ga0 — çíà÷åíèÿ ïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò ñâÿçè ïðè îáðåçàíèè Λ0, êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü êàê êîîðäèíàòû íà íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè, à Gn — çíà÷åíèÿ íåïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò ñâÿçè ïðè îáðåçàíèè Λ, ïîëó÷åííûå èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (12.4.3), ïðè÷åì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîíñòàíò ïðè îáðåçàíèè Λ0 îòâå÷àþò òî÷êå íà íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè Ga0. ×òîáû âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ξn ïî Λ, çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíûå ∂Gi/∂Ga0 óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (12.4.4), ÷òî è δGi. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî * Êîíå÷íî, ñèììåòðèè íåêîòîðûõ òåîðèé è èõ ïîëåâîé ñîñòàâ òàêîâû, ÷òî íåâîçìîæíû íèêàêèå ïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ê òàêîìó ñëó÷àþ îòíîñÿòñÿ òåîðèè, ñîäåðæàùèå òîëüêî ïîëÿ ôåðìèîíîâ, èëè òîëüêî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå. Ïðè Λ n Λ0 ýòè òåîðèè âûãëÿäÿò êàê òåîðèè ñâîáîäíûõ ïîëåé.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

714

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Λ

d ξ = dΛ n

∑ N nm ξ m ,

ãäå

N nm ≡ M nm −

∑ ab

(12.4.7)

m

∂Gn ∂G ∂Ga0 ∂G 0

FG IJ H K

−1

M bm .

(12.4.8)

ab

ïðîâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíî. Òåïåðü ñëåäóåò îöåíèòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Nnm.  òåîðèè ñâîáîäíûõ ïîëåé íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ îáðåçàíèé, ïîýòîìó ïðè î÷åíü ìàëûõ êîíñòàíòàõ ñâÿçè âñå ãîëûå ïàðàìåòðû ñòàíîâÿòñÿ íåçàâèñÿùèìè îò Λ. Îòñþäà äëÿ ìàëûõ êîíñòàíò áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû Gi èìåþò ìàñøòàá Λ− ∆ i , è ìàòðèöà Mij èìååò âèä

M ij ≈ −∆ i δ ij .

(12.4.9)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà Nnm ïðèáëèæåííî ðàâíà −∆nδnm. Îïðåäåëÿþùåé õàðàêòåðèñòèêîé íåïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå ∆n < 0. Èç (12.4.7) ñëåäóåò, ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ íåêîòîðîé êîíå÷íîé îáëàñòè çíà÷åíèé êîíñòàíò ñâÿçè, ãäå ìàòðèöà Nnm ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, âåëè÷èíà ξn âåäåò ñåáÿ ïðè Λ n Λ0 êàê ïîëîæèòåëüíàÿ ñòåïåíü Λ/Λ0.  ýòîì ïðåäåëå âîçìóùåíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

δGn =

∑ ab

∂Gn ∂G ∂Ga0 ∂G 0

FG H

IJ K

−1

δGb .

(12.4.10)

ab

 ÷àñòíîñòè, åñëè íåìíîãî èçìåíèòü íà÷àëüíóþ ïîâåðõíîñòü S0 è/èëè íà÷àëüíóþ òî÷êó íà ýòîé ïîâåðõíîñòè, è/èëè íà÷àëüíîå îáðåçàíèå Λ0, òàê ÷òî âîçìóùåíèÿ ïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò ñâÿçè δGa îáðàòÿòñÿ â íóëü ïðè íåêîòîðîì îáðåçàíèè Λ n Λ0, òî è âîçìóùåíèÿ δGn âñåõ äðóãèõ êîíñòàíò òàêæå îáðàòÿòñÿ â íóëü ïðè çíà÷åíèè îáðåçàíèÿ Λ. Ñëåäîâàòåëüíî íåïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû Gn(Λ) ïðè Λ n Λ0 ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò ïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò Ga(Λ), à íå îò íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè, íà÷àëüíîé òî÷êè èëè íà÷àëüíîãî îáðåçàíèÿ Λ0 ïî îòäåëüíîñòè. Ïðè Λ n Λ0 âñå êîíñòàíòû äîñòèãàþò, òàêèì îáðàçîì, N-ìåðíîé ïîâåðõíî-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 4. Ïëàâàþùåå îáðåçàíèå

715

ñòè S ñ êîîðäèíàòàìè Ga(Λ), êîòîðàÿ íå çàâèñèò íè îò íà÷àëüíîé ïîâåðõíîñòè, íè îò âåëè÷èíû Λ0. Çàìåòèì, ÷òî íåïåðåíîðìèðóåìûå êîíñòàíòû ñâÿçè Gn íà S â îáùåì ñëó÷àå íå ìàëû. Âàæíî òî, ÷òî îíè ñòàíîâÿòñÿ ôóíêöèÿìè ïåðåíîðìèðóåìûõ êîíñòàíò. Èçìåíåíèÿ Λ ïðè óñëîâèè, ÷òî Λ ìíîãî ìåíüøå Λ0, èçìåíÿþò êîíñòàíòû, íî îíè îñòàþòñÿ âáëèçè S (ïî êðàéíåé ìåðå, äî òåõ ïîð, ïîêà êîíñòàíòû ñâÿçè íå ñòàíóò íàñòîëüêî áîëüøèìè, ÷òî Nnm óæå íå áóäåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé). Èòàê, S ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ìû âèäåëè, ÷òî âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç Λ è Gn(Λ), ïðè÷åì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû îò Λ íå çàâèñÿò.  ÷àñòíîñòè, ýòî âåðíî äëÿ N îáû÷íûõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíò ñâÿçè è ìàññ, âðîäå å è me â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Íî òåïåðü ìîæíî îáðàòèòü ýòî ñîîòíîøåíèå è âûðàçèòü Gn(Λ) ÷åðåç îáû÷íûå ïàðàìåòðû è Λ. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îáîñíîâàòü îáû÷íóþ ïðîãðàììó ïåðåíîðìèðîâîê: âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû âûðàæàþòñÿ íåçàâèñÿùèì îò îáðåçàíèÿ ñïîñîáîì ÷åðåç îáû÷íûå ïåðåíîðìèðîâàííûå êîíñòàíòû ñâÿçè è ìàññû. Ïîäõîä Âèëüñîíà èìååò ðÿä ïðàêòè÷åñêèõ ïðåèìóùåñòâ. Íå íóæíî áåñïîêîèòüñÿ î âíóòðåííèõ èíòåãðèðîâàíèÿõ è ïåðåêðûâàþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòÿõ. Îáðåçàíèå ïî èìïóëüñàì ïðèìåíÿåòñÿ êî âñåì âíóòðåííèì ëèíèÿì. Êðîìå òîãî, ðÿä òåîðåì î íåïåðåíîðìèðîâêå * äëÿ ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèé, óòâåðæäàþùèõ, ÷òî íåêîòîðûå êîíñòàíòû íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ó÷åòå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê, îêàçûâàþòñÿ âåðíûìè òîëüêî äëÿ çàâèñÿùèõ îò îáðåçàíèÿ ãîëûõ êîíñòàíò ñâÿçè 20. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó âèëüñîíîâñêîãî ïîäõîäà åñòü è íåäîñòàòêè. Ïðèõîäèòñÿ îòêàçàòüñÿ îò ðÿäà óïðîùåíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè ðàáîòå ñ ïåðåíîðìèðóåìûìè òåîðèÿìè òèïà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Ïîñêîëüêó ìû íà÷èíàåì ñ òîãî, ÷òî ïî ÷àñòèöàì ñ èìïóëüñàìè, ïðåâûøàþùèìè íåêîòîðûé ìàñøòàá Λ, ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ðåçóëüòèðóþùàÿ ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ îêàçûâàåòñÿ ñîäåðæàùåé âñå ëîðåíö- è êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íå çàâèñÿùèìè îò Λ êîíñòàíòàìè. (Òåì íå ìåíåå, â ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ïðè ýíåðãèÿõ E n Λ äîìèíèðóþùèìè áóäóò âñå æå ïåðåíîðìè* Àíãëîÿçû÷íûé òåðìèí nonrenormalization theorem ìû ïåðåâîäèì êàê òåîðåìà î íåïåðåíîðìèðîâêå. — Ïðèì. ïåð.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

716

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

ðóåìûå êîíñòàíòû ñâÿçè.) Êðîìå òîãî, îáðåçàíèå â îáùåì ñëó÷àå ðàçðóøàåò ÿâíóþ êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, à òàêæå ëèáî ÿâíóþ ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü, ëèáî óíèòàðíîñòü. Íè îäíîé èç ýòèõ ïðîáëåì íåò â ôèçèêå êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä, äëÿ êîòîðûõ è áûë ïåðâîíà÷àëüíî ðàçðàáîòàí ìåòîä Âèëüñîíà, ïîñêîëüêó íèêòî íå îæèäàåò, ÷òî ðåàëèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîíäåíñèðîâàííîãî âåùåñòâà äîëæíà áûòü ñòðîãî ïåðåíîðìèðóåìîé, è íåò íèêàêèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, êîòîðûå îáÿçàòåëüíî íàðóøàþòñÿ îáðåçàíèåì. Íà ñàìîì äåëå, â êðèñòàëëàõ ñóùåñòâóåò îáðåçàíèå ïî èìïóëüñàì ôîíîíîâ, îïðåäåëÿþùååñÿ ïåðèîäîì îáðàòíîé ðåøåòêè. Åñëè ïîñìîòðåòü ãëóáæå, ðàçíèöà ìåæäó îáû÷íûì è âèëüñîíîâñêèì ïîäõîäàìè åñòü âîïðîñ ìàòåìàòè÷åñêîãî óäîáñòâà, à íå ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, îáû÷íàÿ ïåðåíîðìèðîâêà óæå ïðèâîäèò ê ÷åìó-òî âðîäå íàñòðàèâàåìîãî îáðåçàíèÿ: êîãäà ìû âûðàæàåì íàø îòâåò ÷åðåç êîíñòàíòû ñâÿçè, îïðåäåëåííûå êàê çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ àìïëèòóä ïðè íåêîòîðûõ èìïóëüñàõ ïîðÿäêà µ (êàê äëÿ îáñóæäàâøåéñÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ), òå ñîêðàùåíèÿ, êîòîðûå äåëàþò èíòåãðàëû ñõîäÿùèìèñÿ, íà÷èíàþò äåéñòâîâàòü ïðè âèðòóàëüíûõ èìïóëüñàõ ïîðÿäêà µ. Íàîáîðîò, çàâèñÿùèå îò Λ êîíñòàíòû ñâÿçè â ïîäõîäå Âèëüñîíà äîëæíû â êîíå÷íîì ñ÷åòå áûòü âûðàæåíû ÷åðåç íàáëþäàåìûå ìàññû è çàðÿäû, è êîãäà ýòî ñäåëàíî, ðåçóëüòàòû ñîâïàäàþò ñ òåìè, êîòîðûå ïîëó÷åíû îáû÷íûìè ñïîñîáàìè. 12.5. Ñëó÷àéíûå ñèììåòðèè * Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 12.3, åñòü õîðîøèå îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðåíîðìèðóåìûå òåîðèè ïîëÿ ïðèáëèæåííî îïèñûâàþò ïðèðîäó ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ ýíåðãèÿõ. ×àñòî òðåáîâàíèå ïåðåíîðìèðóåìîñòè îêàçûâàåòñÿ íàñòîëüêî æåñòêèì, ÷òî ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí àâòîìàòè÷åñêè ïîä÷èíÿåòñÿ îäíîé èëè áîëåå ñèììåòðèÿì, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðèÿìè èñõîäíîé òåîðèè è ìîãóò ïîýòîìó íàðóøàòüñÿ ïîäàâëåííûìè íåïåðåíîðìèðóåìûìè ñëàãàåìûìè â ýôôåêòèâíîì ëàãðàíæèàíå. Äåéñòâèòåëüíî, áîëüøèíñòâî ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííûõ ñèììåòðèé â ôè* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

12. 5. Ñëó÷àéíûå ñèììåòðèè

717

çèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ «ñëó÷àéíûìè ñèììåòðèÿìè» óêàçàííîãî òèïà. Êëàññè÷åñêèìè ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü èíâåðñèè è ñîõðàíåíèå àðîìàòà â ýëåêòðîäèíàìèêå çàðÿæåííûõ ëåïòîíîâ. Íàèáîëåå îáùèé ïåðåíîðìèðóåìûé ëîðåíö-èíâàðèàíòíûé è êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûé ëàãðàíæèàí ôîòîíîâ è ïîëåé ψl ñïèíà 1/2 è çàðÿäà −å èìååò âèä

L = − 14 Z3FµνF µν −

∑ ZLij ψ Li [∂/ + ieA/ ]ψ Lj − ∑ ZRij ψ Ri [∂/ + ieA/ ]ψ Rj ij

−

∑

ij

M ij ψ Li ψ Rj −

ij

∑

M †ij ψ Ri ψ Lj

(12.5.1)

,

ij

ãäå ñóììà ïî i, j ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïî òðåì ëåïòîííûì àðîìàòàì (å, µ, τ), ψLi è ψRi — ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû ïîëÿ ψi, îïðåäåëåííûå ñîãëàñíî ôîðìóëàì

ψ Li =

1 (1 + 2

γ 5 )ψ i ,

ψ Ri =

1 (1 − 2

γ 5 )ψ i ,

(12.5.2)

à ZL, ZR è Ì − ÷èñëîâûå ìàòðèöû. Ìû íå äåëàåì íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé î ñîõðàíåíèè ëåïòîííîãî àðîìàòà, òàê ÷òî ìàòðèöû ZLij, ZRij è Mij íå îáÿçàíû áûòü äèàãîíàëüíûìè. Êðîìå òîãî, ìû íè÷åãî íå ïðåäïîëàãàåì îòíîñèòåëüíî èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê P, C èëè T, òàê ÷òî íåò íèêàêèõ îáÿçàòåëüíûõ ñâÿçåé ìåæäó ZL è ZR èëè ìåæäó Ì è ̆. Åäèíñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ýòè ìàòðèöû âûòåêàþò èç äåéñòâèòåëüíîñòè ëàãðàíæèàíà, òðåáóþùåé, ÷òîáû ZLij è ZRij áûëè ýðìèòîâûìè, è èç êàíîíè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé àíòèêîììóòàöèè, òðåáóþùèõ, ÷òîáû ZLij è ZRij áûëè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíû. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìû çàìåíÿåì ëåïòîííûå ïîëÿ ψL, ψR íîâûìè ïîëÿìè ψ′L, ψ′R, îïðåäåëåííûìè ñîãëàñíî ôîðìóëàì (12.5.3) ψ L = SL ψ ′L , ψ R = SR ψ ′R , ãäå SL,R — íåñèíãóëÿðíûå ìàòðèöû, êîòîðûå ìîæíî âûáèðàòü ïî æåëàíèþ. Ëàãðàíæèàí, âûðàæåííûå ÷åðåç íîâûå ïîëÿ, ïðèíèìàåò òîò æå âèä, ÷òî è (12.5.1), íî ñ íîâûìè ìàòðèöàìè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

718

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê † ZL′ = SL† ZL SL , ZR′ = SR ZR SR , M ′ = SL† MSR .

(12.5.4)

Ìîæíî âûáðàòü SL è SR òàê, ÷òî Z′L = Z′R = 1. (Äîñòàòî÷íî âçÿòü SL,R = UL,RDL,R, ãäå UL,R − óíèòàðíûå ìàòðèöû, äèàãîíàëèçóþùèå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå ýðìèòîâûå ìàòðèöû ZL,R, à DL,R — äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðûõ ðàâíû îáðàòíûì êâàäðàòíûì êîðíÿì èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ZL,R.) Ñîâåðøèì òåïåðü åùå îäíî ïðåîáðàçîâàíèå — îò ëåïòîííûõ ïîëåé ψ′l ê ïîëÿì ψ′′l: ψ ′L = SL′ ψ ′′ L,

ψ ′R = SR′ ψ ′′ R .

(12.5.5)

Åñëè âûðàçèòü ëàãðàíæèàí ÷åðåç íîâûå ïîëÿ, îí âíîâü ïðèíèìàåò òó æå ôîðìó ñ íîâûìè ìàòðèöàìè

ZL′′ = SL′ †SL′ , ZR′′ = SR′ †SR′ , M ′′ = SL′ †M ′SR′ .

(12.5.6)

Íà ýòîò ðàç âûáåðåì S′L,R óíèòàðíûìè, òàê ÷òî îïÿòü Z′L = Z′R = 1. Ýòè óíèòàðíûå ìàòðèöû âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû ìàòðèöà Ì′′ áûëà äåéñòâèòåëüíîé è äèàãîíàëüíîé. (Ñîãëàñíî ïîëÿðíîìó ðàçëîæåíèÿ, Ì′, êàê è ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå M′ = VH, ãäå V — óíèòàðíàÿ, à Í — ýðìèòîâà ìàòðèöû. Âîçüìåì S′L = S′R†V† è âûáåðåì â êà÷åñòâå S′R óíèòàðíóþ ìàòðèöó, äèàãîíàëèçóþùóþ Í.) Îïóñêàÿ øòðèõè, ïîëó÷àåì, ÷òî ëàãðàíæèàí ïðèíèìàåò âèä:

L = − 14 Z3 FµνF µν −

∑ ψ Li [∂/ + ieA/ ]ψ Li − ∑ ψ Ri [∂/ + ieA/ ]ψ Rj i

−

i

∑ mi ψ Li ψ Ri − ∑ mi ψ Ri ψ Li , i

(12.5.7)

i

ãäå mi — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ðàâíûå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ýðìèòîâîé ìàòðèöû Í. Îêîí÷àòåëüíî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áîëåå çíàêîìîé ôîðìå: L = − 14 Z3 FµνF µν −

∑ ψ i [∂/ + ieA/ ]ψ i − ∑ m i ψ i ψ i . i

i

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(12.5.8)

12. 5. Ñëó÷àéíûå ñèììåòðèè

719

Åñëè ëàãðàíæèàí èìååò òàêîé âèä, ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî ëþáîé ïåðåíîðìèðóåìûé ëàãðàíæèàí ýëåêòðîäèíàìèêè ëåïòîíîâ àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿåò Ð, Ñ è Ò, à òàêæå ÷èñëà ëåïòîíîâ (ìèíóñ ÷èñëà àíòèëåïòîíîâ) êàæäîãî àðîìàòà: ýëåêòðîííîãî, ìþîííîãî è òàó-ëåïòîííîãî *.  ÷àñòíîñòè, íåñìîòðÿ íà âûðàæåíèå (12.5.1), òàêàÿ òåîðèÿ çàïðåùàåò ïðîöåññû òèïà µ → e + γ. ×èòàòåëü ìîæåò âûñêàçàòü îïàñåíèå, ïðàâèëüíî ëè èäåíòèôèöèðîâàòü ëåïòîííûå ïîëÿ ñ ôóíêöèÿìè ψl (êîòîðûå ðàíåå îáîçíà÷àëèñü ψ′′l) â ëàãðàíæèàíå (12.5.8), ÿâíî ñîõðàíÿþùèìè ëåïòîííûé çàðÿä, à íå ñ ψl èç ëàãðàíæèàíà (12.5.1), êîòîðûé âðîäå áû äîïóñêàåò ïðîöåññû òèïà µ → e + γ. Ýòè îïàñåíèÿ ìîæíî îòáðîñèòü: êàê ïîä÷åðêèâàëîñü â ðàçäåëå 10.3, íåò òàêîãî ïîëÿ, êîòîðîå ìîæíî èäåíòèôèöèðîâàòü ñ èñòèííûì ïîëåì ìþîíà èëè ýëåêòðîíà. Íà ñàìîì äåëå, ëàãðàíæèàí (12.5.1) ïðèâîäèò ê îòëè÷íûì îò íóëÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòàìè ðàäèàöèîííîãî ðàñïàäà ëåïòîíà 1 â ëåïòîí 2 âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî, áåðÿ èìïóëüñû ëåïòîíîâ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, ìû íàõîäèì, ÷òî S-ìàòðèöà âñåõ òàêèõ ïðîöåññîâ, äàæå âû÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ ëàãðàíæèàíà (12.5.1), îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ïðè ïîëó÷åíèè ýòèõ ðåçóëüòàòîâ áûëî ñóùåñòâåííî, ÷òî êàê ëåâûå, òàê è ïðàâûå êîìïîíåíòû ëåïòîííûõ ïîëåé, âõîäÿùèõ â (12.5.1), èìåëè îäèí è òîò æå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä èëè, èíûìè ñëîâàìè, ëåâûå è ïðàâûå êîìïîíåíòû ëåïòîííûõ ïîëåé ïðåîáðàçóþòñÿ îäèíàêîâî ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êàê ìû óâèäèì â ò. II, ïî ñõîæèì ïðè÷èíàì ñîâðåìåííàÿ ïåðåíîðìèðóåìàÿ òåîðèÿ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, èçâåñòíàÿ ïîä íàçâàíèåì êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêè, àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿåò Ñ è (åñëè íå ñ÷èòàòü ðÿäà íåïåðòóðáàòèâíûõ ýôôåêòîâ) Ð, Ò, à òàêæå ÷èñëà êâàðêîâ (ìèíóñ ÷èñëà àíòèêâàðêîâ) êàæäîãî êâàðêîâîãî àðîìàòà. Ìû òàêæå óâèäèì â ò. II, ÷òî ïî ïðè÷èíàì, àíàëîãè÷íûì èçëîæåííûì çäåñü äëÿ ýëåêòðîäèíàìèêè, ïðîñòåéøàÿ âåðñèÿ ïåðåíîðìèðóåìîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ñëàáûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿåò ëåïòîííûé àðîìàò (õîòÿ è íå Ñ è Ð). Îòêðûòîé îñòàåòñÿ âîçìîæíîñòü, ÷òî ýôôåêòû íåïåðåíîðìèðóåìûõ âçàèìîäåéñòâèé, èäóùèå îò áî1ëüøèõ ìàñøòàáîâ ìàññ, ìîãóò íàðóøàòü ëþáîé èç óïîìÿíóòûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. * Âïåðâûå ýòî áûëî ïîêàçàíî Ôåéíáåðãîì, Êàáèðîì è ìíîé 21. Ðàíåå Ôåéíáåðã 22 îòìå÷àë, ÷òî ýôôåêòû ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé â òåîðèè ñ åäèíñòâåííûì òèïîì íåéòðèíî ïðèâîäÿò ê íàáëþäàåìîé âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà µ → e + γ. Ýòà ïðîáëåìà ðàçðåøèëàñü òîëüêî ïîñëå îòêðûòèÿ âòîðîãî òèïà íåéòðèíî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

720

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

Çàäà÷è 1.

 ñëó÷àå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà−âðåìåíè, ðàâíîé 2, 3 è 6, ïåðå÷èñëèòå âñå ïåðåíîðìèðóåìûå (èëè ñóïåðïåðåíîðìèðóåìûå) ëîðåíö-èíâàðèàíòíûå ñëàãàåìûå â ëàãðàíæèàíå îäíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.

2.

Ïîêàæèòå, êàêèì îáðàçîì â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ñîêðàùàþòñÿ ïåðåêðûâàþùèåñÿ ðàñõîäèìîñòè â ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà.

3.

Ðàññìîòðèòå òåîðèþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ϕ è ñïèíîðíîãî ïîëÿ ψ ñ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ gϕψψ. Çàïèøèòå îäíîïåòëåâîé âêëàä â ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ Π*(q) êàê ñóììó ðàñõîäÿùåãîñÿ ïîëèíîìà ïî pµ è ÿâíî ñõîäÿùèåãîñÿ èíòåãðàëà.

4.

Ïóñòü êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ýôôåêòèâíîé òåîðèåé ïîëÿ, ïîëó÷åííîé èç òåîðèè, ãäå ïðîèçâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî íåèçâåñòíûì ÷àñòèöàì ìàññîé M . me. Ïðåäïîëîæèòå êàëèáðîâî÷íóþ è ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü, îäíàêî íå òðåáóéòå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî Ñ, Ð è Ò. Êàêîâû íåïåðåíîðìèðóåìûå ñëàãàåìûå â ëàãðàíæèàíå â âåäóùåì ïîðÿäêå ïî 1/Ì? Êàê âûãëÿäÿò ýòè ñëàãàåìûå â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå? Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949). Èñòîðèÿ âîïðîñà èçëîæåíà â êíèãå: Renormalization, ed. by L.M.Brown (Springer Verlag, New York, 1993). Ïîäðîáíîå ñîâðåìåííîå èçëîæåíèå ñì. â êíèãå: Collins, J. Renormalization (Cambridge University Press, Cambridge, 1984) (åñòü ðóñ. ïåð.: Äæ. Êîëëèíç. Ïåðåíîðìèðîâêà. Ì.: Ìèð, 1988).

2.

Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1959). Ýòî äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ òîëüêî íà îáùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé â ôåéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëàõ â åâê-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

721

ëèäîâîì èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, ïîëó÷åííûõ âèêîâñêèì ïîâîðîòîì âñåõ êîíòóðîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî áûëî óïðîùåíî çà ñ÷åò áîëåå äåòàëüíîãî àíàëèçà ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ðàáîòå: Hahn, Y. and Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 10, 330 (1968), à çàòåì ðàñïðîñòðàíåíî íà èíòåãðàëû â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî â ðàáîòå: Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 11, 1 (1968). 3.

Bjorken, J.D. and Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (McGrow Hill, New York, 1965), sections 19.10, 19.11 (åñòü ðóñ. ïåð.: Äæ.Ä. Áüåðêåí, Ñ. Äðåëë. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ. Òò. 1, 2. Ì. : Íàóêà, 1978.)

4.

Ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Wess, J. and Bagger, J.,Supersymmetry and Supergravity (Princeton University Press, Princeton, 1983) è ññûëêè íà ëèòåðàòóðó â íåé (åñòü ðóñ. ïåð.: Þ. Âåññ, Äæ. Áåããåð. Ñóïåðñèììåòðèÿ è ñóïåðãðàâèòàöèÿ. Ì.: Ìèð, 1986.

5.

Salam, A., Phys. Rev., 82, 217 (1951); Phys. Rev., 84, 426 (1951); Matthews, P.T. and Salam, A., Phys. Rev., 94, 185 (1957).

6.

Bogoliubov, N.N. and Parasiuk, O., Acta Math., 97, 227 (1957).

7.

Hepp, K., Commun. Math. Phys., 2, 301 (1966). Õåïï çàìå÷àåò, ÷òî «òðóäíî íàéòè äâóõ òåîðåòèêîâ ñ èçîìîðôíûì ïîíèìàíèåì îñíîâíûõ øàãîâ â äîêàçàòåëüñòâå Áîãîëþáîâà è Ïàðàñþêà», íî è ðàáîòà ñàìîãî Õåïïà ÷èòàåòñÿ íåëåãêî.

8.

Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 15, 208 (1969). Ñì. òàêæå ñòàòüþ Â. Öèììåðìàíà â ñá.: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory. Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics (M.I.T. Press, Cambridge, 1970).

9.

Heisenberg, W., Z. Physik, 110, 251 (1938).

10.

Heisenberg, W., Ref. [9] and Z. Physik, 113, 61 (1939).

11.

Sakata, S., Umezawa, H., and Kamefuchi, S., Prog. Theor. Phys., 7, 327 (1952).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

722

Ãëàâà 12. Îáùàÿ òåîðèÿ ïåðåíîðìèðîâîê

12.

Weinberg, S., Physica, 96A, 327 (1979).

13.

Gasser, J. and Leutwyler, H., Ann. Phys. (NY), 158, 142 (1984); Nucl. Phys., B250, 465 (1985).

14.

Donoghue, J.F., Phys. Rev., D 50, 3874 (1994).

15.

Îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ òîãî, ÷òîáû ýòî ñëó÷èëîñü, ñâÿçàí ñ ÿâëåíèåì «àñèìïòîòè÷åñêîé áåçîïàñíîñòè». Ñì.: Weinberg, S., in General Relativity — An Einstein Centenary Survey, ed. by S.W. Hawking and W. Israel (Cambridge University Press, Cambridge, 1979), Section 16.3 (åñòü ðóñ. ïåð.: Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîä ðåä. Ñ. Õîêèíãà è Â. Èçðàåëÿ. Ì.: Ìèð, 1983).

16.

Euler, H. and Kockel, B., Naturwiss, 23, 246 (1935); Heisenberg, W. and Euler, H., Z. Physik, 98, 714 (1936).

17.

Ýôôåêòèâíûé ëàãðàíæèàí Ýéëåðà è äð. áûë èñïîëüçîâàí â îäíîïåòëåâûõ âû÷èñëåíèÿõ â ðàáîòå: Halter, J., Phys. Lett., B 316, 155 (1971).

18.

Wilson, K.G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971); Rev. Mod. Phys., 47, 773 (1975).

19.

Polchinski, J., Nucl. Phys., B231, 269 (1984); lecture in Recent Directions in Particle Theory — Proc. of the 1992 TASI Conf., ed. by J. Harvey and J. Polchinski (World Scientific, Singapore, 1993), p. 235.

20.

Novikov, V., Shifman, M.A., Vainshtein, A.I., and Zakharov, V.I., Nucl. Phys., B229, 381 (1983); Shifman, M.A. and Vainshtein, A.I., Nucl. Phys., B277, 456 (1986) è ññûëêè â ýòèõ ðàáîòàõ. Ñì. òàêæå Shifman, M.A. and Vainshtein, A.I., Nucl. Phys., B359, 571 (1991).

21.

Feinberg, G., Kabir, P., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 3, 527 (1959).

22.

Feinberg, G., Phys. Rev., 110, 1482 (1958).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13 Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû Ïðè èçó÷åíèè ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê îñîáóþ ðîëü èãðàþò òå èç íèõ, êîòîðûå îáÿçàíû ñâîèì ïðîèñõîæäåíèåì “ìÿãêèì” ôîòîíàì, ò. å. ôîòîíàì, èìïóëüñ è ýíåðãèÿ êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå õàðàêòåðíûõ ìàññ è ýíåðãèé èçó÷àåìîãî ïðîöåññà. Äåëî íå òîëüêî â òîì, ÷òî ýòè ïîïðàâêè ÷àñòî áûâàþò íàñòîëüêî áîëüøèìè, ÷òî íóæíî ó÷èòûâàòü èõ âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, íî è â òîì, ÷òî òàêîå ñóììèðîâàíèå áåç òðóäà îñóùåñòâëÿåòñÿ. Âêëàä ôîòîíîâ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ äëèí âîëí ïðèíèìàåò ôîðìó ðàñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ, íî, êàê ìû óâèäèì, âñå ýòè «èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè» ñîêðàùàþòñÿ 1.  áîëüøåé ÷àñòè äàííîé ãëàâû ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ ôîòîíàìè, âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ïðîèçâîëüíîãî òèïà è ñïèíà, âêëþ÷àÿ àòîìíûå ÿäðà, ñïîñîáíûå íå òîëüêî ê ýëåêòðîìàãíèòíûì, íî è ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèÿì. Îäíàêî íåòðóäíî ïðèñïîñîáèòü ïðåäñòàâëåííûå íèæå âû÷èñëåíèÿ ê èíôðàêðàñíûì ýôôåêòàì, ñâÿçàííûì ñ äðóãèìè áåçìàññîâûìè ÷àñòèöàìè âðîäå ãëþîíîâ â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå.  ðàçäåëå 13.4 ìû ÿâíî ðàññìîòðèì âåñüìà øèðîêèé êëàññ òåîðèé áåçìàññîâûõ ÷àñòèö è äîêàæåì â îáùåì âèäå ñîêðàùåíèå èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé. Ïîñëå òàêèõ îáîáùåíèé ìû âåðíåìñÿ ê èçó÷åíèþ ôîòîíîâ è ðàññìîòðèì äâà ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ âîïðîñà: ðàññåÿíèå ìÿãêèõ ôîòîíîâ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ñ ïðîèçâîëüíûìè íåýëåêòðîìàãíèòíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, îáëàäàþùèìè ïðîèçâîëüíûì ñïèíîì; ïðåäñòàâëåíèå òÿæåëûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö òèïà àòîìíûõ ÿäåð â âèäå èñòî÷íèêîâ âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

724

13.1. Àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ  ýòîì ðàçäåëå ìû âûâåäåì óíèâåðñàëüíóþ ôîðìóëó äëÿ àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ôîòîíîâ î÷åíü ìàëîé ýíåðãèè â ïðîöåññå α → β ñ ó÷àñòèåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà áîëåå ýíåðãè÷íûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ëþáîãî òèïà. Íà÷íåì ñ àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ îäíîãî ìÿãêîãî ôîòîíà. Åñëè ïîäñîåäèíèòü ëèíèþ ìÿãêîãî âûõîäÿùåãî ôîòîíà ñ èìïóëüñîì q è èíäåêñîì ïîëÿðèçàöèè µ ê ëèíèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, âûõîäÿùåé èç êàêîé-òî ñâÿçíîé ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììû ïðîöåññà α → β (ðèñ. 13.1, à), òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýòîãî ïðîöåññà ñëåäóåò óìíîæèòü íà äîïîëíèòåëüíûé ïðîïàãàòîð çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p + q, êîòîðûé èìåëà çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ïåðåä èñïóñêàíèåì ôîòîíà, è íà ìíîæèòåëü, îòâå÷àþùèé âêëàäó âîçíèêøåé íîâîé âåðøèíû «çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà−ôîòîí». Åñëè ñïèí çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ðàâåí íóëþ, ìàññà m è çàðÿä +å, ýòè ìíîæèòåëè èìåþò âèä i(2π) 4 e(2p µ + q µ )

LM − i N (2π)

4

OP Q

1 , ( p + q ) + m 2 − iε 2

Ðèñ. 13.1. Âåäóùèå äèàãðàììû èñïóñêàíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ â ïðîèçâîëüíîì ïðîöåññå α → β. Ïðÿìûå ëèíèè èçîáðàæàþò ÷àñòèöû â ñîñòîÿíèÿõ α è β (âêëþ÷àÿ âîçìîæíûå æåñòêèå ôîòîíû), âîëíèñòûå ëèíèè — ìÿãêèå ôîòîíû

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

725

13.1. Àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ

÷òî â ïðåäåëå q → 0 ñâîäèòñÿ ê ìíîæèòåëþ

ep µ . p ⋅ q − iε

(13.1.1)

(Ìû âïðàâå ïåðåîïðåäåëÿòü âåëè÷èíó ïîëîæèòåëüíîé áåñêîíå÷íî ìàëîé äîáàâêè ε, çàáîòÿñü òîëüêî î ñîõðàíåíèè åå çíàêà.) Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà ñàìîì äåëå âåðåí äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ëþáîãî ñïèíà. Íàïðèìåð, äëÿ ÷àñòèöû ñïèíà 1/2 è çàðÿäà +å íóæíî çàìåíèòü êîýôôèöèåíòíóþ ôóíêöèþ u(p, σ) äëÿ âûõîäÿùåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà u (p, σ) − i(2π) 4 eγ µ

LM − i N (2π)

4

− i(p/ + q/ ) + m . ( p + q ) 2 + m 2 − iε

OP Q

 ïðåäåëå q → 0 ÷èñëèòåëü ïðîïàãàòîðà ðàâåí ñóììå äèàä:

− ip/ + m = 2p0

∑ u(p, σ ′)u(p, σ ′) , σ′

òàê ÷òî ïîëó÷àåòñÿ ñóììà ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðà γµ ìåæäó ñïèíîðàìè ñ îäèíàêîâûìè èìïóëüñàìè, èìåþùèìè âèä

u (p, σ) γ µ u(p, σ ′) = − iδ σ,σ ′ p µ / p0 . È â ýòîì ñëó÷àå ýôôåêò ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ïðîöåññà α → β íà ìíîæèòåëü (13.1.1). Âîîáùå, äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ëþáîãî ñïèíà 4-èìïóëüñ p + q íà íîâîé âíóòðåííåé ëèíèè â ïðåäåëå q → 0 ñòðåìèòñÿ ê ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, òàê ÷òî ÷èñëèòåëü ïðîïàãàòîðà ñòðåìèòñÿ ê ñóììå äèàä êîýôôèöèåíòíûõ ôóíêöèé, ïðåâðàùàþùåé íîâóþ âåðøèííóþ ìàòðèöó â ìíîæèòåëü, ïðîïîðöèîíàëüíûé pµ, è åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ïî ñïèðàëüíûì èíäåêñàì.  ðåçóëüòàòå âíîâü ïðèõîäèì ê (13.1.1). Äàëåå, êàê ìû âèäåëè â ãë. 10, ïîïðàâêè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ íå âëèÿþò íà âû÷åòû ïîëþñîâ ïðîïàãàòîðîâ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè, à òàêæå íà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû ïðè îäèíàêîâûõ èìïóëüñàõ, òàê ÷òî (13.1.1) îïðåäåëÿåò ïðàâèëüíûé âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ìíîæèòåëü,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

726

ñâÿçàííûé ñ èñïóñêàíèåì ìÿãêîãî ôîòîíà ñ ëèíèè âûõîäÿùåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Òå æå àðãóìåíòû ïðèìåíèìû ê ôîòîíó, èñïóñêàåìîìó â ïðîöåññå α → β ñ ëèíèè âõîäÿùåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî ïîñëå òîãî, êàê âõîäÿùàÿ ÷àñòèöà èñïóñòèò ôîòîí ñ 4-èìïóëüñîì q, ëèíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ïðèîáðåòàåò èìïóëüñ p − q, è âìåñòî (13.1.1) ïîëó÷àåòñÿ ìíîæèòåëü

−

ep µ . p ⋅ q − iε

(13.1.2)

Ôîòîí ìîæåò, êîíå÷íî, èñïóñêàòüñÿ è ñ âíóòðåííåé ëèíèè äèàãðàììû ïðîöåññà α → β, íî â ýòîì ñëó÷àå íå âîçíèêàåò ìíîæèòåëÿ, µ âåäóùåãî ñåáÿ êàê (p⋅q)−1 ïðè q → 0. Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà Mβα (ìàòðè÷íûé ýëåìåíò áåç äåëüòà-ôóíêöèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà) èñïóñêàíèÿ îäíîãî ìÿãêîãî ôîòîíà ñ 4-èìïóëüñîì q è ïîëÿðèçàöèîííûì èíäåêñîì µ â ïðîöåññå α → β îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé ñëàãàåìûõ òèïà (13.1.1) è (13.1.2), ïî îäíîìó íà êàæäóþ âûõîäÿùóþ èëè âõîäÿùóþ çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó: µ Mβα (q ) → Mβα

η e pµ

∑ pn ⋅nq −n inηn ε

,

(13.1.3)

n

ãäå pn è +en — 4-èìïóëüñ è çàðÿä n-é ÷àñòèöû â íà÷àëüíîì èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè, à ηn — çíàêîâûé ìíîæèòåëü, ðàâíûé +1 äëÿ ÷àñòèö â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè β è −1 äëÿ ÷àñòèö â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè α. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ èñïóñêàíèÿ íåñêîëüêèõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ, íåëèøíå íàïîìíèòü âàæíîå ñâîéñòâî 2 ôîðìóëû (13.1.1). ×òîáû âû÷èñëèòü àìïëèòóäó èñïóñêàíèÿ ôîòîíà îïðåäåëåííîé ñïèðàëüíîñòè, íóæíî ñâåðíóòü ýòî âûðàæåíèå ñ ñîîòâåòñòâóþùèì âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè eµ(q,±). Îäíàêî ìû âèäåëè â ðàçäåëå 5.9, ÷òî eµ(q,±) íå ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì: ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà Λµν âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ïðåîáðàçóåòñÿ â Λµνeν(q,±) ïëþñ ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå qµ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå íå ðàçðóøèëî ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü, µ íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñâåðòêà Mβα (q ) ñ qµ îáðàùàëàñü â íóëü. Îäíàêî ïðè q → 0 èç (13.1.3) èìååì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.1. Àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ µ q µ Mβα (q ) → Mβα

∑ ηn en . n

727

(13.1.4)

Êîýôôèöèåíò ïðè Mβα â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåí ïîëíîìó çàðÿäó â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ìèíóñ ïîëíûé çàðÿä â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè, òàê ÷òî óñëîâèå îáðàùåíèÿ â íóëü ýêâèâàëåíòíî óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Èòàê, áåç âñÿêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé î êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì åäèíèöà è ìàññîé íóëü èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè âûòåêàåò ñîõðàíåíèå ëþáîé êîíñòàíòû ñâÿçè òèïà ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, îïðåäåëÿþùåé âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ ÷àñòèö ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ. Ìåæäó ïðî÷èì, àìïëèòóäà èñïóñêàíèÿ ìÿãêîãî ãðàâèòîíà ñ 4-èìïóëüñîì q è òåíçîðíûìè èíäåêñàìè µ, ν â ïðîöåññå α → β äàåòñÿ ôîðìóëîé 3, àíàëîãè÷íîé (13.1.3): µν Mβα (q ) → Mβα

∑ n

ηn fn pnµ pnν , pn ⋅ q − iηn ε

(13.1.5)

ãäå fn − êîíñòàíòà ñâÿçè ìÿãêîãî ãðàâèòîíà ñ ÷àñòèöàìè òèïà n. Èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè âûòåêàåò, ÷òî ñâåðòêà àìïëèòóäû ñ qµ îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íî µν q µ Mβα (q ) → Mβα

∑ ηn fn pnν , n

(13.1.6)

òàê ÷òî ñóììà ∑ fn pnν ñîõðàíÿåòñÿ. Îäíàêî åäèíñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ 4-èìïóëüñîâ, êîòîðàÿ ìîæåò ñîõðàíÿòüñÿ, íå ïðèâîäÿ ê çàïðåòàì íà âñå íåòðèâèàëüíûå ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ, ýòî ïîëíûé 4èìïóëüñ, òàê ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ (13.1.6) âñå fn äîëæíû áûòü ðàâíû. (Îáùåå çíà÷åíèå fn ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì 8πG N , ãäå GN — íüþòîíîâñêàÿ ïîñòîÿííàÿ òÿãîòåíèÿ.) Òàêèì îáðàçîì, èç ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè âûòåêàåò, ÷òî íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñïèíà 2 îäèíàêîâî âçàèìîäåéñòâóþò ñî âñåìè ôîðìàìè ýíåðãèè è èìïóëüñà. Ýòî ïåðâûé øàã íà äîëãîì ïóòè ê äîêàçàòåëüñòâó, ÷òî ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè Ýéíøòåéíà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì ñëåäñòâèåì ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè â ïðèìåíåíèè ê áåçìàññîâûì ÷àñòèöàì ñïèíà 2. Àíàëîãè÷íî, àìïëèòóäà èñïóñêàíèÿ ìÿãêîé áåçìàññîâîé ÷àñòèöû ñî ñïèíîì j ≥ 3 â ïðîöåññå α → β èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

728

µνρ... q µ Mβα (q ) → Mβα

∑ n

ηn gn pnµ pnν pρn . . . . pn ⋅ q − iηn ε

Òðåáîâàíèå ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñóììà ∑ gn pnν pρn . . . äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ. Íî íè îäíà òàêàÿ âåëè÷èíà íå ìîæåò ñîõðàíÿòüñÿ áåç çàïðåòà íà âñå íåòðèâèàëüíûå ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ, òàê ÷òî âñå gn äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü. Áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ñî ñïèíîì j ≥ 3 ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, íî èõ êîíñòàíòû ñâÿçè äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü â ïðåäåëå íèçêèõ ýíåðãèé, â ÷àñòíîñòè, òàêèå ÷àñòèöû íå ìîãóò áûòü ïåðåíîñ÷èêàìè ñèë, óáûâàþùèõ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü èñïóñêàíèå äâóõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ. Âêëàä â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îò äèàãðàììû, â êîòîðîé äâà ôîòîíà èñïóñêàþòñÿ ñ ðàçíûõ âíåøíèõ ëèíèé ïðîöåññà α → β, îïðåäåëÿåòñÿ óìíîæåíèåì ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà α → β íà ïðîèçâåäåíèå ìíîæèòåëåé âèäà (13.1.1) èëè (13.1.2). Ìîæåò áûòü, íåñêîëüêî óäèâèòåëüíî, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò âåðåí, åñëè äâà ôîòîíà èñïóñêàþòñÿ ñî îäíîé è òîé æå ëèíèè. Íàïðèìåð, åñëè ôîòîí 1 èñïóñêàåòñÿ ñ âíåøíåé ëèíèè ÷àñòèöû ñ çàðÿäîì +å è 4-èìïóëüñîì ð ïîñëå ôîòîíà 2, ïîëó÷àåì ìíîæèòåëü µ1

µ2

LM ηep OP LM ηep OP , N p ⋅ q − iηε Q N p ⋅ (q + q ) − iηε Q 1

2

1

åñëè æå ôîòîí 2 èñïóñêàåòñÿ ïîñëå ôîòîíà 1, ýòîò ìíîæèòåëü ïðèíèìàåò âèä ηep µ2 ηep µ1 . p ⋅ q 2 − iηε p ⋅ (q1 + q 2 ) − iηε

LM N

OP LM QN

OP Q

(Ñì. ðèñ. 13.2. Ôàêòîð η ïî-ïðåæíåìó ðàâåí +1 èëè −1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëèíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âûõîäÿùåé èëè âõîäÿùåé.) Ñëîæåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ µ1

µ2

LM ηep OP LM ηep OP , N p ⋅ q − iηε Q N p ⋅ q − iηε Q 1

2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

729

13.1. Àìïëèòóäû èñïóñêàíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ

Ðèñ. 13.2. Äèàãðàììû èñïóñêàíèÿ äâóõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ îäíîé è òîé æå âõîäÿùåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé. Ïðÿìûå ëèíèè — æåñòêèå ÷àñòèöû, âîëíèñòûå ëèíèè — ìÿãêèå ôîòîíû

ðàâíîìó ïðîèçâåäåíèþ ìíîæèòåëåé, âîçíèêàþùèõ ïðè èñïóñêàíèè îäíîãî ôîòîíà.  îáùåì ñëó÷àå ïðè èñïóñêàíèè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ôîòîíîâ ñ îäíîé è òîé æå âíåøíåé ëèíèè, ïîëó÷àåì ñóììó âèäà* * Ýòî òîæäåñòâî ìîæíî äîêàçàòü ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Óæå ïîêàçàíî, ÷òî îíî âåðíî äëÿ äâóõ ôîòîíîâ. Ïóñòü îíî âåðíî äëÿ N − 1 ôîòîíîâ. Äëÿ N ôîòîíîâ ñëåäóåò íàïèñàòü ñóììó ïî ïåðåñòàíîâêàì êàê ñóììó ïî âûáîðó ïåðâîãî èçëó÷àåìîãî ôîòîíà è ñóììó ïî ïåðåñòàíîâêàì îñòàþùèõñÿ ôîòîíîâ:

p ⋅ q 1 − iηε

−1

p ⋅ (q 1 + q 2 ) − iηε

× p ⋅ (q1 + q 2 + . . . + q N ) − iηε

L F I O ∑ Mp ⋅ GH ∑ q JK − iηε P N Q L F I O = ∑ Mp ⋅ G ∑ q J − iηε P N H K Q =

N

N

−1

s

r =1

s =1

N

N

s

r =1

s =1

∏

−1

−1

...

. . . + ïåðåñòàíîâêè

p ⋅ q s − iηε

−1

s≠ r

−1

p ⋅ q r − iηε

−1

=

N

∏

p ⋅ q s − iηε

−1

,

s =1

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

730

p ⋅ q1 − iηε

−1

p ⋅ (q1 + q 2 ) − iηε

−1

p ⋅ (q1 + q 2 + q 3 ) − iηε

−1

+ ïåðåñòàíîâêè = p ⋅ q1 − iηε

−1

p ⋅ q 2 − iηε

−1

p ⋅ q 3 − iηε

−1

... (13.1.7)

...

µ ... µ

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àìïëèòóäà Mβα1 N (q1 . . . q N ) èñïóñêàíèÿ N î÷åíü ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñ ïîëÿðèçàöèîííûìè èíäåêñàìè µ1, ..., µN è 4-èìïóëüñàìè q1, ..., qN â ïðîöåññå α → β äàåòñÿ â ïðåäåëå q → 0 óìíîæåíèåì ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà Mβα äëÿ ïðîöåññà α → β íà ïðîèçâåäåíèå ìíîæèòåëåé òèïà (13.1.3), ïî îäíîìó íà êàæäûé ôîòîí: µ ... µ N

Mβα1

(q1 . . . q N ) → Mβα

F η e p I. ∏ GH ∑ p ⋅ q − iη ε JK µr n n n

N

r =1

n

n

r

n

(13.1.8)

13.2. Âèðòóàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû Èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ÷òîáû âû÷èñëèòü âî âñåõ ïîðÿäêàõ âêëàä ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê çà ñ÷åò îáìåíà âèðòóàëüíûìè ìÿãêèìè ôîòîíàìè ìåæäó ëèíèÿìè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ïðîöåññå α → β (ðèñ. 13.3). Ïîä «ìÿãêèì» ìû ïîäðàçóìåâàåì ôîòîí, èìåþùèé èìïóëüñ, ìåíüøèé ÷åì Λ, ãäå Λ — íåêîòîðûé óäîáíûé ðàçäåëèòåëüíûé èìïóëüñ *, âûáèðàåìûé äîñòàòî÷íî ìàëûì, ÷òîáû áûëè ñïðàâåäëèâû ñäåëàííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðèáëèæåíèÿ. Ìû óâèäèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ìÿãêèå ôîòîíû ïðèâîäÿò ê èíôðàêðàñíûì ðàñõîäèìîñòÿì, òàê ÷òî â êà÷åñòâå âðåìåííîé ìåðû ìû áóäåì âûíóæäåíû ââåñòè òàêæå è íèæíèé ïðåäåë λ èìïóëüñîâ ôîòîíîâ. Âàæíî ïîíÿòü ðàçíèöó ìåæäó ýòèìè äâóìÿ îáðåçàíèÿìè ôîòîííûõ èìóëüñîâ. Âåðõíåå îáðåçàíèå Λ ñëóæèò ïðîñòî äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä «ìÿãêèìè» ôîòîíàìè. Çàâèñèìîñòü îò Λ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê çà ñ÷åò ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñîêðàùàåòñÿ ñ çàâèñèìîñòüþ îò Λ îñòàëüíîé ÷àñòè àìïëèòóäû, êîòîðàÿ âû÷èñëÿ*  ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå âåëè÷èíó Λ íàçûâàþò ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ ïðèáîðà. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13..2. Âèðòóàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû

731

Ðèñ. 13.3. Òèïè÷íàÿ äèàãðàììà äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ïðîöåññà a → b ñ ó÷åòîì âåäóùèõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê, îáóñëîâëåííûõ ìÿãêèìè âèðòóàëüíûìè ôîòîíàìè. Ïðÿìûå ëèíèè îòâå÷àþò ÷àñòèöàì â ñîñòîÿíèÿõ a è b (âêëþ÷àÿ æåñòêèå ôîòîíû), âîëíèñòûå — ìÿãêèì ôîòîíàì

åòñÿ ñ ó÷åòîì òîëüêî âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè áîëüøå ÷åì Λ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íèæíåå îáðåçàíèå λ äîëæíî áûòü â êîíöå êîíöîâ óñòðàíåíî ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó λ → 0. Ìû óâèäèì, ÷òî èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè â ýòîì ïðåäåëå ñîêðàòÿòñÿ ïðè ó÷åòå èñïóñêàíèÿ ðåàëüíûõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ. Êàæäîìó âèðòóàëüíîìó ìÿãêîìó ôîòîíó ñëåäóåò ñîïîñòàâèòü ïðîïàãàòîð ηµµ ′ −i , (13.2.1) 4 2 (2π) q − iε çàòåì óìíîæèòü àìïëèòóäó (13.1.8) íà ïðîèçâåäåíèå òàêèõ ïðîïàãàòîðîâ, ñâåðíóòü ïî ïîëÿðèçàöèîííûì èíäåêñàì è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî 4-èìïóëüñàì ôîòîíîâ. Êðîìå òîãî, äëÿ N âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ ñëåäóåò ðàçäåëèòü ðåçóëüòàò íà 2NN!, ò. ê. ñóììà ïî âñåì òî÷êàì, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèñîåäèíèòü îáà êîíöà ëèíèè ìÿãêîãî ôîòîíà, âêëþ÷àåò ôèêòèâíûå ñóììû ïî N! ïåðåñòàíîâêàì ôîòîííûõ ëèíèé è ïî âçàèìíûì ïåðåñòàíîâêàì äâóõ êîíöîâ ýòèõ ëèíèé. Âêëàä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

732

ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê çà ñ÷åò N ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà Mβα ïðîöåññà áåç òàêèõ ïîïðàâîê íà ìíîæèòåëü

LM MN

1 1 N N ! 2 (2π) 4

∑ en em ηn ηm Jnm nm

OP PQ

N

,

(13.2.2)

ãäå

J nm ≡ − i(pn ⋅ pm )

d 4q . (13.2.3) 2 − ε ⋅ − η ε − ⋅ − η ε [ q i ][ p q i ][ p q i ] n n m m λ ≤| q| ≤ Λ

X YZ

Çàìåòèì, ÷òî ìû èçìåíèëè çíàê pm⋅q â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (13.2.3), ò. ê. åñëè îïðåäåëèòü q êàê èìïóëüñ, èñïóñêàåìûé ñ ëèíèè n, òî èìïóëüñ, èñïóñêàåìûé ñ ëèíèè m, åñòü − q. Ñóììèðóÿ ïî N, çàêëþ÷àåì, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðîöåññà, âêëþ÷àþùèé ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè çà ñ÷åò ëþáîãî ÷èñëà ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè |q| ≥ λ, èìååò âèä λ Λ = Mβα Mβα exp

LM 1 e e MN 2(2π) ∑

n m η n ηm J nm

4

nm

OP , PQ

(13.2.4)

Λ ãäå Mβα — àìïëèòóäà, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî âèðòóàëüíûå ôîòîíû ñ èìïóëüñàìè, áî1ëüøèìè Λ. Èíòåãðàë ïî q0 â (13.2.3) ìîæíî âçÿòü ìåòîäîì âû÷åòîâ. Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå àíàëèòè÷íî ïî q0, íå ñ÷èòàÿ ÷åòûðåõ ïîëþñîâ â òî÷êàõ

q 0 = | q | − iε ,

q 0 = − | q | + iε ,

q 0 = v n ⋅ q − iη n ε ,

q 0 = v m ⋅ q + iηm ε ,

ãäå vn = pn/pn0, vm îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. Åñëè ÷àñòèöà n âûõîäÿùàÿ, à ÷àñòèöà m âõîäÿùàÿ, òî ηn = +1, ηm = −1, òàê ÷òî åñëè çàìêíóòü êîíòóð ïî q0 â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, òî ïîëþñà â òî÷0 êàõ q 0 = v n ⋅ q − iηn ε èëè q = v m ⋅ q + iηm ε íå äàþò âêëàäà. Àíàëîãè÷íî, åñëè n — âõîäÿùàÿ, à m — âûõîäÿùàÿ ÷àñòèöû, òî ýòè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

733

13..2. Âèðòóàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû

ïîëþñû íå äàþò âêëàäà ïðè çàìûêàíèè êîíòóðà â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âêëàä äàåò îäèí èç ïîëþñîâ â òî÷êàõ q0 = ±(|q| − iε), è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûé èíòåãðàë:

d 3q 3 $ $ λ ≤| q| ≤ Λ | q| (E n − q ⋅ p n )(Em − q ⋅ pm ) . (13.2.5) (ï ðè ηn = − ηm = ±1) .

X YZ

J nm ≡ − π(pn ⋅ pm )

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ÷àñòèöû n è m îáå âûõîäÿùèå , èëè îáå 0 âõîäÿùèå, òî ïîëþñû â òî÷êàõ q = v n ⋅ q − iηn ε è q 0 = v m ⋅ q + iηm ε ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû äåéñòâèòåëüíîé îñè q0, òàê ÷òî îäèí èç íèõ îáÿçàòåëüíî äàåò âêëàä, êàê áû ìû íå çàìûêàëè êîíòóð:

−

4iπ 3 β nm

d3q 3 $ $ λ ≤| q| ≤ Λ | q| (E n − q ⋅ p n )(Em − q ⋅ pm )

X YZ F ΛI ln G J H λK

J nm ≡ − π(pn ⋅ pm )

(ï ðè ηn = ηm = ±1) ,

(13.2.6)

ãäå βnm — îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö n è m â ñèñòåìå ïîêîÿ îäíîé èç íèõ:

β nm ≡ 1 −

2 m2n mm . ( p n ⋅ pm ) 2

(13.2.7)

Ìíèìàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (13.2.6) ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â âûðàæåíèè (13.2.4) èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿùåãîñÿ ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ 4, êîòîðûé âûïàäàåò, êîãäà ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà α → β áåðåòñÿ ìîäóëü ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà. (Ýòîò áåñêîíå÷íûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü åñòü ðåëÿòèâèñòñêèé àíàëîã õîðîøî èçâåñòíîé îñîáåííîñòè íåðåëÿòèâèñòñêîãî êóëîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ: òà ÷àñòü øðåäèíãåðîâñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ðàñõîäÿùóþñÿ ñôåðè÷åñêóþ âîëíó, çàâèñèò îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû íå êàê exp(i pr)/r, à êàê exp(i pr − iνln r)/r, ãäå ν — ïðîèçâåäåíèå çàðÿäîâ, äåëåííîå íà îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü 5.) Íà âåðîÿòíîñòü ðåàêöèè îêàçûâàåò âëèÿíèå òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü Jnm, êîòîðàÿ ïðè âñåõ ηn è ηm èìååò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

734

Re J nm ≡ − π(pn ⋅ pm )

d 3q . 3 − q$ ⋅ p n )(Em − q$ ⋅ p m ) (13.2.8) λ ≤ | q | ≤ Λ | q| ( E n

X YZ

Ïîñëå ýëåìåíòàðíîãî âû÷èñëåíèÿ íàõîäèì:

Re J nm =

Λ 2π 2 1 + β nm ln ln . β nm λ 1 − β nm

FG H

IJ FG IJ K H K

(13.2.9)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â êâàäðàò ìîäóëÿ àìïëèòóäû (13.2.4), íàõîäèì îêîí÷àòåëüíî, ÷òî âëèÿíèå ìÿãêèõ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ íà âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà Γβα îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: λ Γβα

F λI =G J H ΛK

A(α → β)

Λ , Γβα

(13.2.10)

ãäå Γβαλ è ΓβαΛ — âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà α → β ñ ó÷åòîì ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê çà ñ÷åò ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè, áîëüøèìè λ è Λ ñîîòâåòñòâåííî, à ïîêàçàòåëü ñòåïåíè À èìååò âèä

A(α → β) = −

1 8π 2

∑ nm

e n e m η n ηm 1 + β nm ln . β nm 1 − β nm

FG H

IJ K

(13.2.11)

Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûé îòâåò ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî ðàçóìíûì, ïîñêîëüêó ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü (λ/Λ)A îêàçàëñÿ ðàâíûì îòíîøåíèþ ôóíêöèè îò λ ê òàêîé æå ôóíêöèè îò Λ, ò. ê. äâå âåðîÿòíîñòè â ôîðìóëå (13.2.10) ìîãóò çàâèñåòü, ñîîòâåòñòâåííî, òîëüêî îò λ èëè îò Λ. Ïîêàçàòåëü ñòåïåíè À âñåãäà ïîëîæèòåëåí. Íàïðèìåð, ïðè ðàññåÿíèè îäíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà íåéòðàëüíîé ÷àñòèöå èëè âíåøíåì ïîòåíöèàëå, ñëåäóåò äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü (13.2.11) ñëàãàåìûå, â êîòîðûõ ÷àñòèöû n è m ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî ëèáî íà÷àëüíîé, ëèáî êîíå÷íîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé (òîãäà ηnηm = +1 è βnm = 0), èëè n åñòü íà÷àëüíàÿ èëè êîíå÷íàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, òîãäà m − äðóãàÿ ÷àñòèöà (â ýòîì ñëó÷àå ηnηm = −1 è βnm = β, ïðè÷åì 1 > β > 0).  ðåçóëüòàòå

A(α → β) = −

e2 2 1+ β 4 − ln 2 β 1−β 8π

LM N

FG H

IJ OP , KQ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13..2. Âèðòóàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû

735

è ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî äëÿ âñåõ 1 > β > 0. Ïîñêîëüêó À ïîëîæèòåëüíî, ýôôåêò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé îò ìÿãêèõ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ ñâîäèòñÿ ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ ê òîìó, ÷òî âåðîÿòíîñòü ëþáîãî äàííîãî ïðîöåññà ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè α → β îáðàùàåòñÿ â íóëü â ïðåäåëåλ → 0. *** Ïðåæäå ÷åì ïîêàçàòü, êàêèì îáðàçîì èñïóñêàíèå ðåàëüíûõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñîêðàùàåò ýòè èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè, ïðåðâåì íåíàäîëãî èçëîæåíèå è ðàññìîòðèì îäíó òåõíè÷åñêóþ äåòàëü ïðèâåäåííûõ âûøå ðàñ÷åòîâ, êîòîðàÿ, íàñêîëüêî ÿ çíàþ, âñåãäà èãíîðèðîâàëàñü â ëèòåðàòóðå. Ïðè ðàñ÷åòå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê íàðÿäó ñ äèàãðàììàìè, â êîòîðûõ âèðòóàëüíûé ôîòîí èñïóñêàåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ ðàçíûìè ëèíèÿìè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ìû âêëþ÷àëè è äèàãðàììû, â êîòîðûõ âèðòóàëüíûé ôîòîí èñïóñêàåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ íà îäíîé è òîé æå âíåøíåé ëèíèè. Íî êàê áûëî ïîêàçàíî â ãë. 10, ïðè ðàñ÷åòå S-ìàòðèöû íå òðåáóåòñÿ âêëþ÷àòü ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, âîçíèêàþùèå îò âñòàâîê ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîääèàãðàìì íà âíåøíèõ ëèíèÿõ. Îòñþäà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî â ôîðìóëå (13.2.11) ñëåäóåò îòáðîñèòü ñëàãàåìûå ñ n = m , îäíàêî êàê áóäåò âèäíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ñîêðàùåíèå èíôðàêðàñíûõ ðàñõîèìîñòåé áóäåò ïðè ýòîì íåïîëíûì. Ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû âûòåêàåò èç íàáëþäåíèÿ, ÷òî ìÿãêèå âèðòóàëüíûå ôîòîíû ïîðîæäàþò èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè íå òîëüêî íåïîñðåäñòâåííî, íî è ÷åðåç êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè Zn ïîëåé çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. (Êîíñòàíòà ïåðåíîðìèðîâêè Zn â òåîðèÿõ òèïà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñ îäíèì çàðÿæåííûì ïîëåì ñïèíà 1/2 íàçûâàåòñÿ Z2.) Ýôôåêòû ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê íà âíåøíèõ ëèíèÿõ ñîêðàùàþòñÿ êîíòð÷ëåíàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè (Zn − 1). Êîíêðåòíåå, ïåðåíîðìèðîâàííîå ïîëå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû òèïà n ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ íåïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿ íà Zn−1/2, òàê ÷òî êîãäà ìû âû÷èñëÿåì S-ìàòðèöó, èñïîëüçóÿ ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò îïóñêàíèþ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ê âíåøíèì ëèíèÿì), ìû ââîäèì äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü ∏nZn−1/2, ãäå ïðîèçâåäåíèå áåðåòñÿ ïî âñåì çàðÿæåííûì ÷àñòèöàì â íà÷àëå è êîíöå. (Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è ìíîæèòåëè Zn−1/2 äëÿ íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, íî îíè íå ñîäåðæàò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé.)  íåñêîëüêî èíûõ îáîçíà÷åíèÿõ, óêàçàííûé ìíîæèòåëü ðàâåí

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

736

∏ Zf

− E f /2

f

,

ãäå Zf — êîíñòàíòà ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé òèïà f, Ef − ÷èñëî âíåøíèõ ëèíèé òèïà f, à ïðîèçâåäåíèå òåïåðü áåðåòñÿ ïî âñåì òèïàì çàðÿæåííûõ ïîëåé. Îäíàêî ýòè êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé ïîÿâëÿþòñÿ òàêæå âíóòðè äèàãðàìì. Åñëè âûðàçèòü âçàèìîäåéñòâèå òèïà i, ñîäåðæàùåå Nif ïîëåé çàðÿæåííûõ ÷àñòèö òèïà f, ÷åðåç ïåðåíîðìèðîâàííûå ïîëÿ, âîçíèêíåò èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿùèéñÿ ìíîæèòåëü

∏ (Z f ) N

if / 2

.

f

(Íàïðèìåð, êîíòð÷ëåí −ie(Z2−1)Aµψγµψ â (11.1.9) âìåñòå ñ îáû÷íûì ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì −ieψγµψ ïðèâîäèò ê ñóììàðíîìó âçàèìîäåéñòâèþ −ieZ2ψγµψ. Çà èíôðàêðàñíóþ ðàñõîäèìîñòü, âîçíèêàþùóþ îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ñêîáêàõ â (11.3.23) è â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì â (11.4.14), îòâåòñòâåííà èíôðàêðàñíàÿ ðàñõîäèìîñòü ìíîæèòåëÿ Z2.) Êðîìå òîãî, òàêàÿ ðàñõîäèìîñòü èìååòñÿ â ïðîïàãàòîðàõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïîëåé: åñëè âûðàçèòü ïðîïàãàòîð ïåðåíîðìèðîâàííîãî çàðÿæåííîãî ïîëÿ òèïà f ÷åðåç ïðîïàãàòîð íåïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿ, òî âîçíèêàåò ìíîæèòåëü Zf−1. Ñîáèðàÿ âñå ýòî âìåñòå, íàõîäèì, ÷òî îáùåå ÷èñëî ìíîæèòåëåé Zf äëÿ êàæäîãî çàðÿæåííîãî ïîëÿ òèïà f, âîçíèêàþùèõ îò êîíòð÷ëåíîâ ê âçàèìîäåéñòâèÿì è îò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê êî âíóòðåííèì è âíåøíèì ëèíèÿì, ðàâíî 1 2

∑ Vi N if − I f − 21 E f , i

ãäå If è Ef − ÷èñëà âíóòðåííèõ è âíåøíèõ ëèíèé òèïà f, à Vi — ÷èñëî âåðøèí âçàèìîäåéñòâèé òèïà i. Óæå îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 6.3, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ðàâíà íóëþ äëÿ êàæäîãî f. Òàêèì îáðàçîì, êîíòð÷ëåíû, ñîêðàùàþùèå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè êî âíåøíèì ëèíèÿì, ñàìè ñîêðàùàþòñÿ ìíîæèòåëÿìè Zf, âîçíèêàþùèìè îò âíóòðåííèõ ëèíèé è âåðøèí. Ïîýòîìó ôîðìóëà (13.2.11) ïðàâèëüíà â òîì âèäå, êàê îíà íàïèñàíà, âêëþ÷àÿ ñëàãàåìûå ñ n = m.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.3. Ðåàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé

737

13.3. Ðåàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé Ðàçðåøåíèå îïèñàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ïðîáëåìû èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â íàáëþäåíèè, ÷òî ðåàëüíî íåâîçìîæíî èçìåðèòü âåðîÿòíîñòü Γβα ðåàêöèè α → β ñ ó÷àñòèåì îïðåäåëåííîãî ÷èñëà ôîòîíîâ è çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ïîñêîëüêó ôîòîíû î÷åíü ìàëîé ýíåðãèè âñåãäà ìîãóò óñêîëüçíóòü îò ðåãèñòðàöèè. Ðåàëüíî ìîæíî èçìåðèòü âåðîÿòíîñòü Γβα(E,ET) òàêîé ðåàêöèè, â êîòîðîé ðåãèñòðèðóþòñÿ ôîòîíû ñ ýíåðãèåé áîëüøå êàêîé-òî ìàëîé âåëè÷èíû Å, à íåðåãèñòðèðóåìûå ìÿãêèå ôîòîíû, ÷èñëî êîòîðûõ ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì, óíîñÿò îáùóþ ýíåðãèþ, íå ïðåâûøàþùóþ íåêîòîðóþ ìàëóþ âåëè÷èíó ET. (Êîíå÷íî, E ≤ ET.  ýêñïåðèìåíòå áåç äåòåêòîðîâ ìÿãêèõ ôîòîíîâ ïðè îïðåäåëåíèè ïðåäåëüíîé ïîëíîé ýíåðãèè ET, óíîñèìîé ýòèìè ôîòîíàìè, åñòåñòâåííî îñíîâûâàòüñÿ íà èçìåðåíèÿõ ýíåðãèé «æåñòêèõ» ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ α è β.  òàêîì ñëó÷àå ìû ïðîñòî ïîëàãàåì Å = ÅT.) Îáðàòèìñÿ ê âû÷èñëåíèþ òàêîé âåðîÿòíîñòè. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðîöåññà α → β ñ èñïóñêàíèåì N ðåàëüíûõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ ïîëó÷àåòñÿ ñâîðà÷èâàíèåì êàæäîãî èç N èíäåêñîâ ïîëÿðèçàöèè µ1, µ2, ... â àìïëèòóäå (13.1.8) ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êîýôôèöèåíòíîé ôóíêöèåé ε *µ (q, h) , (2π)3/2 2| q| ãäå q — èìïóëüñ ôîòîíà, h = ±1 — åãî ñïèðàëüíîñòü, à εµ — ñîîòâåòñòâóþùèé «âåêòîð» ïîëÿðèçàöèè ôîòîíà *. Òîãäà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èñïóñêàíèÿ ôîòîíîâ (ìàòðè÷íûé ýëåìåíò S-ìàòðèöû áåç äåëüòàôóíêöèè) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå λ λ Mβα (q1 , h1 , q 2 , h2 , . . . ) = Mβα

×

N

∏ r =1

(2π) −3/2 (2| q| ) −1/2

∑ n

ηn e n [pn ⋅ ε * (q r , hr )] . pn ⋅ q r

(13.3.1)

* Ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå εµ âìåñòî eµ äëÿ âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè ôîòîíà, ÷òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû ñ îáîçíà÷åíèåì ån äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

738

(Âåðõíèé èíäåêñ λ íàïîìèíàåò î òîì, ÷òî ýòè àìïëèòóäû äîëæíû âû÷èñëÿòüñÿ ïðè çàäàííîì èíôðàêðàñíîì îáðåçàíèè λ èìïóëüñîâ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ.  êîíöå êîíöîâ ìû ïåðåéäåì ê ïðåäåëó λ → 0. Ïðèñóòñòâèå ìÿãêèõ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ íå ïðîòèâîðå÷èò ðåçóëüòàòó (13.3.1) èç-çà îáñóæäàâøåéñÿ â ðàçäåëå 13.1 ôàêòîðèçàöèè.) Äèôôåðåíöèàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ N ìÿãêèõ ôîòîíîâ â ýëåìåíò îáúåìà èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà ∏rd3qr çàäàåòñÿ êâàäðàòîì ýòîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, ïðîñóììèðîâàííûì ïî ñïèðàëüíîñòÿì è óìíîæåííûì íà ∏rd3qr. Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (8.5.7) ñóììà ïî ñïèðàëüíîñòÿì ïðè q2 = 0 ïðèíèìàåò âèä:

∑ ε µ (q, h)ε*ν (q, h) = ηµν + q µ cν + q νcµ .

(13.3.2)

h = ±1

ãäå ñ ≡ −q/2|q|2, à c0 ≡ 1/2|q|. Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ∑nηnen = 0 ïîçâîëÿåò îòáðîñèòü â (13.3.2) ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå qµ èëè qν, è ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèàëüíóþ âåðîÿòíîñòü * λ λ dΓβα (q1 , . . . , q N ) = Γβα

d3q r ηn ηm e n em (pn ⋅ pm ) . 3 (pn ⋅ q r )(pm ⋅ q r ) q π ( 2 ) ( 2 | | ) n =1 nm N

∏

∑

(13.3.3)

×òîáû âû÷èñëèòü äèôôåðåíöèàëüíóþ âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ N ìÿãêèõ ôîòîíîâ ñ îïðåäåëåííûìè ýíåðãèÿìè ωr ≡ |qr|, ñëåäóåò ïðîèíòåãðèðîâàòü (13.3.3) ïî íàïðàâëåíèÿì èñïóëüñîâ ôîòîíîâ qr. Ýòè èíòåãðàëû óæå âñòðå÷àëèñü íàì ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ (13.2.8): − π( p n ⋅ p m )

XY Z (E

n

d 2q$ 2π 2 1 + β nm ln . (13.3.4) = 1 − β nm − q$ ⋅ p n )(Em − q$ ⋅ p m ) β nm

FG H

IJ K

Èíòåãðèðóÿ (13.3.3) ïî íàïðàâëåíèÿì ôîòîíîâ, ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíóþ âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíîâ ñ ýíåðãèåé ω1, ..., ωN: *  ñëó÷àå N = 1 âûðàæåíèå |q|dΓβα(q)/Γβα ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé ñêà÷êîì ìåíÿþùåéñÿ 4-âåêòîðíîé ïëîòíîñòüþ òîêà, èìåþùåé âèä: Jµ(x) = ∑n(t)d3(x − vnt)pnµen/En, ïðè÷åì ïðè t < 0 ñóììà áåðåòñÿ òîëüêî ïî ÷àñòèöàì â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè, à ïðè t > 0 − ïî ÷àñòèöàì â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.3. Ðåàëüíûå ìÿãêèå ôîòîíû. Ñîêðàùåíèå ðàñõîäèìîñòåé λ λ dΓβα (ω1 , . . . , ω N ) = Γβα A(α → β) N

739

dω1 dω N ... , ω1 ωN

(13.3.5)

ãäå A(α → β) — òà æå, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, êîíñòàíòà:

A(α → β) = −

1 8π 2

∑ nm

e n e m η n ηm 1 + β nm ln . β nm 1 − β nm

FG H

IJ K

Èç âûðàæåíèÿ (13.3.5) ñëåäóåò, ÷òî íåîãðàíè÷åííûé ñíèçó èíòåãðàë ïî ýíåðãèÿì èñïóùåííûõ ôîòîíîâ ïðèâåäåò ê íîâûì èíôðàêðàñíûì ðàñõîäèìîñòÿì. Îäíàêî èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè âûòåêàåò, ÷òî åñëè áûëî ââåäåíî èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå ïî èìïóëüñàì âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ (íà ÷òî óêàçûâàåò âåðõíèé èíäåêñ λ), ñëåäóåò ïðîäåëàòü òàêîå æå èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå èìïóëüñîâ ðåàëüíûõ ôîòîíîâ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè Γλβα(E,ET) ðåàêöèè α → β, â êîòîðîé ëþáîé íåðåãèñòðèðóåìûé ôîòîí óíîñèò ýíåðãèþ íå áîëüøå Å, à ëþáîå ÷èñëî íåðåãèñòðèðóåìûõ ôîòîíîâ óíîñèò ýíåðãèþ íå áîëåå ÅÒ (âåëè÷èíû Å è ÅÒ âûáðàíû äîñòàòî÷íî ìàëûìè, ÷òîáû íå ïðîòèâîðå÷èòü èñïîëüçîâàííûì ïðè âûâîäå ôîðìóëû (13.3.1) ïðèáëèæåíèÿì), ñëåäóåò ïðîèíòåãðèðîâàòü (13.3.5) ïî ýíåðãèÿì âñåõ ôîòîíîâ, ïðè óñëîâèè, ÷òî E ≥ ωr ≥ λ è ∑rωr ≤ ET, çàòåì ðàçäåëèòü íà N!, ïîñêîëüêó ýòîò èíòåãðàë ñîäåðæèò êîíôèãóðàöèè, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïåðåñòàíîâêîé N ìÿãêèõ ôîòîíîâ, è íàêîíåö ïðîñóììèðîâàòü ïî N.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì λ Γβα ( E , ET )

=

λ Γβα

∞

∑

N =0

A(α → β) N N!

X YZ

N

∏

E ≥ ω r ≥ λ , ∑ r ω r ≤ ET r = 1

dω r . ω r (13.3.6)

Ýòîò èíòåãðàë ìîã áû áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ïðîèçâåäåíèå N èíòåãðàëîâ ïî îòäåëüíûì ωr, åñëè áû íå îãðàíè÷åíèå ∑rωr ≤ ET. Åãî ìîæíî ó÷åñòü. åñëè âêëþ÷èòü â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ

θ(ET −

∞

∑ ω r ) = π XYZ−∞ du 1

F ω I. GH ∑ JK

sin ET u exp iu u

r

r

r

Òîãäà ôîðìóëà (13.3.6) ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(13.3.7)

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

740

λ (E , E T ) = Γβα

1 π

XY Z

∞

du

−∞

FG H

sin ET u exp A(α → β) u

XY Z

E dω

λ

ω

IJ K

λ e iωu Γβα . (13.3.8)

Èíòåãðàë â ýêñïîíåíòå ìîæíî âçÿòü â ïðåäåëå λ n ET, çàïèñàâ åãî êàê ñóììó èíòåãðàëà îò (eiωu − 1)/ω, â êîòîðîì ìîæíî ïîëîæèòü λ = 0, è èíòåãðàëà îò 1/ω, êîòîðûé òðèâèàëåí. Äåëàÿ ìàñøòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ u è ω, ïîëó÷àåì ïðè λ n ET: λ (E, ET ) → F E ET ; A(α → β) Γβα

b

gFGH Eλ IJK

A ( α → β)

λ , Γβα

(13.3.9)

ãäå

X YZ

1 F (x; A) ≡ π

∞

du

−∞

= 1−

FG XY dω (e − 1)IJ H Z ω K ) XY dω lnFG x IJ + . . . , Z ω H1 − ωK

sin u exp A u

A2θ(x − 2

1 2

x

iωu

0

x

(13.3.10)

1− x

Åñëè Å è ÅÒ îäíîãî ïîðÿäêà è À n 1, ìíîæèòåëü F (E/ET,A) â (13.3.9) áëèçîê ê åäèíèöå. Íàïðèìåð,

F (1; A) g 1 −

1 12

π 2 A2 + . . .

Òàê êàê A(α → β) > 0, ìíîæèòåëü (E/λ)A(α → β) â (13.3.9) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè â ïðåäåëå λ → 0. Îäíàêî èç ôîðìóëû (13.3.10) âèäíî, ÷òî â ýòîì ïðåäåëå âåðîÿòíîñòü Γλβα îáðàùàåòñÿ â íóëü: λ Γβα =

FG λ IJ H ΛK

A(α → β)

Λ . Γβα

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (13.3.9), ïîëó÷àåì, ÷òî â ïðåäåëå λ n ET èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå λ âûïàäàåò èç îòâåòà: λ (E , E T ) Γβα

→ F E ET

b

F EI ; A(α → β)gG J H ΛK

A ( α → β)

Λ . Γβα

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(13.3.11)

13.4. Ïðîèçâîëüíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè

741

Íàïîìíèì, ÷òî ýíåðãèÿ Λ åñòü âñåãî ëèøü óäîáíàÿ ðàçäåëèòåëüíàÿ òî÷êà ìåæäó «ìÿãêèìè» ôîòîíàìè, âêëàä êîòîðûõ ÿâíî ó÷òåí â (13.3.11), è «æåñòêèìè» ôîòîíàìè, âêëàä êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ â ΓΛβα. Ïðàâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (13.3.11) íå çàâèñèò îò Λ, òàê êàê ΓΛβα ∝ ΛA. Îäíàêî â òåîðèÿõ ñ ìàëîé êîíñòàíòîé ñâÿçè òèïà êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ÷àñòî âûãîäíî âçÿòü âåëè÷èíó Λ äîñòàòî÷íî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ òèïè÷íûìè ýíåðãèÿìè W â äàííîì ñîóäàðåíèè, òàê ÷òîáû èñïîëüçîâàííûå ïðèáëèæåíèÿ áûëè âåðíû äëÿ ýíåðãèè ôîòîíîâ, ìåíüøå Λ, è â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî A(α → β) ln(W/Λ) n 1.  ýòîì ñëó÷àå õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì ìîæåò îêàçàòüñÿ âû÷èñëåíèå ΓΛβα â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, ïðè÷åì ãëàâíûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ïðè E n Λ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ìíîæèòåëåì (E/Λ)A â âûðàæåíèè (13.3.11). *** Òàêîå æå ñîêðàùåíèå èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé ïðîèñõîäèò è äëÿ ìÿãêèõ ãðàâèòîíîâ 3. Âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ïðîöåññà α → β, â êîòîðîì ìÿãêèå ãðàâèòîíû óíîñÿò ýíåðãèþ, íå ïðåâûøàþùóþ Å, îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ÅÂ, ãäå

B=

G 2π

∑ nm

ηn ηm m n mm

1 + β2nm β nm 1 −

β2nm

ln

FG 1 + β IJ . H1− β K nm nm

(13.3.12)

13.4. Ïðîèçâîëüíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè Ðàññìîòðåííàÿ äî ñèõ ïîð èíôðàêðàñíàÿ ðàñõîäèìîñòü, îáÿçàííàÿ ñâîèì ïðîèñõîæäåíèåì ìÿãêèì ôîòîíàì, åñòü ëèøü îäèí èç ìíîæåñòâà ïðèìåðîâ èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, âîçíèêàþùèõ â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Äðóãèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà áåçìàññîâûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.  ýòîì ñëó÷àå, äàæå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé çà ñ÷åò ìÿãêèõ ôîòîíîâ, îáíàðóæèâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàñõîäèìîñòü â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè À â (13.3.11). Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (13.2.11) è (13.2.7), äëÿ ïðîöåññà, â êîòîðîì âñå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû — ýëåêòðîíû, ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ïðåäåëå me → 0 âåäåò ñåáÿ êàê

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

742

A→−

1 4π

∑ en 2

2

−

n

1 4π

2

F 2| p ⋅ p | I → − ln m H m JK 2π

∑ en em ηn ηm ln G

n≠m

n

m

2 e

e

2

∑ en . 2

n

(Íà ïîñëåäíåì øàãå áûëî èñïîëüçîâàíî óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ∑nenηn = 0.) Èíôðàêðàñíàÿ ðàñõîäèìîñòü â ýòîé ôîðìóëå âîçíèêàåò îò ìÿãêèõ ôîòîíîâ, èñïóñêàåìûõ â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì èìïóëüñó îäíîãî èç «æåñòêèõ» ýëåêòðîíîâ â íà÷àëüíîì èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè. Îäíàêî ðàñõîäèìîñòü ïîÿâëÿåòñÿ è òîãäà, êîãäà è ôîòîí, è ýëåêòðîí íå ìÿãêèå, ò. ê. çíàìåíàòåëü ïðîïàãàòîðà (pn ± q)2 îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè pn2 = q2 = 0, åñëè pn ïàðàëëåëåí q. Áîëåå ïîäðîáíî, ïðè pn2 = q2 = 0 èíòåãðàë îò ýòîãî ìíîæèòåëÿ * ïî íàïðàâëåíèÿì ôîòîíîâ ïðèíèìàåò âèä

z

d 2 q$ (p ± q ) −2 =

2π p2q 2

π

XY sin θ dθ , Z 1 − cos θ 0

ãäå θ — óãîë ìåæäó èìïóëüñàìè ôîòîíà è çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Èíòåãðàë ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäèòñÿ ïðè θ = 0. Êîíå÷íî, â ðåàëüíîì ìèðå íåò áåçìàññîâûõ ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, îäíàêî â ðåàêöèÿõ, ãäå òèïè÷íîå çíà÷åíèå Å2 ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé |pn⋅p m| ìíîãî áîëüøå me2, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ óñòàíîâèòü ìåñòî âîçíèêíîâåíèÿ áîëüøîãî ìíîæèòåëÿ ln(me/E). ×àñòî â ýòîì ñëó÷àå âåäóùàÿ ðàäèàöèîííàÿ ïîïðàâêà îïðåäåëÿåòñÿ ñëàãàåìûì −ln(me/E)∑nen2/2π2 â À. Åùå âàæíåå òî. ÷òî â êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå ñóùåñòâóþò áåçìàññîâûå ÷àñòèöû ãëþîíû, íåñóùèå ñîõðàíÿþùååñÿ êâàíòîâîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå öâåòîì è àíàëîãè÷íîå ýëåêòðè÷åñêîìó çàðÿäó.  ýòîì ñëó÷àå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå èñïóñêàíèÿ ïàðàëëåëüíûõ æåñòêèõ ãëþîíîâ æåñòêèìè æå ãëþîíàìè èëè äðóãèìè èìåþùèìè öâåò æåñòêèìè ÷àñòèöàìè â íà÷àëüíîì èëè êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ.  îáùåì ñëó÷àå òàêèå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè íå óñòðàíÿþòñÿ ñóììèðîâàíèåì ïî ïîäõîäÿùèì íàáîðàì êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî Ëè è Íàóåíáåðã 6 çàìåòèëè, ÷òî ìîæíî ñîêðàòèòü * Ýòîò ìíîæèòåëü íå êâàäðèðóåòñÿ, ò. ê. ðàñõîäèìîñòü ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî îò èíòåðôåðåíöèè ýòîãî ñëàãàåìîãî â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå S- ìàòðèöû ñî ñëàãàåìûìè, â êîòîðûõ ôîòîí èñïóñêàåòñÿ ñ ëèíèè äðóãîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû m ≠ n. Ïðè m = n èíòåãðàë (13.2.8) ïðîïîðöèîíàëåí mn2.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.4. Ïðîèçâîëüíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè

743

èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè, åñëè ñóììèðîâàòü íå òîëüêî ïî ïîäõîäÿùèì êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì, íî è ïðåäïîëîæèòü íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ ðàññóæäåíèé Ëè è Íàóåíáåðãà, èç êîòîðîé ñòàíåò ñðàçó æå ÿñíî, ïî÷åìó â ýëåêòðîäèíàìèêå ñ ìàññèâíûìè ýëåêòðîíàìè äîñòàòî÷íî ñóììèðîâàòü òîëüêî ïî êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì. Ñ ýòîé öåëüþ óäîáíî âåðíóòüñÿ ê «ñòàðîé» òåîðèè âîçìóùåíèé, â êîòîðîé S-ìàòðèöà çàäàåòñÿ âûðàæåíèÿìè (3.2.7) è (3.5.3) â âèäå: Sba = δ(b − a) − 2 iπδ(Ea − Eb )Tba ,

ãäå

Tba = Vba +

∞

X ∑ YZ dc . . . dc 1

ν =1

ν

(13.4.1)

Vbc1 Vc1c2 . . . Vcνa

. (Ea − Ec1 + iε). . . (Ea − Ecν + iε) (13.4.2)

(Èíòåãðèðîâàíèå ïî ñ1, ..., ñn ïîäðàçóìåâàåò ñóììèðîâàíèå ïî ñïèíàì è òèïàì ÷àñòèö â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ, à òàêæå èíòåãðàëû ïî 3èìïóëüñàì ÷àñòèö.) Èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè ìîãóò âîçíèêàòü èç-çà îáðàùåíèÿ â íóëü îäíîãî èëè áîëåå ýíåðãåòè÷åêèõ çíàìåíàòåëåé â ýòîì âûðàæåíèè (è òîëüêî ïî ýòîé ïðè÷èíå). Îäíàêî íå âñå îáðàùàþùèåñÿ â íóëü çíàìåíàòåëè ïðèâîäÿò ê èíôðàêðàñíûì ðàñõîäèìîñòÿì. Ïðîèçâîëüíîå ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå c ìîæåò èìåòü Ec = Ea, íî îáû÷íî ýòî âñåãî ëèøü îäíà òî÷êà âíóòðè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, òàê ÷òî èíòåãðàë ïî ýòîé îáëàñòè ìîæíî ñäåëàòü ñõîäÿùèìñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäïèñàíèÿ, çàêëþ÷åííîãî â äîáàâêå iε â çíàìåíàòåëå. Ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå ñ ïîðîæäàåò èíôðàêðàñíóþ ðàñõîäèìîñòü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ýíåðãèÿ Ec = Ea íà ãðàíèöå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêîå ñëó÷àåòñÿ, íàïðèìåð, åñëè ïåðâîå ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå ñ1 â (13.4.2) îòëè÷àåòñÿ îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ à òîëüêî òåì, ÷òî íåêîòîðàÿ, ëþáàÿ, áåçìàññîâàÿ ÷àñòèöà â ýòîì ñîñòîÿíèè çàìåíåíà íà ñòðóþ, ñîñòîÿùóþ èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïî÷òè ïàðàëëåëüíî ëåòÿùèõ áåçìàñîâûõ ÷àñòèö ñ ïîëíûì èìïóëüñîì, ðàâíûì èìïóëüñó çàìåíåííîé íà ñòðóþ ÷àñòèöû.  ýòîì ñëó÷àå ãðàíè÷íàÿ òî÷êà, â êîòîðîé Ec1 = Ea, ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, êîãäà âñå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû â êàæäîé ñòðóå ïàðàëëåëüíû.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå, ìîæíî çàìåíèòü ëþáîå ÷èñëî áåçìàññîâûõ ÷àñòèö

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

744

â ñîñòîÿíèè à íà ñòðóè ïî÷òè ïàðàëëåëüíûõ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö è ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî äîïîëíèòåëüíûõ ìÿãêèõ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö. Áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ñîñòîÿíèé D(a). (Àêêóðàòíåå ñëåäóåò ââåñòè ìàëûé óãîë Θ è ìàëóþ ýíåðãèþ Λ, ÷òîáû îïðåäåëèòü, ÷òî ïîíèìàåòñÿ ïîä «ïî÷òè ïàðàëëåëüíûìè» è «ìÿãêèìè» ÷àñòèöàìè. Ìû íå ñòàíåì çàíèìàòüñÿ âûÿñíåíèåì çàâèñèìîñòè D(a) îò Θ è Λ.) Ñîñòîÿíèÿ â D(a) «îïàñíû» â òîì ñìûñëå, ÷òî îáðàùåíèå â íóëü ýíåðãåòè÷åñêîãî çíàìåíàòåëÿ Ea − Ec1 â ãðàíè÷íîé òî÷êå ìîæåò ïðèâåñòè ê èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòè. Òà ãðàíè÷íàÿ òî÷êà, â êîòîðîé Ec1 = Ea, îòâå÷àåò ñèòóàöèè, êîãäà âñå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû â êàæäîé ñòðóå ïàðàëëåëüíû, à âñå ìÿãêèå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû èìåþò íóëåâóþ ýíåðãèþ. Äàëåå, åñëè êàæäîå èç ñîñòîÿíèé ñ1, ..., ñn ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó D(a), òî ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå cn+1 òàêæå îïàñíî â óêàçàííîì ñìûñëå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè êàêîå-òî ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå cm íå ïðèíàäëåæèò D(a), òî ïîñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå ck ñ k > m óæå íå áóäåò îïàñíûì, äàæå åñëè îíî ïðèíàäëåæèò D(a), ò. ê. êîíôèãóðàöèÿ æåñòêèõ ÷àñòèö èëè ñòðóé ñ 3-èìïóëüñàìè, ðàâíûìè èìïóëüñàì ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè a, áóäåò îáû÷íîé òî÷êîé âíóòðè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé D(b), â êîòîðûõ îäíà èëè áîëåå áåçìàññîâûõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè b çàìåíåíû íà ñòðóè ïî÷òè ïàðàëëåëüíûõ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö, ïîëíûé 3-èìïóëüñ êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâåí 3èìïóëüñó ÷àñòèöû, çàìåíåííîé íà ñòðóþ, è äîïîëíèòåëüíî èñïóñêàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî áåçìàññîâûõ ÷àñòèö. Ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå cm îïàñíî, åñëè îíî ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó D(b) è åñëè ïîñëåäóþùèå ñîñòîÿíèÿ ck ñ k > m òàêæå âñå ïðèíàäëåæàò D(b). ×òîáû èçîëèðîâàòü âêëàäû îïàñíûõ ñîñòîÿíèé, ïåðåïèøåì (13.4.2) â âèäå:

Tba = Vba

ν

F L P + P + P VO I + ∑ G VM H N E − H + iε PQ JK ∞

ν =1

a

∉a, b

b

a

0

,

(13.4.3)

ba

ãäå Pa, Pb è P∉a,b — ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû íà D(a), D(b) è âñå îñòàëüíûå ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. (Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íè îäíà èç çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â b íå èìååò èìïóëüñà, áëèçêîãî ê èìïóëüñó êàêîé-òî çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â a, òàê ÷òî ìíîæåñòâà D(a) è D(b) íå ïåðåêðûâàþòñÿ.) Äàëåå, ïðè Λ → 0 è Θ → 0 îïàñíûå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ çàíèìàþò ñòîëü ìàëóþ îáëàñòü ôàçîâîãî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.4. Ïðîèçâîëüíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè

745

ïðîñòðàíñòâà, ÷òî èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåçäå, ãäå îíè íå ïðèâîäÿò ê èíôðàêðàñíûì ðàñõîäèìîñòÿì. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (13.4.3) ïðèíèìàåò âèä:

FL OP V LM P = ∑ ∑ ∑ G MV GH MN E − H + iε PQ MN E L P V OP IJ . ×M MN E − H + iε PQ JK ∞ ∞

Tba

r

∞

P∉a,b

b

r = 0s = 0 ν = 0

a

0

a

− H0

O VP + iε PQ

ν

s

(13.4.4)

a

a

0

ba

Ýòî ðàâåíñòâî áûëî áû òî÷íûì, åñëè áû âñå ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû P∉a,b ìåæäó êðàéíèìè ëåâûìè è êðàéíèìè ïðàâûìè ìíîæèòåëÿìè ìîæíî áûëî çàìåíèòü íà Pa + Pb + P∉a,b, à Pa è Pb ñëåâà è ñïðàâà áûëè áû çàìåíåíû íà Pa + Pb. Îäíàêî, êàê îòìå÷àëîcü âûøå, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ Λ è Θ âëèÿíèå òàêîé çàìåíû íà îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò áûëî áû ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Ôîðìóëó (13.4.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîì âèäå: Tba = Ω b−†TS Ω a+

d

i

ba

(13.4.5)

,

ãäå èñïîëüçóåìûå â äàëüíåéøåì îïåðàòîðû Ωα+ è Ωβ− äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé α è β îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè:

c h ≡ ∑ FGH LMN E Ω α+ ca

r =0

F d i ≡ ∑ GH LMN E Ωβ− db

a

Pα V − H0 + iε

OP IJ QK

b

Pβ V − H0 + iε

OP IJ QK

∞

∞

r =0

r

,

(13.4.6)

,

(13.4.7)

ca

r

ca

à «áåçîïàñíûé» îïåðàòîð TS — ôîðìóëîé * *  ôîðìóëå äëÿ (Ωb−)db èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî Tba âû÷èñëÿåòñÿ ïðè Eb = Ea, à ïðè âû÷èñëåíèè (TS)dc ó÷òåíî, ÷òî äåéñòâèå ïðîåêöèîííûõ îïåðàòîðîâ Pa îáðàùàåò (Ωa+)ca â íóëü, êðîìå ñëó÷àÿ. êîãäà Åñ î÷åíü áëèçêî ê Åà. Êðîìå òîãî, áëàãîäàðÿ ìíîæèòåëÿì Ωb−† è Ωa+ â (13.4.5) P∉c,d = P∉a,b.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

746

F L ≡ ∑ G VM H NE ∞

(TS ) dc

ν =0

c

P∉c,d V − H 0 + iε

ν

OP IJ QK

.

(13.4.8)

dc

Âñå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè èçîëèðîâàíû òåïåðü â äâóõ îïåðàòîðíûõ ìíîæèòåëÿõ Ωα+ è Ωβ−. ×òîáû óñòðàíèòü ýòè èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè, äîñòàòî÷íî ëèøü çàìåòèòü, ÷òî åñëè áû íå ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû íà îïàñíûå ñîñòîÿíèÿ, îïåðàòîðû Ωβ− è Ωα+ áûëè áû ïðîñòî óíèòàðíûìè îïåðàòîðàìè, ïðåîáðàçóþùèìè ñîãëàñíî ôîðìóëå (13.1.16) ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñîîòâåòñòâåííî â «èí» è «àóò» ñîñòîÿíèÿ. Åñëè îãðàíè÷èòü äåéñòâèå ýòèõ îïåðàòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâàìè D(β) è D(α) ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îïàñíûìè äëÿ äàííîãî êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ β è äàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ α ñîîòâåòñòâåííî, òî òàêèå îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ óíèòàðíûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé β è α

Ωβ− P β Ωβ−† = P β ,

(13.4.9)

Ω α+ Pα Ω α+ † = Pα .

(13.4.10)

Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñâîáîäíà îò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, åñëè ïðîèçâåäåíî ñóììèðîâàíèå ïî ïîäïðîñòðàíñòâàì ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îïàñíûìè äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé β è α:

∑ ∑

a ∈D(α ) b ∈D(β)

n

| Tba |2 = Tr Ωβ− Pβ Ωβ−†TS Ω α+ Pα Ω α+†TS†

o

s ∑ ∑

= Tr PβTS Pα TS† =

t

| (TS ) ba |2 .

(13.4.11)

a ∈D( α ) b ∈D(β)

×òîáû îêîí÷àòåëüíî óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå ðåøàåò ïðîáëåìó èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé â ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå, íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî òîëüêî ñóììû òèïà ñîäåðæàùèõñÿ â (13.4.11) ÿâëÿþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèìûìè. Âåñüìà ïðàâäîïîäîáíî, ÷òî ñëåäóåò ïðîñóììèðîâàòü ïî îïàñíûì êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì, ÷òîáû ïîëó÷èòü èçìåðèìóþ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà, ïîñêîëüêó ýêñïåðèìåíòàëüíî íåâîçìîæíî îòëè÷èòü âûõîäÿùóþ çàðÿæåííóþ (öâåòíóþ) áåçìàñ-

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.4. Ïðîèçâîëüíûå èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè

747

ñîâóþ ÷àñòèöó îò ñòðóè áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñ ïî÷òè ïàðàëëåëüíûìè èìïóëüñàìè è òîé æå ïîëíîé ýíåðãèåé 7, ñîïðîâîæäàåìóþ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì î÷åíü ìÿãêèõ êâàíòîâ ñ òåì æå ïîëíûì çàðÿäîì (èëè öâåòîì). Ñóììèðîâàíèå ïî íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèÿì âûçûâàåò áîëüøå âîïðîñîâ. Âåðîÿòíî, ìîæíî ïðèâåñòè àðãóìåíòû, ÷òî èñòèííî áåçìàññîâûå ÷àñòèöû âñåãäà ðîæäàþòñÿ êàê ñòðóè, ñîïðîâîæäàåìûå àíñàìáëåì ìÿãêèõ êâàíòîâ, îäíîðîäíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî íåêîòîðîìó îáúåìó èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî, íàñêîëüêî ìíå èçâåñòíî, íèêòî åùå íå ñóìåë äàòü ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ñóììû âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ, ñâîáîäíûå îò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé. Ýòà ïðîáëåìà íå âîçíèêàåò â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå (ñ ìàññèâíûìè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè), ãäå, êàê ìû âèäåëè, äëÿ óñòðàíåíèÿ èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü òîëüêî ïî êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì. Ïðè÷èíà òàêîé ðàçíèöû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ýëåêòðîäèíàìèêå ñîñòîÿíèÿ a, b, c,... ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè ñîñòîÿíèé (îòìå÷åííûõ ãðå÷åñêèìè áóêâàìè) ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è æåñòêèõ ôîòîíîâ è ñîñòîÿíèé, ñîäåðæàùèõ òîëüêî ìÿãêèå ôîòîíû ñ ýíåðãèåé ìåíüøåé íåêîòîðîé ìàëîé âåëè÷èíû Λ. Òîãäà äëÿ ðåàêöèè ñ îáðàçîâàíèåì íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ìÿãêèõ ôîòîíîâ f, ðîæäàåìûõ â ðåàêöèè α → β ìåæäó çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè è æåñòêèìè ôîòîíàìè, ôîðìóëà (13.4.5) óïðîùàåòñÿ:

Tβf ,α = Ω − (β)† Ω + (α)

c

h

f0

(TS )βα ,

(13.4.12)

ãäå èíäåêñ 0 îçíà÷àåò âàêóóì ìÿãêèõ ôîòîíîâ, à Ω± âû÷èñëÿþòñÿ êàê è âûøå, íî â óñå÷åííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé òîëüêî ìÿãêèõ ôîòîíîâ, ïðè÷åì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ ôîòîíîâ îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âñåìè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè â ôèêñèðîâàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, îòìå÷åííûõ àðãóìåíòàìè β èëè α. Êàê è ðàíåå, òàêèå îïåðàòîðû óíèòàðíû â «îïàñíîì» ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå D ìÿãêèõ ôîòîíîâ, òàê ÷òî * * Ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé íå ïîÿâëÿåòñÿ íèêàêîãî ìíîæèòåëÿ âèäà (E/Λ)A, êàê â ôîðìóëå (13.3.11), çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çäåñü ìû ïðèðàâíèâàåì ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ Å ñîñòîÿíèé ðåàëüíûõ ìÿãêèõ ôîòîíîâ, ïî êîòîðûì íóæíî ñóììèðîâàòü, ìàêñèìàëüíîé ýíåðãèè Λ «îïàñíûõ» ñîñòîÿíèé ìÿãêèõ ôîòîíîâ, ïî êîòîðûì ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïðè âû÷èñëåíèè Ω±.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

748

∑ | Tβf ,α0 |2 = | (TS )βα |2 cΩ + (α)† Ω − (β)Ω − (β)† Ω + (α)h00

f ∉D

= | (TS )βα |2 Ω + (α)† Ω + (α)

c

h

00

(13.4.13)

= | (TS )βα |2 .

áåç âñÿêîãî ñóììèðîâàíèÿ ïî íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèÿì. 13.5. Ðàññåÿíèå ìÿãêèõ ôîòîíîâ * Èññëåäóÿ â ýòîé ãëàâå âçàèìîäåéñòâèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ, ìû ðàññìàòðèâàëè äî ñèõ ïîð òîëüêî ïðîöåññû, â êîòîðûõ ìÿãêèå ôîòîíû èñïóñêàþòñÿ èëè ïîãëîùàþòñÿ â ïðîöåññå α → β, êîòîðûé ïðîèñõîäèò è ñàì ïî ñåáå. Îäíàêî ìîæíî âûñêàçàòü ðÿä ïîëåçíûõ îáùèõ óòâåðæäåíèé îòíîñèòåëüíî ñèòóàöèé, êîãäà ïðîöåññ α → β òðèâèàëåí, à ìÿãêèå ôîòîíû èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ðåàëèçàöèè èíòåðåñóþùåé íàñ ðåàêöèè. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé è íàèáîëåå âàæíûé ïðèìåð òàêîãî ðîäà: ðàññåÿíèå ìÿãêîãî ôîòîíà íà ìàññèâíîé ÷àñòèöå ïðîèçâîëüíîãî òèïà è ñïèíà, êîãäà α è β − îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ. Ñëîæíîñòü çäåñü â òîì, ÷òî ãëàâíîå ñëàãàåìîå â àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ ìÿãêîãî ôîòîíà âîçíèêàåò íå îò ïîëþñíûõ, à îò íåïîëþñíûõ ñëàãàåìûõ, ñâÿçàííûõ ñ ïîëþñíûìè ñëàãàåìûìè ÷åðåç óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ òîêà. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

S(q , λ; p, σ → q ′, λ ′; p ′, σ ′) = i(2π) 4 δ 4 (q + p − q − p ′) ×

ε *ν (q ′, λ ′)ε µ (q, λ)M σνµ′,σ (q ; p ′, p) (2π)

6

0

4q q

′0

,

(13.5.1)

ãäå q è q′ − íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé 4-èìïóëüñû ôîòîíà, ð è ð′ — íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé 4-èìïóëüñû ìèøåíè, λ è λ′ — íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ ñïèðàëüíîñòè ôîòîíà, εν(q′,λ′) è εµ(q,λ) — ñîîòâåòñòâóþùèå âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè ôîòîíîâ, σ è σ′ — z-êîìïîíåíòû ñïèíîâ * Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.5. Ðàññåÿíèå ìÿãêèõ ôîòîíîâ

749

íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ÷àñòèö−ìèøåíåé. Ñîãëàñíî òåîðåìå èç ðàçäåëà 6.4, àìïëèòóäó Mνµ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(2π) −3 M σνµ′,σ (q ; p ′, p) =

z

d 4x e iq ⋅x Ψp′,σ ′ , T{ J ν (0), J µ (x)}Ψp,σ + . . .

d

i

(13.5.2)

ãäå Jµ(x) — ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê, à òî÷êè óêàçûâàþò íà âîçìîæíûå ñëàãàåìûå, èçîáðàæàåìûå äèàãðàììîé òèïà «÷àéêà», òèïà òåõ, êîòîðûå âîçíèêàþò â òåîðèè çàðÿæåííûõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé, êîãäà äâà ôîòîíà âçàèìîäåéñòâóþò íå ñ îòäåëüíûìè òîêàìè, à â îäíîé âåðøèíå. Ïîâòîðèì òåïåðü ñòàíäàðòíûå àðãóìåíòû ïîëîëîãèè, èçëîæåííûå â ãë. 10 è óæå èñïîëüçîâàâøèåñÿ â ðàçäåëå 13.1. Âñòàâëÿÿ ïîëíûé íàáîð ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé ìåæäó îïåðàòîðàìè òîêîâ â ïðàâîé ÷àñòè (13.5.2), èíòåãðèðóÿ ïî x è âûäåëÿÿ îäíî÷àñòè÷íûå ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ, ïîëó÷èì: M νµ (q ; p ′, p) = +

G ν (p ′, p + q)G µ (p + q, p) E(p + q) − E(p) − q 0 − iε

(13.5.3) G µ (p ′, p ′ − q)G ν (p ′ − q, p) + N νµ (q ; p ′, p) , 0 E ( p ′ − q ) − E ( p ′ ) + q − iε

ãäå Gµ — îäíî÷àñòè÷íûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò òîêà,

(2π) −3 G σµ′,σ (p ′, p) ≡ Ψp′,σ ′ , J ν (0)Ψp,σ ,

d

i

(13.5.4)

à Nνµ ïðåäñòàâëÿåò âêëàä âñåõ äðóãèõ ñîñòîÿíèé êðîìå îäíî÷àñòè÷íûõ è ëþáûõ ñëàãàåìûõ, èçîáðàæàåìûõ äèàãðàììàìè òèïà «÷àéêà». (Ôîðìóëó (13.5.3) ñëåäóåò ïîíèìàòü â ñìûñëå ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, ñ íå âûïèñàííûìè ÿâíî ñïèíîâûìè èíäåêñàìè.) Îòíîñèòåëüíî Nνµ ìû çíàåì î÷åíü ìàëî, íå ñ÷èòàÿ òîãî, ÷òî ýòà âåëè÷èíà íå ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíîñòè ïðè qµ → 0, ÿâíî ïðåäñòàâëåííîé ïåðâûìè äâóìÿ ñëàãàåìûìè, è ïîýòîìó ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä ïî ñòåïåíÿì qµ. Èñïîëüçóåì òåïåðü óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ òîêà (èëè êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü):

q µ M νµ (q ; p ′, p) = 0 ,

(13.5.5)

q ⋅ G(p + q, p) = [E(p + q) − E(p)]G 0 (p + q, p) ,

(13.5.6)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

750

q ⋅ G(p ′, p ′ − q) = [E(p ′) − E(p ′ − q)]G 0 (p ′, p ′ − q) .

(13.5.7)

 ïðèìåíåíèè ê (13.5.3) ýòè óñëîâèÿ ïðèâîäÿò ê æåëàåìîìó óñëîâèþ íà Nνµ:

q µ N νµ (q ; p ′, p) = − G ν (p ′, p ′ + q)G 0 (p + q, p) + G 0 (p ′, p ′ − q)G ν (p ′ − q, p) . (13.5.8) Çàìåòèì òàêæå, ÷òî Mνµ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ «êðîññ-ñèììåòðèè»:

M νµ (q ; p ′, p) = M νµ (p ′ − p − q ; p ′, p) ,

(13.5.9)

è òàê êàê ïîëþñíûå ñëàãàåìûå â (13.5.3) î÷åâèäíî åìó óäîâëåòâîðÿþò, ýòî æå âåðíî è äëÿ Nνµ:

N νµ (q ; p ′, p) = N νµ (p ′ − p − q ; p ′, p) .

(13.5.10)

Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâûõ ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè Nνµ ïî ñòåïåíÿì èìïóëüñîâ. Ïðåæäå âñåãî, ñëåäóåò ÷òî-òî ñêàçàòü î ðàçëîæåíèè îäíî÷àñòè÷íûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ òîêà Gµ(p′,p) ïî ñòåïåíÿì èìïóëüñîâ ð è ð′. Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîãî îòðàæåíèÿ (åñëè, êîíå÷íî, îíà èìååò ìåñòî) òðåáóåò, ÷òîáû ðàçëîæåíèå G0 è Gi (i = 1,2,3) ñîäåðæàëî ñëàãàåìûå ñîîòâåòñòâåííî òîëüêî ÷åòíîãî èëè íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (10.6.3), ñëàãàåìîå íóëåâîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì â G0σ′,σ ðàâíî eδσ′,σ, ãäå å — çàðÿä ÷àñòèöû. Òîãäà èç óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ òîêà âûòåêàåò, ÷òî âî âòîðîì ïîðÿäêå ïî èìïóëüñàì

(p ′ − p) ⋅ G σ ′,σ (p ′, p) =

FG p′ − p IJ e δ H 2m 2m K 2

2

σ ′,σ

.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñëàãàåìûå â G ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì èìåþò âèä e(p′ + p)δσ′,σ/2m ïëþñ âîçìîæíîå ñëàãàåìîå ïåðâîãî ïîðÿäêà, îðòîãîíàëüíîå ê (ð′ − ð). Èç èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé âûòåêàåò, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî (ð′ − ð) × Jσ′,σ, ãäå J − çíàêîìàÿ ñïèíîâàÿ ìàòðèöà çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Ñóììèðóÿ âñå ðåçóëüòàòû, èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå:

G 0 (p ′, p) = e1 + êâàäðàòè÷íûå ñëàãàåìûå,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(13.5.11)

13.5. Ðàññåÿíèå ìÿãêèõ ôîòîíîâ

G(p ′, p) =

751

e1 iµ J × (p ′ − p) + êóáè÷íûå ñëàãàåìûå, (13.5.12) (p ′ + p) + j 2m

ãäå «1» — åäèíè÷íàÿ ñïèíîâàÿ ìàòðèöà, à ñëîâà «êâàäðàòè÷íûå» è «êóáè÷íûå» îçíà÷àþò ïîðÿäîê îòáðîøåííûõ ñëàãàåìûõ ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ èìïóëüñîâ ð è ð′. Êîýôôèöèåíò µ/j â (13.5.2) äåéñòâèòåëåí, ò. ê. òîê ýðìèòîâ. Åñëè êîýôôèöèåíòû çàïèñàíû â óêàçàííîì âèäå (j − ñïèí çàðÿæåííîé ÷àñòèöû), òî µ − âåëè÷èíà, èçâåñòíàÿ êàê ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèöû. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê Nνµ è ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ðàâåíñòâà (13.5.8) ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ èìïóëüñîâ qµ, p è ð′. Ïîëàãàÿ n = 0 â (13.5.8), âèäèì, ÷òî qµN0µ ïî êðàéíåé ìåðå êâàäðàòè÷íî ïî ýòèì ìàëûì âåëè÷èíàì. Íå ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííîãî âåêòîðà, îðòîãîíàëüíîãî qµ, òàê ÷òî N0µ äîëæíî áûòü ïî êðàéíåé ìåðå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ìàëûì èìïóëüñàì. Òîãäà èç óñëîâèÿ êðîññ−ñèììåòðèè (13.5.10) âûòåêàåò, ÷òî Ni0 òàêæå äîëæíî áûòü ïî êðàéíåé ìåðå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ìàëûì èìïóëüñàì. Ïîëàãàÿ µ = i â (13.5.8) è ó÷èòûâàÿ (13.3.12), ïîëó÷àåì: e2 q i + êâàäðàòè÷íûå ñëàãàåìûå, qkNk = − m îòêóäà N ik = −

e2 m

δ ik + ëèíåéíûå ñëàãàåìûå.

(13.5.13)

Òàê êàê Gi − ïî ìåíüøåé ìåðå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ìàëûì èìïóëüñàì, òî òàê æå âåäóò ñåáÿ ïîëþñíûå ñëàãàåìûå â ôîðìóëå (13.5.3) äëÿ Gik. Òàêèì îáðàçîì, â íóëåâîì ïîðÿäêå îñòàåòñÿ åäèíñòâåííîå íåïîëþñíîå ñëàãàåìîå Nik: e2 (13.5.14) M ik (0; 0,0) = N ik (0; 0,0) = − δ ik . m Ñ ïîìîùüþ ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ. Íî íåò íóæäû ðåàëüíî ïðîâîäèòü ýòî âû÷èñëåíèå. Âåäü òåïåðü ìû çíàåì, ÷òî àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ â ïðåäåëå íóëåâîãî èìïóëüñà çàâèñèò òîëüêî îò ìàññû è çàðÿäà ÷àñòèöû-ìèøåíè è êâàäðàòè÷íà ïî çàðÿäó. Ïîýòîìó ìû ìîæåì íåìåäëåííî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû ëþáîãî ðàñ÷åòà ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ íà ÷àñòèöàõ ëþáîãî ñïèíà âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

752

íàïðèìåð, ðåçóëüòàò (8.7.42) äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå:

dσ e4 = (1 + cos2 θ) . dΩ 32π 2 m 2

(13.5.15)

Òåïåðü âèäíî, ÷òî ýòà ôîðìóëà óíèâåðñàëüíà è âåðíà â íèçêîýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäåëå äëÿ ÷àñòèö-ìèøåíåé ìàññîé m è çàðÿäîì å ïðîèçâîëüíîãî òèïà è ñïèíà, äàæå åñëè ýòè ÷àñòèöû ñîñòàâíûå è ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèå, íàïðèìåð, àòîìíûå ÿäðà. Ãåëë-Ìàíí, Ãîëüäáåðãåð è Ëîó8 ïîêàçàëè, ÷òî ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî ðàñøèðèòü è ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå çà ãëàâíûì ñëàãàåìîå â ðàçëîæåíèè àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ ìÿãêèõ ôîòîíîâ, âûðàçèâ åãî ÷åðåç ìàññó, çàðÿä è ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèöû-ìèøåíè. 13.6. Ïðèáëèæåíèå âíåøíåãî ïîëÿ* Èíòóèòèâíî î÷åâèäíî, ÷òî òÿæåëàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà âðîäå ÿäðà àòîìà ïðèáëèæåííî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èñòî÷íèê êëàññè÷åñêîãî âíåøíåãî ïîëÿ.  ýòîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, êàê îáîñíîâàòü òàêîå ïðèáëèæåíèå, è âûñêàæåì ñîîáðàæåíèÿ î ãðàíèöàõ åãî ïðèìåíèìîñòè. Ðàññìîòðèì ôåéíìàíîâñêóþ äèàãðàììó èëè òó åå ÷àñòü, ãäå ñ ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âñþ äèàãðàììó îò íà÷àëüíîãî äî êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé ëèíèè òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû èñïóñêàþòñÿ N ëåæàùèõ âíå ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ôîòîíîâ ñ 4-èìïóëüñàìè q1, q2, ..., qN è ïîëÿðèçàöèîííûìè èíäåêñàìè µ1, µ2, ..., µN. Ñóììà âñåõ òàêèõ äèàãðàìì èëè ïîääèàãðàìì (áåç N ôîòîííûõ ïðîïàãàòîðîâ) ïðèâîäèò ê àìïëèòóäå

z

d 4 x1d 4x2 . . . d 4 xN e − iq1 ⋅x1 e − iq2 ⋅x2 . . . e − iq N ⋅xN

× p ′, σ ′| T J µ1 (x1 ), J µ2 (x2 ), . . . , J µ N (xN ) | p, σ

n

=

s

µ , µ ,..., µ G σ1′,σ 2 N (q1 , q 2 , . . . , q N ; p) ,

(13.6.1)

* Ýòîò ðàçäåë ëåæèò íåñêîëüêî â ñòîðîíå îò îñíîâíîé ëèíèè èçëîæåíèÿ è ìîæåò áûòü îïóùåí ïðè ïåðâîì ÷òåíèè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.6. Ïðèáëèæåíèå âíåøíåãî ïîëÿ

753

ãäå ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âû÷èñëåí ñ ó÷åòîì âñåõ âçàèìîäåéñòâèé, â êîòîðûõ ìîæåò ïðèíèìàòü ó÷àñòèå òÿæåëàÿ ÷àñòèöà, âêëþ÷àÿ ñèëüíûå ÿäåðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Òàêàÿ àìïëèòóäà èìååò êðàòíûé ïîëþñ ïðè q1, q2, ..., qN → 0, âîçíèêàþùèé îò ñëàãàåìûõ â ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ ïðîèçâåäåíèÿ òîêîâ, â êîòîðûõ ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñîäåðæàò òî÷íî òàêóþ æå òÿæåëóþ ÷àñòèöó, êàê íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ. Êîãäà âñå êîìïîíåíòû q1, q2, ..., qN ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè ýíåðãèÿìè è èìïóëüñàìè, ñâÿçàííûìè ñ äèíàìèêîé (âîçìîæíî, ñîñòàâíîé) òÿæåëîé ÷àñòèöû, ýòîò êðàòíûé ïîëþñ äîìèíèðóåò â (13.6.1). Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ðàçäåëà 10.2 íàõîäèì *: µ ,µ ,..., µ N

G σ1′,σ 2

(q1 , q 2 , . . . , q N ; p) →

( − i) N − 1 2p0 (2π)3

× (2π) 4 δ 4 (p ′ + q1 + q 2 + . . .+ q N − p)

∑

σ1 , σ2 ,..., σ N −1 µ

×

µ

µ

G σ ′1,σ (p)G σ 2,σ (p) . . . G σ N 1

1

2

N −1 , σ

(p)

(13.6.2)

[2p ⋅ q1 − iε ][2p ⋅ (q1 + q 2 ) − iε ]. . . [2p ⋅ (q1 + . . .+ q N −1 ) − iε ]

+ ïåðåñòàíîâêè, ãäå

G σµ′,σ (p) 2p (2π)3 0

≡ p, σ ′| J µ (0)| p, σ ,

(13.6.3)

à “+ ïåðåñòàíîâêè” îçíà÷àþò, ÷òî ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì N ôîòîíîâ. Äëÿ ïðèìåíåíèé ê àòîìíûì ñèñòåìàì âàæíî çàìåòèòü, ÷òî (13.6.1) ãîäèòñÿ äëÿ ÷àñòèö ïðîèçâîëüíîãî ñïèíà, èìåþùèõ, êàê àòîìíûå ÿäðà, è ñèëüíûå, è ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. *  òåîðèè âîçìóùåíèé çíàìåíàòåëè ïðîèñõîäÿò îò çíàìåíàòåëåé ïðîïàãàòîðîâ: 2 2 (p ′ + q1 + . . .+ q r ) + m − iε → 2p ′ ⋅ (q1 + . . .+ q r ) − iε → 2p ⋅ (q1 + . . .+ q r ) − iε, â òî âðåìÿ êàê ÷èñëèòåëè ïðîïàãàòîðîâ ñîäåðæàò ìíîæèòåëè ∑uu†, ïðèâîäÿùèå âìåñòå ñ ìàòðèöàìè â âåðøèíàõ èñïóñêàíèÿ ôîòîíîâ ê ìàòðè÷íûì ýëåìåíòàì (13.6.3). Ìàòðèöà G µ îòëè÷àåòñÿ îò ìàòðèöû Gµ èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ìíîæèòåëåì 2ð0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

754

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ ÷àñòèö ïðîèçâîëüíîãî ñïèíà è çàðÿäà Ze ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ îäèíàêîâûìè 4-èìïóëüñàìè èìåþò âèä * Zep µ δ p, σ ′| J µ (0)| p, σ = 0 σ3′σ , (13.6.4) p (2π) òàê ÷òî

G σµ′,σ (p) = 2Zep µ δ σ ′σ .

(13.6.5)

Âàæíî, ÷òî âñå ìàòðèöû (13.6.5) êîììóòèðóþò, òàê ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå ìîæåò áûòü âûíåñåíî çà ñêîáêè â ñóììå ïî ïåðåñòàíîâêàì: µ ,µ ,..., µ N

G σ1′,σ 2

(q1 , q 2 , . . . , q N ; p) →

(− i) N −1 (Ze) N p µ1 p µ2 . . . p µ N (2π) 4 δ 4 (p ′ + q1 + q 2 + . . .+ q N − p)δ σ ′σ p0 (2π)3 ×

LM N [2p ⋅ q

1

1 − iε ][2p ⋅ (q1 + q 2 ) − iε ]. . . [2p ⋅ (q1 + . . .+ q N −1 ) − iε ]

+ ïåðåñòàíîâêè

(13.6.6)

.

 ñòàðøåì ïîðÿäêå ïî q äåëüòà-ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

δ 4 (p ′ + q1 + q 2 + . . .+ q N − p) = p0δ 3 (p ′ + q1 + . . .+ q N − p)δ(p ⋅ (q1 + q 2 + . . .+ q N )) .

(13.6.7)

Ê ñ÷àñòüþ, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿ â ýòîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíî ïðîùå ÷åì îòäåëüíûå ñëàãàåìûå. Ïðè p⋅(q1 + q2 + ... + qN) = 0 íàõîäèì: * Ëåã÷å âñåãî ýòî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî-ïåðâûõ, â òîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ãäå ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, èç òðåáîâàíèÿ èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ òîêà îáðàùàþòñÿ â íóëü, à âðåìåííàÿ êîìïîíåíòà ïðîïîðöèîíàëüíà δσ′,σ, è áîëåå íèêóäà çàâèñèìîñòü îò σ′ è σ íå âõîäèò. Âî-âòîðûõ, êîíñòàíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íàõîäèòñÿ èç (10.6.3), ïîñëå ÷åãî ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà ïðèâîäèò ê (13.6.4).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.6. Ïðèáëèæåíèå âíåøíåãî ïîëÿ

LM N [p ⋅ q

1

755

1 − iε ][p ⋅ (q1 + q 2 ) − iε ]. . . [p ⋅ (q1 + . . .+ q N −1 ) − iε ]

+ ïåðåñòàíîâêè =

(13.6.8)

(2iπ) N −1 δ(p ⋅ q1 ) δ(p ⋅ q 2 ). . . δ(p ⋅ q N −1 ) . Íàïðèìåð, ïðè N = 2 èìååì:

1 [p ⋅ q1 − iε ]

+

1 [ p ⋅ q 2 − iε ]

=

1 [ p ⋅ q 1 − iε ]

+

1 = 2iπδ(p ⋅ q1 ) . [− p ⋅ q1 − iε ]

Îáùàÿ ôîðìóëà (13.6.8) ìîæåò áûòü ëåã÷å âñåãî ïîëó÷åíà êàê ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå òîæäåñòâà

θ(τ1 − τ2 )θ(τ2 − τ3 ). . . θ(τ N −1 − τ N ) + ïåðåñòàíîâêè = 1 . Ïîäñòàâëÿÿ (13.6.8) â (13.6.6), ïðèõîäèì ê îêîí÷àòåëüíîìó âûðàæåíèþ äëÿ àìïëèòóäû (13.6.1): µ ,µ ,..., µ N

G σ1′,σ 2

(q1 , q 2 , . . . , q N ; p) → (Ze) N (2π) N δ σ ′σ p µ1 p µ2 . . . p µ N

× δ 3 (p ′ + q1 + q 2 + . . .+ q N − p)δ(p ⋅ q1 )δ(p ⋅ q 2 ). . . δ(p ⋅ q N ) .

(13.6.9)

Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèìåíèì êàê ê ðåëÿòèâèñòñêèì, òàê è ê ìåäëåííî äâèæóùèìñÿ òÿæåëûì ÷àñòèöàì, è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïðè âûâîäå ïðèáëèæåííîé ôîðìóëû Âåéöçåêêåðà−Âèëüÿìñà9 äëÿ ðàññåÿíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîì ñëó÷àå íåðåëÿòèâèñòñêîé òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ |p| n p0 ôîðìóëà (13.6.9) äîïîëíèòåëüíî óïðîùàåòñÿ: µ ,µ ,..., µ N

G σ1′,σ 2

(q1 , q 2 , . . . , q N ; p) → (Ze) N (2π) N n µ1 n µ2 . . . n µ N

0 × δ 3 (p ′ + q1 + q 2 + . . .+ q N − p)δ(q10 )δ(q 20 ). . . δ(q N )δ σ ′σ ,

ãäå n — åäèíè÷íûé âðåìåíèïîäîáíûé âåêòîð, n0 = 1, n = 0.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(13.6.10)

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

756

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ ïðèñóòñòâóåò îäíà òÿæåëàÿ íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà * çàðÿäîì Ze è íîðìèðîâàííîé âîëíîâîé ôóíêöèåé â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè χσ(p). Èñïîëüçóÿ ôóðüå−ïðåäñòàâëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè â (13.6.9), íàõîäèì, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò G äëÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä

z

µ , µ ,..., µ N

d 3 p d 3 p ′ χ*σ ′ (p ′)χ σ (p)G σ1′,σ 2

Xd X |ψ YZ ∑ 3

(q1 , q 2 , . . . , q N ; p) →

N

σ ( X )|

2

∏ 2πZen µ δ(q 0r )e − iq ⋅X , r

r

(13.6.11)

r =1

σ

ãäå ψ(X) − âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè:

ψ σ ( X) ≡ (2π) −3/2 d 3 p χ σ (p)e ip⋅ X .

z

(13.6.12)

Ïîýòîìó, â ñèëó ôàêòîðèçàöèè ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (13.6.11), ðåçóëüòàò äîáàâëåíèÿ òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â äàííîì ñîñòîÿíèè ñ òî÷êè çðåíèÿ ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ýêâèâàëåíòåí äîáàâëåíèþ ëþáîãî ÷èñëà âåðøèí íîâîãî òèïà.  ýòèõ âåðøèíàõ ëåãêèå äèðàêîâñêèå ÷àñòèöû çàðÿäîì −å, íàïðèìåð, ýëåêòðîíû, âçàèìîäåéñòâóþò ñ âíåøíèì ïîëåì, ïðè÷åì êàæäàÿ òàêàÿ âåðøèíà âíîñèò â ïîëíóþ àìïëèòóäó ìíîæèòåëü ** (òåïåðü óæå ó÷òåíû êàê ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, òàê è ýëåêòðîí− ôîòîííàÿ âåðøèíà)

X LM − i YZ N (2π)

i d 4q

4

OP Q

1 2πZen µ δ(q 0 )e − iq ⋅ X (2π) 4 eγ µ δ 4 (k − k ′ − q ) , q − iε 2

(13.6.13) ãäå k è k′ − íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé 4-èìïóëüñû ýëåêòðîíà. Ïîëíàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ äîëæíà áûòü óñðåäíåíà ïî êîîðäèíàòå òÿæåëîé * Èìååòñÿ â âèäó — ïîìèìî ëåãêèõ ÷àñòèö. — Ïðèì. ðåä. ** Ïåðâûé ìíîæèòåëü çäåñü − îáû÷íûé ìíîæèòåëü i, ñîïðîâîæäàþùèé ïî ôåéíìàíîâñêèì ïðàâèëàì êîíñòàíòû â ëàãðàíæèàíå âçàèìîäåéñòâèÿ òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

13.6. Ïðèáëèæåíèå âíåøíåãî ïîëÿ

757

÷àñòèöû Õ ñ âåñîâîé ôóíêöèåé ∑σ|ψσ(X)|2. Ìíîæèòåëü (13.6.13) ýêâèâàëåíòåí òîìó, êîòîðûé âîçíèê áû èç-çà íîâîãî ñëàãàåìîãî â ëàãðàíæèàíå âçàèìîäåéñòâèÿ:

Lext (x) = À µ (x) Jeµ (x) ,

(13.6.14)

ãäå Jeµ = − ieψγ µ ψ — ýëåêòðè÷åñêèé òîê ýëåêòðîíîâ, À µ — âåêòîðíûé ïîòåíöèàë âíåøíåãî ïîëÿ:

À µ ( x) =

1 (2π) 4

X d q e LM 2πZen δ(q )e YY MN q − iε Z 4

iq ⋅x

µ 2

0

− iq ⋅ X

OP . PQ

(13.6.15)

Åñòåñòâåííî, ýòî ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó êóëîíîâñêîìó ïîòåíöèàëó: À 0 ( x) =

Ze , À (x) = 0 . 4 π| x − X |

(13.6.16)

Åñëè òÿæåëûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö íåñêîëüêî (êàê â ñëó÷àå ìîëåêóëû), ñëåäóåò âûðàçèòü À µ(x) êàê ñóììó ñëàãàåìûõ òèïà (13.6.16), êàæäîå ñî ñâîèì çàðÿäîì Ze è êîîðäèíàòîé X. Ïîëåçíî ïðåäñòàâëÿòü, êàêèå äèàãðàììû ñóììèðóþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèáëèæåíèÿ âíåøíåãî ïîëÿ. Ðàññìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå îòäåëüíîãî ýëåêòðîíà (íåâàæíî, ðåëÿòèâèñòñêîãî èëè íåò) ñ îòäåëüíîé òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé, íàïðèìåð, ïðîòîíîì èëè äåéòðîíîì. Åñëè ïðåíåáðå÷ü âñåìè äðóãèìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, òî ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âíåøíèì ïîëåì ñîäåðæàò ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî âñòàâîê âåðøèí âíåøíåå ïîëå−ýëåêòðîí (13.6.14) â ýëåêòðîííóþ ëèíèþ (ðèñ. 13.4). Íî, êàê ñëåäóåò èç ñóììû ïî ïåðåñòàíîâêàìè â ôîðìóëå (13.6.2), òàêèå äèàãðàììû â ïðèáëèæåíèè âíåøíåãî ïîëÿ âîçíèêàþò èç äèàãðàìì ëåæàùåé â îñíîâå ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè, ãäå ôîòîííûå ëèíèè, ïîäñîåäèíåííûå ê ýëåêòðîííîé ëèíèè, ïîäñîåäèíÿþòñÿ ê ëèíèè òÿæåëîé ÷àñòèöû âñåìè âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè (ðèñ. 13.5). «Íåïåðåñåêàþùèåñÿ ëåñòíè÷íûå äèàãðàììû» (îáîçíà÷åííûå áóêâîé L) íà ðèñ. 13.5 íå ÿâëÿþòñÿ äîìèíèðóþùèìè â ýòîé ñóììå, åñëè òîëüêî ýëåêòðîí è òÿæåëàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà íå ÿâëÿþòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêèìè. (Òàêèå äèàãðàììû íà ÿçûêå ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé ñîäåðæàò âêëàäû îò ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

758

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

Ðèñ. 13.4. Äèàãðàììû ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåò ýëåêòðîí; âîëíèñòûå ëèíèè, îêàí÷èâàþùèåñÿ êðåñòèêàìè, èçîáðàæàþò åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì ïîëåì

Ðèñ. 13.5. Äèàãðàììû ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåéìèøåíüþ, êîòîðûå â ïðåäåëå áîëüøîé ìàññû ìèøåíè ïðèâîäÿò ê òîìó æå ðåçóëüòàòó, ÷òî è äèàãðàììû ðèñ. 13.4. Îäèíî÷íàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåò ýëåêòðîí, äâîéíàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ — òÿæåëóþ ÷àñòèöó-ìèøåíü, à âîëíèñòûå ëèíèè — âèðòóàëüíûå ôîòîíû. Äèàãðàììû, ïîìå÷åííûå áóêâîé L, íàçûâàþòñÿ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ëåñòíè÷íûìè äèàãðàììàìè; èõ âêëàä ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì, êîãäà è ýëåêòðîí, è ÷àñòèöà-ìèøåíü íåðåëÿ-òèâèñòñêèå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

759

Çàäà÷è

òå æå ÷àñòèöû, ÷òî è â íà÷àëüíîì è â êîíå÷íîü ñîñòîÿíèÿõ, à ýòî ïðèâîäèò ê ìàëûì ýíåðãåòè÷åñêèì çíàìåíàòåëÿì ïðè óñëîâèè, ÷òî ýëåêòðîí è òÿæåëàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà — íåðåëÿòèâèñòñêèå.  òî æå âðåìÿ, âñå äðóãèå äèàãðàììû ðèñ. 13.5 ñîîòâåòñòâóþò ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ëèáî ëèøíèå ôîòîíû, ëèáî ýëåêòðîí−ïîçèòðîííûå ïàðû è äàæå ïàðû òÿæåëàÿ ÷àñòèöà è åå àíòè÷àñòèöà, âêëàä êîòîðûõ ïîäàâëåí áîëüøèìè ýíåðãåòè÷åñêèìè çíàìåíàòåëÿìè.) Íåïåðåñåêàþùèåñÿ ëåñòíè÷íûå äèàãðàììû ìîæíî îòñóììèðîâàòü, ðåøèâ èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, èçâåñòíîå êàê óðàâíåíèå Áåòå−Ñîëïèòåðà 10, íî íåò íèêàêîãî ñìûñëà â îòáîðå èìåííî ýòîãî ïîäìíîæåñòâà äèàãðàìì, åñëè òîëüêî îáå ÷àñòèöû íå ÿâëÿþòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêèìè, à â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Áåòå−Ñîëïèòåðà ïðîñòî ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà è ðåëÿòèâèñòñêèì ïîïðàâêàì, ñâÿçàííûì ñî ñïèí−îðáèòàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëîå âîçìóùåíèå. Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî äî ñèõ ïîð òåîðèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ è ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê â ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèÿõ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ óäîâëåòâîðèòåëüíîé. Ïðè âûâîäå ôîðìóë (13.6.16) äëÿ âíåøíåãî ïîëÿ ìû ó÷èòûâàëè âçàèìîäåéñòâèå òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì òîëüêî â ãëàâíîì ïîðÿäêå ïî èìïóëüñó ôîòîíà. Ñóùåñòâóþò ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñó ôîòîíà, âîçíèêàþùèå îò ó÷åòà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà òÿæåëîé ÷àñòèöû, åå êâàäðóïîëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà è ò. ä. Êðîìå òîãî, êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, âîçíèêàþùèå îò äèàãðàìì êðîìå ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 13.4, íàïðèìåð, òàêèõ, ãäå ôîòîíû èñïóñêàþòñÿ è ïîãëîùàþòñÿ íà ýëåêòðîííîé ëèíèè, èëè ñî âñòàâêàìè ýëåêòðîííûõ ïåòåëü â ôîòîííûå ëèíèè.  ñëåäóþùåé ãëàâå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé äèàãðàììû ðèñ. 13.4 íåîáõîäèìî ó÷åñòü âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, à âñå äðóãèå ïîïðàâêè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî èìïóëüñàì ôîòîíîâ èëè ïî å ìîæíî âêëþ÷àòü êàê ìàëûå âîçìóùåíèÿ ê ýòèì äèàãðàììàì. Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå ïðîöåññ å+ + å− → π+ + π− â ñ. ö. ì. ïðè ýíåðãèè 1 Ãý è óãëå ðàññåÿíèÿ 90°. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè èçìåðåíèè ýíåðãèè êîíå÷íûõ ïèîíîâ ìû îáíàðóæèâàåì, ÷òî ýíåðãèÿ, íå

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

760

Ãëàâà 13. Èíôðàêðàñíûå ýôôåêòû

ïðåâûøàþùàÿ çíà÷åíèÿ ÅÒ n 1 ÃýÂ, èçëó÷àåòñÿ â âèäå ìÿãêèõ ôîòîíîâ. Êàê çàâèñèò âåðîÿòíîñòü ðåàêöèè îò ÅÒ? 2.

Ðàññìîòðèòå áåçìàññîâûå áåññïèíîâûå ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå ñêàëÿðíûì ïîëåì ϕ, ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðîãî èìååò âèä ϕ(x)J(x), ãäå J(x) âêëþ÷àåò òîëüêî ïîëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö. Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè èñïóñêàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ìÿãêèõ ñêàëÿðíûõ ÷àñòèö â ïðîöåññå α → β, åñëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýòèõ ìÿãêèõ ñêàëÿðîâ ìåíüøå íåêîòîðîé ìàëîé âåëè÷èíû ÅÒ. Ó÷òèòå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè çà ñ÷åò ìÿãêèõ ñêàëÿðîâ ñ ýíåðãèåé, ìåíüøåé íåêîòîðîé ìàëîé âåëè÷èíû Λ.

3.

Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ ñëåäóþùåãî çà (13.5.14) ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ ôîòîíîâ íà ïðîèçâîëüíîé ìèøåíè ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõ.

4.

Ïóñòü ÷àñòèöà ñïèíà 1 è î÷åíü ìàëîé ìàññîé m îïèñûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïîëåì Vµ(x), âçàèìîäåéñòâóþùèì òîëüêî ñî ìíîãî áîëåå òÿæåëûì ôåðìèîíîì, îïèñûâàåìûì äèðàêîâñêèì ïîëåì ψ(x), ïðè÷åì ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò âèä gVµ ψγ µ ψ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òÿæåëûé ôåðìèîí îáû÷íî ðàñïàäàåòñÿ íà äðóãèå ÷àñòèöû, íå âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ Vµ, è â òàêîì ðàñïàäå âûñâîáîæäàåòñÿ ýíåðãèÿ W . m. Ðàññìîòðèòå òàêîé ïðîöåññ ðàñïàäà, â êîòîðîì äîïîëíèòåëüíî èñïóñêàþòñÿ ÷àñòèöû Vµ, ïðè÷åì ýíåðãèÿ âåêòîðíîé ÷àñòèöû îãðàíè÷åíà ñâåðõó çíà÷åíèåì Å, è W . E . m. Êàê çàâèñèò îò E è m âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà? Ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè ïðåíåáðå÷ü.

5.

Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà (13.6.8) âåðíà ïðè óñëîâèè, ÷òî ð⋅(q1 + ... + qN) = 0. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1.

Bloch, F. and Nordsieck, F., Phys. Rev., 37, 54 (1937); Yennie, D.R., Frautschi, S.C., and Suura, H., Ann. Phys. (NY), 13, 379 (1961). Ñì. òàêæå: Mahantappa, K.T., äèññåðòàöèÿ (Ãàðâàðäñêèé óíèâåðñèòåò, 1961), íåîïóáëèêîâàíî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

761

2.

Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 9, 357 (1964); Phys. Rev., 135, B1049 (1964).

3.

Weinberg, S., Phys. Rev., 140, B515 (1965).

4.

Ýòà ôàçà áûëà ó÷òåíà â ðÿäå òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîãî êóëîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ â ðàáîòå: Dalitz, R.H., Proc. Roy. Soc., London, 206, 509 (1951).

5.

Ñì., íàïðèìåð, â êíèãå: Schiff, L.I. Quantum Mechanics (McGrowHill, New York, 1949), Section 20 (åñòü ðóñ. ïåð.: Ë. Øèôô. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì., ÈË, 1958.)

6.

Lee, T.D. and Nauenberg, M., Phys. Rev., 133, B1549 (1964); Kinoshita, T., J. Math. Phys., 3, 650 (1962); Sterman, G. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 39, 1416 (1977).

7.

Sterman, G. and Weinberg, S., [6].

8.

Low, F.E., Phys. Rev., 96, 1428 (1954); Gell-Mann, M. and Goldberger, M.L., Phys. Rev., 96, 1433 (1954). Ñì. òàêæå: Weinberg, S., in: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — 1970 Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, ed. by S. Deser, M. Grisaru, and H. Pendleton (MIT Press, Cambridge, MA, 1970).

9.

Williams, E.J., Kgl. Dan. Vid. Sel. Mat.-Fys. Medd., XIII, No. 4 (1935).

10. Bethe, H.A. and Salpeter, E.E., Phys. Rev., 82, 309 (1951); 84, 1232 (1951).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14 Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ  ãë. 11 ïðè âû÷èñëåíèè ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê ìû ñäåëàëè âñåãî ëèøü îäèí øàã çà ðàìêè íèçøåãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé. Îäíàêî ñóùåñòâóåò âåñüìà âàæíûé êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ äàæå ïðîñòåéøèå âû÷èñëåíèÿ òðåáóþò ñ ñàìîãî íà÷àëà ðàññìîòðåíèÿ ñîâîêóïíîñòåé ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ïðîèçâîëüíî âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî êîíñòàíòå ñâÿçè òèïà å. Ýòî òå çàäà÷è, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ, íàïðèìåð, â ýëåêòðîäèíàìèêå — îáû÷íûå àòîìû è ìîëåêóëû, ëèáî òàêèå ýêçîòè÷åñêèå àòîìû êàê ïîçèòðîíèé èëè ìþîíèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîïûòêà ïðèìåíåíèÿ îáû÷íîé òåîðèè âîçìóùåíèé â ïîäîáíûõ çàäà÷àõ îáÿçàòåëüíî òåðïèò êðàõ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, àìïëèòóäó ýëåêòðîí−ïðîòîííîãî ðàññåÿíèÿ êàê ôóíêöèþ ýíåðãèè Å â ñ. ö. è. Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 10.3, ñóùåñòâîâàíèå ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ òèïà îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà òðåáóåò ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëþñà ó ýòîé àìïëèòóäû ïðè E = mp + me − 13,6 ýÂ. Îäíàêî íè îäèí âçÿòûé â îòäåëüíîñòè ÷ëåí ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ýëåêòðîí−ïðîòîííîãî ðàññåÿíèÿ íå ñîäåðæèò òàêîãî ïîëþñà. Ïîýòîìó îí ìîæåò âîçíèêíóòü ëèøü èç-çà ðàñõîäèìîñòè ñóììû âñåõ äèàãðàìì ïðè ýíåðãèÿõ â ñ. ö. è. âáëèçè çíà÷åíèÿ mp + me. Ïðè÷èíó òàêîé ðàñõîäèìîñòè ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé òàêæå ëåãêî ïîíÿòü, îñîáåííî, åñëè íà âðåìÿ âìåñòî ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ðàññìîòðåòü õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííûå äèàãðàììû ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé. Ïóñòü ýëåêòðîí è ïðîòîí èìåþò â ñ. ö. è. èìïóëüñû ïîðÿäêà q n me. Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì èìïóëüñû ýëåêòðîíà è ïðîòîíà ðàçëè÷àþòñÿ, íî îñòàþòñÿ ïîðÿäêà q. Êàæäîå òàêîå ñîñòîÿíèå âíîñèò ìóëüòèïëèêàòèâíûì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

763

îáðàçîì âêëàä, ðàâíûé ïðîèçâåäåíèþ ýíåðãåòè÷åñêîãî çíàìåíàòåëÿ ïîðÿäêà [q2/me]−1 íà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîðÿäêà e2/q2 (ôóðüå−îáðàç e2/r), à ñîîòâåòñòâóþùåå èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñàì âíåñåò åùå ìíîæèòåëü ïîðÿäêà q3. Ó÷èòûâàÿ âñå ýòè ôàêòîðû, âèäèì, ÷òî ôàêòè÷åñêèì ïàðàìåòðîì ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà ïîðÿäêà [q2/me]−1[e2/q2][q3] = e2me/q. Òàêèì îáðàçîì, òåîðèÿ âîçìóùåíèé òåðïèò êðàõ, åñëè q ìåíüøå èëè ïîðÿäêà e2me, èíûìè ñëîâàìè, åñëè êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè, ðàâíûå ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû q2/me, íå ïðåâûøàþò çíà÷åíèÿ e4me, ÷òî, êîíå÷íî, ñîâïàäàåò ïî ïîðÿäêó ñ ýíåðãèåé ñâÿçè àòîìà âîäîðîäà. Íàøà öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íàó÷èòüñÿ èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê â çàäà÷àõ î ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, ñóììèðóÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ òå äèàãðàììû, êîòîðûå íóæíî, è îãðàíè÷èâàÿñü ëèøü êîíå÷íûì ÷èñëîì òåõ, êîòîðûå ñóììèðîâàòü íå ñëåäóåò. 14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà Îãðàíè÷èìñÿ â ýòîé ãëàâå ðàññìîòðåíèåì çàäà÷, â êîòîðûõ ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âîçíèêàþò èç-çà êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ (èëè ìþîíîâ) ñ òÿæåëûìè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè òèïà àòîìíûõ ÿäåð. Êàê ïîêàçàíî â ðàçäåëå 13.6, òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî ó÷åñòü, äîáàâèâ â ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ñëàãàåìîå *, îïèñûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå ñ ñ-÷èñëîâûì âíåøíèì âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì À µ(x):

LÀ = − ieΨγ µ ΨÀµ − 14 (Z3 − 1)(∂ µ À ν − ∂ ν À µ )(∂ µ À ν − ∂ ν Àµ ) − ie(Z2 − 1) Àµ Ψγ µ Ψ ,

(14.1.1)

*  ýòîé ãëàâå ìû âíîâü èñïîëüçóåì çàãëàâíóþ áóêâó Ψ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîëÿ ýëåêòðîíîâ â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà, à ñòðî÷íóþ áóêâó ψ èñïîëüçóåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ äèðàêîâñêîãî ïîëÿ, çàâèñèìîñòü êîòîðîãî îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñ-÷èñëîâûì âíåøíèì ïîëåì À µ(x).

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

764

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

Îíî ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé êâàíòîâîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà Aµ íà ñóììó Aµ +À µ â îòâå÷àþùåì âçàèìîäåéñòâèþ ñëàãàåìîì â (11.1.6). Íàïðèìåð, äëÿ îòäåëüíîé òÿæåëîé ÷àñòèöû çàðÿäîì Ze, ïîìåùåííîé â íà÷àëå êîîðäèíàò,

À 0 (x) =

Ze , 4 π | x|

À(x) = 0.

(14.1.2)

Èìåííî âçàèìîäåéñòâèå (14.1.1) äîëæíî áûòü ó÷òåíî âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé.  ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì òåîðèþ, âêëþ÷àþùóþ òîëüêî òàêîå âçàèìîäåéñòâèå, îñòàâèâ ðàññìîòðåíèå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê íà ïîñëåäóþùèå ðàçäåëû. Åùå â äåòñêîì ñàäó ôèçèêè óçíàþò, ÷òî ðåøåíèå ïîäîáíûõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèðàêîâñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ. Âûâîä çäåñü ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ëèøíåé òðàòîé âðåìåíè, íî, êàê ïîä÷åðêèâàëîñü â ãë. 1, äàííîå Äèðàêîì èñõîäíîå åãî îáîñíîâàíèå êàê ðàçíîâèäíîñòè ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íå âûäåðæèâàåò êðèòèêè. Êðîìå òîãî, â ïðîöåññå âûâîäà ìû ïîëó÷èì óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, êîòîðûå ñëåäóåò íàëîæèòü íà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà è êîòîðûå â îðèãèíàëüíîé ðàáîòå Äèðàêà êàæóòñÿ âçÿòûìè íåñêîëüêî «ñ ïîòîëêà» . Îáñóæäàåìûå çäåñü ðåøåíèÿ äèðàêîâñêîãî óðàâíåíèÿ áóäóò ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàíû â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïðè àíàëèçå ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Ìû ïðîâåäåì ðàññìîòðåíèå, èñïîëüçóÿ âàðèàíò ãåéçåíáåðãîâñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, â êîòîðîì çàâèñèìîñòü îïåðàòîðîâ îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì, âêëþ÷àþùåì òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå (14.1.1) ñ âíåøíèì ïîëåì, íî íå äðóãèå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîëå ýëåêòðîíîâ ψ(x) â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè óäîâëåòâîðÿåò ïîëåâîìó óðàâíåíèþ ∂ γλ + m + ieγ λ Àλ (x) ψ (x) = 0 . (14.1.3) λ x ∂

LM N

OP Q

Ýòî íå óðàâíåíèå Äèðàêà â èñõîäíîì ïîíèìàíèè ñàìîãî Äèðàêà 1, ïîñêîëüêó çäåñü ψ(x) − íå ñ-÷èñëîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, à êâàíòîâûé îïåðàòîð. ßâëÿþùèåñÿ ñ-÷èñëàìè äèðàêîâñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè:

u N (x) ≡ Φ 0 , ψ (x)Φ N ,

b

g

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.1.4)

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

765

vN (x) ≡ Φ N , ψ (x)Φ 0 ,

b

g

(14.1.5)

ãäå ΦN — ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, Φ0 — ñîñòîÿíèå âàêóóìà. Èç (14.1.3) íåìåäëåííî âûòåêàåò, ÷òî ýòè ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ Äèðàêà

∂ + m + ieγ λ Àλ (x) u N (x) = ∂x λ ∂ = γλ + m + ieγ λ Àλ (x) vN (x) = 0 . ∂x λ

LMγ N

OP Q

λ

LM N

OP Q

(14.1.6)

Êðîìå òîãî, èñïîëüçóÿ àíòèêîììóòàòîðû ïðè ðàâíûõ âðåìåíàõ äëÿ äèðàêîâñêîãî ïîëÿ, ìîæíî âûâåñòè óñëîâèå íîðìèðîâêè. Âçàèìîäåéñòâèå (14.1.1) íå âëèÿåò íà àíòèêîììóòàòîðû, ïîýòîìó îíè èìåþò òîò æå âèä, ÷òî è äëÿ ñâîáîäíûõ ïîëåé:

kψ(x, t), ψ(y, t)p = iγ δ (x − y) . 0 3

(14.1.7)

Áåðÿ ñðåäíåå ïî âàêóóìó è âñòàâëÿÿ ñóììó ïî ñîñòîÿíèÿì ΦN, íàõîäèì:

∑ uN (x, t)uN† (y, t) + ∑ vN (x, t)vN† (y, t) = δ3 (x − y) . N

N

(14.1.8)

Ñóììèðîâàíèå ïî N ïîäðàçóìåâàåò èíòåãðèðîâàíèå ïî ñîñòîÿíèÿì íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà è ñóììèðîâàíèå ïî âñåì äèñêðåòíûì ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì. Íàñ ãëàâíûì îáðàçîì èíòåðåñóåò ñëó÷àé íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè âíåøíåãî ïîëÿ òèïà (14.1.2).  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ñîñòîÿíèÿ ΦN ìîãóò áûòü âçÿòû êàê ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà (âêëþ÷àþùåãî âçàèìîäåéñòâèå (14.1.1)) ñ ýíåðãèÿìè EN. Èç èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðåìåííûõ òðàíñëÿöèé ñëåäóåò, ÷òî çàâèñèìîñòü ôóíêöèé uN(x) è vN(x) îò âðåìåíè èìååò âèä

u N (x, t) = e − iEN t u N (x), vN (x, t) = e + iEN t vN (x) .

(14.1.9)

Òîãäà îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Äèðàêà çàïèøóòñÿ êàê

iγ 0 γ ⋅ ∇ + m + ieγ λ Àλ (x) u N (x) = EN u N (x) , На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.1.10)

766

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

iγ 0 γ ⋅ ∇ + m + ieγ λ Àλ (x) vN (x) = − EN vN (x) .

(14.1.11)

Çíàê «ìèíóñ» â ïðàâîé ÷àñòè (14.1.11) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî vN ÿâëÿþòñÿ çíàìåíèòûìè äèðàêîâñêèìè ðåøåíèÿìè ñ «îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè». Êàê âèäíî èç (14.1.8), òàêèå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìû äëÿ ïîëíîòû ñèñòåìû âîëíîâûõ ôóíêöèé. Êîíå÷íî, ïðè óìåðåííûõ âíåøíèõ ïîëÿõ â òåîðèè íåò ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè, òàê ÷òî âñå EN ïîëîæèòåëüíû. Îäíàêî âñå åùå åñòü ñóùåñòâåííàÿ ðàçíèöà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ íåèñ÷åçàþùèìè uN èëè vN: èç îïðåäåëåíèé (14.1.4) è (14.1.5) ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîÿíèÿ ìîãóò èìåòü uN ≠ 0 èëè vN ≠ 0 òîëüêî, åñëè îíè èìåþò, ñîîòâåòñòâåííî,çàðÿä −å èëè +å. Èìåííî â ýòîì ñìûñëå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè èìåþò îòíîøåíèå ê ñóùåñòâîâàíèþ àíòè÷àñòèö. Îäíàêî ýòî ñîîáðàæåíèå íèêàê íå ñâÿçàíî ñ äåòàëÿìè óðàâíåíèÿ Äèðàêà è äàæå ñî çíà÷åíèåì ñïèíà ýëåêòðîíà. Èç äèðàêîâñêèõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé (14.1.10) è (14.1.11) ëåãêî ïîëó÷èòü *, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè ñ ðàçíûìè ýíåðãèÿìè îðòîãîíàëüíû. Èìåííî, † † * (E M − E N ) uN uM = ∇ ⋅ uN iγ 0 γ u M ,

d

† iγ 0 γ u M òàê ÷òî, åñëè | x|2 u N |x| → ∞, òî

d

z z z

i

d

i

i îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ïðè |x| → 0 è

† * d3x uN (x) u M (x) = 0, åñëè EN ≠ EM .

d

i

(14.1.12)

Ïðè àíàëîãè÷íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ äëÿ vN íàõîäèì òåì æå ïóòåì: † * d 3x vN (x)vM (x) = 0, åñëè EN ≠ EM , (14.1.13)

d d x du 3

† N (x)v M

i (x)i = 0, åñëè E

N

* ≠ − EM .

(14.1.14)

* Ñëåäóþùèì íèæå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñòðîãèì ðàññóæäåíèÿì ìîæíî ïðèäàòü ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë, åñëè èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð iγ 0 ∇ + m + ieγ λ Aλ (x) (ãàìèëüòîíèàí Äèðàêà âî âíåøíåì ïîëå) ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äèðàêîâñêèõ ñïèíîðîâ ψ(x) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (ψ 1 , ψ 2 ) = dxψ 1+ (x)ψ 2 (x) . — Ïðèì. ðåä. g

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

767

Ïîëàãàÿ N = M, ïîëó÷àåì èç (14.1.12) è (14.1.13), ÷òî âñå ýíåðãèè äåéñòâèòåëüíû. Îïóñêàÿ â (14.1.12)−(14.1.14) çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ íàä EM, íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèè u ñ ðàçíûìè ýíåðãèÿìè îðòîãîíàëüíû, ôóíêöèè v ñ ðàçíûìè ýíåðãèÿìè îðòîãîíàëüíû, è (äî òåõ ïîð ïîêà ïîòåíöèàë íåäîñòàòî÷íî âåëèê. ÷òîáû ïîðîæäàòü ñîñòîÿíèÿ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèè) âñå u îðòîãîíàëüíû êî âñåì v. Ïîäáèðàÿ ïîäõîäÿùèì îáðàçîì äèñêðåòíûå êâàíòîâûå ÷èñëà, êîòîðûå íàðÿäó ñ ýíåðãèåé õàðàêòåðèçóþò ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî âñåãäà ñäåëàòü òàê, ÷òîáû

z z

† d3x uN (x) u M (x) = 0, åñëè N ≠ M ,

d d x dv 3

z

i (x)v (x)i = 0, åñëè N ≠ M , d x d u ( x) v ( x ) i = 0 .

† N

M

† N

3

M

(14.1.15) (14.1.16) (14.1.17)

Óìíîæàÿ (14.1.8) ñïðàâà íà uM(y) èëè vM(y), íàõîäèì, ÷òî ýòè âîëíîâûå ôóíêöèè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì íîðìèðîâêè

z

† d3 y uN (y) u M (y) =

d

i

z

† d 3 y vN (y)vM (y) = δ NM ,

d

i

(14.1.18)

ãäå δNM − ïðîèçâåäåíèå êðîíåêåðîâñêèõ äåëüòà-ñèìâîëîâ è äåëüòàôóíêöèé â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, ïðè÷åì íîðìèðîâêà ñîãëàñîâàíà ñ òîé, êîòîðàÿ èñïîëüçîâàëàñü ïðè îïðåäåëåíèè ∑N, òàê ÷òî ∑NδNM = 1. Ýòè óñëîâèÿ íîðìèðîâêè íåïîñðåäñòâåííî íå èìåþò îòíîøåíèÿ ê ëþáîé âåðîÿòíîñòíîé òðàêòîâêå äèðàêîâñêèõ âîëíîâûõ ôóíêöèé, à ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè àíòèêîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (14.1.7) äëÿ ïîëåé. Îáðàòèìñÿ ê êîíêðåòíîìó ñëó÷àþ ÷èñòî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âíåøíåãî ïîëÿ ñ À = 0.  ïðèíÿòîì íàìè ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöû Äèðàêà èìåþò âèä:

γ =i

FG 0 Hσ

−σ , 0

IJ K

iγ 0 = β =

FG 0 1IJ , H 1 0K

 ýòèõ ôîðìóëàõ σ — îáû÷íûé 3-âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç 2 × 2 ìàòðèö Ïàóëè, à 1 è 0 — åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöû 2 × 2. Ââåäåì äâóõêîìïîíåíòíûå âîëíîâûå ôóíêöèè fN è gN, ïîëàãàÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

768

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

uN =

N

+ igN

N

− igN

FG f 2 Hf

1

IJ . K

(14.1.19)

Óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè (14.1.10) ïðèìåò âèä:

(σ ⋅ ∇) fN = (EN + eÀ 0 + m)gN ,

(14.1.20)

(σ ⋅ ∇)gN = −(EN + eÀ 0 − m) fN .

(14.1.21)

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå, êîãäà eÀ 0r d Zα n 1, ýíåðãèÿ ñâÿçè m − EN ïîðÿäêà Z2α2m, â òî âðåìÿ êàê îïåðàòîð ãðàäèåíòà ïîðÿäêà Zαm, òàê ÷òî gN ïðèáëèçèòåëüíî â Zα ðàç ìåíüøå fN. (×òîáû íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ïîçèòðîíà, çàìåíÿåì âåçäå EN íà −EN, òàê ÷òî â ýòîì ñëó÷àå fN ìåíüøå gN âî ñòîëüêî æå ðàç.)  êîíöå ðàçäåëà ìû âåðíåìñÿ ê íåðåëÿòèâèñòñêîìó ñëó÷àþ. Ôèçè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ðàñêëàññèôèöèðîâàòü íà ÷åòíûå è íå÷åòíûå ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè: PΦ N = ηN Φ N ,

(14.1.22)

ãäå ηN — çíàêîâûé ìíîæèòåëü, ðàâíûé ±1. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè îïðåäåëèòü âíóòðåííþþ ÷åòíîñòü ýëåêòðîíà ðàâíîé +1, òî äèðàêîâñêîå ïîëå ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê èíâåðñèè ïî çàêîíó

Pψ (x, t)P −1 = βψ (− x, t) , òàê ÷òî èç óðàâíåíèé (14.1.4) è (14.1.5) ñëåäóåò, ÷òî äèðàêîâñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ÷åòíîñòè: u N (x) = ηN βu N ( − x),

(14.1.23)

fN (x) = ηN fN ( − x), gN (x) = − ηN gN (− x).

(14.1.24)

èëè ýêâèâàëåíòíî,

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ÷åòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ fN(x), íî íå gN(x). Åñëè ïîòåíöèàë À 0 èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé, ðåøåíèÿ âîëíîâûõ óðàâíåíèé ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü èõ ïîëíûì

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

769

óãëîâûì ìîìåíòîì j è ÷åòíîñòüþ η. Ïðè çàäàííîì j êîìïîíåíòû f è g ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì ñ îðáèòàëüíûìè ìîìåíòàìè l = j +  1 è l = j − 1 , íî ïðè çàäàííîé ÷åòíîñòè j m 21 èç óðàâíåíèé (14.1.24) âûòåêàåò, ÷òî f ñîäåðæèò òîëüêî η = (−1) ãàðìîíèêó ñ l = j å 1, à g − òîëüêî ãàðìîíèêó ñ l = j ± 1. Èç îáû÷íûõ ïðàâèë ñëîæåíèÿ óãëîâûõ ìîìåíòîâ âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëíûì ìîìåíòîì j, z-êîìïîíåíòîé ïîëíîãî ìîìåíòà µ è ÷åòíîñòüþ jm 1 (−1) 2 «áîëüøàÿ» äâóõêîìïîíåíòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ f èìååò âèä

FC G f(x) = G GH C

j m 1,1

j m 1,1

1 ) Yjµm −1 1 (x$ ) 2 2

( jµ; µ − 1

( jµ; µ + 21

−

1 ) 2

Yjµm +1 1

I JJ F(| x| ) . (x$ )J K

(14. 1. 25)

ãäå Ñ è Y − ñîîòâåòñòâåííî îáû÷íûå êîýôôèöèåíòû Êëåáøà−Ãîðäàíà è ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè 2. Êðîìå òîãî, åñëè çàäàíà ëþáàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îïðåäåëåííûìè ïîëíûì óãëîâûì ìîìåíòîì è ÷åòíîñòüþ, ìîæíî ïîñòðîèòü äðóãóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñ òåìè æå j è µ, íî ïðîòèâîïîëîæíîé ÷åòíîñòüþ, ïîäåéñòâîâàâ îïåðàòîðîì (σ ⋅ x$ ) , òàê ÷òî «ìàëûå» êîìïîíåíòû ìîæíî âçÿòü â âèäå:

FC g(x) = (σ ⋅ x$ ) G GG C H

j m 1,1

j m 1,1

1 ) Yjµm −1 1 (x$ ) 2

( jµ; µ − 21

( jµ; µ + 21

−

1 ) 2

Yjµm +1 1

I JJ G(| x| ) . (x$ )JK

(14.1.26)

Ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü îðáèòàëüíûé ìîìåíò l ñîñòîÿíèÿ êàê îðáèòàëüíûé ìîìåíò «áîëüøèõ» êîìïîíåíò fN:

l = j m 21 ,

(14.1.27)

òàê ÷òî ÷åòíîñòü âñåãäà ðàâíà (−1)l. Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.25) è (14.1.26) â (14.1.20) è (14.1.21), ïîëó÷àåì ñèñòåìó çàöåïëÿþùèõñÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:

dG k + 1 G + (E + eÀ0 − m)F = 0 , + dr r

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.1.28)

770

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

dF k − 1 F − (E + eÀ0 + m)G = 0 , − dr r ãäå ïðè ÷åòíîñòè η = ( −1)

(14.1.29)

j m 21

k ≡ ±( j + 21 ).

(14.1.30)

Ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà ñëó÷àå ïðîñòîãî êóëîíîâñêîãî ïîëÿ (14.1.2), êîãäà eÀ 0 = Zα/r. Èññëåäîâàíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà â ýòîì ñëó÷àå õîðîøî èçâåñòíî3, òàê ÷òî ìû äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ êîðîòêî ñóììèðóåì ðåçóëüòàòû. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò ðåøåíèÿ âåäóò ñåáÿ êàê rs−1, ãäå s2 = k2 − Z2α2. (Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî k 2 ≥ 1, òàê ÷òî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè s äåéñòâèòåëåí ïðè Zα ≤ 1.) Ðåøåíèÿ ñ s < 0 ñëåäóåò îòáðîñèòü êàê íåñîâìåñòèìûå ñ óñëîâèåì íîðìèðîâêè (14.1.18). Ïîñëå ýòîãî òðåáîâàíèå, ÷òîáû âîëíîâûå ôóíêöèè íå ñòðåìèëèñü ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè r → ∞, îïðåäåëÿåò ðàçðåøåííûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè *:

E n, j

LM F = m 1+ G MM GH n − j − 1 + N

Zα

(j + 1)2 − Z 2α 2

I JJ K

2 −1/2

OP PP Q

,

(14.1.31)

ãäå n — «ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî» è

j + 1 ≤ n.

(14.1.32)

Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ýòè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè íå çàâèñÿò îò ÷åòíîñòè èëè l, à çàâèñÿò òîëüêî îò n è j. Äëÿ êàæäîãî n è j ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùèå äâóì çíàêàì k èëè äâóì âîçìîæíûì ÷åòíîñòÿì, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ n = j + 1, êîãäà åäèíñòâåííîé âîçìîæíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ k > 0 è ÷åòíîñòü (−1)j−1, òàê ÷òî l = j − 1. Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (14.1.32) ýòî ñâîäèòñÿ ê çíàêîìîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó îãðàíè÷åíèþ l ≤ n − 1. Äëÿ ëåãêèõ àòîìîâ ñ Zα n 1 âûðàæåíèå (14.1.31) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà * Ðå÷ü èäåò î äèñêðåòíîì ñïåêòðå. — Ïðèì. ðåä.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

LM N

E = m 1−

771

Z 2α 2 Z 4α 4 3 1 + − + ... . 2 4 8 2j + 1 2n n

FG H

IJ K

OP Q

(14.1.33)

Åñòåñòâåííî, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå åñòü ýíåðãèÿ ïîêîÿ, à âòîðîå — ýíåðãèÿ ñâÿçè, ñîãëàñíî íåðåëÿòèâèñòñêîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Ïåðâàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà, çàâèñÿùàÿ êàê îò n, òàê è îò j, äàåòñÿ òðåòüèì ñëàãàåìûì. Ïðè n = 1 âîçìîæíî òîëüêî îäíî çíà÷åíèå ïîëíîãî ìîìåíòà j = 1, è òàê êàê â ýòîì ñëó÷àåì n = j + 1, òî è îäíî çíà÷åíèå ÷åòíîñòè (−1)j−1 = +1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò l = 0. Ïîýòîìó äëÿ ñîñòîÿíèé âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ñ n = 1 äîâîëüíî òðóäíî íàáëþäàòü ýôôåêòû, îáóñëîâëåííûå ðåëÿòèâèñòñêèìè ïîïðàâêàìè ê ýíåðãèè ñâÿçè, êîòîðûå äàþòñÿ ôîðìóëîé (14.1.33), õîòÿ, êàê áóäåò âèäíî â ðàçäåëå 14.3, ýòî íåäàâíî ñòàëî âîçìîæíûì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè n = 2 èìåþòñÿ ñîñòîÿíèÿ ñ j = 1 è îáåèìè ÷åòíîñòÿìè (ò. å. ñîñòîÿíèÿ 2s1/2 è 2p1/2), à òàêæå ñîñòîÿíèå 2p3/2 ñ j = G è îòðèöàòåëüíîé ÷åòíîñòüþ. Èç ôîðìóëû (14.1.33) îïðåäåëÿåòñÿ ðàñùåïëåíèå ð−óðîâíåé âîäîðîäà:

E(2p3/2 ) − E(2p1/2 ) =

α 2me = 4,5283 × 10 −5 ýÂ. 32

(14.1.34)

Ïîäîáíîå ðåëÿòèâèñòñêîå ðàñùåïëåíèå óðîâíåé íîñèò íàçâàíèå òîíêîé ñòðóêòóðû àòîìíûõ óðîâíåé. Ñ ñàìîãî íà÷àëà áûëî èçâåñòíî, ÷òî ýòî ïðåäñêàçàíèå íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ íàáëþäàåìîé òîíêîé ñòðóêòóðîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèÿ Äèðàêà âûòåêàåò îòñóòñòâèå ðàçíèöû â ýíåðãèÿõ ñîñòîÿíèé 2s1/2 è 2p1/2, òàê ÷òî èìåííî çäåñü óìåñòíî ïîèñêàòü âêëàäû äðóãèõ ïîïðàâîê, ÷òî è áóäåò ðàññìîòðåíî â ðàçäåëå 14.3. Ïðåæäå ÷åì çàâåðøèòü ýòîò ðàçäåë, ðàññìîòðèì ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé è ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà À 0. (Äëÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäåëó Zα n 1.) Òàê êàê EN + m g 2m . |eÀ 0|, «ìàëûå» êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà ïðèáëèæåííî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç «áîëüøèå» êîìïîíåíòû: gN g (σ ⋅ ∇) fN / 2m e .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.1.35)

772

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

Òîãäà óðàâíåíèå (14.1.21) ïðåâðàùàåòñÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

LM− ∇ N 2m

2 e

OP Q

− eÀ0 fN g (EN − m) fN .

(14.1.36)

Ïîñêîëüêó òåïåðü â óðàâíåíèè äëÿ fN óæå íåò íèêàêîé ñâÿçè ìåæäó ñïèíîâûìè è îðáèòàëüíûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ìîæíî èñêàòü ïîëíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ â âèäå: fN = χ N ψ N ,

ãäå χN — äâóõêîìïîíåíòíûé ïîñòîÿííûé ñïèíîð, à ψN(x) — îáû÷íîå îäíîêîìïîíåíòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Îäíàêî ÷àñòî ìû èñïîëüçóåì ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ìîìåíòà j, äëÿ êîòîðûõ fN (ïðè íåíóëåâîì îðáèòàëüíîì ìîìåíòå) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé òàêèõ ðåøåíèé.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè ÷åòûðåõêîìïîíåíòíàÿ äèðàêîâñêàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âèä:

uN g

LM(1 + iσ ⋅ ∇ / 2m) f OP , 2 N(1 − iσ ⋅ ∇ / 2m) f Q

1

N

(14.1.37)

N

à ôîðìóëà (14.1.18) îïðåäåëÿåò óñëîâèå íîðìèðîâêè

z

d 3 x ( fN† , fM ) g δ NM − 3(v 2 ) NM ,

(14.1.38)

ãäå

(v 2 ) NM ≡ −

1 me2

z

d 3 x fN† (x)∇2 fM (x).

Ïðè óñòàíîâëåíèè ñâÿçè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ âî âíåøíåì ïîëå ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè N, ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ñëåäóþùåì âèäå:

u N (p) ≡ (2π) −3/2 d 3 p e − ip⋅x u N (x) g

z

∑ u(p, σ)[ fN (p)]σ . (14.1.39) σ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.1. Óðàâíåíèå Äèðàêà

773

ãäå äèðàêîâñêèé ñïèíîð äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû

u(p, σ) g

χ +1

LM(1 − p ⋅ σ / 2m ) χ OP , 2 N(1 + p ⋅ σ / 2m ) χ Q F 1I F 0I ≡ G J, χ ≡ G J, H 0K H 1K 1

e

σ

e

σ

−1

à fN(p) − ôóðüå-îáðàç äâóõêîìïîíåíòíîé øðåäèíãåðîâñêîé âîëíîâîé ôóíêöèè:

fN (p) ≡ (2π) −3/2 d 3 p e − ip⋅x fN (x). 1

z

***  çàêëþ÷åíèå ñ öåëüþ âû÷èñëåíèÿ âêëàäîâ ðàçëè÷íûõ âîçìóùåíèé ïðèâåäåì ãëàâíûå ÷ëåíû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ 16 íåçàâèñèìûõ 4 × 4 ìàòðèö ïî ýëåêòðîííûì ñîñòîÿíèÿì. † ( u M u N ) g ( fM fN ) −

1 † (∇fM ⋅ σ σ ⋅ ∇fN ) , 4me2

† i( u M γ 0 u N ) g ( fM fN ) +

( u M ggu N ) g

(14.1.40)

1 † (∇fM ⋅ σ σ ⋅ ∇fN ) , 4me2

(14.1.41)

1 † † ⋅ σ σ ⋅ fN ) − ( fM ⋅ σ σ ⋅ ∇fN )], [(∇fM 2me

( u M [ γ 0 , γ ]u N ) g

(14.1.42)

i † † ⋅ σ σ ⋅ fN ) + ( fM ⋅ σ σ ⋅ ∇fN )], (14.1.43) [(∇fM me

† ( u M [ γ i , γ j ]u N ) g 2iε ijk ( fM σ k fN ) ,

(14. 1. 44)

† ( u M γ 5 γu N ) g − i( fM σfN ) ,

(14. 1. 45)

(uM γ 5 γ 0 uN ) g (uM γ 5 uN ) g

i † † ⋅ σ fN ) − ( fM σ ⋅ ∇fN )], [(∇fM 2me

i † † ⋅ σ fN ) + ( fM σ ⋅ ∇fN )] . [(∇fM 2me

(14. 1. 46) (14. 1. 47)

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

774

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

14.2. Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âî âíåøíèõ ïîëÿõ Ó÷òåì òåïåðü íàðÿäó ñ âíåøíèì ïîëåì òÿæåëûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö òàêæå è êâàíòîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå è ðàññìîòðèì ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ðåçóëüòàòàì ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, îáóñëîâëåííûå âçàèìîäåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ ñ êâàíòîâûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Òàêèå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ îáû÷íîé ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììíîé òåõíèêè, ïðè÷åì âåñü âêëàä âíåøíåãî ïîëÿ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ìîäèôèêàöèè ïðîïàãàòîðà ïîëÿ ýëåêòðîíîâ â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (è â äîáàâëåíèè çàâèñÿùèõ îò âíåøíåãî ïîëÿ ïåðåíîðìèðîâî÷íûõ êîíòð÷ëåíîâ èç ôîðìóëû (14.1.1)). Êîíêðåòíåå, âêëàä îò âêëþ÷åíèÿ ëþáîãî ÷èñëà âåðøèí, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðâîìó ñëàãàåìîìó â îïåðàòîðå âçàèìîäåéñòâèÿ (14.1.1), âî âíóòðåííþþ ýëåêòðîííóþ ëèíèþ ëþáîé äèàãðàììû çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå ãîëîãî ïðîïàãàòîðà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè −iS(x − y) íà ïðîïàãàòîð âî âíåøíåì ïîëå

− iSÀ (x, y) ≡ − iS(x − y) + ( − i)2 d 4 z1S(x − z)eγ µ Àµ (z1 )S(z1 − y)

z

+( − i)3 d 4 z1 d 4 z2S(x − z1 ) eγ µ Àµ (z1 )S(z1 − z2 ) eγ µ Àµ (z2 )S(z2 − y)

z z

+ . . .,

(14.2.1)

ãäå, êàê îáû÷íî, S(x − y) ≡

1 (2π) 4

λ

X d p − iγ p + m e YZ p + m − iε λ

4

2

ip( x − y)

2

.

(Ñëåäóåò çàïèñûâàòü SÀ êàê ôóíêöèþ x è y, à íå x − y, ïîñêîëüêó âíåøíåå ïîëå íàðóøàåò òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü.) Ñîãëàñíî äîêàçàííîé â ðàçäåëå 6.4 òåîðåìå, SÀ, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (14.2.1), ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì, îïðåäåëÿåìûì ôîðìóëîé

− iSÀ (x, y) = Φ 0 , T{ ψ (x), ψ ( y)}Φ 0

b

g

À

,

(14.2.2)

ãäå íèæíèé èíäåêñ À ñïðàâà îçíà÷àåò, ÷òî âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå Φ0 è ýëåêòðîííîå ïîëå ψ(x) äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè, â êîòîðîì ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå (14.1.1) ñ âíåøíèì ïîëåì. Âñòàâëÿÿ ïîëíûé íàáîð ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.2. Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âî âíåøíèõ ïîëÿõ

775

ΦN â (14.2.2), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ ýòîãî ïðîïàãàòîðà ÷åðåç ââåäåííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå äèðàêîâñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè:

− iSÀ (x, y) = θ(x 0 − y0 )

∑ uN (x)uN (y) − θ(y0 − x0 )∑ vM (x)vM (y) . N

M

(14.2.3) Ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîïàãàòîð (14.2.2) è êàê ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà

LMγ N

λ

∂ + m + ieγ λ Àλ (x) SÀ (x, y) = δ 4 (x − y) , ∂x λ

OP Q

(14.2.4)

êîòîðîå ñëåäóåò èç ïîëåâûõ óðàâíåíèé (14.1.3) è ñîîòíîøåíèé àíòèêîììóòàöèè (14.1.7), èëè ôîðìàëüíî èç ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé (14.2.1). Êðîìå òîãî, èç ôîðìóëû (14.2.3) âûòåêàåò, ÷òî ýòîò ïðîïàãàòîð óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: åãî ôóðüåðàçëîæåíèå ñîäåðæèò ïðè x0 − y0 → ∞ òîëüêî «ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûå ñëàãàåìûå», ïðîïîðöèîíàëüíûå exp(−iE(x0 − y0)) c E > 0, à ïðè x0 − y0 → −∞ — òîëüêî «îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ñëàãàåìûå», ïðîïîðöèîíàëüíûå exp(+iE(x0 − y0)) ñ Å > 0. Äàæå â ñëó÷àÿõ, êîãäà âíåøíåå ïîëå ñëèøêîì ñèëüíî, è èñïîëüçîâàíèå ðÿäà òåîðèè âîçìóùåíèé (14.2.1) íåäîïóñòèìî, ìîæíî ñ ïîìîùüþ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñ òàêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïîëó÷èòü ÷èñëåííîå ðåøåíèå 4 äëÿ ïðîïàãàòîðà âî âíåøíåì ïîëå. Åñëè òîëüêî ïðîïàãàòîð íàéäåí, àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ âî âíåøíåì ïîëå ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ îáû÷íûå ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû. çàìåíèâ ïðè ýòîì S(x − y) íà SÀ (x,y) (è âêëþ÷èâ, ãäå íåîáõîäèìî, ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñÿùèå îò À ïåðåíîðìèðîâî÷íûå êîíòð÷ëåíû). Ïîñìîòðèì òåïåðü, êàê èñïîëüçîâàòü ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé ñ ïðîïàãàòîðîì âî âíåøíåì ïîëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñäâèãîâ óðîâíåé ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ðàññìîòðèì ïîëíûé ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð S′À (x,y), ó÷èòûâàþùèé âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà êàê ñ êâàíòîâûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, òàê è ñ âíåøíèì ïîëåì:

′ (x, y) = Ω0 , T{Ψ(x), Ψ( y)}Ω0 − iSÀ

d

h

À

,

(14.2.5)

ãäå Ψ(x) — ýëåêòðîííîå ïîëå â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè ñ ó÷åòîì âñåõ âçàèìîäåéñòâèé, à Ω0 — âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå ïîëíîãî

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

776

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

ãàìèëüòîíèàíà.  ñëó÷àå íåçàâèñÿùåãî îò âðåìåíè âíåøíåãî ïîòåíöèàëà ìîæíî íàéòè ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ΩN ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà ñ ýíåðãèÿìè Å′N. Âñòàâëÿÿ ñóììó ïî ýòèì ñîñòîÿíèÿì â ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ â (14.2.5), íàõîäèì: ′ (x, y) = θ(x 0 − y0 )e − iEN′ (x − iSÀ

0

− y0 )

∑ U N (x)U N (y) N

− θ( y − x )e 0

0

′ ( y0 − x0 ) − iEN

∑ VN (x)VN (y) ,

(14.2.6)

N

ãäå

(Ω0 , Ψ(x, t)Ω N ) ≡ e − iEN′ t U N (x) ,

(14.2.7)

(Ω N , Ψ(x, t)Ω0 ) ≡ e + iEN′ t VN (x) .

(14.2.8)

(Ñóììà âêëþ÷àåò èíòåãðèðîâàíèå ïî íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó è ñóììèðîâàíèå ïî äèñêðåòíûì ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì. Êàê è ðàíåå, UN è VN íå ðàâíû íóëþ, òîëüêî åñëè çàðÿä ñîñòîÿíèÿ ΩN ðàâåí −å èëè +å, ñîîòâåòñòâåííî.) Ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü ýòîò ïðîïàãàòîð, çàäàâ åãî êàê ôóíêöèþ ýíåðãèè, à íå âðåìåíè: ′ ( x , y; E ) ≡ SÀ

z

∞

−∞

dx 0 e iE (x

0

− y0 )

′ (x, y). SÀ

(14.2.9)

(Èç èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âðåìåííû1õ òðàíñëÿöèé ñëåäóåò, ÷òî S′À (x,y) åñòü ôóíêöèÿ x0 − y0, íî íå x0 èëè y0 ïî îòäåëüíîñòè.) Èç ôîðìóëû (14.2.6) ñëåäóåò, ÷òî

′ (x, y; E) = SÀ

∑ ENN′ − E N− iε − ∑ ENN′ + E N− iε . U (x)U (y)

N

V (x) V (y)

(14.2.10)

N

 ÷àñòíîñòè, S′À (x,y;E) èìååò ïîëþñà â òî÷êàõ, îòâå÷àþùèõ êàê ýíåðãèè ëþáîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, òàê è âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïîçèòðîíà. (Êîíå÷íî, ó ïîçèòðîíîâ íåò ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â êóëîíîâñêîì ïîëå îáû÷íîãî ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî ÿäðà.) Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè íèçøåãî ïîðÿäêà ê ïîëíîìó ïðîïàãàòîðó.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôåéíìàíîâñêèìè ïðàâèëàìè

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.2. Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âî âíåøíèõ ïîëÿõ

777

ïîëíûé ïðîïàãàòîð â ýòîì ïîðÿäêå ðàâåí S′À = SÀ + δSÀ, ãäå ïîïðàâêà

δSÀ (x, y) =

z z

d 3 z d 3 w SÀ (x, z) ∑ *À (z, w)SÀ (w, y) ,

(14.2.11)

à âåëè÷èíà i ∑*À åñòü ñóììà âñåõ îäíîïåòëåâûõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé ýëåêòðîííîé ëèíèåé (èñêëþ÷àÿ ïîñëåäíèå ýëåêòðîííûå ïðîïàãàòîðû), âû÷èñëåííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîïàãàòîðà SÀ (x,y) âìåñòî S(x − y) äëÿ âíóòðåííèõ ýëåêòðîííûõ ëèíèé, ïëþñ ïåðåíîðìèðîâî÷íûå êîíòð÷ëåíû âòîðîãî ïîðÿäêà. Èñïîëüçóÿ âìåñòî âðåìåííû1õ ýíåðãåòè÷åñêèå ïåðåìåííûå, èìååì:

δSÀ (x, y; E) =

z z

d 3z d 3 w SÀ (x, z; E) ∑ *À (z, w; E) SÀ (w, y; E) , (14.2.12)

∑ *À (z, w; E) ≡

z

dz0 e iE (z

0−

w0 )

∑ *À (z, w) .

(14.2.13)

Çà ñ÷åò ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê èçìåíÿþòñÿ âîëíîâûå ôóíêöèè: UN = uN + δuN, VN = vN + δvN, è ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé: E′N = EN + δEN, òàê ÷òî ïîëíûé ïðîïàãàòîð ðàâåí:

′ (x, y; E) g SÀ (x, y; E) SÀ + −

∑ N

δu N (x) u N (y) + u N (x)δu N (y) EN − E

∑

δvN (x)vN (y) + vN (x)δvN (y) EN + E

∑

u N (x) u N (y)δEN + (E N − E ) 2

N

−

N

∑ N

(14.2.14)

vN (x)vN (y)δEN . (E N + E) 2

(Ìû îïóñòèëè ñëàãàåìûå iε, ïîñêîëüêó òåïåðü ðàññìàòðèâàþòñÿ òå çíà÷åíèÿ Å, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó ñîñòîÿíèé ðàññåÿíèÿ.) Âèäíî, ÷òî ñäâèã δEN ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðè ñëàãàåìûõ − u N (x) u N (y) / (EN − E)2 â ïîëíîì ïðîïàãàòîðå. ×òîáû íàéòè ýòîò êîýôôèöèåíò, çàìåòèì, ÷òî èç (14.2.3) âûòåêàåò: SÀ (x, y; E) =

∑ ENN − E N− iε − ∑ ENN + EN− iε . u (x) u (y)

N

v (x)v (y)

N

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.2.15)

778

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (14.2.12), íàõîäèì: u N (x) u M (y) δSÀ (x, y; E) = (EN − E)(EM − E)

∑

N ,M

×

z z

d 3 z d 3w u N (z) ∑ *À (z, w; E) u M (w) + . . .

(14.2.16)

ãäå òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò äîïîëíèòåëüíûì ñëàãàåìûì, âêëþ÷àþùèì õîòÿ áû îäèí ïîëþñ ïðè îòðèöàòåëüíîì çíà÷åíèè ýíåðãèè. Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè (EN − E)−2 çäåñü è â (14.2.14), ïîëó÷àåì:

z z

δEN = − d 3 x d 3 y u N (x) ∑ *À (x, y; EN ) u N (y) .

(14.2.17)

Ôóíêöèè uN ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ íîðìèðîâêè (14.1.8), òàê ÷òî âñå ýòî âåñüìà ïîõîæå íà îáû÷íóþ òåîðèþ âîçìóùåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñ çàìåíîé â ãàìèëüòîíèàíå îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ íà −∑*.  îáùåì ñëó÷àå δEN îêàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì. Ýòî åñòü ñëåäñòâèå íåñòàáèëüíîñòè àòîìíûõ óðîâíåé ýíåðãèè ïî îòíîøåíèþ ê ðàäèàöèîííûì ïåðåõîäàì íà íèæíèå óðîâíè.  ãë. 3 ìû âèäåëè, ÷òî íåñòàáèëüíîå ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé Å è âåðîÿòíîñòüþ ðàñïàäà Γ ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ïîëþñîâ â ðàçíûõ àìïëèòóäàõ ïðè êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè E − iΓ/2. Ìíèìàÿ ÷àñòü (14.2.17) ðàâíà ïî ýòîé ïðè÷èíå −Γ/2, à äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåò ñäâèã ýíåðãèè. Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû äëÿ ∑* ïîêàçàíû íà ðèñ. 14.1. (Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî çäåñü ïîÿâèëèñü íîâûå ôîòîííûå äèàãðàììû−ãîëîâàñòèêè, ïîñêîëüêó ïðèñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ íàðóøàåò ëîðåíö−èíâàðèàíòíîñòü è èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ, çàïðåùàþùèå ïîäîáíûå äèàãðàììû â îáû÷íûõ ïðàâèëàõ Ôåéíìàíà.) Ñ ïîìîùüþ ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëó÷àåì âêëàä ýòèõ äèàãðàìì â âèäå

i ∑ *À (x, y) = [eγ µ ][− iSÀ (x, y)][eγ µ ][ − iD(x − y)] −[eγ µ δ 4 (x − y)] d 4 z [ − iD(x − z)] Tr{[ − iSÀ (z, z)][eγ µ ]}

z

− i(Z2 − 1)( γ µ ∂ µ + m)δ 4 (x − y) + iδmδ 4 (x − y)

(14. 2. 18)

+ eγ µ (Z2 − 1)δ 4 (x − y) Àµ (x) + i(Z3 − 1)[eγ µ ] δ 4 (x − y) d 4 z [− iD(x − z)] ∂ ν (∂ ν À µ (z) − ∂ µ À ν (z)) ,

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.2. Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè âî âíåøíèõ ïîëÿõ

779

Ðèñ. 14.1. Ôåéíìàíîâñêèå äèàãðàììû íèçøåãî ïîðÿäêà äëÿ ýëåêòðîííîé ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèè ∑*A (x, y) â ïðèñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ. Äâîéíûå ïðÿìûå ëèíèè èçîáðàæàþò ïðîïàãàòîð âî âíåøíåì ïîëå SA; îäèíî÷íûå ïðÿìûå ëèíèè — âõîäÿùèå è âûõîäÿùèå ýëåêòðîííûå ëèíèè; âîëíèñòûå ëèíèè — âèðòóàëüíûå ôîòîíû; êðåñòèêàìè èçîáðàæåíû ïåðåíîðìèðîâî÷íûå êîíòð÷ëåíû

ãäå ïåðåíîðìèðîâî÷íûå êîíñòàíòû (Z2 − 1), (Z3 − 1) è δm âû÷èñëåíû âî âòîðîì ïîðÿäêå ïî å. (Çíàê «ìèíóñ» âî âòîðîì ñëàãàåìîì ïðèâû÷íî ñîïðîâîæäàåò âêëàä çàìêíóòîé ôåðìèîííîé ïåòëè.)  ñëó÷àå ñèëüíûõ âíåøíèõ ïîëåé ñ Zα ïîðÿäêà åäèíèöû, íåîáõîäèìû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà SÀ â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå è èíòåãðàëîâ â (14.2.17) è (14.2.18).4 Îäíàêî äëÿ ñëàáûõ ïîëåé ìîæíî ïîäñòàâèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ ñëàãàåìûõ ðÿäà (14.2.1) â (14.2.18) è âû÷èñëèòü ýòè èíòåãðàëû â çàìêíóòîì âèäå. Óäîáíåå ðàáîòàòü â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, îïðåäåëèâ

SÀ (x, y) = (2π) −4 d 4p ′d 4 p e ip′⋅x e − ip⋅ ySÀ (p ′, p) ,

z

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.2.19)

780

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

∑ *À (x, y) = (2π) −4 d 4p ′d 4 p e ip′⋅x e − ip⋅ y ∑ *À (p ′, p) ,

(14.2.20)

u N (x) = (2π) −3/2 d 3 p e ip⋅x u N (p) ,

(14.2.21)

z

z

À µ (x) =

z

d 4 q e iq ⋅x À µ (q ) .

(14.2.22)

(Ìû äîïóñêàåì çäåñü íåêîòîðóþ íåêîððåêòíîñòü, èñïîëüçóÿ îäèí è òîò æå ñèìâîë äëÿ ôóíêöèè è åå ôóðüå-îáðàçà, ïîëàãàÿ, ÷òî ÿâíîå óêàçàíèå àðãóìåíòà ïîçâîëÿåò ðàçîáðàòüñÿ, ÷òî åñòü ÷òî.) Âûðàæåíèÿ (14.2.1) è (14.2.18) ïðèíèìàþò âèä

− ip/ + m p + m 2 − iε

SÀ (p ′, p) =

2

− ie

∑ *À (p ′, p) =

ie2 (2π) 4

(14.2.23) − ip/ ′ + m − ip + m + ... À/ (p ′ − p) 2 / 2 2 p + m − iε p + m − iε

′2

4

XY d k γ Z k − iε 2

µ

S À ( p ′ − k, p − k ) γ µ

+[ −(Z2 − 1)]( ip/ + m) + Z2δm ]δ 4 (p ′ − p) − ie(Z2 − 1) À/ (p ′ − p) −

ie2 γ µ 1 d 4 q Tr{SÀ (q , q + p ′ − p) γ µ } 4 (2π) (p − p ′)2 − iε

+

ie(Z3 − 1) (p − p ′)2 À/ (p ′ − p) − (p/ − p/ ′)(p − p ′) ⋅ À (p ′ − p) . 2 ′ (p − p ) − iε

z

(14.2.24)

Ïîñêîëüêó âíåøíåå ïîëå íå çàâèñèò îò âðåìåíè, SÀ (x,y) è ∑À ìîãóò çàâèñåòü îò x0 è y0 òîëüêî ÷åðåç ðàçíîñòü x0 − y0, òàê ÷òî SÀ (p′,p) è ∑À*(p′,p), à òàêæå À µ (p′ − p) äîëæíû áûòü ïðîïîðöèîíàëüíû δ(p′0 − p0): *(x,y)

À µ (p ′ − p) = δ(p ′ 0 − p0 ) À µ (p ′ − p) ,

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.2.25)

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

781

SÀ (p ′, p) = δ(p ′ 0 − p0 )SÀ (p ′, p; p0 ) ,

(14.2.26)

∑ *À (p ′, p) = δ(p ′ 0 − p0 ) ∑ *À (p ′, p; p0 ) .

(14.2.27)

Ñäâèã ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ èç (14.2.17) è (14.2.13) â âèäå:

z z

δEN = − d 3p ′ d 3 p u N (p ′) ∑ *À (p ′, p; EN ) u N (p) ,

(14.2.28)

ãäå ∑À*(p′,p; EN) äàåòñÿ ôîðìóëàìè (14.2.23), (14.2.24) è (14.2.27). Ýòî ðàáî÷àÿ ôîðìóëà, êîòîðóþ ìû èñïîëüçóåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå äëÿ ðàñ÷åòà ýíåðãåòè÷åñêèõ ñäâèãîâ â ñëàáûõ âíåøíèõ ïîëÿõ. 14.3 Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ Ðàññìîòðèì ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè íåðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíà â ïðîèçâîëüíîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå, íàïðèìåð, â êóëîíîâñêîì ïîëå ëåãêîãî ÿäðà ñ Zα n 1.  ýòîì ïðåäåëå åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êóëîíîâñêîå ïîëå êàê ìàëîå âîçìóùåíèå, íî, êàê ìû óâèäèì, ýòî ïðèâîäèò ê èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòè, ñâÿçàííîé ñ òîé, êîòîðàÿ îáñóæäàëàñü â ðàçäåëå 11.3. Íà ñàìîì äåëå, èíôðàêðàñíàÿ ðàñõîäèìîñòü ôèêòèâíà, ïîñêîëüêó 4èìïóëüñû ð,EN è p′,EN íå ëåæàò íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè ýëåêòðîíà, òåì íå ìåíåå, íàì íóæíî áûòü âíèìàòåëüíûìè. Îáû÷íî çàäà÷ó ðåøàþò, ðàçáèâ èíòåãðàë ïî ýíåðãèÿì âèðòóàëüíîãî ôîòîíà íà îáëàñòü íèçêèõ ýíåðãèé, ãäå ýëåêòðîíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåðåëÿòèâèñòñêè, íî ó÷èòûâàòü âêëàäû âñåõ ïîðÿäêîâ ïî âíåøíåìó ïîëþ, è îáëàñòü âûñîêèõ ýíåðãèé, ãäå ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ðåëÿòèâèñòñêèå ýôôåêòû, íî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî âêëàäîì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âíåøíåìó ïîëþ. Ìû ïîñòóïèì èíà÷å è ââåäåì ôèêòèâíóþ ìàññó ôîòîíà µ, âûáðàâ åå ìíîãî áîëüøåé, ÷åì òèïè÷íûå êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ýëåêòðîíà, íî ìíîãî ìåíüøåé òèïè÷íûõ èìïóëüñîâ ýëåêòðîíà.  ñëó÷àå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ ýòî ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ:

(Zα)2 me n µ n Zαme .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.3.1)

782

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

Çàïèøåì ôîòîííûé ïðîïàãàòîð â ïåðâûõ äâóõ ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (14.2.24) (âêëþ÷àÿ âûðàæåíèÿ äëÿ êîíòð÷ëåíîâ Z2 − 1 è Z2δm) â âèäå:

LM N

OP LM Q N

OP Q

1 1 1 1 = 2 + 2 − 2 . 2 k − iε k + µ − iε k − iε k + µ 2 − iε 2

(14.3.2)

Ñäâèã ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ñóììîé äâóõ ñëàãàåìûõ, îòâå÷àþùèõ «âûñîêèì ýíåðãèÿì» è «íèçêèì ýíåðãèÿì». Ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå âûñîêèì ýíåðãèÿì, âû÷èñëÿåòñÿ ïóòåì ïîäñòàíîâêè ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ôîòîííîì ïðîïàãàòîðå (14.3.2) â òðè ïåðâûõ ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè (14.2.24) è ïðèáàâëåíèÿ ðåçóëüòàòà ê äâóì ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì â (14.2.24) (îòâå÷àþùèì ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà), êîòîðûå â ëþáîì ñëó÷àå íå ñîäåðæàò èíôðàêðàñíîé ðàñõîäèìîñòè. Ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå íèçêèì ýíåðãèÿì, âû÷èñëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé âòîðîãî ñëàãàåìîãî èç (14.3.2) â òðè ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â (14.2.24). Îäíèì èç ïðåèìóùåñòâ òàêîé ïðîöåäóðû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî óäàåòñÿ íåïîñðåäñòâåíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè ðåëÿòèâèñòñêèõ âû÷èñëåíèé èç ðàçäåëîâ 11.3 è 11.4, íå çàíèìàÿñü äîâîëüíî çàïóòàííûì ïåðåõîäîì îò ìàññû ôîòîíà ê èíôðàêðàñíîìó îáðåçàíèþ ïî ýíåðãèè. Êîíå÷íî, â êîíöå âû÷èñëåíèé ìû äîëæíû óáåäèòüñÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü îò ìàññû ôîòîíà µ â ñëàãàåìûõ, îòâå÷àþùèõ âûñîêèì è íèçêèì ýíåðãèÿì, âçàèìíî ñîêðàùàåòñÿ è ïîëíûé ñäâèã ýíåðãèè íå çàâèñèò îò µ. À. Ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå âûñîêèì ýíåðãèÿì Ïîñêîëüêó µ âûáðàíî çíà÷èòåëüíî áî1ëüøèì, ÷åì ýíåðãèè ñâÿçè â àòîìå, ìîæíî îñòàâèòü òîëüêî ñëàãàåìûå íèçøåãî ïîðÿäêà ïî âíåøíåìó ïîëþ. Îäíîïåòëåâàÿ ðàäèàöèîííàÿ ïîïðàâêà ê àòîìíûì óðîâíÿì ýíåðãèè â ïðîèçâîëüíîì íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè âíåøíåì âåêòîð-ïîòåíöèàëå À µ(x) îïðåäåëÿåòñÿ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè âûðàæåíèåì (14.2.28), ãäå ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêàÿ âñòàâêà ∑À (p′,p) äàåòñÿ ôîðìóëàìè (14.2.24) è (14.2.23). Ñëàãàåìûå íóëåâîãî ïîðÿäêà ïî âíåøíåìó ïîëþ ïðîñòî ñîêðàùàþòñÿ: ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå δm, ñîêðàùàåòñÿ ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì ïðè À = 0; ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå Z3 − 1, ñîêðàùàåòñÿ ñ òðåòüèì ñëàãàåìûì ïðè À = 0; íàêîíåö, ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå Z2 − 1, îáðàùàþòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó u(p) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

783

Äèðàêà. Ñëàãàåìîå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî À µ â ∑∗À (p′,p) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: ∑ À 1 (p ′, p) = − ieÀµ (p ′ − p)Γ1µ (p ′, p) ,

Γ1µ (p ′, p) =

X YZ k

ie 2 (2π) 4

(14.3.3)

d 4k 2

+ µ 2 − iε

LM − i(p/ ′ − k/ ) + m OP γ LM − i(p/ − k/ ) + m OP + (Z − 1) γ N (p ′ − k) + m − iε Q N (p − k) + m − iε Q X d l Tr |RSL − il/ + m O γ L − il/ − ip/ ′ + ip/ + m O γ |UV ie γ 1 − Y |TMN l + m PQ MN (l + p ′ − p) + m PQ |W (2π) (p − p ′) − iε Z

×

e

2

2

−

µ

ν 4

2

2 e

2

e 2 e

4

2

Z3 − 1 (p ′ − p) 2 − iε

µ

e

2 e

2

µ

2

(p ′ − p) 2 η µν − (p ′ − p) µ (p ′ − p) ν γ ν .

e 2 e

ν

(14.3.4)

Ñðàâíåíèå äâóõ ïåðâûõ ñëàãàåìûõ ýòîãî âûðàæåíèÿ ñ ôîðìóëàìè (11.3.1) è (11.3.8), à äâóõ ïîñëåäíèõ − ñ ôîðìóëàìè (11.3.9), (11.2.3) è (11.2.15) ïîêàçûâàåò, ÷òî Γ1µ(p′,p) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé îäíîïåòëåâîé âåðøèííîé ôóíêöèåé, âêëþ÷àþùåé ïîëÿðèçàöèþ âàêóóìà è âñå êîíòð÷ëåíû, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðîé íà ìàññîâîé îáîëî÷êå óæå áûëè âû÷èñëåíû â ðàçäåëå 11.3. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (14.2.26) è (14.2.25), ñîîòâåòñòâóþùèé âêëàä â ñäâèã ýíåðãèè (14.2.28)ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

z z

δEN ×

e

= ie d 3p ′ d 3p âûñîêèå ýíåðãèè u N (p ′)Γ1µ (p ′, EN ′ , p, EN )u N (p) Àµ (p ′

j

− p) .

(14.3.5)

(Âèä ýòîé ôîðìóëû ìîæíî áûëî áû óãàäàòü, ïðîñòî çàìåíèâ γµ â âåðøèíå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ âíåøíèì ïîëåì íà Γ1µ.) Êàê îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 14.1, â ñèëó íåðàâåíñòâà Zα n 1 ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü äèðàêîâñêóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ uN â (14.3.5) âûðàæåíèåì:

u N (p)

α

=

∑ uα (p, σ) fN (p) σ , σ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.3.6)

784

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

ãäå fN åñòü íåðåëÿòèâèñòñêàÿ äâóõêîìïîíåíòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà âî âíåøíåì êóëîíîâñêîì ïîëå, à u(p,σ) − ÷åòûðåõêîìïîíåíòíîå íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå:

iγ µ p µ + me u(p, σ) = 0 ,

(14.3.7)

ñîîòâåòñòâóþùåå z-êîìïîíåíòå ñïèíà σ. Òàê êàê uN(p) ïðèáëèæåííî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Äèðàêà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, òî îáùàÿ ôîðìà ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà Γ1µ äàåòñÿ ôîðìóëîé (10.6.15):

u M (p ′) γ µ + Γ1µ (p ′, p) u N (p)

LM N

= u M (p ′) γ µ F1 (q 2 ) +

1 2

OP Q

γ µ , γ ν q ν F2 (q 2 ) u N (p),

(14.3.8)

ãäå q ≡ p′ − p. Âîëíîâûå ôóíêöèè uN(p) î÷åíü áûñòðî óáûâàþò ïðè |p| . Zαme, òàê ÷òî íóæíû òîëüêî âûðàæåíèÿ äëÿ F1(q2) è F2(q2) â ïðåäåëå q2 n me2.  ýòîì ïðåäåëå ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (11.3.31), (10.6.18) è (11.3.16) èìååì:

F1 (q 2 ) g 1 +

FG IJ LMlnFG µ IJ + 2 + 3 OP , H K N H m K 5 4Q

e2 q2 24π 2 me2

F2 (q 2 ) g

2

2 e

e2 . 16me π 2

(14.3.9)

(14.3.10)

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âêëàä ñëàãàåìîãî F1 â ôîðìóëå (14.3.8), ïîñêîëüêó èìåííî îíî ïðèâîäèò ê ñàìîìó áîëüøîìó âêëàäó â ñäâèã óðîâíåé ýíåðãèè è, êðîìå òîãî, ïðè åãî âû÷èñëåíèè âîçíèêàþò íàèáîëåå èíòåðåñíûå ïðîáëåìû.  ñëó÷àå ÷èñòî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, êîãäà À = 0, èç ôîðìóë (14.3.5), (14.3.8) è (14.3.9) ïîëó÷àåì:

δEN

F1

=−

z z

LM F I OP G J N H K Q (p ′)c − ieÀ (p ′ − p)hγ (p ′ − p) u

µ2 e2 2 3 + + ln 2 2 2 5 4 me 24π me

× d3p′ d3p u N

0

0

2

(14.3.11) N (p) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

785

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî âêëàäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãëàâíîå ñëàãàåìîå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå (14.1.41), òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå èìååì

δEN

F1

=−

LM F I N GH JK

µ2 e2 2 3 + + ln 2 2 2 5 4 me 24π me

OP Q

z z

× d 3p ′ d 3 p fN† (p ′)eÀ 0 (p ′ − p)(p ′ − p)2 fN (p)

(14.3.12)

èëè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè

δEN

F1

=

LM F I N GH JK

e2 µ2 2 3 + + ln 2 2 2 5 4 me 24π me

OP Q

z

d 3xfN† (x) e∇2 À 0 (x) fN (x) . (14.3.13)

 ÷àñòíîñòè, äëÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà (14.1.2) èìååì: e∇2À 0(x) = −Ze2δ3(x), èíäåêñ N âêëþ÷àåò ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî n è êâàíòîâûå ÷èñëà óãëîâîãî ìîìåíòà j, m, l, à èç ôîðìóëû (11.2.41) èìååì: [fnjml(0)]σ = 2(Zαme/n3)3/2δl,0δσ,m/√4π. Ñîîòâåòñòâåííî ñäâèã ýíåðãèè (14.3.11) ïðèíèìàåò âèä:

δE jnl

F1

=−

LM F I N GH JK

OP Q

µ2 2Z 4α 5 me 2 3 + + δ . ln 3 2 5 4 l,0 me 3πn

(14.3.14)

(Îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè δE îò z-êîìïîíåíòû m ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà ãàðàíòèðóåòñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé.) Ñëàãàåìîå 2/5 â ñêîáêàõ â (14.3.12) è (14.3.13) âîçíèêàåò çà ñ÷åò ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà è äàåò òó æå âåëè÷èíó ñäâèãà, êîòîðàÿ áûëà âû÷èñëåíà â ðàçäåëå 11.2 ñ ïîìîùüþ ñêîðåå ýâðèñòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê âû÷èñëåíèþ ìàãíèòíîãî è íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî âêëàäîâ â ñäâèã ýíåðãèè, ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ óæå íàéäåííîãî ðåçóëüòàòà ìîæíî áåç âñÿêîé äàëüíåéøåé ðàáîòû ïîëó÷èòü õîðîøóþ îöåíêó ëýìáîâñêîãî ñäâèãà ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå ñëàãàåìûå áóäóò ñîäåðæàòü ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé ln(µ/B), ñ òàêèì êîýôôèöèåíòîì, ÷òîáû ñîêðàòèòü çàâèñèìîñòü îò µ â (14.3.12). Êîíñòàíòà  åñòü ýíåðãèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ îáåçðàçìåðèâàíèÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

786

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

àðãóìåíòà ëîãàðèôìà. Ïîñêîëüêó èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå â êîíöå êîíöîâ îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé ñâÿçè ýëåêòðîíà â àòîìå, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî  ðàâíà òèïè÷íîé ýíåðãèè ñâÿçè, ò. å.  g (Zα)2me. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ñäâèã ýíåðãèè â ñîñòîÿíèè N ñ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì n è îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì l ðàâåí:

δEN = −

2Z 4α 5me ln Z 4α 4 δ l,0 + O(1) . 3 3πn

c

h

(14.3.15)

Äëÿ 2s ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà îäíî òîëüêî ëîãàðèôìè÷åñêîå ñëàãàåìîå äàåò

δE2s g −

α 5 me ln(α 4 ) = 5,5 × 10 −6 ýÂ = 1300 ÌÃö × 2πh. 12π

Êàê ìû óâèäèì, ñëàãàåìûå Î(1) óìåíüøàþò ïîëíûé ñäâèã ýíåðãèè ïðèìåðíî íà 25 %. Ðàññìîòðèì òåïåðü âêëàä ñëàãàåìîãî F2 â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò µ Γ1 . Êàê ìû âèäåëè â ðàçäåëå 10.6, ýòî ñëàãàåìîå ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàäèàöèîííóþ ïîïðàâêó ê ìàãíèòíîìó ìîìåíòó ýëåêòðîíà. Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (14.3.10), (14.3.8) è (14.3.6) â (14.3.5), íàõîäèì, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå ïðèâîäèò ê ñäâèãó ýíåðãèè:

δEN

F2

=−

e2 32π 2 me

z z

d 3p ′ d 3 p u N (p ′) γ µ , γ ν u N (p)

d

i (14.3.16)

× eÀµ (p ′ − p)(p ′ − p) ν , èëè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè δEN

F2

=

ie2 64π 2 m e

z

d 3 x u N (x) γ µ , γ ν u N (x) eFµν (x) , (14.3.17)

d

i

ãäå

Fµν (x) ≡ ∂ µ À ν (x) − ∂ ν Àµ (x).

(14.3.18)

 ñëó÷àå ÷èñòî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, êîãäà À = 0, ýòîò ñäâèã ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

δEN

F2

− ie2 32π 2m e

=

z

787

d 3 x u N (x) γ , γ 0 u N (x) ⋅ ∇ eÀ 0 (x) . (14.3.19)

d

i

 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå Zα n 1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííûé ðåçóëüòàò (14.1.43), êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä: i ( u N [ γ 0 , γ ]u N ) g [(∇fN† ⋅ σ σfN ) + ( fN† σ σ ⋅ ∇fN )] me

=

(14.3.20) i [∇( fN† fN ) − i(∇fN† × σ ) fN − ifN† (σ × ∇fN )] . me

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (14.3.19) è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàõîäèì, ÷òî ýòîò âêëàä â ñäâèã ýíåðãèè äàåòñÿ ôîðìóëîé

δEN

F2

=

e2 32π 2me2

z

d 3 x −| fN (x)|2 ∇2 (eÀ 0 (x))

+ 2ifN† (x) σ ⋅ ∇(eÀ0 (x) × ∇fN (x) .

c

h

(14.3.21)

Ñîáèðàÿ âìåñòå âûðàæåíèÿ (14.3.12) è (14.3.21), ïîëó÷àåì ïîëíûé îòâå÷àþùèé âûñîêèì ýíåðãèÿì âêëàä â ñäâèã ýíåðãèè â ïðîèçâîëüíîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîòåíöèàëå À 0:

δEN

âûñîêèå ýíåðãèè

=

LM F I OP N GH JK Q

µ2 e2 2 + ln 2 2 2 5 me 24π me ie2 + 16π 2 me2

z

3

d x

z

d 3 x fN† (x)[e∇2 À0 (x)] fN (x)

fN† (x) σ

(14.3.22)

⋅ ∇(eÀ (x) × ∇fN (x) .

c

0

h

Á. Ñëàãàåìîå, îòâå÷àþùåå íèçêèì ýíåðãèÿì Íèçêîýíåðãåòè÷åñêèé âêëàä â ñäâèã ýíåðãèè ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâûõ òðåõ ñëàãàåìûõ â (14.2.24) ïîñëå ïîäñòàíîâêè

1 1 1 . → 2 − 2 k − iε k − iε k + µ 2 − iε 2

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.3.23)

788

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

â ôîòîííîì ïðîïàãàòîðå. Ýòà ïîäñòàíîâêà ïî ñóùåñòâó ñëóæèò äëÿ îáðåçàíèÿ èíòåãðàëà ïî êîìïîíåíòàì 4-èìïóëüñà ôîòîíà k íà âåëè÷èíàõ ïîðÿäêà µ, íî ýòî íåâîçìîæíî óâèäåòü, ïîêà àêêóðàòíî íå ó÷òåíà ïåðåíîðìèðîâêà ìàññû, òàê ÷òî äî ýòîãî ìîìåíòà ìû âîçäåðæèìñÿ îò ëþáûõ íåðåëÿòèâèñòñêèõ ïðèáëèæåíèé. Êðîìå òîãî, ñåé÷àñ ìû ó÷èòûâàåì èìïóëüñû ôîòîíîâ òîãî æå ïîðÿäêà èëè ìåíüøå, ÷åì ýíåðãèè ñâÿçè àòîìíûõ ñîñòîÿíèé, òàê ÷òî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü îòâåòñòâåííûå çà ýòó ñâÿçü ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû âî âñåõ ïîðÿäêàõ. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ðàáîòàòü ñ ôîðìóëîé (14.2.24) èìïóëüñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, óäîáíî âåðíóòüñÿ ê ôîðìóëå (14.2.18) êîíôèãóðàöèîííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.  ýòîì ïðåäñòàâëåíèè íèçêîýíåðãåòè÷åñêèé âêëàä â ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ýëåêòðîíà äàåòñÿ ôîðìóëîé

[∑ *À (x, y)]íèçêèå ýíåðãèè = ie2 γ ρSÀ (x, y) γ ρ D(x − y; µ) + δme (µ)δ 4 (x − y) − (Z2 (µ) − 1) γ µ [∂ µ + ieÀµ ] + me δ 4 (x − y) ,

d

i

(14.3.24)

ãäå D(x − y; µ) — ìîäèôèöèðîâàííûé ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, D(x − y; µ) =

1 (2π) 4

XY d ke Z 4

ik ⋅( x − y)

LM Nk

2

OP Q

1 1 , (14.3.25) − 2 − iε k + µ 2 − i ε

à êîíòð÷ëåíû Z2(µ) − 1 è δm(µ) âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìîäèôèöèðîâàííîãî ïðîïàãàòîðà. Ïåðåõîäÿ îò âðåìåííî1é ïåðåìåííîé ê ýíåðãåòè÷åñêîé, íàõîäèì, ÷òî íèçêîýíåðãåòè÷åñêèé âêëàä â ôóíêöèþ (14.2.13) åñòü

[∑ *À (x, y; E)]íèçêèå ýíåðãèè = ×

LM Nk

2

ie2 (2π) 4

1 1 − 2 − iε k + µ 2

XY d k γ S Z OP e − iε Q 4

ρ

À (x, y; E

− k0 )γ ρ

ik ⋅( x − y )

− (Z2 (µ) − 1) γ ⋅ ∇ + iγ 0 E + ieγ ν À ν + me δ 3 (x − y)

c

h

+ δme (µ) δ 3 (x − y) .

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

(14.3.26)

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

789

Ñîîòâåòñòâåííî íèçêîýíåðãåòè÷åñêèé âêëàä â ñäâèã ýíåðãèè ñîãëàñíî ôîðìóëå (14.2.17) ïðèíèìàåò âèä

z z

[δEN ]íèçêèå ýíåðãèè = − d 3x d 3 y u N (x)[∑ *À (x, y; EN )]íèçêèå ýíåðãèè u N (y) =

− ie2 (2π) 4

×

LM Nk

2

d 4k d 3 x d 3 y u N (x) γ ρSÀ (x, y; E − k 0 ) γ ρ u N (y)

z z z

OP Q

1 1 − 2 e ik ⋅(x − y) 2 − iε k + µ − iε

z

(14.3.27)

− δme (µ) d x u N (x) u N (x) . 3

Çàìåòèì, ÷òî ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå Z2(µ) − 1, âûïàëè, òàê êàê äèðàêîâñêàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ uN(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Äèðàêà (14.1.10). Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà â ïðèñóòñòâèè êóëîíîâñêîãî ïîëÿ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (14.2.15):

SÀ (x, y; E) =

∑ EMM − E M− iε − ∑ EMM + EM− iε , u (x) u (y)

M

v (x)v (y)

M

ãäå ñóììû â ïåðâîì è âòîðîì ñëàãàåìûõ áåðóòñÿ ïî âñåì îäíîýëåêòðîííûì è îäíîïîçèòðîííûì ñîñòîÿíèÿì, ñîîòâåòñòâåííî. Èíòåãðàëû ïî k0 ëåã÷å âñåãî âçÿòü, çàìêíóâ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ áîëüøèì ïîëóêðóãîì â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî, è â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè — äëÿ âòîðîãî:

X dk FG YZ H k 0

=

2

1 + µ 2 − iε

iπ k2 + µ2

F GH E

IJ FG K HE

M

IJ K

1 = m EN ± k 0 − iε 1

M

m EN + k 2 + µ 2

I J − iε K

è ïîñòóïèâ àíàëîãè÷íî, êîãäà µ çàìåíÿåòñÿ íà íóëü. Òåïåðü ñäâèã ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

790

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

[δEN ]íèçêèå ýíåðãèè = −

e2 2(2π)

F GG | k| (E H

LM MN

M

1

d 3k ∑ M

− EN + | k| − iε) 1

k 2 + µ 2 (E M − E N + k 2 + µ 2

F GH | k| (E

I J − iε) JK

(14.3.28)

1

~ ρ (k)* Γ ~ −Γ ρMN (k) MN

−

z

1

ρ (k)* ΓρMN (k) × ΓMN

−

3

M

+ EN + | k| − iε)

1

1

k 2 + µ 2 (E M + E N + k 2 + µ 2

I OP J − iε) JK PQ

− δme (µ) d 3 x u N (x) u N (x) ,

z

ãäå ρ (k ) ≡ ΓMN

~ρ (k ) ≡ ΓMN

z z

d 3 y e − ik ⋅y u M (y) γ ρ u N (y) ,

(14.3.29)

d 3 y e − ik ⋅y vM (y) γ ρvN (y) .

(14.3.30)

(Êîíå÷íî, «ñóììà» ïî Ì â (14.3.28) îçíà÷àåò âêëàäû òîëüêî îò ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â ïåðâîå ñëàãàåìîå è òîëüêî îò ïîçèòðîííûõ ñîñòîÿíèé — âî âòîðîå.) Ôîðìóëó (14.3.28) ìîæíî áûëî áû âûâåñòè áîëåå íåïîñðåäñòâåííî èç ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé: ýíåðãåòè÷åñêèå çíàìåíàòåëè EM − EN + ω è EM + EN + ω âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ ýíåðãèè EN íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ èç ýíåðãèè ïðîìåæóòî÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîäåðæàùåãî ëèáî ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé ÅÌ è ôîòîí ñ ýíåðãèåé ω, ëèáî ïîçèòðîí ñ ýíåðãèåé ÅÌ, ôîòîí ñ ýíåðãèåé ω è êàê êîíå÷íûé, òàê è íà÷àëüíûé ýëåêòðîíû (ñì. ðèñ. 14.2). Ïðåæäå ÷åì äåëàòü êàêèå-òî ïðèáëèæåíèÿ â (14.3.28), óäîáíî ~ρ ρ èΓ âûðàçèòü âðåìåííû1å êîìïîíåíòû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ΓMN MN ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû, èñïîëüçóÿ

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

791

Ðèñ. 14.2. Äèàãðàììû ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîé ÷àñòè ñäâèãà ýíåðãèè ýëåêòðîíà. Ñïëîøíûå ïðÿìûå ëèíèè èçîáðàæàþò ýëåêòðîí; âîëíèñòûå äèíèè — ôîòîí; ïóíêòèðíûå ëèíèè ïåðåñåêàþò ëèíèè ÷àñòèö ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðâûì äâóì ñëàãàåìûì ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (14.3.28)

ñîîòíîøåíèÿ *, ñëåäóþùèå èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà: 0 i k i ΓMN (k) = (EN − EM )ΓMN (k ) ,

(14. 3. 31)

~i ~0 k i ΓMN (k) = (EN + EM )ΓMN (k ) .

(14. 3. 32)

Áîëåå òîãî, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ïîëíîòû (14.1.8), ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïîêàçàòü, ÷òî

~0 0 (k)|2 +| ΓMN (k)|2 ∑ | ΓMN

=1

M

(14.3.33)

è * ×òîáû ïîëó÷èòü (14.3.31), çàìåòèì, ÷òî

z

b

i k i ΓMN (k) = − i d 3 x e − ik⋅x ∇ ⋅ u M (x) γ u N (x)

z

g

= i d 3 x e − ik⋅x ∂ 0 u M (x) γ 0 u N (x) e − i(EN − EM )x

e

j

0

x0 =0

0 (k). = (E N − E M )ΓMN

Ôîðìóëà (14.3.32) âûâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

792

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

~0 0 (k)|2 (EM − EN ) − | ΓMN (k)|2 (EM + EN ) ∑ | ΓMN M

=

∑

~ 0* ~ 0* (k) k ⋅ Γ MN (k) − ΓMN (k) k ⋅ Γ MN (k) − ΓMN

(14.3.34)

M

z

= − ik ⋅ d 3 xu N (x) γ u N (x) = 0 , ïðè÷åì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç óñëîâèÿ ÷åòíîñòè (14.1.23). Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (14.3.28) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå [δEN ]íèçêèå ýíåðãèè =

X L Y d k ∑ MM e| Γ | k| ((kE)| −−| kE ⋅ Γ+ | k(| k−)|iε/) k j =− 2(2π) Y Z N e| Γ (k)| − | k ⋅ Γ (k)| /(k + µ )j OP − k + µ (E + E + k + µ − iε) PQ X LM e| Γ~ (k)| − | k ⋅ Γ~ (k)| /k j e Y d k∑ + 2(2π) Y Z ~ MN | k| (E ~+ E + | k| − iε) e| Γ (k)| − | k ⋅ Γ (k)| /(k + µ )j OP − k + µ (E + E + k + µ − iε) PQ 1 I e X ~ (k)| F 1 − − d k∑ | Γ Y G (2π) Z H k k + µ JK 2

e2

2

MN

3

3

M

M

N

2

2

MN

2

2

M

2

2

2

M

M

N

2

2

2

2

MN

2

2

2

M

3

2

MN

MN

3

2

N

MN

3

3

2

2

MN

2

2

2

MN

0 MN

2

N

2

2

M

2

2

z

+ 1 αµ − δme (µ) d 3x u N (x) u N (x) , 2

(14.3.35)

Ïðè ïîëó÷åíèè ïðåäïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî áûë èñïîëüçîâàí ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë

X d k FG 1 YZ H k 3

2

−

1 k + µ2 2

IJ = 2µπ K

2

.

На правах рукописи. Экземпляр Л. М. Лапиной для личного пользования

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

793

Äî ñèõ ïîð âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ áûëè òî÷íûì ïåðåïèñûâàíèåì ôîðìóëû (14.3.28). Òåïåðü ñëåäóåò ñäåëàòü ðÿä ïðèáëèæåíèé. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ïåðåíîðìèðîâêó ìàññû.  ðàçäåëå 11.4 óæå áûëî âû÷èñëåíî çíà÷åíèå δme(µ) â ïîðÿäêå α. Îíî ðàâíî:

2me π 2e2 δme (µ) = (2π) 4

1

X dx (1 + x) lnFG m x + µ (1 − x) IJ . YZ H mx K 2 2 e

2

2 2 e

0

(14.3.36)

Õîòÿ â ðàçäåëå 11.4 âåëè÷èíà µ ðàññìàòðèâàëàñü êàê ðåãóëÿðèçóþùàÿ ìàññà, êîòîðóþ ñëåäîâàëî ñ÷èòàòü ìíîãî áîëüøåé ÷åì me, âûðàæåíèå (14.3.36) ìîæíî ñ òåì æå óñïåõîì èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ δme(µ) â èíòåðåñóþùåì íàñ ñåé÷àñ ñëó÷àå µ n me.  ýòîì ïðåäåëå ôîðìóëà (14.3.36) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ:

δme (µ) →

3µ αµ 1− +... . 2 2πme

LM N

OP Q

(14.3.37)

Íàïîìíèì, ÷òî ïðè Zα n ôóíêöèÿ uN(x) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (14.1.37):

u N (x) =

LM(1 − σ ⋅ v 2 + . . . ) f (x)OP , 2 N(1 + σ ⋅ v 2 + . . . ) f (x)Q

1

N

(14.3.38)

N

ãäå òî÷êè îòìå÷àþò ñëàãàåìûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî Zα, v − íåðåëÿòèâèñòñêèé îïåðàòîð ñêîðîñòè −i∇/me, à fN(x) − äâóõêîìïîíåíòíûé ñïèíîð, ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì íåðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, íîðìèðîâàííûé ñîîòíîøåíèåì (14.1.38):

z

d 3 x | fN (x)|2 = 1 − 14 (v 2 ) NN + . . .

(14.1.39)

Îòñþäà íàõîäèì êîýôôèöèåíò ïðè δme(µ) â ïðàâîé ÷àñòè (14.3.35):

z

d 3 x u N (x) u N (x) = 1 − 21 (v 2 ) NN + . . .

(14.3.40)

Ìû ñðàçó æå âèäèì, ÷òî ãëàâíîå ñëàãàåìîå â ÷ëåíå δme(µ)∫d3xuNuN ñîêðàùàåò ñëàãàåìîå αµ/2 â ïðàâîé ÷àñòè (14.3.35). Íà ñàìîì äåëå,

794

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

òàêîå ñîêðàùåíèå ìîæíî áûëî ïðåäâèäåòü, ïîñêîëüêó ýòî ñëàãàåìîå âûæèâàåò â ïðåäåëå Zα → 0, à îïðåäåëåíèå me(µ) êàê ïåðåíîðìèðîâàííîé ìàññû ýëåêòðîíà òðåáóåò, ÷òîáû â ýòîì ïðåäåëå íå áûëî íèêàêîãî ñäâèãà ýíåðãèè. Ñ ïîìîùüþ òåõ æå ðàññóæäåíèé ìîæíî ïðåäâèäåòü, ÷òî ñëàãàåìîå ïîðÿäêà αµ2/me â δme(µ) (êîòîðîå áîëüøå, ÷åì ïîðÿäêà α(Zα)4me, è ïîýòîìó èì íåëüçÿ ïðîñòî ïðåíåáðå÷ü) ñîêðàùàåò èìåþùèå òîò æå ïîðÿäîê âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè (14.3.35) *. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîèçâåäåíèå ñëàãàåìîãî αµ2/me â δme ñî âòîðûì ñëàãàåìûì â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå (14.3.40) èìååò ïîðÿäîê * Óáåäèòüñÿ â ýòîì ñîêðàùåíèè ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìû èñõîäèì èç òîãî, ÷òî âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè (14.3.35) äîñòàòî÷íî ìàëû, òàê ÷òî èõ ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíî íåðåëÿòèâèñòñêîãî ïðèáëèæåíèÿ βuN(x) = uN(x) â óðàâíåíèè Äèðàêà, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò uN(x). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîòÿ è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êóëîíîâñêîé ñèëîé â ïîçèòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ vM(x), ñóììà ïî Ì â òðåòüåì ñëàãàåìîì ñîäåðæèò ñóùåñòâåííûé âêëàä îò ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîçèòðîíîâ, òàê ÷òî ìû èñïîëüçóåì ïðèáëèæåíèå vp,σ(x) g (2π)-3/2v(p,σ)ei p⋅x, ãäå v(p,σ) − ââåäåííûé â ðàçäåëå 5.5 ïîçèòðîííûé ñïèíîð, íîðìèðîâàííûé óñëîâèåìv(p,σ′)v(p,σ) = δσ′σ. Òàêèì îáðàçîì, ñóììû ïî Ì âî âòîðîì è òðåòüåì ñëàãàåìûõ â (14.3.35) äàþòñÿ ñëåäóþùèìè ïðèáëèæåííûìè ôîðìóëàìè: 1 2

LM∑ Γ~ N

i* j MN (k)ΓMN (k)

OP Q

+ ( i ↔ j) g δ ij

M

∑ | ΓMN (k)| 0

2

M

g

F GG H

k 2 + m e2 − m e 2 k 2 + m e2

F GG H

k 2 + m e2 + m e 2 k 2 + m e2

I JJ , K

I JJ . K

 ãëàâíîì ïîðÿäêå ïî µ/me äëÿ ýòèõ ñëàãàåìûõ èìååì ñîîòâåòñòâåííî

X LM 2 (3 − k / (k + µ )) OP F k + m + m I αµ Y d k Mk − GG JJ g 4πm P 4m (2π) Y k m 2 + µ k + H K Z N Q X d k F 1 − 1 I FG k + m − m IJ g − αµ . e − Y GH k k + µ JK G 2 k + m J πm 2(2π) Z H K e2

2

2

2

2

2 e

3

3

2

e

2

2

2

2

2 e

3

3

2

2

(ïðîäîëæåíèå ñíîñêè íà ñ. 795)

2

2

e

2 e

e

2 e

2

e

2

, e

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

795

(Zα)2αµ2/me n α(Zα)4me, è ïîýòîìó èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åäèíñòâåííûé îñòàþùèéñÿ â ïîðÿäêå α(Zα)4me âêëàä îò ïåðåíîðìèðîâêè ìàññû − ýòî ïðîèçâåäåíèå ñòàðøåãî ñëàãàåìîãî â δme(µ) ñî ñëàãàåìûì ïîðÿäêà (Zα)2 â ∫d3xuNuN:

−

LM e µ OP L− 1 (v ) O = e µ (v ) PQ 16π N 8π Q MN 2 2

2

2

2

NN

NN

.

(Ýòî îòìå÷åííîå â ðàçäåëå 1.3 âëèÿíèå ïåðåíîðìèðîâêè ìàññû íà êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíà.) Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â òî÷íîñòè ðàâíî âçÿòîìó ñ îáðàòíûì çíàêîì ïåðâîìó ñëàãàåìîìó â (14.3.35), åñëè â íåì ïðåíåáðå÷ü ðàçíèöåé ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë â ýòîì ñëàãàåìîì ýôôåêòèâíî îáðåçàåòñÿ íà çíà÷åíèÿõ |k| f µ n Zαme, ïîýòîìó ìîæíî âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ΓMN(k) â ïðåäåëå k → 0.  íèçøåì ïîðÿäêå ïî Zα èç ñîîòíîøåíèÿ (14.2.32) íàõîäèì: Γ MN (0) = (v) MN ,

(14.3.41)

è, èñïîëüçóÿ ïîëíîòó ðåøåíèé fN íåðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, èìååì: j i* (k)ΓMN (k) g (v i v j ) NN , ∑ ΓMN M

(14.3.42)

òàê ÷òî â ýòîì ïîðÿäêå

* (Ñîîòíîøåíèå (14.3.32) èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü òîãî, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà ê ïîñëåäíåìó âûðàæåíèþ ìîãëà áû íå áûòü ïîäàâëåííîé ìíîæèòåëåì k2/me2, âîçíèêàþùèì â ñàìîì âûðàæåíèè ïðè |k|2 n me2.) Óêàçàííûå äâà ñëàãàåìûõ ñîêðàùàþòñÿ ñî ñëàãàåìûì +3µ2/4πme â ÷ëåíå −δme(µ)∫d3xuN(x)uN(x). Íàêîíåö çàìåòèì, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèå ïîïðàâêè ê óêàçàííûì âûøå ïðèáëèæåííûì îöåíêàì ñóìì ïî ñîñòîÿíèÿì ïîçèòðîíîâ âêëþ÷àëè áû äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè ïîðÿäêà v2/c2 d (Zα)2, ÷òî äàâàëî áû âêëàäû ïîðÿäêà α(Zα)2µ2/me2 n α(Zα)4me. Ýòèì îïðàâäûâàåòñÿ èñïîëüçîâàííîå çäåñü íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå.

796

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

X d k LM c| Γ (k)| −| k ⋅ Γ (k)| /k h YY ∑ M k Z N c| Γ (k)| − | k ⋅ Γ (k)| /(k + µ )h OP − k +µ PQ X L 2 − c1 − k 3(k + µ )h OP e g− (v ) Y d k M YZ MN 3k k +µ 2(2π) PQ −

e2 2(2π)3

2

MN

3

2

2

M

2

MN

2

MN

2

2

2

3

2

2

2

2

=−

2

MN

2

2

3

NN

2

2

2

e2 µ 2 (v ) NN . 16π

Ñëåäîâàòåëüíî ïîñëå ïåðåíîðìèðîâêè ìàññû ó íàñ îñòàåòñÿ òîëüêî ïåðâîå ñëàãàåìîå â (14.3.35) ìèíóñ òàêîå æå ñëàãàåìîå ñ îòáðîøåííîé ðàçíîñòüþ ýíåðãèé EN − EM:

[δEN ]íèçêèå ýíåðãèè =

e2 2(2π)3

XY d k∑ (E Z 3

− EN )

M

M

L c| Γ (k)| −| k ⋅ Γ (k)| /k h ×M MN k (E − E + | k| − iε) c| Γ (k)| − | k ⋅ Γ (k)| /(k + µ )h OP . − (k + µ )(E − E + k + µ − iε) PQ MN 2

2

M

2

N

MN

M

2

MN

2

MN

2

2

2

2

N

2

(14.3.43)

2

2

Ñíîâà èñïîëüçóÿ (14.3.41), íàõîäèì:

[δEN ]íèçêèå ýíåðãèè = × −

e2 2(2π)3

∑ (EM − EN ) | v MN |2 M

X d k LM YZ N 3k (E 3

2

M

2 − EN + | k| − iε)

1 − k 2 3(k 2 + µ 2 ) (k 2 + µ 2 )(EM − EN + k 2 + µ 2

OP . − iε) PQ

(14.3.44)

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

797

Äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî òèïè÷íûå çíà÷åíèÿ èìïóëüñà ýëåêòðîíà ìíîãî áîëüøå òèïè÷íûõ àòîìíûõ ðàçíîñòåé ýíåðãèè, ýòî íåâåðíî äëÿ òèïè÷íûõ çíà÷åíèé |k| â äàííîì èíòåãðàëå, ïîñêîëüêó îí áûë áû èíôðàêðàñíî ðàñõîäÿùèìñÿ, åñëè íå óäåðæèâàòü ðàçíîñòü EN − EM â çíàìåíàòåëÿõ.  ïðåäåëå µ . |EM − EN| f (Zα)2me èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü, ðàçáèâ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî |k| íà äâà ñåãìåíòà: îò íóëÿ äî λ è îò λ äî áåñêîíå÷íîñòè, ãäå â îñòàëüíîì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå λ âûáðàíî òàê, ÷òîáû |EM − EN| n λ n µ. Òàêèì îáðàçîì,

X YZ

∞

0

k 2dk

LM N 3k (E 2

2 − E N + k − iε )

M

OP (k + µ )(E − E + k + µ − iε) PQ µ 2L F I + 5 + iπθ(E − E )OP . g M ln G 3 N H 2| E − E | JK 6 Q 1 − k 2 3(k 2 + µ 2 )

−

2

2

M

N

2

N

M

2

M

N

Ìíèìàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ îòðàæàåò âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà àòîìà èç ñîñòîÿíèÿ N â ñîñòîÿíèå Ì ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé. Ýòî ñëàãàåìîå äàåò âêëàä â âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà, ðàâíóþ ìíèìîé ÷àñòè ñäâèãà ýíåðãèè. Íàñ æå èíòåðåñóåò äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ñäâèãà ýíåðãèè, òàê ÷òî â äàëüíåéøåì ìû îïóñòèì ìíèìóþ ÷àñòü. Òîãäà èç ôîðìóëû (14.3.44) ñëåäóåò

[δEN ]íèçêèå ýíåðãèè =

e2 6π 2

L F

µ

I 5O

∑ (EM − EN )| v MN |2 MNlnGH 2| EN − EM | JK + 6 PQ . M

(14.3.45) Â. Ïîëíûé ñäâèã ýíåðãèè Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó ñóììîé â ôîðìóëå (14.3.45) è îäíèì èç ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ â ñëàãàåìîì (14.3.22), îòâå÷àþùåì âûñîêèì ýíåðãèÿì. Äëÿ ýòîãî ïîñìîòðèì, ïðåæäå âñåãî, êàêîå

798

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

çíà÷åíèå èìåëà áû ñóììà â (14.3.45), åñëè áû ìû ìîãëè îòáðîñèòü ëîãàðèôì. Çàìåòèì, ÷òî (EM − EN)vNM = [v,H]NM, òàê ÷òî i i [H , v i ]MN h + vNM ∑ (EM − EN )| v MN |2 = 21 ∑ c[v i , H ]NM vMN M

M = −

1 [p i ,[p i , H ]] 2me2

c

h

NN

.

Åäèíñòâåííîå ñëàãàåìîå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ãàìèëüòîíèàíå Í, êîòîðîå íå êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì èìïóëüñà, ýòî ïîòåíöèàë −eÀ 0(x), òàê ÷òî e (EM − EN )| v MN |2 = − . ∇ 2 À 0 ( x) (14.3.46) 2 NN m 2 e M

∑

c

h

Èç âûðàæåíèé (14.3.45) è (14.3.22) ñëåäóåò, ÷òî ïðîïîðöèîíàëüíîå ln µ ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè, îòâå÷àþùåì âêëàäó âûñîêèõ ýíåðãèé, ñîêðàùàåòñÿ ñ òàêèì æå ñëàãàåìûì â âûðàæåíèè äëÿ âêëàäà íèçêèõ ýíåðãèé:

δEN = [δEN ]âûñîêèå ýíåðãèè + [δEN ]íèçêèå ýíåðãèè = =

e2 6π 2

∑ (EM M

2

LM FG m IJ + 5 − 1 OP N H 2| E − E | K 6 5 Q (x)) × pi .

− EN )| v MN |2 ln

e

N

e − σ ⋅ ∇(eÀ 0 16π 2me2

d

M

(14.3.47)

NN

Äî ýòîãî ìîìåíòà ðå÷ü øëà î ïðîèçâîëüíîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå À 0(x). Ðàññìîòðèì òåïåðü ÷àñòíûé ñëó÷àé ÷èñòî êóëîíîâñêîãî ïîëÿ:

À 0 ( x) =

Ze . | x|

(14.3.48)

 ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (14.3.46) ïðèíèìàåò âèä:

Ze2

Ze2

∑ (EM − EN )| v MN |2 = 2me2 cδ3 (x)hNN = 2me2 d fN† (0) fN (0)i . (14.3.49) M

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

799

Ýòî âûðàæåíèå íå ðàâíî íóëþ òîëüêî ïðè l = 0. Êðîìå òîãî, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì â (14.3.47) ðàâåí:

cσ ⋅ ∇(eÀ

0

(x)) × p

h

NN

= − Ze

FG 1 σ ⋅ LIJ Hr K

,

(14.3.50)

NN

÷òî íå ðàâíî íóëþ òîëüêî ïðè l ≠ 0. Ïîýòîìó â ýòîì ìåñòå ïîëåçíî ðàçäåëèòü ðàññìîòðåíèå íà äâà ñëó÷àÿ: l = 0 è l ≠ 0. a) l = 0 Óäîáíî îïðåäåëèòü ñðåäíþþ ýíåðãèþ âîçáóæäåíèÿ ∆EN:

∑ | v MN |2 (EM − EN ) ln| EM − EN | ≡ ln ∆EN ∑ | v MN |2 (EM − EN ) M

M

=

2

(14.3.51)

Ze ln ∆EN fN† (0) fN (0) . 2me2

d

i

Äëÿ s-ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà èíäåêñ N âêëþ÷àåò ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî n è z-êîìïîíåíòó ñïèíà m, à çíà÷åíèå [ fnm (0)]σ = 2(Zαme n)3/2 δ σ,m 4π , òàê ÷òî

d

fN† (0) fN (0)

1 Zαm e = n π

i FGH

IJ K

3

(14. 3. 52)

.

Ïîäñòàâëÿÿ ðàâåíñòâî(14.3.51) è (14.3.52) â (14.3.47), ïîëó÷àåì ñäâèã ýíåðãèè ýòèõ ñîñòîÿíèé:

[δE ]n ,l = 0 =

4α(Zα) 4 me me 19 ln . + 3 2 E 30 ∆ 3πn n ,l = 0

LM FG N H

IJ K

OP Q

(14.3.53)

á) l ≠ 0  ñëó÷àå íåðàâíîãî íóëþ îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ñóììà (14.3.49) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî îïðåäåëåíèå (14.3.51) íå ãîäèòñÿ. Âìåñòî ýòîãî ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ñðåäíþþ ýíåðãèþ âîçáóæäåíèÿ ∆EN ôîðìóëîé

800

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

∑

| v MN |2 (EM − EN ) ln| EM − EN | ≡

M

2(Zα) 4 me 2∆E ln 2 2 N . 3 n Z α me

FG H

IJ K

(14.3.54)

(Ïîñêîëüêó âûðàæåíèå (14.3.49) îáðàùàåòñÿ â íóëü, íå èìååò çíà÷åíèÿ, â êàêèõ åäèíèöàõ èçìåðÿåòñÿ EN − EM â (14.3.54).) Êðîìå òîãî, â ñîñòîÿíèè ñ ïîëíûì óãëîâûì ìîìåíòîì j è îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì l ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå σ⋅L ðàâíî çíàêîìîìó âûðàæåíèþ j(j+1) − l(l+1) − H, òàê ÷òî äëÿ ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà 1/r3 ðàâíî

z

d 3 r | fN |2 / r 3 =

2Z 3α 3me3 . n 3l(l + 1)(2l + 1)

(14.3.55)

Ïîäñòàâëÿÿ âñå ðåçóëüòàòû â (14.3.47), íàõîäèì, ÷òî ïðè l ≠ 0

[δE ]jnl = −

2∆E jnl 4α(Zα) 4 me ln 3πn 3 Z 2α 2 me

FG H

IJ K

LM MM N

α(Zα) 4 me j( j + 1) − l(l + 1) − + l(l + 1)(2l + 1) 2πn 3

3 4

OP PP . Q

(14.3.56)

Îñòàëîñü ëèøü âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííûìè ôîðìóëàìè, ÷òîáû íàéòè çíà÷åíèÿ ñäâèãîâ ýíåðãèè. Ñðåäíèå ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ ñëåäóåò íàõîäèòü ÷èñëåííî. Èñïîëüçóÿ íåðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà, ìîæíî ïîëó÷èòü 5: ∆E1s = 19,769266917(6) Ry, ∆E2s = 16,63934203(1) Ry, ∆E2p = 0,970429318(3) Ry, ãäå 1 Ry ≡ meα2/2 = 13,6057 ýÂ. Òîãäà èç (14.3.53) íàõîäèì:

14.3. Ëýìáîâñêèé ñäâèã â ëåãêèõ àòîìàõ

[δE ]1s = =

801

me 4α 5 m e 19 + = 3,3612 × 10 −5 ýÂ ln 3π 2∆E1s 30

LM FG N H

OP Q

(14.3.57)

OP PQ

(14.3.58)

IJ OP K Q

(14.3.59)

IJ K

= 2πh × 8127,4 ÌÃö, [δE ]2s = =

LM F MN GH

me α 5me 19 ln + = 4,2982 × 10 −6 ýÂ 6π 2 ∆E 2 s 30

IJ K

= 2πh × 1039,31 ÌÃö,

[δE ]2p1/2 =

LM F N GH

me 1 α 5 me ln − = −5,3267 × 10 −8 ýÂ 6π 2∆E2p 8

= 2πh × ( −12,88) ÌÃö.

Êëàññè÷åñêèé ëýìáîâñêèé ñäâèã − ýòî ðàçíîñòü ýíåðãèé 2s è 2p1/2 ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà, êîòîðûå áûëè áû âûðîæäåííûìè â îòñóòñòâèè ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê. Íàøè âû÷èñëåíèÿ ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòó [δE]2s − [δE]2p1/2 = 4,35152 × 10 −5 ý = 2πh × 1052,19 ÌÃö.

Ýòî ÷èñëåííî áëèçêî (õîòÿ àíàëèòè÷åñêè íå òîæäåñòâåííî) ñòàðîìó ðåçóëüòàòó Êðîëëà è Ëýìáà6 è Ôðåí÷à è Âàéñêîïôà7, êîòîðûé áûë ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ ñòàðîé òåîðèè âîçìóùåíèé. Ðàíåå â ýòîé ãëàâå ìû ãðóáî îöåíèëè ñäâèã â 1300 ÌÃö, ðàññìîòðåâ òîëüêî âêëàä âûñîêèõ ýíåðãèé â ñäâèã ýíåðãèè 2s ñîñòîÿíèÿ, ïðè÷åì èíôðàêðàñíîå îáðåçàíèå áûëî íàóãàä âûáðàíî ïîðÿäêà α2me = 2 Ry. Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî îöåíêà áûëà çàâûøåííîé, è ïðîèçîøëî ýòî ãëàâíûì îáðàçîì ïîòîìó, ÷òî ïðàâèëüíîå çíà÷åíèå ýôôåêòèâíîãî èíôðàêðàñíîãî îáðåçàíèÿ ∆E2s = 16,64 Ry çíà÷èòåëüíî áîëüøå òîãî, êîòîðîå ïðåäïîëàãàëîñü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê áûëî ðàññêàçàíî â ðàçäåëå 1.3, â 1947 ãîäó Ãàíñ Áåòå 8 ñóìåë äàòü äîñòàòî÷íî õîðîøóþ îöåíêó ëýìáîâñêîãî ñäâèãà —1040 ÌÃö, ðàññìîòðåâ òîëüêî âêëàä íèçêèõ ýíåðãèé â ñäâèã ýíåðãèè 2s ñîñòîÿíèÿ, è âûáðàâ óëüòðàôèîëåòîâîå îáðåçàíèå ðàâíûì me. (Áåòå ñäåëàë è ïåðâóþ îöåíêó ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ ∆E2s g 17,8 Ry.) Îïèñàííîå çäåñü âû÷èñëåíèå ëýìáîâñêîãî ñäâèãà áûëî îòêîððåêòèðîâàíî çà ñ÷åò âêëþ÷åíèÿ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê áîëåå

802

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

âûñîêîãî ïîðÿäêà, ó÷åòà ðàçìåðîâ ÿäðà è ýôôåêòîâ îòäà÷è.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñàìàÿ áîëüøàÿ íåîïðåäåëåííîñòü ïðîèñòåêàåò îò íåóâåðåííîñòè â çíàíèè ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî çàðÿäîâîãî ðàäèóñà rp ïðîòîíà. Äëÿ çíà÷åíèé rp = 0,862 × 10−13 ñì èëè rp = 0,805 × 10−13 ñì îäíè âû÷èñëåíèÿ 9 äàþò ëèáî 1057,87 ÌÃö, ëèáî 1057,85 ÌÃö, â òî âðåìÿ êàê äðóãèå 10 äàþò 1057,883 ÌÃö èëè 1057,865 ÌÃö. Ñ ó÷åòîì íåîïðåäåëåííîñòè â ðàäèóñå ïðîòîíà, ñîãëàñèå ñ ñîâðåìåííûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì 11 1057,845(9) ÌÃö ÿâëÿåòñÿ ïðåâîñõîäíûì. Òî÷íîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ îãðàíè÷åíà ãëàâíûì îáðàçîì åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè 2ð-óðîâíÿ àòîìà âîäîðîäà, ñîñòàâëÿþùåé f 100 ÌÃö, òàê ÷òî äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå òî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ òðóäíîé çàäà÷åé.  ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò ïðîèçîøëî âàæíî ïðîäâèæåíèå âïåðåä â èçìåðåíèÿõ ñäâèãà ýíåðãèè ñàìîãî 1s ñîñòîÿíèÿ ïóòåì ïðÿìîãî ñðàâíåíèÿ ÷àñòîòû 1s−2s ðåçîíàíñà ñ ó÷åòâåðåííûìè ÷àñòîòàìè 2s−4s è 2s−4d äâóõôîòîííûõ ðåçîíàíñîâ. Ýòè s è d ñîñòîÿíèÿ ìíîãî óæå 2ð ñîñòîÿíèÿ, òàê ÷òî ïîäîáíûå ðàçíîñòè ÷àñòîò ìîæíî èçìåðèòü áîëåå òî÷íî, ÷åì êëàññè÷åñêèé ëýìáîâñêèé ñäâèã. Íåêîòîðîå âðåìÿ êàçàëîñü, ÷òî çäåñü âîçíèêëî ïðîòèâîðå÷èå ìåæäó òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì. Ðàñ÷åòû 12,13 ïîêàçûâàëè, ÷òî ïðè ðàäèóñå ïðîòîíà rp = 0,862(11) × 10−13 ñì èëè 0,805(11) × 10−13 ñì ó÷åò ðàçìåðîâ ïðîòîíà è äðóãèå ïîïðàâêè óâåëè÷èâàþò òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñäâèãà ýíåðãèè 1s ñîñòîÿíèÿ îò ïðèâåäåííîé âûøå âåëè÷èíû 8127,4 ÌÃö äî 8173,12(6) ÌÃö èëè 8172,94(9) ÌÃö, ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ñ÷èòàëîñü, ÷òî çíà÷åíèå ïðîòîííîãî ðàäèóñà rp = 0,862(11) × 10−13 ñì ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ýòîò ðåçóëüòàò íåñêîëüêî ðàñõîäèëñÿ ñ èçìåðåííûì 13 çíà÷åíèåì 8172,86(5) ÌÃö. Îäíàêî ïîñëåäóþùèå âû÷èñëåíèÿ 14, â êîòîðûõ èñïîëüçîâàëîñü èìåííî ýòî çíà÷åíèå ðàäèóñà è áûëè ó÷òåíû ïîïðàâêè ïîðÿäêà α2(Zα)5, ïðèâåëè ê çíà÷åíèÿì ñäâèãîâ ýíåðãèè 1s, 2s è 4s ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Ïîâèäèìîìó, êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà âíîâü îäåðæàëà ïîáåäó. Çàäà÷è 1.

Ðàññìîòðèòå çàðÿæåííóþ ñêàëÿðíóþ ÷àñòèöó ìàññîé m ≠ 0, îïèñûâàåìóþ ïîëåì ϕ(x), êîòîðîå âçàèìîäåéñòâóåò òîëüêî ñ âíåøíèì íåçàâèñÿùèì îò âðåìåíè ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì Àµ(x).

803

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

Ïóñòü ΦN — ïîëíûé íàáîð íîðìèðîâàííûõ îäíîáîçîííûõ è îäíîàíòèáîçîííûõ ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèÿìè E N. Îïðåäåëèì u N (x)e − iEN t ≡ (Φ0 , ϕ(x, t)Φ N ) è vN (x)e iEN t ≡ (Φ N , ϕ(x, t)Φ0 ) , ãäå Φ0 — âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå. Ïîêàæèòå, ÷òî uN è vN îáðàçóþò âìåñòå ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé, è ïîëó÷èòå ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè uN è vN â ðàçëîæåíèè ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f(x). 2.

Ïóñòü ìû âêëþ÷èëè â òåîðèþ, îïèñàííóþ â çàäà÷å 1, ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè. Ïóñòü i∏*(x,y) — ñóììà âñåõ äèàãðàìì ñ îäíîé âõîäÿùåé è îäíîé âûõîäÿùåé ëèíèåé ñêàëÿðíîé ÷àñòèöû (èñêëþ÷àÿ êîíå÷íûå ñêàëÿðíûå ïðîïàãàòîðû) â ïîðÿäêå α. Ïîëó÷èòå ôîðìóëó äëÿ ñäâèãà ýíåðãèé EN îäíîáîçîííûõ ñîñòîÿíèé çà ñ÷åò ýòèõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê, âûðàçèâ ðåçóëüòàò ÷åðåç uN(x) è ∏*(x,y).

3.

Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçäåëà 14.3, ðàññ÷èòàéòå âåðîÿòíîñòü ðàäèàöèîííîãî ðàñïàäà 2ð ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà.

4.

Ïóñòü âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà ñ ëåãêèì ñêàëÿðíûì ïîëåì ϕ èìååò âèä gϕψ e ψ e . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàññà ñêàëÿðíîé ÷àñòèöû mϕ èìååò çíà÷åíèå â èíòåðâàëå (Zα)2me n mϕ n Zαme. Ðàññ÷èòàéòå èçìåíåíèå ýíåðãèè 1s ñîñòîÿíèÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà çà ñ÷åò òàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.

5.

Ïðîâåäèòå âû÷èñëåíèÿ çàäà÷è 4 äëÿ ñëó÷àÿ mϕ = 0.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1.

Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

2.

Ñì., íàïðèìåð: Edmonds, A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957) (åñòü ðóñ. ïåð.: Ýäìîíäñ À. Óãëîâûå ìîìåíòû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ì., ÈË, 1968); Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957).

804

Ãëàâà 14. Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ âî âíåøíèõ ïîëÿõ

3.

Ñì., íàïðèìåð: Schiff, L.I. Quantum Mechanics (McGrow-Hill, New York, 1949), Section 43 (åñòü ðóñ. ïåð.: Øèôô Ë. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì., ÈË, 1959). Îðèãèíàëüíûå ðàáîòû: Darwin, C.G., Proc. Roy. Soc. (London), A118, 654 (1928); ibid., A120, 621 (1928); Gordon, W., Z. f. Phys., 48, 11 (1928).

4.

Brown, G.E., Langer, J.S., and Schaefer, G.W., Proc. Roy. Soc. (London), A251, 92 (1959); Brown, G.E. and Mayers, D.F., Proc. Roy. Soc. (London), A251, 105 (1959); Desiderio, A.N. and Johnson, W.R., Phys. Rev., A3, 1267 (1971).

5.

Huff, R.W., Phys. Rev., 186, 1367 (1969).

6.

Kroll, N.M. and Lamb, W.E., Phys. Rev., 75, 388 (1949).

7.

French, J.B. and Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 75, 1240 (1949).

8.

Bethe, H.A., Phys. Rev., 72, 339 (1947).

9.

Sapirstein, J.R. and Yennie, D.R., in: Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita (World Scientific, Singapore, 1990), p. 575.

10. Grotch, H., Foundations of Physics, 24, 249 (1994). 11. Lundeen, S.R. and Pi pkin, F.M., Phys. Rev. Lett., 46, 232 (1981); Metrologia, 22, 9 (1986). Îáçîð ïðîáëåìû ñì.: Pi pkin, F.M., in: Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita (World Scientific, Singapore, 1990), p. 697. 12. Weitz, M., Huber, A., Schmidt-Kaler, F., Leibfried, D., and Hansch, T.W., Phys. Rev. Lett., 72, 328 (1994). 13. Weitz, M., Huber, A., Schmidt-Kaler, F., and Hansch, T.W., Phys. Rev. Lett., 68, 1120 (1992) è ññûëêà [12]. 14. Pachucki, K., Phys. Rev. Lett., 72, 3154 (1994).

Èìåííîé óêàçàòåëü Aaron, R. 636 Aharony, A. 223 Aitken, A.C. 141 Amado, R.D. 636 Anderson, C.D. 56, 58 Aramaki, S. 51 Argyres, P.C. 343 Artin E. 573 Bagger, J. 452, 721 Bailey, J. 674 Bakamijan, B. 253 Bargmann, V. 141 Belinfante, F. 451 Bethe, H. 58 Bethe, H.A. 61, 761, 804 Beyer, R.T. 51 Bhabha, H.J. 58 Bjorken, J.D. 721 Bloch, F. 59, 760 Bogoliubov, N.N. 721 Bohr, N. 55, 57, 223, 342 Born, M. 53, 55, 60, 221 Breit, G. 61, 222, 224 Brown, G.E. 804 Brown, L.M. 51, 58 Butler, C.C. 59, 222 Cao, T.Y. 51 Carlson, J.F. 58 Cartan, E. 342 Casimir,H.B.G. 451 Cassen, B. 222 Chadwick, J. 58

Chew, G.F. 60, 637 Chinowsky, W. 222 Christenson, J.H. 141, 223 Collins, J. 720 Collins, P.D.B. 637 Compton, A.H. 54 Condon, E.U. 222 Conversi, M. 58 Crichton, J.H. 253 Cronin, J.W. 141, 223 Curie-Joliot, I. 58 Dalitz, R.H. 223, 761 Dancoff, S.M. 59 Darwin, C.G. 55, 804 Davisson, C. J. 53 de Broglie, L. 53 De Witt, B. 572 de Witt, C.M. 572 Desiderio, A.N. 804 Dirac, P.A.M. 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 140, 342, 452, 572, 635, 803 Donoghue, J.F. 722 Drell, S.D. 721 Drinkwater, J.W. 61 Druhl, K. 573 Dyson, F.J. 62, 141, 223, 343, 385, 720 Eckart, C. 224 Edmonds A.R. 141, 222, 224, 342, 803

806 Ehrenfest, P. 56, 58 Einstein, A. 56 Elend, H.H. 674 Elsasser, W. 53 Epstein, S. 60 Erickson, G.W. 673, 674 Euler, H. 59, 722 Fabri, E. 223 Faddeev, L.D. 253, 572 Feenberg, E. 222, 223 Feinberg, G. 222, 722 Fermi, E. 51, 55, 57 Ferretti, B. 222 Feynman, R.P. 60, 61, 62, 503, 571, 572, 673 Fierz, M. 57, 59, 342 Fitch, V.L. 141, 223 Flanders, H. 141, 503 Fock, V.A. 57, 503 Foley, H.M. 61 Frautschi, S.C. 637, 760 Fredenhagen, K. 573 French, J.B. 61, 804 Friedman, J.I. 223 Friedman, J.J 141 Frohlich, H. 62 Froissart, M. 224 Fukuda, H. 61 Furry, W.H. 57, 635 Gaberdiel, R. 573 Gamov, G.A. 51, 55 Garwin, R. 141, 222 Gasser, J. 722 Gell-Mann, M. 222, 223, 636, 761 Georgi, H. 342 Germer, L. H. 53 Gerstein, I.S. 572 Goldberger, M.L. 221, 636, 761 Goldstone, G. 253 Gordon, W. 53, 55, 804

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Ò. 1 Goudsmit, S. 54 Green, M.B. 502 Grotch, H. 804 Haag, R. 573 Hafstad, L.R. 222 Hahn, Y. 721 Halter, J. 722 Hansch, T.W. 804 Heisenberg , W. 54 Heisenberg, W. 53, 55, 57, 58, 59, 60, 221, 721, 722 Heitler, W. 58, 62 Hepp, K. 721 Herzberg, G. 58 Heydenberg, N. 222 Hibbs, A.R. 571 Hocking, J.C. 141 Hoddeson, L. 51 Houston, W.V. 61 Howard, J.C. 636 Hubbard, J. 636 Huber, A. 804 Huff, R.W. 804 Hugenholtz, N.M. 253 Infeld, L. 60 Inoue, T. 59 Inonu, E. 140 Ito, D. 62 Jackiw, R. 572 Jackson, J.D. 636 Jammer, M. 51 Jauch, J.M. 342 Johnson, W.R. 804 Joliot, F. 58 Joos, H. 343 Jordan, P. 53, 54, 57 Jost, R. 343 Jouvet, B. 636

807

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü Julian, R.S. 61 Kabir, P. 722 Kahn, B. 62 Kamefuchi, S. 573, 721 Kanesawa, S. 62 Kemmer, N. 59 Kinoshita, T. 761 Klein, O. 53, 57, 58, 503 Koba, Z. 60, 62 Kockel, B. 59, 722 Kollath, R. 224 Kramers, H. 141 Kramers, H.A. 61, 223, 636 Kroll, M. 61 Kroll, N.M. 804 Kronig, R. 636 Kubo, R. 253 Kush, P. 61 Kallen, G. 636 Laidlaw, M.G.G. 572 Lamb, W.E. 61, 62, 804 Lande1, A. 54 Langer, J.S. 804 Lattes, C.M.G. 59 Lederman, L. 141, 222 Lee, B.W. 572 Lee, T.D. 141, 222, 253, 342, 761 Lehmann, H. 635 Leibfried, D. 804 Lein aas, J.M. 572 Leutwyler, H. 722 Lewis, H.W. 60 Li ppman, B. 221 Liu, H.H.T., 673, 674 Low, F.E. 761 Lundeen, S.R. 804 Luders, G. 343 Mackey, G.W. 140 Maskawa, T. 452

Matthews, P.T. 721 Mayers, D.F. 804 Mehra, J. 51, 55 Miller, A.I. 52, 674 Miyamoto, Y. 61 Myrheim, J. 572 Moller, C. 58, 60, 202 Nafe, J.E. 61 Nagel, D.E. 61 Nakajima, H. 452 Nappi, C.R. 343 Nash, C. 141 Nauenberg, M. 761 Neddermeyer, S.H. 58 Ne'eman, Y. 222 Nelson, E.B. 61 Newton, R.G. 221 Nishin a, Y. 58, 503 Nordheim, L. 58 Nordsieck, A. 59 Nordsieck, F. 760 Novikov, V. 722 Occhialini, G.P.S. 59 Ohnuki, Y. 573 Oppenheimer, J.R. 56, 57, 58, 59 Osterwalder, K. 572 Pachucki, K. 804 Pais, A. 52, 223 Pancini, E. 58 Parasiuk, O. 721 Pashen, F. 54 Pastern ack, S. 61 Pauli, W. 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 342, 343, 674 Peierls, R.E. 57, 223 Petermann, A. 674 Piccioni, O. 58, 223 Pi pkin, F.M. 804 Placzek, G. 223

808 Podolsky, B. 57 Polchinski, J. 722 Pomeranchuk, I.Ya. 636 Popov, V.N. 572 Present, R.S. 222 Rabi, I.I. 61 Racah, G. 58 Rarita, W. 342 Rayski, J. 674 Rechenberg, H. 58 Regge, T. 637 Retherford, R.C. 61 Richardson, O. 61 Rindani, S.D. 343 Roberts, J.E. 573 Rochester, G.D. 59, 222 Rorlich, F. 342 Rose, M.E. 141, 222, 224, 343, 803 Rosenbluth, M.N. 636 Rosenfeld, L. 57, 342, 451 Ruger, S.M. 573 Sakata, S. 59, 721 Salam, A. 721 Salpeter, E.E. 761 Sapirstein, J.R. 804 Schaefer, G.W. 804 Schiff, L.I. 54, 56, 223, 761, 804 Schmidt-Kaler, F. 804 Schrader, R. 572 Schroer, B. 343 Schrodinger, E. 53 Schubert, K.R. 223 Schur, I. 342 Schwarz, J.H. 502 Schweber, S.S. 51, 52 Schwinger, J. 52, 56, 60, 61, 221, 342, 385, 503, 572, 635, 673 Seiler, R. 343 Sen, S. 141

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Ò. 1 Shifman, M.A. 722 Sivakumar, M. 343 Slater, J.C. 55 Sommerfeld, A. 54 Spaarn ay, M.J. 451 Steinberger, J. 222 Sterman, G. 761 Stevenson, E.C. 58 Stoner, E.C. 55 Stratonovich, R.I. 636 Streater, R.F. 343 Street, J.C. 58 Suura, H. 674, 760 Swieca, A. 343 Symanzik, K. 635 't Hooft, G. 572, 673 Takahashi, Y. 635 Tamm, I. 503 Tati, T. 62 Telegdi, V.L. 223 Telegdi, V.V. 141 Thirring, W. 636 Thomas, L.H. 54, 253 Titchmarsh, E.C. 253 Toll, J.S. 636 Tomon aga, S.-I. 52, 60, 61, 62 Tung., Wu-Ki 141 Turlay, R. 141, 223 Turnbull, H.W. 141 Tuve, M.A. 222 Uehling, E.A. 61, 673 Uhlenbeck, G.E. 54 Umezawa, H. 721 Vainshtein, A.I. 722 Van der Waerden, B.L. 342 Vaughan, M.J. 636 Velo, G. 343 Veltman, M. 673 Villars, F. 674

809

Àâòîðñêèé óêàçàòåëü Waller, I. 59 Ward, J.C. 635 Watson, K.M. 221, 223 Webb, N. 58 Weinberg, S. 52, 54, 60, 140, 222, 224, 253, 341, 342, 451, 503, 572, 636, 720, 722, 761 Weinrich, M. 141, 222 Weisskopf, V.F. 52, 56, 58, 59, 60, 61, 804 Weitz, M. 804 Wentzel, G. 52, 55, 60 Wess, J. 452, 721 West, T. 503 Weyl, H. 56, 503 Wheeler, J.A. 60, 221 Whittaker, E. A. 53 Wichmann, E.H. 253, 674 Wick, G.C. 140, 385, 673

Wightman, A.S. 140, 343 Wigner, E.P. 56, 57, 140, 141, 224 Wilczek, F. 573 Williams, E.J. 761 Williams, R.C. 61 Williams, W.E. 61 Wilson, K.G. 722 Witten, E. 343, 502 Wu, C.S. 141, 222 Yang, C.N. 221, 222, 253, 342 Yennie, D.R. 760, 804 Young, G.S. 141 Yukawa, H. 58, 635 Zacharias, J.R. 61 Zakharov, V.I. 722 Zimmerman, W. 635, 721 Zumino, B. 343 Zwanziger, D. 343

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Âíåøíèå ïîëÿ 354, 379-380, 555-556, 752α-ðàñïàä 212 β-ðàñïàä 30, 38, 169, 173, 194, 304, 703 759, 774-781 Âíåøíèå ïðîèçâîäíûå 494 ∆ áàðèîí 219 Âíóòðåííèå ñèììåòðèè 161-162 ∆+ ôóíêöèÿ 268 Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ 519-521 ∆F ôóíêöèÿ 366 Âîëíîâûå ïàêåòû 144-146 J/ψ-ìåçîí 299 Âðàùåíèå Âèãíåðà 88-91 ρ-ìåçîíû 219, 299, 302, 634 Âðåìåííàÿ êàëèáðîâêà 462 ω-ìåçîí 302 Âñïîìîãàòåëüíûå ïîëÿ 401-402 Âûðîæäåíèå Êðàìåðñà 107 Àáåëåâû ãðóïïû 71 Âû÷èòàíèÿ â äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèÀêñèàëüíàÿ êàëèáðîâêà 462 ÿõ 629 Àêñèîìû Îñòåðâàëüäåðà–Øðàäåðà 517, 572 Ãàëèëååâà èíâàðèàíòíîñòü 81 Àëãåáðà Êëèôôîðäà 285 Ãàìèëüòîíèàí Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ 196, 204-205 – êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 29 Àíèîíû 567 – äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà 10 Àíîìàëüíûé ýôôåêò Çååìàíà 7-8, 31-32 – â ýëåêòðîäèíàìèêå 467-468 Àíòèóíèòàðíûå è àíòèëèíåéíûå – äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö 234 îïåðàòîðû 66, 76 – âçàèìîäåéñòâóþùåãî äèðàêîâñêîãî Àíòè÷àñòèöû 17 ïîëÿ 431 Àðîìàòû (ëåïòîíîâ) 717 – âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé 262, 402 Áàðèîííîå ÷èñëî 164 – âçàèìîäåéñòâóþùåãî âåêòîðíîãî Áåñêîíå÷íîñòè, ñì. óëüòðàôèîëåòîâûå ïîëÿ 427 ðàñõîäèìîñòè, èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìî– îäíîìåðíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 20-22 ñòè Ãàóññîâû èíòåãðàëû 567 Áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå 153 Áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå èñêàæåííûõ Ãåéçåíáåðãîâñêîå ïðåäñòàâëåíèå 145, 381, 394, 574 âîëí 193 Ãåíåðàòîðû ñèììåòðèè 408-418 Áóñòû 79 Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, îïðåäåëåíèå 63 Âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå 32, 35 Âåðîÿòíîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå 9, 36- Ãèïåðçàðÿä 164 Ãèïåðîíû, îòêðûòèå 163 37, 43, 65 Âåðîÿòíîñòè ðàñïàäîâ, îáùàÿ ôîðìóëà Ãëàâíîå çíà÷åíèå 150 Ãëîáàëüíûå ñèììåòðèè, îïðåäåëåíèå 181-182 Âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ (Γµ) 601, 655-661, 407-417 Ãëþîíû 742 687,783

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû è êëàññû 118119, 127-133 – îïðåäåëåíèå 132 Ãðàâèòîí 97, 706, 727, 737, 742 Ãðàññìàíîâû ïåðåìåííûå, îïðåäåëåíèå 539 Ãðóïïà SL(2,C) 115 Ãðóïïà Spin(d) 120 Ãðóïïà SU(2) 117 Ãðóïïà Z2 116 Ãðóïïà êîñ 567 Ãðóïïû Ëè 69 Ãðóïïû, îïðåäåëåíèå 67-71; ñì. òàêæå: àáåëåâû ãðóïïû, ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû, ãðóïïû Ëè, ìàëûå ãðóïïû, ïðåäñòàâëåíèÿ, ïîëóïðîñòûå ãðóïïû Äâà-êîöèêëû, îïðåäåëåíèå 109 Äâîéíûå çâåçäû 493 Äåéñòâèå 396, 407 Äèàãðàììà ×ó–Ôðàó÷è 637 Äèàãðàììû Ôåéíìàíà 48-49, 344-384 – â ýëåêòðîäèíàìèêå 475-484 Äèðàêîâñêîå ïðåäñòàâëåíèå îäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà 283-292 Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ 624-634 Äèôðàêöèîííîå ðàññåÿíèå 197, 211 Äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû, ñì. ð-ôîðìû Äëèíà ðàññåÿíèÿ 209 Äðåâåñíûå äèàãðàììû 374, 694-695 Äóàëüíîñòü 308, 497

811 – íåñîõðàíåíèå 176 – ïðåîáðàçîâàíèå îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ 236 – ïðåîáðàçîâàíèå äèðàêîâñêèõ ïîëåé 301-302 – ïðåîáðàçîâàíèå ôåðìèîííûõ áèëèíåéíûõ êîâàðèàíòîâ 304 – ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíûõ íåïðèâîäèìûõ ïîëåé 322-323 – ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíûõ ïîëåé 274 – ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé 283 Èçîñïèí (èçîòîïè÷åñêèé ñïèí) 163 Èí- è àóò-ñîñòîÿíèÿ 143-149, 154 Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû è ïîäàëãåáðû 71, 116 Èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè 676-683, 691 Èíäóöèðîâàííîå èñïóñêàíèå ôîòîíîâ 23 Èíäóöèðîâàííûå ïðåäñòàâëåíèÿ 85 Èíòåãðèðîâàíèå ïî Áåðåçèíó 542 Èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè 43-44, 664, 671, 730-748

Êàëèáðîâêà Ëîðåíöà (Ëàíäàó) 462, 563 Êàëèáðîâêà Ôåéíìàíà 462, 563 Êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ 334-335, 454-459, 461, 495 Êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå è àíòèêîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ 21, 26-29 Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà 63-64 Êâàíòîâàÿ õðîìîäèíàìèêà 164, 720, 743 Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà 38, 40-50, Åâêëèäîâ ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë 516 453-484, 557-563, 638-671,681,687-699, 716720, 762-802; ñì. òàêæå: êâàíòîâûå ïîëÿ, Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðîí, ôîòîí, êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðè– óãëîâîãî ìîìåíòà 157 àíòíîñòü, óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìî– çàðÿäà 163, 264, 577 ñòè, èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè – òîêà 281, 408, 647, 791 Êâàíòîâûå ïîëÿ – ýíåðãèè è èìïóëüñà 156-157 – äèðàêîâñêîå ïîëå 30-32, 292-305 – îãðàíè÷åíèÿ 337, 727-728 – ðàííÿÿ òåîðèÿ 19-40 Çàìêíóòûå ð-ôîðìû 495 – ñâîáîäíûå ïîëÿ 254-266 Çàðÿä ñì. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä – ïðîèçâîëüíûå êâàíòîâûå ïîëÿ 310 Çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå (Ñ) – áåçìàññîâûõ ÷àñòèö 328-337 – ñëó÷àéíàÿ ñèììåòðèÿ 705, 719 – ïåðåîïðåäåëåíèå 442 – îïðåäåëåíèå 161, 174-175 – ñêàëÿðíûå 27-29, 32-36, 266-274 – äëÿ ôîòîíîâ 578 – åäèíñòâåííîñòü íåïðèâîäèìûú ïîëåé – âíóòðåííèå ôàçû 175 317

812

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 1

– âåêòîðíûå 275-283 Êâàðêè 302, 720 Êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ 199 Êèðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå 704 Ê-ìåçîíû 163, 176 – îòêðûòèå 38 Êîãåðåíòíûå ñîñòîÿíèÿ 252 Êîãîìîëîãèÿ äå Ðàìà 495 Êîìïàêòíûå è íåêîìïàêòíûå ãðóïïû 307 Êîìïòîíîâñêîå ðàññåÿíèå 484-494 Êîíòðàêöèÿ Èíîíþ–Âèãíåðà 81 Êîíòð÷ëåíû â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå 639-640 Êîíôåðåíöèÿ â Øåëòåð Àéëåíäå 45047 Êîñìè÷åñêèå ëó÷è 38, 164 Êîýôôèöèåíòû Êëåáøà–Ãîðäàíà 165, 202, 204, 205, 320 Êðîññ-ñèììåòðèÿ 358, 632, 750 Êðóãîâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ 481 Êóëîíîâñêàÿ êàëèáðîâêà 334, 463-468, 489 Êóëîíîâñêàÿ ýíåðãèÿ 468, 472, 465-476, 757 Êóìóëÿíòû 238

Ìàíäåëüñòàìîâñêèå ïåðåìåííûå 698 Ìàðãèíàëüíûå ñâÿçè 682 Ìàòðèöà γ5 289-291 Ìàòðèöà ïëîòíîñòè 483 Ìàòðèöû âðàùåíèé 89 Ìàòðèöû Äèðàêà 11-12 – ïåðå÷åðêíóòîå îáîçíà÷åíèå, îïðåäåëåíèå 478 – ñëåäû 498 Ìàòðèöû Ïàóëè, îïðåäåëåíèå 288 Ìàòðè÷íàÿ ìåõàíèêà 4-5 Ìåëëåðîâñêîå ðàññåÿíèå 38 Ìåòîä ðåíîðìèðîâêè Âèëüñîíà 711-716 Ì-ìàòðèöà, îïðåäåëåíèå 155 Ìíîãîâðåìåííîé ôîðìàëèçì 29 Ìíîæèòåëè îò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà 184188 Ìîëåêóëÿðíûé ñïåêòð N14 38 Ìþîí 50 – îòêðûòèå 39 – ìàãíèòíûé ìîìåíò 661-662, 705 Ìþîííûå àòîìû 653-654 Ìÿãêèå ôîòîíû 724-730, 748-752

Ëàãðàíæèàíû 27, 393-406 – êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 27 – âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 400 – èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì 405-406 – íåðåãóëÿðíûå 434 Ëåïòîííîå ÷èñëî 163, 719 Ëåïòîíû 638 Ëåñà 694 Ëèíåéíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ 481 Ëîêàëüíûå ñèììåòðèè – îïðåäåëåíèå 84 –äëÿ ðàçíûõ èìïóëüñîâ 85-86 – äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö 330 Ëó÷è, îïðåäåëåíèå 63 Ëýìáîâñêèé ñäâèã 45-47, 665, 781-801

Íàðóøåííàÿ ñèììåòðèÿ 597, 609 Íåéòðîí 38 – íåéòðîí-ïðîòîííîå ðàññåÿíèå 210 – ðàññåÿíèå íåéòðîíîâ íà ñëîæíîì ÿäðå 209, 213 Íåêîìïàêòíûå ãðóïïû, ñì. Êîìïàêòíûå è íåêîìïàêòíûå ãðóïïû Íåëèíåéíàÿ σ-ìîäåëü 450, 505, 527-528 Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, îïðåäåëåíèå 83 Íåñîõðàíåíèå ÐÒ 173 Íåñóùåñòâåííûå ñâÿçè 442 Íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå 234, 266, 348 Í-òåîðåìà Áîëüöìàíà 201

Îáðàùåíèå âðåìåíè (Ò) – ñëåäñòâèÿ äëÿ S-ìàòðèöû 170-173 Ìàãíèòíûå ìîìåíòû ÷àñòèö ñïèíà 1/2 – îïðåäåëåíèå 76 616-617, 655-666, 705, 751-752 – íåñîõðàíåíèå 178 Ìàéîðàíîâñêèå ôåðìèîíû 300, 323 – ïðåîáðàçîâàíèå îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ Ìàëàÿ ãðóïïà 84-88 236 – m ≠ 0 88 – ïðåîáðàçîâàíèå âûðîæäåííûõ ìóëü– m = 0 91-96 òèïëåòîâ 134-139

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü – ïðåîáðàçîâàíèå äèðàêîâñêèõ ïîëåé 302-303 – ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíûõ íåïðèâîäèìûõ ïîëåé 323-324 – ïðåîáðàçîâàíèå Jµν è Pµ 99-100 – ïðåîáðàçîâàíèå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé 102 – ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíûõ ïîëåé 274 – ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé 283 Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè 340, 415, 421, 494, 701-703, 706 Îãðàíè÷åíèå Ôðóàññàðà 211 Îäíîñâÿçíûå ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåíèå 111 Îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûå äèàãðàììû, îïðåäåëåíèå 592 Îïàñíûå ñîñòîÿíèÿ 744-747 Îïåðàòîð èìïóëüñà 80, 412-413 Îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ 21, 26-27, 30-31, 34-37, 230-236 Îïòè÷åñêàÿ òåîðåìà 197

813

Ïîëîæèòåëüíîñòü ýíåðãèè 100, 400 Ïîëóïðîñòûå ãðóïïû è àëãåáðû Ëè îïðåäåëåíèå 93 Ïîëþñû àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ 579-588, 749 Ïîëÿ, ñì. êâàíòîâûå ïîëÿ Ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà 42, 44, 640-655, 785 Ïîëÿðèçàöèÿ – ìàññèâíîé ÷àñòèöû ñïèíà 278, 282 – áåçìàññîâûõ ÷àñòèö 458-459 – ôîòîíà 97-98 Ïîðîãîâîå ïîâåäåíèå 209-210 Ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû 36 Ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà 648, 672 Ïðàâèëà ñóïåðîòáîðà 69, 119-120 Ïðåäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ 189, 380 – äëÿ ñâÿçåé ñ ïðîèçâîäíûìè 424 – äëÿ äèðàêîâñêîãî ïîëÿ 430 – äëÿ ýëåêòðîäèíàìèêè 468-472 – äëÿ âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ 402-404 Ïàðàñòàòèñòèêà 566 – äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ 425 Ïàóëèåâñêîå ñëàãàåìîå 18 Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà–Ëåìàíà 618-624 Ïåðåêðûâàþùèåñÿ ðàñõîäèìîñòè 692-695 Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï, îïðåäåëåíèå 68 Ïåðåíîðìèðîâêà – îäíîðîäíîé ãðóïïû Ëîðåíöà 305-310 – ìàññû 588 Ïðåîáðàçîâàíèå Õàááàðäà–Ñòðàòîíî– ïîëÿ 588 âè÷à 623 Ïåðåíîðìèðóåìîñòü 44-50, 683-699 Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà 393, 398 Ïåòëè 249, 358, 374, 479, 557 Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà Ïèîí-íóêëîííàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè 586 – äåéñòâèå íà îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ 236 Ïèîíû 18, 50, 587-588, 706 – äåéñòâèå íà ïðîèçâîëüíûå ñîñòîÿ– ðàñïàä π± 169 íèÿ 74 – ðàñïàä π0 175 – äåéñòâèå íà îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿ– âíóòðåííàÿ ôàçà çàðÿäîâîãî ñîïðÿæå- íèÿ 82-98 íèÿ äëÿ π0 175 – îïðåäåëåíèå 72-75 – âíóòðåííàÿÿ ÷åòíîñòü 169 – îäíîðîäíàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà, îïðåäå– ïðåäñêàçàíèå è îòêðûòèå 39 ëåíèå 75 – ðàññåÿíèå íà íóêëîíàõ 625, 633-634 – îáùèå ïðåäñòàâëåíèÿ 305-310 Ïëàâàþùåå îáðåçàíèå 711-716 – â êàíîíè÷åñêîì ôîðìàëèçìå 418-424 Ïëîñêîñòü Äàëèöà 188 – ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ âíå ìàññîâîé Ïîâîðîò Âèêà 642 îáîëî÷êè 576-577 Ïîãëîùåíèå ôîòîíîâ 23 – â òåîðèè âîçìóùåíèé 191, 367-368 Ïîçèòðîí 17-18, 750, 766 – ñå÷åíèé è âåðîÿòíîñòåé 184 Ïîçèòðîíèé 301-302 – S-ìàòðèöû 154-160 Ïîëå Ðàðèòû–Øâèíãåðà 309, 571 – àëãåáðà Ïóàíêàðå 76 Ïîëåâûå óðàâíåíèÿ 265, 281, 318 – ãðóïïà Ïóàíêàðå 74

814 – ñîáñòâåííàÿ îðòîõðîííàÿ ãðóïïà Ëîðåíöà 75 Ïðèíöèï äåéñòâèÿ Øâèíãåðà 381 Ïðèíöèï çàïðåòà 15 Ïðèíöèï êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ 225á 236-243 Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè 727 Ïðè÷èííîñòü 192á 263á 625 Ïðîáëåìà τ−θ 168 Ïðîåêòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ 68, 108 Ïðîïàãàòîðû 348, 363-371 Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ ñì. ÷åòíîñòü è ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ (Ð) Ïðîòîí – çàðÿä 603 – çàðÿäîâûé ðàäèóñ 50, 802 – ôîðìôàêòîðû 617 – êàê äûðêà 15 – â ÿäðå 38 Ïóíêòèðíûå è íåïóíêòèðíûå èíäåêñû 307 Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, ñì.: ïåðåíîðìèðîâêà, êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè, èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè, ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèå ôóíêöèè, âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ, ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà, ìÿãêèå ôîòîíû Ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì 201 Ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ 606, 644-648, 671 Ðàçìåðíîñòü ïîëåé è êîíñòàíò ñâÿçè 679, 703, 711 Ðàñïàä Co60 169, 173 Ðàññåÿíèå Áàáà 38 Ðåãóëÿòîð Ïàóëè–Âèëëàðñà 657, 668 Ðåäóêöèîííàÿ ôîðìóëà 590 Ðåçîíàíñû 211-219 Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ 1-19 Ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ ãðóïïà 662, 699, 712 Ðåöåïò ÁÏÕÖ 693-694 Ðèäáåðã (åäèíèöà ýíåðãèè), îïðåäåëåíèå 800 Ðîæäåíèå ïàð 38 ð-ôîðìû 494-499 Ðÿä Äàéñîíà 191 S-ìàòðèöà 5, 42

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 1 – Ñ, ÑÐ, ÑÐÒ 174-178 – îïðåäåëåíèå 150 – âíóòðåííèå ñèììåòðèè 161 – ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü 154-160 – ÷åòíîñòü 165-169 – ÐÒ 173-174 – S-îïåðàòîð 151 – îáðàùåíèå âðåìåíè 170-173 – óíèòàðíîñòü 150-151 ñì. òàêæå: Ò-ìàòðèöà, Ì-ìàòðèöà Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñì. ñîñòàâíûå ÷àñòèöû Ñâÿçè 433-441 – â ýëåêòðîäèíàìèêå 459 Ñâÿçè âòîðîãî ðîäà, ñì. ñâÿçè Ñâÿçè ïåðâîãî ðîäà, ñì. ñâÿçè Ñâÿçíûå àìïëèòóäû 237-243 Ñâÿçü ñïèíà ñî ñòàòèñòèêîé 317 Ñåïàðàáåëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ 220 Ñå÷åíèÿ – îïðåäåëåíèå 182-185 – ïðåäåë âûñîêèõ ýíåðãèé – ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì 204-207 Ñèëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ 39 3j-ñèìâîëû Âèãíåðà 314 Ñèììåòðèè 65-72, 120-127, 406-418, 575 ñì. òàêæå: çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ãðóïïû, ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòü, ÷åòíîñòü, çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå, îáðàùåíèå âðåìåíè, âíóòðåííèå ñèììåòðèè, èçîñïèí, SU(3) Ñèììåòðèÿ SU(3) 164 Ñèñòåìà öåíòðà ìàññ 184 Ñêîáêè Äèðàêà â ýëåêòðîäèíàìèêå 438450 Ñêîáêè Ïóàññîíà, îïðåäåëåíèå 435 Ñëåäû 498-501 Ñëó÷àéíûå ñèììåòðèè 716-719 Ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèå ôóíêöèè (Π*, Σ*) 593, 640-649, 666-671, 688-689, 692-697 Ñîîòíîøåíèå Êðàìåðñà–Êðîíèãà 634 Ñîñòàâíûå ÷àñòèöû 146, 623-624 Ñîñòîÿíèÿ ñòîÿ÷èõ âîëí 221 «Ñîñòîÿíèÿ» ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé 14-19, 30-36, 766 Ñïåêòðàëüíûå ôóíêöèè, ñì. Ïðåäñòàâëåíèå ×åëëåíà–Ëåìàíà

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Ñïèíîâûå ìàòðèöû, îïðåäåëåíèå 307 Ñïèðàëüíîñòü – îïðåäåëåíèå 94 – îãðàíè÷åíèÿ äëÿ áåçìàññîâûõ ïîëåé ÷àñòèö 337-339 – îãðàíè÷åíèÿ íà öåëûå è ïîëóöåëûå çíà÷åíèÿ 119 Ñïîíòàííîå èñïóñêàíèå ôîòîíîâ 23-24, 797 ÑÐ-èíâàðèàíòíîñòü – äëÿ âûðîæäåííûõ ìóëüòèïëåòîâ 138 – íåñîõðàíåíèå â ðàñïàäå K0 176 ÑÐÒ-èíâàðèàíòíîñòü 326 Ñòàðàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé, ñì. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé Ñòàòèñòèêà Áîçå–Ýéíøòåéíà 15, 226230, 563-567 Ñòàòèñòèêà Ôåðìè–Äèðàêà 15, 226-230, 355-360, 563-567, Ñòðàííîñòü è ñòðàííûå ÷àñòèöû 163 Ñòðóè 742, 744 Ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû, îïðåäåëåíèå 70 Ñóììèðîâàíèå ïî ñïèíàì 279, 298, 315316, 335, 483-484, 488, 738 Ñóïåðïåðåíîðìèðóåìûå âçàèìîäåéñòâèÿ 681, 686 Ñóïåðñèììåòðèÿ 433, 686, 712 Ñóùåñòâåííûå ñâÿçè 682 Ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè 203, 769 Òåíçîð Áåëèíôàíòå 420 Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà 412-414 Òåîðåìà Âàòñîíà 173 Òåîðåìà Âèãíåðà–Ýêêàðòà 204 Òåîðåìà Âèêà 385 Òåîðåìà Ëè–Íàóåíáåðãà 741-748 Òåîðåìà ËÑÖ, ñì. ðåäóêöèîííàÿ ôîðìóëà Òåîðåìà Íåòåð 408 Òåîðåìà î ïîäñ÷åòå ñòåïåíåé 682 Òåîðåìà î ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè 116, 718 Òåîðåìà Ïîëü÷èíñêîãî 712 Òåîðåìà Ïîìåðàí÷óêà 633 Òåîðåìà Ïóàíêàðå 495 Òåîðåìà Ðèìàíà–Ëåáåãà 241 Òåîðåìà Ôàððè 578, 690

815 Òåîðèÿ âîçìóùåíèé – ñòàðàÿ 189-192 – çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè 189 Òåîðèÿ äûðîê 16, 38, 40 Òåîðèÿ ñòðóí 1, 19, 326, 497, 710 Ò-ìàòðèöà 148, 154, 188, 202, 744 Òîæäåñòâà Óîðäà è Óîðäà–Òàêàõàøè 603 Òîæäåñòâî ßêîáè 110 Òîìñîíîâñêîå ðàññåÿíèå 494 Òîíêàÿ ñòðóêòóðà 6-8, 771 Òîïîëîãèÿ ãðóïïû Ëîðåíöà è ãðóïïû âðàùåíèé 114; ñì. òàêæå: ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû, îäíîñâÿçíûå ïðîñòðàíñòâà, êîãîìîëîãèÿ äå Ðàìà Òîðìîçíîå èçëó÷åíèå 38 Òî÷íûå ð-ôîðìû 495 Òðàåêòîðèè Ðåäæå 633-634 Òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíòíàÿ òåîðèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè 40-50, 644-645, 652-653, 663, 668-671, 676-683 Óíèâåðñàëüíàÿ íàêðûâàþùàÿ ãðóïïà 119 Óíèòàðíàÿ êàëèáðîâêà 462 Óíèòàðíîñòü S-ìàòðèöû 150-154, 172, 195-201, 206, 214, 705 Óðàâíåíèå Áåòå–Ñîëïèòåðà 759 Óðàâíåíèå Äèðàêà 1, 8-19 Óðàâíåíèå Êëåéíà–Ãîðäîíà–Øðåäèíãåðà 1, 17, 27, 265 Óðàâíåíèå Ëèïïìàíà–Øâèíãåðà 148 Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 1, 335, 453, 458, 495 Óðàâíåíèÿ Ôàääååâà 251 Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà–Ëàãðàíæà 398 Ôàçîâûå ñäâèãè 172-173, 206 Ôåéíìàíîâñêèå ïàðàìåòðû 641, 657, 671 Ôîðìóëà Áðåéòà–Âèãíåðà 216 Ôîðìóëà Ðîçåíáëþòà 657 Ôîðìôàêòîðû 610-617, 655-666, 784-786 Ôîòîí – ôàçà ïðè çàðÿäîâîì ñîïðÿæåíèè 305 – ñïèðàëüíîñòü è ïîëÿðèçàöèÿ 97-98, 334, 480-492 – áåçìàññîâîñòü 463, 609, 644

816 – ôîòîí-ôîòîííîå ðàññåÿíèå 42, 689, 708-710 – ïðîïàãàòîð 472-475 Ôóíêöèîíàëû, îáîçíà÷åíèÿ 396 Ôóíêöèîíàëüíûå èíòåãðàëû – âûâîä 507-517 – äëÿ ñêàëÿðîâ ñî ñâÿçüþ ñ ïðîèçâîäíîé 526 – äëÿ ôåðìèîíîâ 536-556 – äëÿ áåçìàññîâûõ âåêòîðíûõ ïîëåé 529 – äëÿ íåëèíåéíîé σ-ìîäåëè 527 – äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè 557563 – äëÿ S -ìàòðèöû 517-523 – ëàãðàíæåâà âåðñèÿ 523-530 – èñïîëüçîâàíèå äëÿ âûâîäà ôåéíìàíîâñêèõ ïðàâèë 531 Õðîíîëîãè÷åñêè óïîðÿäî÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ, îïðåäåëåíèå 190 Öâåò 742 Öåíòðàëüíûå çàðÿäû 110

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. ×. 1 – ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíûõ íåïðèâîäèìûõ ïîëåé 319-321 – ïðåîáðàçîâàíèå Jµν è Pµ 99−100 – ïðåîáðàçîâàíèå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé 101-105, 137 – ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíûõ ïîëåé 272 – ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ ïîëåé 283 Øâèíãåðîâñêèå ÷ëåíû 606 Øðåäèíãåðîâñêîå ïðåäñòàâëåíèå 145 Ýëåêòðè÷åñêèå äèïîëüíûå ìîìåíòû 108,705 Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä 456 – ñîõðàíåíèå 163, 727 – ïåðåíîðìèðîâêà 457, 597-604, 639, 649-653 Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿäîâûé ðàäèóñ 666 Ýëåêòðîí – çàðÿäîâûé ðàäèóñ 666 – êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ 40, 494, 671 – ìàãíèòíûé ìîìåíò 7, 13, 18, 47, 617, 703 – ñïèí 8-10 Ýëëèïòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ 482 Ýíåðãåòè÷åñêèå ñäâèãè àòîìíûõ óðîâíåé 41-43, 775-781 – ñäâèã 1s -óðîâíÿ 802 Ýíåðãèÿ âàêóóìà 32á 35 Ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèÿ â àòîìå âîäîðîäà 799-801 Ýíòðîïèÿ 200 Ýôôåêò Êàçèìèðà 392 Ýôôåêò Ðàìçàóýðà–Òàóíñåíäà 220 Ýôôåêò Þëèíãà 45, 654, 785 Ýôôåêòèâíûå òåîðèè ïîëÿ 676, 709

×àñòèöà Z0 212 ×àñòèöû W± 212 ×åòíîñòü è ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ (Ð) – ñëó÷àéíàÿ ñèììåòðèÿ 705, 719 – îïðåäåëåíèå 76 – âíóòðåííèå ÷åòíîñòè 165-169 – íåñîõðàíåíèå â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ 169 – ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ 768, 792 – ïðåîáðàçîâàíèå îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ 236 – ïðåîáðàçîâàíèå äèðàêîâñêèõ ïîëåé 294, 299-300 ßäåðíûå ñèëû 585-588